2006年度数学 IA演習補充問題

不定積分の計算理 I 6, 7, 8, 13, 14, 15組

11月 20日 清野和彦

すべて不定積分を計算する問題です。

(1) 4x2 + 2x + 3 (2) 5√

x − 4√

x (3)1

x2 + 4(4) 8e2x−3

(5) sin(3x − π

3

)(6)

1√3 − 4x2

(7)

(x +

1

x

)2

(8)1

x2 − 2x + 5

(9) tan2 x (10) sin 3x cos 2x (11) (sin θ + cos θ)2 (12)1√

1 − 6t − t2

(13) cosh2 s (14)x

1 + x2(15)

x√1 + x2

(16) cos2 x sinx

(17)1

cosh x(18)

√a2 − x2 (19) tan−1 x (20) x sinx (21) (log x)2

(22) x(x2 + 7)4 (23)sin3 x

cos x(24)

1

x4√

1 + x2(25)

1

x√

1 + xn

(26)sinx

3 + 4 cos x(27)

x sinx

(x cos x− sinx)3(28) x2 sinx (29) sin−1 x

(30) x2ex (31)log x

x(32) x2 cosx (33) x3e−x2

(34)x2

x − 1

(35)x

(x − a)(x − b)(a �= b) (36)

4x + 3

x + 2(37)

1

(x + 1)(x + 2)

(38)1

x3 + x(39)

x2 + 2

x2 + 2x + 5(40)

1

x4 − 1(41)

x2

(x2 + 1)2

(42)x2

x4 + x2 − 2(43)

1

x4 + 1(44)

x2

(x2 + 1)3(45)

x4

(x2 − 1)(x + 2)

(46)1

2 + cosx(47)

e3x

e2x + 1(48) x cos x (49) x(x + 1) log x

(50) (sin−1 x + 1)2 (51)cos x

1 + sinx(52)

sinx

cos3 x(53)

1

cosx

(54)1

sinx cos x(55)

x + sinx

1 + cosx(56)

1

(ex + e−x)2(57)

log(1 + x)√1 + x

(58) sin−1

√x

x + 2(59)

1 − 4√

x

1 +√

x(60)

1

x2√

x2 + 1(61)

1

x√

1 − x2

(62)

√x − 1

x + 1(63)

x2

√4 − x2

(64)1

x√

x2 + 1(65)

1

(1 − x)23 − (1 − x)

12

(66)1

x2(x2 − 9)32

(67)(√

x + 1)3√x

(68)1

x(log x)5(69)

1

3 cos x + 4 sin x

(70)x2

(x sinx + cos x)2(71) x(sin−1 x)2 (72)

1

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1

(73)1

(x − 1)(x2 + 1)2(74)

1√x(2 − x)

(75)1

x√

12 − x− x2

(76)1 − x2

1 + x2

1√1 + x4

(77)1

1 + ex + e2x(78) ex 1 + sinx

1 + cos x

不定積分の計算：解答

面倒なので、積分定数は省きます。

(1) ∫(4x2 + 2x + 3)dx = 4

∫x2dx + 2

∫xdx + 3

∫1dx =

4

3x3 + x2 + 3x

(2)∫ (5√

x − 4√

x)dx =

∫x

15 dx − 4

∫x

12 dx =

5

6x

65 − 4 · 2

3x

32 =

5

6

5√

x6 − 8

3

√x3

(3) ∫1

x2 + 4dx =

1

4

∫1

(x/2)2 + 1dx

ここで x/2 = t、つまり x = 2t と置換しましょう。

=1

4

∫1

t2 + 1

dx

dtdt =

1

4

∫1

t2 + 12dt

(tan−1 x)′ = 1/(t2 + 1) なので、

=1

2tan−1 t =

1

2tan−1 x

2

(4) 2x − 3 = t、つまり x = (t + 3)/2 と置換しましょう。∫8e2x−3dx = 8

∫et dx

dtdt = 8

∫et1

2dt = 4et = 4e2x−3

(5) 3x − π/3 = t、つまり x = (t + π/3)/3 と置換しましょう。∫sin(3x − π

3

)dx =

∫(sin t)

dx

dtdt =

∫(sin t)

1

3dt = −1

3cos t

= −1

3cos(3x − π

3

)(6) ∫

1√3 − 4x2

dx =1√3

∫1√

1 − (2x/√

3)2dx

補充問題：不定積分 2

ここで 2x/√

3 = t、つまり x =√

3t/2 と置換しましょう。

=1√3

∫1√

1 − t2dx

dtdt =

1√3

∫1√

1 − t2

√3

2dt

(sin−1 t)′ = 1/√

1 − t2 なので、

=1

2sin−1 t =

1

2sin−1 2√

3x

(7) ∫ (x +

1

x

)2

dx =

∫ (x2 + 2 +

1

x2

)dx =

1

3x3 + 2x − 1

x

(8) ∫1

x2 − 2x + 5dx =

∫1

(x − 1)2 + 4dx =

1

4

∫1

((x − 1)/2)2 + 1dx

ここで (x− 1)/2 = t、つまり x = 2t − 1 と置換しましょう。

=1

4

∫1

t2 + 1

dx

dtdt =

1

4

∫1

t2 + 12dt

(tan−1 t)′ = 1/(t2 + 1) なので、

=1

2tan−1 t =

1

2tan−1 x − 1

2

(9) tan2 x = 1 + tan2 x− 1 = (tan x)′ − 1 なので、∫tan2 xdx =

∫((tan x)′ − 1) dx = tan x − x

(10) sin 3x cos 2x = 12(sin(3x + 2x) + sin(3x − 2x)) = 1

2sin 5x + 1

2sin x なので、∫

sin 3x cos 2xdx =1

2

∫sin 5xdx +

1

2

∫sinxdx = − 1

10cos 5x − 1

2cos x

(11)∫(sin θ + cos θ)2dθ =

∫sin2 θ + 2 sin θ cos θ + cos2 θdθ =

∫1 + sin 2θdθ

= θ − 1

2cos 2θ

(12) ∫dt√

1 − 6t − t2=

∫dt√

10 − (t + 3)2=

1√10

∫dt√

1 − ((t + 3)/√

10)2

補充問題：不定積分 3

ここで (t + 3)/√

10 = s、つまり t =√

10s− 3 と置換すると、

=1√10

∫1√

1 − s2

dt

dsds =

1√10

∫ √10√

1 − s2ds

(sin−1 s)′ = 1/√

1 − s2 なので、

= sin−1 s = sin−1 t + 3√10

(13)

cosh2 s =

(es + e−s

2

)2

=e2s + e−2s + 2

4=

cosh 2s + 1

2

なので、 ∫cosh2 sds =

∫cosh 2s + 1

2ds =

1

4sinh 2s +

s

2

(14) ∫x

1 + x2dx =

1

2

∫(1 + x2)′

1 + x2dx =

1

2log(1 + x2)

(15) x = sinh t と置換しましょう。∫x√

1 + x2dx =

∫sinh t√

1 + sinh2 t

dx

dtdt =

∫sinh t

cosh tcosh tdt

=

∫sinh tdt = cosh t =

√1 + sinh2 t =

√1 + x2

(16) cos x = t と置換しましょう。逆関数の微分法により、

dx

dt=

1

dt/dx=

1

− sinx

となるので、∫cos2 x sinxdx =

∫t2 sinx

dx

dtdt =

∫t2(−1)dt = −1

3t3 = −1

3cos3 x

(17)

1

coshx=

2

ex + e−x=

2ex

e2x + 1

なので、ex = t と置換することにより、∫1

coshxdx =

∫2ex

e2x + 1dx =

∫2t

t2 + 1

dx

dtdt =

∫2t

t2 + 1

1

tdt

= 2 tan−1 t = 2 tan−1 ex

補充問題：不定積分 4

(18) ∫ √a2 − x2dx =

∫(x)′

√a2 − x2dx

= x√

a2 − x2 −∫

x(√

a2 − x2)′

dx

= x√

a2 − x2 −∫ −x2

√a2 − x2

dx

= x√

a2 − x2 −∫

a2 − x2 − a2

√a2 − x2

dx

= x√

a2 − x2 −∫ √

a2 − x2dx + a2

∫1√

a2 − x2dx

となるので、右辺の第 2項を左辺に移項して全体を 2で割れば、∫ √a2 − x2dx =

x√

a2 − x2

2+

a2

2

∫dx√

a2 − x2

が得られます。

(19) ∫tan−1 xdx =

∫(x)′ tan−1 xdx = x tan−1 x −

∫x

1 + x2dx

= x tan−1 x− 1

2log(1 + x2)

最後の等号で (14)の結果を使いました。

(20)∫x sinxdx =

∫x(− cos x)′dx = −x cosx +

∫cosxdx = −x cosx + sinx

(21)∫(log x)2dx =

∫(x)′(log x)2dx = x(log x)2 −

∫x

2

xlog xdx

= x(log x)2 − 2

∫(x)′ log xdx = x(log x)2 − 2x log x + 2

∫x

1

xdx

= x(log x)2 − 2x log x + 2x

(22) x2 + 7 = t と置換しましょう。∫x(x2 + 7)4dx =

∫xt4

1

dt/dxdt =

∫xt4

1

2xdt

=1

2

∫t4dt =

1

10t5 =

1

10(x2 + 7)5

補充問題：不定積分 5

(23) cos x = t と置換しましょう。∫sin3 x

cos xdx =

∫1 − t2

tsinx

1

dt/dxdt =

∫1 − t2

tsinx

1

− sinxdt

= −∫

1

tdt +

∫tdt = − log |t| + t2

2= − log | cos x| + cos2 x

2

(24) まず x = sinh t と置換しましょう。∫1

x4√

1 + x2dx =

∫1

sinh4 t√

1 + sinh2 t

dx

dtdt =

∫1

sinh4 t cosh tcosh tdt

=

∫1

sinh4 tdt =

∫16

(et − e−t)4dt =

∫16e4t

(e2t − 1)4dt

さらに e2t − 1 = s と置換しましょう。

=

∫16(s + 1)2

s4

1

ds/dtds =

∫16(s + 1)2

s4

1

2(s + 1)ds = 8

∫ (1

s3+

1

s4

)ds

= − 4

s2− 8

3

1

s3= − 4

(e2t − 1)2− 8

3

1

(e2t − 1)3= −12(e2t − 1) + 8

3(e2t − 1)3

= − 12e−t − 4e−3t

3(et − e−t)3= −12(cosh t − sinh t) − 4(cosh t− sinh t)3

3(2 sinh t)3

= − 12(√

1 + x2 − x) − 4(√

1 + x2 − x)3

24x3=

(2x2 − 1)√

1 + x2

3x3− 2

3

=(2x2 − 1)

√1 + x2

3x3

最後のところで −2/3 を積分定数に繰り入れました。

(25)√

1 + xn = t と置換しましょう。∫1

x√

1 + xndx =

∫1

xt

1

dt/dxdt =

∫1

xt

2t

nxn−1dt =

2

n

∫1

xndt

=2

n

∫1

t2 − 1dt =

1

n

∫ (1

t − 1− 1

t + 1

)dt

=1

nlog

∣∣∣∣ t− 1

t + 1

∣∣∣∣ =1

nlog

∣∣∣∣√

1 + xn − 1√1 + xn + 1

∣∣∣∣(26) cos x = t と置換しましょう。∫

sin x

3 + 4 cos xdx =

∫sinx

3 + 4t

1

dt/dxdt =

∫sinx

3 + 4t

dt

− sinx= −

∫1

3 + 4tdt

= −1

4log |3 + 4t| = −1

4log |3 + 4 cos x|

補充問題：不定積分 6

(27) (x cos x− sinx)′ = −x sinx なので x cos x − sinx = t と置換しましょう。∫x sin x

(x cos x − sinx)3dx =

∫x sinx

t31

dt/dxdt =

∫ −1

t3dt

=1

2t2=

1

2(x cos x − sinx)2

(28)∫x2 sin xdx =

∫x2(− cosx)′dx = −x2 cosx −

∫2x(− cos x)dx

= −x2 cos x + 2x sinx −∫

2 sin xdx = −x2 cos x + 2x sin x + 2cos x

(29)∫sin−1 xdx =

∫(x)′ sin−1 xdx = x sin−1 x −

∫x√

1 − x2dx = x sin−1 x +

√1 − x2

(30) ∫x2exdx =

∫x2(ex)′dx = x2ex −

∫2xexdx = x2ex − 2xex +

∫2exdx

= x2ex − 2xex + 2ex

(31) ∫log x

xdx =

∫(log x)(log x)′dx = (log x)2 −

∫(log x)′(log x)dx

= (log x)2 −∫

log x

xdx

なので、 ∫log x

x=

1

2(log x)2

(32) ∫x2 cos xdx =

∫x2(sinx)′dx = x2 sinx −

∫2x sinxdx

= x2 sinx − 2x(− cosx) +

∫2(− cos x)dx

= x2 sinx + 2x cos x − 2 sinx

(33)∫x3e−x2

dx =

∫(x2)(xe−x2

)dx =

∫(x2)

(−1

2e−x2

)′dx

= x2

(−1

2e−x2

)−∫

2x

(−1

2e−x2

)dx = −x2

2e−x2

+

∫xe−x2

dx

= −x2

2e−x2 − 1

2e−x2

補充問題：不定積分 7

(34) ∫x2

x − 1dx =

∫ (x + 1 +

1

x − 1

)dx =

1

2x2 + x + log |x − 1|

(35) ∫x

(x − a)(x − b)dx =

1

a − b

∫ (a

x − a− b

x − b

)dx

=1

a − b(a log |x − a| − b log |x − b|)

(36) ∫4x + 3

x + 2dx =

∫ (4 − 5

x + 2

)dx = 4x − 5 log |x + 2|

(37) ∫dx

(x + 1)(x + 2)=

∫ (1

x + 1− 1

x + 2

)dx = log

∣∣∣∣x + 1

x + 2

∣∣∣∣(38)∫

dx

x3 + x=

∫dx

x(x2 + 1)=

∫ (1

x− x

x2 + 1

)dx = log |x| − 1

2log(x2 + 1)

=1

2log

x2

x2 + 1

(39) ∫x2 + 2

x2 + 2x + 5dx =

∫ (1 − 2x + 2 + 1

x2 + 2x + 5

)dx

=

∫1dx −

∫(x2 + 2x + 5)′

x2 + 2x + 5dx −

∫dx

4((

x+12

)2+ 1)

= x − log(x2 + 2x + 5) − 1

4

∫2dt

t2 + 1

= x − log(x2 + 2x + 5) − 1

2tan−1 x + 1

2

(40)∫dx

x4 − 1=

∫ (1/4

x − 1− 1/4

x + 1− 1/2

x2 + 1

)dx =

1

4log

∣∣∣∣x − 1

x + 1

∣∣∣∣− 1

2tan−1 x

(41)

x2

(x2 + 1)2= −x

2

−2x

(x2 + 1)2= −x

2

(1

x2 + 1

)′

補充問題：不定積分 8

ですので、部分積分により、∫x2

(x2 + 1)2dx = −x

2

1

x2 + 1+

1

2

∫1

x2 + 1dx = −1

2

x

x2 + 1+

1

2tan−1 x

となります。

(42) ∫x2

x4 + x2 − 2dx =

∫x2

(x − 1)(x + 1)(x2 + 2)dx

=

∫ (1/6

x − 1− 1/6

x + 1+

2/3

2((x/√

2)2 + 1)

)dx

=1

6

(∫1

x− 1dx −

∫1

x + 1dx

)+

1

3

∫ √2dt

t2 + 1

=1

6log

∣∣∣∣x − 1

x + 1

∣∣∣∣+√

2

3tan−1 x√

2

(43) まず x4 + 1 を素因数分解するために

x4 + 1 = (x2 + ax ± 1)(x2 + bx ± 1) 複号同順

として、a, b と複号がどちらであるかを決定しましょう。右辺を展開すると

(x2 + ax ± 1)(x2 + bx ± 1) = x4 + (a + b)x3 + (ab ± 2)x2 ± (a + b)x + 1

となりますので、a = −b = ±√2 で複号は + です。つまり、

(x4 + 1) = (x2 +√

2x + 1)(x2 −√2x + 1)

と分解されます。右辺の二つの二次式はどちらも判別式が負なので、（実係数の範囲では）これ以上因数分解できません。よって、これが x4 +1 の素因数分解です。次に、1/(x4 + 1) の部分分数分解を求めましょう。

1

x4 + 1=

ax + b

x2 +√

2x + 1+

cx + d

x2 −√2x + 1

とおいて a, b, c, d を求めると、

a =1

2√

2, b =

1

2, c = − 1

2√

2, d =

1

2

となります。よって、

1

x4 + 1=

1

2√

2

(x +

√2

x2 +√

2x + 1− x −√

2

x2 −√2x + 1

)

補充問題：不定積分 9

です。

x ±√2

x2 ±√2x + 1

=1

2

(2x ±√

2

x2 ±√2x + 1

±√

2

x2 ±√2x + 1

)

=1

2

(x2 ±√2x + 1)′

x2 ±√2x + 1

±√

2

(√

2x ± 1)2 + 1

と分解でき、 ∫(x2 ±√

2 + 1)′

x2 ±√2x + 1

dx = log(x2 ±√

2x + 1)

および、 ∫ √2

(√

2x ± 1)2 + 1dx =

∫ √2

t2 + 1

1√2dt = tan−1(

√2x ± 1)

ですので、結局、∫1

x4 + 1dx =

1

2√

2

(1

2log(x2 +

√2x + 1) + tan−1(

√2x + 1)

−1

2log(x2 −

√2x + 1) + tan−1(

√2x − 1)

)

=1

4√

2

(log

x2 +√

2x + 1

x2 −√2x + 1

+ 2 tan−1(√

2x + 1) + 2 tan−1(√

2x − 1)

)

となります。

(44)

x2

(x2 + 1)3= −x

4

−4x

(x2 + 1)3= −x

4

(1

(x2 + 1)2

)′

なので、部分積分により、∫x2

(x2 + 1)3dx = −x

4

1

(x2 + 1)2+

1

4

∫1

(x2 + 1)2dx

となります。さらに、

1

(x2 + 1)2=

x2 + 1 − x2

(x2 + 1)2=

1

x2 + 1− x2

(x2 + 1)2

と分解できます。(41)で、∫x2

(x2 + 1)2dx = −1

2

x

x2 + 1+

1

2tan−1 x

補充問題：不定積分 10

を計算してありますので、∫1

(x2 + 1)2dx =

∫1

x2 + 1dx − x2

(x2 + 1)2dx = tan−1 x +

1

2

x

x2 + 1− 1

2tan−1 x

となります。以上より、∫x2

(x2 + 1)3dx = −1

4

x

(x2 + 1)2+

1

4

∫1

(x2 + 1)dx

= −1

4

x

(x2 + 1)2+

1

8

x

x2 + 1+

1

8tan−1 x

となります。

(45)

x4

(x2 − 1)(x + 2)= x − 2 +

x2 − 5

(x − 1)(x + 1)(x + 2)

= x − 2 +1

6

1

x − 1− 1

2

1

x + 1+

16

3

1

x + 2

ですので、∫x4

(x2 − 1)(x + 2)=

1

2x2 − 2x +

1

6log |x − 1| − 1

2log |x + 1| + 16

3log |x + 2|

となります。

(46) tan x2

= t と置換しましょう。

cosx =1 − t2

1 + t2,

dx

dt=

2

1 + t2

です。∫1

2 + cosxdx =

∫1

2 + 1−t2

1+t2

dx

dtdt =

∫1 + t2

3 + t22

1 + t2dt =

∫2

3

(1 +

(t√3

)2)dt

=2

3

√3 tan−1 t√

3=

2√3

tan−1

(1√3

tanx

2

)

(47) ex = t、つまり x = log t と置換しましょう。∫e3x

e2x + 1dx =

∫t3

t2 + 1

dx

dtdt =

∫t3

t2 + 1

1

tdt =

∫ (1 − 1

t2 + 1

)dt

= t − tan−1 t = ex − tan−1 ex

補充問題：不定積分 11

(48)∫x cosxdx =

∫x(sin x)′dx = x sinx −

∫(x)′ sinxdx = x sinx −

∫sinxdx

= x sinx + cosx

(49) ∫x(x + 1) log xdx =

∫ (x3

3+

x2

2

)′log xdx

=

(x3

3+

x2

2

)log x−

∫ (x3

3+

x2

2

)(log x)′dx

=

(x3

3+

x2

2

)log x−

∫ (x2

3+

x

2

)dx

=

(x3

3+

x2

2

)log x− x3

9− x2

4

(50) sin−1 x = t、すなわち x = sin t と置換してみましょう。∫(sin−1 x + 1)2dx =

∫(t + 1)2

dx

dtdt =

∫(t + 1)2 cos tdt

=

∫(t + 1)2(sin t)′dt = (t + 1)2 sin t−

∫2(t + 1) sin tdt

= (t + 1)2 sin t − 2

∫(t + 1)(− cos t)′dt

= (t + 1)2 sin t + 2(t + 1) cos t − 2

∫cos tdt

= (t + 1)2 sin t + 2(t + 1) cos t − 2 sin t

= (t2 + 2t − 1) sin t + 2(t + 1)√

1 − sin2 t

=((sin−1 x)2 + 2 sin−1 x − 1

)x + 2(sin−1 x + 1)

√1 − x2

(51) (1 + sin x)′ = cosx なので、∫cos x

1 + sinxdx =

∫(1 + sinx)′

1 + sinxdx = log(1 + sinx)

(52) cos x = t と置換してみましょう。∫sinx

cos3 xdx =

∫sinx

t31

dt/dxdt =

∫sinx

t31

− sinxdt = −

∫1

t3dt =

1

2t2=

1

2 cos2 x

(53) tan x2

= t と置換しましょう。

cosx =1 − t2

1 + t2,

dx

dt=

2

1 + t2

補充問題：不定積分 12

です。∫1

cosxdx =

∫1

1−t2

1+t2

dx

dtdt =

∫1 + t2

1 − t22

1 + t2dt =

∫2

1 − t2dt

=

∫ (1

1 − t+

1

1 + t

)dt = − log |1 − t| + log |1 + t| = log

∣∣∣∣1 + tan x2

1 − tan x2

∣∣∣∣(54) sinx = t と置換してみましょう。∫

1

sinx cos xdx =

∫1

t cos x

1

dt/dxdt =

∫1

t cos x

1

cosxdt =

∫1

t(1 − t2)dt

=

∫ (1

t− 1

2

1

t + 1− 1

2

1

t− 1

)dt

= log |t| − 1

2log |t + 1| − 1

2log |t − 1|

=1

2log

sin2 x∣∣sin2 x − 1∣∣ = log | tan x|

(55) とにかく tan x2

= t と置換してみましょう。

∫x + sinx

1 + cosxdx =

∫2 tan−1 t + 2t

1+t2

1 + 1−t2

1+t2

dx

dtdt =

∫2(1 + t2) tan−1 t + 2t

1 + t2 + 1 − t22

1 + t2dt

= 2

∫ (tan−1 t +

t

1 + t2

)dt = 2

∫ ((t)′ tan−1 t +

t

1 + t2

)dt

= 2t tan−1 t + 2

∫ (− t

1 + t2+

t

1 + t2

)dt = 2t tan−1 t = x tan

x

2

(56) 分子分母に e2x を掛けてから ex = t と置換しましょう。∫1

(ex + e−x)2dx =

∫e2x

(e2x + 1)2dx =

∫t2

(t2 + 1)21

dt/dxdt =

∫t2

(t2 + 1)21

tdt

=

∫1

2

(t2 + 1)′

(t2 + 1)2dt = −1

2

1

t2 + 1= −1

2

1

e2x + 1

(57) ∫log(1 + x)√

1 + xdx =

∫log(1 + x)(2

√1 + x)′dx

= 2√

1 + x log(1 + x) − 2

∫ √1 + x

1 + xdx

= 2√

1 + x log(1 + x) − 4

∫1

2√

1 + xdx

= 2√

1 + x log(1 + x) − 4√

1 + x

補充問題：不定積分 13

(58) √x

x + 2≤ 1

でなければならないので、x ≥ 0 であることに注意して下さい。∫sin−1

√x

x + 2dx =

∫(x)′ sin−1

√x

x + 2dx

= x sin−1

√x

x + 2−∫

x

(sin−1

√x

x + 2

)′dx

= x sin−1

√x

x + 2−∫

x1√

2√

x(x + 2)dx

= x sin−1

√x

x + 2− 1√

2

∫ √x

x + 2dx

ここで、√

x =√

2t とおくと、

∫ √x

x + 2dx =

∫ √2t

2t2 + 2

dx

dtdt =

∫ √2t

2(t2 + 1)4tdt = 2

√2

∫t2

t2 + 1dt

= 2√

2

∫ (1 − 1

t2 + 1

)dt = 2

√2t − 2

√2 tan−1 t

= 2√

x − 2√

2 tan−1

√x

2

と計算できるので、結局、∫sin−1

√x

x + 2dx = x sin−1

√x

x + 2+ 2 tan−1

√x

2−

√2x

となります。

(59) 4√

x = t、すなわち x = t4 と置換しましょう。∫1 − 4

√x

1 +√

xdx =

∫1 − t

1 + t2dx

dtdt =

∫1 − t

1 + t24t3dt

=

∫ (4 + 4t − 4t2 − 4

1

1 + t2− 2

2t

1 + t2

)dt

= 4t + 2t2 − 4

3t3 − 4 tan−1 t − 2 log(1 + t2)

= 4 4√

x + 2√

x − 4

34√

x3 − 4 tan−1 4

√x − 2 log(1 +

√x)

補充問題：不定積分 14

(60)√

x2 + 1 が双曲線 y2 − x2 = 1 を表していることを使う方法

y =√

x2 + 1 を自乗して整理すると双曲線 y2 − x2 = 1 となります。よって、x = sinh t と置換すれば y =

√x2 + 1 = cosh t となります。これを使いましょう。∫

1

x2√

x2 + 1dx =

∫1

sinh2 t cosh t

dx

dtdt =

∫1

sinh2 t cosh tcosh tdt

=

∫4

(et − e−t)2dt =

∫4e2t

(e2t − 1)2dt

となります。ここでさらに e2t = s と置換すると、

=

∫4s

(s − 1)21

ds/dtds =

∫4s

(s − 1)21

2sds =

∫2

(s − 1)2ds = − 2

s − 1

= − 2

e2t − 1= − 2e−t

et − e−t= −cosh t − sinh t

sinh t= −

√x2 + 1 − x

x

= −√

x2 + 1

x− 1 = −

√x2 + 1

x

最後の等号で −1 を積分定数に繰り入れました。

教科書などによく載っている置換方法

x +√

x2 + 1 = t と置換します。

x =t2 − 1

2t

です。∫1

x2√

x2 + 1dx =

∫1

x2√

x2 + 1

1

dt/dxdt =

∫1

x2√

x2 + 1

√x2 + 1

tdt

=

∫4t

(t2 − 1)2dt =

∫ (1

(t − 1)2− 1

(t + 1)2

)dt

= − 1

t − 1+

1

t + 1= − 2

t2 − 1= − 1

x2 + x√

x2 + 1

これは上の答と一見違いますが、定数関数 −1 を足すと、

−1 − 1

x2 + x√

x2 + 1= −x2 + x

√x2 + 1 + 1

x2 + x√

x2 + 1= −(x +

√x2 + 1)

√x2 + 1

x(x +√

x2 + 1)

= −√

x2 + 1

x

となって同じ答であることがわかります。

補充問題：不定積分 15

(61)√

1 − x2 が円 x2 + y2 = 1 を表していることを使う方法

y =√

1 − x2 を自乗すると円の式 x2 + y2 = 1 になるので、x = sin t と置換すれば y =

√1 − x2 = cos t となります。これを使いましょう。∫

1

x√

1 − x2dx =

∫1

sin t√

1 − sin2 t

dx

dtdt

=

∫1

sin t cos tcos tdt =

∫1

sin tdt

ここでさらに

tant

2= s

と置換しましょう。

sin t =2s

1 + s2,

dt

ds=

2

1 + s2

なので、

=

∫1 + s2

2s

2

1 + s2dt =

∫1

sds = log |s| = log

∣∣∣∣tant

2

∣∣∣∣ = log

∣∣∣∣1 − cos t

sin t

∣∣∣∣= log

1 −√1 − x2

|x|となります。

教科書などによく載っている置換方法

1 − x2 = (x + 1)(1− x) なので、√x + 1

1 − x= t

と置換します。

x =t2 − 1

t2 + 1

です。よって、∫1

x√

1 − x2dx =

∫1

x√

1 − x2

1

dt/dxdt =

∫1

x√

1 − x2(1 − x)2tdt

=

∫1 − x

x

1

ttdt =

∫2

t2 − 1=

∫ (1

t − 1− 1

t + 1

)dt

= log |t − 1| − log |t + 1| = log

∣∣∣∣∣∣√

x+11−x

− 1√x+11−x

+ 1

∣∣∣∣∣∣ = log1 −√

1 − x2

|x|

補充問題：不定積分 16

となります。

(62) x = 1 のときをとりあえず除けば、√x− 1

x + 1=

√(x − 1)2

x2 − 1=

|x − 1|√x2 − 1

なので、x > 1 では x = cosh t、x < −1 では x = − cosh t と置換しましょう。まず、x > 1 のとき、∫ √

x− 1

x + 1dx =

∫x − 1√x2 − 1

dx =

∫cosh t− 1√cosh2 t − 1

dx

dtdt =

∫cosh t− 1

sinh tsinh tdt

=

∫(cosh t− 1)dt = sinh t − t =

√cosh2 t − 1 − t

となります。cosh t = (et + e−t)/2 = x を t について解くと、t > 0 に注意して、

t = log∣∣∣x +

√x2 − 1

∣∣∣となります。よって、√

cosh2 t− 1 − t =√

x2 − 1 − log(x +

√x2 − 1

)です。

x < −1 のときは x = − cosh t と置換して、∫ √x− 1

x + 1dx =

∫1 − x√x2 − 1

dx =

∫1 + cosh t√cosh2 t − 1

dx

dtdt =

∫1 + cosh t

sinh t(− sinh t)dt

= −∫

(1 + cosh t) dt = −t − sinh t

= − log(−x +

√x2 − 1

)−

√x2 − 1

となります。（t を x で表すとき x = − cosh t と符号が負であることに注意して下さい。）

(63) y =√

4 − x2 は x2 + y2 = 4 という円を表しているので、x = 2 sin t と置換すれば y =

√4 − x2 = 2cos t となります。∫

x2

√4 − x2

dx =

∫4 sin2 t√

4 − 4 sin2 t

dx

dtdt =

∫4 sin2 t

2 cos t2 cos tdt =

∫2(1 − cos 2t)dt

= 2t − sin 2t = 2t − 2 sin t cos t = 2 sin−1 x

2− 1

2x√

4 − x2

補充問題：不定積分 17

(64) y =√

x2 + 1 は双曲線 y2 − x2 = 1 を表しているので、x = sinh t と置換すれば y =

√x2 + 1 = cosh t となります。∫1

x√

x2 + 1dx =

∫1

sinh t√

sinh2 t + 1

dx

dtdt =

∫1

sinh t cosh tcosh tdt

=

∫2

et − e−tdt =

∫2et

e2t − 1dt

ここでさらに et = s と置換すると、

=

∫2s

s2 − 1

1

ds/dtds =

∫2

(s − 1)(s + 1)ds =

∫ (1

s − 1− 1

s + 1

)ds

= log

∣∣∣∣s − 1

s + 1

∣∣∣∣ = log

∣∣∣∣et − 1

et + 1

∣∣∣∣ = log

∣∣∣∣e2t + 1 − 2et

e2t − 1

∣∣∣∣ = log

∣∣∣∣et + e−t − 2

et − e−t

∣∣∣∣= log

∣∣∣∣cosh t − 1

sinh t

∣∣∣∣ = log

√x2 + 1 − 1

|x|(65) (1 − x)

16 = t と置換しましょう。x = 1 − t6 です。∫

1

(1 − x)23 − (1 − x)

12

dx =

∫1

t4 − t3dx/dt

dt =

∫1

t3(t − 1)(−6t5)dt

= −6

∫ (t + 1 +

1

t − 1

)dt

= −3t2 − 6t − 6 log |t − 1|= −3(1 − x)

13 − 6(1 − x)

16 − 6 log

∣∣∣(1 − x)16 − 1

∣∣∣(66) x > 3 として、x = 3cosh t と置換しましょう。∫

1

x2(x2 − 9)32

dx =

∫1

9 cosh2 t(9 cosh2 t− 9)32

dx

dtdt

=

∫1

35 cosh2 t sinh3 t3 sinh tdt =

1

81

∫1

cosh2 t sinh2 tdt

=1

81

∫4

sinh2 2tdt =

4

81

∫2

cosh 4t − 1dt

=8

81

∫2

e4t + e−4t − 2dt =

16

81

∫e4t

e8t − 2e4t + 1dt

さらに e4t = s と置換しましょう。

=16

81

∫s

s2 − 2s + 1

1

ds/dtds =

16

81

∫s

s2 − 2s + 1

1

4sds =

4

81

∫1

(s − 1)2ds

= − 4

81

1

s − 1= − 4

81

1

e4t − 1= − 4

81

1

(cosh t + sinh t)4 − 1

= − 4

81

1(cosh t +

√cosh2 t− 1

)4

− 1= − 4

81

1(x3

+√(

x3

)2 − 1

)4

− 1

補充問題：不定積分 18

= − 4

81

81

(x +√

x2 − 9)4 − 81= − 1

x√

x2 − 9(x +

√x2 − 9

)2 = −(x −√

x2 − 9)2

81x√

x2 − 9

= − 2x2 − 9 − 2x√

x2 − 9

81x√

x2 − 9= − 2x2 − 9

81x√

x2 − 9+

2

81= − 2x2 − 9

81x√

x2 − 9

最後の等号で 2/81 を積分定数に繰り入れました。微分してみるとわかるとおり、これは x < −3 のときも問題の関数の原始関数になっています。

(67)√

x = t と置換しましょう。∫(√

x + 1)3√x

dx =

∫(t + 1)3

t

dx

dtdt =

∫(t + 1)3

t2tdt =

∫2(t + 1)3dt

=1

2(t + 1)4 =

1

2(√

x + 1)4

(68) log x = t と置換しましょう。∫1

x(log x)5dx =

∫1

ett5dx

dtdt =

∫1

ett5etdt =

∫1

t5dt = − 1

4t4= − 1

4(log x)4

(69) tan x2

= t と置換しましょう。∫1

3 cos x + 4 sin xdx =

∫1

31−t2

1+t2+ 4 2t

1+t2

dx

dtdt =

∫1 + t2

3 + 8t − 3t22

1 + t2dt

= −2

∫1

(3t + 1)(t − 3)dt

= −2

∫ (− 3

10

1

3t + 1+

1

10

1

t− 3

)dt

=1

5log |3t + 1| − 1

5log |t − 3| =

1

5log

∣∣∣∣3 tan x2

+ 1

tan x2− 3

∣∣∣∣(70) ∫

x2

(x sinx + cos x)2dx

=

∫x cos x

(x sin x + cos x)2

x

cos xdx

=

∫ (− 1

x sinx + cosx

)′x

cosxdx

= − x

(x sinx + cos x) cosx+

∫1

x sinx + cos x

( x

cos x

)′dx

= − x

(x sinx + cos x) cosx+

∫1

x sinx + cos x

x sinx + cos x

cos2 xdx

補充問題：不定積分 19

= − x

(x sinx + cos x) cosx+

∫1

cos2 xdx

= − x

(x sinx + cos x) cosx+ tan x =

x sin2 x + sinx cos x− x

(x sinx + cosx) cos x

=sinx − x cos x

x sin x + cosx

(71) x = sin t と置換しましょう。∫x(sin−1 x)2dx =

∫sin t(sin−1(sin t))2dx

dtdt =

∫t2 sin t cos tdt =

∫t2

2sin 2tdt

=

∫t2

2(−1

2cos 2t)′dt = −t2

4cos 2t +

1

2

∫t cos 2tdt

= −t2

4cos 2t +

1

2

∫t

(1

2sin 2t

)′dt

= −t2

4cos 2t +

t

4sin 2t − 1

4

∫sin 2tdt

= −t2

4cos 2t +

t

4sin 2t +

1

8cos 2t

= −t2

4(1 − 2 sin2 t) +

t

2sin t

√1 − sin2 t +

1

8(1 − 2 sin2 t)

=2x2 − 1

4(sin−1 x)2 +

x

2

√1 − x2 sin−1 x − x2

4

最後の等号で 1/8 を積分定数に繰り入れました。

(72) x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1 = (x− 1)(x3 − x2 + x − 1) = (x − 1)2(x2 + 1) と因数分解できるので、∫

1

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1dx =

∫ (1

2

1

(x − 1)2− 1

2

1

x − 1+

1

2

x

x2 + 1

)dx

= −1

2

1

x − 1− 1

2log |x − 1| + 1

4log(x2 + 1)

= − 1

2(x − 1)+

1

4log

x2 + 1

(x − 1)2

(73)

1

(x − 1)(x2 + 1)2=

1

4

1

x − 1− 1

4

x + 1

x2 + 1− 1

2

x + 1

(x2 + 1)2

=1

4

1

x − 1− 1

8

2x

x2 + 1− 1

4

1

x2 + 1+

1

4

−2x

(x2 + 1)2− 1

2

1

(x2 + 1)2

補充問題：不定積分 20

と部分分数分解されます。∫1

x− 1dx = log |x − 1|∫

2x

x2 + 1dx = log(x2 + 1)∫

1

x2 + 1= tan−1 x∫ −2x

(x2 + 1)2=

1

x2 + 1∫1

(x2 + 1)2dx =

∫x2 + 1 − x2

(x2 + 1)2dx =

∫1

x2 + 1dx −

∫ −x

2

−2x

(x2 + 1)2dx

= tan−1 x +1

2

∫x

(1

x2 + 1

)′dx

= tan−1 x +x

x2 + 1− 1

2

∫1

x2 + 1dx

=1

2tan−1 x +

1

2

x

x2 + 1

ですので、∫1

(x − 1)(x2 + 1)2dx =

1

8

(log

(x− 1)2

x2 + 1− 4 tan−1 x + 2

1 − x

x2 + 1

)となります。

(74) x(2 − x) = 1 − (x− 1)2 なので x − 1 = sin t と置換しましょう。∫1√

x(2 − x)dx =

∫1√

1 − (x − 1)2dx =

∫1√

1 − sin2 t

dx

dtdt

=

∫1

cos tcos tdt =

∫1dt = t = sin−1(x − 1)

(75)

12− x − x2 =49

4−(

x +1

2

)2

=

(7

2

)2(

1 −(

2x + 1

7

)2)

なので、2x + 1

7= sin t

と置換しましょう。∫1

x√

12 − x − x2dx =

∫1

72x√

1 − (2x+17

)2 dx =2

7

∫1

7 sin t−12

√1 − sin2 t

dx

dtdt

=4

7

∫1

(7 sin t − 1) cos t

7

2cos tdt = 2

∫1

7 sin t− 1dt

補充問題：不定積分 21

ここでさらに tan t2

= s と置換しましょう。

=2

∫1

7 2ss2+1

− 1

dt

dsds = 2

∫s2 + 1

14s− s2 − 1

2

s2 + 1ds = −4

∫1

s2 − 14s + 1ds

=1

2√

3

∫ (1

s − 7 + 4√

3− 1

s − 7 − 4√

3

)ds =

1

2√

3log

∣∣∣∣∣s − 7 + 4√

3

s − 7 − 4√

3

∣∣∣∣∣=

1

2√

3log

∣∣∣∣∣tan t2− 7 + 4

√3

tan t2− 7 − 4

√3

∣∣∣∣∣ここで、

sin t =2 tan t

2

1 + tan2 t2

を解いて −1 ≤ tan t2≤ 1 を満たす方を取ると、

tant

2=

1 −√

1 − sin2 t

sin t

となります。よって、

1

2√

3log

∣∣∣∣∣tan t2− 7 + 4

√3

tan t2− 7 − 4

√3

∣∣∣∣∣ =1

2√

3log

∣∣∣∣∣1 −√

1 − sin2 t − (7 − 4√

3) sin t

1 −√

1 − sin2 t− (7 + 4√

3) sin t

∣∣∣∣∣=

1

2√

3log

∣∣∣∣∣(7 − 4√

3)x − 2√

3 +√

12 − x− x2

(7 + 4√

3)x + 2√

3 +√

12 − x − x2

∣∣∣∣∣となります。

(76) x > 0 とすると、

1 − x2

1 + x2

1√1 + x4

=1x2

1x2

1 − x2

1 + x2

1√1 + x4

=1x2 − 11x

+ x

1√1x2 + x2

=1

x + 1x

1√(x + 1

x

)2 − 2

(−(

x +1

x

)′)

なので、

x +1

x= t

補充問題：不定積分 22

と置換してみましょう。∫1 − x2

1 + x2

1√1 + x4

dx =

∫1

x + 1x

1√(x + 1

x

)2 − 2

(−(

x +1

x

)′)dx

=

∫1

t

1√t2 − 2

(− dt

dx

)1

dt/dxdt

= −∫

1

√2t

√(t√2

)2

− 1

dt

さらに t =√

2s と置換しましょう。

= −∫

1

2s√

s2 − 1

dt

dsds = − 1√

2

∫1

s√

s2 − 1ds

さらに s = cosh u と置換しましょう。

= − 1√2

∫1

cosh u√

cosh2 u − 1

ds

dudu = − 1√

2

∫1

cosh u sinhusinhudu

= − 1√2

∫2

eu + e−udu = −√

2

∫eu

e2u + 1du

さらに eu = v と置換しましょう。

= −√

2

∫v

v2 + 1

du

dvdv = −

√2

∫v

v2 + 1

1

vdv = −

√2

∫1

v2 + 1dv

= −√

2 tan−1 v = −√

2 tan−1 eu = −√

2 tan−1 (coshu + sinh u)

= −√2 tan−1

(s +

√s2 − 1

)= −√

2 tan−1

(t√2

+

√t2

2− 1

)

= −√2 tan−1

(1√2

(x +

1

x+

√x2 +

1

x2

))

= −√

2 tan−1

(1√2x

(x2 + 1 +

√x4 + 1

))

となります。x < 0 のときも同様に計算すると、

−√2 tan−1

(1√2x

(−x2 − 1 +

√x4 + 1

))

となります。

補充問題：不定積分 23

(77) ex = t と置換しましょう。∫1

1 + ex + e2xdx =

∫1

1 + t + t21

dt/dxdt =

∫1

1 + t + t21

tdt

=

∫ (1

t− 1 + t

1 + t + t2

)dt

= log |t| − 1

2

∫ (1 + 2t

1 + t + t2+

1

1 + t + t2

)dt

= log |t| − 1

2log |1 + t + t2| − 1

2

∫1

34

+(

12

+ t)2 dt

= x − 1

2log(1 + ex + e2x) − 2

3

∫1

1 +(

1+2t√3

)2 dt

ここで、最後の積分で (1 + 2t)/√

3 = s と置換すると、∫1

1 +(

1+2t√3

)2 dt =

∫1

1 + s2

dt

dsds =

∫1

1 + s2

√3

2ds =

√3

2tan−1 s

=

√3

2tan−1 1 + 2ex

√3

となります。よって、∫1

1 + ex + e2xdx = x − 1

2log(1 + e2 + e2x) − 1√

3tan−1 1 + 2ex

√3

となります。

(78) (sinx

1 + cos x

)′=

cos x(1 + cos x) − sinx(− sinx)

1 + cos x=

1

1 + cos x

であることと、

(exf(x))′ = ex(f ′(x) + f(x))

であることから、 (ex sinx

1 + cos x

)′= ex 1 + sinx

1 + cos x

であることがわかります。よって、∫ex 1 + sinx

1 + cosxdx = ex sinx

1 + cosx

です。