2 Teori Probabilitas · PDF fileFaktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan: n(n-1)(n-2)...(1) ... Permutasi adalah pilihan urutan yang mungkin dari robjek

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Pengertian probabilitasKejadian, ruang sample dan probabilitasAturan dasar probabilitasProbabilitas bersyaratIndependensiKonsepsi kombinatorialProbabilitas total dan teorema Bayes

Teori Probabilitas2


2-1 Probabilitas adalah:

Sebuah ukuran ketidak-pastian.Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinyasebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidakpasti (uncertain event).Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara0% dan 100%).


Type Probabilitas (1)

Objektif atau Probabilitas KlasikBerlandaskan pada kejadian yang sama (equally-likely) dan logis.Berdasarkan frekuensi relatif kejadian dalamwaktu yang lama.Tidak memperhatikan keyakinan perorangan.Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif).Contoh: pelemparan koin atau dadu.


Type Probabilitas (2)

Probabilitas SubjektifBerlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal.Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif).Contoh: pemasaran produk baru, ramalancuaca, hasil pertandingan olah raga.


( )A

2-2 Kejadian, Ruang sample danProbabilitas (1)

Set – sebuah kumpulan dari elemenatau objek yang menjadi perhatian

Set Kosong (∅)Sebuah set yang tidak memiliki anggota elemen

Set Universal (S) Sebuah set yang mencakup seluruh elemen yang mungkin ada

Komplemen (Not). Komplemen A adalahsebuah set yang mencakup semua elemen S kecuali elemen A


Subset (⊂)- Adalah sebuah set bagian dari set S

Irisan (And) A∩B- adalah set yang mencakup semua elemen A

dan B

Gabungan (Or) A∪B- adalah sebuah set yang mencakup semua

elemen A atau B atau keduanya

Kejadian, Ruang sample danProbabilitas (2)


Beberapa Teorema (1)Teorema: 0)( =φP Bukti: Tuliskan hubungan berikut φ∪= SS dan juga diperoleh hubungan φφ =∩S . Dengan aksioma di atas, diperoleh

)()()( φPSPSP += . Karena P(S) = 1, maka 0)( =φP .

Teorema: ),(1)( APAP −= dimana A adalah komplemen dari A Bukti: Dari definisi komplemen, untuk setiap SA ⊂ maka diperoleh

AAS ∪= . Karena φ=∩ AA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( APAPSP += . Karena P(S) = 1, dengan demikian )(1)( APAP −= .


Beberapa Teorema (1)Teorema: Untuk dua kejadian A dan B, sedemikian sehingga BA ⊂ , maka )()( BPAP ≤ . Bukti: Kejadian B dapat ditulis sebagai )( BAAB ∩∪= , dimana

φ=∩∩ )( BAA , maka dengan aksioma di atas diperoleh )()()( BAPAPBP ∩+= . Karena SBA ⊂∩ )( adalah suatu

kejadian maka 0)( ≥∩ BAP , dengan demikian )()( BPAP ≤ .


•Mutually exclusive atau disjoint –dua set tidak memiliki elemen bersama,

tidak memiliki irisan, atau irisannya adalahset kosong.

•Partisi–adalah sekumpulan set yang mutually

exclusive yang secara bersama-samamencakup semua elemen, ataugabungannya membentuk set universal S.

Kejadian, Ruang sample danProbabilitas (3)


A

A B∪A B∩

A2A1

A5A4

A3

Partisi

A BA BI BAA

Diagram set

Komplemen


• Sebuah proses yang menghasilkan satu daribeberapa hasil yang mungkin terjadi*, contoh:

Coin toss: Heads,TailsThrow die: 1, 2, 3, 4, 5, 6Pengenalan produk baru: sukses, gagal

• Setiap percobaan memiliki hasil observasitunggal.

• Hasil pasti dari percobaan random tidak dapatdiketahui sebelum dilakukan.

* Juga dikenal sebagai hasil dasar ( basic outcome), kejadian dasar atau kejadian sederhana

Percobaan - Experiments


Ruang sample atau set kejadianadalah set dari semua hasil yang mungkin ada darisebuah percobaan

contoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)Kejadian

Kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang samaContoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)

Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadiProbabilitas sebuah kejadian

Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang munculP(A) = P(2) + P(4) + P(6)

Kejadian


• Perhatikan contoh berikut:Percobaan pelemparan sebuah dadu seimbang• Ada 6 hasil yang mungkin (1,2,3,4,5,6)• Jika setiap hasil seimbang (equally-likely), probabilitas setiap

hasil adalah 1/6 = .1667 = 16.67%

Kejadian A (muncul sisi genap)• P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2• untuk setiap e dalam AP A P e

n An S

( ) ( )( )( )

=

= = =

∑36

12

P en S

( )( )

=1

Percobaan Ideal


Hearts Diamonds Clubs SpadesA A A AK K K KQ Q Q QJ J J J

10 10 10 109 9 9 98 8 8 87 7 7 76 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 2

Kejadian ‘Ace’Gabungankejadian ‘Heart’dan ‘Ace’

Kejadian ‘Heart’

Irisan kejadian ‘Heart’ dan ‘Ace’ Adalah titik yang dilingkaridua kali: the ace of hearts

P Heart Ace

n Heart Ace

n S

( )

( )

( )

U

U

=

=

=16

52

4

13

P Heartn Heart

n S( )

( )

( )= = =

13

52

1

4

P Acen Ace

n S( )

( )

( )= = =

4

52

1

13

P Heart Acen Heart Ace

n S( )

( )

( )I

I= =

1

52

Pengambilan Kartu


Rentang nilai

Komplement - Probabilitas bukan A

Irisan - Probabilitasy A dan B

Kejadian mutually exclusive (A dan C) :

Rentang nilai

Komplement - Probabilitas bukan A

Irisan - Probabilitasy A dan B

Kejadian mutually exclusive (A dan C) :

0 1≤ ≤P A( )

P A P A( ) ( )= −1

P A B n A Bn S( ) ( )

( )∩ = ∩

P A C( )∩ = 0

2-3 Aturan Dasar Probabilitas (1)


• Gabungan - Probabilitas A atau B atau keduanya

Kejadian mutually exclusive :

Probabilitas Bersyarat - Probabilitas A pada(given) B

Kejadian independen:

• Gabungan - Probabilitas A atau B atau keduanya

Kejadian mutually exclusive :

Probabilitas Bersyarat - Probabilitas A pada(given) B

Kejadian independen:

P A B n A Bn S P A P B P A B( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∪ = ∪ = + − ∩

P A C so P A C P A P C( ) ( ) ( ) ( )∩ = ∪ = +0

P A B P A BP B( ) ( )

( )= ∩

P A B P AP B A P B

( ) ( )( ) ( )

==

Aturan Dasar Probabilitas (2)


Aturan probabilitas bersyarat:Aturan probabilitas bersyarat:

Jika kejadian A dan D saling independen secara statistik:

maka

maka

P A B P A BP B( ) ( )

( )= ∩ P A B P A B P BP B A P A

( ) ( ) ( )( ) ( )

∩ ==

P AD P A

P D A P D

( ) ( )

( ) ( )

=

=P A D P A P D( ) ( ) ( )∩ =

2-4 Probabilitas Bersyarat


Acer IBM Total

Telekomunikasi 40 10 50

Komputer 20 30 50

Total 60 40 100

Frekuensi

Acer IBM Total

.40 .10 .50

.20 .30 .50

Total .60 .40 1.00

ProbabilitasP IBM T P IBM T

P T( ) ( )

( )..

.

=

= =

I

1050

2

Probabilitas bahwa sebuahproyek yang dikerjakanIBM adalah (given) proyektelekomunikasi adalah:

Tabel Contingency

Telekomunikasi

Komputer


P A B P AP B A P B

andP A B P A P B

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

=I

Syarat independensi secara statistik dari kejadian A dan B adalah:

P A ce H eart P A ce H eartP H eart

P A ce

( ) ( )( )

( )

=

= = =

I

1521 352

113

P H eart A ce P H eart A ceP A ce

P H ea rt

( ) ( )( )

( )

=

= = =

I

1524

52

14

P Ace Heart P Ace P Heart( ) ( ) ( )I = = =4

521352

152

2-5 Independensi Kejadian (1)


a P T B P T P B

b P T B P T P B P T B

) ( ) ( ) ( ). * . .

) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .

I

U I

== == + −= + − =

0 04 0 06 0 0024

0 04 0 06 0 0024 0 0976

Kejadian T (prob. 0,04) dan B (prob. 0,06) diasumsikanindependen

Independensi Kejadian (1)

U


Probabilitas gabungan dari beberapa kejadian independenadalah 1 dikurangi perkalian probabilitas komplemenmasing-masing:

P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 2 3∪ ∪ ∪ ∪ = −L L

Probabilitas irisan dari beberapa kejadian independen adalahperkalian dari probabilitas masing-masing:

P A A A An P A P A P A P An( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3∩ ∩ ∩ ∩ =L L

Perkalian Kejadian Independen


Hukum ProbabilitasIdentity laws (A∪∅=A, A∩∅=∅), Idempotent law (A∪A=A, A∩A=A)Complement law (A∪A=S, A∩A=∅)Commutative law (A∪B=B∪A, A∩B=B∩A)De morgan’s law (A∪B=B∩A, A∩B=B∪A)Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C,

A∪(B∪C)=(A∪B)∪CDistributive law A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)


Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin daripelemparan pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkindari pelemparan kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada6*6=36 hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan.

Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalamNi cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan darin kejadian akan muncul adalah N1N2

...Nn.

Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – denganpengembalian

52*52*52*52*52=525

380,204,032 hasil yang mungkin

Ambil 5 kartu dari tumpukanlengkap – tanpapengembalian

52*51*50*49*48 = 311,875,200 hasil yang mungkin

2-6 Konsep Kombinatorial (1)


.

..

. .Urutan tiga huruf: A, B, dan C

A

B

C

B

C

AB

AC A

C

B

C

B

A

. .....

..

..

. ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Konsep Kombinatorial (2)(Diagram pohon / Tree Diagram)


Ada berapa cara untuk mengurutkan 3 huruf A, B, dan C?

Ada 3 pilihan untuk huruf pertama, 2 untuk huruf kedua dan 1 Untuk huruf terakhir, sehingga ada 3*2*1 = 6 cara yang mungkin.

Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)

Faktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan:n(n-1)(n-2)...(1). n faktorial ditulis dengan n!. Jumlah n! adalah jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan. Didefinisikan bahwa 1! = 1.

Faktorial


Permutasi adalah pilihan urutan yang mungkin dari r objek daritotal n objek. Jumlah permutasi dari n objek setiap kali diambil robjek dituliskan dengan nPr.

Bagaimana jika hanya 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, danF yang dipilih?Ada 6 cara untuk huruf pertama, 5 cara untuk huruf keduadan 4 cara untuk huruf terakhir, sehingga ada 6*5*4=120 urutan yang mungkin atau permutasi.

1204*5*61*2*3

1*2*3*4*5*6!3!6

)!36(!6

:

36 ====−

=

−=

P

contohSebagai

rnn

rPn )!(!

Permutasi


Kombinasi adalah pemilihan yang mungkin dari r item dari sejumlah n itemTanpa memperhatikan urutan. Jumlah kombinasi dinyatakan denganatau nCr dan dibaca kombinasi r dari n, secara matematis diformulasikansebagai:

Jika diambil 3 dari 6 huruf A, B, C, D, E, dan F, mungkin diperolehBCD, BDC, CBD, CDB, DBC, atau DCB (merupakan pemutasidari B, C, dan D) yang pada dasarnya kombinasi dari 3 huruf. Berapa banyak kombinasi dari 6 huruf setiap kali diambil 3 huruf?

206

1201*2*34*5*6

)1*2*3)(1*2*3(1*2*3*4*5*6

!3!3!6

)!36(!3!6

:

36 =====−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

C

Contoh

rn

r)!(nr!n!C

rn

rn

nr

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

Kombinasi


n=10 (Total Number of Objects Available)

Total Number of # of Probability of # of Probability ofObjects Selected r Permutations Particular Permutation Combinations Particular Combination

1 10 0.1 10 0.12 90 0.011111111 45 0.0222222223 720 0.001388889 120 0.0083333334 5040 0.000198413 210 0.0047619055 30240 3.31E-05 252 0.0039582546 151200 6.61E-06 210 0.0047619057 604800 1.65E-06 120 0.0083333338 1814400 5.51E-07 45 0.0222222229 3628800 2.76E-07 10 0.1

10 3628800 2.76E-07 1 1

Permutasi dan Kombinasi denganExcel


P A P A B P A B( ) ( ) ( )= ∩ + ∩

Dalam bentuk probabilitas bersyarat:

Secara umum (dimana Bi membentuk partisi):

P A P A B P A BP A B P B P A B P B

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= ∩ + ∩= +

P A P A BiP A Bi P Bi

( ) ( )

( ) ( )

= ∩∑= ∑

2-7 Probabilitas Total dan TeoremaBayes


Kejadian U: pasar saham tumbuh tahun depanKejadian W: kondisi ekonomi membaik tahun depan

P U WP U W

P W P W

P U P U W P U WP U W P W P U W P W

( ) .( )

( ) . ( ) . .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( . ) ( . ) ( . ) ( . ). . .

=== ⇒ = − =

= ∩ + ∩= += += + =

7 53 08 0 1 8 2

7 5 8 0 3 0 2 06 0 0 6 6 6

Probabilitas Total


• Teorema Bayes memungkinkan untuk menge-tahui probabilitas B bersyarat A jika diketahuiprobabilitas A bersyarat B.

• Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total.

P B A P A BP A

P A BP A B P A B

P A B P BP A B P B P A B P B

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

=+

=+

I

I

I I

Menggunakan probabilitastotal pada penyebut

Menggunakan probabilitasbersyarat

Teorema Bayes


• Sebuah pengaruh treatment logam (berdampak 0.1% terhadap populasi [ ]) tidak sempurna:

Jika dilakukan pada logam non-standar, perlakukan dinilaisukses dengan probabilitas 0.92 [ ]

Kejadian disebut false negative

Jika dilakukan pada logam standar, perlakukan akan me-nyimpang (false positive) dengan probabilitas 0.04 [ ]

Kejadian disebut false positive. .

P I( ) .= 0 001

P Z I P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =92 08( )Z I

( )Z I

P ZI P Z I( ) . ( ) .= ⇒ =004 096

Contoh Teorema Bayes (1)


P I

P I

P Z I

P Z I

( ) .

( ) .

( ) .

( ) .

=

=

=

=

0 001

0 999

0 92

0 04

P I Z P I ZP Z

P I ZP I Z P I Z

P Z I P IP Z I P I P Z I P I

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

(. )( . )(. )( . ) ( . )(. )

.. .

..

.

=

=+

=+

=+

=+

=

=

I

I

I I

92 0 00192 0 001 0 04 999

0 000920 00092 0 03996

0 0009204088

0225



P I( ) .= 0 001

P I( ) .= 0 999 P Z I( ) .= 0 04

P Z I( ) .= 0 96

P Z I( ) .= 0 08

P Z I( ) .= 0 92 P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 92 00092

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 001 0 08 00008

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 04 03996

P Z I( ) ( . )( . ) .I = =0 999 0 96 95904

Probabilitasprior

Probabilitasbersyarat

Probabilitasgabungan



• Diberikan partisi B1,B2 ,...,Bn:

P B A P A BP A

P A BP A B

P AB P BP AB P B

i

i i

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

11

1

1 1

=∩

=∩∩∑

=∑

Gunakan probabilitastotal pada penyebut

Terapkan probabilitasbersyarat

Perluasan Teorema Bayes (1)


Pada saat kondisi mesin sangat baik, diperkirakan sebuah industri akanmenhasilkan produk yang baik dengan probabilitas 0,70; dalam kondisibiasa probabilitasnya 0,40; dan pada kondisi buruk probabilitasmenghasilkan produk yang baik hanya 0,20.Dalam suatu perioda, probabilitas bahwa kondisi mesin sangat baik adalah0,30, moderat 0,50, dan buruk 0,50. Jika selama perioda tersebut dihasilkan produk yang baik, beparakemungkinan bahwa kondisi mesin sangat baik?

Partisi Kejadian A (produk baik)

H – Mesin sangat baik P(H) = 0,30 P(A|H)=0,70M – Mesin moderat P(M) = 0,50 P(A|M)=0,40L – Mesin buruk P(L) = 0,20 P(A|L)=0,20



P H A P H AP A

P H AP H A P M A P L A

P A H P HP A H P H P A M P M P A L P L

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( . )( . )( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . )

.. . .

.

..

=

=+ +

=+ +

=+ +

=+ +

=

=

I

I

I I I

0 70 0 300 70 0 30 0 40 0 50 0 20 0 20

0 210 21 0 20 0 04

0 210 45

0 467



Probabilitasprior

Probabilitasbersyarat

Probabilitasgabungan

P H( ) .= 0 3 0

P M( ) .= 0 50

P L( ) .= 0 20

P A H( ) .= 0 70

P A H( ) .= 0 30

P A M( ) .= 0 40

P A M( ) .= 0 60

P A L( ) .= 0 20

P A L( ) .= 0 80

P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 30 0 70 0 21

P A H( ) ( . )( . ) .I = =0 30 0 30 0 09

P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 50 0 40 0 20

P A M( ) ( . )( . ) .I = =0 50 0 60 0 30

P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 20 0 20 0 04

P A L( ) ( . )( . ) .I = =0 20 0 80 0 16



Teorema Bayes – Distribusi (1)

Teorema Bayes dalam aplikasinya dapat digunakan dalamproses perbaikan distribusi kemungkinan berdasarkaninformasi yang terbaru

Prior probability distribution

additional information(sampling distribution)

Posterior or revised distribution


Teorema Bayes – Distribusi (2)Contoh :Proporsi “pencemar/polutant” (didefinisikan sebagai

terdapatnya bahan-bahan lain yang tidak diinginkan) padasebuah kemasan bahan baku yang diterima oleh sebuahperusahaan diketahui sebagai berikut:

Proporsi pencemar P Probabilitas*0.05 0.21 0.10 0.23 0.15 0.45 0.20 0.09 0.25 0.01 0.30 0.01

* diperoleh dari pengamatan untuk jangka waktu yang panjang.



Sebuah informasi penelitian terakhir dari 50 kemasan yang diperiksa diperoleh data bahwa 8 delapan kemasan dinilai“tercemar/tidak murni”. Distribusi informasi tersebutadalah:

Proporsi keberhasilan P Probabilitas * P x P X p( | ) ( | , )θ = = 850

0.05 0.002 0.10 0.064 0.15 0.091 0.20 0.117 0.25 0.064 0.30 0.011

0.349 *mengikuti distribusi binomial.


Teorema Bayes – Distribusi (4)Berdasarkan data terbaru, dilakukan revisi distribusi

probabilitas:

P A w a l S am p e l Jo in t* B a ru * * 0 .0 5 0 .2 1 0 .0 0 2 0 .0 0 0 4 2 0 .0 0 7 0 .1 0 0 .2 3 0 .0 6 4 0 .0 1 4 7 2 0 .2 1 8 0 .1 5 0 .4 5 0 .0 9 1 0 .0 4 0 9 5 0 .6 0 8 0 .2 0 0 .0 9 0 .1 1 7 0 .0 1 0 5 3 0 .1 5 6 0 .2 5 0 .0 1 0 .0 6 4 0 .0 0 0 6 4 0 .0 0 9 0 .3 0 0 .0 1 0 .0 1 1 0 .0 0 0 1 1 0 .0 0 2

0 .3 4 9 0 .0 6 7 3 7 1 .0 0 0



Kesimpulan:

Ekspektasi awal (0.1245) lebih kecil dariekspektasi baru (0.1474).Artinya, ada indikasi bahwa rata-rata proporsipencemar dalam setiap kemasan bahan bakutelah mengalami peningkatan sekitar 2,3 %.

Documents

2 Teori Probabilitas · PDF fileFaktorial: Untuk setiap integer positif n, n faktorial didefinisikan: n(n-1)(n-2)...(1) ... Permutasi adalah pilihan urutan yang mungkin dari robjek