Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solución Numérica

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Solución Numérica

Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales.

Ecuacion Diferencial Ordinaria : ecuaciones diferenciales que involucran solamente UNA variable independiente son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ecuación Diferencial Parcial: : ecuaciones diferenciales que involucran dos o mas variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales parciales.

EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria

Soluciones de EDOs Analítica y Numérica

Resolver la EDO para encontrar una familia de soluciones.Elije la solución que satisface las condiciones iniciales correctas. Encuentra una fórmula analítica parar y(t)

Empieza con las condic. inicialesResuelve para pequeños tamaños de paso (t).Resuelve aprox. en cada t Encuentra pares de puntos: (t0,y0), (t1,y1), …

y(0)=b

t

y

t0, y0

t1, y1

t2, y2t3, y3

t t t

y

t

Método de Solución Analítica

Método de Solución Numérica

La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se llama la " solución de la forma cerrada”

Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).



En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada.

En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.

Metodos de un solo paso

El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior

y

x

yi

h

yi+1

xi xi+1

y(x)

(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)

Método de Taylor de orden “k”

bax

yxy

yxfy

,

,

00

Sea una EDO de primer orden:

Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la EDO, haciendo:

ii yxy ''


Podemos plantear el algoritmo siguiente:

ki

k

iiiii

ii

yk

hy

hy

hyhyy

hxx

iPara

hyyxDado

!'''

!3''

!2'

,3,2,1

,:

32

1

1

00

Siendo E el error de truncamiento.

1

11

!1

iik

k

xxyk

hE


Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando Taylor de orden 3

Solución

10

12

1' 2

y

yxy

''1'1'2'''

'12

1''

2

2

yyxyxyyy

yyxyy


'''6

''2

'

4...,,0

1

0

32

1

1

0

0

nnnnn

nn

yh

yh

hyyy

hxx

npara

y

x


224

4:

xxxyExacto


Metodo de Euler

Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:

Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)

y

x

yi

h

yi+1

00

,

yxy

yxfdx

dy

nnnn

nn

yxhfyy

hxx

nPara

hyyxDado

,

,2,1,0

,

1

1

00

xi xi+1

Metodo de Euler

La primera derivada proporciona un estimado directo de la pendiente en xi

La ecuación es aplicada iterativamente, un paso a la vez, sobre una distancia pequeña para reducir el error

Por esto se conoce como método de un solo paso.

EJEMPL0

24=dy

xdx

Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:

2

3

3

dy4x

dxI.C. y 1 at x 1

4y x C

31

C3

4 1y x

3 3y 1.1 1.44133

2

i 1 i

2

2

dy4x

dxy y h

y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4

Note :

y 1.1 y 1 4 1 0.1

dy/dxC.I.. Tamaño del

pasoRecordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces

Recordar la solución analítica es 1.4413

2

2

y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2

y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205

Obtenemos:

Análisis del Error -Método de Euler

Error de truncación - causado por la naturaleza de la técnica empleada para aproximar los valores de y Error local de truncación (a partir de la Serie de

Taylor) Propagación del error de truncación Suma de los dos es el error global

Error de Redondeo – causado por el numero limitados de dígitos significativos que pueden ser retenidos por computadora o calculadora

Método de Euler – Ejemplo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

5

0.5

0.7

5 1

1.2

5

t

Exact

Numerical

y

tey 1solución Analítica

1.0

00

1'

h

y

yy

Método de Euler – Ejemplo

n tn yn fn= -

yn+1yn+1= yn+Dt fn

0 0 0.000 1.000 0.100

1 0.1 0.100 0.900 0.190

2 0.2 0.190 0.810 0.271

3 0.3 0.271 0.729 0.344

4 0.4 0.344 0.656 0.410

5 0.5 0.410 0.590 0.469

6 0.6 0.469 0.531 0.522

7 0.7 0.522 0.478 0.570

8 0.8 0.570 0.430 0.613

9 0.9 0.613 0.387 0.651

Método de Euler Mejorado o Heun

Un error fundamental en el método de Euler es que se asume la derivada en el principio del intervalo para aplicarse a través de todo el intervalo.

Una simple modificación será demostrada. Esta modificación pertenece realmente a una clase

más grande de las técnicas de solución llamadas Runge-Kutta que exploremos más adelante.

Método de Heun

Considere la siguiente expansión de Taylor:

i i 2i 1 i i i

f ' x ,yy y f x ,y h h

2

Aproxime f’ con una diferencia progresiva

i 1 i 1 i ii i

f x ,y f x ,y' x ,f y

h

Substituyendo en la expansión

2i 1 i i 1 i

i 1 i i if f h f f

y y f h y hh 2 2

Método de Heun

Determine las derivadas para el intervalo Punto inicial Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto

inicial)Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la

pendiente para el intervalo completo Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.

Método de Heun

y

xi xi+1

Evaluar la pendiente en xi

La proyección consigue f(xi+1 )Basado en el tamaño del paso h

h

y

xi xi+1

h

y

xi xi+1

Ahora determine la pendiente en xi+1

y

xi xi+1

Tomar los promedios de estas dos pendientes

y

xi xi+1

y

xi xi+1

Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

{

y

xi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

{

Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1

y

xi xi+1

y

xxi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2

,, 111

y

xxi xi+1

h

yxfyxfyy iiii

ii 2,, 11

1

hyy ii 1

Metodo de Euler Mejorado (Heun)

Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:

00

,

yxy

yxfdx

dy

2

,,

,

,2,1,0

,

1*

11

1*

1

00

nnnnnn

nnnn

nn

yxfyxfhyy

yxhfyy

hxx

nPara

hyyxDado


Ejemplo

??5.1

1.0

11

2'

y

h

y

xyy

232.1

2

22

2

,,

2.12,

1.1

1.0

1

1

1

*1100

01

*1100

01

0000001*

01

0

0

y

yxyxhyy

yxfyxfhyy

yxhyyxhfyy

hxx

h

y

x


Ejemplo

Metodo de Runge-Kutta de orden 2

A partir del método de Heun podemos deducir el método de Runge-Kutta

00

,

yxy

yxfdx

dy

2

,

,

,2,1,0

,

211

12

1

1

00

kkyy

kyhxhfk

yxhfk

hxx

nPara

hyyxDado

nn

nn

nn

nn


Ejemplo

??1.1

11

2

y

y

xydx

dy

232.12

264.02,

2.02,

1.1

1.0

1

1

211

1001002

00001

01

0

0

kk

yy

kyhxhkyhxhfk

yxhyxhfk

hxx

h

y

x

nn

Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler Mejorado


00

,

yxy

yxfdx

dy

6

22

,

2,

2

2,

2

,

,2,1,0

,

43211

34

23

12

1

1

00

kkkkyy

kyhxhfk

ky

hxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

hxx

nPara

hyyxDado

nn

nn

nn

nn

nn

nn


11

2

y

xydx

dy

1.23367805exactoValor

23367435.16

22

2715361.02,

234255.022

22

,2

231.022

22

,2

2.02,

1.0

1.011

432101

3003004

200

2003

100

1002

00001

01

00

kkkkyy

kyhxhkyhxhfk

ky

hxh

ky

hxhfk

ky

hxh

ky

hxhfk

yxhyxhfk

hxx

hyx

Los métodos para solucionar una ecuacion diferencial de primer orden pueden ser adaptados a la solución de sistemas de primer orden.

0021

02

02212

2

01

01211

1

,,,,

,,,,

,,,,

nnnnn

n

n

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

yxyyyyxfdx

dy

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

002

001

,,

,,

zxzzyxfdx

dz

yxyzyxfdx

dy


Donde busca aproximar y(x) y z(x)

Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que consta de dos EDOs de primer orden:

21

11

2

zzyxdx

dz

yzyxdx

dy


Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)

nnnnn

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyx

hzzz

hyyy

hxx

21

1

1

000

1

1

1

211

'

'


Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:

401.2

87.1

2.1

2.2

4.1

1.1

1.0211

112

112

11112

12

002

001

00001

01

000

zyxhzz

zyxhyy

hxx

zyxhzz

zyxhyy

hxx

hzyx


Reemplanzado valores:


Se tiene una solución aproximada en forma discreta:

n xn yn zn

0 1 1 2

1 1.1 1.4 2.2

2 1.2 1.87 2.401

''2*2/

''1*2/

''*2/'

''*2/'

221

21

1

21

21

1

nnnnnnnn

nnnnnnn

nn

nnnn

nnnn

nn

zyxhzyxhzz

zyhzyxhyy

hxx

zhhzzz

yhhyyy

hxx


Si queremos mejorar la exactitud del resultado podemos usar un paso h mas pequeño o usar Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:

211

211

112

112

1

1

1

2

12

1

,,

,,

,,

,,

llzz

kkyy

lzkyhxhgl

lzkyhxhfk

zyxhgl

zyxhfk

hxx

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

nn


También se puede hacer una adaptación del método de Runge-Kutta 2

Los problemas de valor inicial de mayor orden pueden ser transformados en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

1-n

1-n

n

n

,,,,dt

yd

dt

dyytg

dt

yd

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:


002

2

00

00

2

2

3

3

''

'

,,,

ytdt

yd

ytdt

dy

yty

dt

yd

dt

dyytg

dt

yd

La EDO de tercer orden se transforma en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden:


002

2

0

000

00

''

'

ytdt

ydtw

ytdt

dytz

yty

wzytgdt

dw

wdt

dz

zdt

dy

,,,

Considere una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema de masa y resorte vibratorio

Las cond. iniciales son x(0) =x0 y x’(0) =0.

02

2

kxdt

dxc

dt

xdm


Re-escribir la ecuación:

La primera derivada puede ser escrita:

x

m

k

dt

dx

m

c

dt

xd2

2

2

2

y dt

xddtdv

vdtdx


La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.

xm

kv

m

c

dt

dv

vdt

dx


Sistemas de Valor Inicial Problemas

Las ecuaciones pueden ser definidas:

xm

kv

m

cvxtf

dt

dv

vvxtfdt

dx

,,

,,

2

1

Podemos aplicar Euler:

iii

iii

vxtftvdt

dvtvv

vxtftxdt

dxtxx

,,

,,

2ii1i

1ii

i1i

Sistemas de Valor Inicial Problemas

Diferenciales mayor-orden Problemas Ejemplo

Considere una ecuación diferencial de segundo orden para sistemas de masa-resorte vibrante.

Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0 y Dt = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))

042

2

2

2

xdt

xdx

m

k

dt

xd

Problema EjemploLa ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.

xdt

dv

vdt

dx

4

Problema EjemploEl desarrollo del método de Euler.

t x v dx/dt dv/dt Valor exacto0 0,2 0 0 -0,8 0,2

0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,199840020,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,199360340,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,198561730,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,197445460,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332

0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,194267590,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,192211090,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,189847080,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,187179360,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122

0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,180950330,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,177398980,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,173563840,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,169451020,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712

Problema Ejemplo

Ejemplo

Se puede observar un error que cada vez se irá incrementando.

Euler Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

Dis

pla

cem

ent

x

v

actual value

ii1i

ii1i

4*

*

xtvv

vtxx

Las ecuaciones son definidas como funciones.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1

Problema Ejemplo

Los componentes de Runge-Kutta:

ki,j donde i es el paso y j es la función.

2,3i1,3ii11,4

2,2i1,2ii11,3

2,1i1,1ii11,2

iii11,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

2,3i1,3ii22,4

2,2i1,2ii22,3

2,1i1,1ii22,2

iii22,1

,,*

2

1,

2

1,

2*

2

1,

2

1,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxt

tftk

kvkxt

tftk

vxtftk

Problema Ejemplo

La actualización de un sólo paso:

Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0

2,42,32,22,1i1i

1,41,31,21,1i1i

*2*26

1

*2*26

1

kkkkvv

kkkkxx

Problema Ejemplo

Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto

0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,20,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,19980,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,19940,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,19860,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,19740,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196

0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,19430,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,19220,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898

xvxtfdt

dv

vvxtfdt

dx

4,,

,,

2

1

Los puntos tienen menos error que el método de Euler.

La aproximación depende del tamaño del paso del problema

4th order Runge Kutta Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Time (t)

Dis

plac

emen

t

v

x

actual value

Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Estas técnicas pueden trabajar con grandes sistemas de ecuaciones para realizar una serie de integraciónes del problema. Las ecuaciones se pueden solucionar como serie de EDOs.

0

0

12212

222

2

2

111

121

2

1

yykdt

dy

dt

dyc

dt

ydm

ykdt

dyc

dt

ydm

Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e y’2.


122

212

2

22

22

11

11

1

11

11

yym

kvv

m

c

dt

dv

vdt

dy

ym

kv

m

c

dt

dv

vdt

dy

El problema es formado por 4 EDOs de primer orden con cuatro variables y condiciones iniciales.


2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1000

00

0010

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

El problema puede ser escrito en el formato matricial y solucionado por consiguiente

.


Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar las ecuaciones.

tF

tF

v

y

v

y

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

dt

dvdt

dydt

dvdt

dy

22

11

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

sin

0

sin

0

1000

00

0010


Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algún punto diferente del valor inicial de la variable independiente.

Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera

EI

xMy "

Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales

y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0

73

Método de Diferencias Finitas

Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

byay

bax

xryxqyxpy

,

'''

Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales

111100

1210 21

nnnn

n

yxyyxyyxyyxy

bxhaxhaxaxn

abh

74


Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera y segunda derivada

211

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

75


Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:

iiiiii xryxqyxpy '''

76


Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

1

0

112

11

2

2

:1

n

iiiii

iiii

y

y

xryxqh

yyxp

h

yyy

niPara

77


Agrupando:

1

0

21

21 2

122

1

:1

n

iiiiiii

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

niPara

78


Luego:

1

0

21

21

22

32222

12

12

21112

01

212

21

212

21

212

21

n

nnnnnnn

y

y

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph

xrhyxph

yxqhyxph

79


Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

nn

n

n

n

nn

nn

xph

xrh

xrh

xrh

xph

xrh

y

y

y

y

xqhxph

xph

xqh

xph

xph

xqhxph

xph

xqh

21

21

22

100

212

02

10

212

21

002

12

2

12

22

112

1

2

1

2

112

3

222

2

112

80


Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e

y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solucion.-Discretización:

x0 x1 x2 x3 x4 X5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

y0 y1 y2 y3 y4 y5

0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283

81


Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:

211

11

2''

2'

h

yyyy

h

yyy

iiii

iii

Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:

022

2

4:1

02'"

112

11

i

iiiii

iii

yh

yy

h

yyy

iPara

yyy

82


Reemplazando para cada nodo:

022

2

022

2

022

2

022

2

435

2345

324

2234

213

2123

102

2012

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

yh

yy

h

yyy

83


Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1

02283.055283.0100200100

0255100200100

0255100200100

0251.051002001.0100

4343

342432

231321

1221

yyyy

yyyyyy

yyyyyy

yyyy

84


Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:

2308.0

1879.0

1527.0

1238.0

885.26

0

0

5.10

20210500

952021050

095202105

0095202

4

3

2

1

4

3

2

1

y

y

y

y

y

y

y

y

85

Método del DisparoSea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:

Bbu

utu

uutgu

00

',,"

Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.

86

Método del Disparo

El problema de valor inicial resultante: stu

utu

uutgu

0

00

'

',,"

87

Método del Disparo

88

Método del Disparo

89

Método de Disparo

Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e

y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solución.-

366.005.0

1.0283.0

283.0

5.0

0

00

xb

yBs

B

b

Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:

90

Método de Disparo

366.00

1.00

2'

'

z

y

yzz

zy

Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:

Método de Disparo

Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.36600

1 0.1 0.13966 0.42952

2 0.2 0.18643 0.50876

3 0.3 0.24204 0.60706

4 0.4 0.30861 0.72849

5 0.5 0.38867 0.87803

0s

05 sy

Método de DisparoCalculando una nueva pendiente aproximada s1:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.15466

1 0.1 0.11736 0.19369

2 0.2 0.13901 0.24090

3 0.3 0.16587 0.29815

4 0.4 0.19905 0.36770

5 0.5 0.23991 0.45232

1s

15 sy

15466.0

05.0

38867.0283.0366.0

1

0

0501

s

xb

syBss

Método de DisparoMediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.21588

1 0.1 0.12382 0.26200

2 0.2 0.15274 0.31849

3 0.3 0.18793 0.38763

4 0.4 0.23078 0.47221

5 0.5 0.28300 0.57564

2s

25 sy

21588.0

38867.023991.038867.0283.0

366.015466.0366.0

2

0515

050102

s

sysysyB

ssss

625 103 xBsy

Documents

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solución Numérica