2.0 Filas Espera e Propagacao Perturbacoes

8/17/2019 2.0 Filas Espera e Propagacao Perturbacoes

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Índice

2. FILAS DE ESPERA E PROPAGAÇÃO DE PERTURBAÇÕES ............................................................... . 1

2.1. FILAS DE ESPERA....................................................... ........................................................... ....................... 1 2.1.1. Introdução........................................................... ........................................................... ....................... 1

2.1.2. Modelos deterministicos................................................................................. ....................................... 3

2.1.3. Filas de espera em semáforos......... ...................................................................... ................................ 7

2.2. PROPAGAÇÃO DE PERTURBAÇÕES (SHOCK -WAVE)....................................................................................10

Índice de Figuras

FIGURA 1 – ABORDAGEM DO PROBLEMA DE FILAS DE ESPERA .......................................................................................2

FIGURA 2 – R EPRESENTAÇÃO DO R ITMO DE CHEGADAS E PARTIDAS AO LONGO DO TEMPO............................................3

FIGURA 3 – GRÁFICO ACUMULADO DE CHEGADAS E PARTIDAS – EVOLUÇÃO DA FILA DE ESPERA..................................4

FIGURA 4 – EXEMPLOS DE FILAS DE ESPERA .................................................... ........................................................... ... 5

FIGURA 5 – R ITMO DE CHEGADAS E PARTIDAS EM CRUZAMENTOS SEMAFORIZADOS......................................................8

FIGURA 6 – ACUMULADO DE CHEGADAS E PARTIDAS EM CRUZAMENTOS SEMAFORIZADOS ...........................................8

FIGURA 7 – R EPRESENTAÇÃO DA DIMENSÃO DA FILA DE ESPERA ...................................................................................9

FIGURA 8- DESCRIÇÃO DE SITUAÇÕES QUE ORIGINAM PERTURBAÇÕES........................................................................11 FIGURA 9 - FORMAÇÃO DO PELOTÃO ..................................................... ........................................................... ........... 12

FIGURA 10 - DIAGRAMA DE TEMPO-DISTÂNCIA DA FORMAÇÃO DO PELOTÃO ...............................................................13

Índice de Quadros

QUADRO 1 – I NDICADORES DE FUNCIONAMENTO DE FILAS DE ESPERA EM INTERSECÇÕES SEMAFORIZADAS ...............10


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2.0 Filas_espera_e_propagacao_Perturbacoes_06 / Março, 06 1/15

2. Filas de Espera e Propagação de perturbações

2.1. Filas de espera

2.1.1. Introdução

Filas de espera ocorrem todos os dias e em todos os modos de transporte, e afectam tanto

condutores como peões. No que se refere ao tráfego rodoviário, filas de espera podem ser

encontradas em intersecções, locais com incidentes (acidentes ou avarias de veículos), reduções

da largura das vias, parques de estacionamento, praças de portagem, etc.

Independentemente da sua complexidade, as filas de espera são caracterizadas por uma

Mecanismo de chegadas, Mecanismo do serviço e Disciplina da fila. O mecanismo de chegadas

descreve a forma como os “clientes” a ser servidos chegam ao sistema. Essas chegadas poderão

ser caracterizadas por uma cadência (λ – nº de chegadas por unidade de tempo) e uma

distribuição (um exemplo típico é considerar que as chegadas seguem uma distribuição de

Poisson).

Para caracterizar o mecanismo do serviço poderá ser utilizado, para além da cadência (µ) e da

distribuição, o número de postos de serviço (nº de pistas, de cabinas de portagem, etc.). Por

último, a disciplina da fila refere-se às regras de escolha do cliente seguinte a ser servido. A

regra mais comum para a disciplina da fila é a designada FIFO ( first in, first out ), que define que

o primeiro cliente a chegar ao inicio da fila é o primeiro a ser servido. Outras regras existem,

desde a também comum LIFO (last in, first out) a outras mais complexas baseadas na definição

de prioridade.

As análises de filas de espera são classificadas em Deterministicas ou Estocásticas, dependendo

do tipo de dados disponíveis e o que se conhece acerca desses dados. Uma fila de espera é

considerada deterministica quando as três componentes que a caracterizam (mecanismo de

chegada, mecanismo do serviço e disciplina da fila) são possíveis de determinar com exactidão.

Sistemas estocásticos são aqueles em que as chegadas e/ou o serviço seguem uma distribuição

probabilistica (i.e., o tempo de chegada e/ou serviço de cada cliente não são conhecidos

antecipadamente).


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Na figura seguinte está ilustrado o processo de decisão na escolha do tipo de abordagem

(analítica ou por simulação) em problemas de filas de espera, baseado no tipo de dados

disponíveis (deterministicos ou estocásticos). Nesta figura a intensidade de tráfego (ρ) é definida

como o quociente entre a cadência média de chegadas (λ) e a taxa média de serviço (µ).

FIGURA 1 – ABORDAGEM DO PROBLEMA DE FILAS DE ESPERA

Identificação do mecanismo dechegada e serviço

AmbosDeterministicos?

Fila de EsperaDeterministica

Fila de EsperaEstocástica

CALC ρ = λ / µ CALC ρ = λ / µ

ρ ≤ 1,00 ρ < 1,00

Stop Devedissipar-se?

Stop

ModelosDeterministicos

AbordagemAnalítica

Simulação AbordagemAnalítica

ModelosEstocásticos

Microscópica?Simples?

Conversão

Sim

Sim

Não

Não Não

Sim

Não

Sim

Sim

Não Sim

Não

FONTE: I NSTITUTE OF TRANSPORTATION E NGINEERS


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2.1.2. Modelos deterministicos

Como já foi dito, o problema das filas de espera pode ser analisado recorrendo a um modelo

deterministico quando são conhecidos os tempos de chegada e serviço de todos os clientes

(veículos) que acedem ao sistema. É possível portanto ilustrar num gráfico veículos-tempo omecanismo de chegadas e mecanismo do serviço (expresso em termos de partidas do sistema).

FIGURA 2 – R EPRESENTAÇÃO DO R ITMO DE CHEGADAS E PARTIDAS AO LONGO DO TEMPO

V e í c u l o s

Tempo

Chegadas

Partidas

λ

µ

Na situação representada, em que o número de chegadas por unidade de tempo (λ) é superior à

taxa de veículos servidos por unidade de tempo (µ), isto é, a procura é superior à capacidade dosistema, naturalmente irá ocorrer uma fila de espera de dimensão crescente ao longo do período

ilustrado. A evolução dessa fila será melhor entendida recorrendo a uma gráfico acumulado de

chegadas e partidas, que para cada instante de tempo (eixo das abcissas) indica o número total de

veículos que chegou ou partiu do sistema desde o instante t=0 até ao instante em causa.


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FIGURA 3 – GRÁFICO ACUMULADO DE CHEGADAS E PARTIDAS – EVOLUÇÃO DA FILA DE ESPERA

V e í c u l o s

Tempo

Chegadas

Partidas

λ µ

1

1

t1 t2

v2

v1

atraso doveículo v1

dimensão da fila no instante o t 2

Neste tipo de representação a diferença entre a recta das chegadas e a recta das partidas define,

quando expressa em termos de ordenadas (veículos), a dimensão da fila de espera em cada

instante, e quando expressa em termos de abcissas (tempo), o atraso sofrido por cada veículo. A

área compreendida entre as duas rectas representa o atraso total num determinado período, que

quando dividido pelo número total de chegadas nesse período resulta no atraso médio por

veículo.

Até aqui apenas foi referido o exemplo de uma fila de espera com cadência de chegadas

constante e superior à taxa de serviço, também ela constante. No entanto, para além desta,

inúmeras situações podem ocorrer, ilustrando-se alguns exemplos de seguida.


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FIGURA 4 – EXEMPLOS DE FILAS DE ESPERA

R i t m o

A c u m u l a d o

R i t m o

A c u m u l a d o

Chegadas

Partidas

No que diz respeito à formulação matemática do ritmo e do acumulado, quer das chegadas quer

das partidas, convém primeiro que tudo notar que o gráfico acumulado representa em cada ponto

a área definida pelo gráfico do ritmo desde a origem até esse ponto. Deste modo, e de uma forma

genérica, a expressão que traduz o acumulado (tanto das chegadas como das partidas) será dada

pelo integral da expressão que define o respectivo ritmo.

∫=t

r a )t ( f )t ( f

Assim sendo, quando o ritmo é constante:

a )t ( f r =


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o acumulado varia linearmente ao longo do tempo:

t ab )t ( f a ⋅+=

Em que a representa a cadência de chegadas (ou partidas) e b é a ordenada na origem, neste caso

o número total de veículos que chegaram até ao instante t=0.

Da mesma forma, se o ritmo varia linearmente:

t ba )t ( f r ⋅+=

a expressão que define a variação do acumulado ao longo do tempo é dada por uma parábola:

2

2 t

bt ac )t ( f r ⋅+⋅+=

Exemplo:

Pretende-se calcular o Atraso total e o Número máximo de veículos enfileirados que resulta da

ocorrência dum incidente que bloqueou uma via, com capacidade de 2000 v/h, durante 15

minutos, no momento em que o volume de tráfego escoado é igual a 600 v/h.

A evolução de desta fila de espera pode então ser representada por um gráfico de chegadas e

partidas acumulado.

v e í c u

l o s

tempo

15 min.Partidas

Chegadas

t

Atraso total

dimensão máxima da fila


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Como se pode observar, a dimensão máxima da fila ocorre no final do período de 15 minutos,

em que a via se encontra bloqueada. Nesse instante a sua dimensão é igual ao número total de

chegadas nesse intervalo, isto é:

Dimensão máxima da fila = q × 15 min./60 = 600 × 0,25 = 150 veículos

Para determinar o atraso total é primeiro necessário determinar o instante em que a fila se

dissipa, que corresponde ao momento em que o número total de partidas iguala o número total de

chegadas:

) sm( h ,t t ) ,t (

filadadissipaçãodetempo

26213606002000250 =⇔×=×−43421

Finalmente, o atraso total poderá ser calculado subtraindo à área definida pela recta das

chegadas, a área definida pelo gráfico das partidas.

h.veíc , ) ,t ( s ) ,t ( t qt

total Atraso ×=−××−

−××

= 7262

250250

2

2.1.3. Filas de espera em semáforos

O problema da formação de filas de espera em intersecções semaforizadas pode, em alguns

casos, também ser abordado recorrendo a metodologias deterministicas. Neste caso estamos

perante uma situação particular, em que a taxa de serviço assume, alternadamente, os valores do

débito de saturação da via (durante o período de verde útil) e zero (durante o tempo de

vermelho). Isto mesmo é ilustrado na figura seguinte.


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FIGURA 5 – R ITMO DE CHEGADAS E PARTIDAS EM CRUZAMENTOS SEMAFORIZADOS

d é b i t o

tempo

s

q Partidas

Chegadas

tempo de vermelho

tempo de verde útil

Na situação representada é assumido que o tempo de verde útil é suficientemente longo para

dissipar a fila de espera criada. Os valores s e q indicados na figura anterior correspondem,

respectivamente, ao débito de saturação e débito de chegadas.

A evolução da fila ao longo do tempo pode então ser representada recorrendo a um gráfico de

chegadas e partidas acumuladas.

FIGURA 6 – ACUMULADO DE CHEGADAS E PARTIDAS EM CRUZAMENTOS SEMAFORIZADOS

v e í c u l o s

tempo

t0

Partidas

Chegadas

tempo de vermelho


Associado a todo o tipo de filas de espera poderão ser calculados vários indicadores de

funcionamento das mesmas. Neste caso particular, poderemos recorrer a outro tipo de

representação da evolução da fila de espera, com vista à dedução das expressões de cálculo dos

referidos indicadores.


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FIGURA 7 – R EPRESENTAÇÃO DA DIMENSÃO DA FILA DE ESPERA

v e í c u l o s

tempot0

q⋅r

r gC

tempo de vermelho


q

1 1

s-q

Nesta figura ilustra-se a variação da dimensão da fila de espera ao longo de um ciclo do

semáforo, e resulta da diferença de ordenadas entre os gráficos acumulados das chegadas e das

partidas. Como se pode observar, a dimensão máxima da fila ocorre no fim do tempo de

vermelho e toma o valor de q

r, em que r corresponde ao tempo de vermelho. Com efeito, e

assumindo que o débito de chegadas é inferior ao débito de saturação, durante todo o tempo de

vermelho a fila aumenta a um ritmo igual ao das chegadas, visto que as partidas são nulas, pelo

que no final desse tempo a dimensão da fila atinge um valor igual ao número total de veículos

que chegou ao cruzamento durante o referido período, isto é, q

r veículos.

Durante o tempo de verde útil, o débito de chegadas mantém-se igual a q, enquanto o débito de

partidas toma o valor do débito de saturação (s). Deste modo, a dimensão da fila de espera irá

reduzir a um ritmo dado pela diferença entre os débitos de saturação e de chegadas (s-q). Assim

sendo, o instante em que a fila se dissipa, que corresponde ao final do tempo de duração da fila

(t0), é dado pela soma do tempo de vermelho com o tempo de dissipação da fila de espera de

dimensão q

r a um ritmo igual a (s-q).

q s

r qr t

−⋅

+=0


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Resultando,

q s

r st

−⋅

=0

Outros indicadores de funcionamento poderão ser calculados, encontrando-se no quadro seguinte

um resumo dos principais.

QUADRO 1 – I NDICADORES DE FUNCIONAMENTO DE FILAS DE ESPERA EM INTERSECÇÕES SEMAFORIZADAS

IndicadoresExpressão de

cálculo

Duração da filaq s

r st

−⋅

=0

Proporção do tempo com filaC

t 0

Número de veículos atrasados 0t q ⋅

Proporção de veículos atrasadosC

t 0

Comprimento máximo da fila r q ⋅

Comprimento médio da fila 2

r q ⋅

Comprimento médio da fila em t0 C

t r q

⋅⋅⋅

20

Atraso total2

0t r q ⋅⋅

Atraso médio por veículo em CC

t r

⋅⋅

20

2.2. Propagação de perturbações (shock-wave)Considerando uma corrente de tráfego em movimento, esta caracteriza-se por um dado fluxo,

velocidade e densidade, conforme se ilustra no ponto 1 da Figura 8. Baseando-nos nesse

diagrama, ao ponto 1 corresponde um fluxo de 1000 veíc./h, uma densidade de 12.5 veíc./km e

uma velocidade (tangente do segmento 0-1) de 80 km/h. O espaço entre veículos será de

aproximadamente 75 m.


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Suponha-se agora que um camião que se deslocava integrado na corrente de tráfego reduz a sua

velocidade para 20 km/h, sendo proibidas as ultrapassagens. Os veículos que se deslocam atrás

do referido camião terão que reduzir a sua velocidade para o mesmo valor, levando à formação

de um pelotão que irá crescendo até que a perturbação cesse.

Em virtude de os veículos que rodam atrás do camião terem agora que o fazer a uma velocidade

inferior, tenderão a ajustar o seu espaçamento para uma distância mais reduzida.

A corrente de tráfego resultante é definida pelo ponto 3 da Figura 8, com a tangente do segmento

0-3 a representar a velocidade a que se desloca o pelotão. Neste exemplo, o valor do fluxo e da

densidade para o pelotão são de 1200 veíc./h e 60 veíc./km, respectivamente.

FIGURA 8- DESCRIÇÃO DE SITUAÇÕES QUE ORIGINAM PERTURBAÇÕES

Assim, num qualquer instante após o camião ter abrandado, um observador estacionário iria ver

um pelotão definido pelo camião à frente e pelo último veículo a juntar-se-lhe à retaguarda. O

pelotão consistirá num grupo de veículos a uma velocidade reduzida e densidade elevada.

Após algum tempo, as condições de tráfego à frente do camião serão de estrada livre (densidade

igual a zero) e atrás do último veículo de velocidade igual a 80 km/h e densidade de 12.5

veíc./km. A Figura 9 descreve a formação do pelotão.


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FIGURA 9 - FORMAÇÃO DO PELOTÃO

Fonte: Papacostas, C. S., - Fundamentals of Transportation Engineering

Usando uma analogia com a hidrodinâmica, pode dizer-se que existe propagação de uma

perturbação (onda de choque ou shock-wave) sempre que duas correntes de tráfego com

diferentes características se encontram. Existirá assim, neste exemplo, a criação de uma

perturbação devida à diferença de condições entre a situação à frente do camião e do pelotão, e

outra entre o pelotão e os veículos que se aproximam à sua retaguarda.


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A Figura 9 e a Figura 10 mostram que as perturbações AA e BB se movem, em relação à estrada,

ao longo do tempo.

FIGURA 10 - DIAGRAMA DE TEMPO-DISTÂNCIA DA FORMAÇÃO DO PELOTÃO

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A taxa segundo a qual o pelotão cresce depende das velocidades relativas das duas perturbações

AA e BB.

Se após algum tempo, o camião acelerar ou sair da estrada, os veículos que se deslocavam

imediatamente atrás dele poderão aumentar a sua velocidade, gerando-se assim nova perturbação

entre as condições iniciais e as condições do pelotão.


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2.0 Filas espera e propagacao Perturbacoes 06 / Março, 06 14/15

A velocidade de propagação de uma perturbação numa corrente de tráfego é dada pela tangente

do segmento que une os dois pontos que geram a perturbação. Designando as duas condições por

a e b, no sentido do movimento da corrente de tráfego, o valor e sentido da velocidade são dados

por:

ab

ab

K K

qq

−−

= ppV EQ. 1

K b - densidade no ponto b

K a - densidade no ponto a

qb - fluxo no ponto b

qa - fluxo no ponto a

Vpp - velocidade de propagação da perturbação

Se a velocidade de propagação for maior que zero (Vpp > 0), a perturbação propaga-se na

direcção da corrente de tráfego, sendo zero encontra-se estacionária em relação à estrada e no

caso de ser negativa (Vpp < 0) desloca-se no sentido contrário ao do tráfego.

Os dois casos ilustrados pelas Figuras 9 e 10, representam perturbações em que a propagação

acontece no sentido do tráfego. Situações existem, no entanto, em que a propagação se faz nosentido contrário. Por exemplo, o caso em que a estrada é interrompida por um semáforo, a

propagação entre os veículos que se aproximam e os veículos parados desloca-se no sentido

contrário ao do tráfego.

Bibliografia:

• Papacostas, C. S: - Fundamentals of Transportation Engineering - (1987)• Institute of Transportation Engineers - Traffic Engineering Handbook - (1992)

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