2. Teoria dei circuiti

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B

J

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria elettronica per l’energia e l’informazione ed in Ingegneria biomedicaAnno Accademico 2020/2021

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La teoria dei circuiti elettrici (o anche teoria circuitale) è fonda-mentale per lo sviluppo della tecnologia basata sull’Elettromagne-tismo. Molti dei campi dell’ingegnerai elettrica, come produzione, trasmissione e utilizzo di energia elettrica, macchine elettriche, con-trollo ed automazione, apparati e strumentazione elettronica ed al-tro ancora, sono stati sviluppati in buona parte per mezzo dell’uti-lizzo della teoria circuitale e sono realizzati con circuiti elettrici. Ma questa teoria è anche fondamentale di tutti i circuiti micro-elettronici per l’informazione.

Neghi apparati elettrici è necessario trasferi-re segnali elettrici o energia elettrica da un punto ad un altro. Ciò richiede un'intercon-nessione di dispositivi elettrici. L’intercon-nessione può essere effettuata in un circuito elettrico e ogni componente del circuito è noto come elemento circuitale.

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§ Il termine circuito elettrico indica l’apparato fisico in cui si realizzano i fenomeni elettromagnetici, ma indica anche il modello matematico della teoria circuitale che lo descrive.

§ Il modello é basato su relazioni fra grandezze EM integrali (tensioni e correnti) che descrivono il funzionamento del circuito. Questo modello è perciò anche chiamato modello a parametri concentrati (parametri concentrati sono le grandezze integrali che lo descrivono). L’ipotesi su cui sono basati considera tutti i fenomeni elettromagnetici contenuti all'interno degli elementi circuitali (denominati anche elementi a parametri concentrati, o componenti circuitali). Gli elementi circuitali del circuito sono collegati elettricamente fra loro da connessioni elettriche conduttrici (od anche conduttori) che permettono alle cariche elettriche di spostarsi da un elemento all’altro.

Teoria circuitale

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Nella figura in alto è mostrato un appa-rato elettrico costituito da una lampada alimentata da una batteria. Nella figura in basso è rappresentato il modello cir-cuitale dove la lampada è modellata dal resistore R, la batteria è rappresentata dal generatore di tensione Vs. Le cariche vengono spinte dal generatore attraver-so il resistore dove dissipano energia elettrica trasformandola in energia luminosa. Le connessioni elettriche sono ad elevata conducibilità e permettono al flusso delle cariche di passare da un componente del circuito all’altro.

R Vs+-

i

Teoria circuitale

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Ø Le grandezze elettriche che descrivono il comportamento elettrico di un circuito sono grandezze integrali macroscopiche (parametri concentrati dati da tensioni e correnti). Esse dipendono dal tempo e non dallo spazio.

Ø Le equazioni dei modelli circuitali sono equazioni algebriche o equazioni integro-differenziali dipendenti solo dalla variabile tempo. In molti casi anche le equazioni integro-differenziali, se presenti, possono essere trasformate in equazioni algebriche. Ø Le grandezze EM dipendenti dal punto (campi EM e densità EM dipendono dalla posizione), oltre che dal tempo dipendono anche dalla posizione (x,y,z). Esse sono grandezze dipendenti dal tempo e dallo spazio. Sono dette grandezze a parametri distribuiti. Esse sono descritte dai modelli a parametri distribuiti, Le equazioni di questi modelli sono equazioni differenziali alle derivate parziali dipendenti nel tempo e nello spazio.

Teoria circuitale

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q

dtd-= Fe

L’elemento circuitale è una regione di spazio all'interno della quale sono confinati i fenomeni elettromagnetici.

Le interconnessioni sono canali con-duttori (cavi) in cui le cariche fluisco-no da un componente all'altro.

i L= F

dtqd-=i out ρ = 1

σ

J =σ E

Teoria circuitale

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Le proprietà dei materiali permettono l’approssi-mazione circuitale con fenomeni e caratteristiche EM concentrate in differenti regioni: elementi cir-cuitali e connettori fra esse.

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Neurons and their

connections

Circuitiin Natura ed in Applicationi Tecnologiche

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Le applicazioni riguardano molti settori con caratteristiche molto differenti, tutte descrivibili con la teoria circuitale. Tali caratteristiche riguardano:• Dimensione: circuiti integrati, circuiti hi-fi, computer, dispositivi

elettronici, sistemi di telecomunicazione, generazione di energia elettrica, sistemi di trasmissione e di utilizzo (10-3 - 106 m).

• Tensione: 10-6 V (dispositivi di analisi del rumore) - 106 V (sistemi di alimentazione elettrica).

• Corrente: 10-15 A (1 fA: elettrometri) - 106 A (sistemi di di trasporto della potenza elettrica);

• Frequenza: 0 (corrente continua) - 109 Hz (1 GHz: circuiti a microonde, computer);

• Potenza: 10-14 W (segnali EM dalle galassie) - 109 W (centrali elettriche).

Teoria circuitale

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9Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

∇×H = J + !𝐃!#

1° legge di Maxwell (dal teorema di Stokes)

∇×E = - !𝐁!#

2° legge di Maxwell (dal teorema di Stokes)

∇ # J = - !%𝐂!#

legge di conservazione della carica (teor. divergenza)

∇ # D = ρ𝐂 legge di Gauss (dal teorema della divergenza)

∇ # Jt = 0 Jt ovunque solenoidale (dal teorema della divergenza)

∇ # B = 0 B ovunque solenoidale (dal teorema della divergenza)

La teoria circuitale è basata sull’approssimazione dell’Elettrodinamica quasi-stazionaria. Le leggi elettromagnetiche applicate ai modelli circuitali tengono conto di questa approssimazione.

Circuiti e leggi dell’Elettromagnetismo

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Ø L’approssimazione circuitale si basa sull’ipotesi dell’approssima-zione dell’Elettrodinamica quasi-stazionaria per secondo la quale si ha che 𝜕D/𝜕t e 𝜕B/𝜕t non possono essere diverse da zero entrambe nello stesso punto. In ogni punto dello spazio siano possibili i seguenti tre casi:

- !𝐃!#

= 0; !𝐁!#≠ 0

opure - !𝐃!#≠ 0; !𝐁

!#= 0

oppure - !𝐃!#

= 0; !𝐁!#

= 0Ø Si assume quindi che una variazione di B nel tempo non provochi la variazione di D ed una variazione di D nel tempo non causi la variazione di B (non si generano onde EM che viaggiano alla velocità1/ eµ ). il tempo di propagazione del segnale si considera nullo.

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Ipotesi della teoria circuitale

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ü Un circuito elettrico è costituito da elementi circuitali connessi fra loro da conduttori ideali (a conducibilità elettrica infinita).

L’approssimazione circuitale assume che:1. i fenomeni EM siano non-nulli solo all’interno degli elementi

circuitali.2. la propagazione dei segnali EM (tensioni e correnti) all’interno

dell’intero circuito sia istantanea.

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Teoria circuitale: Velocità di propagazione infinita

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ü Per la condizione 1 solo all’interno degli elementi circuitali 𝜕D/𝜕t o 𝜕B/𝜕t possono essere non nulli. All’esterno degli elementi circuitali • la densità di corrente elettrica totale è data dalla densità di corrente

di conduzione. Quindi all’esterno degli elementi circuitali la densità di corrente di conduzione è un vettore solenoidale (𝛁 # Jt = 𝛁 # J = 0);

• Il campo elettrico è un vettore conservativo e la tensione elettrica fra due punti coincide con la differenza della funzione potenziale elettrico nei due punti.

ü Per la condizione 2 si considera nullo il tempo di propagazione del segnale da un elemento circuitale ad un altro attraverso il conduttore frapposto. Pertanto, il segnale (corrente o tensione) all’uscita di un componente circuitale è uguale al segnale che raggiunge il componente ad esso collegato per correnti e tensioni sia costanti che dipendenti dal tempo, indipendentemente dalla lunghezza del cavo conduttore che collega gli elementi.Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Teoria circuitale: Velocità di propagazione infinita

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13

Per la condizione 1 all’esterno degli elementi circuitali 𝜕𝐃 ∕𝜕t è uguale a zero e la densità di corrente di conduzione è solenoidale. In particolare la densità di corrente di conduzione è non-nulla all’interno dei conduttori (nei conduttori Jt = J + 𝜕D/𝜕t = J solenoidale (𝛁 # J = 0). Da ciò si ha:Ø La corrente elettrica, flusso di J, non varia lungo ogni conduttore

che è un tubo di flusso di J.Ø Poiché J è solenoidale di all’esterno degli elementi circuitali e nei

conduttori di connessione fra gli elementi, per una superficie chiusa che interseca conduttori ma non interseca elementi circuitali, il flusso totale di J uscente dalla superficie è nullo:

∯! 𝐉 ⋅ 𝐧 dS = 0 Tale flusso è dato dalla somma algebrica delle n correnti negli nconduttori intersecati dalla superficie:

i1 + i2 + ….. + in = 0

Teoria circuitale: Legge di Kirckoff delle Correnti (LKC)

Espressione della Legge di Kickoff delle Correnti (LKC)

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La condizione 1 consente di considerare all’esterno degli elementi circuitali il campo elettrico conservativo.Ø Quindi la tensione elettrica tra due punti collegati da un linea che

non interseca elementi circuitali è data dalla differenza che assume il potenziale elettrico in questi due punti:

∫"#𝐄 ⋅ 𝐝𝐥 = v1 – v2 = v12

Ø Inoltre poiché E è conservativo all’esterno degli elementi circuita-li, per una linea chiusa che non intersechi gli elementi, si ha:

∮𝐄 ⋅ 𝐝𝐥 = 0Se la linea chiusa interseca connessioni fra elementi all’esterno degli elementi stessi, ma non interseca elementi, si ha:

∮𝐄 ⋅ 𝐝𝐥 = v12 + v23 + … + vn,1 = 0

Teoria circuitale: Legge di Kirckoff delle Tensioni (LKT)

Espressione della Legge di Kickoff delle Tensioni (LKT)

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In un circuito elettrico costituito da r elementi circuitali a due terminali (detti anche rami del circuito) connessi fra loro da nnodi, a cui si collegano più terminali. Ogni ramo é descritto daller coppie i-v di ogni ramo. Il circuito è quindi descritto da 2rincognite.

Il problema dell’analisi circuitale consiste nella ricerca dello stato EM del circuito dato dalle 2r incognite.

Esse sono legate dalle r equazioni ottenute dalle leggi Kirchhoff con n-1 ottenute dalla LKC e r-n+1 dalla LKT) e dalle r equazioni degli elementi circuitali [v = f(i)].

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Analisi circuitale

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Ø Metodo generale per l’analisi circuitale:(r rami, 2r equazioni in 2r incognite)

k0,kkk

m k

n k

ViRv

0v0i

+=

=

=

åå

Esempio di equazione di un elemento circuitale con un resistore Rk ed un generatore indipendente di tensione V0,k.

(n-1) eq.i

(r-n+1) e q.i

r eq.i

Analisi circuitale

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Alma Mater Studiorum - Università di Bologna

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