L'équation différentielle 'x
*x + 't
 (1), ( α et β étant des grandeurs constantes), permet de décrire un
grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur  radioactive. n rappelle que mathématiquement cette équation admet en particulier ! solutions :
( )-*t, x(t)+ . 1 - e
*  si ≠  !  (!) et x(t) + - *t
! e   si + ! avec "# grandeur constante
A0E A: 2A3S 4E 26A3E 2ES S7S086ES 4E0;"ES
$ette première partie tend % montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en &eu une  bobine d'inductance L et de résistance r ,  ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance * ! , alimenté par un générateur délivrant une tension continue + , -.
n réalise epérimentalement le circuit électrique ci/contre. L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est obtenue par voie informatique.
• La voie +0# permet de visualiser la tension + • La voie +0l permet de visualiser la tension 12$
1. 3tude epérimentale
La courbe epérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique est donnée en A33EE n°1, graphi$%e 1 .
1.1. 3valuer graphiquement la durée du régime transitoire. 0ucune &ustification n'est demandée. 1..  τ étant la constante de temps associée au dip4le 5bobine/conducteur ohmique6 :
1..1. 7onner l'epression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit. 1... +n déduire l'epression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit 8tre
comprise entre #,9 ; et ,!# ;).
. <odèle théorique
.1. +n utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t).
.. =ar identification avec l'équation () vérifier que * r 
L
+ α =  et donner l'epression de β.
.<. +n déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de 5r, *, L et +6. <ontrer que cette solution valide bien l'équation établie en .1.
.=. <ontrer que cette équation horaire peut s'écrire t+
i(t) e * r 
n rappelle que .
et #e  
<.1. n appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). 7onner l'epression littérale de I. $alculer sa valeur. +st/elle en accord avec la valeur epérimentale obtenue >
<.. 7onner l'epression littérale de i(t) % la date t τ en fonction de I. $alculer sa valeur. +st/elle en
 
accord avec l'epérience > A0E > : 2A3S 4E 26A3E 6A3;"E.
L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique ρfluide  a été eploitée gr?ce % un logiciel. Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en fonction du temps. Les deu courbes, epérimentale et modélisée, sont proposées ci/dessous, mais ne donnent lieu % aucune eploitation.
1. +ploitation de l'équation v(t) modélisée.
L'équation mathématique associée % la courbe modélisée, vérifie v(t) t
#,(@!,A. e−  
(<), avec
v(t) en m.s/ et t en s. ette #$%ation est i'enti?iable @ l#$%ation ().
1.1. 7éterminer la valeur de α et du rapport β α  . 7onner, sans &ustification, l'unité du rapport
β α  .
1.. <ontrer que l'équation différentielle ayant l'équation (<)  pour solution vérifie l'écriture
numérique dv
dt  B C, v ,A .
. 3tude du phénomène physique. .1. Daire l'inventaire des forces appliquées % la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et
direction appliquée au centre d'inertie E de la bille. .. 0ppliquer au système bille la seconde loi de FeGton.
<. +ploitation de la modélisation La bille ayant servi % réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m @! g et de volume -. L'accélération de la pesanteur est g 9, m.s /!. Les forces de frottement qui s'appliquent % la bille ont pour epression f  H I v  . <.1. +n utilisant un ae vertical orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative % la
  grandeur variable v(t) vérifie fluide .-dv I 
v .g dt m m
ρ  + = −
 
  ÷  
 .
<.. +n déduire l'epression littérale des coefficients α et β de l'équation (1). <.<. Juelle serait la valeur du coefficient β si la poussée d'0rchimède était nulle > +n utilisant
 
A0E : 2A3S 4E 26A3E 2E 4A A2A0B0
Les traceurs radioactifs sont des radio/isotopes très utilisés en imagerie médicale pour l'eploration des organes.
7es dispositifs adaptés transforment en image les mesures d'activité enregistrées.
Le $ est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de =arIinson. Le traceur radioactif se fie sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon la loi 0(t) 0#.   te−λ  (A).
1. L'évolution de l'activité d'un échantillon de $ est donnée sur le graphi$%e  de l'A33EE n°1. n va utiliser ce graphique pour atteindre les grandeurs radioactives caractéristiques du $.
1.1 <ontrer par analyse dimensionnelle que λ (constante radioactive), est identifiable % l'inverse d'un temps.
1. *appeler la relation liant λ % la constante de temps τ du radio isotope. +primer la loi d'évolution 0(t) en fonction de τ.
1.< 3valuer graphiquement la valeur de la constante de temps τ et en déduire la valeur de λ. n pren'ra par la s%ite + <,=!.1! C  min-l.
1.= 7éfinir le temps de demi/vie tlK! , le déterminer graphiquement.
. 0(t) 0#.   te−λ  étant solution de l'équation différentielle d0
.0(t) # dt  + λ = , on se propose d'utiliser la
méthode itérative d'+uler pour résoudre cette équation. n rappelle que pour une grandeur variable (t), la méthode d'+uler permet d'écrire:
d. .(t t) .(t) t
dt + = +
+ploiter cette équation pour établir la relation liant 0(tBt), 0(t), λ et t.
<. L'activité initiale de la dose in&ectée au patient est 0#  0(t#) @,##.# 2q. La méthode d'+uler impose de se fier un pas t pour effectuer les calculs.
<.1. ustifier que la valeur t min n'est pas correctement adaptée % l'étude. <.. n choisit de faire les calculs avec un pas t min. *ecopier et compléter le tableau ci/dessous
mettant en parallèle les résultats obtenus avec la méthode d'+uler et ceu obtenus % partir de l'équation théorique (A).
7ate (min) 0 +uler  (2q) 0 théorique (2q) # @,##.# @,##.#
!,@. #
# !,#C.#
,C!.# ,#.#