2006 ראורבפ 2 ילמיסיטיפניא ןובשח 104281 - Geocities.ws2006 ראורבפ דוד-ןב רדה י"ע ךרענ - 2 - רבד חתפ ןוינכטב 2 ילמיסיטיפניא

2006פברואר

דוד-י הדר בן"נערך ע - 1 -

2חשבון אינפיטיסימלי 104281

חוברת תרגולים

אביב צנזור:מתרגל

2006פברואר


פתח דבר

בטכניון 2חוברת זו מכילה רשימות משיעורי התירגול בקורס חשבון אינפיטיסימלי חלק מהחומר . ידי המתרגל אביב צנזור ואשר צולמו בוידאושהועברו על) 104281(

. כדי לדאוג לשלמות החומר וכהכנה למבחן סוף הסמסטר המחבר על ידיהוסףהמובא כאן .מקווה שתפיקו מחוברת זו את המיטב

!בהצלחה בבוחן האמצע ובמבחן הסופי

דוד-הדר בן) -(

.il.net.netvision@hbdהדר בן דוד , 0062 ,© כל הזכויות שמורותתחת תנאי הרשיון , את המסמך הזה או לשנות/להפיץ ו, הרשות נתונה בזאת להעתיק

או כל גרסה מאוחרת יותר 1.1 גרסה, לשימוש חופשי במסמכים של המוסד לתוכנה חופשית, ]ללא סעיפים קבועים[הם כאשר הסעיפים הקבועים, חופשיתי המוסד לתוכנה"שתפורסם ע

ופסקאות העטיפה האחורית ] ללא פסקאות עטיפה קדמית[פסקאות העטיפה הקדמית הם רשיון "הרשיון ניתן למצוא בסעיף שכותרתו העתק של]. ללא פסקאות עטיפה אחורית[הם

."לשימוש חופשי במסמכים :וא באתרשל הרשיון ניתן למצחופשי תרגום

http://www.penguin.org.il/guides/gfdl_heb/

2006פברואר


תוכן ענינים

7.............................................................................................מסוים-האינטגרל הלא: 1תרגול 7..........................................................................................................................הגדרה 7.........................................................................................................................1טענה

7.......................................................................................................................1הוכחה 7........................................................................................................................דוגמאות

)1(..........................................................................................................................7 )2(..........................................................................................................................7

8...........................................................................................................................כללים)3(..........................................................................................................................8 )4(..........................................................................................................................8

8.........................................................................................................אינטגרציה בחלקים)5(..........................................................................................................................8 )6(..........................................................................................................................9 )7(..........................................................................................................................9

10...............................................................................................................שיטת ההצבה)8(........................................................................................................................10 )9(........................................................................................................................10 11...............................................................................)המשך(מסוים -האינטגרל הלא: 2תרגול

11...................................................................................אינטגרציה של פונקציות רציונליות)10(......................................................................................................................11 )11(......................................................................................................................12 )12(......................................................................................................................13 )13(......................................................................................................................13 )14(......................................................................................................................13 15...............................................................................)המשך(מסוים -האינטגרל הלא: 3תרגול )1(........................................................................................................................15 16............................................................................................הצבה טריגונומטרית) 2()3(........................................................................................................................16 17.......................................................................................................הצבת אוילר) 4(

17.............................................................................................הפונקציות ההיפרבוליות)5(........................................................................................................................17 )6(........................................................................................................................17 )7(........................................................................................................................17 18................................................................................................האינטרגל המסוים: 4תרגול 18......................................................................................................וצת קנטורקב) 1( 20....................................................................................)המשך(האינטגרל המסוים : 5תרגול

20................................................................................................................משפט ניוטון)1(........................................................................................................................20 )2(........................................................................................................................21 )3(........................................................................................................................22 )4(........................................................................................................................23 24....................................................................................)המשך(האינטגרל המסוים : 6תרגול )1(........................................................................................................................24 )2(........................................................................................................................24

2006פברואר


)3(........................................................................................................................25 )4(........................................................................................................................26 WALLIS............................................................................................26נוסחאות ) 5( 27....................................................................................)המשך(האינטגרל המסוים : 7תרגול )1(........................................................................................................................27 )2(........................................................................................................................27 )3(........................................................................................................................28 29................................................................................................האינטרגל המוכלל: 8תרגול )1(........................................................................................................................29 )2(........................................................................................................................29 )3(........................................................................................................................29 )4(........................................................................................................................30 )5(........................................................................................................................30 )6(........................................................................................................................31 )7(........................................................................................................................32 33....................................................................................)המשך(האינטגרל המוכלל : 9תרגול 33.........................................................................................)מבחן דיריכלה(משפט ) 1()2(........................................................................................................................34 )3(........................................................................................................................35 36...............................................................וטורים חיוביים) סיום(האינטגרל המוכלל : 10תרגול )4(........................................................................................................................36

37..............................................................................................................טורים חיוביים)1(........................................................................................................................37 )2(........................................................................................................................37 )3(........................................................................................................................37 )4(........................................................................................................................37 )5(........................................................................................................................38 )6(........................................................................................................................38 )7(........................................................................................................................38 )8(........................................................................................................................38 39.......................................................................................)המשך(טורים חיוביים : 11תרגול )1(........................................................................................................................39

39..........................................................................................................מבחן הדלילות)2(........................................................................................................................39

39..............................................................................................................מבחן המנה 39..............................................................................................................מבחן ראבה

40........................................................................................................................)א( 40........................................................................................................................)ב(

41...............................................................................................................טורים כלליים)3(........................................................................................................................41 )4(........................................................................................................................41

41.............................................................................................................כלל לייבניץ)5(........................................................................................................................42 )6(........................................................................................................................42 43..................................................................................................)המשך(טורים : 12תרגול )1(........................................................................................................................43 )2(........................................................................................................................43 )3(........................................................................................................................44 )4(........................................................................................................................45 46....................................................................התכנסות במידה שווה וטורי פונקציות: 13תרגול

2006פברואר


)1(........................................................................................................................46 )2(........................................................................................................................47 )3(........................................................................................................................47 49........................................................)המשך(פונקציות התכנסות במידה שווה וטורי : 14תרגול )1(........................................................................................................................49 )2(........................................................................................................................50 )3(........................................................................................................................51 )4(........................................................................................................................52 53.......................................................................................................טורי חזקות: 15תרגול )1(........................................................................................................................53 )2(........................................................................................................................53 )3(........................................................................................................................54 )4(........................................................................................................................55 )5(........................................................................................................................55 57...........................................................................................)המשך(טורי חזקות : 16תרגול )1(........................................................................................................................57 )2(........................................................................................................................59 )3(........................................................................................................................59 )4(........................................................................................................................60 61.......................................................................................פונקציות בשני משתנים: 17תרגול )1(........................................................................................................................62 )2(........................................................................................................................62 )3(........................................................................................................................63

64.............................................................................................קואורדינאטות פולאריות)4(........................................................................................................................65 )5(........................................................................................................................65 66.......................................................................................פונקציות בשני משתנים: 18תרגול )6(........................................................................................................................66 )7(........................................................................................................................67 )8(........................................................................................................................68 )9(........................................................................................................................69

70.......................................................................................... רציפות במידה שווה–הגדרה )10(......................................................................................................................70 71.........................................................................גזירה של פונקציות בשני משתנים: 19תרגול )1(........................................................................................................................71 )2(........................................................................................................................74 77.........................................................................גזירה של פונקציות בשני משתנים: 20תרגול )1(........................................................................................................................77 )2(........................................................................................................................77 78.....................................................................................................כלל השרשרת) 3()4(........................................................................................................................79 )5(........................................................................................................................80 81...............................................................................................אינטגרל פרמטרי: 21תרגול )1(........................................................................................................................82 )2(........................................................................................................................83 )3(........................................................................................................................84 )4(........................................................................................................................84 85............................................................................................... פרמטריאינטגרל: 22תרגול )5(........................................................................................................................86 )6(........................................................................................................................87

2006פברואר


89.............................................................................................אינטגרלים כפולים: 23תרגול )1(........................................................................................................................89 )2(........................................................................................................................90 )3(........................................................................................................................91 )4(........................................................................................................................92 )5(........................................................................................................................93 94.............................................................................................אינטגרלים כפולים: 24תרגול 94.............................................................................החלפת משתנים באינטגרל כפול) 6()7(........................................................................................................................95 )8(........................................................................................................................96 )9(........................................................................................................................97 98.....................................................................................................אינטגרל קווי: 25תרגול )1(........................................................................................................................98

100.............................................................................................אינטגרל קווי מסוג ראשון)2(......................................................................................................................101 )3(......................................................................................................................102 103...................................................................................................אינטגרל קווי: 26תרגול 103..................................................................של ברנולי) lemniscate(הלמניסקטה ) 4()5(......................................................................................................................104

105.................................................................................................אינטגרל קווי מסוג שני)6(......................................................................................................................106 )7(......................................................................................................................106 )8(......................................................................................................................107 108.....................................................................................................משפט גרין: 27תרגול )1(......................................................................................................................108 )2(......................................................................................................................109 )3(......................................................................................................................110 )4(......................................................................................................................111 )5(......................................................................................................................112 )6(......................................................................................................................113 114......................................................אי תלות של אינטגרל קווי במסלול, משפט גרין: 28תרגול

114....................................................................................................................1משפט 114.......................................................................................................דיפרנציאל מדוייק

114....................................................................................................................2משפט )7(......................................................................................................................115 )8(......................................................................................................................117 )9(......................................................................................................................118 119..................................................................................................חזרה לבחינה: 29תרגול )1(......................................................................................................................119 )2(......................................................................................................................120 )3(......................................................................................................................121 )4(......................................................................................................................122 )5(......................................................................................................................123 125..................................................................................................חזרה לבחינה: 30ול תרג

)6(......................................................................................................................125 )7(......................................................................................................................127 )8(......................................................................................................................128 )9(......................................................................................................................129 131................................................................................................דפי עזר להרצאה: נספחים

2006פברואר


מסוים-האינטגרל הלא: 1תרגול

הגדרה• ( )F x של דומהפונקציה ק היא ( )f x בקטע I אם לכל x I∈ מתקיים '( ) ( )F x f x=.

1טענה F,אם G שתי פונקציות קדומות של f , אזי קיים קבועcכך ש ( ) ( )F x G x c= +.

1הוכחה ( ) ' ' ' 0F G F G f f− = − = − =⇐F G−קבועה .

:סימון •

( )f x dx∫

דוגמאות

)1( sin cosxdx x c= − +∫

)2( 2

2xxdx =∫

! יש פונקציה קדומהfלא לכל : הערה •

: דוגמא

( )f x ( )F x

0x-ברור שב אין נגזרת =הגבול מימין (לפונקציה

בגלל , לא שוויםומשמאלולכן , ")שפיץ"אותו

המועמדת הטובה ביותר להיות הפונקציה הקדומה

לא עומדת בתנאיםfשל

2006פברואר


כללים

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

af x dx a f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

=

+ = +

∫ ∫∫ ∫ ∫

תרגיל: הוכחה

)3( 4 4

2 2 2

2

1 11 1 1

1

x xdx dx dxx x x

x

−= + =

+ + +

+=

∫ ∫ ∫( )( )2

2

1

1

x

x

−

+ 2

3

11

arctan( )3

dx dxx

x x x c

+ =+

= − + +

∫ ∫

)4( sintan( ) ln coscos

xx dx dx x cx

= = − +∫ ∫

אינטגרציה בחלקים]: לפי כללי נגזרת. שתי פונקציות גזירותv- וuיהיו ]( ) ( ) ' ' 'u x v x u v uv⋅ = +.

': על פי כללי האינטגרציה על שני האגפים 'uv u v uv= +∫ ∫.

'): העברת אגפים(ניסוח שונה מעט 'uv uv u v= −∫ ∫.

)5(

; '' 1;

x x x x x

x

x

xe dx xe e dx xe e c

u x v eu v e

= − = − +

= =

= =

∫ ∫

. כזו שאנו יודעים לעשות את האינטגרל שלהv'-נבחר את ה •

2006פברואר


)6( cos( )

cos( ) '' sin( )

sin( ) cos( )

sin( ) ''

sin( )

sin( )

sin

cos( )

co

cos( )

cos( s cos(( ) cos() sin( ))

x

x

x

x x

x

x

x

x

x xx x x

x

x

e x

u x v eu x v e

e x e x dx

u x v

e x de x dx

e

eu x v e

e e x

x

e x dx

e x dxx dx e ex

= +

= =

= − =

−

= =

= =

= + = + −

=

∫

∫

∫

∫∫

∫

2 cos(

)

sin) cos( ) ( )xx xee x x cdx

x dx

e x= +⇒ +

∫∫

)7(

2

2

2

arctan( )

ln 11 arctan( ) arctan( ) arctan( )

1 2arctan( ) ' 1

1' 1

x dx

xxx dx x x dx x x cx

u x v

u v xx

=

+= ⋅ = ⋅ − = ⋅ − +

+= =

= =+

∫

∫ ∫

2006פברואר


שיטת ההצבה

f:תהי Ix I

→∈

ותהי : J I

t Jϕ →∈

).ע ועל"חח( גזירה והפיכה

)אנחנו מחפשים את ) ( )F x f x dx= ∫.

)- נוכל לכתוב כxאת )tϕ . נסתכל על( ( ))F tϕ.

[ ]( ( )) ' '( ( )) '( ) ( ( )) '( )F t F t t f t tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) '( )F t F x f x dx f t tϕ ϕ ϕ⇒ = = = ⋅

∫∫ ∫

:שיטת ההצבה

( )

'( )

'( )

( )x t

dx tdt

dx t dt

f x dxϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

=∫

)8(

[ ) [ )

( )

10

110

9

910

9 11010 1

(

0

10

10

): 0, 0,

10

10

( 0)1 1 1

( 1) 10 ( 1) 110 ( 1)

1 1ln ln 1 ln10 10 1

t x

x t

dt x dx

dtdx

t

t

xx

dt dtdx dtx x t t t tt t t

xt t c cx

ϕ

+

=

= → ∞ → ∞

=

=

∈>

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⋅ ⋅ +

⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟+⎝ ⎠

=∫ ∫ ∫ ∫

)9( :תרגיל לבית

1x x dx+ ⋅∫ :אינטגרציה בחלקים: דרך א

32

' 1

2' 1 ( 1)3

u x v x

u v x

= = +

= = +

:שיטת ההצבה: דרך ב

1t x= +

( )tϕע ועל" גזירה חח

2006פברואר


)המשך(מסוים -האינטגרל הלא: 2תרגול

אינטגרציה של פונקציות רציונליות

,P Qפולינומים ( )( )( )

P xR xQ x

=

. נבצע חלוקת פולינומיםQ מעלת ≥ Pאם מעלת •

)10(

( )4 3 2

22 2

3 2

2

2 3 4 4 12 31 1

2 4 133 2 1

x x x x xdx x x dx dxx x

x x xx dxx

− − + − −⎛ ⎞= − − + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠−⎛ ⎞= − − + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

.Q מעלת < Pכעת נניח שמעלת •

)לגורמים ליניאריים מהצורה ) מעל ( מתפרק Qהפולינום )x α− ולגורמים ריבועיים מהצורה 2( )x px q+ 2כאשר + 4 0p q− בקורס – ההוכחה –נובע מהמשפט היסודי של האלגברה (>

).פונקציות מרוכבות

Pאת : על פי משפטQ

: ניתן לרשום תמיד כ( )2 2

( ) ...( ) 2 5 15

P x A B C Dx EQ x x x x xx

+= + + + +

+ − − +−

.נקרא פירוק לשברים חלקייםתהליך זה

:כלומר צריך .Qלפרק את .1

Pאת לפרק .2Q

. לשברים חלקיים

. סוגים של אינטגרלים שמתקבלים4לפתור .3

(1)

ln( )A A x cx

αα= − +

−∫

מיידי

(2)

( ) ( ) 11

1

1

n nA A c

nx xn

α α −= +− +− −

>

∫

מיידי

תמיד מיידי )13(בהמשך

2006פברואר


(3)

2

2 4 0

Ax B dxx px q

p q

+=

+ +

− <

∫

מיד נראה דוגמא

(4)

( )2

2 4 0

nAx B dx

x px q

p q

+=

+ +

− <

∫

על ידי נוסחת נסיגהn מורידים את

)11(

22 9 5 (2 1)( 5) (2 1) ( 5)

(2 1)( 5) (2 1) ( 5)1 ( 5) (2 1)

20 2 111 5 1

111 2 1 1

11 2 1 11 51 1ln 2 1 ln 5

11 11

dx dx A B dxx x x x x x

dx A Bx x x x

A x B x

AA BA B B

dx dxx x

x x c

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟+ − − + − +⎝ ⎠⎛ ⎞

= +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠⇒ = + + −

⎧ =⎪= +⎧ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨= −⎩ ⎪ = −⎪⎩

− =− +

= − − +

=

+

=∫ ∫ ∫

∫ ∫

2006פברואר


)12(

2 2

2 2

2

9 5 9 59 6 1 (3 1)

39 52(3 1) 3 1 (3 1)

3 23 1 (3 1)

2ln 3 13(3 1)

x xdx dxx x x

Ax A BBx x x

dx dxx x

x cx

− −= =

− + −

=⎧−= + ⇒ ⎨ = −− − − ⎩

= − =− −

= − − +−

∫ ∫

∫ ∫

)13( )10החלק החסר מתרגיל (

2 2 2

111 1

4 221

x xdxx x

dxx

−+

−= =

+ +∫ ∫∫

"השלמה לנגזרת"עושים 22 ln 1 arctan( )x x= + −

)14(

3 2

2 2

2

2 2

22

1 ( 1)( 1)13

1 1( 1)( 1) 1 1 3

23

1 1 1 23 1 3 ( 1)

1 1 2 1 3 1ln 13 3 ( 1) 2 ( 1)1 1 1 1ln 1 ln 13 6 2

12

( 1)

dx dxx x x x

A

A Bx C Bx x x x x x

C

xdx dxx x x

xx dx dxx x x x

x x x dxx x

= =+ + − +

⎧ =⎪⎪

+ ⎪= + ⇒ = −⎨+ − + + − + ⎪⎪ =⎪⎩

− += + =

+ − +

⎡ ⎤−= + + + =⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦

= + − − + +−

−

+=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

"השלמה לריבוע"עושים

:נשתמש בזהות האלגברית2 2

2

2 4p px px q x q

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2006פברואר


2 22

22

2

41 31 3 2 1 1

2 4 231 1 1 4ln 1 ln 13 6 2 3 2 1 1

23

1 1 2 3 2 1ln 1 ln 1 arctan3 6 3 2 23

dx dx dxx x

x x

dxx x xx

x x x x c

= =− + ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+ − − + + ⋅ =⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + + ⋅ − +⎜ ⎟⎥⎠⎦

=

⎢ ⎝⎣

∫ ∫ ∫

∫

2006פברואר


)המשך(מסוים -האינטגרל הלא: 3תרגול )1(

( ) 2 2 22 22

2

2

2 4

1; 4 0

n n npx t

dx dt

pA t BAx B Ax Bdx dx dt

t ax px q p px q

n p q

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤++ + ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎣ ⎦+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

> − <

=∫ ∫ ∫

2:כיוון ש 4 0p q− אזי >2

04pq

⎛ ⎞− >⎜ ⎟

⎝ ⎠: אזי נסמן

22

4pq a

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )( )( )

( )( )

2 2 2 2 2 2

12 2

2 2

2 2

2

12 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

222 2

12 1 2

1 2

' 1

'

n n n

n

n

n

n n n

n

n

pA t BA t P dtdt dt B A

t a t a t a

A P dtt a B An t a

dt

t a

tdt t n dtt a t a t a

u t a v

u n t a

a a

− +

+

−

− −

⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⋅ + + −⎜ ⎟− + ⎝ ⎠ +

=+

+= ⋅ = + =

+ + +

= + =

= − +

−

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

1

212 2 2 2 2 2

2

2 2n n n

t v x

t dt dtn n at a t a t a

+

⋅ =

= + − ⋅+ + +

∫ ∫

( )1 22 2 2

2 122

n nnt nI I

a na n t a+

−= + ⋅

⋅⋅ ⋅ +

זו נוסחת נסיגה

1 2 2

1 arctandt tI ca t a a

⎛ ⎞= = ⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫

נותר לפתור רק את זה ולהציב בחזרה

2a- וtבמקום

nI

nI 1nI +

2006פברואר


הצבה טריגונומטרית) 2(

2

tan2

2arctan2

1

2 2 2

2 2

22

2 2

2

2

2

tan2

2

cos

sin2sin 2sin cos 2 cos 2 tan cos 2 cos

2 2 2 2 2 2cos2

1 221 1

1 1cos 2cos 1 2 12 1 1

2sin11cos1

cos

xtx t

dtdxt

xt

ddx

dxx

xx x x x x xx tx

ttt t

x txt t

txttxt

dxx

=

=

=+

=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =+ +

−= − = − =

+ +

=+−

=+

=∫

2

2

2

2

2

2 2

2

1

2sin1

1cos1

221 ln 1 ln 1

1 1 1 11

1 tan2ln

1 tan2

tt

txt

txt

dtdt dt dtt t t c

t t t tt

x

cx

+

=+

−=+

+ = = + = − − + + + =− − − ++

⎛ ⎞+⎜ ⎟= +⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫

)3( :לביתתרגיל

cosdx

x∫ו נס: רמז(י הצבה אחרת " עsint x=.(

2006פברואר


הצבת אוילר) 4(

2

2 2

2

2

211 212 1 1

1

ln ln 11 t x x

x tdt dx dxx x

dt dxt x

dx dt t c x x ctx = + +

= + ⋅ =+ +

⇒ =+

= + = + + ++

=∫ ∫

הפונקציות ההיפרבוליות

sinh( )2

cosh( )2

x x

x x

e ex

e ex

−

−

−=

+=

2 2

2 sinh( )cosh( )

1 sinh ( ) cosh ( )

cosh arcsin ( )cosh1 x t

dx t dtp p

dx t dt dt t c h x ctx =

=⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

⋅= = + = +

+=∫ ∫ ∫

)5( )2lnיש להראות כי : תרגיל לבית 1 ) arcsin ( )x x h x+ + =

)6(

2

22

2

2

1 sin sin1 cos 1 cos 1 cos

2tan22cos

2

x xx

x tx

xt

x t

dx dt

x e x ee dx dx dxx x x

e x edx e dxx=

=

=

+ ⋅= + =

+ + +⋅

= + ⋅

∫ ∫ ∫

=∫ ∫ 2dt 22

2 2

2 tancos

tan 2 tan

t

t t

e t dtt

e t e t dt

+ ⋅ ⋅ =

= ⋅ − ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ 22 tante t dt+ ⋅ ⋅∫ 2

22

2

tan

1; 'cos

' 2 ; tan

t

t

t

e t c

u e vt

u e v t

= ⋅ +

= =

= =

)7( xeלחשב: יל לביתתרג dx−∫

2006פברואר


האינטרגל המסוים: 4תרגול

קבוצת קנטור) 1(Cקבוצת קנטור

1( )

0C

x Cx

x Cχ

∈⎧= ⎨ ∉⎩

.פונקציה המציינת של הקבוצההזו ).הפונקציה המציינת של הרציונליים היא בדיוק פונקצית דיריכלה: למשל( ) ל כי"צ )C xχאינטגרבילית רימן .

:פתרון

1i

i

C C∞

=

=∩

:כמה עובדות על קבוצת קנטור

• C מכילה את קצוות כל הקטעים שנזרקו.

• C 1: למשל. מכילה גם נקודות אחרות4

C∈ , 1כי4

ולכן 3:1 ביחס iC- תמיד מחלקת קטע ב

).פורמלית יש לעשות אינדוקציה(לא נזרקת באיטרציה הבאה סגורה = ולכן קומפקטית . ( סגורהCולכן , הוא איחוד של קטעים פתוחיםCהמשלים של •

).וחסומה . היא רצףC עוצמת •0εלכל : במילים אחרות. 0 היא C של מידתה • י איחוד זר סופי של " עC ניתן לכסות את <

גדול יותר נצטרך ללכת לאיטרציה מתקדמת ε-ככל ש. (ε-קטן מקטעים שסכום אורכיהם ).יותר

• C הפנים של הסגור שלה הוא ריק. דלילה. • C כל נקודת היא נקודת גבול. פרפקטית. • x C∈ ⇔יש ל -x ים-2 -ים ו-0 המכילה רק 3 הצגה בבסיס.

.אינטגרל דרבו תחתון= מ אינטגרל דרבו עליון " אינטגרבילית רימן אמfלפי ההגדרה .0כן קורה ואפילו שווה זה אCχנראה שעבור

בכל איטרציה זורקים את השלישים האמצעיים

0C 0 1

1C 0 1

13 2

3

2C 0 1

2006פברואר


:שלב א . D לכל חלוקה 0= סכום דרבו תחתון

( , ) 0CS D χ =, D∀ כי לכל חלוקה D ולכל קטע ix D∈ , המינימום( )i Cm χ כי . 0 בקטע הוא לא מכילה C: במילים אחרות (.C-באיטרציה מספיקה הקטע נחתך ולכן מכיל נקודות שלא שייכות ל

).אף קטעsup ( , ) 0C

DS D χ⇒ =

⇒0אינטגרל דרבו תחתון הוא

:שלב ב

0εלכל 2נשים לב כי . ε-כך שסכום דרבו העליון שלה קטן מ, Dεקיימת חלוקה <3

j

jC ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2 -כך ש, )jC-שמתאימה ל(ית -j - להיות החלוקה הDεנגדיר 3

j

ε⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

.

1

2( , ) ( ) 13

jk

C i i i ji

S D M x x x Cε χ ε=

⎛ ⎞= = ⋅ ≤ ⋅ = = <⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

:לכן( ) inf ( , ) 0C CD

I S Dχ χ= =

.0 אינטגרל דרבו עליון הוא ⇐⇐ Cχגרבילית רימן והאינטגרל על אינט[ .0 הוא 0,1[

קטעים שטרםנזרקו בשלב

jC

2006פברואר


)המשך(האינטגרל המסוים : 5תרגול

( )a

b

f x dx∫ הוא למעשה השטח

)מתחת לגרף הפונקציה )f x xבין הנקודות a=ו -x b=.

משפט ניוטון

)תהי )F xונגזרתה , גזירה( )f xאזי . אינטגרבילית( ) ( ) ( ) ( )a

a

bb

f x dx F b F a F x= − =∫

)1(

2 2 2 22 2

0 0 0 0

3 22 2

0 00

(2 cos ) 2 cos

2 sin 13 24

x x dx dx xdx x dx

xx x

π π π π

ππ π ππ

+ − = + − =

= + − = + −

∫ ∫ ∫ ∫

( )f x

a b

2006פברואר


)2(

( ) ( )( )

( )2

2

2 222 2

200 0` 1 2 22 2

2 2 22 2

2 2 20

2

20

2

0 0

'2 2 2

( 1)2 2 2 22 2

2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2

122

22 2

2

v u x xxv x u

x x

I

x xI x x dx x x x dxx x

x x x x xdx dx dxx x x x x x

dxx x

x

I x

x

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟−= =⎜ ⎟

⎜ ⎟− +⎝ ⎠

−= − + ⋅ = − + − =

− +

− − + −= − = − − =

− + − + − +

⇒ = −−

− +

−

−

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( )( )

2 2

2 20 0

2 222

2 20 0 0

2 12

2 2 10

2

1

0

1

1

1 2 2 12 2 2 2 2

1 12 2 02 2 2 2

1 2ln( 1) ln1 21 1 1

1 1 22 ln2 1

2 2

2

t xdt dx

x dx dxx x x x

x x dx dxx x x x

dx dt t tx t

dx

I

x

==

− −

−

−= − =

− + − +

= − + − = − =− + − +

⎛ ⎞+= − = − = − + + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟− +− + + ⎝ ⎠

⎛ ⎞+⇒ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟−

+

+⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

2006פברואר


)3( .0טגרל של פונקציה אינטגרבילית איזוגית בתחום סימטרי הוא הוכיחו כי אינ

פתרון)תהי )f xל על התחום " כנ[ , ]a a− .כלומר :( ) ( )f x f x− = ).כי זו פונקציה איזוגית (−

אזי

0 0

0 0 0 0

in the left integral

_ _0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

a a a a a

a a ax t

dx dt

a a

f is odd

f x dx f x dx f x dx f t dt f x dx f t dt f x dx

f t dt f x dx

− −=−⎛ ⎞

⎜ ⎟=−⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = − − + = − + =

= − + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

a−

a

2006פברואר


)4( ) בוידאו6פתרון מופיע בתרגול הסבר ה(

:הפריכו את הטענה הבאה/הוכיחו f יש ל⇔ אינטגרבילית -fפונקציה קדומה .

פתרון .הטענה איננה נכונה

⇐ :נקציה קדומהלפונקציה כזו לא תיתכן פו

⇒ ומתקיימת התכונה שבה הסופרמום על סכומי , על קטע חסום, פונקציה אינטגרבילית היא מראש חסומה

- פונקציה קדומה זה אומר שf-להגיד שיש ל. דרבו תחתונים שווה לאינפימום על סכומי דרבו עליוניםfיש פונקציות . לא? האם פונקציה שהיא נגזרת של משהו היא בהכרח חסומה. היא נגזרת של משהו

.2x: דוגמא. שנגזרתן אינן חסומות

fת האי רציפות של אינטגרבילית רימן אם ורק אם קבוצת נקודוf): לא בחומר(הערת העשרה *** ניתן לכסות את קבוצת נקודות האי רציפות על ידי קטעים שסכום εלכל = 0מידה (0היא ממידה

). ε-אורכיהם קטן מ

2006פברואר



משפט

)תהי )f x רציפה בקטע [ , ]a b .נגדיר :( ) ( ) ;x

a

F x f t dt a x b= ≤ - רציפה וגזירה וF אזי ∫≥

'( ) ( )F x f x=.

)1(

גיזרו 2

0

( ) sinx x

F x tdt+

= ∫

פתרון

sin t לכן לפי המשפט היסודי )בכל קטע( רציפה 0

( ) sinx

G x tdt= ∫ , Gגזירה ו -'( ) sinG x x=.

2

2 2

( ) ( )'( ) '( )[1 2 ] sin( )[1 2 ]

F x G x xF x G x x x x x x= +

⇒ = + + = + +

)2( 2

2 03 30 0

0

2

2

2

20 0

sin (3 )1 0lim sin (3 ) lim

0

sin (3 ) 3lim l sin (3 )3

im3

33

x

x

x x

x x

t dtt d

x

t LOPx x

xxx

→ →

→ →

⎛ ⎞=

⋅

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= = =

∫∫

1

2006פברואר


)3( xe: חשב dx−∫

.ביים ושלילייםים חיוX-חייבים במקרה כזה להפריד ל

0x ≥:

1x xe dx e c− −= − +∫

0x <:

2x xe dx e c− −= +∫

0 0

1 2e c e c−− + = .0-ב" יידבקו" זה יבטיח שאכן הפונקציות +

2 1 2c c= : כלומר המועמדת לפתרון היא . −0

( )0 2

x

x

x e cf x

x e c

−⎧ ≥ − += ⎨

< + −⎩

.0-כעת נותר לוודא גזירות ב

כמסקנה מהמשפט היסודי יש . היא רציפה−xe, לחלופין. אפשר לחשב נגזרת מימין ומשמאל ולהראות .0-לפיכך הפונקציה המועמדת שמצאנו בהכרח אכן גזירה ב. לה פונקציה קדומה

2006פברואר


)4(

1: חשבו את הגבול 1 1lim ...1 2 2n n n n→∞

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

פתרון

( )1 1 1

1 1 1

1

n n n

k k k

nkn k n n k nn

= = =

= = ⋅ =+ + +

∑ ∑ ∑

: סכום רימן שמתאים לחלוקה 1

1 0

1 ( )n

nk

kf f x dxn n →∞

=

⎛ ⎞ →⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫

111

1 0 0

1 1 1 ln 1 ln 211

nk

dx xkn xn

→∞=

⋅ → = + =++

∑ ∫

WALLISנוסחאות )5( הוכיחו את הנוסחאות הבאות

22

0

22 1

0

1 3 5 ... (2 1)sin ( )2 2 4 ... (2 )

2 4 ... (2 )sin ( )1 3 5 ... (2 1)

n

n

nx dxn

nx dxn

π

π

π

+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

∫

∫

.ותרים על ידי אינטרגציה בחלקים ונוסחת נסיגהפ

f

1 0 1n

2n

kn

..... 1k

n+

2006פברואר



)1(

)תהי )f x 0,2] פונקציה בעלת נגזרת רציפה בקטע ]π . הוכיחו כי2

0

lim ( )cos( ) 0n

f x nx dxπ

→∞=∫.

פתרון

n כך שאם N קיים εמהגדרת הגבול צריך להראות שלכל N> אזי 2

0

( ) cos( )f x nx dxπ

ε<∫.

22

( ) ' cos( )00 sin( )' '( )

sin( )( ) cos( ) ( )u f x v nx

nxu f x vn

nxf x nx dx f xn

ππ

= =

= =

=∫2

0

0

2 2 2

0 0 0

1 '( )sin( )

1 1( ) cos( ) '( )sin( ) '( ) sin( )

f x nx dxn

f x nx dx f x nx dx f x nx dxn n

π

π π π

−

= ≤

∫

∫ ∫ ∫

'( )f xי " רציפה על קטע סגור ולכן חסומה עMכלשהו . sin( )nxחסום .

2 22

00 0

1 1 1 2'( ) sin( ) Mf x nx dx M dx Mxn n n n

π ππ π ε⎡ ⎤≤ ⋅ = =⎣ <⎦∫ ∫

. מספיק גדולnעבור

)2( 0fתהי ] על ≤ , ]a b . 0המקיימת שלכלε }הקבוצה , < }( )x f x ε>אזי . סופיתf אינטגרבילית

)וכמו כן ) 0b

a

f x dx =∫.

}לא בהכרח : הערה }( ) 0x f x . סופית<

:דוגמא; ( , ) 1

( )px p qqf x

x

∈ ==

∈ 0

⎧⎪⎨⎪⎩

f יש ⇔ אינטגרבילית I 0 כך שלכלε 0δ קיים < ) המקיים אם < ) 0pλ <) λ הוא פרמטר

} -ו"). שמן"או המלבן הכי , החלוקה }it בחירה כלשהי של נקודות ( )1i i ix t x− ≤ אזי ≥

( )i if t x I ε− <∑.

2006פברואר


.ε-מ" גבוהות" נתון יש מספר סופי של נקודות שהן יותר εעבור

1bכ "בה a− 0εיהי ). אחרת נחלק את הקטע (≥ 1יהיו . < 2, ... ky y y הנקודות שבהן ( )2if y ε

≥ .

0Iיהי = .

)נסמן ) max( )jM f y f= =.

2

2k M

ε

εδ ε<

≤ ⋅ ⋅ + iyהמכילים שטח מלבנים + iy שלא מכיליםשטח מלבנים ≥1

( )n

i ii

f t x=

≤∑

זה יקרה עבור 2kMεδ <.

)3 ( תרגיל לבית

] פונקציה אינטגרבילית על קטע fתהי , ]a b .אם : ל"צ( ) 0f x )אזי . x לכל < ) 0b

a

f x dx >∫.

1y 2y 3y ky a b

2ε

.......

( )jf y

2006פברואר


האינטרגל המוכלל: 8תרגול

)1( 11

21 1

1 1 1 2dxx x− −

= − = − − = −∫

.לא ניתן לעשות בצורה זו כי הפונקציה לא אינטגרבילית .יש לשים לב שהפונקציה חיובית ולא הגיוני שהאינטגרל יצא שלילי

?מה כן עושים

?כיצד מוגדר האינטרגל המוכלל

1 0 1 1

2 2 2 2 20 01 1 0 1

1 1

2 20 0 0 01

lim lim

1 1lim lim lim 1 lim

dx dx dx dx dxx x x x x

dx dxx x x

ε

ε εε

ε

ε ε ε εε εε

− +

− + − +

−

→ →− − −

−

→ →

∞

→ →−

= + = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

⇐0

21

dxx− ⇐ לא קיים ∫

1

21

dxx− . לא קיים∫

)2( תרגיל לבית

צריך להוכיח כי

לא קיים1

1

dxx−

=∫

)3(

0

xe dx∞

−∫

( ) ( )0

0 0

lim lim lim 1 1M

Mx x x M

M M Me dx e dx e e

∞− − − −

→∞ →∞ →∞= = − = − + =∫ ∫

xe−

2006פברואר


)4( ?האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר

1

20 5

dxIx x

=+∫

פתרון

0לכל 1x≤ 2x מתקיים≥ x≤ 2 ⇐ לכן

1 15 6x x x

≥+

.

:משפט

1nלכל ) 1 האינטגרל , ≤1

0n

dxx∫מתבדר .

2 (1

n

dxx

∞

1n⇔ מתכנס ∫ >.

1

0 6dx

x .ל"לפי המשפט הנ, מתבדר∫⇐

I .חן ההשוואה לפונקציות חיובית מתבדר לפי מב⇐

)5( ?האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר

21

cos xI dxx

∞

= ∫

נגדיר

2

2

cos( )

1( )

xf x

x

g xx

=

=

. גוררת התכנסות) עם ערך מוחלט (התכנסות בהחלט: משפט

)-ברור ש ) ( )f x g x≤.

1

( )g x∞

⇐ מתכנס ∫1

( )f x∞

2 ⇐ מתכנס ∫1

cos xx

∞

. מתכנס∫

2006פברואר


)6(

( ): 0,1f י " מוגדרת ע→2 3

1( )f xx x

=−

:בידקו התכנסות.

) א

12

0

( )f x dx∫

) ב1

12

( )f x dx∫

פתרון

)1נרשום את הפונקציה מעט אחרת )1

f xx x

=−

.

)א12

0

11

dxx x−∫

0

111 11 1 x

x xx

x

→− = ⎯⎯⎯→

−

1-לפי מבחן ההשוואה לx

.מתבדר) א (

)ב1

12

11

dxx x−∫

1

11 11

1

xx x x

x

→− = ⎯⎯⎯→

−

מתכנס ( )

11 0 2

11 1 02 2

12

11 u x

du dx

du dudxx u u

= −=−

=−

=−∫ ∫ ∫

.מתכנס) ב( לפי מבחן ההשוואה ⇐מה כן . יש לשים לב שאין לבצע אינטגרציה בחלקים או שיטת ההצבה באינטגרלים מוכללים: הערה ?מה עשינו למעשה בתרגיל, כלומר?מותר

>-לזה לעשות שיטת הצבה1 1 1

1 1 12 2 2

1 lim lim1 1 1

dx dxdxx x x

ε ε

ε ε

− −

→∞ →∞= =

− − −∫ ∫ ∫

0

1 12 2

lim du duu u

ε

ε→∞

− −= =∫ ∫

2006פברואר


)7(

נתון כי האינטגרל 0

sin2

x dxx

π∞

יש לחשב את . ∫=2

0

sin x dxx

∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫.

): לא קשור לתרגיל(הערה 1

0

sin x dxx∫איננו מוכלל .

פתרון

22

22

2 1sin ( ) ' 00 01' 2sin cos sin(2 )

2

2

0 0

0

*** 0

sin 1 sin(2 )sin ( )

1lim sin 0

1 sin sinlim sin lim 0

sin(

***

**

)

*

2

u x vx

u x x x vx

M

x xdx x dxx x x

MM

xx

ε ε

ε εεε ε

∞∞ ∞

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = =−⎜ ⎟⎝ ⎠

→∞

→ →

=

= − +

=

⋅= =

∫ ∫

20 0 01

2

2sin(2 ) 2sin( ) sin( )2 2 2x t

dx dt

x t tdx dx dt dtx t t

π∞ ∞ ∞ ∞

=⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = =∫ ∫ ∫ ∫

2006פברואר


)המשך(האינטגרל המוכלל : 9תרגול

)מבחן דיריכלה( משפט )1(f,יהיו g פונקציות אינטגרביליות בקטע [ , ]a x לכל x a≥ . נניח כי:

1 (fרציפה

2 (( )x

a

f t dt c≤∫

3 (( ) 0xg x →∞⎯⎯⎯→

4 (g גזירה ומקיימת כי האינטגרל '( )a

g x∞

. קיים∫

אזי האינטגרל a

fg∞

. מתכנס∫

:הוכחה

fg אינטגרבילית בכל קטע [ , ]a x .

'

(4) ' ' (1) ( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )

)

x

a

x xx

au g v fa a

u g v F f t d

A

t

f t g t dt g t F t F t g t dt

g x F x g a F a

= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

−

− =

∫

=

∫ ∫

0

( ) '( )x

a

B

F t g t dt− ∫

limוצים להראות שקיים הגבול רx→∞

).בכחול( של אגף ימין

.ולכן גם של אגף שמאל ) א(

(2)

( ) ( ) 0xbounded

g x F x →∞⎯⎯⎯→

( ) 0xg x )3( לפי →⎯⎯⎯∞→

) ב((2)

'( )

( ) '( ) '( )

x

a

x x

bya a

g t dt

F t g t dt c g t dt

∞→∞⎯⎯⎯→ <∞

≤ < ∞

∫

∫ ∫

xמתכנס בהחלט כאשר ) ב (⇐ . ולכן מתכנס∞→

0g-מספיק לדרוש ש: הערה . מונוטונית וגזירה→

2006פברואר


)2( :נגדיר שני אינטגרלים

2

1 20

20

sin

2sin cos

xI dxx

x xI dxx

∞

∞

=

=

∫

∫

.הוכיחו ששני האינטגרלים מתכנסים ושווים )א .הוכיחו כי אחד מתכנס בהחלט והשני בתנאי )ב

פתרון

). כי הקטע לא חסום" (∞-מוכללים רק ב"ים האינטגרל: הערה

0

0

1

sin2 cos 2

x

x

x xx→

→

⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

)א(

. מתכנס2I-נשתמש בדיריכלה כדי להראות ש

)1נגדיר )g xx

x כאשר 0g אזי = ) ונגדיר ∞→ ) 2sin cosf x x x=.

0 0 0

1 1 12sin cos sin 2 cos 2 cos 2 22 2 2

xx x

t tdt tdt t x⎛ ⎞= = − = − − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

: לפי דיריכלה⇐0 0

2sin cosx xfg dxx

∞ ∞

=∫ . מתכנס∫

1: נראה ש 2I I=:

22

1 12 2 2 2

1 2 2 2 200 1 1

22

2 1sin '

1' 2sin cos

12

0

sin sin sin sinlim lim

sin 1 2sin cossin

sinlim

M

M

b b

u x va axu x x v

x

x x x xI dx dx dx dxx x x x

x x xdx xx x x

xx

εε

εε

∞

→ →∞

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =−⎜ ⎟⎝ ⎠

→

= + = + =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

1 2

11

22

2

0 0

2

2sin cos sin 2sin coslim

sin 1lim lim sin 0

sin sinlim lim sin 0

sin (1)1

M M

M

x x bounded

x x

x x x x xdx dxx x x

x xx x

x x xx x

ε→∞

→∞ →∞

→ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

∫ ∫

1 2

0

2sin cos sin (1)lim1

x xdxxε

ε→

+ +∫ 21

2sin coslimM

M

x xdx Ix→∞

+ =∫

2006פברואר


).חיובי(החלט מתכנס ב1Iברור ש) ב(

: נראה ש0

2sin cosx x dxx

∞

. מתבדר∫

←וזהו אינטגרל שמתבדר 2

1 1 212

2sin cos sin 2 sinx t

dx dt

x x x tdx dx dtx x t

∞ ∞ ∞

=⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎝ ⎠

= =∫ ∫ ∫

)3( תרגיל לבית

:מתבדר כל אחד מהאינטגרלים הבאים/ מתכנס αלאילו ערכי

1 (1

0

sin xdxxα∫

2 (1

sin xdxxα

∞

∫

2006פברואר


וטורים חיוביים) סיום(האינטגרל המוכלל : 10תרגול

)4(

0fנתון נתון . רציפה≤0

( )f x dx∞

)הפריכו כי /הוכיחו. מתכנס∫ ) 0xf x →∞⎯⎯⎯→.

פתרון

:דוגמא נגדית. הטענה איננה נכונה:נגדיר f

1רוחב הבסיס הוא 2 1n −

.

1

1 1 10

1 1 12( )2 2 2

n

nn n n

base heightf x dx∞ ∞ ∞ ∞−

= = =

−= = =∑ ∑ ∑∫

i 1 זהו טור שסכומו.

:תרגילים לבית0f כאשר התנאי 4הפריכו את הטענה בשאלה /הוכיחו) א 0f : מתחלף עם התנאי≤ >. . מונוטוניתf- כאשר נוסף התנאי ש4הפריכו את הטענה בשאלה /הוכיחו) ב ! קשה–). ולא רק רציפה(ש "רציפה במf- כאשר נוסף התנאי ש4הפריכו את הטענה בשאלה /הוכיחו) ג

36:30מן ז14פתרון חלקי יינתן בתרגול : הערה

1

1 2 3 ....

2006פברואר


טורים חיוביים

)1( 1 1 1 1... ...

1 2 2 3 3 4 ( 1)n n+ + + + +

⋅ ⋅ ⋅ +

1נשים לב כי 1 1( 1) 1n n n n

= −+ +

: היא nsסדרת הסכומים החלקיים 1

1 1

1 1 1 11 1( 1) 1 1

n

n nn k

sn n k k n →∞

= =

⎛ ⎞= = − = − ⎯⎯⎯→⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∑ ∑

)2(

1 1

n

n

nn

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑

1: נסתכל על האיבר הכללי 11 11

n

n n

nn e

n

→∞⎛ ⎞ = ⎯⎯⎯→⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

הכי האיבר הכללי שלו , אזי הטור מתבדר

.0- שואף ללא

)3(

2 3 4 5

1 1 1 1 11 ... ...2 3 4 5 nn

+ + + + + + +

1nלכל 1 מתקיים < 12n nn

≤ .

12n∑ 1 גם חיובייםלכן לפי מבחן ההשוואה לטורים !) ראינו( מתכנס

nn∑מתכנס .

)4( 1 2 3 ... ...

1 3 5 7 9 11 (4 3)(4 1)

1(4 3)(4 1)1 16n

nn n

nn n

n

→∞

+ + + + +⋅ ⋅ ⋅ − −

− − ⎯⎯⎯→

1הטור המקורי מתבדר כי , לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים⇐n∑מתבדר .

2006פברואר


)5(

: מצאו דוגמא לפונקציה חיובית ורציפה כך ש0

( )f x dx∞

אבל , מתכנס∫1

( )n

f n∞

= . מתבדר∑

).4 תרגיל 10תרגול " (אוהלים"-פונקצית ה: פתרון

)6(

2 3

11

1 2! 3! !... ...3 3 3 3

( 1)! 3 13 !

n

nn

nnn

n

a na n+

→∞+

+ + + + +

+= ⋅ ⎯⎯⎯→∞ >

. לטורים חיובייםולכן מתבדר לפי מבחן המנה

)7(

2 1

11 1

2 31 ... ...2 2 2

1 12 22

n

nn

nn

n

n n

−

− −

+ + + + +

= = <

.ולכן מתכנס לפי מבחן השורש לטורים חיוביים

)8(

1נגדיר 1

1 ;nana e a

nהאם . =−−

1n

na

∞

= ? מתכנס∑

פתרון

limאם 0nna

→∞ אזי ≠

1n

na

∞

= . מתבדר∑

0n, אחרתna 1נשווה עם . →⎯⎯⎯∞→

n∑) 0הערהna 1n לכל < >.(

1

1 11 n

nna

ae

n−

→∞= ⎯⎯⎯→

. מתבדר⇐

2006פברואר


)המשך (טורים חיוביים: 11תרגול )1(

1lnn n∑

1lnn n

. מונוטונית יורדת

מבחן הדלילות

22 ,n

nna a∑ . מתכנסים ומתבדרים יחדיו∑

, לכן

2n 12n

1ln 2ln 2n n

=∑ ∑

.הטור מתבדר ולכן הטור המקורי מתבדר

)2(

1 3 5 ... (2 1) 12 4 6 ... (2 ) 2 1

nn n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +∑

מבחן המנה

( )( )( )( )

1 1 3 5 ... (2 1) 1 2 4 6 ... (2 ) 2 12 4 6 ... (2 2) 2 3 1 3 5 ... (2 1) 1

2 1 2 11

2 2 2 3

n

n

a n n nan n n n

n nn n

+

→∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

+ += ⎯⎯⎯→

+ +

.מבחן המנה נכשל

מבחן ראבה

0na 1limאם . < 1 n

nn

an La+

→∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ : קיים אזי

1 (1L > ⇐ na∑מתכנס .

2 (1L < ⇐ na∑מתבדר . 3( 1L . המבחן נכשל⇐ =

:נפעיל את ראבה2

12

2

(2 1)(2 1) 4 4 11 1 1(2 2)(2 3) 4 10 6

6 5 34 10 6 2

n

n

n

a n n n nn n na n n n n

nnn n

+

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +− = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.לכן הטור המקורי מתכנס

2006פברואר


)א( לבית

( 1)...( 1)( 1)...( 1)

nn

α α αβ β β

+ + −+ + −∑

,לאילו ערכי 0α β ?מתבדר הטור/ מתכנס<

)ב( לבית

21 3 5 ... (2 1)

2 4 6 ... (2 )n

n⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

∑

2006פברואר


טורים כלליים

)3(

2

( 1)ln 1n

n n

∞

=

⎛ ⎞−+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

2last element last elementif N=2k (even) if N=2k+1 (odd)

( 1) 3 2 5 4 2 1 2ln ln ...2 3 4 5 2 2 1

ln1 0 2 12 1ln 2

2

nN

nn

n k ksn k k

N kk N k

k

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +⎧⎪= +⎨ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

.0-לכן הטור מתכנס ל, 0- שואפת לnsסדרת הסכומים החלקיים

)4(

21 3

cos( )n

n

n

π∞

=∑

)cosנשים לב כי ) ( 1)nnπ = −

כלל לייבניץ)טור חיובי(בהינתן טור עם סימנים מתחלפים )1 n− אזי הטור 0- שואף מונוטונית לאם הטור החיובי. ) ⋅

.הכללי מתכנס

23

1 0n

2לכן , 1 3

( 1)n

n n

∞

=

. מתכנס לפי כלל לייבניץ∑−

2006פברואר


)5(

:הפריכו/הוכיחו) ⇐ מתכנס ∑na) א )2

na∑מתכנס .

,) ב 0n na a ) ⇐ מתכנס ∑< )2na∑מתכנס .

,) ג 0n na a ) ⇐ מתכנס ∑< )3na∑מתכנס .

) ⇐ מתכנס ∑na) *ד )3na∑מתכנס .

:פתרון

): דוגמא נגדית. הטענה איננה נכונה) א )1 n

nan

−=

na∑מתכנס לפי כלל לייבניץ .( )2 1na

n=∑ . מתבדר∑

0na⇐ מתכנס ∑na: הוכחה. הטענה נכונה)ב 0 מסוים n-החל מ . →⎯⎯ 1na< - החל מ⇐. >

n 2 מסויםn na a≥ . לפי מבחן ההשוואה לטורים חיובייםna∑ 2 ⇐ מתכנס

na∑מתכנס . 0na⇐ מתכנס ∑na: הוכחה. הטענה נכונה) ג 0 מסוים n-החל מ . →⎯⎯ 1na< - החל מ⇐. >

n 3 מסויםn na a≥ . לפי מבחן ההשוואה לטורים חיובייםna∑ 3 ⇐ מתכנס

na∑מתכנס . .ביתל) ד

.אך היא לא טריביאלית, דוגמה נגדיתקיימת: רמז

)6( לבית

? האם הטור הבא מתכנס או מתבדרp is prime

1p∑

2006פברואר


)המשך(טורים : 12תרגול

)1 ( 1=2הוכיחו כי

1 1 1 1 12 1 ...2 3 4 5 6

− + − + −2 1 2 1 2 12 13 2 5 3 7 4

1 1 1 1 11 ...2 3 4 5 6illegal

⎡ ⎤= − + − + − + − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − + − + − 2 1⇒ =

)2(

נתון כי 2

21

16n nπ∞

=

חשבו את . ∑=( )2

1

12 1n n

∞

= −∫.

פתרון

.בטור מתכנס מותר להכניס סוגריים

( )

( )

2 2 2 21

2 2 2

2

2 2 21 1

2

2 21 1

2 2 2 2

22 21 1 1

1 1 1 11 ...2 3 4

1 1 11 ...2 3 41 1 1

(2 1) (2 ) 6

1 1 1 14 4 62

1 1 1 1 3(2 1) 6 4 6 4 6 82

n

n n

n n

n n n

n

n n n

nn

n n n

π

π

π π π π

∞

=

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞ ∞

= = =

= + + + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⇒ = + =⎢ ⎥−⎣ ⎦

= = ⋅

= − = − ⋅ = ⋅ =−

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

2006פברואר


)3(

) מתכנס הטור Pלאילו ערכי )( )2

11

n

npn n

∞

=

−

+ −∑?

:פתרון

0pעבור , ראשית . הטור לא מוגדר=

0pאם )אזי > )( )1

11

nn

npn→∞−

⎯⎯⎯→+ −

. הטור מתבדר⇐

0pאם >:

( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )

2 2 2

22

( 1) ( 1) 11 11 1

11

nn p n pn nN N N

n p np p pn n n

N

np pn

n n

nn n n

n n

= = =

=

⎡ ⎤− − − + −− − ⎣ ⎦− = =+ − + −

= −+ −

∑ ∑ ∑

∑

הטור ( )2

2

11

N

np pn n n= + −1 ⇔ מתכנס ∑

2p > .

2 -פי השוואה לל. זהו טור חיובי2

1N

pn n=∑:

( )

( ) ( )22

2

2

11 1

111

n np p ppn

p p

np p

n n nnn n

n n

→∞+ − + −= = ⎯⎯⎯→

+ −

1 ⇔הטור מתכנס : מסקנה2

p >.

)הטור )1

1 n

pn n

∞

=

−0p מתכנס לכל ∑ n, עתה. לפי לייבניץ< b na b c− = 1עבור . −

2p > ,nbו -nc הן

nואז , מתכנסותnc- וnbסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים ולכן b na b c= . מתכנס+

1עבור 02

p≥ > ,nb מתכנס אבל ncלכן , מתבדרnaמתבדר .

1 ⇔הטור מתכנס : סיכום2

p >.

2006פברואר


)4( .ר חיובי מתבדר טו∑naיהי

הראו שגם הטור ) א1

n

n

aa+∑מתבדר .

הראו שהטור . ∑na את סדרת הסכומים החלקיים של ns-נסמן ב) ב2 1

1 1n n ns s

∞

= −

. מתכנס∑−

2הראו ש) גn

n

as∑מתכנס .

ןפתרו

)א

0naאם 1 אזי →⎯⎯ 1 11

n

n

n n

aa

a a+

= ⎯⎯→+

הטור , )טורים חיוביים(ולכן לפי ההשוואה 1

n

n

aa+

. מתבדר

naאם ⎯⎯→ אזי גם 01

n

n

aa

⎯⎯→+

נניח בשלילה ש. (01

n

n

aa+

-נחלק מונה ומכנה ב, 0-ואף ל כן ש

na 1 ונקבל 01 1na

⎯⎯→+

1 אזי 1na+ ⎯⎯→∞⇐ 0na ). בסתירה להנחה→⎯⎯

, ולכן שוב1

n

n

aa+∑מתבדר .

)ב

אזי . nT-כומים החלקיים של הטור בנסמן את סדרת הס

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1nn

nk k k n

Ts s s s s a

→∞

= −

⎛ ⎞= − = − + ⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

הטור ⇐2 1

1 1n n ns s

∞

= −

. מתכנס∑−

)ג

1

1 1 1

1 1 n n n

n n n n n n

s s as s s s s s

−

− − −

−− = =

⋅ ⋅2 לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים

1

n n n

n n n n n

a a as s s s s−

≥ =⋅ ⋅

.

1

n

n n

as s− ⋅

2, ולכן' מתכנס לפי סעיף בn

n

as∑מתכנס .

2006פברואר


וטורי פונקציותהתכנסות במידה שווה: 13תרגול

}סדרת פונקציות }( )nf xמתכנסת ל -( )f x בתחום I0 לכל אםε ) קיים < )N εכך ש -

( ) ( )nf x f x ε− n לכל > N> ולכל x I∈.

)1(

)תהי )1n

nxf xnx

=+

}: הוכיחו כי . }nf0בקטע ש " מתכנסת במ,[ , )α α> ∞.

פתרון

]לכל , )x α∈ ∞ ,( ) 111n

nnx xf x

nx xn

→∞= = ⎯⎯⎯→+ +

,

( ) ( ) 1nf x f x⎯⎯→ = . נקודתית⇐

), בפרט ) 1nf α 0εלכן לכל . →⎯⎯ ) קיים < )N ε כך שלכל n N>:

( ) 1 11n

nfnαα εα

− = − <+

0εבהינתן ,ל" הנN יהי <

x אזי לכל I∈ , 1 1 1( ) 1 11 1 1 1n

nxf xnx nx nx nα

−− = − = = ≤

+ + + +

.ש"הראינו לפי הגדרה שההתכנסות היא במ

/ 2ε / 2ε

1f

2f

f

2006פברואר


)2(

תהי 2 2

2 2( )1n

n xf xn x

=+

]ש בקטע "יש לבדוק התכנסות במ. ]1,1−.

פתרון

( )2 2 2

0 00 0 2 2

2002

0 ( ) 111n

nn x xx f x

n x xn

→∞≠ = = ⎯⎯⎯→+ +

1 0( )

0 0n

xf x

x≠⎧

⎯⎯→⎨ =⎩ . נקודתית

)פונקצית הגבול )f x איננה רציפה אבל ( )nf xש"ננה במלכן ההתכנסות אי, רציפות.

nfאם ( f⎯⎯→ש" במ ,nfאזי , רציפותfרציפה .(

)3(

)תהי ) lnnx xf xn n

= ,(0,1]x∈ . האם{ }nfש" מתכנסת במ?

פתרון

fיאת מצ:Iשלב

( ) ln 0nn

x xf xn n

→∞= ⎯⎯⎯→

0 0 0 02

1ln lnlim ln lim lim lim 01 1 1LOPt t t t

t t tt t

t t t

+ + + +→ → → →

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = = ⎯⎯→⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

( ) ( ) 0nf x f x⎯⎯→ = . נקודתית⇐

nM- חישוב ה:IIשלב

(0,1] (0,1]sup ln 0 sup lnnx x

x x x xMn n n n∈ ∈

⎧ ⎫= − = −⎨ ⎬⎩ ⎭

: נסמן0 0

ln 0n

xh x x x

n n

=⎧⎪= ⎨− ≠⎪⎩

.0-נגזור ונשווה ל. [0,1] - בnh ונחפש מקסימום של

2006פברואר


1 1 1 1'( ) ln ln 1nx x xh x xn n n n n n

n

⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

'( ) 0nh x ln כאשר = 1xn

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

nx כלומר כאשר e

=.

3nלכל ≥ ,ne

3n- ל[0,1] עולה בתחום nhאבל הפונקציה . [0,1] לא בקטע )' כי ≤ ) 0nh x >.

⇐ (0,1]

1 1max ( ) (1) lnn n nxM h x h

n n∈= = = −

:IIIשלב

1 1lim lim ln 0nn nM

n n→∞ →∞

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

nf .ש" מתכנסת במ⇐

2006פברואר


)המשך(התכנסות במידה שווה וטורי פונקציות : 14תרגול

)1(

10

sin( )n

n

n nx dxe

π ∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫

הטור 1

sin( )n

n

n nxe

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠)sin. של ויירשטראסMלפי מבחן ש "במ מתכנס ∑ )

n n

n nx ne e

≤.

1n

n

ne

∞

=1: לפי מבחן השורש לטורים חיוביים( מתכנס ∑ 1n

n

ne e

⎯⎯→ <(

הטור ⇐1

sin( )n

n

n nxe

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠נטגרציה לכן מותר לבצע אי, של ויירשטראסMש לפי מבחן " מתכנס במ∑

.איבר-איבר

( )( )

01 1 1 10 0 0

1

sin( ) sin( ) 1sin( ) cos( )

1 1 1

n n n nn n n n

nn

n

n nx n nx n ndx dx nx dx nxe e e e n

n ne n

π π ππ

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

∞

=

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = = − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∑ 1ne n− ( )( ) ( )( )

( ) ( )1 1

2if right wing converge 1 1 1

11 1 1 1

1 1 11 1 1 21 1 1

n nn

n n

n n

n n nn n n

e

ee e e e e e

∞ ∞

= =

∞ ∞ ∞

= = =

⎡ ⎤− − = − − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

− − −= = − = + =

− + −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

2006פברואר


)2( : נתונה סדרת פונקציות

( ) cos ( )

02

nnf x x

x π=

≤ ≤

)חשבו את גבול הסדרה ) א( )nf x. ?ש"האם הסדרה מתכנסת במ) ב(

: חשבו) ג(2

0

lim cosn

nx dx

π

→∞⋅∫

פתרון )א(

0 ( ) 1 1

0 ( ) 02

1 0( ) ( )

0 0

nn

nn

nn

x f x

x f x

xf x f x

x

π

→∞

→∞

→∞

= ⇒ = ⎯⎯⎯→

< ≤ ⇒ ⎯⎯⎯→

=⎧⎯⎯⎯→ = ⎨ ≠⎩

)ב(

.ש" רציפות ולכן אין התכנסות במnf. איננה רציפהf. לא )ג(

נראה כי 2

0

lim cos 0n

nx dx

π

→∞⋅ =∫

0εבהינתן >

2 2 2

0 02

cos cos cosn n nxdx xdx xdx

π ε π

ε

= +∫ ∫ ∫

cosn xעל 0-ש ל"מ מתכנסת ב ,2 2ε π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

כי זו סדרה מונוטונית של פונקציות רציפות השואפת

לכן האיבר . לפונקציה רציפה על קטע סגור2

2

cosn xdx

π

ε∫0 n→∞←⎯⎯⎯ ולכן

2ε . מספיק גדולN עבור <

, בנוסף2 2

0 0

cos 12

n xdx dx

ε ε

ε< ⋅ =∫ ∫.

: מסקנה2

0

cosn xdx

π

lim מספיק גדול N עבור ∫ 0n→∞

= ⇐.

2006פברואר


)3( לבית

]ש על " רציפה במfתהי , )a )נתון כי . ∞ )a

f x dx∞

limהוכיחו כי . מתכנס∫ ( ) 0x

f x→∞

=.

פתרוןהדרכה ל

הגדירו ) 1

1

( ) ( )x

n

nx

F x n f t dt+

= nF והראו כי ∫ f⎯⎯→ש בקטע " במ[ , )a ∞.

lim: הראו) 2 ( ) 0nxF x

→∞ .n לכל =

limהסיקו כי ) 3 ( ) 0nxf x

→∞=.

2006פברואר


)4(

2התבוננו בטור 2

0cos( )nx

ne n x

∞−

=∑.

0xהראו שהטור מתכנס לכל ) א( >. ,0)האם הטור מגדיר ב) ב( ? פונקציה רציפה∞( ? גזירהfהאם ) ג(

ןפתרו )א(

0יהי 0x 0: כך שα ויהי < 0x α> >. 2 2cos( )nx nx ne n x e e α− − −≤ ≤

הטור 0

n

ne α

∞−

=1qטור הנדסי עם ( מתכנס ∑ e α−= <.(

]-ב, הטור המקורי מתכנס לפי ווירשטראס: מסקנה , )α ∞. .0x-בפרט הטור מתכנס ב

)ב(

2נסמן 2

0

( ) cos( )nx

n

f x e n x∞

−

=

0xלכל , ∑= >.

.זה מוגדר היטב) א(לפי סעיף ] -ב(טור של פונקציות רציפות , לפי משפט , ]a b ( ש לפונקציה "מהמתכנס בf⇐fרציפה .

] שלנו רציפה בכל קטע fלכן , ], 0a b a >. f ,0)- רציפה ב⇐ )∞.

)ג(

לבית

2006פברואר


טורי חזקות: 15תרגול

( )1

nn

n

a x α∞

=

−∑

)1(

: נתון הטור1

n

n

xn

∞

= .מצא תחום התכנסות. ∑

פתרון

1na

n= .

1lim lim 1 1n nnn n

a Rn→∞ →∞

= = ⇒ =

)- הטור מתכנס ב⇐ .נבדוק בקצוות. −(1,1

1

1 :x=1n n

∞

= . מתבדר∑

( )1

1 :x=-1

n

n n

∞

=

− . מתכנס∑

] תחום ההתכנסות ⇐ 1,1)−.

)2(

) :נתון הטור )1

ln( 1) 21

n

ny

n xn

∞

=

+−

.מצא תחום התכנסות. ∑+

1 ln( 2) 1 1 ln( 2) 12 ln( 1) 2 ln( 1)

1ln( 2) 2lim lim 11ln( 1)

1

nn

n

n LOP x

a n n n na n n n n

n xn

x

+→∞

→∞ →∞

+ + + += ⋅ = ⋅ ⎯⎯⎯→

+ + + +

⎡ ⎤⎢ ⎥+ += =⎢ ⎥+⎢ ⎥

+⎣ ⎦

1R = ⇐ 1 הטור מתכנס עבור ⇐ 1y− < < 1 הטור מתכנס עבור ⇐ 3x< <.

2006פברואר


:נבדוק בקצוות

n=1

ln(n+1)3: n+1

x∞

= ∑

)log מספיק גדול n-ל 1) 1n + ln(n+1)ולכן , < 1n+1 1n

>+

ולכן לפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים

.הטור מתבדר

( )n=1

ln(n+1)1: 1n+1

nx∞

= −∑

.מתכנס לפי לייבניץ

ln(n+1) 0n+1

n→∞⎯⎯⎯→) למשל לפי לופיטל כמו הקודם.(

2: מונוטוניות

ln 1 ln' 0x e

x xx x >

−⎛ ⎞ = <⎜ ⎟⎝ ⎠

.

.(1,3]כנסות הוא תחום ההת⇐

)3(

27: פתחו לטור חזקותxx−

.

פתרון

: פיתוח ידוע0

1 , 11

n

nt t

t

∞

=

= <− ∑.

2 22

0

1 , 11

n

nt t

t

∞

=

= <− ∑

22 1

2 22 10 0

1 177 7 7 77

1 17 7

7

nn

nn n

xx x x x xx x x

x

∞ ∞+

+= =

⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

<

∑ ∑

.למצוא את רדיוס ההתכנסות: תרגיל בית

2006פברואר


)4(

חשבו 2n

n∑

פתרון

נסתכל על

( )

1 0

12

1 0

1( ) 1

'( )1

n

x n

n n

n n

f x xx

xx f x x n x n xx

∞

<=

∞ ∞−

= =

= =−

⋅ = = ⋅ = ⋅−

∑

∑ ∑

1נציב 2

x 2 ונקבל =

12 2

2 112

n

n= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

)5(

מצאו סכום 2 1

0 2 1

n

n

xn

+∞

= +∑

פתרון

22

0

1 11

n

n

x xx

∞

=

= <− ∑

( ) ( )

2 12 2

2 integration element0 0 00 0 0by element

20 0 0

=1 2 1

1 1 ln 1 ln 11 2 1 1 2

1 1ln2 1

x x x nn n

n n n

x x x

dt xt dt t dtt n

dt dt dt x xt t t

xx

+∞ ∞ ∞

= = =

= =− +

⎛ ⎞= + = − + + =⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦− − +⎝ ⎠+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 3

2 3

3 52 1

0

ln(1 ) ....2 3

ln(1 ) ....2 3

1 1ln 2 ... 21 3 5 2 1

n

n

x xx x

x xx x

x x xx xx n

∞+

=

+ = − + − +

− = − + − + −

⎡ ⎤+⎛ ⎞⇒ = + + + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑

2006פברואר


10נסמן : הערה 1

xt tx

+< < ∞ =

−

11

txt−

⇒ =+

לכן הטור 2 11 1ln( ) 2

2 1 1

nttn t

+−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠0 מתכנס עבור ∑ t< < ln, למשל, ומאפשר לחשב, ∞ 5.

2006פברואר


)המשך(טורי חזקות : 16תרגול :טענה הבאהבמהלך התרגול נוכיח את ה

2

21

16n nπ∞

=

=∑

)1(

( )( ) 1 ,f x x α α= + .יש לפתח לטור מקלורן. ∋

): טענה )0

1 n

n

x xn

α α∞

=

⎛ ⎞+ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ כאשר∑

( ) ( )

10

1 ... 1,

!a n

n n

α

α α αα

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠− − +⎛ ⎞

∈ =⎜ ⎟⎝ ⎠

:הערה

)אלו בדיוק )1 (0)!

kfk

.

:הוכחה

ראשית נבדוק מתי הטור 0

n

n

xnα∞

=

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ . מתכנס∑

( ) ( )( ) ( )1

1 ... 1 ( 1)! 1 1! 1 ... 1

1

nn

n

a nna n na n a n n

n

αα α

α α α α→∞

+

⎛ ⎞⎜ ⎟ − − + + +⎝ ⎠= = ⋅ = ⎯⎯⎯→

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

1R רדיוס ההתכנסות ⇐ =.

נסמן 0

( ) n

n

f x xnα

α∞

=

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠): צריך להוכיח∑ )( ) 1 , 1f x x xα

α = + <.

( ) ( ) ( ) ( )

1

1

'( )

1 ... 1 1 ... 1! ( 1)!

11

n

n

f x n xn

a n a nn n

n n n

n

α

α

α α α α α

αα

∞−

=

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠− − + − − +⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑

2006פברואר


1

1 0

1

1 1'( )

1 1'( ) ( ) (*)

n n

n n

f x x xn n

f x f x

α

α α

α α

α

∞ ∞−

= =

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒ =

∑ ∑

0

2

1

1

0

(1 ) ( ) (1 )

1 ...0 1 1 2

11

11

1

n

n

n

n

n

n

n

n

x f x x xn

x x

xn n

xn

xn

α

α

α α α α

α α

α

α

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

⎛ ⎞+ = + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦+⎛ ⎞

= + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠+⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

1(1 ) ( ) ( ) (**)x f x f xα α+⇒ + =

)נתבונן בפונקציה )1,(1 )

f xxx

αα<

+

( )

1

2

1(*) (**)

'( ) '( )(1 ) (1 ) ( )(1 ) (1 )

'( )(1 ) ( )(1 ) ( )

0

f x f x x x f xx x

f x x f x x f x

α αα α α

α α

α α α

α

α α

−

−

⎡ ⎤ + − += =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

+ = + =

=

( )( )

1f x const

xα

α = ⇐+

(0) 1

(1 0) 1

fαα

=

+ =

0

( ) (1 ) ; , 1n

n

x f x x xn

αα

αα

∞

=

⎛ ⎞⋅ = = + ∈ < ⇐⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

2006פברואר


)2(

)נתון ) arcsinf x x= . לטור מקלורןפתחו .

פתרון

21: 1נציב בטור מתרגיל ,2

x tα = − = −.

2

20

11 ( 1)2

1n n

nt

t n

∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

נבצע אינטגרציה . ∑0

x

∫.

2 2integration element 00 0by element

2 1 3 5 2 1

0

1arcsin ( 1)2

1 1

11 1 3 1 3 5 ... (2 1)( 1) ... ...2

2 1 2 3 2 4 5 2 4 6 ... (2 ) 2 1

x xn

n

n nn

n

dt dtxt tn

x x x n xxn n nn

∞

=

+ +∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟= = − =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟= − = + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ +⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎝ ⎠

∑∫ ∫

∑

1x <

)3(

הוכיחו כי ( )

2

21

82 1nπ

=−

∑.

פתרון

arcsinתכל על הטור של נס x .1. נבדוק בקצוות 2 1 1(2 2)(2 3)

nn

n

a na n n

→∞+ += ⎯⎯⎯→

+ +

:י מבחן ראבה"נבדוק ע. מבחן המנה נכשל

12

(6 5) 31 ... 14 10 6 2

nn

n

a n nna n n+

→∞

⎛ ⎞ +− = = ⎯⎯⎯→ >⎜ ⎟ + +⎝ ⎠

1x- מתכנס ב⇐ )-ולכן גם ב, = 1)x = −. arcsin הטור של ⇐ x מתכנס בתחום [ ש שם ומותר לבצע אינטגרציה "לכן הוא מתכנס במ. −[1,1 .איבר-איבר

2006פברואר


sinxנציב t= ,2 2

tπ π− ≤ ונקבל ≥

2 1

1

1 3 5 ... (2 1) sin ( )sin2 4 6 ... (2 ) (2 1)

n

n

n tt tn n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ נבצע ו∑+

עד 0-אינטגרציה מ2πנקבל. לשני האגפים:

2 2 2 22 1

10 0 0

1 3 5 ... (2 1) 1sin sin8 2 4 6 ... (2 ) 2 1

n

n

ntdt tdt t dtn n

π π π

π ∞+

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= = + ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +∑∫ ∫ ∫

.5 שאלה 6 מתרגול WALLISנשתמש כעת בנוסחאות

22 1

0

2 4 ... (2 )sin ( )1 3 5 ... (2 1)

n nx dxn

π

+

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( )2 21 1

1 112 1 2 1n nn n

∞ ∞

= =

= + =+ −

∑ ∑

)4(

2

21

16n nπ∞

=

=∑

2 2 2 2 2 2 21

2 2 2 21 1 1

2

2 21 1

1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ...2 3 4 2 3 4

1 1 1 1(2 1) (2 ) (2 1) (2 )

3 1 14 (2 1) 8

n

n n n

n n

n

n n n n

n nπ

∞

=

∞ ∞ ∞

= = =

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

⇒ = =−

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

2006פברואר


פונקציות בשני משתנים: 17תרגול

נאמר ש( , ) ( , )

lim ( )x y a b

f x L→

)שתי הגדרות שקולות: (=

0εאם לכל ) א 0δ קיים < 2: כך ש< 2( , ) 0 ( ) ( )f x y L x a y bε δ− < ⇐ < − + − < 0εאם לכל ) ב 0δ קיים < : כך ש<

x a δ− y - ו> b δ− ) - ו> , ) 0f x y L x a y bε− < ⇐ − + − >

( , )a b δ

( , )a b δ

2006פברואר


)1(

2תהי הפונקציה 2 ( , ) 0( , )

0 ( , ) 0

xy x yx yf x y

x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

?(0,0)-האם לפונקציה יש גבול ב.

פתרון

( , )f x yמתאפסת על שני הצירים 0 00 0

x fy f= ⇒ == ⇒ =

)אבל לאורך קרן . ) 0 my mx= ≠ ∈.

( )2 22( , ) ,

1xmx mf x mx x

mx mx= = ∀

++

.(0,0)- גבול בf- אין ל⇐

)2(

2

2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

)גם כאן , )f x yמתאפסת על שני הצירים 0 00 0

x fy f= ⇒ == ⇒ =

.

20

4 2 2 2( , ) 0( )

xx mx mxf x yx mx x m

→= = ⎯⎯⎯→+ +

2yאבל לאורך הפרבולה x=.

( )2 2

224 2

1( , )2

x xf x xx x

= =+

. גבול בראשיתf- אין ל⇐

2006פברואר


)3( 1 1sin sin 0

( , )0 0

x y x yy xf x y

x y

⎧ + ∧ ≠⎪= ⎨⎪ ∨ =⎩

: והוא (0,0)-נראה שיש גבול ב 0L =

1 1( , ) sin sinf x y x y x yy x

ε≤ + ≤ + <

ניקח 2εδ =

. קיימיםלאשני הגבולות הנשניים : הערה

2006פברואר


פולאריותתקואורדינאטוf:2תהי →

cossin

x ry r

θθ

==

)נניח כי cos , sin ) ( ) ( )f r r F r Fθ θ θ= )0 חסומה וG כאשר = ) 0rF r הוכיחו כי . →⎯⎯⎯→

( , ) (0,0)( , ) 0x yf x y →⎯⎯⎯⎯⎯→.

:פתרון

) את החסם של M-נסמן ב )G θ . אזי( )G Mθ 0εיהי . θ לכל ≥ 0δיהי . < - כך ש<

( )F r rMε δ< ⇐ <

אזי 0

( , ) ( , ) ( ) ( )L

f x y L f x y F r G MMεθ ε

=− = = < =

2אם 2x y rδ δ+ < ⇔ < : פולאריותתמתי משתמשים במעבר לקואורדינאטו

יש גבולות 2θ- ו1θאם עבור : בודקיםו. 0- לr וניקח את θ" נקפיא". על מנת לומר שאין גבול )10rשונים כאשר →.

בנפרד יש θ לומר שאם לכל לא נכון. על מנת לומר שיש גבול חייבים שיתקיימו תנאי המשפט )2 . זה לומר בדיוק שרק לאורך קרנות יש גבול. אותו גבול אז לפונקציה יש גבול

( , )x y

θ

r

1θ2θ

2006פברואר


)4(

2 2

2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 (0,0)

x y x yf x y x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪⎩

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2( , ) (0,0) 0 0 ( ) ( )

cos sinlim lim lim cos sin 0x y r r F r G

x y r r rx y r θ

θ θ θ θ→ → →

= = =+

בתנאי המשפט

.0לכן הגבול בראשית הוא אכן

)5( 2

2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 (0,0)

x y x yf x y x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪⎩

2 2 2

4 4 2 2 2 4 20 0

cos sin cos sinlim limcos sin cos sinr r

r r rr r r

θ θ θ θθ θ θ θ→ →

=+ +

kθאם π≠ 0 אזי הגבול הוא. kθאם π= לכל 0 אזי הביטוי הוא r 0 ובפרט הגבול הוא.

.0- גבול באין fלמרות זאת ראינו של

2006פברואר


פונקציות בשני משתנים: 18תרגול

)6(

( )1

2 2 8

sin( ) ( , ) (0,0)( , )

0 (0,0)

y x y x yf x y x y

−⎧ ≠⎪⎪= +⎨⎪⎪⎩

?האם הפונקציה רציפה

' לפי משפט הסנוויץ ⇐( , ) (0,0)

lim ( , ) 0 (0,0)x y

f x y f→

= .(0,0)- רציפה בfאזי , =

14

sinr

r

θ| |

34

0sin 0

rbounded

r θ→→

| |

14

sinr

r

θ−

| |

34

0sin 0

rbounded

r θ→

− →

| |

( ) ( ) ( )1 1 1( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2 2 2 2 28 8 8

sin( )0 0x y x y

y y x y y

x y x y x y→ →

− −←⎯⎯⎯⎯⎯ ≤ ≤ ⎯⎯⎯⎯⎯→

+ + +

2006פברואר


)7(

( )2

2 2( , ) (0,0)

( , ) , 0

0 (0,0)

x y x yf x y x y

αα

⎧≠⎪

= >+⎨⎪⎩

? רציפהf הפונקציה αלאילו ערכי :תשובה

)בכל , ) (0,0)x y ≠ ,f(0,0)יש לבדוק מה קורה ב. רציפה.

2 23 2 2

20 0 ( ) ( )

cos sinlim lim cos sinr r F r G

r r rr

αα

θ

θ θ θ θ−

→ →=

3 עבור ⇐2

α < fולכן רציפה(0,0)- רציפה גם ב .

3אם 2

α y נסתכל על הקרן ≤ x= .

( )3

3 202

31 2( , ) ( , )

322 12

x

xf x y f x x xx

αα α

α

α

−→

⎧∞ >⎪⎪= = = ⎯⎯⎯→⎨⎪ =⎪⎩

3אם : מסקנה2

α 3 רציפה אם ורק אם f אזי . (0,0) לא רציפה כי היא לא רציפה בf אזי ≤2

α <.

)אם חסומה )3 2 0α− 3 כלומר >2

α )0י אז> ) 0rF r →⎯⎯⎯→

)אזי לפי משפט , ) (0,0)( , ) 0x yf x y →⎯⎯⎯⎯⎯→.

2006פברואר


)8( sin sin

( , ) cos

x y x yx yf x y

x x y

−⎧ ≠⎪ −= ⎨⎪ =⎩

?האם הפונקציה רציפה

:פתרון

xבכל נקודה y≠ fנבדוק בנקודות מהצורה. רציפה( , )x x . נסתכל על סדרה( , ) ( , )n xx x x x→ .

n nn x y∀ ≠

sin sinlim ( , ) lim

2 cos2lim cos ( , )

2

( , ) cos c s

s2

2o

in n n

n n

n nn nn n

n n

n n

n

n n n

x yf x yx yx y

x f x

x y

x y x

f x x x x

→∞ →∞

→∞

→∞

−= =

−+

= = =

= ⎯⎯⎯→

−

−

. רציפהfלכן לפי היינה

y

x

x y=

( , )x x

2006פברואר


)9(

: fתהי 2 2

2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 (0,0)

x y x yf x y x y

⎧ −≠⎪= +⎨

⎪⎩

.1 - ל−1 מקבלת כל ערך בין f (0,0)סביבה של הוכיחו כי בכל

:פתרון

1

2

2( ) ,0 13

2( ) 0, 13

f p f

f p f

ε

ε

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

fכל ערך בקטע לכן לפי משפט ערך הביניים היא מקבלת. רציפה על הטבעת [ . שם−[1,1

ε 3ε

1p

2p

2006פברואר


רציפות במידה שווה– הגדרה( , )f x y רציפה במידה שווה בתחום D אם לכל ε קיים δ נקודות בתחום 2 כך שלכל Dמתקיים :

( ) ( )x y f x f yδ ε− < ⇒ − <

)10( 2 2( , )f x y x xy y= − ?2-האם הפונקציה רציפה במידה שווה ב. +

:פתרון

)2נשים לב כי ,0)f x x=.

1εיהי :δלכל . = : ניקח

1

2

22 2

2 1 1

( ,0)

( ,0)2

( ) ( ) 14 4 x

p x

p x

f p f p x x x x xδ

δ

δ δδ δ δ=

=

= +

− = + + − = + > =

:לכן ניקח

1

2

1( ,0) ,0

1( ,0) ,02 2

p x

p x

δδ δ

δ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇐ fאינה רציפה במידה שווה .

:תרגיל לבית

): ש של"יש לבדוק רציפות במ , ) sin( )f x y x y= .2: ב+

xמיד יהיה חיובי

2006פברואר


גזירה של פונקציות בשני משתנים: 19תרגול

)1(

( )2

2 2( , ) (0,0)

( , ) , 0

0 (0,0)

x y x yf x y x y

αα

⎧≠⎪

= >+⎨⎪⎩

? רציפהα fלאילו ערכי )א(

1 נגזרת מכוונת בכיוון הוקטור (0,0)- בf- קיימת לαלאילו ערכי )ב( 1,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

?

? גזירהα fלאילו ערכי )ג(

:פתרון

3 רציפה אם ורק אם fהראנו ש. 7תרגיל , תרגול קודם )א(2

α <.

)ב( :תזכורת

1יהי 2( , )u u u= 2 וקטור יחידה 21 2( 1)u u+ :uנגזרת מכוונת בכוון , =

0 1 0 2 0 00 0 0

( , ) ( , )( , ) limh

f x hu y hu f x yf x yu h→

+ + −∂=

∂

. בתנאי שהגבול קיים

3

2

0 0

2 2

0

2 0

2, (0,0) 22 2(0,0) lim lim

0 11 1lim 1

2 2 2 21

h h

h

h

hh hf ffu h h

h

α

α

α

α

α

→ →

−

→

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎜ ⎟

⎡ ⎤⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =∂

<⎧⎪⎪= = =⎨⎪⎪ ∞ >⎩

:לסיכום

(0,0)fu∂∂

1α קיימת אם ורק אם ≤.

2006פברואר


)ג( :תזכורת( , )f x y 0 גזירה בנקודה 0( , )x y אם קיימים ,A B כך שלכל ,h kמתקיים :

2 20 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x h y k f x y Ah Bk h k h kα+ + = + + + כאשר +

( , ) (0,0)( , ) 0h kh kα →⎯⎯⎯⎯→

0 0

0 0

( ,0) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0

(0, ) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0

h h

h h

f f h fx h hf f h fx h h

→ →

→ →

∂ − −= = =

∂∂ − −

= = =∂

,לכן fאם (0,0)- גזירה ב :

2 2( , ) (0,0) ( , )f x y f x y x yα− = ) - ו+ , ) 0x yα →

( )

2

( , ) (0,0)2 2 12 22

( , )( , ) 0x y

f x y x yx yx y x y

αα →+

= = ⎯⎯⎯⎯⎯→+ +

3אם ורק אם : לפי סעיף א2

12

α + 1α אם ורק אם (0,0)- גזירה בfלכן , > <.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

12 2 2 2 2

22 2

12 2 2 2 2 2

22 2

2 2( , )

2( , )

xy x y x y x y xf x yx x y

x x y x y x y yf x yy x y

α α

α

α α

α

α

α

−

−

+ − +∂=

∂ +

+ − +∂=

∂ +

x, הנגזרות החלקיות קיימות בסביבת ⇐ y ורציפות שם לכל α.

2006פברואר


:שפטמ

):דוגמאות נגדיות(תרגיל לבית

2 2 ( , ) (0,0)1) ( , )

0 (0,0)

xy x yx yf x y

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪⎩

.אבל יש לה נגזרות חלקיות, לא רציפה בראשית 2

2 2 ( , ) (0,0)2) ( , )

0 (0,0)

x y x yf x y x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪⎩

.אבל לא גזירה , (0,0)יש נגזרות חלקיות ב

( )2 2

2 2

1sin ( , ) (0,0)3) ( , )

0 (0,0)

x y x yf x y x y

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟+ ≠⎪ ⎜ ⎟= ⎨ +⎝ ⎠⎪⎪⎩

.הנגזרות החלקיות לא רציפותאבל , (0,0)גזירה ב

⇒ ותנגזרות חלקיות רציפ⇐

גזירות⇐ )דיפרנציאביליות(

רציפות⇒

קיום נגזרות חלקיות

⇓ ⇑

⇐⇒

2006פברואר


)2(

)נתון כי , )f x y 2 מקיימת 2 2( , ) , (x,y)f x y x y≤ + ∀ .(0,0) גזירה בfהוכיחו כי . ∋ :אינטואיציה

:פתרון2 2(0,0) 0 (0,0) 0 0 0f f= ⇐ ≤ + =

0 0

2

0

( ,0) (0,0) ( ,0)(0,0) lim lim

( ,0)0, 0

h h

h

f f h f f hx h h

f h hh hh h

→ →

→

∂ −= =

∂

≠ ≤ = ⎯⎯⎯→

: אם (0,0)- גזירה בf אזי .0-אזי הנגזרת החלקית שווה ל

2 2( , ) (0,0) ( , )f x y f x y x yα− = ) ומתקיים + , ) 0x yα →

; 0גזרת כי בהגדרת הנ( 0f fA Bx y∂ ∂

= = = =∂ ∂

(

2 2

2 2( , ) (0,0)2 2 2 2

( , )( , ) 0x y

f x y x yx y x yx y x y

α →

+= ≤ = + ⎯⎯⎯⎯⎯→

+ +

. לפי ההגדרה0- גזירה בf, לכן

( )f x x⇐ <f2 .(0,0) רציפה ב( )f x x⇐ <f(0,0) גזירה ב.

2006פברואר


xy

( , )f x y

( )0 0,x y

0x x= 0y y=

0 0( , )f x y 0( , )f x y

0 0( , )fslop x yx∂

=∂

xy

( , )f x y

( )0 0,x y

0x x= 0y y=

0 0( , )f x y0 0( , )fslop x y

y∂

=∂

0( , )f x y

2006פברואר


0 הישרים הללו מגדירים מישור בנקודה 2 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( )g x y f x y A x x B y y= + − + −. )fגזירה רק אם יש לה מישור משיק .(

xy

( , )f x y

0x x= 0y y=

xy

( )0 0,x y

2006פברואר


גזירה של פונקציות בשני משתנים: 20תרגול

)1( )יש למצוא משוואת המישור למשיק לפונקציה , ) sinxf x y e y= (0,0) בנקודה.

:פתרון

fראינו בשיעור הקודם כיצד נראה המישור המשיק. רק אם יש לה מישור משיק גזירה אם ו.

0

0

0 0 0

0 0 0

( , ) sin , (0,0) 0

( , ) cos , (0,0) 1

x

x

f fx y e y Ax xf fx y e y By y

∂ ∂= = =

∂ ∂∂ ∂

= = =∂ ∂

:כעת נותר לחשב את משוואת המישור המשיק

( , ) (0,0) ( 0) ( 0)g x y f A x B y y= + − + − =.

)2( )תהי , )f x yגזירה ב -( )0 0,x y .0-ים כוון שבו הנגזרת המכוונת קיימת ושווה להוכיחו שבהכרח קי.

:פתרון

) גזירה בfאם : משפט )0 0,x yאזי הנגזרת המכוונת ניתנת על ידי :

( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 0 0 2, , ,f f fx y x y u x y uu x y∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

) כאשר )1 2,u u u=הוא וקטור יחידה .

:ניסוח חלופי

,f ffx y

⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

".fהגרדיאנט של " נקרא

f f uu∂

= ∇ ⋅∂

)אם )0 0, (0,0)f x y∇ ) u אזי לכל = )0 0, 0f x yu∂

=∂

), אחרת. )0 0, ( , ) (0,0)f x y a bu∂

= ≠∂

.

וקטור היחידה 2 2 2 2

,b aua b a b

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠) מקיים )0 0, ( , ) 0f x y a b u

u∂

= ⋅ =∂

.

2006פברואר


כלל השרשרת) 3(

תהי 2

( , ) xyf x y e= , נניחcosx t t=ו - siny t t= . יש למצוא אתdfdt

בנקודה 2

t π=.

:פתרון

אדרך : ונקבלy- וxנציב

( )

3 2

3 2

cos sin

cos sin 3 2

( )

'( ) cos sin ' ...

t t t

t t t

f t e

f t e t t t

=

= ⋅ =

בדרך )אם , )f x yגזירה ,( )x tו -( )y tגזירות ו -( )( ) ( ), ( )F t f x t y t= אזי Fגזירה ו -

'( ) f dx f dyF tx dt y dt∂ ∂

= +∂ ∂

:אצלנו

( ) ( )2 22 cos sin 2 sin cosxy xydf y e t t t xye t t tdt

= − + בנקודה +2

t π= : 0x - ו=

2y π=.

2 3

22 2 8t

dfdt π

π π π

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2006פברואר


)4(

)תהי , )f x yנתון. ירה גז: 2) ( , ) 1 , x

f) ( , )x

i f x x

ii x y x

= ∀∂

=∂

2xחשבו את הנגזרת החלקית של 0 , ( , )f x xy∂

≠∂

.

פתרון

2

2

( , ) ( , )

( ) , ( )

fx y x y

t t

t x t y t

⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→

:כלל השרשרת

dF f dx f dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

אנחנו מחפשים את זה

)לפי נתון )i : 2( ) ( , ) 1F t f t t= 0dF אזי =dt

, לכן. =

( ) ( )

( )

( )

( )

(ii)

2

2

0 ( ), ( ) ( ), ( )

( ) ( ), ( )

1 , 2

1, (t 0)2

by

f dx f dyx t y t x t y tx dt y dt

dx f dyx t x t y tdt y dtft t t ty

f t ty

∂ ∂= ⋅ + ⋅ =∂ ∂

∂= ⋅ + ⋅ =

∂∂

= ⋅ + ⋅∂

⇒∂

= − ≠∂

: הכללה( )( )

( ) ( ), ( )

( , ) ( , ), ( , )

F t f x t y t

G u v g x u v y u v

=

=

( ) 2( ) ( ), ( ) ( , )F t f x t y t f t t= =

2006פברואר


)5(

)הוכיחו כי כל פונקציה מהצורה , ) ( ) ( )t x f x ct g x ctω = + + : מקיימת את משוואת הגלים−2 2

22 2c

t xω ω∂ ∂=

∂ ∂

:פתרון

( )'( ) '( )

'( ) 1 '( ) 1

f x ct c g x ct ct

f x ct g x ctx

ω

ω

∂= + ⋅ + − ⋅ −

∂∂

= + ⋅ + − ⋅∂

2

2 22

2

2

''( ) '( )

''( ) 1 ''( ) 1

f x ct c g x ct ct

f x ct g x ctx

ω

ω

∂= + ⋅ + − ⋅

∂∂

= + ⋅ + − ⋅∂

2 2

22 2 c

t xω ω∂ ∂= ⇐

∂ ∂

2006פברואר


אינטגרל פרמטרי: 21תרגול אינטגרל התלוי בפרמטר

:דף עזר להרצאה

2006פברואר


)1(

תהי 2

1

( ) sin( )yF x xe dy= )'חשבו את . ∫ )F x.

:פתרון

)נסמן את , ) sin( )yF x y xe= אז ( , ) cos( )y yf x y xe ey∂

= ⋅∂

fו - fx∂∂

:לפי לייבניץ, לכן. 2בכל ) משתנים2כפונקציות של ( רציפות

( ) ( )

2

2

2

1

2

1'( ) cos( ) cos

1 1sin sin( ) sin( )

y

y

xey y

t xexedt xe dy

t xe

t xe

F x xe e dy tdtx

t xe xex x

==

=

=

= ⋅ = =

= = −

∫ ∫

2006פברואר


)2(

חשבו ( )

1

20 1 2

xdxx+∫.

:פתרון

דיר נג( )

1

20

( )1

xdxF aax

= .F(2)נחפש את . ∫+

)למצוא פונקציה בשני משתנים : הרעיון , )f x a1)2: כך ש )f xa ax∂

=∂ +

ואז

1 1

0 0

( ) ( , ) ( , )f dF a x a dx f x a dxa da∂

= =∂∫ ∫

!נים השוניםצריך להזהר לא להתבלבל בגזירה ובאינטגרציה לפי המשת: הערה

)כדי למצוא , )f x a עושים אינטגרציה לא מסויימת לפי a:

( )21 ( , )

11x da f x a

axax= − =

++∫

:בדיקת תנאי המשפט

[0,1]במלבן [1,3]× fו -fa∂∂

.ת רציפו

( )

1 1

2 Leibniz 0 0

1

0

2 2

1( )11

1 1ln(1 ) ln

1 1 ln(1 ) 1ln(1 )1 ( 1)

ln 3 1(2)4 6

by

x

x

x dF a dx dxda axax

d d aaxda a da a

aa aa a a a a

F

=

=

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟+⎝ ⎠+

+⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + = − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠+⎛ ⎞= − − + = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⇒ = −

∫ ∫

2006פברואר


)3(

)חשבו )1

0

0 ln

b ax xa b dxx−

< < ∫.

פתרון

: נשים לבln

bb at

a

x x x dtx−

= ∫.

)נגדיר , ) tf x t x= . [0,1]פונקציה זו רציפה במלבן [ , ]a b×.

1 1 1

0 0 0

11

0

ln

1 1ln1 1 1

b bb at t

bya afubini

xb bt

a ax

x x dx x dt dx x dx dtx

x bdt dtt t a

=+

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

)4(

תהי

2 2

2 2 2 ( , ) (0,0)( , ) ( )

0 ( , ) (0,0)

y x x yf x y y x

x y

⎧ −≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

?האם אפשר לשנות סדר אינטגרציה.

:האם השוויון הבא מתקיים, לשון אחר

( ) ( )1 1 1 1?

0 0 0 0

( , ) ( , )f x y dx dy f x y dy dx=∫ ∫ ∫ ∫

פתרון

)נבדוק אם , )f x y(0,0) רציפה ב .

! ולכן אין גבולθ-יש תלות ב2 2 2

4 2

(sin cos ) cos(2 )( , ) rf rr rθ θ θθ −

= = −

. (0,0) רציפה בלאהפונקציה

חישוב נותן , אמנם. לכן פוביני לא תופס4π או

4π

. תלוי בסדר האינטגרציה−

2006פברואר


אינטגרל פרמטרי: 22תרגול

: השטח המסומן 0

0

( )

0( )

( ) ( , )x

x

F x f x y dyψ

ϕ

= ∫.

x

yf

( )xϕ

( )xψ

0x

( ), ( )x xϕ ( ), ( )x xψ

2006פברואר


)5(

חשבו 1

20

log(1 )1

x dxx+

+∫.

:פתרון

2נגדיר 0

log(1 )( )1

xI dxx

α αα +=

.I(1) מחפשים את .∫+

( ) ( ) 0ψ α α ϕ α= =

2

log(1 )( , )1

xf xxαα +

=+

.f רציפה במלבן [ ] [ ]0, 2 0, 2×.

2

1 11 1

f xx xα α

∂= ⋅ ⋅

∂ + + . גם רציפה במלבן

): לפי לייבניץ, לכן )

( )

2

2 2'( ) '( )0

( , )

log(1 )' 1 0(1 )(1 ) (1 )

f

xdxIx x

α

ψ α ϕ α

ψ α α

ααα α

+= + ⋅ −

+ + +∫

:נעשה פרוק לשברים חלקיים

2 2(1 )(1 ) 1 1xdx A Bx C

x x x xα α+

= ++ + + +

⇐

2

2

2

11

1

1

A

B

C

αα

ααα

=+

=+−

=+

2

2 2 2 20 0

1 log(1 )1 1 1 1 (1 )

x dxx x

α αα α αα α α α

+ += − +

+ + + + +∫ מהפירוק לשברים חלקיים ∫

2 2

2 2 2 200

1 log(1 ) 1 log(1 )arctan( ) log(1 )1 1 2 1 (1 )

xx

xx

x xα

αα α αα αα α α α α

==

==

+ += + − + + =

+ + + +

2006פברואר


( )( )

2

2 2

2

2 2

2

0

20

1 log(1 )arctan( )1 2 (1 )

1 log(1 )'( ) arctan( )1 2 (1 )1( ) arctan( ) log(1 )2log(1)(0) 0 01

(1) log 28

I

I C

I dx Cx

I

α ααα α

α αα αα α

α α α

π

+= +

+ +

+= +

+ +

= + +

= = ⇒ =+

⇒ =

∫

)6(

f,2יהיו y C∈) הוכיחו שאם ). גזירות ברציפות פעמיים( )y xמקיימת את המשוואה האינטגרלית :

0 0

( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )x x

y x t x y t dt t x f t dt= − − −∫ ∫

: מקיימת את המשוואה הדיפרנציאליתyאז

''( ) 4 ( ) ( )y x y x f x+ (0)' עם תנאי התחלה = 0, (0) 0y y= =.

פתרון

'0 0

0 0

0 0

'( ) 4 ( ) ( ) ( ) 1 (0 ) (0) 0 ( ) ( ) ( ) 1 (0 ) (0) 0

4 ( ) ( )

'( ) 4 ( ) ( )

''( ) 4 ( ) ( )

x x

x x

x x

y x y t dt x x y x x y f t dt x x f x x f

y t dt f t dt

y x y t dt f t dt

y x y x f x

ϕ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − ⋅ − − ⋅ − − + − ⋅ − − ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − +

⇒ = − +

= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

מהמשפט היסודי ולא מלייבניץ

2006פברואר


2006פברואר


אינטגרלים כפולים: 23תרגול

)1(

חשבו את D

ydxdy∫∫ כאשר D1י הישרים " הוא התחום החסום עx = ± ,0y = ,y x=.

אם ) או נורמלי" (תחום פשוט" נקרא Dהתחום : הגדרה{ }1 2( , ) , ( ) ( )D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤

1 כאשר 2,y yרציפות

תחום פשוט אז Dאם : משפט2

1

( )

( )

( , ) ( , )y xb

D a y x

f x y ds f x y dy dx⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫

:בחזרה לתרגיל11 1 12 2 3

1 0 1 10 1

12 2 6 3

y x xx

D y x

y x xydxdy ydy dx dx dx= =

− − −= =−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1x = − 1x =

y x=

D

2006פברואר


)2(

)חשבו את )3 3

D

x y ds+∫∫ כאשר D4י הוא התחום החסום על יד, ,2xx y y x= = =.

.על שני הצירים, כן? ל פשוט"האם התחום הנ

( ) ( )4 4 44 4 4 4

3 3 3 3 3 4

0 0 022

44 54

0 0

4 4 2 64

47 47 75264 64 5 5

y xx

xxD y

y x x xx y ds x y dx x y dx x dx

xx dx

=

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = + = + = + − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= = ⋅ =

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

y x=

4x =

2xy =

D

2006פברואר


)3(

חשבו את D

dxdy∫∫ כאשר D2: חסום על ידי , 1, 2 1 0x y y x y= = + + =.

.xזהו תחום פשוט ביחס לציר

( )21 1

2

1 2 1 1

3 21

1

1 2 1

823 2 3

y

D y

dxdy dx dy y x dy

y x y

− − − −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + =

∫∫ ∫ ∫ ∫

1y =

( 1,0)−

1(0, )2

−

(1,1)

( 1, 1)− −

( 3,1)− 1y =

2 1 0x y+ + =

2x y=

2006פברואר


)4( 2 21 1 4 41 1 2

0 0 0 1 01 1

( , ) ( , ) ( , )y y y

y

I f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy− − − −

+ −

= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.Dציירו את תחום האינטגרציה )אF כאינטגרל מהצורה Iכתבו את )ב dydx⋅∫∫. .Dחשבו את השטח )ג

פתרון

)א

1 2 3D D D D= + + )ב

2

2

2 4

0 2

( , )x

x x

I f x y dy dx−

− +

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

)ג

( ) ( )

2

2

2 4

0 2

22 2 2 3 22 2 2 2

0 0 0 01 of the area of a circle4

1

44 2 4 2 23 2 3

x

x x

D dy dx

x xx x x dx x dx x x dx π π

−

− +

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + − = − + − = + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫

:חישוב עזר

2

2

1 1

1 1

1 2 12

x y

x y

y x xy x x

= − −

− = − −

− = − +

= − +

:חישוב עזר

2 2

4

4

x y

x y

= −

+ =

(0,1)

(1,0) (2,0)(0,0)

1 1x y= − − 1 1x y= + −

(0, 2)

3D

1D 2D

2006פברואר


)5(

20

( , )0

2

y xS x y

x π⎧ ≤ ≤ ⎫⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬

≤ ≤⎪ ⎪⎩ ⎭

sin: חשבו

S

xI dxdyx y

=+∫∫

:וןפתר

( )( )

( )

2 2

00 0 0

2

0

sin sin ln

sin ln 2 ln 2

xy x

y

xI dy dx x x y dxx y

x dx

π π

π

=

=

⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟+⎝ ⎠

= =

∫ ∫ ∫

∫

)sinאבל הפונקציה , ) xf x yx y

=+

0yכי על הישר , למשל. לא רציפה בתחום בגבול 1 מקבלים =

y ואילו על 0-בשאיפה ל x= 1 מקבלים2

.פה בראשיתהפונקציה לא רצי: מסקנה.

).רציפות אחת-כי יש רק נקודת אי(ולכן החישוב בכל זאת תקף , נצדיק שהפונקציה חסומה בתחום?

?

in ourdomain

sin

sin

sin

x Mx y

x M x y

x x x y

≤+

≤ −

≤ ≤ +

1Mחסומה על ידי : מסקנה = .

2π

y x=

2006פברואר


אינטגרלים כפולים: 24תרגול

החלפת משתנים באינטגרל כפול) 6(

arctanD

y dxdyx∫∫ כאשר D2: חסום בין המעגלים 2 2 24, 1x y x y+ = + : והישרים=

3 , , 0y x y x x= = ≥.

r,-נבצע החפלת משתנים ל θ.

1 2 ; 4 3

r π πθ≤ ≤ ≤ ≤

r,במישור : הערה θהתחום הוא מלבן !

23

14

arctan

cossin

cos sin( , )sin cos( , )

D

y dxdy r dr dx

x ry r

x xrx y rJ r

y y rrr

π

π

θ θ

θθ

θ θθθ θθ

θ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

==

∂ ∂−∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂∂∂ ∂

=∫∫ ∫ ∫

22 2 23

14

7...2 2 192

rπ

π

θ π⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎝ ⎠

D

1 2

2006פברואר


)7(

חשבו D

xydxdy∫∫ כאשר D4י ההיפרבולות "חסום ע 9,y yx x

= 2 והפרבולות = 26 , 3y x y x= =.

2: דירנג , vy ux yx

= ,3 כי אז הפרבולות עוברות לישרים = 6u u= =

,4-וההיפרבולות יעברו ל 9v v= =.

2 3 3

3

v v uvy x y ux y uv y uvx y y

v vxy uv

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =

⇒ = =

1 13 3

2 13 3

y u v

x v u−

⎧=⎪⇒ ⎨

⎪ =⎩

2 4 1 13 3 3 3

1 2 2 13 3 3 3

1 1

1 2( , ) 3 3( , ) 1 1

3 31 2 1 19 9 3 3

x x v u v ux y u vJ

y yu vv u v uu v

u uu u

− − −

− −

− −

∂ ∂−

∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂∂∂ ∂

= − − = − =

. הוא לא מתאפס6- ל3נע בין uכש

:כעת נחשב את האינטגרל969 6 9 6 3

2

4 3 4 3 3 4

1 ln 2 2 38ln ln 23 3 3 3 9

u

D u

vxydxdy v du dv u dv vu

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4yx

=

9yx

=2 6y x=

2 3y x=

D

2006פברואר


:הערה( , )( , )u vJx y

∂=∂

. של ההעתקה ההפוכה

:משפט

1JJ

=

)8(

.aוסו שרדי3-של כדור ב Vחשבו נפח

:פתרון

2: י"כדור נתון ע 2 2 2x y z a+ + =

2: חצי הכדור העליון 2 2z a x y= − 2, לכן− 2 2

2 circle

V a x y dxdy= − −∫∫.

( )

22 2

0 0

2 232 2 3 32

0 00

3

2

1 23 3

43

a

r a

r

V a r r dr d

a r d a d a

V a

π

π π

θ

πθ θ

π

=

=

⎛ ⎞⇒ = − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ =

∫ ∫

∫ ∫

x

y

z

2006פברואר


)9(

י "הנתון עחשבו נפח אליפסואיד 2 2 2

1x y za b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

: חצי האליפסואיד העליון2 2

1 x yz ca b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

2 2

12 ellipse

V x yc dxdya b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫

:נבצע החלפת משתניםcoscos

x ary br

θθ

==

כאשר 0 10 2

rθ π

≤ ≤≤ ≤

cos sin( , )sin cos( , )

a arx yJ abrb brr

θ θθ θθ

−∂= = =∂

2 12

0 0

212 3

43

V c r abr dr d abc

V abc

π πθ

π

⎛ ⎞⇒ = − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ =

∫ ∫

x

y

z

2006פברואר


אינטגרל קווי: 25תרגול

γ במישור עקום חלק:

( )( )

x x ty y t==

גזירות ברציפות

a t b≤ ≤

γ :2אורך העקום 2'( ) '( )b

a

L x t y t dt= +∫ .

): באופן כללי אם העקום הוא ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= )' אזי + )b

a

L r t dt= ∫.(

) נתון בצורה מפורשת γאם )y f x= ,a x b≤ 21: אזי. ≥ '( )b

a

L f x dx= +∫.

)1(

( sin )(1 cos )

x a t ty a t= −= −

0 כאשר 2t π≤ .חשבו את אורך העקום. ≥

A

Bγ

a

O B

AθP

px

py

2006פברואר


cospy על הציקלואידה Pהנקודה . ציקלואידהזוהי a a t= −.

sin: בנוסף sinp px at a t x a t OB PB at= − ⇐ + = = = .

22 2 2 2

02

2 2

0

2 22

0 0

2

0

(1 cos ) sin

(2 2cos ) 1-cos =2sin2

4sin 2sin2 2

2 2cos 4 ( 1 1) 82

L a t a t dt

a t dt

t ta dt a dt

ta a a

π

π

π π

π

αα

= − + ⋅ =

⎛ ⎞= − ⋅ = ← ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅ =

⎛ ⎞= − = − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫

∫ ∫

~~~~~~

2 2( ) '( ) '( )t

a

s s t x t y t dt= = .t זהו אורך הקשת עד נקודה ∫+

)אם )s s t= 2 אזי 2'( ) '( ) '( )s t x t y t= ).מהמשפט היסודי (+

הצגה פרמטרית ⇐( )( )

0

x x sy y s

s L

=⎧⎨ =⎩≤ ≤

.

s נקרא פרמטר אורך הקשת.

A

Bγt

2006פברואר


אינטגרל קווי מסוג ראשון

( , )f x y 2 פונקציה סקלרית:f ). γ על f. עקום חלקγ. רציפה→ ( ), ( ))f f x t y t=.

2 2

'( )

( ( ), ( )) '( ) '( )b

a r t

f ds f x t y t x t y t dtγ

⋅ = +∫ ∫.

הערות1fאם )1 . אזי נקבל את אורך העקום≡)י "אם העקום נתון בצורה מפורשת ע )2 )y xϕ= ,אז :

2( , ( )) 1 '( )b

a

f ds f x x x dxγ

ϕ ϕ⋅ = +∫ ∫.

,אם העקום נתון בהצגה פולארית )3 ( )θ ρ θכלומר

( ) cos( )sin

xya b

ρ θ θρ θ θθ

==≤ ≤

אז

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 2

2 2

'( ) '( ) '( ) cos ( )sin '( )sin cos

'( ) ( )

( ( ) cos , ( )sin ) '( ) ( )b

a

x t y t

f ds f dγ

ρ θ θ ρ θ θ ρ θ θ ρ θ

ρ θ ρ θ

ρ θ θ ρ θ θ ρ θ ρ θ θ

+ = − + + =

= +

⇒ ⋅ = +∫ ∫

2006פברואר


)2(

)חשבו את )2 2 2x y z dsγ

+ 2cos כאשר ∫+ 2sin 10 2

t i t j kt

γπ

= ⋅ + ⋅ + ⋅≤ ≤

.

iפתרון

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

22 2 2

0

'( ) 2sin 2cos

2cos 2sin 1 2 20

t t t

f ds t t dtπ

γ

γ

π

= − +

⇒ ⋅ = + + ⋅ =∫ ∫

iiפתרון

:מבט תלת מימדי

):חתך(מבט מהצד

• γ 1 במישור 2 הוא מעגל ברדיוסz =. • fל הוא ריבוע המרחק מהראשית" הנ . • f 5 היא קבועה על המעגל ושווה.

lengthof

5 1 5 4 20f ds dsγ γ

γ

π π⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫

2

x

y

z

1

γ

z

y

1

2

5

2006פברואר


)3(

3)חשבו 4 2 2)x y z dsγ

+ + זה קטע הישר המחבר בין γ כאשר ∫−(2, 5,5)(4, 3,6)

AB

−−

.

פתרון

:הצגה פרמטרית

( )( )

( )

2 4 2 2 2

5 3 5 5 2

5 6 5 50 1

x t t

y t t

z t tt

= + − = +

= − + − + = − +

= + − = +

≤ ≤

'( ) 4 4 1 3tγ = + + =

( ) ( ) ( )1 1 12

00 0

3(2 2 ) 4( 5 2 ) 2(5 ) 2 3 48 18 24 18 6f ds t t t dt t dt t tγ

⋅ = + + − + + + + = − = − =∫ ∫ ∫

2006פברואר


אינטגרל קווי: 26תרגול של ברנולי) lemniscate(הלמניסקטה )4(

)מצאו את מסת העקום )22 2 2 24( )x y x y+ = − ,0x ) בעל צפיפות מסה קווית ≤ , )f x y x y= +. פתרון

. של ברנולי)lemniscate (זוהי הלמניסקטה

( , )m f x y dsγ

= ⋅∫

: העקום בהצגה פולארית

( )22 2 2 2

2

4 (cos sin )

4cos 2

2 cos 2

ρ ρ θ θ

ρ θ

ρ θ

= −

⇒ =

⇒ =

:θמציאת גבולות

0 cos 02 2

x π πθ θ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ ≤

cosבנוסף 2 04 4π πθ θ≥ ⇒ − ≤ ≤

: חיתוך התנאים נותן4 4π πθ− ≤ ≤

( )4 2

( )4

22 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2x y

m

π

πρ θ

θ θ θ θ θ−

⎛ ⎞ −= + ⋅ +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠∫

sin 22

θ2

'( )

cos 2

2 cos 2

d

ρ θ

θθ

θ

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ( ) ( ) ( )2 24

4

4 cos 2 4 sin 2cos sin

cos 2

π

π

θ θθ θ

θ−

++ ⋅∫

[ ]4

4

44

4 (cos sin ) 4 cos sin 4 2

d

d

ππ

ππ

θ

θ θ θ θ θ−

−

⋅ =

= + = − + =∫

2006פברואר


)5(

yחשבו את dsγ

γ 2: כאשר∫⋅ 2 , 0y px p= 2) ועד נקודה O(0,0)מנקודה , ≤ , 2 )A p p.

פתרון

דרך א

2y px=

דרך ב

:פרמטריזציה2

2

0 2

txp

y tt p

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩≤ ≤

22 2

2

0

12

p t py ds t dtpγ

⎛ ⎞⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

2⋅

2332 222

2

0

1 (5 1)3 3

p

t pp

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ + = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(0,0)O

(2 , 2 )A p p

2 p

2 p

2006פברואר


אינטגרל קווי מסוג שניFשדה וקטורי .( , ) ( , ) ( , )F x y P x y i Q x y j= ⋅ + P, כאשר ⋅ Q הנגזרות ( גזירות ברציפות

).קיימות ורציפותהחלקיות

( ) ( )( ), ( ) '( ) ( ), ( ) '( )b

a

F d r Pdx Qdy P x t y t x t Q x t y t y t dtγ γ

⋅ = + = ⋅ + ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫

): אם העקום נתון בצורה מפורשת ) ( ), ( ) , ( ) '( )b

a

P x x Q x x x dxϕ ϕ ϕ+ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫

:אם : הערה

:אז

( , )b

a

F d r P x c dxγ

⋅ =∫ : של השדה לא תורםQ כי רכיב ∫

0

( , )b

a

dyQ x c dxdx∫.

{ }( , )x c a x bγ = ≤ ≤γ

a b

c

2006פברואר


)6(

2: חשבו 2 2 2

y xdx dyx y x yγ

++ ,1) - לA(1,1)הוא הישר המחבר בין γ כאשר ∫+ 3)B.

33

2 11

1 arctan1 3 4 12

F dr dy yyγ

π π π⋅ = = = − =

+∫ ∫

)7(

2חשבו 2( )c

xydx x y dy+ : הוא המסלול המופיע בגרףc כאשר ∫+

( )1 0 0 1

2 2

0 1 1 0

11 0 ...2

I y dy xdx y dy dx= + + + + = =∫ ∫ ∫ ∫

A

B

1

3

1c3c

4c

2c

(0,0)

(0,1) (1,1)

(1,0) x

y

2006פברואר


)8(

Fחשבו את drγ

:עבור , ∫⋅

( )(cos 3 sin ) 2cos 10 2

F y i x j

t t i t jt

γπ

= − ⋅ + ⋅

= + ⋅ + + ⋅

≤ ≤

:פתרון

( )'( ) ( sin 3 cos ) 2( 2sin )

2cos 1

cos 3 sin

t t t i t jP t

Q t t

γ = − + ⋅ + − ⋅

= − +

= +

( ) ( )( )

( )

2

0

2

0

2cos 1 ( sin 3 cos ) cos 3 sin 2sin

2 3 sin 3 cos 2 3(2 ) 4 3

F dr t t t t t t dt

t t dt

π

γ

π

π π

⎡ ⎤⋅ = − + − + + + − =⎣ ⎦

= − + − = − = −

∫ ∫

∫

2006פברואר


משפט גרין: 27תרגול

D תחום קשיר DΓ = ∂) Γ היאה שפה של D( עם מגמה חיובית ) אם הולכים על השפה התחום תמיד ).לשמאלנו

1( , ) ( , ) ( , ) onto F x y P x y i Q x y j C D= ⋅ + ⋅ ∈ :אזי

D

Q PF d r dxdyx yγ

⎛ ⎞∂ ∂⋅ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

)1(

:נתון2 22 2( ) ( )x yF e x y i xy e j= − ⋅ + − ⋅

Fבו חש d rΓ

2 היא Γ כאשר ∫⋅ 2 2x y R+ . בכיוון החיובי=

פתרון

2

2

2

2

x

y

P e x y

Q xy e

= −

= −⇐

2

2

P xyQ yx

∂= −

∂∂

=∂

:אזי לפי משפט גרין שתנאיו מתקיימים

⇐2 2 2

2 2 4 42 2 2

0 0 0 0

( )4 2

RJacobianR

x y R

r RF d r x y dxdy r r dr d dπ π πθ θ

Γ + ≤

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = + = ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

2006פברואר


)2(

2:נתון 2 2 2

y xF i jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fחשבו d rΓ

2 היא Γ כאשר ∫⋅ 2 2x y R+ . בכיוון החיובי=

פתרון

.ובפרט לא מוגדרת, הפונקציה לא רציפה(0,0) מתקיימים בגלל שבנקודה לאתנאי משפט גרין

:חישוב ישיר

:Γפרמטריזציה של ˆ ˆ0 2 , cos sinR i R jθ π θ θ≤ ≤ ⋅ + ⋅

'( ) '( )2 2

2 20 0

sin sin( sin ) ( cos ) 2

QPx y

R RF d r R R d dR R

θ θπ πθ θθ θ θ θ πΓ

⎛ ⎞⎜ ⎟−

⋅ = ⋅ − + ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

:)לו היינו משתמשים במשפט גרין בכל אופן היינו מקבלים תוצאה שגויה (נשים לב

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

(2 )

(2 )

x y x xQ y xx x y x y

x y y yP y xy x y x y

+ −∂ −= =

∂ + +

− + +∂ −= =

∂ + +

0Q Px y

∂ ∂− = ⇐

∂ ∂ ולכן

0

0Q Px yΓ

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫

.אכן נוסחת גרין לא תקפה במקרה זה

2006פברואר


)3(

2:נתון 2 2 2

y xF i jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fחשבו d rΓ

2 היא Γ כאשר ∫⋅ 2( 5) ( 3) 1x y− + − .החיובי בכיוון =

פתרון

0לכן , תנאי משפט גרין מתקיימים) פנים המעגל(Dבתחום D

Q PF drx yΓ

⎛ ⎞∂ ∂⋅ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫.

Γ1

5

3

2006פברואר


)4(

2:נתון 2 2 2

y xF i jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fחשבו d rΓ

100x היא Γ כאשר ∫⋅ y+ . בכיוון החיובי=

פתרון

.D-תנאי משפט גרין לא מתקיימים ב

P,1 מתקיים 1Dאבל בתחום Q C∈ , לכן לפי משפט גרין : by the previous exercise

0

0

2

greenc D

c c

c c

Q PF d rx y

F d r F d r F d r

F d r F d r F d r π

Γ∪

Γ∪ Γ

Γ

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂

⋅ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ = ⋅ = ⋅ + ⋅

⇒ ⋅ = − ⋅ = ⋅ =

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

לביתתרגיל

: נתון השדה( ) ( )2 2

( ) ( )12

o o

o o

y y i x x jFx x y yπ

⎛ ⎞− − ⋅ + − ⋅= ⎜ ⎟

⎜ ⎟− + −⎝ ⎠

1Fהוכיחו כי d r

Γ

⋅ 0 לכל מסלול סגור חלק סביב ∫= 0( , )x yבכיוון החיובי .

Γ

1D

R

c

c בכיוון השלילי

c בכיוון החיובי

2מתרגיל

2006פברואר


)5(

:נתון( )2 22

2 (2 ) 311

y yx e eF i x jxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠+⎝ ⎠

Fחשבו d rΓ

2היא החלק העליון של המעגל Γ כאשר ∫⋅ 2 1x y+ )מהנקודה = .(1,0) - ל−(1,0

פתרון

( ) ( )

( )

2 22 2

11 0

2 2211

2 23 3 321 1

2 (2 ) 1 011

BA BA

y y

greenBA D D

Q Px y

BA

F dr F dr F dr

e x x eF dr dxdy dxdyx x

x eF dr dxxx

F d

π

Γ Γ∪

Γ∪

∂ ∂−

∂ ∂

−−

⋅ = ⋅ − ⋅

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − − + = − = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−⋅ = = − =

++

⇒ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫

∫ ∫

32BA BA

r F dr F dr π

Γ Γ∪

= ⋅ − ⋅ = −∫ ∫ ∫

( 1,0)A − (1,0)B

2006פברואר


:הערה

DΓאם = 1: אז ∂ 1 ( 1 1 ) area of D2 2green Q PQ D DQ

x y

x dy y dx dxdy dxdy∂ ∂Γ∂ ∂

− = + = =∫ ∫∫ ∫∫.

)6(

בו שטח אליפסה חש2 2

2 2 1x ya b

+ =

פתרון

cos: פרמטריזציה של האליפסה sin , 0 2a t i b t j t πΓ = ⋅ + ⋅ ≤ ≤.

⇐

2

'( )0 '( )

1 1 cos cos ( sin ) ( sin )2 2 Q y t P x t

S xdy ydx a t b t b t a t dt abπ

πΓ

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = ⋅ + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

2006פברואר


אי תלות של אינטגרל קווי במסלול, משפט גרין: 28תרגול

1משפט :אזי התנאים הבאים שקולים. Dדה וקטורי רציף על תחום שFיהי

0F מתקיים D- בΓלכל מסלול סגור )1 d rΓ

⋅ =∫.

האינטגרל )2AB

F d r⋅∫ אינו תלוי במסלול המחבר אתAו -B.

3( Pdx Qdy+ו, דיפרנציאל מדויק- ( ) ( )AB

F d r B Aφ φ⋅ = −∫

דיפרנציאל מדוייק :הגדרה

)אם קיימת פונקציה , )x yφפוקנציה סקלרית כך ש :( , ) ( , )F x y P Qϕ∇ = ,)גרדיאנט(=

Qכלומר (yφ∂=

∂P - ו

xφ∂=

∂(,

.שדה משמר נקרא F- וF של פונקצית פונטנציאל כזו נקראת φאזי

2משפט 1Fאם C∈ו - D (1)אזי ) ללא חורים( פשוט קשר, (2), : שקולים גם ל1 ממשפט (3)

)4 (Q Px y

∂ ∂=

∂ ∂

: הערה

2 2 2 2

y xF i jx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Qראינו שמתקיים . Px y

∂ ∂=

∂ ∂אשית לא מקיף את הרΓאם , לכן.

0F 2אז לפי משפט d rΓ

⋅ =∫.

2006פברואר


)7(

2חשבו 22 ( )xydx x y dyΓ

+ 2 הוא רבע אליפסה Γ כאשר ∫+ 29 4 36x y+ - ו(2,0) בין הנקודות =

(0,3).

פתרון

: ורה קנוניתהאליפסה בצ2 2

2 2 362 3x y

+ =

).ניקח אותו כזה(התחום פשוט קשר •• 1F C∈ •

2 2

2 2

2

2

PP xy xy

QQ x y xx

P Q xy x

∂= ⇒ =

∂∂

= + ⇒ =∂

∂ ∂⇒ = =

∂ ∂

Pdxולפיו , מתקיים2לכן משפט Qdy=ואם נמצא את , דיפרנציאל מדויקφאזי :

( ) ( )F d r B Aφ φΓ

⋅ = −∫.

P: יודעים ש: φמציאת xφ∂=

∂P :2 על ∫dxלכן נבצע ,

candidat for

2 ( )xy dx x y yφ

ψ⋅ = +∫.

Q: יודעים גםyφ∂=

∂)רושלכן נד. )2 2 2( )x y y x y

yψ∂

+ = +∂

.

...המשך הפתרון בעמוד הבא

(2,0)A

(0,3)BΓ

2006פברואר


2 2 2

2

3

32

'( )'( )

( )3

( , )3

( ) ( ) (0,3) (2,0) 9 0 9

x y x yy y

yy c

yx y x y

F d r B A

ψ

ψ

ψ

φ

φ φ φ φΓ

⇒ + = +

⇒ =

⇒ = +

⇒ = +

⇒ ⋅ = − = − = − =∫

2006פברואר


)8(

Fחשבו drγ

) עבור ∫⋅ ) ( )4 3 2 2ˆ ˆ10 2 3F x xy i x y j= − ⋅ + − 4 נתון על ידי γ- ו⋅ 3 26 4x xy y− =

.(2,1) לנקודה (0,0)מהנקודה

פתרון

26Q Pxyx y

∂ ∂= − =

∂ ∂

)D1, בסדרF C∈.(

. האינטגרל לא תלוי במסלול⇐

1 2

2 12 1 5 34 2

0 0 0 0

10 1210 12 605 3L L

x yF d r x dx y dyγ

⋅ = + = + − = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5: פונקצית הפוטנציאל. לפי המשפט זהו דיפרנציאל מדויק: רון חלופיפת 2 2( , ) 2x y x x yφ = ולכן −

(2,1) (0,0) 60F d r φ φΓ

⋅ = − =∫.

(2,1)

(0,0)1L

2L

2006פברואר


)9( חשבו

( ){ }

42 2

2 2( , ) 9 16

D

x dxdyx x y

D x y x y

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

= ≤ + ≤

∫∫

פתרון

נגדיר ( )42 2

ˆ ˆ0P

Q

xF i jx y

= ⋅ + ⋅+

1Fאזי . C∈ עלD) לא בתחום(0,0)כי .(

:לפי גרין

( ) ( )1 2

4 42 2 2 2D

P Q x xF dr dy dyx y x y x yΓ Γ Γ

⎛ ⎞∂ ∂− = ⋅ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

=+ +

∫∫ ∫ ∫ ∫

3 4

1Γ

2Γ

:1Γפרמטריזציה של

4cos4sin

goes from 0 to 2

xy

θθ

θ π

==

:2Γפרמטריזציה של

3cos3sin

goes from 2 to 0

xy

θθ

θ π

==

( ) ( )2 0

4 42 20 2

22 2

6 6 6 60

4cos 3cos4cos 3cos4 3

1 1 1 1cos cos4 3 4 3

d d

d

π

π

π

θ θθ θ θ θ

θ θ θ π

+ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜⎠

=

⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

∫ ∫

∫

להוכיחבבית

22

0

cosπ

θ π=∫

2006פברואר


חזרה לבחינה: 29תרגול

)1(

0 הוכיחו שקיימת [0,1]- אינטגרבילית בfתהי 1θ≤ : כך ש≥1

0

( ) ( )f x dx f x dxθ

θ

=∫ ∫.

פתרון

f אינטגרבילית ⇐ 0

( ) ( )t

F t f x dx= .[0,1] רציפה על ∫

(0) 0(1)

FF a

==

סימון

): כך שθ רציפות קיים לפי משפט ערך הביניים לפונקציות )2aF θ =.

⇐ 1

0 0

( ) , ( )2af x dx f x dx a

θ

= =∫ ∫

מאדיטיביות האינטגרל ⇐1

( )2af x dx

θ

.ל" מש∫=

2006פברואר


)2( :פתרו את המשוואה

ln 2 61

x

t

dte

π=

−∫

פתרון

( )

( )

2

2

11

2 11ln 2 2 111

2

!

2 2arctan ( ) 2arctan 1 2arctan(1)( 1)11

2arctan 12 6

x xx

t

t

x e ee x

ts yy e

dy e dt s ydy y sdt dy sdsy

x

dt dy sds s es sy ye

e π π

−−

= −== = −

= +⇒ =⇒ =

= = − − =+−−

= − − =

= =∫ ∫ ∫

( )( )( )

( )

2arctan 12 6

22arctan 13

1arctan 13

1 3

ln 4

x

x

x

x

e

e

e

e

x

π π

π

π

− − =

− =

− =

− =

=

2006פברואר


)3(

]:תהי 1,1]f − (0), גזירה → 0f = ,'(0) 0f ≠.

הוכיחו

2) א

1fn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. מתכנס∑

1f) בn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. מתבדר∑

פתרון

)א

2

0 0 0 0WLOG 2

1( ) (0) ( )0 '(0) lim lim lim lim10

n

x x n nheine n

faf x f f x nc f

x x bn

→ → → →

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠< = = = = =

−

0: כיוון ש nn

n

acb∞←< 0 - ו⎯⎯⎯← nb← n∀ ,0ם שהחל ממקום מסוים ימתקיna לכן לפי מבחן .<

2ההשוואה כיוון ש

1nb

n=∑ 2גם , מתכנס∑

1nf a

n⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑.

)ב

1כיוון ש , לפי אותו פתרוןn∑1גם , מתבדרf

n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. מתבדר∑

2006פברואר


)4(

1נגדיר . [0,5]- פונקציה אינטגרבילית ב0f: נתון0

( ) ( )x

n nf x f t dt−= ∫.

:הוכיחו

) , nלכל )א( )!

n

nM xf x

n⋅

כאשר , ≥[0,5]sup nM f=.

0nf )ב( .[0,5]ש ב" במ→

פתרון )א(

.nהוכחה באינדוקציה על

:בסיס •0n =

0f0. אינטגרבילית ובפרט חסומה 0!

nM xf ⋅≤

1n =

1 0 00 0 0 0

( ) ( ) ( )x x x x

f x f t dt f t dt Mdt M dt Mx= ≤ ≤ = =∫ ∫ ∫ ∫

:צעד האינדוקציה •

1nנוכיח עבור , nבהנחה שנכון עבור +.

1

1

1 1induction hypothesis0 0 0

( ) ( ) ( )! ( 1) !n

x x x n n

n nMt Mxf x f t dt f t dt dtn n n+

+

+ += ≤ ≤ =+∫ ∫ ∫

ל"מש

) ב(

0εבהינתן ) שהחל ממנו N מחפשים < ) 0 , nf x xε− < ∀.

( )

5( ) 0 ( )! !

n n

n nM x Mf x f x

n nℵ

⋅ ⋅− = ≤ ≤.

5אם נראה שהסדרה (!

n

nMa

n⋅

אפשר למשל לפי . ε - מסוים קטן מאזי החל ממקום, 0- שואפת ל=

).מבחן המנה לסדרות

⇐ 0nf .ש" במ→

2006פברואר


)5(

( )2 22 2

12 sin ( , ) (0,0)2( , )

0 (0,0)

x y x yx yf x y

⎧ + ≠⎪ += ⎨⎪⎩

?2- נגזרות חלקיות רציפות בfהאם ל )א( .2- גזירה בfהוכיחו כי )ב(

פתרון

)א(

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 222 2 2 2 2 2

2 222 2 2 2 2 2

1 1 2( , ) 2 sin 2 cos2 2 2

1 1 4( , ) 4 sin 2 cos2 2 2

f xx y x x yx x y x y x y

f yx y y x yy x y x y x y

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ −⎜ ⎟= + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ −⎜ ⎟= + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎝ ⎠

)זה נכון בכל , ) (0,0)x y : ובפרט ≠

2 2

2 2

1 2 1( ,0) 2 sin cos

1 2 1(0, ) 4 sin cos2 2

f x xx x x xf y yy y y y

∂= −

∂∂

= −∂

f, ולכןx∂∂

fובאופן דומה (y∂∂

1כי ניקח למשל ( , (0,0)אינה חסומה בסביבת ) nx

nπולכן , )=

.(0,0)בוודאי אינה רציפה ב )ב(

(0,0)בכל ( , )x y≠ f הנגזרות החלקיות רציפות) א(י כי לפ) דיברנציאבילית( גזירה. .(0,0)נותר להוכיח גזירות ב

(0,0)לכל ( , )x y≠ , 2 2

1sin 12x y

≤+

x,לכן , y∀ , 2 2 ) ( 2( ,* )f x y x y≤ +.

(0,0), בפרט 0f = .

(*)

(*)

0 0 by

0 0 by

( ,0) (0,0) ( ,0)(0,0) lim lim 0

(0, ) (0,0) (0, )(0,0) lim lim 0

h h

h h

f f h f f hx h hf f h f f hy h h

→ →

→ →

∂ −= = =

∂

∂ −= = =

∂

2006פברואר


0Aנציב B= :נקבל . הגזירות בהגדרת =2 2

2 2

2 2 2 2 2 22 2

( , ) (0,0)2 2 2 2 2 2 2 2(*)

( , ) (0,0) ( , )( , )( , )

( , ) 2 2 2 2( 2 )( , ) 2 0x y

f x y f x y x yf x yx yx yf x y x y x y x yx y x yx y x y x y x y

ε

ε

ε →

− = +

=+

+ + += ≤ ≤ ≤ ≤ + ⎯⎯⎯⎯⎯→

+ + + +

⇐ fעל פי הגדרה(0,0) גזירה ב .

2006פברואר


חזרה לבחינה: 30תרגול

)6(

חשבו 0

ln(1 cos )1 , ( )cos

a xa I a dxx

π +< = ∫

פתרון

:נגדיר

ln( cos )( , )cos

1cos

a a xf x ax

fa x

+=

∂=

∂1 cos

1 cosx

a x⋅ ⋅+

: לפי לייבניץ

( )

2

2

2

2 2 2 220 0 0 0

2 22

1

1cos1

20

2 1'( ) 2 21 cos 1 1 (1 ) 1 111

1

2 2 1 1arctan11 1 1 111

xt tg

dtdxt

txt

t

dx dt dt dtI aa x t t a t a a tta

t

dt a a taa a a ata

π ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟

+⎝ ⎠

∞

= = ⋅ = = =+ + + + − + + −⎛ ⎞−

+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟−+ + − +⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫ 2 20

2 021 1

t

a aπ π

=∞

=

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠− −

:לפיכך

2( ) arcsin

1I a da a C

aπ π⇒ = = ⋅ +−

∫

)ב ) 0 : 0I a a= ).לפי האינטגרל המקורי(=(0) arcsin 0 0 0I C Cπ⇒ = ⋅ + = ⇒ =

,0]מלבן מחפשים . צריך להצדיק את השימוש בלייבניץ ] [ , ]

x a

s tπ∈ ∈

) בו × , )f x aמקיימת :

]לכל )1( , ]a s t∈ , 0

( ) ( , )I a f x a dxπ

= . מוגדר∫

)2( fa∂∂

. רציפה במלבן

2006פברואר


)יתקיים מספיק ש) 1(כדי שגם , )f x aנקציה של תהיה רציפה כפוx , לכלaאצלנו . קבועf לא

-מוגדרת ב2π .אבל:

0

2 2

00

0

2

ln(1 cos ) 0lim ( , ) lim ~cos 0

1 sin1 coslim

sin

x x

x

a xf x a LOPx

a xa x a

x

π π

π

→ →

→

+= ⇒

−+

=−

לכן אם נגדיר ( , )

2

2

f x a xf

a x

π

π

⎧ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩

fאזי ). בדיוק בנקודה אחתf-ונבדלת מ( רציפה fאזי

, לכן. אינטגרבילית0

( ) ( , )I a f x a dxπ

= כי (fוהאינטגרל הזה לא שונה מהאינטגרל על , מוגדר היטב ∫

,0]במלבן , לכן).הם שונים זה מזה בנקודה אחת בלבד ] [ 1 ,1 ]π ε ε× − + . יש לייבניץ−

2006פברואר


)7(

2חשבו 24D

x y dxdy−∫∫ כאשר ( ){ }, 0 1, 3 2D x y x y x= ≤ ≤ − ≤ ≤.

פתרון

לכן , זהו תחום פשוט1 2

2 2

0 3

4x

I x y dy dx−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫.

: נחשב: תרגיל עזר

2 2

2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 v'=12' v=y

2

2 2 21 arcsin2

u a yyu

a y

y aJ a y dy y a y dy y a y J dya y a y

yJ y a y a Ca

⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎝ ⎠

= − = − + = − − +− −

⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

:יל המקורינחזור לתרג

21 2 12 2 2 2 2

0 03 3

12 2

02

3

14 4 4 arcsin2 2

1 1 3 34 arcsin1 3 4 arcsin2 2 2 2 3

y xx

y x

yI x y dy dx y x y x dxx

x x x x dxπ

π

π

=

− =

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥

−⎜ ⎟⎢ ⎥= − − ⋅ + = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

2y x=

3y x= −

(0,0) (1,0)

2006פברואר


)8(

:חשבו את שטח הקבוצה A 3

23

0( , ) 0 , 0 , ,

0a bay x by

x y x yc dcx y dx

< <⎧ ⎫≤ ≤∈ > >⎨ ⎬< <≤ ≤⎩ ⎭

:נגדיר 3

3

3 3

xy y vxu

x xu uy x

= =

⇓ ⇓

= =

:Jמחפשים את

כדאי לפי (1

1J −

) ).טמשפ(

1יוצא 8

Juv

1: ואז השטח המבוקש הוא=8

b d

a c

dudvuv∫ ∫.

3xya

=3xy

b=

3y dx=

3y cx=

2006פברואר


)9(

)תהי , )F P Q=גזירה ברציפות בתחום :{ }2 \ (2,0), (1,1), שדה משמר בכל F-נתון גם ש. (2,1) : נסמן. ל"הנקודות הנ 3מסלול סגור שלא מכיל את

( )1, 2,3, 4j

jI Pdx Qdy

jγ

= +

=

∫

.מכוונות נגד כיוון השעון, הן המסילות המופיעות בציורjγכאשר

1: הוכיחו 3 2 4I I I I+ = +

(1,1)C (2,1)B

(2,0)Ax

y

1γ

2γ

1γ

3γ

BL

AL

2006פברואר


פתרון

1

2

3

4

1

2

3

4

0

0

0

0

L LA B

L L LA B C

L LA C

LA

J F d r

J F d r

J F d r

J F dr

γ

γ

γ

γ

∪ ∪

∪ ∪ ∪

∪ ∪

∪

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

∫

∫

∫

∫

1 3 1I I J

⇒

+ = 3

A BL L

J− − +∫ ∫

2 4 2

A CL L

I I J

− −

+ =

∫ ∫

4

A B CL L L

J− − − +∫ ∫ ∫

1 3 2 4

AL

I I I I

−

⇒ + = +

∫

1γ

BL

AL

2006פברואר


דפי עזר להרצאה: נספחים

zexcq �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�leabd zxcbd�irah N � N�� miiw � � � lkl m� an ��

n ��L ik xn�p �dxcq fang�n�� idz

�jan � Lj � � f� n � N m�y jk

�mihtyn

dneqg �� zqpkzn dxcq ��

zqpkzn �� dneqge zipehepen dxcq ��

�cigi �ed f� �leabl zqpkzn dxcq m� ��

�f� �bn �� b �e an �� a m� �

an � bn �� a� b ��

anbn �� ab a�

�b �� an

bn�� a

bb�

�anbn �� f� �dneqg fbng �e �an �� m� ��

� uiacpqd llk� cn�� L f� ��n a

n� c

n� b

n�e b

n�� L �a

n�� L m� ��

�a � �� limn��

n

pa � � ��

limn��

n

pn � � ��

limn��

��

x

n

�n

� ex � limn��

��

�

n

�n

� e ��

� limn��

n

pan� L f� � lim

n��

an��

an� L miiwzne ��n an � � m� ��

�

zexcq �yepa � xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�mihtyn

� limn��

an �� e �� an �� zniiwnd dxcq fang�n�� idz ��

� limn��

��

�

an

�an

� e if�

�leab eze�le �zqpkzn dly dxcq�zz lk f� �zqpkzn dxcq fang�n�� m� ��

�eil� zqpkzn �id f� �cigi iwlg leab yi dxcql m� ��

�zqpkzn dxcq�zz yi dneqg dxcq lkl �q�xhyxiie�epvlea �

�if� �dxcq fang idz �

�dxcqd ixa�n � yi L ly daiaq�� lka �� iwlg leab �ed L

�if� �dneqg dxcq fang idz ��

�liman � liman �� zqpkzn fangjk N miiw � � � lkl �� xvd oaena zqpkzn fang �iyew oeixhixw ��

�jam � anj � � f� m�n � N m�y

�yxeyd ogan ��

�if� � limn��

n

pan � q zniiwnd ziaeig dxcq fang idz

limn��

an � �� q � �

limn��

an�� q � �

�dpnd ogan ��


an��

an� q zniiwnd ziaeig dxcq fang idz

limn��

an � �� q � �

limn��

an �� q � �

�

zeivwpet �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�dakxd �zixefgn �sxb �zibef�i��zibef �dpenz �xewn �geeh �megz �divwpet �mibyen

�zixhpnl� �zcxei�dler�zipehepen �dkitd �lr �r��gg

�lre r��gg f �� dkitd f �htyn

a dcewpl ile� hxt� x � a dcewpd zaiaqa zxcbend divwpet f�x� �zexcbd

��dnvr

m�y jk � � � miiw � � � lkl m� limx�a

f�x� � L �y xn�p �

�jf�x�� Lj � � f� � � jx� aj � �

a �l zqpkzny fxng�

n��dxcq lkl m� lim

x�a

f�x� � L � �� l lewy� �

�L�l zqpkzn ff�xn�g�

n��dxcqdy miiwzn ��n xn �� a zniiwne

�zetqep zexcbd

�miiccv�cg zeleab ��eke limx��

f�x� � L �limx�a

f�x� ��

�mihtyn

�cigi �ed f� limf�x� leabd miiw m� �

�a zaiaqa dneqg f f� �a�a zxcben f�o limx�a

f�x� � L miiw m� �

�mieye miniiw miiccv�cgd zeleabd �� miiw limx�a

f�x� leabd ��

�zeleab ly oeayg illk ��

miiwzn �dnvr a�l ile� hxt x � a zaiaqa m� ��uiacpqd llk ��L � lim

x�a

f�x� � limx�a

h�x� miniiwe f�x� � g�x� � h�x�

�L � limx�a

g�x� miiw mb f�

�limx�a

f�x�g�x� � � f� limx�a

g�x� � � �e x � a zaiaqa dneqg f�x� m� ��

� limx��

��

x

�x

� e �limx��

sinx

x� � �miiyeniy zeleab ��

x � x� dcewpa zxcbend zixhpnl� divwpet f�x� m� �� limx�x�

f�x� � f�x�� f�

� � � miiw � � � lkl �� iteqe miiw limx�a

f�x� leabd �iyew oeixhixw ��

�jf�y�� f�x�j � � f� � � jy � aj � � �e � � jx� aj � � m�y jk

zetivx zeivwpet �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�dxcbd� limx�a

f�x� � f�a� m� a dcewpa dtivx �xwiz f divwpet

�dlewy dxcbdm�y jk � � � miiw � � � lkl m� a dcewpa dtivx �xwiz f divwpet

�jf�x�� f�a�j � � f� jx� aj � �

�zetivx�i� zecewp ibeq

�f�a� �n dpey j� �miiw limx�a

f�x� leabd �dwilq ��

�mieey mpi� j� �miiteqe miniiw limx�a

�

f�x� �e limx�a

�f�x� zeleabd �I beq �a

�iteqe miiw epi� zegtl miiccv�cgd zeleabd cg� �II beq �b

�mihtyn

��g�a� �� y i�pza�f

g�fg �f � g mb f� �a�a zetivx g �f m� ��

�a�a dtivx f � g f� �g�a��a dtivx f�e a�a dtivx g m� �

�dzxcbd megza dtivx zixhpnl� divwpet �

�mibyen�xebq�gezt rhwa zotivx �l�nyn zetivx �oinin zetivx

�mihtyn

miiw f� �micbepn mipniq f�b� �e f�a� �le �a� b� xebq rhwa dtivx f m� ��f�x� � � �y jk x � �a� b�

jk x � �a� b� miiw f�b� �e f�a� oia y jxr lkl f� ��a� b� �a dtivx f m� � �f�x� � y �y

�my dneqg f f� ��a� b� �a dtivx f m� ��

�meniqwne menipin my zlawn f f� ��a� b� �a dtivx f m� ��

rhw �id f ly dpenzd �� dtivx f f� �zipehepen f �a� b� � R m� ��xebq

dtivx f�� e dkitd f f� �ynn zipehepene dtivx f �a� b� � R m� ��zipehepene

�ynn zipehepen �id f� �dkitde dtivx f �a� b�� R m� ��

�

zexfbp �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

limh��

f�x��h��f�x��h

� L leabd m� �x� zaiaqa zxcben f idz �dxcbd

�L � f ��x�� onqp �x��a dxifb f ik xn�p �iteqe miiw

�f ��x�� limx�x�

f�x��f�x��x�x�

�dlewy dxcbd

�x��a zexifb g �f �dxifb illk

�mekq ly zxfbp� �f � g��x�� f ��x�� g��x��

c � R �cf��x�� c � f ��x��

�dltkn ly zxfbp� fg� � f �g � g�f ��

�dpn ly zxfbp� g�x��

�f

g

��

�f �g � g�f

g��

�mihtyn

x��a dtivx f � x��a dxifb f �

f� f�x�� y��a dxifb g�e x��a dxifb f m� �zxyxyd llk ��

�g � f��x�� g��y�� f��x�� z �

��ziniptd zxfbpd��

�if� �f ��x�� e �x��a dxifb �x� zaiaqa r��gge dtivx f idz ��

zaiaqa zxcbend �g dketd divwpet x� zaiaqa f�l zniiw ��y� � f�x��

�g��y��

f ��x��e �y��a dxifb g �a�

�f� minrt n zexifb g �f m� �deab xcqn zexfbp

�f � g��n� � f �n� � g�n� ��

�cf��n� � c � f �n� ��

�fg��n� �nP

k��

�n

k

�f �k�g�n�k� �uipaiil ��

zeixhpnl� zexfbp � ��qyz aia� � �n� ��ecg

divwpetd zxfbpd

c �

x�

�x��

sinx cosx

cos x � sinx

tgx �

cos� x

ctgx ��sin� x

ex

ex

ax

ax ln a

lnx �

x

logax

�

x lna

arcsinx �p��x�

arccos x �

�p��x�

arctgx �

��x�

arcctgx �

�

��x�

sinhx cosh x

cosh x sinhx

�

zexfbp �yepa II xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�mihtyn

�menipin e� meniqwn zcewp x� idze ��a� b��a zxcben f idz�f ��x�� if� �dxifb f da

�� Fermat�

if� �f�a� � f�b� zniiwne ��a� b��a dxifb ��a� b� lr dtivx f idz�f ��x�� y jk x� � �a� b� miiw

�� Rolle�

jk x� � �a� b� miiw if� ��a� b��a dxifbe �a� b� lr dtivx f idz

�f ��x�� f�b��f�a�

b�a�y

�� Lagrange�

lkl g��x� �� e ��a� b��a zexifb ��a� b��a zetivx g �f eidi�y jk x� � �a� b� wp zniiwe �g�a� �� g�b� if� �x � �a� b�

�f�b��f�a�g�b��g�a�

� f ��x��g��x��

� �Cauchy�

idie ��f ��b� �f ��a� zeniiw dvwd zecewpa� �a� b��a dxifb f idz

�f ��x�� c �y jk x� � �a� b� miiw if� �f ��a� � c � f ��b�

� �Darboux �

�rhwa dreaw f � rhwa x lkl f ��x� � � ��

�f�x� � g�x� � c �y jk c miiw � rhwa x lkl f ��x� � g��x� ��

�dler zipehepen f � rhwa x lkl f ��x� � � ��

�zcxei zipehepen f � rhwa x lkl f ��x� � �� limx�c

f ��x� miiwe ��a� b��fcg �a dxifb ��a� b� �a dtivx f idz

�f ��c� � limx�c

f ��x� mbe c �a dxifb f if� �a � c � b

��

lhitel llk

�limx�a

f ��x�g��x� � L miiwe lim

x�af�x� � lim

x�ag�x� � � m� �x � a �� dxwnd

�limx�a

f�x�g�x� � L if�

��

� limx��

f ��x�g��x�

� L miiwe limx��

f�x� � limx��

g�x� � � m� �x�� dxwnd

� limx��


�a

�limx�a


x�af�x� � lim

x�ag�x� � � m� �x � a ��

�dxwnd

�limx�a


�b

� limx��


x��f�x� � lim

x��g�x� �� m� �x��

�dxwnd

� limx��


�c

�

xeliih htyn �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�htyndaiaqa idylk dcewp x idze �a dcewp zaiqa minrt n�� dxifb divwpet f idz

�y jk x �l a oia c dcewp zniiw if� �ef

f�x� � f�a��f ��a�

��x� a��

f ��a�

��x� a��

f �n��a�

n��x� a�n�Rn��x�

��fpxbl zxeva� zix�yd Rn��x� �f �n��c��n��

�x� a�n�� xy�k

�miiyeniy xeliih igezit

�� ex � � � x�x�

��

x�

��

xn

n��Rn��x�

�� sinx � x�x�

��

x�

��

x

��

��nx�n��

��n � ��R�n��x�

� cosx � ��x�

��x

��

x�

��

��nx�n

��n��R�n��x�

�� ln�� x� � x�x�

��

x�

�

x

��

��n��xn

n�Rn��x�

��

�� x� � � x� x� � � � �� xn �Rn��x�

� arctan x � x�x�

�

x�

�

x

��

��nx�n��

�n � ��R�n��x�

�� arcsinx � x�x�

�

�

��

��x�

� � � �

� � �� n� ��

� � � � � � � � � ��n��x�n��

�n � ��R�n��x�

�x lkl mipekp cr mitirq �dxrd�jxj � � �l wx miqgiizn � cr � mitirq

minieqn milxbhpi� �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

oecir �dwelg xhnxt �onix inekq �eaxc inekq � �mibyen

aRaf�x�dx � � �� millk

bRaf�x�dx � �

aRbf�x�dx �a

bRaf�x�dx �

cRaf�x�dx �

bRcf�x�dx �zeiaihic�� b

f�x� � � ��bRaf�x�dx � � �c�� bR

af�x�dx

�� bRajf�x�jdx �d

g � f ��bRag�x�dx �

bRaf�x�dx �e

m � f�x� �M �� m�b� a� �bRaf�x�dx �M�b� a� �f

bRacf � c

bRaf �

bRaf � g �

bRaf �

bRag �zeix�pil� �g

�mihtyn

�ziliaxbhpi� f �� zipehepen f ��

�ziliaxbhpi� f �� dtivx f �

�ziliaxbhpi� f �� dneqg f e� iteq zecewp xtqnl hxt dtivx f ��

�� dcinn �id f ly zetivxd i� zecewp zveaw �� ziliaxbhpi� f ��

jxr z�e� zeiliaxbhpi�d z� dpyn epi� zecewp ly iteq xtqna f iepiy � ��lxbhpi�d

��a� b� � �c� d� lk lr ziliaxbhpi� f �� a� b� lr ziliaxbhpi� f ��

�ziliaxbhpi� fg �� zeiliaxbhpi� f� g ��

�ziliaxbhpi� jf j �� ziliaxbhpi� f ��

y jk c � �a� b� zniiw �� dtivx f �miipiad jxr� ��

bZa

f�x�dx � �b� a� f�c�

�

�dtivx F �x� �xRaf�t�dt �� ziliaxbhpi� f ��

�F ��x� � f�x� e dxifb F �x� �xRaf�t�dt �� dtivx f �iceqid htynd� ��

�bRaf�x�dx � F �b��F �a� if� �f ly dnecw divwpet F m� �oeheip zgqep� ��

�if� �zeiliaxbhpi� zexfbp mr zexifb u� v m� �miwlga divxbhpi��

Z b

au�x�v��x�dx � u�x�v�x�

��ba�Z b

au��x�v�x�dx

�dxifb �lr � � �� a� b� ��a� b� a dtivx f m� �davdd zhiy� ��if� �� b �� a e ziliaxbhpi� ��

Z b

af�x�dx �

Z �

�f��t��t�dt

�� ed ixhniq megza zibef i� ziliaxbhpi� divwpet ly lxbhpi� ��

�if� �zeiliaxbhpi� f� g m� �uxeeyiyew oeieey i��

Z b

ajf�x�g�x�jdx �

�Z b

ajf�x�j�dx

��

�Z b

ajg�x�j�dx

��

c � �a� b� miiw if� �ziliaxbhpi� g � � e dtivx f m� ��

�bRafg � f�c�

bRag y jk

if� �ziliaxbhpi� ge �ziliaxbhpi� f � �dxifbe zipehepen f m� ��

�bRafg � f�a�

cRag � f�b�

bRcg y jk c � �a� b� miiw

�ze�gqep

L �bRa�x��t�� y��t��

��dt �zyw jxe�

L �bRa� � y��x��dx

v � �bRaf��x�dx �aeaiq seb gtp

mieqn��ld lxbhpi�d �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

�miiciin milxbhpi�

Zx�dx �

x��

� � �� c ��

Zdx

x� ln jxj� c

Zexdx � ex � c

Zsinxdx � � cos x� c

Zcos xdx � sinx� c

Zdxp�� x�

� arcsin x� c

Zdx

� � x�� arctan x� c

Zdx

cos� x� tan x� c

�divxbhpi� zehiy

miiciin hrnke miiciin milxbhpi� ��Z

uv� � uv �Z

u�v �miwlga divxbhpi� ��

�miiwlg mixayl wexit� zeilpeivx zeivwpet ly divxbhpi� ��Z

f�x�dx �x��t�

dx��t�dt

� � � �davdd zhiy �

�

�zeiyeniy zeavd

dx � �dt � x � � � t ��

dt

t�

dxp� � x�

t � x�p� � x� �xlie� �a�

tanx

�� t

dx ��dt

� � t�

sinx ��t

� � t�

cosx �� t�

� � t�

�zeixhnepebixh �b�

�

millken milxbhpi� �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

ze�qxb oaenk yi ��Ra

dxevdn millken milxbhpi� xear gqepn scd

�xbhpi� zeivwpetd ik gipp scd jxe�l �zeneqg �l zeivwpet xear zeliawn�a � x lkl ��a� x� mixebq mirhwa zeilia

�iteqe miiw leabd m��Ra

f�x�dx � limu��

uRa

f�x�dx �dxcbd ��

�x� y � M m�y jk M miiw � � � lkl �� qpkzn�Ra

f �iyew ogan ��

�� yRx

f

�� if�

�dneqg g�x� �xRa

f�t�dt divwpetd �� qpkzn�Ra

f if� �f � � idz �

�qpkzn�Ra

f �� qpkzn�Ra

jf j �

�qpkzn�Ra

g �e dtivx g �dtivx f � �dneqge zipehepen f m� �la� ogan ��

�qpkzn�Ra

fg if�

xRa

g �e dtivx g �dtivx f � � f�x� ��x��

� �zipehepen f m� �dlkixic ogan ��

�qpkzn�Ra

fg if� �dneqg divwpet

�x f�x� � c � g�x� �y jk c miiw m�e �zeilily i� f� g m� �d�eeydd ogan � �if�

�qpkzn�Ra

f �� qpkzn�Ra

g ��

�xcazn�Ra

g �� xcazn�Ra

f �a�

�

� limx��

f

g� L �y jk � � L � miiwe zeilily i� f� g m� �II d�eeydd ogan ��

�eicgi mixcazne miqpkzn�Ra

g �e�Ra

f if�

�p � � �� qpkzn

�Z�

dx

xp��

��b � a

�� bRa

f�x�� c �y jk c reaw miiwe dtivx f m� ��

�� lkl qpkzn

�Z

a

f�x�

x�if�

�zetivx f � �e g ik dgpdd �ll mb gikedl ozip � �e � mitirq z� �dxrd

�

mixeh zeqpkzdl mipgan �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

� limn��

an � � �edPan zeqpkzdl igxkd i�pz ��

��a�� lr zcxei zipehepen ziaeig divwpet f�x� idz �lxbhpi�d ogan ��if� �f�n� � an �y jk

�qpkzn�Ra

f�x�dx �� qpkzn�Pn��

an

�mieqn n�n an � M � bn �zeiaeig zexcq fbng � fang �d�eeydd ogan ��if�

�qpkznPan �� qpkzn

Pbn �

�xcaznPbn �� xcazn

Pan a

� limn��

an

bn� L �zeiaeig zexcq fbng �fang �d�eeydd ogan ly dllkd ��

�eicgi mixcazne miqpkznPbn �e

Pan if� �� L ��


an��

an� � �ziaeig dxcq fang �dpnd ogan ��

lim� � witqn qpkznPan ��

lim � � witqn xcaznPan �� a

�lykp ogand � � � b

�� qpkzn�Xn��

�

np�

�y jk N�� miiw � � � lkl �� qpkznPan �iyew ogan ��

�p � n � N�� lkl jan � an�� apj � �

�dneqg ely miiwlgd minekqd zxcq �� qpkzn ilily�i� xeh ��


n

pan � � �ziaeig dxcq fang �yxeyd ogan ��

qpkznPan ��

xcaznPan �� a

�lykp ogand � � � b

�

Pna�n �e

Pan if� �zcxei zipehepen ziaeig dxcq fang �zelilcd ogan ��

�eicgi mixcazne miqpkzn


n

�� an��

an

�� L �ziaeig dxcq fang �da�x ogan ��

qpkznPan �� L � � �

xcaznPan �� L � � a

�lykp ogand L � � b


lnn�� n

�an��

an

�� L �ziaeig dxcq fang �da�xl xetiy ��

�lirl �� d�x

�nan �n��

� �� qpkznPan �zcxei zipehepen ziaeig dxcq fang ��

n an�� an ��nan �

n��

�zniiwnd ziaeig dxcq fang �uipaiil htyn ��

�mekqd � S miiwzn oke �qpkznP��nan �if�

jSj � ja�j �jS � Snj � jan��j a

�sexivd weg ��

qpkzn miixbeq zqpkd i��r epnn xvepd xeh lk f� �qpkznPan m� �

�mekq eze�le ��ed s�

�xcazdl el mexbl dleki qpkzn xeha miixbeq zgizt a

�oekp �l a f� �oniq eze� ilra mixa�d miixbeq lka m� b

�seligd weg ��

xcq iepiy i��r epnn xvepd xeh lk if� �hlgda qpkznPan m� �

�mekq eze�le �hlgda �ed s� qpkzn mixa�d

el mexbl mixa�d xcq iepiy i��r ozip f� �i�pza qpkznPan m� a

�xcazdl e� �mekq lkl qpkzdl

�qpkznPanbn f� �dneqge zipehepen fbng �qpkzn

Pan m� �la� ogan ��

fbng �e �dneqgPan ly miiwlgd minekqd zxcq m� �dlkixic ogan ��

�qpkznPanbn if� ��l zipehepen zt�ey

�

zewfg ixehe y��na zeqpkzd �yepa xfr sc � ��qyz aia� � �n� ��ecg

N�� miiw � � � lkl m� I megza y��na f�x� �l zqpkzn ffn�x�g �dxcbd

�x � I lkl �jfn�x�� f�x�j � � miiwzn n � N�� lkly jk

x � I lkle � � � lkl m� I megza zizcewp f�x� �l zqpkzn ffn�x�g �dxcbd

�jfn�x�� f�x�j � � miiwzn n � N�� x� lkly jk N�� x� miiw

m�y jk N�� miiw � � � lkl �� I megza y��na fn �� f �iyew oeixhixw

�x � I lkl jfm�x�� fn�x�j � � f� m�n � N��

minekqd zxcq m� I megza y��na qpkzn�Pn��

fn�x� zeivwpet xeh �dxcbd

�y��na zqpkzn Sk�x� �kP

n��fn�x� miiwlgd

�mihtyn

�if� �Mn � supx�I

fjfn�x�� f�x�jg onqpe �I megza zizcewp fn �� f m� ��

limn��

Mn � � �� y��na fn �� f

�if� �zetivx fn �zipehepene zizcewp fn �� f �f� fn � �a� b� �� R m� �

dtivx f �� y��na fn �� f

�dtivx fn �� y��na qpkzn�Pn��

fn�x� �

miiwn I megz lr�Pn��

fn�x� zeivwpet xeh m� �q�xhyxiie ly M ogan� �

if� �qpkzn �ilily�i�� xeh�Pn��

Mn �e �x � I lkle n lkl jfn�x�j � M

�y��na qpkzn�Pn��

fn�x�

�a� b� rhwa zeiliaxbhpi� zeivwpet ffn�x�g m� �xai��xai� divxbhpi��

if� �f�x� �l y��na qpkzn�Pn��

fn�x� xehd�ffn�x�g dxcqd m�e

�

�miiwzne �a� b� rhwa ziliaxbhpi� f

limn��

Zb

a

fn�x�dx �

Zb

a

f�x�dx

��

Zb

a

limn��

fn�x�

��dxcql

�Xn��

Zb

a

fn�x�dx �

Zb

a

f�x�dx

��

Zb

a

�Xn��

fn�x�

��xehl

�millken milxbhpi�l �l �dxrd

��a� b� rhwa zetivxa zexifb zeivwpet ffn�x�g m� �xai��xai� dxifb� ��

�mieqn x� � �a� b��a zizcewp qpkzn�Pn��

fn�x� xehd�ffn�x�g dxcqd

��a� b� �a y��na qpkzn�Pn��

f �n�x� zexfbpd xeh

�ff �

n�x�g zexfbpd zxcqe

�if�

�rhwa y��na qpkznP

fn�x� xehd�ffn�x�g dxcqd ��

�rhwa dxifb f�x� leabd zivwpet �a�

� limn��

f �n�x� � f ��x�

�� lim

n��

fn��

��dxcql �b�

��Xn��

f �n�x� � f ��x�

�� X

fn��

��xehl

�� mieqn x � � xear qpkzn�Pn��

anxn zewfg xeh m� �Abel htyn� ��

�jxj � � lk xear hlgda qpkzn xehd if�

�i��r oezp zeqpkzdd qeicx �zewfg xeh�Pn��

anxn idi �xncd�iyew htyn� ��

R ��

limn��

n

pjanj

�i��r oezp zeqpkzdd qeicx �zewfg xeh�Pn��

anxn idi �xanlc htyn� ��

�miiw leabdy i�pza R � limn��

anan��

�ezeqpkzd megza lkend xebq rhw lka y��na qpkzn�Pn��

anxn zewfg xeh ��

�f�x� enekq z� onqpe �R zeqpkzd qeicx lra zewfg xeh�Pn��

anxn idi ��

�if�

�xehd ly ezeqpkzd megza dtivx f�x� ��

�xehd ly ezeqpkzd megza xebq rhw lka ziliaxbhpi� f�x� �a�

�miiwzneZx

�

f�t�dt �

Zx

�

��Xn��

antn

�dt �

�Xn��

an

Zx

�

tndt ��Xn��

an

n �xn��

�zeqpkzd megz eze� zegtle zeqpkzd qeicx eze� df xehle

�miiwzne �R � x � R dcewp lka dxifb f�x� �b�

f ��x� �

��Xn��

anxn

��

�

�Xn��

nanxn��

�zeqpkzd megz eze� xzeid lkle zeqpkzd qeicx eze� df xehle

rval�xefbl xzen �zewfg xeh ly zeqpkzdd megz jeza dcewp lka �hxta

�xai��xai� divxbhpi�

if� ��R�R� �a f�x� �P

anxn m� �zewfg xehk divwpet zbvd zecigi� ��

�an �f �n��

nmiiwzne xcq lkn dxifb f

�n lkle x � ��r� r� lkly jk M yie ��r� r� �a xcq lkn dxifb f m� ��

�if� �jf �n��x�j �M

��r� r� �a x lkl f�x� ��Xn��

f �n��

nxn

xeliih xeh ly mekqd �id f if� �szeyna zeneqg zexfbpd m� xnelk�

��dly

�f��x� ly zewfg xehP

anxn m� ��

�if� �f��x� ly zewfg xehP

bnxn �e

�P

anxn ly zeqpkzdd megza �f��x� ly zewfg xeh

P�anx

n ��

inegz �l jiiyy x lka f� f� ly zewfg xehP

�an bn�xn �a�

�zeqpkzdd

inipt x lka f�f� ly zewfg xehP

cnxn if� �cn �

nPk��

akbn�k xicbp �b�

�zeqpkzdd inegz ly

תרציפווגבולות : ד� עזר בנושא פונקציות של שני משתני�� 2אינפי

גבולות

Lyxf נאמר ש:הגדרהbayx

=

→

),(lim),(),(

� כ� ש δ<0 קיי� ε<0א� לכל

δ<−+−<22 )()(0 byax ⇐ ε<− |),(| Lyxf.

δδ: סוח שקולני( <−<− ||,|| axby , 0|||| �ו axby −+−< ⇐ ε<− |),(| Lyxf.(

Lyxf ):היינה(הגדרה שקולה bayx

=

→

),(lim),(),(

המקיימת א לכל סדרת נקודות

),(),(),( bayxbannn ⎯⎯ →⎯≠∞→

, Lyxf מתקיי nnn=

∞→

),(lim.

) : נישני�גבולות )),(limlim00

yxfxy →→

, ( )),(limlim00

yxfyx →→

.

: משפטי�

.אריתמטיקה של גבולות .1

),( �א� ל .2 yxf יש גבולות שוני� כאשר ),( yx שוא� ל � ),( baלאור� מסלולי� שוני� ,

),( �אז אי� ל yxf גבול ב � ),( ba.

lim),(א� קיי� הגבול .3),(),(

yxfbayx →

.אז ה� שווי�, וג� קיי� אחד מהגבולות הנישני�

),(תהא : מעבר לקואורדינטות פולריות .4 yxfא� . ני משתני� פונקציה של ש

)()())sin(),cos(( θθθ GrFrrf )(0ומתקיי� , =0⎯⎯→⎯→r

rF ו � )(θGאז , חסומה

0),(lim)0,0(),(

=

→

yxfyx

.

רציפות

נאמר ש :הגדרה ),( yxf רציפה בנקודה ),( ba �א ),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

=

→

.

: �משפטי

1. ),( yxf רציפה בקבוצה סגורה וחסומה ⇐ f�חסומה ומקבלת מינימו� ומקסימו 2. ),( yxf סגורה/פתוחה( רציפה בקבוצה קשירה (⇐ fר� מקיימת את תכונות ע

.הביניי�

RRf :הגדרה →2RDש בתחו� " תיקרא רציפה במ:2 כ� δ<0 קיי� ε<0 א� לכל ⊇

Dyxשלכל ),(>δ: מתקיי�,∋ yxd ⇐ ε<− |)()(| yfxf.

),,(),(כא� ( 2121 yyyxxx == .(

),( :משפט yxf רציפה בקבוצה סגורה וחסומה ⇐ fש" רציפה ש� במ.

פונקציות של שני משתני�גזירות של ד עזר בנושא � 2אינפי

),( יהא :הגדרה 21 uuu 12: טור יחידה וק=2

21 =+ uu . נגזרת מכוונת בכיוו�uהיא :

h

yxfhuyhuxfyx

u

fh

),(),(lim),( 002010

000

−++=

∂

∂

→

).בתנאי שהגבול קיי� (

: u=)0,1( או u=)1,0(נגזרת חלקית היא מקרה פרטי עבור

h

yxfyhxfyx

x

fh

),(),(lim),( 0000

000

−+=

∂

∂

→

h

yxfhyxfyx

y

fh

),(),(lim),( 0000

000

−+=

∂

∂

→

),( :הגדרה yxf (בנקודה ) דיפרנציאבילית( תיקרא גזירה,( 00 yx א� קיימי� קבועי� BA, כ�

: ,khשלכל 22

0000 ),(),(),( khkhBkAhyxfkyhxf ++++=++ α

),(0כאשר )0,0(),( ⎯⎯⎯⎯ →⎯→khkhα.

: שפטי�מ

),(א� .1 yxf גזירה בנקודה ),( 00 yxאז היא רציפה בה .

),(א� .2 yxf גזירה בנקודה ),( 00 yxומתקיי�, אז יש לה בה נגזרות חלקיות :

),(),,( 0000 yxy

fByx

x

fA

∂

∂=

∂

∂=.

),( �א� ל .3 yxf חלקיות בסביבת יש נגזרות),( 00 yx ונגזרות אלה רציפות בנקודה

),( 00 yx , אז),( yxf גזירה בנקודה ),( 00 yx.

),(א� .4 yxf גזירה בנקודה ),( 00 yx , אז הנגזרת המכוונת של),( yxf בכיוו�

),( 21 uuu ),( בנקודה = 00 yxי"ונתונה ע, קיימת :

),(),(),( 00200100 yxy

fuyx

u

fuyx

u

f

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ .

⎟הווקטור : סימו�⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

y

f

x

f .∇f � ומסומ� ב f נקרא הגרדיאנט של ,

uf ⇐ גזירה f: ינוסח4משפט , סימו� זה בu

f r

r⋅∇=

∂

∂ ).מכפלה סקלרית (

),(א� . 5 yxf מוגדרת בסביבת ),( 00 yx ,y

f

x

f

∂

∂

∂

∂וקיימות , קיימות בסביבה,

xy

f

yx

f

∂∂

∂

∂∂

∂22

,

),(בסביבת הנקודה 00 yx ,אז ה� שוות, וה� רציפות.

),(תהא : כלל השרשרת. 6 yxfנסמ�. גזירה :))(),(()( tytxftF ),()(כאשר , = tytxגזירות .

')(')(')( �גזירה ו Fאזי tyy

ftx

x

ftF

∂

∂+

∂

∂=.

),,(),,(),(תהיינה : הכללה vuyvuxyxgפונקציות גזירות .

),()),,(),((:נסמ� vuyvuxgvuG גזירה ו Gאזי . =

u

y

y

g

u

x

x

g

u

G

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

v

y

y

g

v

x

x

g

v

G

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂.

��

��

�� F � � ∫=�

�

�� × ��

� ��

��

�� ∫=�

�

�� × ��

��

��

�

∂∂

� � ��

��

� ∫∫ ∂∂==

�

�

�

�

��

��

��

��

�� !

�� × ��

� ∫ ∫∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ �

�

�

�

�

�

�

�

��

�� "

� �� ψϕ �� × ��

� ∫=��

��

��

�

�

��

ψ

ϕ

� �� ≤≤ �� ψϕ � � �� #�

� ��

�� ψϕ � � ��

�

∂∂

$�� %

� ��

��

��

��

��

�

�

ϕϕψψψ

ϕ

−+∂∂= ∫

��

��

�

��

��

� �� ε��

��

��

��

��

� ��

��

� ��

� ��

��

�

��

��

��

��

�� ∫�

��

��

��

�!�� "

��

�

� ��

��

� ��

�

��

� ��

�

��

��

��

� �� ∫�

�

��

� ∫�

�

�

��

��

�

��

��

�� #

∫ ∫∫ ∫ ��

��

��

�

��

� ��

� ��

�

�

��

��

�� D �� ∫∫�

�� ∫�

��

��

∫ ∫∫ +=+� ��

��

��

=∫ ��

� ��

≤⇐≤ ∫∫ ��

� ∫∫∫ +=∪

��

�� !� ��

� � ��

� � � � �� "

� ∫∫ ≤��

�� #

� ��

⋅≤≤⋅ ∫ �� ≤≤ �� $

�� %� � �� ∈�� !� ��! �� ! �� &� � � �'

� ��

⋅=∫

��

�� ⇐ ��&� � ��

�( �� &� �� !� �&�! ⇔ ��

�� ×= �� &� ��

� ∫ ∫ ∫∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�� ∈ �� ! ∫�

�� ×= ��

� � �� ∫=�

�

�� ! ∫�

�

��

� ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

�

�

�

�

�

��

� �� = �� &� �� &� ��

� ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ ∫

�

��

�

�

�� ×=

� � �� ≤≤≤≤= ��

�� ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

�

�

�

��

��

��

��

��

�

�

�� &� ��

�� &� ��

��

� � �� &�� = � �� = ��&!��

�� )�� !�� &� ��!��

�� !��

� ∫∫∫∫ =�

��

��

�� → !�� )� � �� •

�

�

�

�

��

�

�

�

��

��

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≡∂∂≡

��

�� )� � �� !�� •

��

� ��

�

�

�

�

�

�

�

� =−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≡��

��

θθθθ

θ

θ ⇐��

��

θθ

��

��

==

� ∫∫∫∫ =�

�� θθθ ��

��

��!�� ≠�

��

� � ��

�� ),( ��

� �� ≤≤ � ⎩⎨⎧

==

��

��

��

�� γ ��

� ∫∫ +≡�

�

�� γ

� ��

��

�γ � �� ≡� ��

� ∫∫ +=�

�

�� ϕγ

�� ϕ= �� γ � ��

� βθα ≤≤ � ⎩⎨⎧

==

��

��

θθρθθρ

�

�� θρθ �� γ � �� !

� ∫∫ +≡β

αγ

θθρθρθρθρ ��

��

� �� +=�

�� "�� # ��

��

� �� ≤≤ � ⎩⎨⎧

==

��

��

��

�� γ ��

� ∫∫ +≡⋅�

�

�� γ

�

�

��

��

� ∫ +γ

�� #��

� �� γ �� #�� !

∫∫ ≡⋅�

�

�� γ

�

�

�� $ � �� % �� ≤≤=γ �� &

�$ � �� γ �� ∫∫ ≡⋅�

�

�� γ

�

�

� �%

��

�� % �� $� ��% �∂=Γ ��

�$�� Γ�� $� �� % �� # ��

�

��

� ∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂−

∂∂=⋅

Γ �

��

�

�

��

�

��

� ∫Γ

− ��

�� #�� ∂=Γ ��

�� # �� +=�

��

�� % �� ==∇�

φ �� φ ��

�� $ �

��

=∂∂=

∂∂ φφ

�

��

��

� �� # �� φ�� + � � ��

��

�� "�� # ��

��

� ∫Γ

=⋅ ��

�

�� Γ � ��

� � � � �� ∫ ⋅��

��

�

��#��

��

� ��

φφ −=⋅∫�

�

� �� + ��

� �� # ��

��

��

�

�

∂∂=

∂∂

��

Documents

2006 ראורבפ 2 ילמיסיטיפניא ןובשח 104281 - Geocities.ws2006 ראורבפ דוד-ןב רדה י"ע ךרענ - 2 - רבד חתפ ןוינכטב 2 ילמיסיטיפניא