2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS 2.1 INTRODUCCIÓN En ciencias e ingeniería, frecuentemente se presenta la necesidad de resolver ecuaciones algebraicas, las cuales pueden constituir problemas completos en sí mismas o bien formar parte de problemas de mayor extensión. La elección de un algoritmo adecuado para un problema algebraico es de gran importancia, pues la velocidad y eficiencia con que se encuentre la solución dependerán en gran medida de la correcta selección del algoritmo. Las ecuaciones algebraicas pueden clasificarse de la siguiente manera (referencia 2):

Lineal(una solución)

Trascendente(número de soluciones

no especificado)

Polinomial(n soluciones)

No lineal(varias soluciones)

Una ecuación(Unidad 2)

Lineal(una solución)

No lineal(varias soluciones)

Sistema de ecuaciones(Unidad 3)

ECUACIONESALGEBRAICAS

Figura 2-1 Clasificación de las ecuaciones algebraicas

En la figura 2-1 puede observarse que para el caso de una sola ecuación el problema será lineal, trascendente* o polinomial, dependiendo del número de soluciones (una solución, un número de soluciones no especificado o n soluciones). En el caso de sistemas de ecuacio-nes, los cuales se estudiarán en la unidad 3, los problemas serán lineales o no lineales de-pendiendo de la naturaleza matemática de las soluciones.

7

* Una ecuación trascendente es una ecuación no lineal que tiene dentro de sus términos funciones trígonomé-tricas como seno, coseno, tangente, etc. o funciones especiales como logaritmo y exponencial.

El problema lineal (una solución) es muy sencillo y no requiere el uso de una computadora, por lo que no es necesario estudiarlo aquí. Por otra parte, el problema no lineal es más complicado y se presenta con mayor frecuen-cia. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones son no lineales: a) −x 045 = b) −x 0)(34 =− xsen c) −x 0120344 234 =−+− xxx En general, son contadas las ocasiones en que las ecuaciones no lineales pueden resolverse mediante métodos directos. Es más conveniente expresar las ecuaciones no lineales en la forma y resolverlas mediante métodos iterativos, utilizando una computadora. Aunque los métodos iterativos proporcionan siempre resultados aproximados, generalmente puede lograrse el grado de precisión deseado.

0)( =xf

Una solución de la ecuación: 0 (2.1) )( =xf es cualquier valor de x tal que, cuando se sustituye en la función f(x), da un resultado igual a cero; a una solución se le llama también “raíz” o “cero”. Las ecuaciones polinomiales (ver la figura 2-1) pueden tener raíces reales, complejas, o una mezcla de ambas, y se resuelven para sus raíces reales y complejas. Las ecuaciones trascendentes se resuelven generalmente sólo para sus raíces reales, aunque también pueden tener raíces complejas. La ecuación (2.1) se expresa también como: ) (2.2) (xfy = donde existe una raíz en cualquier valor de x para el cual y=0. 2.2 MÉTODO DE LA BUSQUEDA BINARIA El método de la búsqueda binaria, conocido también como “del intervalo medio” o “bisec-ción”, es el más simple para encontrar las raíces reales de una función continua y=f(x) en un intervalo a≤ x≤b. En la figura 2-2 se presenta el diagrama de flujo, el cual se desarrolla de la siguiente manera: primero, se evalúa la función f(x) con valores de x igualmente espa-ciados, hasta detectar un cambio de signo en dos valores sucesivos de la función, f(xn) y f(xn+1): un cambio de signo indica la existencia de una raíz. En el rango de xn a xn+1 el valor del punto medio se calcula mediante la fórmula:

8

2

1 nnmed

xxx += + (2.3)

y también se calcula el valor de la función f(xmed). Si el signo de f(xmed) es el mismo que el de f(xn) entonces f(xmed) reemplaza a f(xn); si no, entonces f(xmed) reemplaza a f(xn+1). El intervalo en x en el que la raíz debe encontrarse se reduce a la mitad. Si el valor absoluto de f(xmed) es suficientemente pequeño, el proceso termina. Si no, el proceso se repite.

ALTO ¿Es |f(xmed )|

suficientemente pequeño?

¿Son f(xmed ) y f(xn) del mismo

signo?

Calcular xmed y f(xmed)

Evaluar la función en valo-res de x igualmente espa-ciados, hasta encontrar un cambio de signo de f(xn) a

f(xn+1)

xn=xmed f(xn) = f(xmed)

xn+1=xmed f(xn+1) = f(xmed)

Sí

Sí

No

No

Figura 2-2 Diagrama de flujo para el método de la búsqueda binaria

Cada repetición del proceso iterativo reduce a la mitad la longitud del intervalo en x, y 10 repeticiones, por ejemplo, reducen la longitud del intervalo original en un factor de 210 = 1024 (más de mil veces). Así, 10 o a lo sumo 20 repeticiones serán necesarias en la mayoría de los casos. La figura 2-3 presenta gráficamente el desarrollo del método.

9

El diagrama de flujo indica que el proceso termina cuando “|f(xmed)| es suficientemente pe-queño”. Además de esta prueba para la terminación de la repetición existen otras que podrí-an ser utilizadas, como por ejemplo: ε≤)() medxfa (la prueba mostrada en la figura 2-2)

ε≤− +1) nn xxb (precisión absoluta en x)

ε≤− +

n

nn

xxxc 1) (precisión relativa en x, excepto para x=0)

d) Repetir N veces (un buen método) ε≤− + )()() 1nn xfxfe (valores pequeños de la función) En estas fórmulas, ε es un valor de convergencia definido por el usuario, según la precisión que requiera en el resultado del problema.

Figura 2-3 Método de la búsqueda binaria Ejemplo 2-1 Encuentra una raíz de la ecuación trascendente x tan(x) - 1 = 0 por el método de la bús-queda binaria. Utiliza ε = 0.0001 y 5 cifras decimales. Tomando como referencia el diagrama de flujo de la figura 2-2, el primer paso consiste en calcular los valores de la función x tan(x) – 1 para valores de x igualmente espaciados; el usuario debe decidir en qué valor de x iniciar los cálculos y con qué incremento en x reali-zarlos. Considerando un valor inicial x=0 y un incremento en x=0.1, se tendrán los siguien-tes resultados:

10

x x tan(x) -1 0 -1.00000 0.1 -0.98997 0.2 -0.95946 0.3 -0.90720 0.4 -0.83088 0.5 -0.72685 0.6 -0.58952 0.7 -0.41040 0.8 -0.17629 0.9 +0.13414

Los dos últimos valores calculados corresponden al cambio de signo buscado en la fun-ción. Entonces: xn = 0.8 f(xn) = - 0.17629 xn+1 = 0.9 f(xn+1) =+ 0.13414 El siguiente paso será calcular xmed y f(xmed):

85.02

8.09.02

1 =+

=+

= + nnmed

xxx

03242.01)85.0tan(85.01)tan()( −=−=−= xxxf med

Al comparar en seguida los signos de f(xmed) y f(xn), resulta que sí son del mismo signo (ambos son negativos), por lo que, siguiendo el procedimiento de la figura 2-2, se realiza la siguiente asignación de valores: xn = xmed = 0.85 f(xn) = f(xmed) = -0.03242 Los valores anteriores de xn y f(xn) desaparecen, es decir, son sustituidos por estos nue-vos valores. Luego, se compara |f(xmed)| contra un valor de convergencia, llamado epsilon (ε), dado al principio del problema, para comprobar si |f(xmed)| ≤ ε. La respuesta en este momento es no, pues |f(xmed)| = 0.03242 y ε = 0.0001. Por lo tanto, habrá que regresar en el procedi-miento al segundo paso del mismo, para volver a calcular xmed y f(xmed). En este momento termina la primera iteración del método. En la segunda iteración, el siguiente paso es volver a calcular xmed y f(xmed):

875.02

85.09.02

1 =+

=+

= + nnmed

xxx

04774.01)875.0tan(875.01)tan()( +=−=−= xxxf med

En seguida, se compararan los signos de f(xmed) y f(xn), y resulta que no son del mismo signo, pues f(xmed) es positiva y f(xn) es negativa, por lo que se realiza la siguiente asigna-ción de valores: xn+1 = xmed = 0.875 f(xn+1) = f(xmed) = +0.04774

11

Estos valores sustituyen a los valores anteriores de f(xn) y f(xn+1). Al comparar |f(xmed)| contra el valor de convergencia epsilon (ε), se observa que no es suficientemente pequeño, por lo que se procederá a calcular xmed y f(xmed) en el segundo paso del algoritmo de la figura 2-2. En este momento termina la segunda iteración del método. El procedimiento continúa, iteración tras iteración, hasta que en la novena iteración |f(xmed)| sí es suficientemente pequeño y el problema termina. El valor de xmed en la nove-na iteración, xmed = 0.86036, es la solución del problema. Se deja como ejercicio al estu-diante realizar desde la tercera hasta la novena iteraciones. Los resultados son: Iteración xmed f(xmed) 1 0.85 -0.03242 2 0.875 +0.04774 3 0.8625 +0.00692 4 0.85625 -0.01293 5 0.85938 -0.00305 6 0.86094 +0.00193 7 0.86016 -0.00055 8 0.86055 +0.00069 9 0.86036 +0.00007

2.3 MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN El método de la falsa posición, al que también se le llama “de la regla falsa”, se basa en una interpolación lineal entre dos valores de una función, los cuales tienen signos contrarios. En la figura 2-4 se presenta el diagrama de flujo del método, el cual es muy parecido al de la búsqueda binaria. Primero, se evalúa la función en valores de x igualmente espaciados, has-ta encontrar un cambio de signo en los valores sucesivos de la función f(xn) y f(xn+1). Una línea recta que pasa a través de estos dos puntos tendrá una raíz dada por:

−−

−=+

+

)()()(

1

1*

nn

nnnn xfxf

xxxfxx (2.4)

Este valor se usa para encontrar f(x*), la cual se compara contra f(xn) y f(xn+1) para reem-plazar a la que tenga el mismo signo. Si |f(x*)| no es lo suficientemente pequeño, el proceso se repite. En la figura 2-5 se muestra gráficamente el procedimiento. En el método de la falsa posición no se puede estar seguro del número de pasos requeridos para reducir el intervalo en x a un valor predeterminado, mientras que en el método de la búsqueda binaria sí es posible, pues con 10 iteraciones, el intervalo en x se reduce 1024 veces en la búsqueda binaria. Por lo tanto, no se puede hacer una estimación del tiempo que tardará el método de la falsa posición en encontrar la solución, y así como puede encontrar-

12

la rápidamente, puede tardar mucho en hacerlo, cuando la forma de la curva de la función no propicie un acercamiento rápido a la solución. Como muchas aplicaciones de computa-dora requieren de una estimación del tiempo que tardarán y como el método de la falsa po-sición puede ser lento, no es recomendable para los casos en los que el tiempo sea un factor crítico.

ALTO ¿Es |f(x*)| sufi-cientemente pe-

queño?

¿Son f(x*) y f(xn) del mismo

signo?

Calcular x* y f(x*)

Evaluar la función en valo-res de x igualmente espa-ciados, hasta encontrar un cambio de signo de f(xn) a

f(xn+1)

xn= x* f(xn) = f(x*)

xn+1=x* f(xn+1) = f(x*)

Sí

Sí

No

No

Figura 2-4 Diagrama de flujo para el método de la falsa posición 2.4 MÉTODO DE NEWTON El método iterativo de Newton es muy utilizado ya que por lo general encuentra rápidamen-te la solución de la ecuación algebraica. Sin embargo, en algunos casos puede tener dificul-tades, o fallar, en la búsqueda del resultado de la ecuación.

13

Este método se basa en una extrapolación, mediante una línea que es tangente en un punto a la curva que representa la función f(x). La figura 2-6 presenta el diagrama de flujo del mé-todo.

Figura 2-5 Método de la falsa posición

ALTO ¿ Es | f(x n+1 )|

suficienteme n- te pequeño?

E scoger un valor ad e- cuado de inicio x n

Calcular x n+1 y f(x n+1 )

x n = x n+1

Sí

No

Figura 2-6 Diagrama de flujo del método de Newton

El método de Newton se desarrolla a partir de una expansión en series de Taylor, de la for-ma:

14

…+++=+ )(''2

)(')()(2

nnnn xfhxhfxfhxf (2.5)

los términos con h2 y un mayor orden no se toman en cuenta en la serie, y se utiliza un va-lor xn+h = xn+1. Se considera, además, que el paso desde xn hasta xn+1 lleva el valor de la función más cerca de la raíz, de tal modo que f(xn+h)=0. Entonces:

)(')(

1n

nnn xf

xfxx −=+ (2.6)

El valor xn+1 es equivalente al punto donde la tangente a la curva en xn pasa a través del eje x. Luego, el proceso se repite usando xn = xn+1 como el nuevo punto base y cuando |f(xn+1)| es lo suficientemente pequeño, el proceso termina. La figura 2-7 muestra gráficamente el procedimiento.

Figura 2-7 Método de Newton

El método de Newton es recomendable porque no es necesario encontrar un cambio de sig-no en los valores de la función y, por lo general, converge rápidamente. Por otra parte, tiene como desventaja que es necesario encontrar la primera derivada de la función; en algunos casos la forma de la función, así como el valor inicial de x considerado, pueden ocasionar que el método falle. La figura 2-8 presenta algunos casos en que el método de Newton se topa con dificultades. Ejemplo 2-2 Encuentra una solución de la ecuación x tan(x ) - 1 = 0 por el método iterativo de Newton, utilizando cinco cifras decimales. Considera ε=0.0001 y un valor inicial de x igual a uno. Para este ejemplo: f(x) = x tan(x) –1 y hay que encontrar la primera derivada, la cual es: f’(x) = x sec2(x) + tan(x)

15

Figura 2-8 Dificultades con el método de Newton Para los cálculos, es conveniente utilizar la siguiente identidad trigonométrica:

2

2

)cos(1)(sec

=

xx

Siguiendo el procedimiento de la figura 2-6, el primer paso consiste en suponer un valor inicial xn, el cual es un dato del problema, y al cual se le llama x0. Entonces, x0=1.

16

El segundo paso es calcular xn+1, que en este caso será x1, mediante la ecuación 2.6:

88814.0

)1tan()1cos(

11

1)1tan(11)(')(

20

001 =

+

−−=−=

xfxfxx

La función correspondiente f(x1) es: 09232.01)88814.0tan(88814.0)( 1 =−=xf En el tercer paso, nos preguntamos si |f(x1)| es suficientemente pequeño, y al comparar contra el valor dado de ε la respuesta es no. Aquí termina la primera iteración. En la segunda iteración, el procedimiento nos envía nuevamente al segundo paso, donde habrá que calcular nuevamente xn+1, que en este caso, se llamará x2. El valor de x2 es:

86146.0

)88814.0tan()88814.0cos(

188814.0

1)88814.0tan(88814.088814.0)(')(

21

112 =

+

−−=−=

xfxfxx

El valor de f(x2) es: 00361.01)86146.0tan(86146.0 =−

|f(x2)| no es suficientemente pequeño. Aquí termina la segunda iteración. En la tercera iteración se calculan x3 y f(x3), cuyos valores son:

86034.0

)86146.0tan()86146.0cos(

186146.0

1)86146.0tan(86146.086146.0)(')(

22

223 =

+

−−=−=

xfxfxx

00001.01)86034.0tan(86034.0)( 3 =−=xf En esta iteración, |f(x3)| sí es suficientemente pequeño y el proceso termina. La solución es el último valor de x, en este caso x3 = 0.86034, encontrada en tres iteraciones. 2.5 MÉTODO DE LA SECANTE Una de las desventajas del método de Newton es que se requiere que el usuario encuentre la primera derivada de la función f(x). En caso de que sea difícil hallar esta derivada, se puede usar una aproximación de la misma, en la cual se basa el método de la secante. En la ecuación ya presentada (2.6) para el método de Newton:

)(')(

1n

nnn xf

xfxx −=+

17

se puede sustituir la siguiente aproximación para la derivada:

n

nnnn

xfxfxfδ

δ )()()('

−+≈ (2.7)

donde:

(2.8) 010010 0

5000

50

1

==≠=

−=−−

−

xsiyxsixxx nnn

δδ

δ

El diagrama de flujo del método de la secante es el mismo que el método de Newton. Ade-más, se pueden presentar los mismos problemas de convergencia en el método de la secante que en el de Newton. Ejemplo 2-3 Resuelve la ecuación x tan(x) –1 = 0 por el método de la secante, utilizando siete cifras decimales. Considera ε=0.0001 y un valor inicial de x igual a uno. Primera iteración: Como x0=1, x0≠0. Usando las ecuaciones (2.8) se tiene: x0=1 δ0=10-5x0=10-5(1)=10-5=0.0000100 x0+δ0=1.0000100

[ ] 8881938.0

0000100.05574077.01)0000100.1tan(0000100.1

5574077.01)()(

1)1tan(11)(')(

0

0000

001 =

−−−=

−+−

−=−=

δδ xfxfxf

xfxx

0925231.01)8881938.0tan(8881938.0)( 1 =−=xf Como |f(x1)| no es suficientemente pequeño, se tiene que realizar la siguiente iteración. Segunda iteración: x1=0.8881938 δ1=x0-x1=0.1118062 x1+δ1=1.0000000

[ ] 8659417.0

1118062.00925231.01)0000000.1tan(0000000.1

0925231.08881938.0

)()(1)8881938.0tan(8881938.08881938.0

)(')(

2

1

1111

112

=−−

−=

−+−

−=−=

x

xfxfxfxfxx

δδ

0180109.01)8659417.0tan(8659417.0)( 2 =−=xf Como |f(x2)| no es suficientemente pequeño, se tiene que realizar la siguiente iteración. Tercera iteración: x2=0.8659417 δ2=x1-x2=0.0222521 x2+δ2=0.8881938

18

[ ] 8605630.0

0222521.00180109.01)8881938.0tan(8881938.0

0180109.08659417.0

)()(1)8659417.0tan(8659417.08659417.0

)(')(

3

2

2222

223

=−−

−=

=−+

−−=−=

x

xfxfxfxfxx

δδ

0007309.01)8605630.0tan(8605630.0)( 3 =−=xf Como |f(x3)| no es suficientemente pequeño, se tiene que realizar la siguiente iteración. Cuarta iteración: x3=0.8605630 δ3=x2-x3=0.0053787 x3+δ3=0.8659417

[ ] 8603355.0

0053787.00007309.01)8659417.0tan(8659417.0

0007309.08605630.0

)()(1)8605630.0tan(8605630.08605630.0

)(')(

4

3

3333

334

=−−

−=

−+−

−=−=

x

xfxfxfxfxx

δδ

0000061.01)8603355.0tan(8603355.0)( 4 =−=xf |f(x3)| sí es ahora suficientemente pequeño, por lo que el problema termina, y la solución es el último valor de x obtenido, x4 = 0.8603355. 2.6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINOMIALES Las ecuaciones algebraicas que presentan una suma de potencias enteras de x se llaman ecuaciones polinomiales. Su forma general es: (2.9) 0

01

11

1 =++++ −− axaxaxa n

nn

n … En el caso de estas ecuaciones, se buscarán sus raíces reales y complejas, pues en las apli-caciones de los polinomios generalmente se requieren ambos tipos de raíces. 2.6.1 Propiedades de los polinomios Las siguientes propiedades de los polinomios son útiles en la determinación de sus raíces:

a) Un polinomio de orden n tiene n raíces, las cuales pueden ser reales o complejas. b) Si todos los coeficientes ai de un polinomio son reales, las raíces complejas que apa-

rezcan lo harán en pares complejos conjugados*.

* Dos números complejos conjugados son aquellos que tienen idénticas partes reales (en signo y magnitud) y cuyas partes imaginarias son de la misma magnitud pero de signo contrario, por ejemplo, 3+2i y 3-2i.

19

c) El número de raíces reales positivas de un polinomio es igual o menor que (en un número par) el número de cambios de signo en los coeficientes ai.

d) El número de raíces reales negativas de un polinomio es igual o menor que (en un número par) el número de cambios de signo en los coeficientes ai, si x se reemplaza por –x.

Ejemplo 2-4 ¿Qué se puede decir de la siguiente ecuación: x4-x3-4x2+34x-120 = 0 aplicando las pro-piedades de los polinomios? Antes de resolver la ecuación podemos decir que:

• Tiene 4 raíces reales o complejas, según lo establecido en la propiedad a) • Las raíces complejas que aparezcan lo harán en pares conjugados, como lo dice

la propiedad b) • En la ecuación x4-x3-4x2+34x-120, se presentan 3 cambios de signo al ir recorrien-

do los coeficientes ai, por lo que habrá tres, o una, raíces reales positivas, según la propiedad c).

• En la ecuación x4-x3-4x2+34x-120, hay un cambio de signo al ir recorriendo los co-eficientes ai, cuando x se reemplaza por –x, por lo que habrá una raíz real positiva, tal y como se describe en la propiedad d).

Cuando se resuelve el polinomio por algún método apropiado, sus raíces resultan ser:

x = 1+3i x = 1-3i

x = 3 x = -4

que corresponden a lo establecido por las propiedades de los polinomios. 2.6.2 Método iterativo de Newton En la referencia 6 de la bibliografía se menciona la existencia de métodos directos para encontrar las raíces de polinomios hasta de cuarto orden. Sin embargo, los métodos direc-tos son muy laboriosos y se recomienda emplear métodos iterativos para polinomios de orden tres, cuatro y mayores. Los métodos iterativos ya mencionados en este capítulo, co-mo por ejemplo el método iterativo de Newton y el de la secante, pueden usarse para en-contrar las raíces reales y complejas de polinomios, utilizando aritmética compleja. Así mismo, se pueden utilizar otros métodos, como los de Lin y Bairstow. (referencia 2) En la tabla siguiente se presentan las fórmulas para las operaciones aritméticas con núme-ros complejos:

20

Tabla 2-1 Operaciones aritméticas con números complejos (c1=a1+ib1 y c2=a2+ib2)

Operación Resultado

21 cc + )()( 2121 bbiaa +++

21 cc − )()( 2121 bbiaa −+−

21 cc ⋅ )()( 12212121 babaibbaa ++−

2

1

cc

+−

+

++

22

22

12122

22

2

2121

baabbai

babbaa

1c 21

21 ba + (magnitud o valor absoluto de c1)

*1c 11 iba − (conjugado de c1)

Ejemplo 2-5 Resuelve el polinomio: x4-x3-4x2+34x-120 = 0 por el método iterativo de Newton, usando aritmética compleja, con 4 cifras decimales y ε=0.0001, con un valor inicial de x=4+4i. En este ejemplo nos referimos nuevamente al diagrama de flujo de la figura 2-6. La prime-ra derivada de la función es: f’(x) = 4x3-3x2-8x+34 En este ejemplo, en todas la operaciones donde intervengan números complejos, se apli-carán las fórmulas de la tabla 2-1 Primera iteración:

ix 440 +=

iiiix

iiiiiiii

xfxfxx

0207.30119.30000.3840000.5100000.1200000.880)44(

34)44(8)44(3)44(4120)44(34)44(4)44()44()44(

)(')(

1

23

234

0

001

+=+−−−

−+=

++−+−+−+++−+−+

−+=−=

ixfiiiixf

6620.263500.293)(120)0207.30119.3(34)0207.30119.3(4)0207.30119.3()0207.30119.3()(

1

2341

−−=−+++−+−+=

550.294)6620.26()3500.293()( 221 =−+−=xf no es suficientemente pequeño.

21

Segunda iteración:

iiiix

iiiiiii

ixxfxfxx

2903.21032.28200.1394300.2106620.263500.293)0207.30119.3(

34)0207.30119.3(8)0207.30119.3(3)0207.30119.3(4120)0207.30119.3(34)0207.30119.3(4)0207.30119.3()0207.30119.3(

)0207.30119.3()(')(

2

23

2342

1

112

+=+−−−

+=

++−+−+−+++−+−+

−+=

−=

ixfiiiixf

1196.55400.113)(120)2930.21032.2(34)2930.21032.2(4)2930.21032.2()2930.21032.2()(

2

2342

+−=−+++−+−+=

6594.113)1196.5()5400.113(( 222 =+−=xf no es suficientemente pequeño

El método continúa, de la misma manera, hasta llegar a la novena iteración, en la cual:

, |f(xix 0000.30000.19 += 9)| sí es suficientemente pequeño, y el proceso termina. Una raíz del polinomio es el último valor de x encontrado, x=1.0000+3.0000i. Por la segunda propiedad de los polinomios mencionada en la sección 2.6.1, hay otra raíz el valor x=1.0000-3.0000i, que es el complejo conjugado de la primera solución. Para encontrar las otras dos raíces, habrá que repetir todo el proceso otras dos veces, pero con valores diferentes de x0. Por ejemplo, ejecutando el método iterativo de Newton con un valor inicial x0=2+2i, resulta, luego de 10 iteraciones, la tercer raíz (real) x10=3.0000, y si volvemos a realizar los cálculos, ahora con x0=-3+1i, se encuentra la cuar-ta raíz, también real, en 8 iteraciones, x8=-4.0000. Las cuatro raíces del polinomio dado son:

x = 1.0000+3.0000i x = 1.0000-3.0000i x = 3.0000 x = -4.0000

El número de raíces reales negativas (una) y de raíces reales positivas (también una) co-incide con la predicción que se hizo en el ejemplo 2-4. 2.7 CONCLUSIONES Existen otros métodos además de los presentados en este capítulo para la solución de ecua-ciones algebraicas. La selección de los métodos mostrados aquí se basó en la sencillez, efectividad y rango de aplicación de los mismos.

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En la referencia 2 se establecen las siguientes reglas generales, de acuerdo al tipo de pro-blema a resolver:

a) Ecuaciones trascendentes: En este caso debe recordarse que los métodos de Newton y la secante son casi siempre más rápidos que otros métodos, aunque no siempre convergen*. Por otra parte, los métodos más lentos, como el de la búsqueda binaria, garantizan la solución para cualquier función continua una vez que se ha encontrado un cambio de signo.

b) Ecuaciones polinomiales: De los métodos iterativos de solución, algunos son mejo-res que otros para un problema en particular. Para una mayor eficacia, se sugieren algunos métodos, de acuerdo al orden del polinomio:

Orden del polinomio Método sugerido

3 ≤ n ≤5 Newton iterativo 6 ≤ n ≤ 84 Secante

85 ≤ n Métodos de Lin y Bairstow

* Convergencia: la convergencia en un método numérico significa que en cada iteración el resultado de la misma tiende cada vez más a la solución del problema.

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