Matrices booleanas

• Estas matrices están constituidas por ceros y 1’s son frecuentemente utilizadas para representar estructuras discretas (como lo son las relaciones).

Definición: Una matriz booleana es una matriz mxn en que sus elementos son ceros y unos.

Ejemplo:

00100

10101

00110

B

Operaciones con matrices booleanas: Unión e Intersección

Def.: Sea A=[aij] y B=[bij] ambas matrices booleanas

000

111

ijij

ijij

ij byasi

boasic

1) AB=C=[cij] La unión (disyunción) de A y B, esta dada

por:

2) AB=D=[dij] La intersección (conjunción) de A y B, esta

dada por:

Note que A y B deben tener el mismo tamaño

000

111

ijij

ijij

ij boasi

byasid

Operaciones con matrices booleanas

Ejemplo: Calcule la unión e intersección:

010

101A

Solucion:

011

010B

011

111

001110

011001BA

010

000

001110

011001BA

Operaciones con matrices booleanas: Complemento

• Matriz Complementaria

La matriz complementaria de A es la matriz cuyos elementos son unos donde A tiene ceros, y ceros donde A tiene unos.

010

101A

101

010CA

Operaciones con matrices booleanas: Producto Booleano

Def.: Sea dos matrices booleanas A=[aij] (mxp) y B=[bij] (pxn). El producto booleano de A y B sera la matriz C mxn cuyos elementos estas dados por:

cij = (ai1b1j) (ai2b2j) ... (aipbpj)

• Este produto se denota por AB

• Note que esta operación es idéntica a la multiplicación matricial ordinaria en donde:

- La adiccion es sustituida por

- La multiplicación es substituida por

Producto booleano

Ejemplo: Encuentre el producto booleano de A y B:

01

10

01

A

Note que el numero de columnas de A debe ser igual al numero de filas de B

110

011B

100110110011

110011100110

100110110011

BA

011

110

011

000101

101000

000101

BA

Operaciones con matrices booleanas

Teorema: Se A, B y C son matrices booleanas, entonces:

1) a) A B = B A b) A B = B A

2) a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C)

3) a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C)

5) A (B C) = (A B) C

4) (AC)C = A