8/4/2019 2008-02-13(mateIII)

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FAC. DE CS. FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA — UCA MATEMATICA III – EXAMEN FINAL – 13-02-2008

A: C: Ingenierıa

N: A /  C:

1 2 3 4 5 6 Nota

 Debe fundamentar sus respuestas

1. Analizar la existencia de f u(1, 2) para cada u unitario, siendo

 f ( x, y) =

( x − 1) sen( y − 2) ( x − 1)2

+ ( y − 2)2si ( x, y) (1, 2)

0 si ( x, y) = (1, 2)

2. Para cada una de las afirmaciones siguientes mostrar que es verdadera o dar un contraejemplo, segun corresponda.

a) Si f  : R3 −→ R tiene un maximo absoluto en a ∈ S ⊂ R3, entonces f |S tambien tiene un maximo absoluto en a.

b) Si g : R3 −→ R es de clase C 2, (1, 2, 3) es un punto crıtico de g y det MH g(1, 2, 3) = −2, entonces g tiene un punto de

ensilladura en (1, 2, 3).

3. Sea W  el solido limitado inferiormente por el plano z = 0, lateralmente por el cilindro ( x − 1)2+ y2

= 1 y superiormente

por el paraboloide z = 4 − x2 − y2. Calcular

a) el volumen de W 

b) el area de la parte de la frontera de W  que corresponde al cilindro.

4. Sea W  el solido descripto en el ejercicio anterior. Siendo F( x, y, z) = ( x2, y2, z), calcular

  ∂W +

F · d S

5. Sea D1 : x2+ y2

16 y D = {( x, y) ∈ D1 / ( x + 2, y) > 1 y ( x − 2, y) > 1}. Dado F( x, y) = (− y2, 2 xy), calcular

a) rotF

b)  

 D

4 y dxdy

6. a) Hallar la ecuacion del plano tangente al grafico de f ( x, y) = 3 sen xy − e x+ y en el punto (π, 2,−eπ+2)

b) Sea F : R3 −→ R3 de clase C 2 dado por F( x, y, z) = ( f ( x, y), g( x, y), 0) y S la porcion del cilindro x2

+ y2= 1 encerrada

entre los planos z = 0 y z = y + 3. Calcular  ∂S

F · d s

indicando en un grafico la orientacion dada a ∂S .