Upload
salma
View
451
Download
36
Embed Size (px)
DESCRIPTION
PERMUTASI dan KOMBINASI. Betha Nurina Sari,S.Kom. Kaleng 1. Kaleng 2. Kaleng 3. sama. sama. sama. Kelereng. 3 cara. m. h. Kaleng. 1. 2. 3. Ilustrasi. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
PERMUTASI dan
KOMBINASI
Betha Nurina Sari,S.Kom
2
IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.
Kelereng
m hKaleng
1 2 3
Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3
sama
sama
sama
3 cara
3
Ilustrasi (Cont.)
Matematika Diskrit
Jumlah cara memasukkan
kelereng ke dalam kaleng
32
23
!2
!1
!3
!2
2,3
2
2,3
PP
4
Definisi
Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : jumlah pemilihan yang tidak
terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen
Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi
Perbedaan permutasi dengan kombinasi :Permutasi : urutan kemunculan
diperhitungkanKombinasi : urutan kemunculan
diabaikan
5
Definisi
Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :
C(n,r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek
!!
!),(
rnr
nC
r
nCrnC n
r
6
Interpretasi Kombinasi
1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :
{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1} 3 buah{2,3} = {3,2}
3
!1!2
23
!23!2
!3
2
3)2,3( 3
2
CCC
7
Interpretasi Kombinasi (Cont.)
2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting
Contoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam delegasi kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota delegasi yang terdiri dari 5 anggota delegasi yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :
caraCCC 15504!520!5
!20
5
20)5,20( 20
5
8
Contoh 1
Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?
9
Solusi
Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}Sehingga :
caraCCC 4!34!3
!4
3
4)3,4( 4
3
10
Contoh 2
Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?
11
Solusi
Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7
hariMaka :
caraCCC 35!37!3
!7
3
7)3,7( 7
3
12
Contoh 3
Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)a) Berapa banyak pola bit yang
terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang
mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang
mempunyai bit 1 sejumlah genap ?
13
Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka :
a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1
0
Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
:Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :
(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28
b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :
caraCCC 56!38!3
!8
3
8)3,8( 8
3
14
c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)
Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :
C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =
1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128
15
Contoh 4
Sebuah kelompok belajar beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih delegasi yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?
16
Solusi
Pria = 7 orang Wanita = 5 orang delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak
daripada jumlah wanita Maka :
delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35
delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175
Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi seluruhnya :
C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara
17
Contoh 5
Sebuah rumah rawat inap pasien ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?
18
Diketahui : Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang
Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3
orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)
ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)
iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)
Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :
C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =
210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600atau
C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =
3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600
19
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (beberapa bola yang warnanya sama)
n1 bola diantaranya berwarna 1
n2 bola diantaranya berwarna 2 …
nk bola diantaranya berwarna k
Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?
20
Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !
Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :
n1! cara memasukkan bola berwarna 1
n2! cara memasukkan bola berwarna 2 …
nk! cara memasukkan bola berwarna k
Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum :
!!...!
!
!!...!
,),...,,;(
212121
kkk nnn
n
nnn
nnPnnnnP
21
Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak
ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak
ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2
kotak
ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k
ditempatkan dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola
ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :
!!...!
!
!...!
!...
!!
!
!!
!
,......,,),...,,;(
21
121
121
212
1
11
12121121
k
kkk
k
kkk
nnn
n
nnnnnn
nnnn
nnnn
nn
nnn
n
nnnnnCnnnCnnCnnnnC
22
Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :
!!...!
!),...,,;(),...,,;(
212121
kkk nnn
nnnnnCnnnnP
23
Contoh 6
Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?
24
Solusi
S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah
Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S
Ada 2 cara :i. Permutasi :
Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah
ii. Kombinasi :Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2)
= 34650 buah
25
Contoh 7
Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?
26
Solusi
Diketahui :
n1 = 3
n2 = 2
n3 = 2
n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan :
cara
PPnnnnnP 166320
!5!2!2!3
!12
!5!2!2!3
12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321
n = 12
27
Kombinasi Pengulangan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi
1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1
buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n+r-1, r) C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya
pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan
28
Contoh 8
Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?
29
Solusi Diketahui :
n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk
20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)
15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)
Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :
C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3
= 41.186.376 cara
30
Contoh 9
Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)
31
Solusi Diketahui :
n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti
Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.
Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :
C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)
32
Contoh 10
Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?
33
Solusi
Diketahui :n = 6 6 buah mata dadur = 3 3 dadu dilemparkan
bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda
yang mungkin terjadi adalah :C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)
= C(8,3) = 56 cara
34
Latihan
1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :
a. Tidak ada batasan jurusanb.Semua anggota delegasi harus dari
jurusan Teknik Informatikac. Semua anggota delegasi harus dari
jurusan Teknik Elektrod.Semua anggota panita harus dari jurusan
yang samae.2 orang mahasiswa per jurusan harus
mewakili
35
LATIHAN
Matematika Diskrit
1. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)
2. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?
36
Latihan (cont.)
3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?
4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.3. Berapa banyak cara dapat dibentuk
sebuah delegasi 10 orang ? 4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria
harus sama dengan banyaknya wanita5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus
terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita
5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?
37
Latihan (Cont.)
6. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk delegasi yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah delegasi yang dapat dibentuk jika delegasinya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wanita ?
7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak delegasi 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?
38
Latihan (Cont.)
8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :
a) Tidak ada huruf pengulanganb) Boleh ada huruf pengulanganc) Tidak boleh ada huruf yang
diulang tetapi huruf d harus adad) Boleh ada huruf yang berulang,
huruf d harus ada9. Berapa banyak string yang dapat
dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?