Upload
naely-azhaar-setyawan
View
60
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
powerpoint
Citation preview
CONTENT
1. Distribution over energies2. Weight of configurations3. The most probable configuration4. The sharpness of the configuration maximum5. The multiplier 6. The multiplier 7. The Maxwell-Boltzmann Distribution
1. Distribution over energies
Adalah mungkin untuk memperkirakan keadaan suatu ansambel pada waktu yang diberikan oleh posisi dan momentum tiap sistem pada ansambel.
Untuk sistem yang tidak berinteraksi, adalah mungkin digunakan analisis statistik untuk distribusi secara khusus pada sistem dengan energi yang bervariasi
Distribusi secara spesifik memberikan energi eksak khusus untuk tiap N sistem dari ansambel
contoh......
Contoh :Sistem 1 dengan energi 1
Sistem 2 dengan energi 2
..... ..... ......Sistem i dengan energi i
..... ..... .....Sistem N dengan energi N
Energi sistem akan dihubungkan dengan energi total oleh kondisi
Ei
i
Kemungkinan lain, distribusi yang tidak begitu detail memberikan sejumlah sistem khusus yang mempunyai energi dengan range hingga +d
Anggapan, energi sistem dapat dibagi kedalam “lembaran” dimana terdapat lembar s yang berisi semua tingkat energi dalam range s hingga s + ds dan energi efektif sistem dalam lembaran adalah s
Jumlah tingkat energi yang mungkin dari sistem dalam lembaran tersebut disebut dengan bobot (weight) lembaran.
Distribusi sistem diatas energi yang bervariasi memberikan bilangan kedudukan (occupation number) ns khusus untuk jumlah sistem dengan energi s dalam lembar s.
Jika energi sistem dibentangkan total diatas lembar energi , distribusinya dapat ditulis sbb :
jumlah lembar1 2 3 ....s ....renergi lembar 1 2 3 ...s ... r
bobot lembar g1 g2 g3 ...gs ... gr
bilangan occupation n1 n2 n3 ...ns ... nr
Total bilangan occupation sebanding dengan jumlah total sistem
r
1ss
s
1
n ansambel energi Total
nslembar pada sistem Energi
s
s
r
ss Nn
Contoh :Terdapat 4 sistem dengan label a, b, c dan d didistribusikan
pada lembar energi dengan bobot g =3 dan g = 4
Lembar 1, g = 3
a b a b c,abc
Lembar 2, g = 4
bddadcdc
The fundamental assumptions :The probability that an assembly is in a particular, allowed arrangement is the same for all such arrangements
susunan sistem dapat diasumsikan sama kemungkinannya, tetapi untuk konfigurasi tidak berlaku demikian.semua konfigurasi dengan N sistem dari ansambel berada dalam tingkat energi sama, dapat dihasilkan dengan satu cara sajasetiap konfigurasi dalam sistem N yang didistribusikan sepanjang keadaan g , akan mempunyai susunan gN berbeda tiap sistem dalam g tersebut, dengan cara yang berbeda pula.
2. WEIGHTS OF CONFIGURATIONSDidefinisikan W , bobot tiap konfigurasi (bobot konfigurasi); yang menyatakan jumlah susunan nyata dari sistem yang semuanya berhubungan (korespondensi) dengan konfigurasi nyata (particular configuration)Jika sistem dalam ansambel didistribusikan sehingga terdapat ns sistem dalam lembar s, bobot konfigurasi ini akan dijumpai dari sejumlah cara yang menghasilkan konfigurasi dengan N sistem ansambelJumlah cara yang memilih ns sistem lembar energi pertama dari total N sistem, dapat dituliskan sbg
1!!
!
111 nNn
NCnN
Sistem n2 dari lembar ke dua dapat dipilih dari susunan sistem (N- n1 ) dalam cara sbb
2
!!
!
212
121 nnNn
nNCnnN
Total jumlah cara yang dipilih pada sistem di lembar pertama dan kedua akan menghasilkan perkalian dari persamaan 1 dan 2,
3!!!
!
!!
!
!!
!
2121
212
1
11
nnNnn
N
nnNn
nN
nNn
N
Jika hanya 3 lembar jumlah dari sistem, dalam lembar ke tiga menjadi 213 nnNn
Dari persamaan 3, diperoleh jumlah total cara yang dipilih dengan konfigurasi n1, n2, dan n3 sebagai berikut :
4!!!
!
321 nnn
N
Selanjutnya untuk kasus dengan jumlah lembar r, maka banyak cara yang dapat digunakan
5!!...!...!!
!
321 gs nnnnn
N
dapat dilihat, terdapat tingkat energi g pada lembar energi s
Tiap sistem dalam lembar dapat ditempatkan dalam cara dan ada total cara yang dapat disusun sistem pada lembar.Jumlah total sistem yang dapat disusun dalam memberikan konfigurasi, bobot konfigurasi ;
sn
snsg
snng
6......!!...!...!
!21
2121
rs nr
ns
nn
rs
ggggnnnn
NW
7!
!
s s
ns
n
gNW
s
3. THE MOST PROBABLE CONFIGURATION
Untuk mendapatkan jumlah occupation yang berhubungan dengan konfigurasi yang mungkin perlu untuk meningkatkan bobot W oleh kondisi
80
s
ss
dnn
WdW
hal ini menunjukkan jumlah occupation-nya konstanPenyelesaian persamaan 8 menggunakan pendekatan energi dan jumlah sistem
rs hingga 1s range
100
10a konstan
90
9akonstan
bdEdn
En
bdNdn
Nn
sss
sss
ss
ss
Dengan menggunakan perkalian Lagrange, nilai maksimum pada W menjadi
pengalimerupakan ,
110
ba
dEbdNadW
Substitusi dari persamaan 8, 9b dan 10b dalam 11, memberikan :
120
sss
ss
ss
s
dnbdnadnn
W
Bentuk logaritma persamaan 11 dan 12 menjadi,
140log
130log
s
sss
ss
ss
dndndnn
W
dEdNWd
Persamaan 14 dapat ditulis ulang menjadi
150log
s
sss
dnn
W
Akhirnya didapat,
160log
s
sn
W
Turunan suku pertama persamaan 16 dapat dievaluasi dengan pendekatan Stirling’s untuk jumlah faktorial yang lebar, sebagaimana persamaan berikut;
17log!log NNNN
Karena sistem dianggap didistribusikan pada lembar energi terhadap tingkat energi, bilangan occupation dapat diasumsikan mempunyai pendekatan akhir (persamaan 17) untuk diaplikasikan pada kasus ns! untuk semua nilai s.
Dari nilai W yang diberikan oleh persamaan 7, kita dapat turunkan
19loglogloglogW
parsial, aldifferensi dari
18loglog
log
!log!log
!log!loglog
s
sss
s
ssssss
s
ns
s
s s
ns
n
gng
n
nnngn
NNN
n
gN
n
gNW
s
s
Dari substitusi persamaan 19, persamaan 16 menjadi
0log ss
s
n
g
Dari sini diperoleh
20segn ss
Persamaan 20 inilah yang disebut dengan distribusi Maxwell-Boltzmann, menunjukkan distribusi dari sistem dengan lembar energi yang bervariasi untuk kebolehjadian konfigurasi.
se dikenal dengan faktor Boltzmann
Ketika tingkat energi individual diletakkan terhadap occupation rata-rata, maka dapat didefinisikan bilangan occupation rata-rata,
21ieni
4. THE SHARPNESS OF THE CONFIGURATION MAXIMUM
Nilai-nilai dari bilangan occupation pada persamaan 20 mendefinisikan titik stationer untuk bobot W. Sifat W dapat dilihat dari ekspansi nilai log W dengan menggunakan deret Taylor,
22
...2
log
logloglog
2
max
2
2
max
max
s
s
s
ss
s
n
n
W
nn
WWW
Wmax merupakan nilai stationer dan W adalah bobot konfigurasi dimana bilangan occupation dibedakan oleh ns dst dari ini untuk Wmax
Dari persamaan 19, didapat
231log
loglog
2
2
ss
s
s
s
nn
W
n
g
n
W
Substitusi persamaan 23 ke 22 memberikan
252
1exp
242
1loglog
2
max
2
max
s sm
s
s sm
s
n
nWW
n
nWW
Untuk menilai kejelasan ns/nsm= s maksimum yang diberikan, maka persamaan 25 menjadi,
272
1exp
2
1exp
sehingga ,0ndipilih jika
262
1exp
2max
2max
ss
2max
NW
nWW
nWW
ssm
ss
sssm
5. THE MULTIPLIER Sejak jumlah sistem mempunyai energi tak hingga tidak sama dengan nol, persamaan 20 menjadi negatif.Nilai diperoleh dengan substitusi persamaan 20 untuk kondisi berikut, EnNn s
ss
ss dan
Terdapat tiga cara dalam penggunaan
1. Anggap 2 ansambel A’ dan A’’ yang berturut-turut berisi N’ dan N’’. Ansambel itu diletakkan dalam kontak ‘thermal’ sepertihalnya energi, tetapi bukan sistemnya, boleh dipertukarkan antara keduanya sehingga salah satunya dapat terisolasi dari lingkungan.dengan pertukaran energi diharapkan kedua sistem mempunyai temperatur sama sehingga tercapai kesetimbangan thermal.
Total energi E dari 2 ansambel pada kondisi & kuantitas tertentu,
280dEdan 0'',0' dNdN
Total energi dari 2 ansambel tersebut,
s
sss
ss nnE ''''''
Sehingga persamaan 28 menjadi
290''''''
0'''';0''
sss
sss
ss
ss
dndndE
dndNdndN
Jika bobot individual dari ansambel berturut-turut W’ da W’’ maka total bobot konfigurasi dari dua ansambel menjadi,
30'''WWWT
Dengan menggunakan persamaan 13, didapat kondisi untuk konfigurasi yang mungkin dari kombinasi ansambel,
''''
''log''log
''
'log'log
310''''''log
ss s
ss s
T
dnn
WWd
dnn
WWd
dEdNdNWd
Selanjutnya....
320''''''''
''log
''''
'log
0''''''''''
''''''
''log'
'
'log
ss
ss
ss
ss
sss
sss
ss
sss
s ss
s s
dnn
W
dnn
W
dndndn
dndnn
Wdn
n
W
Dari persamaan 32, di dapat
s nilai semuauntuk berlaku
33''''''
''log
33'''
'log
bn
W
an
W
ss
ss
Ternyata hanya temperatur dari 2 ansambel yang mempunyai nilai sama, selanjutnya merupakan fungsi temperatur T , dimana T adalah temperatur thermodinamika dari ansambel.
34Tf
Jadi, kesetimbangan thermal antara 2 ansambel memungkinkan pengali hanya bergantung pada temperatur themodinamik
2. Pengali dapat juga dianggap dari titik yang mengacu perubahan energi dE.Sejumlah panas dQ yang dialirkan pada ansambel dan meninggalkan ansambel tersebut pada volum dV, berdasarkan hukum thermodinamika pertama,
35dVpdQdE
Perubahan energi ini memberikan,
36
sss
sss
sss
dndn
nddE
Perbandingan pers. 35 dan 36 menghasilkan bentuk
38
37
dQdn
dVpn
sss
sss
Hubungan pada pers 38 jika digunakan bersamaan dg pers.13 untuk kasus dimana tidak ada perubahan dalam volume ansambel, maka kondisi kesetimbangan ansambel menjadi
390log dQdNWd Pada kasus dimana panas dQ diberikan pada ansambel dengan bilangan konstan dari sistem akan berubah dalam bobot ansambel diberikan,
40log dQWd
Jika dikaitkan dengan entropi ansambel S dan temperatur T, maka dS=dQ/T. Sehingga hubungan ini menjadi,
411
kT
3. Kondisi distribusi dari energi total dan jumlah sistem dalam ansambel digunakan untuk memperkirakan rata-rata energi dari sistem. Dari teori kinetik dasar, energi rata-rata dapat diturunkan dari persamaan gas ideal,
422
3kT
Selanjutnya,
44
43
43
ss
sss
ss
sss
s
s
s
s
eg
eg
N
E
begN
aegE
Didefinisikan tingkat keadaan B tiap satuan volume dari ruang fase dengan elemen d dari ruang fase yang berisi state B d.Bobot lembar s menjadi,
45ss Bg
Selanjutnya,
48
energinya, rata-ratadidapat
4722.g
45 ke 46 pers. subst.
46.22
0
2
10
2
3
2
1
2
3
s
2
1
2
3
de
de
dmBV
dpdpdpdzdydxd
Vdm
ss
zyx
sss
492
3
menjadi, direduksidapat pers.48
2
3
0
2
1
0
2
3
dede
Dari perbandingan dengan pers.42 diperoleh juga identitas
kT
1
6. THE MULTIPLIER Untuk mendefinisikan pengali digunakan substitusi,
50eA
Dari distribusi pers. 20, idapat
51seAgn ss
Sehingga total jumlah sistem,
53
52
ss
ss
s
s
eg
NA
egAN
Dengan menggunakan pers. 47 di dapat,
2
2
3
**
54
22
2
3
2
3
0
2
1
2
3
0
2
1
0
2
1
2
3
dxexde
deBVm
NA
x
Dari pers. 54, didapat
55
2
,1-dengan atau
2
2
3
2
3
mkTBV
NA
kT
mBV
NA
Akhirnya, didapat pengali
56
2loglog
2
3
mkTBV
NA
7. THE MAXWELL-BOLTZMANN DISTRIBUTION
Jika dn merupakan jumlah sistem yang mempunyai koordinat pada volume d dalam ruang fase, (dari pers. 20)
58g
menjadi 20 pers.
,d hingga range dalam
keadaan jumlah menyatakang jika
57
dedn
d
dBedn