50

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

TrIgonomeTrI och grafer2

centralt innehåll

✱ Trigonometriska funktioners grafer och dess egenskaper.

✱ Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

✱ Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska och sammansatta funktioner.

✱ Strategier för matematisk problemlösning.

51

1

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

4

Inledande aktivitet

FRÅN ENHETSCIRKEL TILL KURVA

1 Använd enhetscirkeln och din räknare.

a) Gör en tabell där x är vinklarna 0°, 30°, 60°, 90°, . . . , 360° och y är vinklarnas sinusvärde.

b) Rita på ett rutat papper ett koordinatsystem där en ruta i x-led motsvarar 30° och en ruta i y-led motsvarar 0,2.

Pricka in tabellens punkter och skissa grafen.

c) Kontrollera grafen till y = sin x med grafräknare.

x

y

v1

1

O

d) Undersök med grafräknare hur grafen till y = sin x ser ut i intervallet –720° ≤ x ≤ 720°. Förklara.

2 Använd din grafräknare.

a) Jämför graferna till y = 2 sin x och y = 0,5 sin x med y = sin x. Rita en skiss och beskriv likheter och skillnader.

b) Jämför graferna till y = sin 2x och y = sin 0,5x med y = sin x. Rita en skiss och beskriv likheter och skillnader.

c) Hur beror grafen till y = A sin kx av värdet på A och k? Formulera en slutsats.

52 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

2.1 Trigonometriska kurvor

Sinus- och cosinuskurvorMånga fenomen i naturen är periodiska och upprepar sig regelbundet. Några exempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika svängningar och vågrörelser.

För att kunna beskriva dessa fenomen med matematiska modeller behöver vi periodiska funktioner.

Vi börjar med att undersöka hur sin x varierar under ett varv i enhetscirkeln.

Enhetscirkel vi avläser de markerade punkternas y-koordinater och gör en tabell och graf.

1–1

1

–1

y

x

sinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Kontroll med grafräknare

x y = sin x

0° 0

90° 1

180° 0

270° –1

360° 0

y1

x

1

90° 360°

2

360°0°

2

Vi har nu ritat en sinuskurva i ett intervall med längden 360°. Kurvans utseende upprepas obegränsat i båda riktningarna. Vi säger att sinusfunktionen är periodisk med perioden 360°.

y

1

1

x

90°90° 270° 450°270°

y = sin x

period

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 53

På liknande sätt får vi för cosinusfunktionen:

cosinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Grafritande räknare

x y = cos x

0° 1

90° 0

180° –1

270° 0

360° 1

y1

x

1

180° 360°

2

360°0°

2

Om vi ritar både sinuskurvan och cosinuskurvan i samma koordinat-system, ser vi att de är förskjutna i x-led i förhållande till varandra. Cosinuskurvan får vi genom att förskjuta sinuskurvan 90° åt vänster.

y

1

1360°

y = cos x y = sin x

x

360° 180° 180°

Exempel 1 Hur skiljer sig kurvan y = 3 sin x från kurvan y = sin x ?

Svaret är enkelt: y-koordinaterna till kurvan y = 3 sin x får vi genom att multiplicera alla y-koordinater till kurvan y = sin x med 3.

x 0° 90° 180° 270° 360°

sin x 0 1 0 –1 0

3 sin x 0 3 0 –3 0

Amplituden

y = 3 sin x y = sin x

360°180°

1

1

ymax

ymin

y

x

4

360°0°

4

amplitud En sinuskurvas amplitud är största värdet – minsta värdet

2y = 3 sin x har amplituden 3, maximivärdet 3 och minimivärdet –3.

54 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

2101 Funktionen y = 1,5 sin 2x är given.a) Ange amplitud, största värde och minsta värde.b) Bestäm perioden.c) Skissa kurvan för hand och kontrollera med räknare.

Vi jämför med y = A sin kxa) Amplituden A = 1,5, största värdet = 1,5 och minsta värdet = –1,5.

b) k = 2 perioden = 360°2

= 180°

c) Dela intervallet 0° till 180° i fyra lika delar. Markera fem punkter så att kurvan kan skissas. Kontrollera med räknaren, inställd på grader (deg).

180°90°

1

1

Maximivärde ochstörsta värde

x

y

2

180°0°

2

Exempel 2 Hur skiljer sig kurvan y = sin 4x från kurvan y = sin x? Utseendet på kurvan y = sin x upprepas efter 360°. Utseendet på kurvan y = sin 4x upprepas då 4x = 360°, alltså efter 90°. Vi ritar graferna.

Vi ser i figuren att funktionen y = sin 4x har perioden 90°.

Perioden kan beräknas 360°

4 = 90°

På motsvarande sätt har y = cos x2

perioden 360°1/2

= 720°

Amplitud och period påverkas inte av att en kurva förskjuts.

y = A sin kx har amplituden A och perioden 360°

k

y = A cos kx har amplituden A och perioden 360°

k

Sammanfattning

y

1

1

x

90°90° 360°

y = sin x y = sin 4x

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 55

2102 Du vet att y = sin x har perioden 360°. Förklara hur du då får perioden för

a) y = sin 10x b) y = sin 0,1x

2103 Har y = sin 3x och y = cos 3x samma period?

2104 Bestäm perioden för

a) y = sin 4x c) y = cos 2x

b) y = sin 0,75x d) y = cos x3

2105 a) Skissa för hand kurvan y = 2 sin x.

b) Ange det största och minsta värde som 2 sin x kan anta.

c) Ange kurvans amplitud.

2106 Bestäm kurvans amplitud och period.

a) y = 4 cos x

b) y = 100 sin 2,5x

c) y = –50 cos 5x

d) y10

x

20°

2107 Ge ett exempel på en funktion med perioden 200° och amplituden 2,5.

2108 a) Skissa för hand två perioder av kurvan y = 2 sin 4x

b) Kontrollera din skiss med grafräknare.

2109 Rita graferna till y = sin x och y = cos x i samma koordinatsystem.

a) Vilka likheter respektive skillnader finns mellan graferna?

b) För vilka x-värden i intervallet 0°≤ x ≤ 360° gäller att cos x < sin x ?

2110 a) Skissa kurvan till y = – sin x

b) Ange det största och minsta värde som funktionen y = –2 sin x kan anta.

2111 Har ekvationen 4 sin x = sin x någon lösning? Motivera.

2112 För vilka värden på A saknar ekvationen A sin 5x = 1,2 lösningar?

2113 Grafen visar hur kurvan y = sin x skär linjerna y = ±k i fyra punkter i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°. Bestäm summan x1 + x2 + x3 + x4.

y

y = –k

x

y = k

x1

1

x2

x3 x4

2114 Utgå från att f (x) = sin x och att

f (a) = 0,3 och beräkna summan

f (a) + f (a + 360°) + f (a + 720°) +

+ ... + f (a + 3 600°).

2115 Beräkna utan att använda räknare summan

sin 1° + sin 2° + sin 3° +

+ ... + sin 358° + sin 359°.

56 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

grafritande räknareDu ska kunna lösa ekvationer och olikheter exakt med algebraiska metoder. Men som ett komplement är grafritande räknare ett utmärkt verktyg för att undersöka funktioner och på ett överskådligt sätt lösa ekvationer och olikheter grafiskt.

2116

Visa grafiskt att ekvationen sin 2x = 0,5 har fyra lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°.

Rita graferna till funktionerna

y = sin 2x och y = 0,5.

2

360°0°

2

Graferna skär varandra på fyra ställen. Det innebär att sin 2x = 0,5 har fyra lösningar i intervallet.

2117 Lös grafiskt ekvationen

cos 0,5x = 0,7

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°.

2118 Hur många lösningar har ekvationen sin x = cos x i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° ?

2119 Hur avläser du perioden för kurvan y = sin 0,6x ?

2120 Undersök: För vilka positiva värden på a har ekvationen sin x = a i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°

a) två lösningar

b) en lösning

c) ingen lösning?

2121 Lös ekvationen cos 2x = 0,5 i intervallet 500° ≤ x ≤ 700°

a) grafiskt

b) algebraiskt.

2122 Olikheten cos x < k har en lösning 120° < x < 240° . Vilket värde har k ?

2123 För vilka värden på b saknar ekvationen 3 sin 4x + b = 0 lösningar?

2124 Det finns ett enkelt samband mellan antalet lösningar till ekvationen

sin kx = a

i intervallet 0° ≤ x ≤ 360° och värdet på k, där k är ett positivt heltal och 0 < a < 1. Ta reda på detta samband.

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 57

Aktivitet ✽ Undersök

Trigonometriska kurvor

Använd fönsterinställningarna:

3

360°–180°

3Xmin = – 180° Xmax = 360° Ymin = – 3 Ymax = 3

Tips: När du undersöker flera kurvor samtidigt är det lättare att se skillnad på dem om du låter kurvorna ha olika linjetyper.

Materiel: Grafräknare

1 a) Rita i samma fönster

y = sin x och y = sin x + 2

Vad skiljer graferna åt?

b) Undersök för olika värden på a :

Hur är grafen till y = sin x + a förskjuten i förhållande till y = sin x ?

2 a) Rita i samma fönster

y = sin x och y = sin (x + 60°)

Gör avläsningar på graferna. Vad skiljer graferna åt?

b) Undersök för olika positiva värden på v :

Hur är grafen till y = sin (x + v) förskjuten i förhållande till y = sin x ? Motivera varför.

3 Undersök för olika positiva värden på v :

Hur är grafen till y = sin (x – v) förskjuten i förhållande till y = sin x ?

4 Undersök och ange en funktion på formen

y = sin (x ± v)

som har en graf identisk med grafen till

a) y = cos x

b) y = – sin x

5 Formulera kortfattat hur grafen till

y = A sin (x ± v) + b

påverkas av värdena på A, v och b.

58 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

förskjuta kurvorVi ska visa hur man får kurvan till y = sin (x + v) + d genom att utgå från y = sin x.

Exempel 1 Om vi utgår från y = sin x och adderar 2 till alla y-koordinater får vi funktionen y = sin x + 2 . Hela grafen förskjuts 2 enheter uppåt. Amplituden är fortfarande 1, men y-värdena varierar nu mellan 1 och 3.

Exempel 2 Om vi utgår från y = sin x och förskjuter den 30° åt höger förändras inte amplituden eller perioden. Vi får funktionen y = sin (x – 30°) eftersom (x – 30°) går från 0° till 360° när x går från 30° till 390°.

Sammanfattning

2125

1

1

y = sin x är förskjuten2 enheter uppåt.

x

y

2

3

Kontrollera graferna med din grafräknare.y = sin x

y = sin x + 2

360°

180°

1

1

x

y

Kontrollera graferna

med din grafräknare.

y = sin x y = sin (x – 30°)

30°

360°

180° 390°

En period = 360°

y = sin x är förskjuten 30° åt höger.

Kurvan till y = sin (x + v) + d kan vi få genom att förskjuta y = sin x

d > 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter uppåt. d < 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter nedåt.

v > 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till vänster. v < 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till höger.

Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt.

a) Beskriv hur grafen till y = sin (x + 45°) – 2 är förskjuten i förhållande till y = sin x.

b) Bestäm största och minsta värde för funktionen y = 4 + 3 sin x

a) Grafen är förskjuten 2 enheter nedåt och 45° åt vänster i förhållande till y = sin x.

b) y = 3 sin x har amplituden 3 och y-värdena varierar därför mellan – 3 och 3. y = 4 + 3 sin x är förskjuten 4 enheter uppåt i förhållande till y = 3 sin x. y-värdena varierar därför mellan 1 och 7. Största värde = 7 och minsta värde = 1.

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 59

2126 Antag att du har ritat kurvan y = sin x. Hur får du då kurvan

a) y = sin x + 5 c) y = sin (x + 55°)

b) y = sin x – 2,5 d) y = sin (x – 35°) ?

2127 Ange sinuskurvans ekvation.

a) y

1 x

360°

b) y1

–60° 300°

x

2128 Ange största och minsta värde för funktionen

a) y = 2 sin x + 3 c) y = – 5 – cos x

b) y = 3 – 4 sin x d) y = cos x – 10

2129 Ge ett eget exempel på en funktion vars största värde är 12 och minsta värde är – 10.

2130 Bestäm talet a så att y = 5 sin x + a aldrig skär x-axeln.

2131 Hur ska du förskjuta kurvan y = cos x för att få kurvan

a) y = cos (x + 60°) + 3,5

b) y = cos (x – 20°) – 1,5?

2132 Kurvan y = sin 3x förskjuts 36° åt höger. Vilken ekvation får den nya kurvan?

2133 Viktoria påstår att en sinuskurva alltid kan skrivas som en cosinuskurva. Har hon rätt?

2134 y

1x

360°1

Hur ska du förskjuta

a) y = sin x för att få grafen ovan

b) y = cos x för att få grafen ovan?

2135 Bestäm A och v i y = A sin (x – v) om ymax = 3 och y (0) = – 1,5. (A > 0, 0° < v < 90°)

2136 Hur är kurvan y = 3 cos (2x + 50°) förskjuten i förhållande till y = 3 cos 2x?

2137 För vilket värde på a är funktionens största värde 8, om y = 5 – a sin 2x ?

2138 Rita kurvorna y = sin x och y = cos (x + 270°) i samma fönster på din grafritare.

a) Vilken slutsats är rimlig att dra från graferna?

b) Bevisa din slutsats.

2139 Bestäm p och q så att funktionen

y = p sin (2x – 10°) – 2q

får minsta värdet 3 och största värdet 5.

2140 Rita kurvan med din grafräknare. Ange en annan formel för funktionen. Motivera.

a) y = cos2x + sin2x

b) y = cos x + sin (90° – x)

c) y = cos x + √ 3 sin x

60 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

ekvationen för en sinusformad kurva

2141 Figuren visar grafen till en sinus- funktion. Bestäm en ekvation av typen y = A sin kx + d för denna kurva.

Perioden = 400°, d v s

360°

k = 400° och k = 0,9.

Amplituden A = maximivärdet – minimivärdet

2

A = 7 – (–1)

2 =

82

= 4

Jämfört med y = 4 sin 0,9x gäller: Förskjutningen i y-led är 3 enheter uppåt. Ny ”mittlinje” är y = 3, dvs d = 3.

y = 4 sin 0,9x + 3

Till sist bör du kontrollera med grafritande räknare att denna ekvation ger rätt graf. 2

400°0°

8

Svar: Kurvans ekvation är y = 4 sin 0,9x + 3.

2142

Rita en skiss av kurvan y = 5 sin 2(x + 45°) – 4.

Kurvan har samma amplitud och period 5

y

9

–45°

y = –4

x

180°

y = 5 sin 2x

y = 5 sin 2(x + 45°) – 4

5

som y = 5 sin 2x , dvs amplituden 5 och

perioden 360°2

= 180°.

Förskjutningen i x-led är 45° till vänster.

Förskjutningen i y-led är 4 enheter nedåt.Den nya ”mittlinjen” är y = – 4.

Kontrollera grafens utseende med din räknare.

OBS Om funktionen y = 5 sin 2(x + 45°) – 4 skrivs y = 5 sin (2x + 90°) – 4 kan det vara svårare att se förskjutning 45°.

400°200°

1

1

x

y

3

7

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 61

2143 Bestäm en funktion av typen y = a sin bx som ger grafen

a)

y

4

x

60°

b)

y

2

x

30°

2144 Skissa grafen utan hjälpmedel. Kontrollera sedan med din grafräknare.

a) y = sin 0,5x + 1

b) y = 2 cos 2x + 2

2145 Hur många perioder har kurvan y = sin 4x i intervallet 0°≤ x ≤ 360°?

2146 Bestäm en funktion av typen y = a sin b(x + v) som ger grafen

y

2

x

10°

2147 Vilka av de sex funktionerna ger grafen?

y

1

x

180°

A y = – sin x B y = – cos x C y = sin (x + 180°) D y = cos (x + 180°) E y = sin (x – 90°) F y = – cos (x – 90°)

2148 Funktionen y = 200 sin 5x + 300 ger grafen

yc

x

a

b

Bestäm talen a, b och c.

2149 Bestäm en funktion av typen y = a sin b(x + v) + d som ger grafen

y

x

60°1

2

1

2150 Skissa grafen till y = 1 – 0,5 sin (3x – 90°). Kontrollera med din grafräknare.

2151 Rita en enkel skiss till grafen av funktionen

y = A sin 360°B

(x – C) + D

där A, B, C och D är positiva. Markera i figuren var talen A, B, C och D kan avläsas.

2152 f (x) = A sin kx + b

Putte påstår att graferna till f (–x) och – f (x) är identiska. Har han rätt eller fel? Motivera.

62 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

Kurvan y = tan x Funktionen y = tan x har perioden 180°. Vi kan visa detta med omskrivningen

tan (x + 180°) = sin ( )cos ( )

xx

++

180180

°° = −

−sincos

xx

= sincos

xx

= tan x

Vi börjar därför med att rita kurvan på ett intervall av längden 180° och vi väljer intervallet –90° < x < 90°.

Observera att tan x ej är definierad för de x-värden då cos x = 0, t ex x = –90° och x = 90°.

värdetabell

x –90° –89° –80° –45° –20° 0° 20° 45° 80° 89° 90°

tan xej

def.–57,3 –5,7 –1 –0,4 0 0,4 1 5,7 57,3

ej def.

graf När x närmar sig 90° från vänster kommer tan x att växa obegränsat.

När x närmar sig – 90° från höger kommer tan x att avta obegränsat.

asymptoter Linjerna x = –90° och x = 90° kallas lodräta asymptoter.

Figuren visar att en ekvation av typen tan x = k, där k är ett godtyckligt tal, har en och endast en lösning inom en period.

y

x

60°

1

1–60°

y = k

y = tan x

Vi ritar en graf med flera perioder med grafritande räknare.

Kontrollera också hur din räknare reagerar om du försöker beräkna tan (–90°) och tan (90°).

–4

4

360°–360°

Ekvationen tan x = k Den fullständiga lösningen till tan x = k är x = tan–1 k + n · 180°

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 63

Vi kan inte avläsa tan v direkt i enhetscirkeln.

Men om vi ritar in linjen x = 1 i enhetscirkeln kan vi använda denna för att avläsa tangens värde.

Förlängningen av radien bildar tillsammans med x = 1 och x-axeln en rätvinklig triangel där t ex

tan 60° = motstående katetnärliggande katet

= y-värdet

1 ≈ 1,73

Vi kan för alla vinklar avläsa tan v där radiens förlängning skär x = 1. Detta eftersom tan v = tan (v + n ∙180°) och tan (– v) = – tan v.

tan 150° = tan (– 30° + 180°) = – tan 30° ≈ – 0,58

2153

2154

tan v och enhetscirkeln

x

y

60°

1

1,73

1

–1

–1

a) Vilken period har y = tan 2x ?b) Hur många lösningar har ekvationen

tan 2x = 0,9 i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° ?

a) Perioden är 180°2

= 90°

b) Varje period har en lösning. I intervallet 0° ≤ v ≤ 360° ryms fyra perioder. Ekvationen har fyra lösningar. –3

3

360°0°

Bestäm med en decimal samtliga lösningar till ekvationena) tan 2x = 0,9 b) sin x = – 3,1 cos x

a) tan 2x = 0,9 b) sin x = – 3,1 cos x Dividera med cos x.

2x = tan–1 0,9 + n ∙ 180° sin xcos x

= –3,1

2x = 41,987. . . + n ∙ 180° tan x = –3,1

x ≈ 21,0° + n ∙ 90° x = tan–1(–3,1) + n ∙ 180°

x ≈ –72,1° + n ∙ 180°

x ≈ 107,9° + n ∙ 180°

adderar vi en period till –72,1° blir svaret positivt.

x

y

150°

1

−0,58

1

–1

–1

64 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

2155 Vilken period har

a) tan x c) tan x3

?

b) tan 2x d) tan 0,2 x

Lös ekvationen och svara med en decimal.

2156 a) tan x = 0,6 b) tan x = –5

2157 a) tan 2x = 1,3 b) tan 3x + 0,4 = 0

2158 a) tan x2

= 0,2 b) 2 tan x3

+ 5 = 0

2159 a) sin x = 0,8 cos x b) 2 sin x = cos x

2160 Har tan x något största eller minsta värde? Motivera.

2161 Finn två olika värden på x, ett positivt och ett negativt, så att tan x = 1.

2162 Antag att sin x = 0,6 och cos x = 0,8. Vilket värde har då tan x?

2163 Beräkna tan 270° med din räknare. Förklara ditt svar.

2164 Grafen visar y = tan kx . Vilket värde har k?

1

10°

y

x

90°

2165 Bestäm utan räknare tan a + tan (a + 180°) + tan (a + 360°) om du vet att tan a = 5.

2166 Lös ekvationen. Svara med en decimal.

a) sin x – 3 cos x = 0

b) 5 sin x + 2 cos x = 0

2167 Förenkla tan 190° – sincos

1010

°° utan räknare.

2168 Undersök om ekvationen tan 3x = 3,08 har några lösningar mellan 200° och 300°. Ange i så fall dessa.

2169 Undersök grafiskt om tan x = tan (180° – x).

2170 För vilka vinklar v i intervallet 0 till 360° är tan v negativt? Motivera ditt svar.

2171 Bestäm ekvationen till grafen

a) b)

1

360°

y

x

720°

1y = 1

360°

x

y

720°

2172 Undersök om tan x = – 190tan ( )x + °

för

alla värden på x. Visa i så fall detta.

2173 Ekvationen 4 tan 5(x + 10°) = 1 saknar lösningar i intervallet 180° < x < a°. Vilket är det största möjliga värdet på a?

2174 Lös ekvationen 4 cos2 x + 2 sin x cos x = 1 genom att först använda trigonometriska ettan.

2175 Finn ett x > 0 så att

tan–1 (2x) = cos–1 11x +

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 65

Kurvan y = a sin x + b cos x Exempel Astra undersöker funktionen

5

360°90°

5

y = 2 sin x + 3 cos x

y = 2 sin x + 3 cos x med sin grafritande räknare.

Astra tycker grafen ser ut som en sinusfunktion med amplituden ca 3,5.

Kan summan 2 sin x + 3 cos x skrivas som en sinusfunktion på formen c sin (x + v)?

allmänna fallet Vi utgår från det allmänna fallet y = a sin x + b cos x där a, b > 0.Om funktionen kan skrivas som y = c sin (x + v) ger det ekvationssystemet

Den andra ekvationen kan vi skriva om med additionsformeln för sinus.

Vi ser att ekvationerna är identiska om

a = c cos v b = c sin v

Vi använder detta ekvationssystem för att få fram formler för c respektive v.

Om ekvationerna kvadreras och adderas ledvis får vi

a2 + b2 = c2 cos2 v + c2 sin2 v

a2 + b2 = c2 (cos2 v + sin2 v) Trigonometriska ettan

c = √ a2 + b2

Vi utgår från ekvationssystemet igen. Om den andra ekvationen divideras ledvis med den första får vi

tan v = ba

Vi kan alltså skriva om y = a sin x + b cos x som en sinusfunktion

y = c sin (x + v) där v beräknas med formeln tan v = ba

och c = √ a2 + b2

y = a sin x + b cos x y = c sin (x + v)

y = a sin x + b cos x y = c cos v · sin x + c sin v · cos x

66 2.1 TriGonomeTriSka kurvor

Exempel forts Astras funktion y = 2 sin x + 3 cos x (a = 2, b = 3) kan skrivas på om på formen y = c sin (x + v) där:

tan v = ba

= 23

v = tan–1

23

≈ 33,7°

c = √ a 2 + b 2 = √ 13 ≈ 3,6

y = 2 sin x + 3 cos x ≈ 3,6 sin (x + 33,7°)

Vi kan på samma sätt även skriva om kurvor på formen y = a sin x – b cos x

Sammanfattning

y = a sin x + b cos x = a b2 2+ · sin (x + v)

y = a sin x – b cos x = a b2 2+ · sin (x – v)

Då a > 0, b > 0, tan v = ba, 0° < v < 90°.

2176

Skriv om funktionen y = 7 sin x – 24 cos x på formen y = c sin (x – v) och ange funktionens största värde.

c = √ 72 + 242 = 25

v = tan–1 (24/7) ≈ 73,7°

y ≈ 25 sin (x – 73,7°)

y = 25 är funktionens största värde.Kontrollera på din räknare att Y1 = 7 sin x – 24 cos x och Y2 = 25 sin (x – 73,7°)ger samma graf och att det största värdet är 25.

30

400°

30

100°

2.1 TriGonomeTriSka kurvor 67

2177 Bestäm grafiskt största värdet för y.

a) y = 6 cos x – 3

b) y = 15 – 4 sin (x + 35°)

c) y = 33 sin x + 56 cos x

d) y = 65 sin x – 72 cos x

2178 Skriv om uttrycket på formen y = c sin (x + v). Ange c exakt och v med en decimal. Kontrollera ditt svar grafiskt.

a) y = 6 sin x + 8 cos x

b) y = 10 sin x + 24 cos x

c) y = 8 sin x – 15 cos x

d) y = 7 sin x – 9 cos x

2179 Vilket är det minsta värde som funktionen f (x) = 10 + 60 sin x + 11 cos x kan anta?

2180 Förklara kortfattat varför största värdet för y = 5 cos x + 3 sin x inte blir 5 + 3 = 8.

2181 Lös grafiskt ekvationen sin x + √ 3 cos x =1 i intervallet 0° ≤ x ≤ 360°.

2182 Skriv summan av de två graferna nedan på formen y = c sin (x + v).

0,3x

y

360° 720°

2183 Går funktionen y = 2 sin x + cos 2x att skriva på formen y = c sin (x + v) ?

2184 Funktionen y = a sin x + (a + 1) cos x är given.

a) Bestäm det positiva talet a så att funk- tionens största värde blir 29.

b) Ange det minsta positiva x-värde för vilket y antar sitt största värde 29.

2185 Lös ekvationen algebraiskt. Svara med hela grader.

a) 3 sin x + 4 cos x = 1

b) 10 sin x + 24 cos x = 27

c) 2 sin x – cos x = 2

2186 Rita grafen till funktionen

f (2 x) = 3 sin 2x + cos2 x – sin2 x

Resultatet antyder att f (2 x) kan skrivas på formen y = c sin (x + v). Visa detta.

2187

1x

y

360° 720°

8

Ange ekvationen till kurvan ovan på formen y = a sin x + b cos x

2188 Härled och visa i detalj hur man kan skriva om y = a sin x – b cos x (a > 0, b > 0) till en sinusfunktion.

2189 Går det att skriva y = a sin x + b cos x som en cosinusfunktion?

68 2.2 RadianbegReppet

2.2 Radianbegreppet

Ett nytt vinkelmått

Exempel Indra undersöker derivatan av sin x med sin symbolhanterande räknare.

Räknaren, inställd på grader, ger att f (x) = sin x har derivatan f´(x) ≈ 0,017 453 29 cos x

Indra undrar om derivatan av sin x verkligen måste vara så krånglig?

Svaret är nej, men för att kunna hitta enklare samband måste vi använda oss av ett annat vinkelmått än grader. Det finns flera olika vinkelmått.

grader När vi mäter med grader är ett varv 360°. Grader användes redan av de babyloniska astronomerna och förmodligen är det antalet dagar på ett år som är bakgrunden.

Ett varv kan också sägas vara 400 nygrader, eller 400 gon. Vinkelmåttet används bl a inom lantmäteri för att underlätta beräkningar. Derivatan av sin x blir inte enklare med nygrader.

radian Ett helt annat sätt att mäta vinklar utgår från cirkelbågens längd. Om vi i enhetscirkeln markerar en båge med längden 1 längdenhet, får vi en vinkel som kallas 1 radian, vilket skrivs 1 rad. Figuren visar några medelpunktsvinklar i radianer.

v

1

1

v

1

2

v

1

x

v1

Radie = 1 Radie = 1 Radie = 1 Radie = 1

Båge = 1 Båge = 2 Båge = x Båge = 2π

v = 1 radian v = 2 radianer v = x radianer v = 2π radianer

nygrader, gon

2.2 RadianbegReppet 69

Definition

En vinkel är 1 radian om den i en cirkel ger en båge av radiens längd.

r

r1 radian

Mellan grader och radianer får vi följande omvandlingsformler:

Samband grader – radianer

Ett varv = 360° = 2ππ rad, d v s 180° = ππ rad

1° = ππ180

rad ≈ 0,017 45 rad

1 rad = 180°ππ

≈ 57,3°

För radianer utelämnas ofta beteckningen helt. Skriver vi sin 2 så ska detta tolkas som ”sinus för 2 radianer”. Menar vi ”sinus för 2 grader” måste vi skriva sin 2°. De formler och samband som vi tidigare har visat för vinklar i grader gäller också för vinklar i radianer.

På räknare brukar ”deg” stå för grader, ”gra” för nygrader och ”rad” för radianer. Det är viktigt att du kan kontrollera och ändra räknarens inställning.

2201

2202

Omvandla a) 98,1° till radianer b) 6,07 radianer till grader.

a) Sambandet 180° = π ger att 1° = π180

98,1° = 98,1 ∙ π180

≈ 1,71

b) Sambandet 180° = π ger att 1 rad = 180°π

6,07 = 6,07 ∙ 180°π

° ≈ 347,8°

Bestäm exakt sin π3

180° = π ger direkt att π3

= 180°3

= 60°

sin π3

=sin 60° = √32

exakta värden finns i tabell och formelblad.

70 2.2 RadianbegReppet

2203 Lös följande trigonometriska ekvationer. Svara i radianer med två decimaler. a) sin x = 0,93 c) tan x = 1,9

b) cos 2x = – 0,54 d) sin x3 4

+ π

= 0,98

a) sin x = 0,93 Om räknaren är ställd på grader (degree) så är sin–1 (0,93) = 68,434... ≈ 68,4°. Om räknaren är ställd på radianer så är sin–1 (0,93) = 1,194... ≈ 1,19 radianer.

Vi räknar i radianer.

perioden är 360° = 2π.

180° = π

x ≈ 1,19 + n · 2π eller x ≈ π – 1,19 + n · 2π x ≈ 1,95 + n · 2π b) cos 2x = – 0,54 2x ≈ ± 2,14 + n · 2π x ≈ ± 1,07 + n · π

c) tan x = 1,9

perioden är 180° = π

x ≈ 1,09 + n · π

d) sin x3

+ π4

= 0,98

x3

+ π4

≈ 1,370 + n · 2π eller x3

+ π4

≈ π – 1,370 + n · 2π

x3

≈ 0,585 + n · 2π x3

≈ 0,986 + n · 2π

x ≈ 1,76 + n · 6π x ≈ 2,96 + n · 6π

Lösningar i radianer till grundekvationerna:

Sammanfattning

sin x = k cos x = k tan x = k – 1 ≤ k ≤ 1 – 1 ≤ k ≤ 1 k godtyckligt tal

x = v + n · 2π x = ± v + n · 2π x = v + n · πeller där v = cos–1 k där v = tan–1 kx = π – v + n · 2π

där v = sin–1 k

2.2 RadianbegReppet 71

2204 Förklara hur du omvandlar från

a) grader till radianer

b) radianer till grader.

2205 Omvandla till radianer. Svara med två decimaler.

a) 34,3° b) 193,4° c) 698°

2206 Omvandla radiantalet till grader. Svara med en decimal.

a) 0,282 b) 5,74 c) – 10

2207 Motivera varför

a) 90° = π2

rad b) 4π rad = 720°

2208 Visa att

a) 300° = 5π3

rad b) 2π3

rad = 120°

2209 Beräkna med räknare

a) sin 2° b) sin 2

2210 Varför ger räknaren ett större värde för sin (1) om den är inställd på radianer än om den är inställd på grader?

2211 Beräkna sin π2

+ cos 5π utan räknare.

Kontrollera ditt svar med räknare.

2212 Lös ekvationen fullständigt. Svara i radianer med två decimaler.

a) sin x = 0,4 c) sin x = – 0,2

b) cos x = 0,9 d) tan x = 5

2213 Lös ekvationen fullständigt utan räknare. Använd enhetscirkeln.

Svara i radianer

a) sin x = 1 c) cos x = –1

b) sin x = 0 d) cos x = 0

2214 Lös ekvationen fullständigt utan räknare. Svara exakt.

a) sin 2 x = 0,5 c) cos (x – π4

) = √22

b) tan 2 x = 1 d) tan (x + π6

) = 3

2215 Beräkna utan räknare.

a) tan (– 6 π) + cos 94π

b) sin −

34π – tan −

π4

2216 Finns det någon vinkel som har samma värde i radianer och grader?

2217 Lös ekvationen i det angivna intervallet. Kontrollera ditt resultat grafiskt.

a) 20 – 3 cos π12

t = 22, 0 ≤ t ≤ 24

b) 12 sin ( π4

t – π5

) + 20 = 30, 0 ≤ t ≤ 8

2218 Är det någon skillnad om du skriver

a) sin2 x eller (sin x)2

b) tan–1 x eller (tan x)–1?

2219 Lös ekvationen

a) sin 2x – sin x = 0

b) 22 2

sin cossin cos

x xx x+

= 1

2220 Två punkter P och Q på enhetscirkeln har x-koordinaterna 0,4 och 0,5. Hur lång är cirkelbågen mellan P och Q?

2221 Låt f (x) = cos–1 (cos x)

a) Vad betyder f (x) och vad bör det bli?

b) Testa ditt svar i a) genom att beräkna f (x) för x = 1, 2, 3, 4.

c) Försök förklara resultatet i b).

72 2.2 RadianbegReppet

Cirkelsektorn och radianerMed radianer som vinkelmått får vi nya enkla samband för cirkelsektorns båge och area.

Exempel Cirkelbågens längd är (vinkelns andel av hela varvet) × (hela cirkelns omkrets)

Om medelpunktsvinkeln är 60°

så är bågens längd = 60°

360° × hela cirkelns omkrets.

Om medelpunktsvinkeln är 2 radianer

så är bågens längd = 2

2π × hela cirkelns omkrets.

På motsvarande sätt kan vi härleda nya formler för cirkelsektorn:

2222

Cirkelsektorns

båge och areaCirkelbågens längd b

Vinkeln v mäts i grader. Vinkeln v mäts i radianer.

b = v

360 · 2πr b = v

2π· 2πr = v · r

Cirkelsektorns area A

Vinkeln v mäts i grader. Vinkeln v mäts i radianer.

A = v

360 · πr 2 A = v

2π· πr 2 = v r⋅ 2

2

A = v

360 · 2πr · r

2 = b r⋅

2A = v r r⋅ ⋅

2 = b r⋅

2

En cirkelsektor med radien 2,5 m har medelpunktsvinkeln 0,75 radianer.a) Bestäm cirkelbågens längd.b) Bestäm cirkelsektorns area.

a) Bågen b = v · r = 0,75 · 2,5 m ≈ 1,9 m

b) Arean A = v · r 2

2 = 0,75 · 2,52

2 m2 ≈ 2,3 m2

du kan också använda formeln A = b r⋅2

r

cirkelbåge

vcirkelsektor

medelpunktsvinkel

2.2 RadianbegReppet 73

2223 Beräkna längden av cirkelbågen samt cirkelsektorns area om radien är 6,5 m och medelpunktsvinkeln är

a) 0,45 rad c) 2,87 rad

b) 82° d) 173°

2224 Bestäm vinkeln v i grader om

a) r = 120 m och b = 3,2 m

b) r = 0,47 m och b = 0,56 m

v br

2225 I en enhetscirkel har punkten P vinkeln v = 2,3 radianer. Hur lång är bågen b ?

x

y

v

1

1

–1

–1

P b

2226 En rund 6-bitars tårta har diametern 20 cm. Vilken omkrets har en bit?

2227 Sekundvisaren på en klocka är 1,3 cm. Hur långt rör sig visarspetsen på 20 s?

2228 Från jorden ser vi månen under en vinkel av 0,5°. Uppskatta månens diameter om

avståndet till månen är 384 000 km.

2229 Förklara hur du med hjälp av definitionen av 1 radian kan ange ett uttryck för cirkelbågens längd om radien är a cm och medelpunktsvinkeln är 2 radianer.

2230 Latituden för en punkt P definieras som vinkeln POE, där OE är radien, 6 370 km,

i ekvatorcirkeln och bå-gen PE är en del av meri-dianen genom P. Sveriges sydligaste punkt Smygehuk har latitud 55,3°.

a) Hur långt från ekvatorn ligger Sveriges sydligaste punkt?

b) Sverige är cirka 157 mil långt. Vilken latitud har Sveriges nordligaste punkt?

2231 En drivrem är spänd över två runda hjul med radierna 15 cm och 16 cm.

a) Hur många radianer vrider sig det större hjulet när det mindre vridit sig ett varv?

b) Drivremmen har hastigheten 5,0 m/s. Bestäm vinkelhastigheten i radianer per minut för de båda hjulen.

2232 Ange ett uttryck för cirkelsegmentets area (det färgade området).

v

r

2233 Två cirklar med radien 1,0 m är placerade så att deras medelpunkter är 1,0 m ifrån varandra. Hur stor area täcker de tillsammans?

O

P

E

74 2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Derivatan av sin x och cos xVi ska nu bestämma derivatan av f(x) = sin x då vinkeln x anges i radianer.

Om vi skissar hur grafens lutning varierar så verkar det troligt att derivatan är en cosinusfunktion, se figur intill.

Vi använder derivatans definition för f(x) = sin x.

derivatans definition f ′ (x) = lim ( ) ( )h

f x h f xh→

−0

+ = lim sin ( ) sinh

x h xh→

−0

+

Vi använder additionssatsen för sinus och omformar differenskvoten

differenskvot sin ( ) sinx h x

h+ − = sin cos cos sin sinx h x h x

h+ − =

= sin cos sinx h xh

− + cos sinx hh

= sin x · cos hh

− 1 + cos x · sin hh

Eftersom sin x och cos x inte beror av h,  

bestäms derivatans värde av gränsvärdena: lim cosh

hh→

−0

1 och lim sinh

hh→0

Vi undersöker gränsvärdena numeriskt med räknaren inställd på radianer.

h cos h – 1

hsin h

h

0,1

0,001

0,000 01

–0,049 958 35

–0,000 5

–0,000 005

0,998 334 17

0,999 999 83

1

Av tabellen är det rimligt att dra slutsatsen att

gränsvärden lim cosh

hh→

−0

1 = 0 och lim sinh

hh→0

= 1

0

0

+

+–

y = sin x

2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator 75

Vi kan nu slutföra härledningen av derivatan till sin x.

f ′ (x) = lim sin ( ) sinh

x h xh→

−0

+ =

= sin x · lim cosh

hh→

−

0

1 + cos x · lim sinh

hh→

0

f ′ (x) = sin x ∙ 0 + cos x ∙ 1 = cos x

På liknande sätt kan vi visa att f (x) = cos x har derivatan f ′ (x) = – sin x.

Sammanfattning

2301

2302

Om x anges i radianer får vi enkla derivator till sin x och cos x.

f (x ) = sin x har derivatan f ' (x ) = cos x.

f (x ) = cos x har derivatan f ' (x ) = – sin x.

Bestäm f ′ π2

då f(x) = 3 sin x – 2 cos x

f (x) = 3 sin x – 2 cos xf ′ (x) = 3 cos x – 2 (– sin x) = 3 cos x + 2 sin x

f ′ π2

= 3 cos π2

+ 2 sin π2

= 3 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2

Svar: f ′ π2

= 2

För vilka x-värden har grafen till f (x) = sin x en tangent med lutningen 0,5? Svara exakt.

Vi söker x-värden så att f ′ (x) = 0,5.

f (x) = sin x

f ′ (x) = cos x ger ekvationen

cos x = 0,5

x = ± π3

+ n · 2π

Svar: Lutningen är 0,5 då x = ± π3

+ n · 2π

76 2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator

Bestäm f ′ (x).

2303 a) f (x) = 2 sin x c) f (x) = – 5 cos x

b) f (x) = 3 cos x d) f (x) = – 9 sin x

2304 a) f (x) = 2 cos x + 5 sin x

b) f (x) = 1 – 2 cos x + 1,3 sin x

c) f (x) = 3x – 0,2 sin x

d) f (x) = x3

– cos x

3

2305 Vad krävs för att y = sin x ska ha den enkla derivatan y ′ = cos x?

2306 Bestäm

a) f ′ (0) då f (x) = x2 – 2 sin x + 3

b) h ′ (π) då h (t) = 0,7 sin t – 1,1 cos t

c) s ′ (1,2) då s (r) = 3,2 cos r + 0,3 r 3

2307 a) Vilken lutning har tangenten till y = sin x i punkten (0, 0)?

b) Bestäm ekvationen för tangenten till y = sin x i punkten (0, 0).

2308 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = cos x då x = π /2.

2309 a) För vilka vinklar i intervallet 0 ≤ x ≤ 2π är derivatan till y = sin x negativ?

b) Rita med grafräknaren derivatan till y = sin x. (t ex Y = nDeriv(sinX,x,x) ). och kontrollera ditt svar i a). Motivera!

2310 Lös ekvationen f ′ (x) = 0 om f (x) = sin x. Tolka och kommentera ditt svar.

2311 Vilket är det största värdet derivatan till f (x) = 1,5 sin x kan ha? Motivera.

2312 Funktionen f (x) = A sin x + B cos x är given. Ange talen A och B om

f (0) = 4 och f ′ (0) = 5.

2313 Bestäm det exakta värdet av f ′ ( π4

) om

f (x) = sin x2

– cos x3

2314 Bestäm för vilka x-värden kurvan f (x) =0,3 x + cos x har en extrempunkt.

2315 y = sin x har i origo tangenten y = x. För ”små” x-värden är därför sin x ≈ x.

a) Undersök grafiskt och jämför sin x med x om x = 0,11.

b) Gäller sambandet sin x ≈ x för ”små” x-värden, även för vinkelenheten grader?

2316 Bestäm exakt ekvationen för två tangenter till y = sin x som har lutningen 0,5.

2317 Med räknaren inställd på radianer fann vi att

lim cos h – 1

h = 0 och lim

sin hh

= 1

(se tabellen på s. 74)

a) Undersök och bestäm på samma sätt gränsvärdena med räknaren inställd på grader.

b) Vad blir derivatan av sin x om x anges i grader istället för radianer?

2318 Härled derivatan till f (x) = cos x.

2319 Bestäm gränsvärdet

lim sin ( ) sin ( )h

x h x hh→

− −0 2

+

Kommentera ditt resultat.

2320 Går det att bestämma talet a så att funktionen

x + a x < 0 f (x) =

cos x x ≥ 0

för x = 0 får en

a) sammanhängande graf

b) tangent i punkten?

h → 0 h → 0

2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator 77

Aktivitet ✽ Undersök

Du kan derivera olika typer av funktioner, t ex:

y = x 4 + 3x + 2 y ′ = 4 x 3 + 3

y = 4 e x y ′ = 4 e x

y = 3 sin x y ′ = 3 cos x

Nu ska du undersöka hur derivatan ser ut för så kallade sammansatta funktioner. De består av en ”yttre” funktion och en ”inre” funktion.

Sammansatt funktion

Yttre funktion Inre funktion

y = (e x + 1)3 ”upphöjt till 3” e x + 1

y = (sin x + 3)4 ”upphöjt till 4” sin x + 3

y = sin (x 2 + 1) ”sinus för” x 2 + 1

De sammansatta funktionerna kan skrivas på den generella formen y = f ( g (x)).

1 Tudor undersöker derivatorna till de tre funk- tionerna ovan med en symbolhanterande räk-

nare. Studera skärmbildens resultat och försök hitta ett mönster. Hur beror derivatan av den yttre respektive inre funktionen?

Formulera ett samband med ord.

2 Tudor undersöker ytterligare en sammansatt funktion. Stämmer derivatan med det mönster du fann i uppgift 1?

3 Försök att fomulera en generell regel för hur man ska derivera en sammansatt funktion y = f (g(x)).

Denna regel kallas ofta kedjeregeln.

En sammansatt funktion består av en yttre och en inre funktion.

Kedjeregeln

78 2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator

Derivatan av sammansatta funktioner sammansatt funktion En funktion av typen y = sin 3x kan ses som sammansatt av två

funktioner, en yttre funktion y = sin u och en inre funktion u = 3x. Vi börjar med att ge exempel på några sammansatta funktioner.

yttre och inre funktion Sammansatt funktion Yttre funktion Inre funktion

y = cos 2x y = cos u u = 2x

y = (2x) 3 y = u 3 u = 2x

y = (2x + 1) 4 y = u 4 u = 2x + 1

y = sin2 x = (sin x) 2 y = u 2 u = sin x

y = f ( g (x )) y = f (u) u = g (x)

I dessa exempel kan vi bestämma f ′ (u) och g ′ (x).

Vi vill nu undersöka om derivatan av den sammansatta funktionen y = f ( g(x)) kan uttryckas med hjälp av f ′ (u) och g ′ (x).

Exempel Vilken derivata har den sammansatta funktionen y = (1 + x3)2 ? I detta fall kan vi utveckla parentesen och sedan derivera y = (1 + x3)2 = 1 + 2 x3 + x6 y ′ = 6 x2 + 6 x5

Kan vi få detta resultat med hjälp av den yttre och inre funktionens derivata?

Den yttre funktionen y = f (u) = u2 har derivatan f ′ (u) = 2u = 2(1 + x3 ). Den inre funktionen u = g (x) = 1 + x 3 har derivatan g ′ (x) = 3x2

Produkten av f ′ (u) och g ′ (x) ger derivatan av den sammansatta funktionen:

y ′ = f ′ (u) · g ′ (x) = 2(1 + x 3 ) · 3 x 2 = 6x2 (1 + x 3) = 6x2 + 6x5

allmänt Detta resultat kan också troliggöras med ett allmänt resonemang:

g ′ (x) ≈ g x h g xh

( ) ( )+ − ger att g (x + h) ≈ g (x) + g ′ (x) · h

y ′ ≈ f g x h f g x

h( ( )) ( ( ))+ − ≈ f g x g x h f g x

h( ( ) ( ) ) ( ( ))+ ¢ ⋅ − =

= f u k f uh

( ) ( )+ − ≈ f u f u k f uh

( ) ( ) ( )+ ¢ ⋅ − =

= f u kh

¢ ( ) ⋅ = f g x g x hh

¢ ¢( ( )) ( )⋅ ⋅ = f ′ ( g (x)) · g ′ (x)

Deriveringsregeln vi funnit kallas kedjeregeln. Den kan skrivas:

Kedjeregeln

vi sätter g (x ) = u och g ' (x ) · h = k

Om y = f ( u ) och u = g ( x ) så gäller för y = f (g (x )) att y ' = f ' (g (x )) · g ' (x )

2.3 De trigonometriska funktionernas Derivator 79

2322 Ange först yttre och inre funktion och derivera sedan

a) y = sin 2x c) y = (x3 + 4)5

b) y = 2 cos (0,5x – 1) d) y = cos2 x

Derivera

2323 a) y = sin 9x b) y = cos 0,3x

2324 a) y = 15 sin x3 b) y = 3 cos 2π x

2325 a) y = 2 sin (5x + 1)

b) y = 4 cos ( π2

x – 3)

2326 a) y = sin2 x b) y = cos3 x

2327 Bestäm k så att kurvan y = sin kx har lutningen 2 i origo.

2328 Ange med hjälp av kedjeregeln en enkel deriveringsregel för funktioner av typen y = cos kx där k är en konstant.

2329 Vilka av nedanstående funktioner är inte sammansatta och går inte att derivera med kedjeregeln?

A y = sin x ∙ cos x C y = ln x 2

B y = cos (cos x) D y = xxsin

2321 Deriveraa) y = sin 5x c) y = (1 + sin x)3

b) y = 3 cos (2π x + 3) d) y = sin5 2x

a) y = sin 5x

y ′ = cos 5x · 5 = 5 cos 5x

Yttre: y = sin u inre: u = 5 xy' = ”yttre derivata” × ”inre derivata”

b) y = 3 cos (2 π x + 3) Yttre: y = 3 sin u inre: u = 2 π x + 3

y ′ = –3 sin (2π x + 3) · 2π = – 6π sin (2π x + 3)

c) y = (1 + sin x )3 Yttre: y = u3 inre: u = 1 + sin x

y ′ = 3(1 + sin x)2 · cos x

d) y = sin 5 2 x = (sin 2 x)5 Yttre: y = u 5 inre: u = sin 2xoBs sin 2x är också en sammansatt funktion. y ′ = 5 sin4 2 x · cos 2 x · 2 = 10 sin4 2 x · cos 2 x

Derivera med avseende på x.

2330 a) y = (1 + cos x)4 b) y = sin (1 + x 3)

2331 a) y = sin4 (2x – 1) b) y = sin (cos x)

2332 a) y = (1 + sin ax)n

b) y = A sin (bx + c) + d

2333 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan

y = 3 sin 2x – cos 2x då x = 34π

2334 Finn en funktion F som har derivatan

a) F ′ (x) = sin 2x b) F ′ (x) = cos 0,5x

2335 Bestäm dydx

om y = sin x° = sin πx180

Tolka ditt resultat.

2336 I den sammansatta funktionen

F (x) = f ( g (x)) är g (x) = cos x och f ′ (–1) = 2.

Bestäm F ′ (π).

2337 Visa att kurvan y = sin2 kx + b har största lutningen k.

2.4 Tillämpningar och problemlösningVi kan för alla reella tal t finna värden på sin t och cos t. När vi ska beskriva periodiska förlopp med trigonometriska funktioner representerar talet t ofta tiden. För att få en enkel derivata använder vi radianer om inget annat anges.

2401 En modell för hur vattentemperaturen y °C på den grekiska ön Naxos varierar under året beskrivs med funktionen y = 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19 där t är tiden i dygn räknat från årsskiftet. a) Bestäm funktionens period och amplitud. b) Vilken är den lägsta och den högsta vattentemperaturen under året? c) När kan man tidigast åka till Naxos om man vill att vattentemperaturen ska vara minst 20 °C ? d) Beräkna y ′ (121) genom att algebraiskt derivera y. Kontrollera med räknarens deriveringsfunktion. e) Tolka värdet av y ′ (121).

a) Funktionen y = sin kx har perioden 2πk

om x är i radianer.

Perioden = 2π0,0172

dygn = 365,301... ≈ 365 dygn.

Amplituden = 5 °C. Svar: Perioden är 365 dygn och amplituden är 5 °C.

b) Det största värdet för sin (0,0172t – 2,22) är 1 och det minsta är –1. Högsta vattentemperaturen = (5 · 1 + 19) °C = 24 °C. Lägsta vattentemperaturen = (5 · (–1) + 19) °C = 14 °C.

2.4 Tillämpningar och problemlösning 81

Problemlösningsstrategi

1. Förstå problemet c) Frågan ”När är y = 20?” ger ekvationen2. Gör upp en plan 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19 = 20 där t ligger i intervallet 0 till 365. Vi kan välja att lösa ekvationen algebraiskt eller grafiskt.

3. Genomför planen Algebraiskt Grafiskt

Vi skriver om ekvationen till 25

13

(141, 20) (300, 20)

0 365

sin (0,0172t – 2,22) = 0,2

vilket ger

0,0172t – 2,22 = 0,201

t ≈ 141

Det svarar mot den 21 maj.

eller

0,0172t – 2,22 = π – 0,201 t ≈ 300 Det svarar mot den 27 oktober.

4. Värdera resulatet Den tidigaste tidpunkten är omkring 20 maj, vilket verkar rimligt.

Svar: Man kan tidigast åka till Naxos ca 20 maj.

d) y = 5 sin (0,0172t – 2,22) + 19

y ′ = 5 cos (0,0172t – 2,22) · 0,0172

y ′ (121) = 5 · 0,0172 · cos (0,0172 · 121 – 2,22) = 0,085 … ≈ 0,1

Med räknarfunktionen nDeriv eller dy/dx får vi t ex nDeriv(5 sin (0,0172t – 2,22) + 19, X, 121) = 0,085 … ≈ 0,1

e) Att y ′ (121) = 0,1 betyder att vid t = 121, d v s ca 1 maj, stiger vattentemperaturen med hastigheten 0,1 °C/dygn.

Algebraiskt

eller grafiskt?

Ofta kan vi välja mellan att lösa en uppgift grafiskt eller algebraiskt. En algebraisk metod kan ge exakta svar, medan en grafisk ibland kan vara snabbare. Vissa uppgifter går bara att lösa algebraiskt, men ibland är det svårt eller t o m omöjligt att finna algebraiska metoder. Därför är det viktigt att behärska både algebraiska och grafiska metoder för att, t ex vid problem­lösning, kunna välja den lämpligaste metoden.

2.4 Tillämpningar och problemlösning

2402 I en växelströmskrets varierar strömmen y A enligt funktionen

y = 0,70 sin 100π t

där t är tiden i sekunder.

a) Bestäm strömmens största värde.

b) Ange växelströmmens period.

2403 Vid en mätning varierar en persons blodtryck y mmHg enligt funktionen

y = 100 + 20 sin 5,2t

där t är tiden i sekunder.

a) Bestäm högsta och lägsta blodtryck.

b) Bestäm amplitud och period.

c) Beräkna och tolka y(3) och y ′ (3).

2404 Varför bör vi använda radianer när vi använder trigonometriska funktioner i matematiska modeller?

2405 Ställ upp en funktion som har ett största värde 5 och ett minsta värde –3.

2406 Temperaturen y °C utanför ett hus varierar under ett dygn enligt funktionen

y = 4,5 – 8,5 sin πt12

där t är tiden i timmar räknat från midnatt.

a) Vad är temperaturen klockan 10.00?

b) Bestäm grafiskt när under dygnet som temperaturen är lägst respektive högst.

c) Beräkna y ′ (16) algebraiskt. Kontrollera med räknarens numeriska derivering.

d) Vad betyder y ′ (16) i detta fall?

2407 Vilket är det största möjliga värdet på derivatan till funktionen y = 4 – 2 cos 0,571x ? Motivera.

2408 Sant eller falskt? Motivera!

”Om värdet på k i funktionen y = A sin kx är större än π, har funktionen en period som är mindre än 2.”

2409

En biolog har under lång tid studerat antalet lodjur inom ett område. Hennes resultat visas i diagrammet.

y

40

x

2009 2010 2011 2012

60

20

Ant

al

År

a) Ställ upp en funktion som modell för hur antalet lodjur har varierat.

b) Hur många lodjur finns det i slutet av år 2015 om antalet fortsätter att variera enligt modellen?

2.4 Tillämpningar och problemlösning 83

2410 Enligt en prognos kommer ett företag att sälja y enheter per månad enligt ekvationen

y = 4 000 + 2 000 cos (π t/6)

där t är tiden i månader efter årsskiftet. Skissa grafen för ett år för hand, utan att använda räknaren.

2411

När vi andas in och ut varierar luft­strömmens hastighet med tiden. Vid en mätning på en person i vila gavs lufthastig­heten v (t) liter/s efter t sekunder av

v (t) = 0,85 sin (π t /3).

a) Vad var den totala tiden för en inandning och en utandning?

b) Bestäm och tolka vad v ′ (t) beskriver i detta fall.

c) Bestäm det största värdet för v ′ (t).

d) Hur förändras funktionen v (t) om personen istället joggar?

2412 Lös ekvationen x2 = sin x.

2413 Bestäm y ′ (π) om y = e sin x

2414 Bestäm y ′ (x) om y (x) = sin2 x + cos2 x. Förklara ditt resultat.

2415 Dagens längd y h i Stockholm varierar approximativt enligt sinusfunktionen

y = 494

+ 254

sin 2 82365

π( )x −

där x är tiden i dygn och x = 1 svarar mot 1 januari.

a) Hur lång är den längsta dagen?

b) Hur lång är den kortaste dagen?

c) Bestäm algebraiskt när dag och natt är lika långa, kontrollera grafiskt.

d) Bestäm och tolka vad y ′ (x) beskriver.

2416 Enligt en modell kan dagens längd y h i Göteborg beräknas med funktionen

y = 5,51 sin (0,017 165 x – 1,394) + 12,25

där x är tiden i dygn räknat från årsskiftet.

a) Bestäm funktionens period.

b) Beräkna när dagens längd ökar som snabbast och hur fort den då ökar.

84 2.4 Tillämpningar och problemlösning

2417 Vattendjupet y m vid en kaj ändras på grund av tidvattnet enligt ekvationen

y = 5,0 + 2,0 cos π( )t − 26

där t är tiden i timmar räknat från midnatt.

a) När kan ett lastfartyg som kräver 6,0 meters djup lägga till vid kajen?

b) Bestäm när vattendjupet stiger respek­ tive sjunker som snabbast samt hur fort djupet då ändras.

2418 I en växelströmskrets är t tiden i s,

spänningen är u = û sin (314t – 0,52), û = 65 V,

och strömmen är i = î sin 314t, î = 0,72 A.

Ange strömmen vid den första tid­ punkt (t > 0) då spänningen är 0 V.

2419 Undersök och bestäm ett samband för skärningspunkterna mellan

y = sin x + x och y = x.

2420 Vilken period har funktionen y = 5 sin x ∙ cos x? Motivera!

2421

y

x

3,8

8

°C

mån9,8

17

1

Figuren visar dygnsmedeltemperaturen för en ort i södra Sverige.

a) Bestäm en funktion

y = A sin (bx + c) + d

som ger denna graf.

b) Beräkna och tolka y (8).

c) Beräkna och tolka y ′ (8).

2422 Ställ upp en trigonometrisk funktion som uppfyller y ′′ + 9 y = 0.

2.4 Tillämpningar och problemlösning 85

Aktivitet ✽ Laborera

1 Häng en vikt i fjädern så den hänger stilla utan att svänga upp och ned. Detta är viktens jämviktsläge där läget i y­led är 0.

a) Sätt vikten i lätt svängning upp och ned. Mät tiden för 10 svängningar från viktens nedersta läge. Mät avståndet mellan viktens nedersta och översta läget.

b) Bestäm med hjälp av dina mätvärden svängningens periodtid och amplitud.

c) Ställ upp en funktion på formen y = A sin kt som visar hur viktens läge i y – led varierar

med tiden t s där k = 2πT

Kontrollera din funktion med grafräknare.

2 a) Sätt vikten i en ny mindre svängning och bestäm svängningens periodtid, amplitud och funktion på formen y = A sin kt.

b) Jämför ditt resultat med tidigare svängning. Vilka likheter och skillnader ser du? Kontrollera gärna din slutsats med ytterligare undersökningar.

3 Hur förändras svängningens periodtid om du upprepar försöket med en lite tyngre eller lättare vikt? Gör först en hypotes och undersök sedan med mätningar.

Finn en funktion

Materiel: Fjäder, stativ, vikter, linjal, tidtagarur, grafräknare

4 Denna typ av svängning kallas harmonisk svängning. Teoretiskt kan man visa att svängningens periodtid är oberoende av svängningens amplitud och kan beräknas med

formeln T = 2π √mk

där m är viktens massa i kg

och k är en fjäderkonstant.

Bestäm med hjälp av dina mätvärden fjäderkonstanten k.

5 Gör en klocka.

a) Beräkna teoretiskt den vikt som ger svängningstiden 1 s.

b) Kontrollera med mätningar om din klocka går rätt.

86 2.4 Tillämpningar och problemlösning

Tema

Radiovågor

En antenn kan sedan fånga upp radiovågorna till en mottagare, som sorterar bort bärvågen och överför variationerna till högtalaren. Där blir de ljud igen som vi kan uppfatta.

Den första radiosändningen över Atlanten genom fördes 1901 av italienaren Marconi. I Sverige startade utsändningarna av radio 1923 och TV 1956.

y

O

t

TA = amplitud

a = 2πT

= 2π f

T = periodtid, s

f = frekvens, HzBärvåg: y = A sin at

Exempel på moduleringar om ljudet som ska överföras har signalen y = m sin bt.

y

O

t

AM-våg: y = A ∙ m sin bt ∙ sin atAmplituden moduleras.

y

O

t

FM-våg: y = A sin (at + m sin bt ).Frekvensen moduleras.

Mast med antenner för radio, tv, tele och data.

All modern kommunikationsteknik som radio, tv, mobiltelefoni etc bygger på våra kunskaper om elektromagnetiska vågor. På 1860­talet lyckades fysikern James Clerk Maxwell formulera de ekvationer som beskriver vågornas utbredning.

En elektromagnetisk våg, som t ex radiovågor, utbreder sig med ljusets hastighet, ca 3 ∙ 108 m/s. Radiovågor har hög frekvens. Med frekvens menar vi antal perioder per sekund, vilket mäts i enheten Hertz, Hz. Sambandet mellan en vågs frekvens, f, och dess periodtid, T s, är

f = 1T

eller T = 1f

Varje radiostation sänder ut en sinusformad bärvåg med hög frekvens. På olika sätt kan vi sedan modulera bärvågen så att den bär med sig informationen om ljudet den ska överföra.

Vi kan t ex variera bärvågens amplitud, AM (amplitudmodulering) eller frekvensen, FM (frekvensmodulering).

2.4 Tillämpningar och problemlösning 87

Exempel En radiostation sänder på en bärvåg med frekvensen 106,4 MHz.

Varje sekund svänger då vågen 106,4 ∙ 106 perioder vilket ger

Periodtid, T = 1f =

1106,4 · 106 ≈ 9,40 ∙ 10–9 s

Om bärvågens amplitud är 1 ger det att bärvågen kan skrivas

y = A sin at = A sin 2πT

t = A sin 2π f = sin (2π · 106,4 · 106 · t)

1 En radiokanal sänder på bärvågen 99,7 MHz.

a) Hur många perioder svänger bärvågen varje sekund?

b) Beräkna bärvågens period.

c) Hur lång tid tar det för radiosignalen att färdas 100 mil?

2 Ett ungt mänskligt öra uppfattar ljud mellan 20 – 20 000 Hz.

Vilka periodtider har de ljudvågor örat kan uppfatta?

3 En mobiltelefon tar emot signaler med periodtiden 1 ns = 1 ∙ 10–9 s.

Vilken frekvens har denna signal?

4 En våglängd är den längd en våg färdas under en period, dvs (vågens hastighet) ∙ (vågens periodtid). Vilken våglängd har en bärvåg med frekvensen 100 MHz?

5 Ange en bärvåg på formen y = A sin at som har frekvensen 100 MHz och amplituden 5.

6 En bärvåg y = 3 sin 4t ska överföra signalen y = 2 sin t.

Använd din grafräknare och bestäm största och minsta värde för

a) AM­vågen: y = 3 ∙ 2 sin t ∙ sin 4t

b) FM­vågen: y = 3 sin (4t + 2 sin t)

7 Undersök med din räknare för några olika

värden på a funktionen

y = 2 ∙ sin ax ∙ sin 6x.

Kan vi få en ”ren” sinuskurva?

8 Undersök med din räknare för några olika värden på a funktionen

y = 2 sin (6x + sin ax).

Vad händer när a > 6?

88 2 TrigonomeTri och grafer

Aktivitet ✽ Diskutera

Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare. Sant eller falskt? Motivera svaret.

1 Perioden för y = sin 2x är 720°

2 Differensen mellan största och minsta värdet för en sinusfunktion kallas amplitud.

3 π9

rad är en större vinkel än 18°.

4 sin 4 är mindre än noll.

5 Funktionen y = 2 cos 3x – 2 har minimi- värdet 0.

6 Det finns två x-värden i intervallet 0 ≤ x ≤ π för vilka tan x inte är definierad.

7 I en cirkelsektor med radien 3 cm och medel- punktsvinkeln 3 rad är bågens längd 6 cm.

8 Ekvationen cos v = 0,5 saknar lösningar i intervallet π ≤ x ≤ 2 π

9 Ekvationen tan x = a har alltid en lösning, oavsett värdet på a.

10 Det finns tangenter till kurvan

y x=1 5 2

3, cos ( )− π som har lutningen 2.

11 Kurvan y = cos (x – 60°) och kurvan

y = cos x2

skär varandra tre gånger i intervallet

0° ≤ x ≤ 360°

12 Om f (x) = sin cosx x2 2

− så är ′f ( )π4

12

=

12 Ekvationen sin cos2 2x x= har

lösningen x n= +π π4 2

⋅

Sant eller falskt?

2 TrigonomeTri och grafer 89

Sammanfattning 2

Trigonometriska kurvor

Sinus- och cosinuskurvory = A sin kx Period: 360°/k Amplitud: A

1x

1360°

y

2

2y = sin x

y = 2 sin x, amplitud = 2

y = sin 2x,period = 180°

90°

y = sin (x + v) + d är från sin x förskjuten

◗ uppåt om d > 0, nedåt om d < 0

◗ åt höger om v < 0 och åt vänster om v > 0.

Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt.

y

1

1

180° 360°

x

60°60° 240° 300°

y = cos x

y = cos (x + 60°) y = cos (x – 30°)

Kurvan y = tan xy = tan x = sin x/cos x y

x

90°

1

190°

Period =180°

Kurvan närmar sig linjerna x = – 90° och x = 90° där den ej är definierad.

Kurvan y = a sin x + b cos x

y = a sin x + b cos x = √ a2 + b2 · sin (x + v)

y = a sin x – b cos x = √ a2 + b2 · sin (x – v)

där a > 0, b > 0, tan v = b/a, 0° < v < 90°

RadianbegreppetEtt varv = 360° = 2π rad, dvs 180° = π rad

1° = π

180 rad ≈ 0,001745 rad

1 rad = 180°

π ≈ 57,3°

För en cirkelbåge ger v i radianer

r

b = v · r vBågen b = v ∙ r

Arean A = v · r 2

2 =

b · r2

Grundekvationerna i radianersin x = k (–1 ≤ k ≤ 1)x = v + n ∙ 2π ellerx = (π – v) + n ∙ 2π där v = sin–1 k

cos x = k (–1 ≤ k ≤ 1)x =± v + n ∙ 2π där v = cos –1 k

tan x = k (k godtyckligt tal)x = v + n ∙ π där v = tan –1 k

De trigonometriska funktionernas derivatorx i radianer ger atty = sin x har derivatan y ′ = cos xy = cos x har derivatan y ′ = –sin x

KedjeregelnEn sammansatt funktion y = f ( g (x)) hary′= f ′(g(x)) ∙ g′(x)

Exempel: yttre derivatan · inre derivatan

y = sin 5x y ′= cos 5x ∙ 5 = 5 cos 5xy = sin2 x = (sin x)2 y′= 2 sin x ∙ cos x

Tillämpningar och problemlösningI de flesta tillämpningar använder vi radianer för att få en enklare derivata.

Allmän problemlösningsstrategi1. Förstå problemet 3. Genomför planen2. Gör upp en plan 4. Värdera resultatet

2 TrigonomeTri och grafer 89

90 2 TrigonomeTri och grafer

Kan du det här? 2

MomentBegrepp som du ska kunna använda och beskriva

Du ska ha strategier för att kunna

Trigonometriska kurvor

Sinuskurva

Cosinuskurva

Period

Amplitud

Kurvan y = tan x

Kurvan y = a sin x + b cos x

•bestämma kurvors period och amplitud•skissa och bestämma sinus- och

cosinuskurvor med olika förskjutningar•lösa trigonometriska ekvationer och

olikheter grafiskt•lösa ekvationer av typen tan ax = k•bestämma amplitud och förskjutning för

y = a sinx + b cosx

Radianbegreppet Radian •omvandla mellan grader och radianer•beräkna värden och lösa ekvationer med

radianer•beräkna cirkelsektors båge och area.

De trigonometriska funktionernas derivator

Derivatan till sin x och cos x

Sammansatt funktion

Kedjeregeln

•bestämma derivator för sin x, cos x och sammansatta funktioner.

Tillämpningar och problemlösning

•lösa olika matematiska problem och tillämpningar.

90 2 TrigonomeTri och grafer

2 TrigonomeTri och grafer 91

Diagnos 2

Trigonometriska kurvor

1 Bestäm period och amplitud för kurvan.

y

10

x

100°

2 Låt y = 4 sin x3

a) Ange period och amplitud.

b) Skissa kurvan i stora drag.

c) Undersök grafiskt för vilka x i intervallet

0 < x < 720° som 4 sin x3

> 2

3 Sant eller falskt? Motivera. ”Funktionerna y = 2 sin x och y = 1,5 cos 2 x har lika många lösningar till ekvationen y = 1 i intervallet 0 < x < π .”

4 Bestäm de positiva talen A, b, c och d så att funktionen y = A sin b ( x + c ) + d ger grafen

y

100 x

60°

5 Ekvationen tan a x = 1 har lösningen x = 22,5° + n ∙ 90° . Bestäm a.

Radianbegreppet

6 Omvandla

a) 210° till radianer b) 4 radianer till grader.

7 Lös ekvationen fullständigt. Svara i radianer med två decimaler.

a) cos x = 0,8 c) tan ( x – 0,25) = 1

b) sin 2 x = 0,77 d) sin (8x – 1,1) = 0,1

8 Visa hur formeln för en cirkelsektors båge förändras om medelpunktsvinkeln ges i radianer istället för grader.

De trigonometriska funktionernas derivator

9 Derivera

a) y = 5 cos x – 3 sin x b) y = 3 x 2 – 4 cos x

10 Vilken lutning har tangenten till kurvan y = 3 cos x – 2 sin x i den punkt där x = π /2?

11 Derivera

a) f(t) = 5 sin 2t b) y = 3 cos (x2 + 1)

12 För vilka x i intervallet 0 < x < π har y = cos 2 x en negativ derivata?

Tillämpningar och problemlösning

13 En jordbävning till havs skapar en stor våg. Vattendjupet d m i en hamn som nås av vågen ges av

d(t) = 11 – 12 sin 2πt15

0 ≤ t ≤ T

där t är tiden i min och T perioden.

a) Bestäm vågens period.

b) Mellan vilka tidpunkter är hamnen torrlagd?

14 Nils påstår att för y = 2 – 0,5 sin 3x är funktionens största värde större än derivatans största värde. Har han rätt?

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan xxx.

2 TrigonomeTri och grafer 91

92 2 TrigonomeTri och grafer

Blandade övningar kapitel 2

Del I Utan räknare

1 Ange period och amplitud för

a) y = 3 sin 2x b) y = 1 + 4 cos 0,5x

2 Derivera

a) y = 2 sin 5x – 3 cos x

b) y = (x2 + 1)3

3 Omvandla 7π3

till grader.

4 Bestäm längden av cirkelsektorns båge.

4,3

(cm)

2,0 radianer

5 Ange samtliga lösningar, i radianer, till

ekvationen sin x3

= 0,5.

6 Bestäm det positiva talet C så att funktionen f (x) = C sin 5x + 8

a) får maximivärdet 12

b) uppfyller villkoret f (π/6) = 20.

7 Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar i intervallet 0 ≤ ≤x π ?

A cos x = –0,3

B sin x = 0,8 (NP)

8 Figuren visar grafen till funktionen

y = A sin kx + b

Ange konstanterna A, k och b. (NP)

y

3

x

60°

2

1

–1120°30° 180°–60°

9 Skriv i storleksordning med den minsta först. Motivera ditt svar.

sin 25° cos π5

√ 14

tan π3

10 Derivatan till funktionen f (x) = sin 2x – x har ett nollställe i intervallet π/2 < x < π Ange detta nollställe. Svara i radianer.

11 Bestäm lutningen för tangenten till kurvan

y x= sin2 i den punkt där x = π/6.

12 Vilket är det största värdet som funktionen y = 6 sin x + 8 cos x kan anta?

13 Ge en funktion på formen y = A sin kx för vilken y′(π) = 2.

14 Lös ekvationen sin 2x = sin (x + π /3) i intervallet 0 < x < 2π

92 2 TrigonomeTri och grafer92 2 TrigonomeTri och grafer

2 TrigonomeTri och grafer 93

15 En ton låter olika på olika instrument. Förkla-ringen till detta är att klangen består av en grundton och flera övertoner och att över-tonerna är olika starka på olika instrument.

Om y = a sin x motsvarar grundtonen så beskriver y = b sin 2 x den 1:a övertonen och y = c sin 3 x den 2:a övertonen o s v.

Figuren visar grafen till y = a sin x + c sin 3x. Funktionen beskriver en grundton och dess

andra överton. Bestäm konstanterna a och c.

y

4x

30°

8

–4

–8

360°180°

Del II Med räknare

16 Bestäm i hela grader de lösningar till ekvationen tan 3x = 0,810 som ligger i

intervallet 0° ≤ x ≤ 180°.

17 Sant eller falskt? ”En kurvas amplitud är lika med dess största värde.” Motivera ditt svar.

18 Figuren visar en cirkel med radien 9,5 cm.

a) Beräkna triangelns area.

b) Beräkna det färgade cirkel-segmentets area.

19 Finn ett värde på k så att sin k° > sin k.

20 Antalet renar inom ett område uppskattas till

y = 3 900 + 1 200 cos 0,04 t

t månader efter årsskiftet 2010/11.

a) Hur lång tid efter årsskiftet 2010/11 slutar antalet renar att minska?

b) Vilken förändringshastighet ger modellen för 1 mars 2012?

21 Bestäm en funktion på formen y = A sin kx + B som uppfyller villkoren:

◗ A > 0

◗ Värdemängden är – 4 ≤ y ≤ 2

◗ De lokala maximipunkterna har

x-koordinaterna x = π8

+ n · π2

för alla heltal n. (NP)

22 Bestäm antalet lösningar till ekvationen

sin2

101

2

x x= − , där x mäts i radianer.

(NP)

23 Har kurvan y = sin 2x + x någon största lutning?

9,594°

9,5

(cm)

2 TrigonomeTri och grafer 932 TrigonomeTri och grafer 93

94 2 TrigonomeTri och grafer

24 För att programmera en automatisk ström- brytare har en elingenjör satt upp en mate-

matisk modell som anger den tidpunkt M på dygnet vid vilken det börjar bli mörkt på en viss ort:

M = 19 – 4 cos π( )360180

− t

där M är tiden i timmar (M = 12,5 motsvarar kl 12.30) och t är tiden i dagar (t = 1 motsva-rar den 1 januari). I modellen förutsätts alla månader omfatta 30 dagar.

Beräkna enligt modellen

a) när det börjar bli mörkt i mitten av april

b) i vilka månader de dagar ligger då det börjar bli mörkt klockan 18

c) när under året tidpunkten för mörkrets inbrott ändras snabbast. (NP)

25 Förklara varför ekvationen

2 sin (2 x – π / 4) + 3cos2 x + 1

= 0

saknar lösningar.

26 Vattenvolymen i en insjö, V (t) m3, där t är tiden i år, kan uppskattas med formeln

V (t) = 300 000 – 72 000π

cos π t – 45 000 t

0 < t < 1

Variationerna i V beror dels av nederbörden, dels av vattenuttaget till ett kraftverk.

För vilka värden på t i det angivna intervallet ökar insjöns vattenvolym?

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilkamatematiskakunskaperduharvisat

•hurvälduharförklaratdittarbeteochmotiveratdina slutsatser

•hurvälduharredovisatdittarbeteochgenomfört dina beräkningar.

27 Du ska undersöka antalet nollställen till funktionen y = a sin x + b sin 2 x (a ≠ 0, b ≠ 0)

a) Undersök grafiskt antal nollställen till funktionen y = 3 sin x + sin 2x (0 ≤ x ≤ 360°)

Visa med en enkel skiss.

b) Lös ekvationen 3 sin x + sin 2x = 0 algebraiskt ( 0 360≤ ≤x ° ).

c) Undersök grafiskt antalet nollställen till funktionen y = 4 sin x + 7 sin 2x (0 ≤ x ≤ 360°) Visa med en enkel skiss.

d) Lös ekvationen 4 sin x + 7 sin 2x = 0 algebraiskt (0 ≤ x ≤ 360°).

e) Undersök hur antalet nollställen till funktionen y = a sin x + b sin 2x varierar med valet av konstanterna a och b (0 ≤ x ≤ 360°).

28 Lina tittar i en gammal almanacka och ser att i Göteborg 2009 var solen ovanför horisonten enligt följande:

1/1: 08.58 – 15.34 1/9: 06.15 – 20.08

1/3: 07.08 – 17.42 1/12: 08.33 – 15.29

1/6: 04.24 – 21.56

a) Uppskatta med hjälp av värdena ovan när dagen var som längst.

b) Använd din räknare/dator och anpassa en funktion till värdena. Beräkna, med hjälp av din funktion, vilken dag som var längst år 2009.

94 2 TrigonomeTri och grafer94 2 TrigonomeTri och grafer

2 TrigonomeTri och grafer 95

Blandade övningar kapitel 1–2

Del I Utan räknare

1 Omvandla 720° till radianer.

2 Bestäm cos 7 π .

3 Derivera y = sin 22

x

4 Vilket är det största värde som funktionen

y = 5 sin x – 7 kan anta?

5 Ekvationen sin x = 0,94 har enligt räknaren en lösning x ≈ 70°.

Ange ekvationens lösningar i intervallet 90 °< x < 450°

6 Bevisa med ett indirekt bevis att x ≤ 8 ger att 16 – 2x ≥ x – 8

7 Bestäm cos 2x då sin x = 0,6.

8 Figuren visar grafen till funktionen

y = a + b sin 2x

Bestäm konstanterna a och b.

1

2

3

ππ2

y

x

y = a + b sin 2x

(NP)

9 Ange samtliga lösningar till

ekvationen 2 cos 3 x – 1

4 = 0

10 Förenkla sin (x + 90°) + cos (x + 90°)

11 a) Bestäm en funktion som ger grafen

y

1

x30° 180°

2

360°

b) Finns det fler? Motivera.

12 Bestäm var tangenten till kurvan

y = cos x – 0,5x i punkten (π; –1– π2

)

skär x-axeln.

13 Ange en egen funktion som uppfylller

att f (π /4) = 2 och f ′ (π /4) = 0.

14 a) Visa att ekvationen 2 22

sinsin

xx1 −

= 4

kan omformas till tan x = 1.

b) Lös ekvationen tan x = 1 fullständigt.

15 Lös ekvationen sin cos2 2x x=

16 Funktionen f (x) = 2 sin2 x – sin 2x är given.

Visa att f (x) = 1 – 2 cos 24

x −

π

17 Bevisa att om n är ett heltal och n3 + 5 är udda så är n ett jämnt tal.

2 TrigonomeTri och grafer 952 TrigonomeTri och grafer 95

96 2 TrigonomeTri och grafer

Del II Med räknare

18 Bestäm de lösningar till ekvationen cos 2x = 0,45 som ligger i intervallet 0 ≤ x ≤ π.

19 I triangeln ABC är vinkeln A = 8,8°, sidan AB = 75 cm och sidan AC = 68 cm. Hur lång är sidan BC?

20 Vilka x ger att sin x = cos x? Motivera.

21 Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn.

Temperaturen visade sig följa funktionen y (t) = 15 + 2 sin 0,26 t där t är antalet timmar efter kl 12.00.

a) Bestäm ′y t( )

b) Beräkna ′y ( )10

c) Tolka vad ′y ( )10 betyder för vattnets temperatur. (NP)

22 Förenkla cos (a + b) + cos (a – b) och skriv sedan produkten 2 cos 75° ∙ cos 20° som en summa.

23 Triangeln AB P är given enligt figur. Beräkna avståndet från punkten P till sidan AB.

A B

P(m)

52° 42°6,6

24 Bestäm en cosinusfunktion som ger grafen.

y9000

x

10°

6000

3000

20°

25 Undersök grafiskt och visa med en enkel skiss om det finns några v så att

2 sin (v + 12°) = cos (v + 23°)

för 0° < v < 180°

Ange i så fall detta/dessa värden. (NP)

26 Rita grafen y = sin x

x och motivera att

lim sin x

x = 1

x → 0

96 2 TrigonomeTri och grafer96 2 TrigonomeTri och grafer

2 TrigonomeTri och grafer 97

27 Figuren visar en kvadrat och grafen till en funktion. Välj en trigonometrisk funktion vars graf lik-

nar den i figuren och bestäm kvadratens area för den funktion du valt.

y

x

(NP)

28 I en del andra länder används funktionerna

secant: sec x = 1/cos x

cosecant: csc x = 1/sin x

cotangens: cot x = 1/tan x

Bevisa att sec2x + csc2 x = csc2x ∙ sec2x

29 Bestäm med hjälp av derivata det minsta värdet till funktionen

f (x) = 2 33

sin x – x i intervallet 1 ≤ x ≤ 2.

Svara exakt.

30 I en cirkel med radien r är en triangel ABC inskriven. Sidan AB är större än cirkelns radie

och den är lika lång som sidan AC. Bågen BC är lika med cirkelns radie. Beräkna förhållandet mellan sträckan BC och sträckan AC utan att införa några närme värden. Svara såväl exakt som med tre decimaler.

A

B

C

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efterföljande kriterier:

• vilka matematiska kunskaper du har visat

• vilka slutsatser du har kommit fram till

• hur väl du har redovisat ditt arbete och genom-fört dina beräkningar.

31 Du ska nu undersöka funktionen

y = A sin x + B

a) Visa att funktionens största värde är dubbelt så stort som funktionens minsta värde då A = 1,5 och B = 4,5.

b) Låt B = 1,8 och bestäm A så att

y ymax min= ⋅2

c) Visa att y ymax min= 2 ⋅ alltid gäller då

B = 3A.

32 Triangeln ABC är rätvinklig.

a) Välj ett värde på en av de spetsiga vinklarna och beräkna summan sin A + sin B + sin C.

b) Undersök hur summan sin A + sin B + sin C varierar.

2 TrigonomeTri och grafer 972 TrigonomeTri och grafer 97

Svar, ledtrådar och löSningar 261

Motivering:Kvadraten av ett udda tal är udda. Summan av två udda tal är jämn, dvs om vi bara har udda tal så är VL jämn medan HL är udda, vilket ger motsägelse.

18 a) x = n ∙ 180°

b) x ≈ 13,9° + n ∙ 90° x ≈ 47,1° + n ∙ 90°

19 Enhetscirkelns ekvation är x2 + y2 = 1 vilket med x = cos v och y = sin v ger trigonometriska ettan.

20 a > 2/3 eller a < – 2/3Ledtråd:Lösning saknas om cos 3 x > 1 eller cos 3 x < – 1 , dvs 3 a /2 > 1 eller 3 a /2 < – 1

21 Ledtråd:Gör ett motsägelsebevis. Antag att VL > 4 och visa med hjälp av formel för dubbla vinkeln att det ger en motsägelse.

22 T ex sin 4x = = 4 sin x cos x (1 – 2 sin2 x)Ledtråd:Formeln för dubbla vinkeln ger sin 4x = 2 sin 2x cos 2x

23 x ≈ ± 65,5° + n ∙ 360°Ledtråd:Skriv om VL till (1 – cos2 x)/2 och sätt cos x = t

24 Ledtråd:a2 + 3 = (a – 1)(a + 1) + 4 Motivera varför HL är delbar med 4.

25 a) 46,6°

b) Formeln ger

sin A2

= √ 532

med lösning A = 46,6°

c) Ledtråd:Formel för dubbla vinkeln

cos A = 1 – 2 sin 2 A2

Kombinera detta med cosinussatsen.

26 180° om a = –1 eller a = 1.

27 a) (2 cos v, 2 sin v)

b) Ledtråd:Sätt in koordinaterna från a) i cirkelns ekvation x2 + y2 = 22

2

2102 a) Perioden är 360°/10 = 36°Kommentar:När x går från 0° till 36° så går 10x från 0° till 360°.

b) Perioden är

360°0,1

= 3 600°

2103 Ja.Motivering:Båda funktionerna har perioden 360°/3 = 120°.

2104 a) 90°

b) 480°

c) 180°

d) 1 080°Ledtråd:

k = 13

2105 a) y

1x

90° 360°

y = 2 sin x

b) Största värde = 2 Minsta värde = –2

c) Amplituden = 2

2106 a) Amplitud = 4 Period = 360°

b) Amplitud = 100 Period = 144°

c) Amplitud = 50 Period = 72°Ledtråd:Amplituden är alltid ett positivt tal.Amplituden =

= största värdet – minsta värdet2

d) Amplitud = 10 Period = 80°

2107 T ex y = 2,5 sin 1,8xLedtråd:360°

k = 200°

2108 a) b)

y2

x

y = 2 sin 4x

180°90°

2109 a) Kurvorna är identiska men förskjutna 90° i förhållande till varandra.

b) 45° < x < 225°

2110 a) y1

x

90° 360°

y = –sin x

b) Största värde = 2 Minsta värde = –2

2111 Ja, ekvationen har en lösning x = 0° + n ∙ 180°.Motivering:VL = HL = 0 om sin x = 0

2112 –1,2 < A < 1,2

2113 720°Ledtråd:x1 + x2 = 180° x3 = 360° – x2

x4 = 360° – x1

2114 3,3Ledtråd:Alla termer har samma värde.

2115 0Ledtråd:sin 359° = sin (–1°) = – sin 1°sin 358° = –sin 2°, o.s.v. Addera par som har summan 0.

2117 x ≈ 91,1°

2118 Två.Motivering:Graferna skär varandra på två ställen.

2119 Avläs t ex avståndet mellan två på varandra följande maxpunkter. Perioden = 600°

262 Svar, ledtrådar och löSningar

2120 a) 0 < a < 1Ledtråd:Linjen y = a ska skära kurvan y = sin x på två ställen i intervallet.

b) a = 1

c) a > 1

2121 a) b) x1 = 510°, x2 = 570°, x3 = 690°Ledtråd:Ekvationens lösning ärx = ± 30° + n · 180°

2122 k = –0,5Ledtråd:cos x = –0,5 har lösningen x = 120° och x = 240° i intervallet.

2123 b < –3 och b > 3

2124 Antal lösningar = 2kLedtråd:Varje period ger 2 lösningar.

2126 a) y = sin x förskjuts 5 enheter uppåt.

b) y = sin x förskjuts 2,5 enheter nedåt.

c) y = sin x förskjuts 55° åt vänster.

d) y = sin x förskjuts 35° åt höger.

2127 a) y = sin x + 3

b) y = sin (x + 60°)

2128

Största värde Minsta värde

a) 5 1

b) 7 –1

c) –4 –6

d) –9 –11

2129 T ex y = 11 sin x + 1Ledtråd:Börja med att beräkna amplituden.

2130 a > 5 eller a < –5Ledtråd: Kurvan y = 5 sin x ska förskjutas uppåt eller nedåt mer än amplituden 5.

2131 a) y = cos x förskjuts 60° åt vänster och 3,5 enheter uppåt.

b) y = cos x förskjuts 20° åt höger och 1,5 enheter nedåt.

2132 y = sin 3 (x – 36°) eller y = sin (3x –108°)Ledtråd:I kurvans ekvation y = sin 3xska x ersättas med (x – 36°)

2133 Viktoria har rätt.Motivering:Förskjuter vi en sinuskurva i sidled får vi en cosinuskurva, t ex y = sin (x + 90°) = cos x

2134 a) y = sin x ska förskjutas 180° åt höger eller vänster.

b) y = cos x ska förskjutas 90° åt vänster eller 270° åt höger.

2135 A = 3, v = 30°Ledtråd:y(0) = –1,5 ger–1,5 = 3 sin (– v)– v = sin –1 (– 0,5)

2136 25° åt vänster.Ledtråd:cos (2x + 50°) = cos 2 (x + 25°)

2137 a = 3 eller a = –3Ledtråd:Vi får största värdet då sin 2x = –1 eller då sin 2x = 1.

2138 a) Att sin x = cos (x + 270°)

b) Lösning: Additionsformeln för cosinus

ger cos (x + 270°) = = cos x ∙ cos 270° – sin x ∙ sin 270° = = cos x ∙ 0 – sin x ∙ (–1) = sin x

2139 p = 1 , q = – 2 eller p = –1 , q = –2

2140 a) Kurvans ekvation kan skrivas y = 1Motivering:Trigonometriska ettan.

b) Kurvans ekvation kan skrivas y = 2 cos xMotivering:sin (90° – x) = cos x

c) Kurvans ekvation kan skrivas y = 2 sin (x + 30°)Motivering:Period = 360°y = 0 då x är t ex –30°, 150° eller 330°.cos 150° + √ 3 ∙ sin 150° = 0Största värde då x = 60° cos 60° + √ 3 ∙ sin 60° = 2

2143 a) y = 4 sin xMotivering:En sinusfunktion med ampli­tuden 4 och perioden 360°.

b) y = 2 sin 2xMotivering:En sinusfunktion med ampli­tuden 2 och perioden 180°.

2144 a) y = sin 0,5 x + 1

360° 720°

x

y

1

Ledtråd:Amplitud = 1Period = 360°/0,5 = 720°y = sin 0,5x förskjuts 1  enhet uppåt.

b) y = 2 cos 2x + 2

90° 180°

x

y

2

2145 4 perioderMotivering:En period är 90°.

2146 y = 2 sin 6(x – 10°)

2147 B, D, E

Svar, ledtrådar och löSningar 263

2148 a = 36°, b = 300, c = 500Ledtråd:a är halva perioden,b är förskjutningen uppåt ochc är största värdet.

2149 y = 1,5 sin 2(x + 30°) – 1Ledtråd:Amplituden är 1,5 och perioden 180°. Jämfört med y = 1,5 sin 2x är grafen förskjuten 30° åt vänster och 1 enhet nedåt.

2150

30° 150°

x

y

1

Ledtråd:Funktionen kan skrivas y = 1 – 0,5 sin 3(x – 30°)

2151 y

D

x

A

BC

2152 Putte har fel.Motivering:sin (–x) = –sin x ger f (–x) = A sin k(–x) + b == –A sin kx + b– f (x) = – (A sin kx + b) == –A sin kx – b

2155 a) 180°

b) 90°

c) 540°Ledtråd:180°/ (1/3)

d) 900°

2156 a) x ≈ 31,0° + n ∙ 180°

b) x ≈ – 78,7° + n ∙ 180°

2157 a) x ≈ 26,2° + n ∙ 90°

b) x ≈ –7,3° + n ∙ 60°Ledtråd:tan 3x = –0,4

2158 a) x ≈ 22,6° + n ∙ 360°

b) x ≈ – 204,6° + n ∙ 540°Ledtråd:

tan x3

= –2,5

2159 a) x ≈ 38,7° + n ∙ 180°

b) x ≈ 26,6° + n ∙ 180°Ledtråd:tan x = 0,5

2160 Nej.Motivering:

tan x = sin xcos x

När cos x närmar sig noll kan kvoten bli hur stor eller liten (negativ) som helst.

2161 T ex 45° och –135°.Ledtråd:45° minus en period är –135°.

2162 0,75

0,60,8

2163 Räknaren visar Ma Error eller liknande. Motivering:tan x är inte definierat då cos x = 0, dvs då x = 90° + n ∙ 180°

2164 k = 6Ledtråd: Perioden är 30°.

2165 15Motivering:tan a = tan (a + 180°) = = tan (a + 360°)

2166 a) x ≈ 71,6° + n ∙ 180°

b) x ≈ –21,8° + n ∙ 180°

2167 0Ledtråd:tan 190° = tan 10°sin 10°cos 10°

= tan 10°

2168 x ≈ 204° och x ≈ 264°

2169 Nej, graferna överensstämmer inte.

2170 90° < x < 180°, 270° < x < 360°Motivering:

tan x = sin xcos x

I andra kvadranten är sin x positiv och cos x negativ. I fjärde kvadranten tvärtom.

2171 a) y = tan 0,5 x

b) y = 1 – tan x

2172 Ja, graferna överensstämmer.

Bevis:

– 190tan ( )x + °

=

= – cos ( )sin ( )

xx

++

9090

°°

=

= – cos cos sin sinsin cos cos sin

x xx x

90 9090 90

° °° °

−+

=

= − −

sincos

xx

= tan x

2173 a ≈ 208,8Ledtråd:Finn den minsta lösningen som är större än 180°.

2174 x = 135° + n ∙ 180° eller

x ≈ 71,6° + n ∙ 180°Ledtråd:Ersätt 1 i HL med cos2 x + sin2 x.Division med cos2 x och förenk­ling ger tan2 x – 2 tan x – 3 = 0tan x = –1 och tan x = 3

2175 x = 23

Ledtråd:tan v = 2x

1

2xx + 1

vcos v = 1

1 + xAnvänd Pythagoras sats.

2177 a) 3 b) 19 c) 65 d) 97

2178 a) y = 10 sin (x + 53,1°)

b) y = 26 sin (x + 67,4°)

c) y = 17 sin (x – 61,9°)

d) y = 130 sin (x – 52,1°)

264 Svar, ledtrådar och löSningar

2179 –51Ledtråd:Skriv om tilly = 10 + 61 sin (x + v)ymin = 10 – 61

2180 Förklaring:sin x och cos x är förskjutna i förhållande till varandra och har inte sina största värden samtidigt.

2181 x = 90° och x = 330°

2182 y = 1,5 sin (x + 36,9°)Ledtråd:Graferna är y = 1,2 sin x och y = 0,9 cos x.

2183 Nej.Motivering:sin x och cos 2x har olika perioder.

2184 a) a = 20

b) x ≈ 43,6°

2185 a) x ≈ –42° + n ∙ 360° eller x ≈ 115° + n ∙ 360°

b) Ingen lösning.Ledtråd:Omskrivning och förenkling

ger sin (x + 67,4°) = 2726

> 1

c) x = 90° + n ∙ 360° eller x ≈ 143° + n ∙ 360°

2186 y = 2 sin (2x + 30°)Ledtråd:cos 2x = cos2 x – sin2 x

2187 y = 2 sin x + 2 cos xLedtråd:Förskjutning 45° ger a = b.

2188 Ledtråd:Jämför med härledningen för y = a sin x + b cos x och justera den.

2189 Ja.Motivering:Funktionen går att skriva y = c sin (x + v) och alla sinus­funktioner kan skrivas som en förskjuten cosinusfunktion.

2204 a) Multiplicera med π180

180° = π rad ger

1° = π180

radianer

b) Multiplicera med 180°π

180° = π rad ger

1 rad = 180°π

2205 a) 0,60 c) 12,18

b) 3,38

2206 a) 16,2° c) –573,0°

b) 328,9°

2207 a) Motivering:180° = π rad ger direkt

90° = π2

rad

b) Motivering:1 varv motsvarar 2π rad. 2 varv motsvarar 4π rad eller 720°.

2208 a) Lösning:300° = 300 ∙ π

180 =

= 300 π180

= 30 π18

= 5 π3

b) Lösning:2 π3

= 2 π3

· 180°π

= 120°

2209 a) sin 2° ≈ 0,03

b) sin 2 ≈ 0,91

2210 Förklaring:

Se t ex enhetscirkeln, sin 1° är ett litet värde nära 0.

1 rad = 180°π

≈ 57°

sin 57° är betydligt större.

2211 0

2212 a) x ≈ 0,41 + n · 2π eller x ≈ 2,73 + n · 2π

b) x ≈ ± 0,45 + n · 2π c) x ≈ – 0,20 + n · 2π eller x ≈ 3,34 + n · 2π d) x ≈ 1,37 + n · π

2213 a) x = π/2 + n · 2π b) x = n · π c) x = π + n · 2π

d) x = π/2 + n · π

2214 a) x = π/12 + n · π eller x = 5π/12 + n · π

Ledtråd:Se tabell för exakta värden.

b) x = π/8 + n · π/2

c) x = n · 2π eller x = π/2 + n · 2π d) x = π/6 + n · π

2215 a) √ 22

(eller 1√ 2

)

Lösning:tan (–6π) + cos

9π4

=

= tan 0 + cos π4

=

= 0 + √ 22

=√ 22

b) 1 – √ 22

2216 Ja, 0° = 0 rad.

2217 a) t ≈ 8,8 och t ≈ 15,2Ledtråd:Lös ekvationen fullständigt. Undersök, med olika n, vilka lösningar som ligger i intervallet.

b) t ≈ 2,1 och t ≈ 3,5

2218 a) Nej

b) JaMotivering:v = tan – 1 x ger tan v = x

(tan x) – 1 = 1tan x

2219 a) x = n ∙ π eller

x = ± π3

+ n ∙ 2π

Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln. Faktorisering ger sedan sin x = 0

eller cos x = 12

b) x = π4

+ n ∙ π

Ledtråd:Ekvationen kan förenklas till sin 2x = 1.

Svar, ledtrådar och löSningar 265

2220 0,11 (0,112…)Ledtråd:Bågen är i enhetscirkeln lika lång som vinkeln i radianer. Bestäm vinklarna som ger cos v = 0,4 och cos v = 0,5.

2221 a) Om x är en vinkel så är f (x) = x.

b)

x 1 2 3 4

f (x) 1 2 3 2,283

c) Förklaring:

cos x

xπ

Om cos x = k och cos–1 k = x så måste cos x begränsas till ett

intervall där varje tillå­tet k bara ger ett x. Vi har valt 0 ≤ x ≤ π.

För x > π återfår vi det x i detta intervall för vilket

cos x = cos 4.

2223 a) 2,9 m 9,5 m2

b) 9,3 m 30,2 m2

c) 18,7 m 60,6 m2

d) 19,6 m 63,8 m2

2224 a) 1,5°

b) 68°

2225 2,3 längdenheterLedtråd:Om radien är 1 så är bågen lika med vinkeln i radianer.

2226 30,5 cm (30,47…)Ledtråd:

v = 360°6

, O = 2r + b

2227 2,7 cm (2,72…)

2228 3 ∙ 103 kmLedtråd:För en så liten vinkel är diametern ≈ cirkelbågen.

2229 Förklaring:Bågen är 2a cm. Definitionen ger att bågen är a cm om medel­punktsvinkeln är 1 radian. För­dubblas vinkeln så fördubblas bågen.

2230 a) 6 150 km (6 148,11...)

b) 69,4°

2231 a) 15 π8

rad ≈ 5,9 rad

b) r = 15 cm: v = 2 000 rad/min r = 16 cm: v = 1 875 rad/minLedtråd:Bestäm hur många varv hjulen roterar per minut, 1 varv = 2π rad.

2232 A = r2

2(v – sin v)

Ledtråd: Använd areasatsen.

2233 4π3

+ √ 32

m2

Ledtråd:Beräkna båda cirklarnas area minus gemensam area.Den gemensamma arean kan delas upp t ex i en cirkelsektor (se färgad area i figur) och två cirkelsegment (ofärgade).

2303 a) f ′ (x) = 2 cos x

b) f ′ (x) = –3 sin x

c) f ′ (x) = 5 sin x

d) f ′ (x) = –9 cos x

2304 a) f ′ (x) = –2 sin x + 5 cos x = = 5 cos x – 2 sin x

b) f ′ (x) = 2 sin x + 1,3 cos x

c) f ′ (x) = 3 – 0,2 cos x

d) f ′ (x) = 13

+ sin x3

Ledtråd:

f (x) = 13

x – 13

cos x

2305 Vi måste använda vinkel­enheten radianer.

2306 a) f ′ (0) = –2Ledtråd:Bestäm först f ′ ( x) = 2x – 2 cos xBeräkna sedan f ′ (0) = 2 ∙ 0 – 2 cos 0

b) h ′ (π) = – 0,7

c) s ′ (1,2) ≈ – 1,7

2307 a) 1Ledtråd:Derivatans värde då x = 0.

b) y = xLedtråd:y = kx + m k = 1 och (0, 0) ger m = 0.

2308 y = – x + π2

2309 a) π2

< x < 3π2

Ledtråd:Kurvan y = sin x avtar i detta intervall.

b) Motivering:Derivatans värde är negativt, dvs under x­axeln, i  intervallet.

2310 x = π2

+ n ∙ π

Tolkning:För dessa x­värden har tangen­ten lutningen 0, dvs funktionen har lokala max­ eller min­värden.

2311 1,5Motivering:f ′ (x) = 1,5 cos x har största värdet 1,5.

2312 A = 5, B = 4

2313 √ 24

+ √ 26

= 5 √ 212

2314 x ≈ 0,30 + n · 2π eller x ≈ 2,84 + n · 2π

Ledtråd:Extrempunkter har y′ = 0.

2315 a) sin 0,11 ≈ 0,11

b) Nej.Motivering:sin 0,11° ≈ 0,0019

266 Svar, ledtrådar och löSningar

2316 T ex y = 0,5x + 32 6

− π

y = 0,5x – 32

56

− π

2317 a) lim cos h – 1h

= 0

lim sin hh

= 0,01745 . . .

b) y ′ ≈ 0,01745 cos x

2318 y ′ = – sin xLedtråd:Ställ upp differenskvoten och använd additionssatsen för cosinus.

2319 cos xKommentar:Denna differenskvot är symme­trisk runt punkten (x, sin x) och ger samma resultat somsin (x + h) – sin (x)

h

2320 a) Ja, a = 1

b) Nej, f ′ (x) = 1 för x < 0 och f ′ (0) = 0.

x

y1

π/2

2322 a) Yttre funktion: y = sin u Inre funktion: u = 2x y ′ = cos 2 x ∙ 2 = 2 cos 2 x

b) Yttre funktion: y = 2 cos u Inre funktion: u = 0,5x – 1 y ′ = – 2 sin (0,5x – 1) ∙ 0,5 = = – sin (0,5x – 1)

c) Yttre funktion: y = u5 Inre funktion: u = x 3 + 4 y ′ = 5(x3 + 4)4 ∙ 3x2 = = 15x2 ∙ ( x 3 + 4)4

d) Yttre funktion: y = u2 Inre funktion: u = cos x y ′ = 2 cos x ∙ (– sin x) = = –2 cos x ∙ sin x

2323 a) y ′ = 9 cos 9x

b) y′ = –0,3 sin 0,3x

h → 0

h → 0

2324 a) y ′ = 5 cos x3Ledtråd:

Inre derivata är 13

b) y ′ = –6π sin 2π x

2325 a) y ′ = 10 cos (5x + 1)

b) y ′= – 2 π sin π2

x – 3

2326 a) y ′ = 2 sin x ∙ cos x

b) y ′ = –3 cos2 x ∙ sin x

2327 k = 2

2328 y = cos kx ger y ′ = –k sin kx

2329 A (produkt av funktioner)

D (kvot av funktioner)

2330 a) y ′ = –4 sin x (1 + cos x)3

b) y ′ = 3x 2 cos (1 + x3)

2331 a) y ′ = 8 cos (2x – 1) ∙ sin3(2x – 1)Ledtråd:y = (sin (2 x – 1))4

Inre derivatan är 2 cos (2x – 1).

b) y ′ = –cos (cos x) ∙ sin x

2332 a) y ′ = n (1 + sin ax)n – 1 ∙ a cos ax = = na cos ax (1 + sin a x)n – 1

b) y ′ = Ab cos (bx + c)

2333 y = –2x + 3π2

– 3

Ledtråd:k = – 2

x = 3π4

ger y = – 3

2334 a) T ex F(x) = –0,5 cos 2x

b) T ex F(x) = 2 sin 0,5x

2335 d yd x

= π180

cos x ≈ 0,01745 cos x

Tolkning: Med vinkelenheten grader har sin x derivatan

π180

cos x ≈ 0,01745 cos x

2336 F ′(π) = 0Ledtråd:F ′(π) = f ′(g(π)) ∙ g ′(π) == f ′ (cos π) ∙ (– sin π) == f ′ (–1) ∙ (– sin π)

2337 Ledtråd:y ′ = 2 k sin kx ∙ cos kx = k sin 2kx

2402 a) 0,70 A

b) 0,02 sLedtråd:Period, T = 2 π

100 π2403 a) Högsta = 120 mmHg

Lägsta = 80 mmHg

b) Amplitud = 20 Period = 1,2 s (2π/5,2)

c) y(3) ≈ 102, y′(3) ≈ –103

Tolkning: Vid tiden 3 s är blodtrycket 102 mmHg och minskar med hastigheten 103 mmHg/s.Kommentar:Blodtrycket varierar med hjärtas slag varför föränd­ringshastigheten blir hög.

2404 Vi vill ofta bestämma föränd­ringshastigheter och radianer ger en enklare derivata.

2405 T ex y = 4 sin x + 1

2406 a) 0,3 °C (0,25)

b) Lägst: kl 06.00 (– 4 °C) Högst: kl 18.00 (13 °C)

c) y′ (16) ≈ 1,1

Ledtråd: y′ = – 8,5 cos πt

12

· π

12 =

= – 1724

π cos πt12

d) Kl 16.00 stiger temperaturen med hastigheten 1,1 °C/h.

2407 1,142Motivering:y ′ = 1,142 sin 0,571 xhar största värdet 1,142 eftersom sin 0,571 x ≤ 1

2408 Sant.Motivering:

Perioden 2πk

är mindre än 2 om k > π.

2409 a) y = 20 · sin π2

x

+ 40

Ledtråd: Amplituden = 20, Perioden = 4 år, Mittlinjen y = 40.

b) 20 st

Svar, ledtrådar och löSningar 267

2410 y = 4000 + 2000 cos(πt/6)

4000

12 mån

y

t

2411 a) 6 sLedtråd:Bestäm perioden.

b) v ′ (t) = 0,85 · π3

cos π t3

Tolkning:Derivatan ger hur snabbt luftströmmens hastighet förändras.

c) 0,85 · π3

≈ 0,89 liter/s 2

d) Amplituden 0,85 ökar och perioden minskar,

dvs k = π3

ökar.

2412 x = 0 och x ≈ 0,88Ledtråd:Lös ekvationen grafiskt.

2413 –1Ledtråd:y ′ = cos x ∙ esin x

2414 y ′ (x) = 0Förklaring:y (x) kan förenklas till 1 med hjälp av trigonometriska ettan.

2415 a) 18,5 h

b) 6 h

c) Dygn 80 och dygn 267, dvs 21 mars och 24 september.

Ledtråd: y = 12 ger efter omskriv­ ning ekvationen

sin 2 82365

π( )x − = – 0,04

d) y′ = 5 π146

cos 2 π (x – 82)365

Tolkning:y ′ (x) beskriver hastigheten som dagens längd ändras med.

2416 a) 366 dygn

b) y′max ≈ 0,095 för x ≈ 81, d v s 21 mars ökar dagens

längd med 0,095 h/dygn.Ledtråd:

y′ är störst då cos (0,017 165 x – 1,394) = 1

2417 a) y ≥ 6,0 för 0 ≤ t ≤ 4 och 12 ≤ t ≤ 16.

b) Kl 11 och kl 23 stiger vattnet med hastigheten 1,0 m/h (π/3). Kl 05 och kl 17 sjunker vattnet med hastigheten 1,0 m/h (π/3).

Ledtråd:

y ′ = – π6

· 2,0 · sin π6

(t – 2)

2418 0,36 ALedtråd:t ≈ 0,001 66 s

2419 Skärningspunkternas koordinater ges exakt av (n · π, n · π) där n = 0, –1, 1, –2, 2, ...

Ledtråd: Vi söker de x­värden då sin x = 0 (se enhetscirkeln), y = x ger y­koordinaten.

2420 π radMotivering:y kan skrivas om till y = 2,5 sin 2x.

2421 a) y = 9 sin (0,524x – 2,0) + 8Ledtråd:y = 9 sin

π6

(x – 3,8) + 8

b) y (8) ≈ 15 Vid månadsskiftet aug/sept är dygnsmedeltempera­ turen 15 °C.

c) y′ (8) ≈ – 2,7 Vid månadsskiftet aug/sept sjunker dygnsmedeltempe­ raturen med 2,7 °C/månad.

2422 T ex y = sin 3x

Tema: Radiovågor

1 a) 99,7 ∙ 106 st

b) 1,00 ∙ 10–8 s

c) 3,3 ∙ 10–3 sLedtråd:Radiovågens hastighet är 3 ∙ 108 m/s.

2 Mellan 5 ∙ 10–5 s och 0,05 s.

3 1 ∙ 109 Hz = 1 GHz

4 3 m

5 y = 5 sin (2π ∙ 100 ∙ 106 ∙ t)

6 a) Största värde ≈ 5,57 Minsta värde ≈ –5,57

b) Största värde = 3 Minsta värde = –3

7 Ja, om a = 6

8 När a ≤ 6 har alla lokala max y = 2 och alla lokala min y = –2.

När a > 6 är största värde 2 och minsta värde –2, vi har dock lokala max med mindre värde än 2 och lokala min med högre värde än –2.

Diagnos 2

1 Period = 400°, amplitud = 15

2 a) Period = 1 080°, amplitud = 4

b)

270°

–4

x

y

4

1080°

c) 90° < x < 450°

3 Sant.Motivering:De har båda 2 skärningspunkter med y = 1 i intervallet.

268 Svar, ledtrådar och löSningar

4 A = 200, b = 1,5, c = 40°, d = 100Lösning:Amplituden är 200.

Perioden är 360°b

= 240°.

Grafen är förskjuten 40° åt vänster.d är ”mittlinjen”, 100.

5 a = 2Ledtråd:tan ax = 1 gerax = 45° + n ∙180°

6 a) 7π6

≈ 3,67

b) 229°

7 a) x ≈ ± 0,64 + n · 2π b) x ≈ 0,44 + n · π eller x ≈ 1,13 + n · π

Ledtråd: 2x ≈ 0,879 + n ∙ 2π eller 2x ≈ (π – 0,879) + n ∙ 2π

c) x ≈ 1,04 + n · π d) x ≈ 0,15 + n · π/4 eller x ≈ 0,52 + n · π/4

8 Lösning:Formel med vinkel i grader:

b = v360°

· 2 π r

v i radianer ger:

b = v2 π

· 2 π r = v r

9 a) y ′ = –5 sin x – 3 cos x

b) y ′ = 6x + 4 sin x

10 –3Ledtråd:Derivatans värde då x = π

211 a) f ′ (t) = 10 cos 2t

b) y ′ = –6x sin (x2 + 1)

12 0 < x < π2

13 a) 15 min

b) 2,8 < t < 4,7 Ledtråd: När är d < 0? Lös detta t ex grafiskt.

14 Ja.Motivering:ymax = 2 – (–0,5) = 2,5y ′ = –1,5 cos 3 x y ′max = 1,5

Blandade övningar kapitel 2

1 a) Period = 180° eller π rad. Amplitud = 3

b) Period = 720° eller 4π rad. Amplitud = 4

2 a) y ′ = 10 cos 5x + 3 sin x

b) y ′ = 3(x2 + 1)2 ∙ 2x = 6x(x2 + 1)2

3 420°

4 8,6 cm

5 x = π2

+ n · 6 π eller

x = 5 π2

+ n · 6 π

6 a) C = 4

b) C = 24

7 B

8 A = 2, k = 3, b = 1

9 sin 25°, √ 14

, cos π5

, tan π3

Motivering: √ 1/4 = 1/2 = 0,5 Enhetscirkel och tabell ger tan π/3 = √ 3 > 1 sin 25° < sin 30° = 0,5

cos π6

= 0,5 < cos π5

< 1

10 x = 5 π6

Ledtråd:f ′ = 0 ger ekvationencos 2x = 0,5.

11 √ 32

12 10Ledtråd:Bestäm c om y skrivs på formen y = c sin (x + v)

13 T ex y = sin 2x eller y = 0,5 sin 4xLedtråd:y ′= k ∙ A cos kxUtnyttja t ex att cos (n ∙ 2π) = 1

14 x1 = 2π9

x3 = 8π9

x2 =π3

x4 = 14 π9

Ledtråd:2x = x + π/3 + n ∙ 2π2x = π – (x + π/3) + n ∙ 2π

15 a = 8, c = 4

16 x1≈ 13°, x2 ≈ 73°, x3 ≈ 133°

17 Falskt.Motivering:Om kurvan är förskjuten i höjdled så är det största värdet större eller mindre än amplituden.

18 a) 45 cm2

Ledtråd:Använd t ex areasatsen.

b) 29 cm2

19 T ex k = 4Ledtråd:T ex ett värde mellan π och 2π ger sin k° > 0 och sin k < 0.

20 a) Ca 6 år och 7 månader ( 78,5 mån).

b) – 25 renar/månad ( – 25,4 . . . ) Ledtråd:

Derivatans värde då t = 14.

21 y = 3 sin 4x – 1

22 Ekvationen har 6 lösningar.Ledtråd:Rita graferna till y = sin 2x och y = x2/10 – 1 och avläs antalet skärningspunkter.

23 Ja.Motivering:Lutningen ges av y′ = 2 cos2 x + 1som har största värde 3.

24 a) kl 20

b) mars, oktober

c) 30 mars, 30 september

25 Förklaring: Vänsterled är bara lika med noll om täljaren är noll. Täljarens minsta värde är 1 så ekvationen saknar lösning.

26 0,21 < t < 0,79

27 a) 3 nollställen

b) x1 = 0°, x2 = 180°, x3 = 360°

c) 5 nollställen

d) x1 = 0°, x2 = 107°, x3 = 180°, x4 = 253°, x5 = 360°

Svar, ledtrådar och löSningar 269

e) 5 nollställen då –2b < a < 2b 3 nollställen då a ≤ –2b och a ≥ 2b

28 a) I mitten av juni. Ledtråd:

Gör en tabell med dagens num­mer och längd i timmar.

b) Dag 170, d.v.s. den 19/6.

Blandade övningar kapitel 1 – 2

1 4π

2 –1Ledtråd:Använd enhetscirkeln.

3 y ′ = cos 2x

4 – 2

5 x1 = 110° och x2 = 430°Ledtråd: Lösningarna är x ≈ 70° + n ∙ 360° och x ≈ (180° – 70°) + n ∙ 360°

6 Ledtråd:Visa att 16 – 2x < x – 8ger att x > 8.

7 0,28Ledtråd:cos 2x = 1 – 2 sin2 x

8 a = 2, b = –1

9 x = ± π9

+ n · 2 π3

Ledtråd:Skriv om till cos 3x = 0,5.

10 cos x – sin x

11 a) y = 2 sin (x – 30°)

b) Ja.Motivering:Vi kan förskjuta sinuskurvan i a) ett helt antal perioder eller beskriva grafen med en cosinusfunktion t ex y = 2 cos (x – 120°)

12 x = –2Ledtråd:Tangentens ekvation är y = –0,5x – 1

13 T ex y = 2 sin 2x eller y = sin 2x + 1

14 a) Ledtråd: Använd t ex

sin 2x = 2 sin x cos x och ”trigonometriska ettan”.

b) x = 45° + n ∙ 180° eller

x = π4

+ n · π

15 x = 45° + n · 90° eller

x = π4

+ n · π2

Ledtråd: Lös ekvationerna sin x = cos x och sin x = – cos x.

Alt: sin2 x – cos2 x = 0 ger cos 2x = 0.

16 Ledtråd:Skriv om 1 – √ 2 cos (2x – π/4) med additionsformeln, formeln för dubbla vinkeln och trigonometriska ettan.

17 Ledtråd:Gör ett indirekt bevis. Visa att om n är udda så är n3 + 5 ett jämnt tal.Utnyttja att ett udda tal multiplicerat med ett udda tal är ett udda tal.

18 x ≈ 0,55 och x ≈ 2,59

19 13 cmLedtråd:Använd cosinussatsen.

20 x = 45° + n ∙ 180° eller

x = π4

+ n · π

Motivering: Ekvationen kan skrivas tan x = 1.

21 a) y′ (t) = 0,52 cos 0,26t

b) y′ (10) = – 0,45

c) y′ (10) = – 0,45 betyder att temperaturen kl 22.00 sjönk med hastigheten 0,45 grader/ timme.

22 cos 95° + cos 55°Ledtråd:a = 75°, b = 20°

23 3,5 m

24 y = 3 000 cos 18x + 6 000

25 Det finns en vinkel, v ≈ 12°, som uppfyller villkoren.

26 Motivering:Zoomar vi in grafen där x = 0 ser vi att y närmar sig 1 då x närmar sig 0.

27 T ex grafen y = cos x ger en kvadrat med arean 0,55 a.e.Ledtråd:Vi får en kvadrat om x = y. Lös t ex ekvationen x = cos x grafiskt med räknaren i radianer.

28 Ledtråd:Insättning ger

1cos 2 x

+ 1sin 2 x

= 1cos 2 x · sin2 x

Visa att VL kan skrivas om till HL.

29 – √ 33

– 5 π9

30 2 sin 0,25 ≈ 0,495Ledtråd:Om M är cirkelns medelpunkt så är vinkeln BMC 1 radian. Randvinkelsatsen ger vinkeln BAC. Höjden från sida BC till A ger en rätvinklig triangel.

31 a) y mas = 1,5 + 4,5 = 6,0 y min = – 1,5 + 4,5 = 3,0

b) A = 0,6

c) y = A sin x + B y mas = A + B = A + 3A = 4A y min = – A + B = – A + 3A = 2A

32 a) T ex A = 20° ger B = 70° och sin A + sin B + sin C = = sin 20° + sin 70° + sin 90° ≈ ≈ 2,28

b) Summans största värde är 1 + √ 2. Minsta värde saknas.Ledtråd: Undersök y = sin x + cos x + 1. Använd derivata i i intervallet 0 < x < π/2 eller skriv om till y = √ 2 sin ( x + 45°) + 1