TITULARIZARE 2004PROFESORI I

I. Se considera polinomul f = X3 +3X2 1, cu radacinile x1, x2, x3 C. Notam Sn = xn1 + xn2 + xn3 , () n N,S0 = 3.

a) Sa se calculeze f(3), f(1), f(0) si f(1).b) Sa se arate ca toate radacinile polinomului f sunt reale.

c) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini rationale.

d) Sa se verifice ca S0 Z, S1 Z si S2 Z.e) Sa se arate ca Sn+3 + 3Sn+2 Sn = 0, () n N.f) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca Sn Z, () n N.g) Sa se arate ca (1 +

2)n + (12)n Z, () n N.

h) Sa se arate ca pentru orice p N, p 2, si orice interval nevid, deschis, I, exista a1, a2, . . ., ap I Q,astfel ncat an1 + a

n2 + . . .+ a

np Q, () n N.

II. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A1(a1, 0), B1(b1, 0), C1(c1, 0), A2(a2, pa2),B2(b2, pb2), C2(c2, pc2), unde 0 < a1 < b1 < c1 si 0 < a2 < b2 < c2, p R. Notam cu M punctul deintersectie a dreptelor A1B2 si A2B1, cu N punctul de intersectie a dreptelor A1C2 si A2C1 si cu P punctul deintersectie a dreptelor B1C2 si B2C1.

a) Sa se verifice ca punctele A1, B1 si C1 sunt coliniare.

b) Sa se verifice ca punctele A2, B2 si C2 sunt coliniare.

c) Cate drepte trec prin cel putin cate doua puncte din multimea {A1, B1, C1, A2, B2, C2}?d) Sa se verifice ca punctele A1 si B2 se gasesc pe dreapta y(b2 a1) xpb2 + a1pb2 = 0.e) Sa se determine coordonatele punctului M .

f) Sa se demonstreze ca punctele M , N si P sunt coliniare.

III. Se considera s, t N, a (0,+), a 6= 1, functia f : R R, f(x) = ax si numerele reale 0 < a1 a2 . . . as,0 < b1 b2 . . . bt. Notam cu Ak = ka1 + . . .+ kas si cu Bk = k

b1 + . . .+

kbt, () k N, k 2. Se stie

ca Ak = Bk, () k N, k 2.a) Sa se calculeze lim

nAn.

b) Sa se arate ca s = t.

c) Sa se arate ca f (n)(x) = ax(ln a)n, () n N, () x R.

d) Sa se calculeze limx0

f(x) f(0)x

e) Sa se arate ca limx0

f(x)(f(0) +

x

1!f (0) +

x2

2!f (0) + . . .+

xn

n!f (n)(0)

)

xn+1=

f (n+1)(0)

(n+ 1)!

f) Sa se arate ca (ln a1)n + (ln a2)

n + . . .+ (ln as)n = (ln b1)

n + (ln b2)n + . . .+ (ln bs)

n, () n N.g) Sa se arate ca ak = bk, () k {1, 2, . . . , s}.

IV. 1. Elaborati o propunere de optional (Curriculum la decizia scolii - C.D.S.), pentru disciplina la care sustinetiacest concurs, care sa abordeze urmatoarele aspecte:

a) precizarea titlului optionalului;

b) stabilirea tipului de optional proiectat, n concordanta cu nivelul de scolaritate sau cu ciclul curricularcorespunzator;

c) prezentarea, n aproximativ o jumatate de pagina, a unui argument care sa motiveze propunereaoptionalului si care sa se refere la unul dintre urmatoarele aspecte: nevoi ale elevilor, ale comunitatiilocale, formarea unor competente de transfer.

2. Elaborati, pentru disciplina la care sustineti acest concurs, o proba de evaluare finala / sumativa care sacontina:

a) trei itemi, cate unul, la alegere, dintre urmatoarele tipuri: cu alegere duala; cu un raspuns scurt ;ntrebare structurata; eseu structurat ;

1

b) baremul de corectare al probei de evaluare (raspunsul corect pentru fiecare item si distribuirea punc-tajului de 100 de puncte, dintre care 10 puncte se acorda din oficiu).

3. Descrieti, la alegere, una dintre urmatoarele metode de nvatamant: problematizarea; demonstratia; lucrulcu manualul, prezentand:

a) definitia;

b) caracterizarea metodei;

c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina de concurs.

2

PROFESORI II

I. Se considera polinomul f = X3 +3X2 1, cu radacinile x1, x2, x3 C. Notam Sn = xn1 + xn2 + xn3 , () n N,S0 = 3.

a) Sa se calculeze f(3), f(1), f(0) si f(1).b) Sa se arate ca toate radacinile polinomului f sunt reale.

c) Sa se arate ca polinomul f nu are radacini rationale.

d) Sa se verifice ca S0 Z, S1 Z si S2 Z.e) Sa se arate ca Sn+3 + 3Sn+2 Sn = 0, () n N.f) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca Sn Z, () n N.g) Sa se arate ca (1 +

2)n + (12)n Z, () n N.

h) Sa se arate ca pentru orice p N, p 2, si orice interval nevid, deschis, I, exista a1, a2, . . ., ap I Q,astfel ncat an1 + a

n2 + . . .+ a

np Q, () n N.

II. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A1(a1, 0), B1(b1, 0), C1(c1, 0), A2(a2, pa2),B2(b2, pb2), C2(c2, pc2), unde 0 < a1 < b1 < c1 si 0 < a2 < b2 < c2, p R. Notam cu M punctul deintersectie a dreptelor A1B2 si A2B1, cu N punctul de intersectie a dreptelor A1C2 si A2C1 si cu P punctul deintersectie a dreptelor B1C2 si B2C1.

a) Sa se verifice ca punctele A1, B1 si C1 sunt coliniare.

b) Sa se verifice ca punctele A2, B2 si C2 sunt coliniare.

c) Cate drepte trec prin cel putin cate doua puncte din multimea {A1, B1, C1, A2, B2, C2}?d) Sa se verifice ca punctele A1 si B2 se gasesc pe dreapta y(b2 a1) xpb2 + a1pb2 = 0.e) Sa se determine coordonatele punctului M .

f) Sa se demonstreze ca punctele M , N si P sunt coliniare.

III. Se considera sirurile (an)nN , an = 1+1

2+ . . .+

1

n ln

(n+

2

3

), () n N, (bn)nN ,bn = 1+

1

2+ . . .+

1

n

ln

(n+

1

2

), () n N si functiile f : (0,) R si g : (0,) R, f(x) = 1

x+ 1 ln

(x+

3

2

)+ ln

(x+

1

2

),

g(x) =1

x+ 1 ln

(x+

5

3

)+ ln

(x+

2

3

), () x (0,).

a) Sa se calculeze f (x) si g(x), x > 0.

b) Sa se arate ca limx

f(x) = 0 si limx

g(x) = 0.

c) Sa se verifice ca f (x) > 0, () x > 0 si g(x) < 0, () x > 0.d) Utilizand rezultatele de la punctele b) si c), sa se arate ca f(x) < 0 < g(x), () x > 0.e) Sa se arate ca sirul (an)nN este strict crescator si sirul (bn)nN este strict descrescator.

f) Sa se arate ca 0 < bn an < 16n

, () n N.g) Sa se demonstreze ca sirul (an)nN este convergent si limita sa are primele doua zecimale egale cu primele

doua zecimale ale termenului a17.

IV. 1. Elaborati o propunere de optional (Curriculum la decizia scolii - C.D.S.), pentru disciplina la care sustinetiacest concurs, care sa abordeze urmatoarele aspecte:

a) precizarea titlului optionalului;

b) stabilirea tipului de optional proiectat, n concordanta cu nivelul de scolaritate sau cu ciclul curricularcorespunzator;

c) prezentarea, n aproximativ o jumatate de pagina, a unui argument care sa motiveze propunereaoptionalului si care sa se refere la unul dintre urmatoarele aspecte: nevoi ale elevilor, ale comunitatiilocale, formarea unor competente de transfer.

2. Elaborati, pentru disciplina la care sustineti acest concurs, o proba de evaluare finala / sumativa care sacontina:

3

a) trei itemi, cate unul, la alegere, dintre urmatoarele tipuri: cu alegere duala; cu un raspuns scurt ;ntrebare structurata; eseu structurat ;

b) baremul de corectare al probei de evaluare (raspunsul corect pentru fiecare item si distribuirea punc-tajului de 100 de puncte, dintre care 10 puncte se acorda din oficiu).

3. Descrieti, la alegere, una dintre urmatoarele metode de nvatamant: problematizarea; demonstratia; lucrulcu manualul, prezentand:

a) definitia;

b) caracterizarea metodei;

c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina de concurs.

4