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Observen los siguientes prismas; utilicen la versión transparente para contar sus vér-
tices y señálenlos con puntos rojos.
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Escriban los nombres de tres objetos que tengan forma de prismas.
Prismas
5 Irina pintó una de las caras de un prisma y la
apoyó sobre un papel, donde dejó esta marca:
¿De qué tipo de prismas puede tratarse? Nom-
bren dos.
A
CB
El prisma transparente de la actividad anterior
también se puede utilizar como guía para con-
tar las aristas de la figura. En este prisma, 3
de sus aristas fueron marcadas con verde.
Señalen con otro color las demás aristas y de-
terminen cuántas son en total.
Cuenten las aristas de los prismas de la acti-
vidad 2.
3
4
De las dos figuras dadas, la de la izquierda es la imagen de
un prisma de base triangular. Se pueden observar sólo 2 de
sus 5 caras y 5 de sus 6 vértices, señalados con puntos ro-
jos. La figura que está a su derecha representa el mismo
prisma, pero sus caras son transparentes. Allí se pueden ver
todos sus vértices y todas sus caras.
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Pirámides
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Indiquen a qué pirámide corresponde cada desarrollo.
Completen la tabla.
Si una pirámide tiene como base un polígono de 42 lados, ¿cuántos vértices tiene?
¿Y aristas?
Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cómo es la base de la figura?
Número de lados de la base
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
Octogonal
Número de aristas de la pirámide
Base de la pirámide
A CB 1 2
3 4
P
P
P
Sugerencias para estudiar
Dibujar un polígono regularLos polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos de la misma medi-
da se llaman polígonos regulares. Algunos, como el hexágono regular (seis lados), pue-
den construirse utilizando regla y compás.
Paso 1. Tracen una circunferencia y marquen un punto sobre ella. Sin cambiar la
abertura del compás, fíjenlo en ese punto y tracen un arco sobre la circunferencia,
para obtener el punto P.
Paso 2. Ahora fijen el compás en el punto P y, con la misma abertura, tracen otro ar-
co; obtendrán un nuevo punto. Repitan esta operación hasta dar la vuelta comple-
ta a la circunferencia.
Paso 3. De esta forma, obtienen seis puntos sobre la circunferencia, que son los
vértices del hexágono regular. Utilizando una regla, unan esos vértices.
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Polígonos y poliedros regulares
Utilicen compás y transportador para decidir cuáles de los siguientes po-
lígonos son regulares.
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13 Desde hace 2 300 años, se sabe que solo existen 5 sólidos
regulares (los de la actividad 12). Si toman dos tetraedros
regulares iguales y los pegan haciendo coincidir dos de sus
caras como muestra la figura, obtienen un poliedro con seis
lados que son triángulos equiláteros iguales. ¿Por qué este
nuevo cuerpo no es un sólido regular? Construyan con car-
tulina ese poliedro para observar sus características.
Consulten las primeras páginas del tema e indiquen a qué poliedro regu-
lar corresponde cada uno de los siguientes desarrollos planos.
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Con los desarrollos planos de la actividad anterior, pueden construirse los 5 po-
liedros regulares, con cartón o madera. Utilizando alguno de los modelos
propuestos en todo el tema, completen la siguiente tabla.
¿A qué conclusión pueden llegar?
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Poliedro regularNúmero de vértices (V)
Número de aristas (A)
Número decaras (C)
Caras + Vértices - Aristas(C + V - A)
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Cuerpos redondos
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Nombren 3 objetos que tengan forma cilíndrica, 3 que ten-
gan forma cónica y 3 que sean esféricos.
Averigüen a qué se llama “cono de sombra lunar”.
¿Qué cuerpo se obtiene al girar el siguiente triángulo rectán-
gulo? ¿Y al girar el rectángulo?
Sandra y Lorena creen que al girar un círculo
pueden obtener una esfera.
Sandra propone pegar una varilla que pase por
el centro del círculo, y luego girar la varilla. Lo-
rena, por su parte, propone pegar la varilla a un
punto de la circunferencia y luego girarla. ¿Es
cierto que las dos obtienen una esfera?
A cada una de estas esferas se le cortó una parte. Unan, mediante fle-
chas, las partes que forman esferas.
La esfera se utiliza para gran diversidad de jue-
gos y deportes. Reúnanse en grupos y escri-
ban un listado de todos los que conocen.
¿Cuántos pudieron nombrar?
BA C D E
1 2 3 4 5
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Actividades integradoras20
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En los dados que se usan habitualmente para jugar a distintos juegos, las 6 caras están numera-
das del 1 al 6, de tal manera que las caras opuestas siempre suman 7. ¿Cuánto suman en cada ca-
so las caras que están tocando la mesa?
.c.b .a
Determinen de qué cuerpo geométrico se trata, según las características indicadas.
Tiene 2 bases, que son heptágonos. Las caras laterales son rectángulos.
Es un cuerpo redondo con una sola base.
No tiene vértices. y
Tiene una base, que es un rectángulo, y sus caras laterales son triángulos.
Tiene 2 bases, que son triángulos. Sus caras laterales son rectángulos.
No tiene vértices. No tiene bases.
¿Cuál de los cubos se formó al plegar el desarrollo?
En la actividad 14 observaron que en los poliedros regulares se cumple esta condi-
ción: Caras + Vértices - Aristas = 2.
Verifiquen si esta igualdad, llamada fórmula de Euler, se cumple en el cuerpo dibu-
jado a la derecha.
¿Puede una pirámide tener todas sus caras iguales?
¿Es posible construir una pirámide que tenga 25 aristas? ¿Por qué?
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A B C D
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Para hacer con mate
Un hexágono de origamiEl origami es un antiguo arte de origen japonés que consiste en rea-
lizar figuras mediante el doblado de papel. Esta tradición, reservada en
un principio a la nobleza, tiene como uno de sus objetivos desarrollar la
calma y la paciencia en quienes la practican.
En esta actividad, les proponemos construir un hexágono regular sin
regla ni compás, utilizando la técnica del origami.
1. Corten una tira larga de papel de
color:
3. Desdoblen:
9. Desdoblen:
5. Desdoblen nuevamente:
7. Desdoblen nuevamente:
6. Vuelvan a doblar hacia arriba siguien-
do el doblez anterior:
8. Otra vez doblen hacia abajo siguiendo
el doblez anterior:
11. Corten los triángulos irregulares de las
puntas. Plieguen por los lados marcados
en rojo y quedará armado el hexágono.
Así queda el hexágonoterminado.
2. Doblen hacia arriba en cualquier
ángulo:
4. Doblen hacia abajo siguiendo el do-
blez anterior:
10. Continúen doblando alternativa-
mente hacia arriba y hacia abajo, siem-
pre siguiendo el doblez anterior:
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El baúl matemático
Los prismas y la luz
Al hacer pasar un rayo de luz por un
prisma de cristal, se produce un efecto óp-
tico que da como resultado un haz con una
dirección diferente de la original y con sus
componentes separados. Es el mismo efecto
que se produce en la naturaleza cuando se
forma el arco iris.
Figuras imposibles
M. C. Escher (Holanda, 1898-1972) fue
un importante artista plástico que, sin ser
matemático, reflejó en su obra parte de las
ideas matemáticas modernas. Muchos de
sus dibujos con perspectivas imposibles pre-
sentan poliedros como elementos de su com-
posición.
En la terraza de este castillo pintado por
Escher, por ejemplo, hay dos hileras de mon-
jes. Unos bajan y bajan, pero siempre regre-
san al mismo lugar; mientras tanto otros, por
la misma escalera, suben infinitamente.
Por más que sepamos que eso es impo-
sible, el dibujo está tan bien hecho que en-
gaña nuestra razón.
Descomposición de la luz al pa-sar por un prisma de cristal.
Los cuerpos en la pintura del Renacimiento
La pintura muestra al fraile franciscano Luca Pacio-
li dictando una lección de geometría. Luca Pacioli se
dedicó a la matemática y trabajó, en colaboración con
Leonardo Da Vinci, en un famoso tratado de geometría
llamado La divina proporción.
El retrato que ven en esta estampilla italiana, hecha
en conmemoración de los 500 años de la publicación de
su obra Suma de aritmética, geometría, proporción y
proporcionalidad, muestra a Pacioli realizando una cons-
trucción geométrica. En la mesa, además de su libro y un
reloj de arena, pueden verse un dodecaedro y un mode-
lo esférico.
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