2001m Matematikos Valstybinis Egzaminas

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ø C E N T R A S

© Nacionalinis egzaminø centras, 2001

Šis dokumentas paskelbtas interneto svetainėje

http://www.egzaminai.lt naudojantis ISDN Takas paslauga

MATEMATIKA 2001 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

Pagrindinë sesija 2001 m. geguþës mën. 17 d. Trukmë – 3 val.

NURODYMAI

1. Pasitikrinkite, ar uþklijuotame kode esantis skaièius atitinka jûsø vietos egzamino patalpoje numerá. Jeigu neatitinka, pasakykite vykdytojui.

2. Egzamino metu galima naudotis raðymo priemonëmis, braiþybos árankiais ir skaièiuokliu be tekstinës atminties.

3. 1-9 uþdaviniai pateikti su penkiais galimais atsakymais. Pasirinktàjá atsakymà paþymëkite apvesdami prieð já esanèià raidæ. Ðiø uþdaviniø sprendimai nebus tikrinami, todël jø uþraðyti nebûtina. Teisingas 1-9 uþdavinio atsakymas vertinamas 1 taðku.

NEPAMIRÐKITE pasirinktus atsakymus þyminèias raides áraðyti lentelëje, esanèioje paskutiniame ðio sàsiuvinio puslapyje. Prieðingu atveju uþ tuos uþdavinius gausite po 0 taðkø.

4. Jei savo pasirinkimà keièiate, perbraukite senàjá ir aiðkiai paþymëkite naujai pasirinktàjá atsakymà. Nepamirðkite pakeisti atsakymo ir lentelëje.

5. Jei manote, kad uþdavinyje (ar jo dalyje) yra klaida, já (ar tà dalá) praleiskite ir spræskite kitus uþdavinius (ar kitas uþdavinio dalis). Jeigu uþdavinyje (ar jo dalyje) ið tikrøjø yra klaida, jis (ta dalis) nebus vertinamas (vertinama).

6. 10-22 uþdaviniø sprendimus uþraðykite po sàlyga paliktoje vietoje. Praðome raðyti tvarkingai, áskaitomai. Atsakymas, pateiktas be sprendimo, bus vertinamas 0 taðkø.

7. Ðios uþduoties 2 puslapyje rasite reikalingas formules, o 15 puslapis skirtas juodraðèiui.

8. Neraðykite langeliuose, kurie skirti vertintojø áraðams. Visame darbe negali bûti uþraðø ar kitokiø þenklø, kurie leistø identifikuoti darbo autoriø (pvz., vardo, pavardës, miesto ir t.t.).

2001 m. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UÞDUOTIS

2

F O R M U L Ë S

Trikampis. ;4

))()((R

abcrpcpbpappS ==−−−= èia a,b,c – trikampio kraðtinës, p – pusperimetris,

r ir R – ábrëþtinio ir apibrëþtinio apskritimø spinduliai, S – trikampio plotas.

Skritulio iðpjova. ,360

2α⋅

π=

o

RS ;

180α⋅

π=

o

Rl èia −α centrinio kampo didumas laipsniais,

S – iðpjovos plotas, l – iðpjovos lanko ilgis, R – apskritimo spindulys.

Nupjautinis kûgis. lrRS ⋅+π= )( , V= );(31 22 rRrRH ++π èia R ir r – kûgio pagrindø spinduliai,

S – ðoninio pavirðiaus plotas, V – tûris, H – aukðtinë, l – sudaromoji.

Nupjautinës piramidës tûris. );(31

2211 SSSSHV ++= èia S1, S2 – pagrindø plotai, H – aukðtinë.

Rutulys. 24 RS π= , 334

RV π= , èia S – rutulio pavirðiaus plotas, V – tûris, R – spindulys.

Rutulio nuopjovos tûris. )3(31 2 HRHV −π= ; èia R – spindulys, H – nuopjovos aukðtinë.

Vektoriø skaliarinë sandauga. α⋅=++=⋅ cos212121 bazzyyxxbarrrr

; èia α – kampas tarp vektoriø

{ }111 ;; zyxar

ir { }222 ;; zyxbr

.

Geometrinë progresija. 11

−= nn qbb ,

qqb

Sn

n −−

=1

)1(1 .

Begalinë nykstamoji geometrinë progresija. q

bS

−=

11 .

Trigonometrinës funkcijos. α

=α+2

2

cos

1tg1 ,

α=α+

22

sin

1ctg1 , α−=α 2cos1sin2 2 ,

α+=α 2cos1cos2 2 , ,sincoscossin)sin( βα±βα=β±α ,sinsincoscos)cos( βαβα=β±α m

2cos

2sin2sinsin

βαβ±α=β±α

m , 2

cos2

cos2coscosβ−αβ+α

=β+α ,

2sin

2sin2coscos

β−αβ+α−=β−α , ( )

β⋅αβ±α

=β±αtgtg1

tgtgtg

m .

Niutono binomo formulë. .......)( 11 nnn

kknkn

nn

non

n bCbaCbaCaCba +++++=+ −−

,)!(!

!knk

nCC kn

nkn −

== − ,)!(

!kn

nAk

n −= !nPn = .

Tikimybiø teorija. Atsitiktinio dydþio X, ágyjanèio reikðmes nxxx ,...,, 21 su tikimybëmis atitinkamai

nppp ,...,, 21 , matematinë viltis nn pxpxpxX +++= ...E 2211 ,

dispersija nn pXxpXxpXxX 22

221

21 )E(...)E()E(D −++−+−= .

Iðvestiniø skaièiavimo taisyklës. ;')'( CuCu = '')'( vuvu ±=± ; ;'')'( uvvuuv += 2

''

v

uvvuvu −

=′

;

èia u ir v – diferencijuojamos funkcijos, C – konstanta. (ax)′ =ax lna, ( )ax

xa ln1

log⋅

=′ .

Sudëtinës funkcijos h(x)=g(f(x)) iðvestinë h′ (x)=g′ (f (x))⋅f′ (x).

Funkcijos grafiko liestinës taðke ( ))(, 00 xfx lygtis. ))(()( 000 xxxfxfy −′+= .

Logaritmo pagrindo keitimo formulë. .loglog

logab

bc

ca =


3

1. Apskaièiuokite

41

3

12

11

++

+ .

A 9

10 B

1516

C 2125

D 2 E 3043

2. Metami trys standartiniai ðeðiasieniai loðimo kauliukai1. Kokia tikimybë2, kad iðkritusiø akuèiø

suma bus lygi 5?

A 361

B 251

C 216

5 D

61

E 201

3. =3log24 A 3 B 9 C 3log4 D 8 E 2

1 šešiasienis lošimo kauliukas – шестигранная игральная кость – kostka sześcienna (dla gry) 2 tikimybė – вероятность – prawdopodobieństwo


4

4. =+−

+−+

11

11

xx

xx

A 21

2

x− B

21

4

x

x

− C

21

2

x

x

− D

1

42 −x

x E x

5. Lauþtæ1 kerta tiesë (þr. brëþiná). Kampas x lygus:

A 45° B 25° C 30° D 40° E 50° 6. Lygties 5)4()2( =+− xx sprendiniø2 skaièius yra: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4

1 laužtė – ломаная – łamana 2 sprendinys– решение – pierwiastek


5

7. Kuri ðiø funkcijø yra atvirkðtinë funkcijai1 xxf −= 12)( ?

A )1(log)( 2 += xxg B 12)( −= xxg C xxg 2log1)( −= D x

xg−

=

1

2

1)( E xxg −= 1

1

2)(

8. Jei

π=

2sin)(

xxf , tai funkcijos f iðvestinë =′ )0(f

A 0 B 1 C 2

cosxπ

D 2π

E –2π

9. =+∫

2

1

2 1dx

xx

A 21

B 2ln23+ C

43

D 23

E 2ln43

2 +

1 atvirkštinė funkcija – обратная функция – funkcja odwrotna


6

10. Prieð Kalëdas prekës kaina sumaþinta 24 %. Po Naujøjø metø ðventinë prekës kaina padidinta 20 %. Kiek procentø padidëjo arba sumaþëjo prekës kaina lyginant jà su pradine kaina?

(3 taðkai)

11. Apskaièiuokite ba 2+ , kai 7108,2 −⋅=a , 8101,2 −⋅=b . Atsakymà uþraðykite standartinës iðraiðkos skaièiumi.

(2 taðkai)

Èia raðo vertintojai I II III



7

12. Apskaièiuokite kampà tarp vektoriø

−

→2;

2;

23

aaa

m ir

→

2;2

;2

3a

aak

(èia 0>a ).

(3 taðkai) 13. Iðspræskite lygtá xx cos3cos2 2 = .

(3 taðkai)




8

14. Apskaièiuokite )2(f ′ , kai )1()2()( 2 +−= xxxf .

(2 taðkai)

15. Brëþinyje pavaizduota figûra, apribota kreivëmis xy cos= ir 21

=y .

Apskaièiuokite ðios figûros plotà1. (3 taðkai)

1 plotas – площадь – powierzchnia




9

16. Parabolës 12 ++= bxaxy virðûnë yra taðke )2;1(M . Raskite koeficientus a ir b.

(4 taðkai)

17. Iðspræskite lygtá xx =+ 2 .

(3 taðkai)




10

18. 1. Árodykite teiginá „Paeiliui sujungæ iðkilojo keturkampio1 kraðtiniø2 vidurio taðkus3 gauname lygiagretainá4“.

(3 taðkai)

2. Ar teisingas ðis teiginys neiðkilajam keturkampiui? Atsakymà pagráskite.

(2 taðkai)

Taðkø suma

1 iškilasis keturkampis – выпуклый четырёхугольник – czworokąt wypukły (wyniesiony) 2 kraštinė – сторона – bok 3 vidurio taškas – середина – środek 4 lygiagretainis – параллелограмм – równoległobok



11

19. Kubo 1111 DCBABCDA kraðtinë lygi 2 cm. Ðá kubà kertant plokðtuma1, einanèia per virðûnes 1B ir D bei briaunø2 AB ir 11CD vidurio taðkus P ir K, gauname keturkampá KDPB1 (þr. pav.). Apskaièiuokite gauto- jo keturkampio plotà.

(3 taðkai)

Taðkø suma

1 plokštuma – плоскость – płaszczyzna 2 briauna – ребро – krawędź



12

20. 1. Kiek skirtingø keturþenkliø skaièiø, kuriø visi skaitmenys1 skirtingi, galima sudaryti ið skaitmenø 0, 1, 2, 3?

(2 taðkai)

2. Ið skaitmenø 0, 1, 2, 3 atsitiktinai sudaromas keturþenklis skaièius, kurio visi skaitmenys skirtingi. Kokia tikimybë, kad ðis skaièius dalijasi ið 6?

(2 taðkai)

Taðkø suma

1 skaitmuo – цифра – cyfra



13

21. Jurgita kartà per savaitæ patræðia kambarinæ gëlæ biotràðomis. Yra þinoma, kad tràðø1 kiekis gëlës vazone per savaitæ sumaþëja apie 25 %.

1. Tarkime, kad Jurgitos priþiûrima gëlë anksèiau nebuvo træðta biotràðomis. Jurgita kiekvienà ðeðtadiená patræðia gëlæ 10 g biotràðø. Biotràðos veikia efektyviai tik tada, kai jø kiekis vazone iki kito træðimo momento visà laikà yra didesnis nei 20 g. Apskaièiuokite, po keliø patræðimø tokiu bûdu træðiant gëlæ tràðos ims veikti efektyviai visà laikà.

(2 taðkai)

2. Paraðykite formulæ, pagal kurià galima bûtø apskaièiuoti tràðø kieká vazone po kiekvieno patræðimo.

(2 taðkai)

3. Kai biotràðø kiekis virðija 50 g, gëlë ima dþiûti dël per didelio tràðø kiekio. Ar gali Jurgita ir toliau pastoviai ðeðtadieniais træðti jos priþiûrimà gëlæ pasirinktu bûdu?

(2 taðkai)

Taðkø suma

1 trąša – удобрение – nawóz



14

22. 9 m atkarpoje, jungianèioje du taðkinius ðviesos ðaltinius, vienas ið kuriø aðtuonis kartus stipresnis uþ kità, raskite maþiausiai apðviestà taðkà. Apðviestumo dësnis: apðviestumas tiesiog proporcingas ðaltinio ðviesos stiprumui ir atvirkðèiai proporcingas atstumo iki ðviesos ðaltinio kvadratui.

(5 taðkai)


Documents

2001m Matematikos Valstybinis Egzaminas