LigningerGrafer

MA0003 - 2. forelesningLigninger og grafer

Steffen Junge

17. august 2009

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger og løsninger

En ligning er et balansert uttrykk der det opptrer en ellerfler variable.En løsning av en ligning en verdi vi kan tilskrivevariablen(e) så ligningen angir et sannt utsagn.Eks: x = 1 er en løsning av x2 − 1 = 0.Eks: t = 2 er ikke en løsning av 2t + 4 = 0Eks: (x , y) = (1,2) er en løsning av y = x2 + 1.Eks: (x , y) = (1,1) er en løsning av xy = 1.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Manipulere ligninger

Vi er ofte interessert i å manipulere ligninger; følgende erlovlige operasjoner:

Det er lov å legge til eller trekke fra det samme tall på begesider av likhetstegnet.Det er lov å multiplisere med det samme tallet på beggesider av likhetstegnet, men ikke 0.

Eks: Finn løsningen av 2x + 4 = 0Eks: Finn løsningen av 1√

x−3 = 1

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger

Et vanlig problem er å skulle finne løsningene av

Ax2 + Bx + C = 0+

Løsningene er gitt ved

x =−B ±

√B2 − 4AC2A

Størrelsen B2 − 4AC kalles diskriminanten;Hvis D < 0 finns ingen løsningerHvis D = 0 finns een løsningHvis D > 0 finns to løsninger

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger - eksempler

Løs x2 + 2x − 1 = 0Løs 4x − 5

√x + 1 = 0

Løs 2x4 + 4x2 − 2 = 0

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger - eksempler

Løs x2 + 2x − 1 = 0Løs 4x − 5

√x + 1 = 0

Løs 2x4 + 4x2 − 2 = 0

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger - eksempler

Løs x2 + 2x − 1 = 0Løs 4x − 5

√x + 1 = 0

Løs 2x4 + 4x2 − 2 = 0

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Andregradsligninger - eksempler

Løs x2 + 2x − 1 = 0Løs 4x − 5

√x + 1 = 0

Løs 2x4 + 4x2 − 2 = 0

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om ligningerLigninger av to variable

Ligninger av to variable, typisk kallet x og y , er detprimære objekt for dette kurset.Eksplisitte ligninger: Den ene variablen kan uttrykkes vedden andre.Implisitte ligninger: Den ene variablen kan ikke uttrykkesved den andre.Eks: −x2y + x = y er eksplisitt.Eks: x2 + y2 = 1 er implisitt.Eksplisitte ligninger som y = x2 + 3x − 1 skrives gjerney(x) = x2 + 3x − 1 for å understreke at y er gitt eksplisittved x . Vi sier y er en funksjon av x . Disse er vårt primærestudieobjekt.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Grafen til en ligning

Med grafen til en ligning av to variabler x og y menesmengden av alle løsninger (x , y) til den gitte ligningen.Eks: Tegn grafen for x + y = 0Eks: Tegn grafen for xy = 1Eks: Tegn grafen for x2 + y2 = 4Grafen til eksplisitte ligninger eller funksjoner er særligenkle å finne.Eks: Tegn grafen for y(x) = x2 − 1Vi kommer tilbake til dette igjen og igjen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Den viktigste klassen av ligninger i dette kurset er lineæreligninger.Disse har formen y = αx + b.Grafen er en rett linje.Tallet α kalles stigningstallet og angir hvor bratt grafen er.Tallet b er skjæringspunktet med y -aksen.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Gitt to punkter (x , y) og (x0, y0), hva er ligningen for linjengjennom disse punktene?

α =y − y0

x − x0

Dette er konstant for alle (x , y) på linjen så:

y − y0 = α(x − x0)

er ligningen for den ønskete linje.Eks: Finn ligningen for linjen gjennom (−2,6) og (2,2)

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Gitt to punkter (x , y) og (x0, y0), hva er ligningen for linjengjennom disse punktene?

α =y − y0

x − x0

Dette er konstant for alle (x , y) på linjen så:

y − y0 = α(x − x0)

er ligningen for den ønskete linje.Eks: Finn ligningen for linjen gjennom (−2,6) og (2,2)

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Gitt to punkter (x , y) og (x0, y0), hva er ligningen for linjengjennom disse punktene?

α =y − y0

x − x0

Dette er konstant for alle (x , y) på linjen så:

y − y0 = α(x − x0)

er ligningen for den ønskete linje.Eks: Finn ligningen for linjen gjennom (−2,6) og (2,2)

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Gitt to punkter (x , y) og (x0, y0), hva er ligningen for linjengjennom disse punktene?

α =y − y0

x − x0

Dette er konstant for alle (x , y) på linjen så:

y − y0 = α(x − x0)

er ligningen for den ønskete linje.Eks: Finn ligningen for linjen gjennom (−2,6) og (2,2)

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Gitt to punkter (x , y) og (x0, y0), hva er ligningen for linjengjennom disse punktene?

α =y − y0

x − x0

Dette er konstant for alle (x , y) på linjen så:

y − y0 = α(x − x0)

er ligningen for den ønskete linje.Eks: Finn ligningen for linjen gjennom (−2,6) og (2,2)

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Outline

1 LigningerGenerellt om ligningerLigninger av to variable

2 GraferGenerellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning

LigningerGrafer

Generellt om graferLineære ligninger2 ligninger med 2 ukjennte

2 ligninger med 2 ukjennte kan løses algebraisk ellergrafisk.Med algebraisk menes ved regning.Med grafisk menes som skjæringspunkt(ene) mellomgrafene for begge ligningene.Eks: Løs 2x + y = 1 og −x + y = 1 algebraisk og grafisk.Eks: Løs xy = 1 og x = y algebraisk og grafisk.Eks: Løs x2 + y2 = 1 og y = x + 1 algebraisk og grafisk.

Steffen Junge MA0003 - 2. forelesning