2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2.1. Koordináta-rendszereink

2.2. Az egyenes és sík egyenlete

2.3. Az E. tér projektív lezárása

2.4. Affin transzformációk

2.5. Projektív transzformációk

2009.08 2

Mire jó nekünk az analitikus geometria?

Geometriai modell:pontok, vonalak, felületek – testek

Átalakítások: geometriai számításoktranszformációk

Rajzolás: geometrikus képek;vetületek - transzformációk

API

2.1. Koordináta-rendszereink

• A Descartes-féle derékszögű koordináták

• Polár-koordináták

• Gömbkoordináták, henger-koordináták

• Baricentrikus koordináták

• Homogén koordináták

Valószerű ábrázolás

A valóság részletei – a képen is

A fényképezőgép egyidejűleg

végtelen sok pontot

Számítógép sorban, egyenként

kiválasztott pontokat

A képen a párhuzamosok

látszólag egy pontba

A valóságban

nincs ennek megfelelő pont

Például: egy sínpár perspektívája

X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X és Y tengelyY = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = YZ = [ 0, 0, 1, 0 ] ; Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ] Z tengelyC = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] a kameraF = [ 1, 2, 1, 1 ]; F’ = [ -1, 1, 0, 1] képkeret sarka

Az E 2 egy „inhomogenitása”• Az a egyenes pontjait

K-ból vetítjük az x egyenesre.

• F’ =?; E 2 - ben nincs! ; néha kellene

• Legyen !! Az E 2 kibővítése:

- minden egyenesen van még egy pont,

- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt, távolpont)

- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,

- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

Az euklideszi tér „projektív lezárása”

• Az euklideszi tér (ponthalmaz)

kibővítése ideális pontokkal (halmazával)

• E3 U I3 H3 ; „homogén terünk”

• Az euklideszi tér „projektív lezárása”

• ( H3 és „homogén terünk” : KG )

Homogén koordináták

• Az E 2 egy „inhomogenitása”

• Az euklideszi tér kibővítése

• Homogén koordináták

• Homogén Descartes koordináták

Descartes Homogén koordináták

• „Homogén terünk” szerkezete

• A sík homogén koordinátás egyenlete

• Miért használunk homogén koordinátákat?

A kibővített euklideszi sík

• Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”);

(projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)

• „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2

[„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak

KG]

• A projektív síkban:

bármely két pont meghatároz egy egyenest

bármely két egyenes meghatároz egy pontot

…

A kibővített euklideszi tér

• Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”);

„a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3.

(„homogén tér”, „ H 3 ” csak KG)

• H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal

• A projektív térben:

bármely 2 síknak van közös egyenese

. . .

A kibővített euklideszi tér

Egyenes: „közönséges pontjai” + 1 ideális pont

egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,

úgy, hogy:

párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik;

egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak; ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”)

párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik,

a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

Homogén koordináták (1)

• A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében

O : közönséges pont; belőle X, Y, Z tengelyek, és E pont

• P = (x, y, z) „homogén koordináták” : P = (x, y, z) [x, y, z, 1]

h [x, y, z, 1] = [ h x, h y, h z, h ]; h0

• Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)

• Figyelem: [ x, y, z, w ] h [ -x, -y, -z, -w ] !!

Homogén koordináták (2)

• A v = (x, y, z) vektorral egyező állású egyenesek ideális pontja:

Iv = [ x, y, z, 0 ]; az ideális pont „homogén alakja”, illetve:

Iv = [ x, y, z, 0 ] h [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

Áttérés a homogén alakra és vissza

1. Egy feladat leírása (adatai): DKR-ben:

2. Számítások DKR-ben indulnak,

3. de ha kell („kényes” műveletek előtt):

a. áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1]

b. a „kényes” műveletek homogén alakban; utána

c. az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)

d. visszatérés DKR-be (projektív osztás):

[x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).

4. Az eredmények értékelése DKR-ben.

A projektív osztás; vissza a DKR-be

H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának :

1. ha x4 0, akkor közönséges pont, és :

[x1, x2, x3, x4] [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1] (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),

2. ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: akkor ideális pont, és

~ az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása

3. !!! [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

„Ideális pontok”

E 3 = { (x, y, z) } { [x, y, z, 1] }; x, y, z R I 3 = { [x, y, z, 0] }; x, y, z R

H 3 = E 3 U I 3 ; a „kibővített tér”, a „homogén tér”

Az euklideszi tér kibővítése:minden egyenesnek van még egy pontja:

amely egyenes állását jellemzipárhuzamosok ideális pontja megegyezikegy sík ideális pontjai: a sík ideális egyeneséna tér ideális pontjai: az ideális síkban

Egyenesek közös pontja

„Homogén terünk” szerkezete (olv)

• A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R }

• Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:

Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; x,y,z,w,h R , h ≠ 0, };

A homogén tér:

H 3 = Ax,y,z,w \ A 0,0,0,0 // A 0,0,0,0 = { [0,0,0,0] }

Miért használunk homogén koordinátákat?Miért használunk homogén koordinátákat?

• A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.

• A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)

• transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata

• A középpontos vetítés számolható

a pontok homogén koordinátáival és

4x4-es mátrixokkal

Az egyenes és a sík homogén-koordinátás egyenlete

Megjegyzés:

homogén = egynemű

Az egyenes homogén egyenlete: ax + by + c = 0

Pontok homogén koordinátái: [x, y, z, w]

Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2)

• Az egyenes X = (x, y) [ x,y,1] pontjára (E 2):

a · x + b · y + c = 0; a2 + b2 0; a · x + b · y + c · 1 = 0;

• Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c) (a,b,c) · h; h 0

Az egyenes homogén koordinátás,homogén implicit egyenlete (H 2)

Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja a síkban (h≠0):

P = [ x, y, w ] T x,y,w nem mind 0

• Egy e egyenes homogén(-koordinátás) alakja:

e = [e1, e2, e3] h·[e1, e2, e3]; (h ≠ 0), ei nem mind 0

• Az e egyenes egyenlete: az e minden X H2 pontjára:

e · X = 0, azaz: e1·x + e2·y + e3·w = 0

A sík paraméteres egyenlete (E 3) H 3

Adott: P = (px, py, pz ), Q = (qx, qy, qz ), R = (rx, ry, rz )

X = Q + s · (P - Q) + t· (R - Q) ; s, v RR

= (1-s-t) · Q + s · P + t · R

- a PQR sík minden pontjához található így s,t RR, és

- minden s,t RR -hez tartozik egy X a PQR síkban

A sík implicit, homogén egyenlete (E 3)

A sík X = (x, y,z) [x, y,z,1] pontjára:

a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c2 0;

a · x + b · y + c · z + d · 1 = 0;

„homogén”: (a,b,c,d) (a,b,c,d) · h; h 0

A sík homogén koordinátás homogén, implicit egyenlete

Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):

P = [ x, y, z, w ] T x,y,z,w nem mind 0

• Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h ≠ 0):

s = [s1, s2, s3, s4] h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0

• Az s sík egyenlete: az s minden X H3 pontjára:

s · X = 0, azaz: s1·x + s2·y + s3·z + s4·w = 0

Lássunk a koordináták mögé – t.i.

• z = 0; mi ez?

Egyenlőség, egyenlet, kié-mié?

0 x + 0 y + 1 z + 0 = 0

sík: z = 0 és akármilyen x, y;

az XY sík

• x + y = 0 mi az? HF !

Nevezetes pontok és síkok homogén alakja -olv

• Bármilyen c 0 számmal

[0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja,[0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja,

• [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík,[0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.