20100707-5- FUNDAMENTOS MATEMATICOS PARA APLICACIONES.pdf

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Captulo 1

FUNDAMENTOS SOBRE

ANALISIS FUNCIONAL.Posiblemente el lector no matemtico se pregunte al hojear las pginas si-guientes si el tipo y nivel de la matemtica que presentamos le ser de tilen sus propias investigaciones. En verdad, el contenido de lo que encon-trar el lector es bsico y fundamental, faltando (desde luego) muchos otrostemas importantes tambin. En nuestro medio tal reflexin es algo naturalde hacerse. Debemos resaltar que, en general, la formacin matemtica delos estudiantes en algunas universidades no es la adecuada en los tiempos

modernos, tan exigente en las cuestiones bsicas. El campo de las aplica-ciones utiliza, desde dcadas atrs, una matemtica cada vez mas elaborada;en algunos casos se crean nuevas ideas matemticas para inmediatamente seraplicadas a problemas puntuales. Por esta razn, los artculos que aparecenen revistas de ingeniera, de fsica, de medicina, de economa, ... son cadavez mas tcnicos respecto al lenguaje matemtico. Esto fue, y es, una fuertemotivacin para escribir este libro y que a su vez pueda motivar al ampliouniverso de usuarios de la matemtica.

Sugerimos al lector leer las secciones 1.1, 1.2 y 1.3 como un paquete

integral; existe una intrnseca relacin entre estas secciones. Por ejemplo, lasintegrales usadas en 1.1 pueden ser integrales de Lebesgue, vistas recin en1.3, asi como algunas ideas topolgicas (seccin 1.2) estn latentes en 1.1 y1.3.

El lector es motivado a no desmayar en el estudio de los temas dados si esque est convencido de su utilidad en sus propios intereses profesionales. Enlos ejercicios dados, puede encontrar cuestiones que le ayuden en su apren-dizaje. Asi mismo, en la bibliografa dada el lector encontrar algunos librosque complementar tal aprendizaje, como, por ejemplo, el libro [BAR].

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2 CAPTULO 1. FUNDAMENTOS SOBRE ANALISIS FUNCIONAL.

1.1 Espacios Normados.

1.1.1 Generalidades.

SeaXun espacio vectorial. la aplicacin

k k: X Res unanormasi:

kxk 0, x X; kxk= 0 x= 0;kaxk= |a| kxk , a R, x X;

kx + yk kxk + kyk , x, y X.(X, k k)es llamado unespacio normado.

Nota. El lector que no est familiarizado con los aspectos bsicos de losespacios vectoriales puede ir directamente a los ejercicios 8, 9 y del 12 al 18.

Ejemplos de espacios normados:

i) n N

lp

(n) ={x= (x1,...,xn)} , con kxkp= n

Xi=1

|xi|p!

1p

, 1 p < .

ii) lp (N) =

(x= (x1, x2,...,xn,...)/

Xi=1

|xi|p <

),con

kxkp=

Xi=1

|xi|p

! 1p

, 1 p < .

iii) Lp (R) =

f : R R, Lebesgue medibles/Z

|f(t)|p dt < , conkfkp=

Z

|f(t)|p dt

, 1 p < .

iv) < a < b < , C([a, b]) ={f : [a, b] R, continua}, conkfk= sup {|f(t)|} , t [a, b] .


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1.1. ESPACIOS NORMADOS. 3

SeaXun espacio vectorial (sobre R). La aplicacin

h, i: X X Ces un producto interno si:

hx, xi 0, hx, xi= 0 x= 0;hx, yi= hy, xi;

hx +y, zi= hx, zi +hy, zi , x,y,z X., C.(X, h, i)es llamado un espacio producto internoo espacio pre-hilbertiano.

Ejemplos de espacios productos interno:

i) (Cn, h, i)dondehx, yi=nX

i=1

xiyi conx = (xi) , y= (yi)en Cn.

ii) (l2 (N) , h, i)dondehx, yi=X

i=1

xiyi.

iii) (L2 [a, b] , h, i)con hf, gi=Z b

a

f(t) g (t)dt.

Observacin. h, iinduce una norma va:

kxk= hx, xi12 .

Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Xespacio producto interno. En-tonces, x, y Xse tiene

|hx, yi| kxk kyk .Espacios de Hilbert. Unespacio de Hilbert Hes un espacio produc-to interno el cual es completo, esto es, toda sucesin de Cauchy en H es

convergente (enH).Remarcamos queHes completo como espacio mtrico, donde la mtricao distancia es d (x, y) =kx yk .

Unespacio de Banaches un espacio normado completo.Todo espacio de Hilbert es de Banach; en general, el recproco no es cierto.

SeaXun espacio producto interno. S Xes unconjunto ortogonalsi

hx, yi= 0 x6=y; x, y S.


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Notacin: x

y. Si S es un conjunto enumerable ella es una sucesin

ortogonal. Sikxk= 1, x S, Ses un conjuntoortonormal.Ejemplos de conjuntos ortonormales:

i) {ei}en l2 (n) , ei = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) , i= 1,...,n; en la isimaposicin.

{ei}es la base estandar del2 (n) .

ii) 1

2,

sent

, cos t

,

sen2t

, cos2t

, ... es un conjunto ortonormal en

L2 ([,]) .

1.1.2 Los Espacios de Hilbertl2 (Z) , L2 ([,])yL2 (R) .SeaXun espacio producto interno yx X. Una sucesin(xn)nZconvergeax si > 0, N Ntal que n > Nse tiene kxn xk< .

Remarcamos que (xn)nZ es una sucesin de Cauchy en X si >0, N Ntal que m,n, kxn xmk < .SeaHun espacio de Hilberty (xn)n

Z

(xn) una sucesin en H (Z es el conjunto de los enteros); si

SN =NX

n=Nxn, decimos que la serie

XnZ

xnconverge a xen Hsi (SN)con-

verge ax en la norma deH. Diremos que(xn)es unsistema ortonormal(s.o.n)completosi (xn)es ortonormal y si hx, xni= 0, n Z, entoncesx= 0.

El Espacio l2 (Z).

Por definicin

l2 (Z) =

(z= (z(n))nZ

z(n) C,

XnZ

|z(n)|2 < )

l2 (Z)es un espacio vectorial; six, y l2 (Z), cosideramos

hx, yi=XnZ

x (n) y (n).


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Six

l2 (Z) ,

kxk=

XnZ

|x (n)|2!1

2

.

l2 (Z)es un espacio normado y un espacio mtrico, con la mtricad (x, y) =kx yk .

Se tiene:

XnZ |x (n) y (n)| XnZ |x (n)|2

!12

XnZ |y (n)|2

!12

=kxk kyk ...desigualdad

de Cauchy-Schwarz.

XnZ

|x (n) + y (n)|2

12

XnZ

|x (n)|2! 1

2

+

XnZ

|y (n)|2! 1

2

...desigualdad

triangular.

De un modo masgeneral, parap, qconp >1y1

p+

1

q = 1,si xiy yison

nmeros complejos,i = 1,...,n, entonces:

X|xiyi|

nXi=1

|xi|p

! 1p nXi=1

|yi|q

! 1q.

(Remarcamos que usamos indistintamente la notacin x (i) xi, x (n) =xn).

Adems, si x lp (N) , y lq (N), entoncesX

i=1

|xi| |yi|< y

Xi=1

|xiyi| Xi=1

|xi|p!1p X

i=1

|yi|q!1q

desigualdad de Hlder,

l2 (Z) es un espacio de Hilbert, en donde se considera la base estandar(ei)iZdefinida va

ei(j) =

1 ... sij=i0 ... sij6=i

.


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De esta manera, si x= (x (i))

l2 (Z), entonces

x=XiZ

x (i) ei.

Nota. l2 (Z) es un espacio de Hilbert de dimensin infinita, lo que preci-saremos en otra oportunidad.

Proposicin 1. SeaHun espacio de Hilbert,(aj)jZun conjunto ortonormal

en H y x = (x (j)) l2 (Z). Entonces, la serie

XjZx (j) aj es convergente

enHy XjZ

x (j) aj

2

=XjZ

|x (j)|2 .

Prueba. Si

SN=NX

j=Nx (j) aj, N= 1, 2, 3,...,

para N > Mse tiene

kSN SMk2 =X

M M > K,

XM


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de donde tenemos la tesis.

Bajo que condiciones sobre(aj), tendremosP

hf, aji aj =f, f H?

Proposicin 3. Hespacio de Hilbert, (aj) o.n. en H. Entonces, (aj) eso.n. completo si y solo si

f=XjZ

hf, aji aj, f H.

Prueba.

Seaf H; XjZ

hf, aji aj converge (ag) enH. Entonces,

hg, ami= hf, ami , m Z.

Por lo tanto

hf g, ami= 0, m Z.

Por hiptesis tenemos entonces f=g.

f= X hf, aji aj, f H. Por lo tanto si hf, aji= 0 j, f= 0.

Proposicin 4. (aj)jZ es o.n. enH. Entonces:

i) (aj)es completo ii)espacio generado por(aj) =H

iii)

f

H, lim

kf

k

Xj=1cjaj = 0, dondecj es el coeficiente de Fourierasociado a(aj)

iv) kfk2 =X

j=1

|cj|2 ... identidad de Parseval.

Prueba.(i) (ii) . M =esp. gen.(aj) . Si M 6= H, a 6= 0 en H My existirab6= 0tal queb M;por lo tantob aj, j. Absurdo.


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(ii) (iii) M = H, por lo tanto dado > 0, se tiene fk

Xj=1

jaj < para alguna combinacin lineal; pero los coeficientes de Fourier dan la mejoraproximacin, de donde la tesis.

(iii) (iv)f

kXj=1

cjaj

=... = kfk2 kX

j=1

|cj|2. Tome lmite conk .

(iv) (i) kfk2 =X

j=1

|cj|2 =

Xj=1

|hf, aji|2. Por lo tanto sihf, aji= 0, f= 0.

El Espacio L2 ([,]) .Asumimos fmedible en el sentido de Lebesgue. Por definicin,

L2 ([,]) =

f : [,] C/Z

|f()|2 d<

.

L2 ([,])es un espacio vectorial producto interno con

hf, gi= 12Z

f() g ()d,

conf, g L2 ([, ])y la norma

kfk2 = 1

2

Z

|f()|2 d.

Las desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular

Z

|f()| |g ()| d Z

|f()|2 d 12 .Z

|g ()|2 d 12 ,Z

|f() + g ()|2 d

12

Z

|f()|2 d

12

+

Z

|g ()|2 d

12

.

L2 ([,])es un espacio de Hilbert.


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Definicin.ein

nZ es llamado un sistema trigonomtrico; unpoli-nomio trigonomtrico es una funcin de la formaNX

n=NCne

in, n N,

{Cn}es un conjunto de nmeros complejos.

Corolario. Un sistema trigonmetrico es un conjunto o.n. enL2 ([,]);es tambin completo enL2 ([,]) .

Definicin. Sea f L1 ([,]), esto es, Z |f()| d


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El Espacio L2 (R) .

fes medible segn Lebesgue. Pordefinicin,

L2 (R) =

f : R C/

ZR

|f(x)|2 dx <

.

L2 (R)es un espacio vectorial con producto interno

hf, gi=

ZR

f(x) g (x)dx

y norma

kfk22 =ZR

|f(x)|2 dx.

Se tienen las desigualdades,Z

R

Z

, k k2 k k

Z |f(x) g (x)| dx kfk kgk y kf+ gk kfk + kgk .

Diremos quefn

f enL2 (R)si kfn

fk

0, n

.

El Espacio L1 (R) .

Por definicin,

L1 (R) =

f : R C/

ZR

|f(x)| dx <

,

en donde consideramos la norma

kfk1 = ZR |f(x)| dx.fesintegrablesi f L1 (R). Sif L1 (R) ,Z

f(x) dx

Z

|f(x)| dx= kfk1 .

Nota. L1 (R)es un espacio vectorial normado que no es espacio productointerno.


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1.1.3 Convolucin y Dilatacin.

Seanfy gdos funciones definidas sobre R, tal que casi en todas partes (c.t.p)x Rse tiene Z

R

|f(x y) g (y)| dy < .

Definicin. (f g) (x) =Z R

f(x y) g (y) dy es llamada laconvolucindef yg.

Nota. Si Z |f(x y) g (y)| dy= , (f g) (x) = 0.Corolario. f g= g f.

Proposicin 6.

i) Si f, g L2 (R) ,

|(f g) (x)| kfk kgk , x R.

Por lo tanto f

g

L (R), esto es,supxR

(f

g) (x) 0 real. la dilatacin gt : R C, esdefinida va

gt(x) =1

t g xt . Seag: R C tal que

|g (x)| C1(1 + |x|)2

, x R,

C1 una constante y

Z R

g (x) dx= 1. Entonces,{gt}t>0 es llamada una

aproximacin de la identidad.


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Seaf

L1 (R) ; x

R, es llamado unpunto de Lebesgue def si

limh0+

1

2h

Z hh

|f(x y) f(x)| dy= 0.

Proposicin 7. Si f L1 (R), entonces c.t.p. x R es un punto deLebesgue def

Proposicin 8. Seaf L1 (R)y{gt}t>0una aproximacin de la identidad.Entonces, para todo punto de Lebesgue def tenemos c.t.p. x R,

limt0+

(gt f) (x) =f(x) .

1.1.4 Espacios de Hilbert.

En un espacio producto interno Xvale laidentidad del paralelogramox + y22 + x y2

2 =12 kxk2 + kyk2 , x, y X. ()De un modo mas general, si B es un espacio de Banach, diremos que B esuniformemente convexo si

> 0,

> 0 tal que

x, y

B con

kxk 1, kyk 1y kx yk> , se tiene x + y2 1 .

Proposicin 9. Si Hes un espacio de Hilbert, entonces H es uniforme-mente convexo.Prueba.

Sea> 0, x,y Hconkxk 1, kyk 1, kx yk> .Luego, por () ,

x + y

2

2

+2

4 0) satisface(1 )2 = 1

2

4, entoncesx + y2 1 .

Proposicin 10. H es un espacio de Hilbert, M

H un subconjunto

cerrado, convexo, y vaco. entonces, x H !x0 H tal quekx x0k= min

yMkx yk .

Tal x0 es caracterizado por la propiedad:

x0 M, hx x0, y x0i 0, y M [P]x0 = PMx es llamado laproyeccin de x sobre M.Prueba.

Por hiptesis, sea (yn)en Mtal que

dn= kx

ynk

d= infyM

kx

yk .

(yn)es una sucesin de Cauchy.En efecto, aplicando la identidad del paralelogramo a x yn e x ym,tenemos x yn+ ym2

2 + yn ym22 =12 d2n+ d2m .

Adems,yn+ ym

2 My por tanto,

x yn+ ym2

d, y de esta manera

yn ym2 2 12 d2n+ d2m d2,luego

limm,n

kyn ymk= 0.

Desde queyn x0 M tendremosd = kx x0k .Probemos ahora la equivalencia: x H !x0 Htal que kx x0k= min

yMkx yk . [P].


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Sea x0

M tal que kx

x0k = min

y

Mkx

yk; sea z

M, entonces

y= (1 t) x0+ tzcon0 < t 1; luego,

kx x0k kx ((1 t) x0+ tz)k= k(x x0) t (z x0)k .

De esta manera,

kx x0k2 k(x x0) t (z x0)k2= kx x0k2 2t hx x0, z x0i + t2 kz x0k2 ,

esto es,

2 hx x0, z x0i t kz x0k2 .

Sit 0, se obtiene [P].

Seax0satisfaciendo [P]. Entonces, para todoy M tenemos

kx0 xk2 ky x0k2 = 2 hx x0, y x0i kx0 yk2 0,

de donde se obtiene la tesis.

Finalmente, veamos la unicidad de x0. Sea x

0

0 M satisfaciendotambin [P]. Entonces,Dx x00, y x

0

0

E 0, y M (i)

hx x0, y x0i 0, y M (ii)

Escojamos y = x0en (i),y=x0

0 en (ii); sumando (i) y (ii) obtenemos

Dx x00, x0 x00E+ Dx0 x, x0 x00E 0,de donde D

x0 x00, x0 x0

0

E 0,

esto es,x0 x00 0. Por lo tanto x00 = x0.


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Proposicin 11. Hespacio de Hilbert, M

Hcerrado, convexo, no vaco.

Entonces,PMes un operador continuo. As, si x1, x2 MentonceskPMx1 PMx2k kx1 x2k ( kPMk 1) .

Prueba.Pongamosx

0=PMx1, x

00=PMx2, entoncesD

x1 x0, y x0E

0, y M (i)

Dx2 x00, y x00E 0, y M (ii)Nuevamente, pongamosy = x

00en (i), y = x

0en (ii), se obtieneD

x1 x0 + x00 x2, x00 x0E

0,

de donde

x0 x00

2

D

x1 x2, x0 x00E

kx1 x2k

x0 x

00

,

esto es, x0 x00 kx1 x2k .

Proposicin 12. H Hilbert, M H subespacio vectorial cerrado. Seax H; entonces: x0 = PMx es caracterizado por:

x0 Mhx x0, yi= 0 , y M (P)

Prueba. Probemos [P] (P). En efecto,

Tenemos hx x0, y x0i 0, y M; tambin hx x0, ty x0i0, y M, t R. Por lo tanto

hx x0, ty x0i= t hx x0, yi hx x0, x0i 0.

Pero, hx x0, x0i = 0. Luego, t hx x0, yi 0. Si t = hx x0, yisetiene(P) .


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Tenemosx0

Mehx

x0, yi= 0,

y

M. Luego se tiene

hx x0, y x0i= 0, y M.

Remarcamos que siMes un subespacio de un espacio de HilbertH, x H, y si = inf

yM{ky xk}, entonces!x0 Mtal quekx0 xk< .

Proposicin 13. SeanMyNsubespacios deHtal queM

N, M6=N,

entonces z N, z6= 0, tal quez M.

Si Mes un subespacio deH, entonces H=M M, dondeM esel complemento ortogonal deM. (Teorema de la proyeccin).

Sumabilidad.

Una familia de vectores{xi}en un espacio de Hilbert Hes llamada sumable,

consuma x x= Xi

xi!si dado > 0, conjunto finitoJ0de ndices talque

x XjJ

xj

0, conjunto finito J0 de ndices

tal que XjJxj < , donde Jes un conjunto finito de ndices que esdisjunto deJ0.

Si{xj}es sumable, entonces el conjunto de aquellos ndicesj, para loscualesxj 6= 0, es enumerable.

Una familia ortogonal {xj} es sumable la familia

kxjk2 es su-

mable. (Esto es,X

j

kxjk2 < ).


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1.1.5 Bases en Espacios Normados.

Sea(X, k k) Xun espacio normado(xj)j=1,2,...,N,conN , es llamadaunabasede Xsi x Xpuede ser escrito de un modo nico en la formax=

NXj=1

jxj, donde j C(R) .

SiN < , Xtiene una base finita.SiN= , Xtiene una base enumerable.Nes llamada ladimensin topolgicade X.

Proposicin 15. SeaXun espacio normado. Entonces,

i) Los elementos de cualquier base deXson linealmente independientes.

ii) Toda base deXes una base total enX. Precisemos, seaAel conjuntode lmites en Xde combinaciones lineales de elementos de B, dondeB es una familia de vectores enX. B es llamada total si A= X.

iii) Si (xj)j=1,2,...,Nes una base deX, entonces para cada M, 1 M Ntenemos

X=h

(xj)j=1,2,...,M

ih

(xj)j=M+1,...,N

i=X1 X2,

donde, respectivamente,X1esX2son la cerradura del espacio vectorialgenerado por los vectores (xj)j=1,2,...,M y (xj)j=M+1,...,N.

Adems, (xj)j=1,2,...,M y (xj)j=M+1,...,Nson bases de X1 y X2 respec-tivamente.

iv) Todas las bases enXtienen el mismo nmero de elementos.

Prueba.

i) (xj)j=1,2,...,N base en X; sea 0 =N

Xj=1jxj. Pero 0 =

N

Xj=10xj. Luego

j = 0, j.ii) Aplique la definicin de serie y de familia total.

iii) Siy X, se tiene de un modo nico (con M < )

y=NX

j=1

jxj =MX

j=1

jxj+MX

j=M+1

jxj =y1+ y2, y1 X1, y2 X2.


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iv) Sean(xj)j=1,2,...,Ne(yi)i=1,2,...,Mdos bases deXdonde ellas son a lo mas

enumerables. Si M < N, Mes un nmero natural y Xes un espaciovectorial en dimensin algebraica finita. Luego habran N vectoreslinealmente independientes, una contradiccin.

Un espacio mtrico X, es llamadoseparablesi Xtiene un subconjuntodenso, enumerable.

Proposicin 16. Si X es un espacio normado con una base a lo mas

enumerable, entonces X es separable.

1.1.6 Bases en Espacios de Hilbert.

Proposicin 17. Sea (xj) una base o.n. en un espacio de Hilbert H.Entonces, Hes isomorfo con l2 (N) y existe una equivalencia unitaria Utal queU(xj) =ej, j N, dondeej = (0, ..., 1,..., 0,...)con1ocupando lai-sima posicin.

Adems, x H se tiene x =

Xj=1hx, xji xj y kxk

2 =

Xj=1|hx, xji|

2 .

(Ver proposiciones 3 y 4).Prueba.

Seax Hy N0 N finito; pongamos

xN0 =X

jN0hx, xji xj.

Se tiene,

0 kx xN0k2 =kxk2 hxN0 , xi hx, xN0i + kxN0k2

= kxk2

+ XjN0

|hx, xji|2

XjN0

hhx, xji xj, xi XjN0

hx, hx, xji xji .

Se tiene:

parax1,...,xmtenemos

mX

j=1

xj

2

=mX

j=1

kxjk2

X

hhx, xji xj, xi=X

hx, hx, xji xji=X

hx, xji hx, xji .


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Por tanto,

0 kx xN0k2 =kxk2 +X

jN0|hx, xji|

2 XjN0

|hx, xji|2 X

jN0|hx, xji|

2 .

de esta manera,XjN0

|hx, xji|2 kxk2 desigualdad de Bessel.

De esta manera, XjN

|hx, xji|2 kxk2

y por tanto existeXjN

hx, xji xj

X

jN|hx, xji|

2 <

nXi=m+1

hx, xji xj

2

0, m , n .

Si y = XjN

hx, xji xj, probemos quey = x. Ser suficiente probar que

(x y) xj, j, pues siendo(xj)una base (o.n.), se tendrx y= 0.En efecto, dado cualquierj, sea N0 N finito tal que j N0; entonces

hx xN0, xji = hx, xji X

j0N0

--x, xj0

xj0 , xj

=hx, xji

Xj

0N0

-x, xj0

-xj0 , xj

= hx, xji hx, xji= 0,

esto es, (x

xN0)

xj,

j

N0. Por lo tanto x

y

xj,

j.

Sea ahoraH0=espacio generado por{(xj)}; as, H0=H. Definamos U0va,

U0:H0 l2

mXk=1

kxjk U0

mXk=1

kxjk

!=

mXk=1

kU0(xjk) =mX

k=1

kejk .


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De esta manera,

x, y

H0se tiene

hU0x, U0yi= hx, yi ,

y por tantokU0xk= kxk. Desde queH0 = H, U0, tiene una nica extensin

U :H l2,tal que

hUx,Uyi= hx, yi , x, y H,y kUxk=kxk, lo que implica que el rango de Usea un conjunto cerrado y

que contenga a todos los ejs. De esta manera, rangU=l2.

Proposicin 18. [Proceso de Gram-Schmidt]. Sea H un espacio pre-hilbertiano. Sea (xj)j=1,2,... una sucesin de vectores linealmente independi-entes, finita o infinita enumerable. Entonces existe una sucesin ortonormal(yj)j=1,2,... enH tal que j N, {x1,...,xj}e {y1,...,yj}generan el mismosubespacio deH.

Nota (+). Posteriormente probaremos: un espacio de Hilbert que contieneuna base ortonormal enumerable, es un espacio separable.

Veamos el recproco de la Nota (+).

Proposicin 19. SeaHun espacio de Hilbert separable, entonces Htieneun sistema (yj)j=1,2,... ortonormal completo (una base).Prueba.

Sea(xj)un conjunto enumerable denso enH. Escojamos,z1es el primerxj diferente de cero; z2es el segundoxjdiferente de cero y tal que z2no esten{z1} , escalar;...

zjes el j-simo xjdiferente de cero tal que zjno est en el espacio generadoporz1,...,zj1; ...

SeaMel espacio generado por z1, z2...,zj,...(que son linealmente inde-pendientes); entonces Mes denso en Hy por Gram-Schmidt, (yj)j=1,2,...ortonormal, el cual tambin genera M. As(yj)j=1,2,...es completo.

Proposicin 20. Todo espacio de Hilbert H 6= {0} tiene alguna baseortonormal.

Cundo un conjunto ortonormal es una base ortonormal?... La respuestala da la proposicin 4, que ahora la completamos con la


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Proposicin 40. SeaS={xj}jZ

un conjunto ortonormal en un espacio de

Hilbert H6={0}. Entonces tenemos:

(i) Ses una base ortonormal deH (ii)esp.gen. (S) =H (iii)x xj, j, implicax= 0. Asi, S= {0} (iv) x H, x=

XjZ

hxj, xi xj (serie de Fourier)

(v) x, y H, hx, yi=XjZ

hx, xji hxj, yi (Plancherel)

(vi)

x

H, kxk2 = XjZ |hxj, xi|2 (Parseval).

Prueba.(i) ii) Si esp.gen. (S) 6= H, entonces existe algn x S conkxk = 1.Por lo tanto S {x} sera otro conjunto ortonormal, contradiccin con Smaximal.(ii) (iii)Si S6={0} , esp.gen. (S) =S6=H.(iii) (iv)(Ver Proposicin 17). Por la desigualdad de Bessel (finita),

XjZ0|hx, xji|

2 kxk , Z0 Z

finito; luegoXjZ

|hx, xji|2 < y

XjZ

hx, xji xj converge (las sumas parciales

es una sucesin de Cauchy); sea x0

su lmite. Entoncesx x0 xj, j Z.Luego, por hiptesis,x x0 = 0.As,x=

XjZ

hx, xji xj.

(iv) (v) hx, yi=*X

jZhx, xji xj,

XiZ

hy, xii xi

+=... =

XiZ

hx, xii hxi, yi .

(v)

(vi) kxk2 =hx, xi= XjZ hx, xji hxj, xi= XjZ |hx, xji|

2 .

(vi) (i)Supongamos x6= 0tal queS {x}sea ortonormal. Por lo tantox S, absurdo

1 =kxk2 =

XjZ

|hxj, xi|2 = 0

!.

Probemos ahora la Nota (+).

Proposicin 21. Si el espacio de HilbertH (6={0})tiene una base ortonor-mal enumerable (finita o infinita enumerable), entonces Hes separable.


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Prueba. Si H tiene una base ortonormal B = (ej)j=1,2,... , entonces (ii)

implica que esp.gen.(B)es denso en H. Sea Mel subconjunto enumerabledel esp.gen.(B)formado por aquellas combinaciones lineales, con coeficientesracionales, de elementos deB.

Mes denso enH. En efecto, dadox Hy > 0existew =nX

j=1

jejen

esp.gen.(B)tal quekx wk< . La idea ahora es tomar nmeros racionalesrj tal que|j rj|<

n. Entonces, el vector w

0=

nXj=1

rjej satisface

x w0 kx wk + w w0


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Un espacio de HilbertH (6= 0)de dimensinfinitanes isomorfo aRn,

en caso contrario,Hes isomorfo al2 (N) . (Hes un espacio separable).

Ejercicios 1.1

1. (i) De dos ejemplos de normas.

(ii) El valor absoluto, | |, en R, es una norma?

(iii) En R, cmo definira un producto interno?

(iv) Defina a un espacio de Hilbert, a un espacio de Banach.

(v) R2

= {(x, y)/ x, y R}, es un espacio de Hilbert?, es de Ba-nach? Justifique.2. (i) En R3 existe una conocida base ortonormal, cul es?, porqu es

una base?

(ii) Qu diferencia a un espacio de Banach de un espacio de Hilbert,en general?, qu relacin existe entre ambos espacios?

(iii) Cul es el mensaje de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en unespacio producto interno?

3. Si usted fuera un profesional no matemtico (ingeniero, fsico, economista,...)exprese su sentimiento sobre la posible utilidad de lo tratado en estaseccin en su propio campo de investigacin.

4. Va un adecuado grfico interprete a las proposiciones:

(i)Proposicin 10; (ii)Proposicin 12; (iii)Proposicin 13.

5. (i) Cul es el mensaje del Proceso de Gram-Schmidt?

(ii) Cundo un conjunto ortonormal es una base ortonormal? (Exis-ten diversas respuestas).

(iii) De acuerdo a la Proposicin 23, Rn y

Cn ={z= (z1,...,zn)/ zies un nmero complejo, i = 1,...,n}

son espacios isomorfos? Justifique.

6. Estudie la demostracin de los siguientes resultados (que se encuentranen la literatura sobre anlisis funcional; ver la Bibliografa):


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(i) Si Xes un espacio producto interno, entonces

|hx, yi| kxk kyk , x, y X

(desigualdad de Cauchy-Schwarz).

(ii) Interprete a la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio l2 (Z) .

(iii) Pruebe a la desigualdad triangular: si x, y l2 (Z), entoncesXnZ

|x (n) + y (n)|2! 1

2

XnZ

|x (n)|2! 1

2

+

XnZ

|y (n)|2! 1

2

.

7. Si f , g L2 (R) , x,y R, pruebe que

(i) hRxf, Rygi= hf, Ryxgi ;

(ii) hf, Rygi= (f eg) (y) .8. Si x = (x1, x2) , y= (y1, y2)estn en R2, se tienehx, yi= x1y1+ x2y2.

Si x, y son diferentes de cero, definimos el ngulo entre x e y va

cos= hx, yi

kxk kyk , donde remarcamos quekxk= px21+ x22.Dos vectores xe y en R2 sonparalelossi = 0 = . Escribimosx//y.

x e y son ortogonales o perpendiculares si =

2. Escribimos

x y.

(i) Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ningunode los dos casos.x = (3, 5) , y= (

6,

10); x= (2, 3) , y= (6,

4)

(ii) Si x = (2, 5) , y= (, 2), determine tal quex e y sean ortogonales; xe ysean paralelos.

(iii) Si x 6= 0,y un vector cualquiera y

w= y hx, yikxk2

x,

pruebe quew x.


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9. Con la notacin de 8, si x, yson vectores diferentes de cero, la proyec-

cin dey sobrex es el vector proyxydefinido va

proyxy=hx, yi

kxk2x.

El grfico adjunto ilustra la idea de proyeccin.

(i) Si x = (1, 1) , y= (2, 3), calculeproyyx.(ii) Si P = (2, 3) , Q = (5, 7) , R = (2, 3) y S = (1, 2), calcule

proyRS

P Q.

10. Estudie lo expuesto en los ejercicios 8 y 9 en el espacio R3.

11. Con la notacin del ejercicio 8, pruebe:

(i) Si x 6= 0, y= xcon 6= 0constante x//y.(ii) x y hx, yi= 0.

12. Espacios Vectoriales. Unespacio vectorialreal Xes un conjuntode objetos llamados vectores, asociado con las operaciones deadicin

y de lamultiplicacin por un escalar que satisface:

(i) x + y X, x, y X.(ii) (x + y) + z=x + (y+ z) , x,y,z X.

(iii) 0 Xtal quex + 0 = 0 + x= x, x X. 0 =cero deX.(iv) x X, x Xtal quex+ (x) = 0. x=opuesto de

X.

(v) x + y= y+ x, x, y X.


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(vi) Si x

X, escalar, entonces x

X.

(vii) (x + y) =x +y, x, y X, escalar.(viii) (+) x= x +x, x X, ,escalares.

(ix) (x) = () x, x X, ,escalares.(x) 1x= x, x X. 1identidad multiplicativa.

Pruebe que:

(a) Rn ={x= (x1,...,xn)/ xi R, i= 1,...,n}es un espacio vectori-al.

(b) X={0}es un espacio vectorial.

(c) X={ (x, y)/ y= mx, mreal fijo,x R}es un espacio vectorial.(Xes una recta que pasa por el origen).

13. (a) X={1} ,es un espacio vectorial?

(b) X={ (x, y)/ y= 3x + 2, x R} ,es un espacio vectorial? (Xesuna recta que no pasa por el origen).

14. X es un espacio vectorial. H X es un subespacio vectorial (osimplemente, subespacio) deXsi:

x, y Hse tienex + y H, x H, x Hpara todo escalar .

(Todo subespacio contiene al cero 0).

(i) Si X = R2, es H = {(x, y)/ x= y} un subespacio vectorial deR2?; es H = {(x, y)/ x2 + y2 1} un subespacio vectorial deR2? Justifique.

(ii) X= R3. Pruebe que

H={ (x,y,z)/ x= at, y= bt, z =ct, a, b, c, t R}es un subespacio de R3. Cmo es el grfico deH?

15. Independencia Lineal. Sea X un espacio vectorial. Los vectoresx1, x2,...,xnen Xson linealmente independientes (l.i.), si la ecuacin1x1+2x2+...+nxn = 0implica 1 =2 =... =n = 0. En ca-so contrario diremos quex1, x2,...,xnsonlinealmente dependientes(l.d.).


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(i) Pruebe que x1y x2es un espacio vectorial Xson linealmente dependientes

x1 = x2, escalar.Ejemplo. Determine si los vectores

123

,

220

,

017

enR3 son linealmente dependientes o linealmente independientes.

Solucin. Tenemos,

1

123

+2

220

+3

017

= 000

,

que implica

1+ 2221 22+331+ 73

=

000

,

o sea,

1+ 2

2 = 0

21 22+3 = 031+ 73 = 0

.

Resolviendo el sistema, 1 = 2 = 3 = 0. Por lo tanto los vectoresdados son linealmente independientes.

(ii) En R3, determine si los vectores

10

1

,

01

1

y

11

0

son l.d. l.i.

(iii) En R3, determine si los vectores

130

,

304

y

11612

son l.d. l.i.


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16. Decimos que los vectores x1, x2,...,xnen un espacio vectorial Xgen-

erana Xsi para todox Xexisten escalares 1,2,...,ntal quex= 1x1+2x2+ ... +nxn.

Ejemplo. EnR3, los vectores

i=

100

, j =

010

y k=

001

generan a R3

.

(i) Determine si los vectores

111

,

011

y

001

generan R3.

(ii) Determine si los vectores

112

,

112

y

001

generan R3.

17. Xes un espacio vectorial y x1, x2,...,xk kvectores enX. Elespaciogeneradopor x1, x2,...,xk es el conjunto

gen [x1, x2,...,xk] ={ x

X/ x= 1x1+2x2+ ... +kxk, 1,2,kescalares}

(i) Pruebe que gen[x1, x2,...,xk]es un subespacio de X.

Ejemplo. Sean x1 = (2, 1, 4) y x2 = (4, 1, 6)dos vectores enR3. DetermineH=gen[x1, x2] .

Solucin. Por definicin,

H=

x R3x= 1(2, 1, 4) +2(4, 1, 6)


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Six = (w1, w2, w3) ,

w1 = 21+ 42w2 = 1+2w3 = 41+ 62

(*)

(*)es un sistema de ecuaciones en 1y 2((w1, w2, w3)es consi-derado fijo).El sistema(*)tiene una solucin solo si 5w1 2w2 3w3= 0, querepresenta un plano en R3 que pasa por el origen. Este plano esH.

(ii) Si ye zestn en gen[x1, x2,...,xk], pruebe que y+z

gen[x1, x2,...,xk],escalar.

(iii) Si x1 = (1, 2,3) y x2 = (1, 2, 3)estn en R3 y x2 = cx1, c

constante, pruebe que gen[x1, x2] es una recta que pasa por elorigen.

18. Bases y Dimensin de un Espacio Vectorial. Xespacio vectorial.El conjunto{x1, x2,...,xk}de vectores en Xes una base de Xsi:

{x1, x2,...,xk}es linealmente independiente y

{x1, x2,...,xk}generaX.

Ejemplo.

e1 =

100...0

, e2 =

010...0

, ..., en=

000...1

es unabase (estandar) deRn.

Ejemplo. Determine una base para los vectores que estn en el plano

=

xyz

/2x y+ 3z= 0

Solucin. es un plano que pasa por el origen y es un espacio vec-

torial. Si

xyz

, la idea es elegir x, z en forma arbitraria y


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de esta manera y = 2x+ 3z. As, los vectores de tienen la forma x2x + 3z

z

. Eligiendox = 1, z = 0 obtendremos v1 =

12

0

;si

x= 0, z= 1se obtienev2=

031

. Desde que

x2x + 3zz

=

120

x +

031

z

vemos que{v1, v2}genera . Adems, v1yv2son l.i. (ya que ningunoes mltiplo del otro). Por lo tanto {v1, v2}es una base para .

(i) Determine si {1, 1}es una base paraH={(x, y) R2/ x + y= 0} .(ii) Halle una base en R3 para el conjunto de vectores que estn en el plano

2x y z= 0.(iii) Halle una base en R3 para el conjunto de vectores situados en la recta

x

2=

y

3=

z

4.

Dimensin de un Espacio Vectorial.Ladimensinde un espacio vectorial X, que tiene una base finita, esel nmero de vectores que tiene cualquiera de las bases deX. En estecaso Xes un espacio vectorial dedimensin finita. Por ejemplo, Rn

es un espacio de dimensinn.

19. SeaXun espacio vectorial de funciones definidas sobre R, asociado con

hf, gi=XtR

f(t) g (t).

Pruebe queXes un espacio producto interno.20. Pruebe que en un espacio producto interno se tiene

|kxk kyk| kx yk .

Six, yson vectores 6= 0, pruebe que

kx + yk= kxk + kyk y= x,donde > 0 real.


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1.2. ASPECTOS BSICOS SOBRE TOPOLOGA. 33

21. En un espacio producto interno X, pruebe que si

(i) xn 0(cero deX),ynes acotado, entonces hxn, yni 0.(ii) kxnk kxky hxn, xi hx, xi, entoncesxn x.

22. Six= (x1, x2,...,xn) Rn, pruebe que las funciones

kxk1=nX

i=1

|xi| , kxk2=

nXi=1

|xi|2

! 12

, kxkp=

Xi=1

|xi|p

! 1p

, 1< p < ,

ykxk= max1in

|xi|

son normas sobre Rn.

1.2 Aspectos Bsicos sobre Topologa.

1.2.1 Motivaciones.

La topologa general es una rama de la matemtica que hace uso frecuentede la teora de conjuntos, en este contexto la idea de conjunto abierto es vital(y por dualidad, lo es la idea de conjunto cerrado). En base a estas nocionespodemos dar la de funcin continua y la de convergencia. A un toplogo leinteresa las propiedades cualitativas; para l, los siguientes conjuntos son lamisma cosa.

En cambio


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y

no son la misma cosa.La idea es que (i) puede ser transformado en (ii), (iii) en (iv) satis-

facindose las dos condiciones:

(a) la deformacin debe hacerse sin romper la figura...condicin de con-tinuidad.

(b) dos puntos distintos no deben coincidir en la transformacin...la trans-formacin es biunvoca.

Por ello decimos que (i), (ii), (iii) y (iv) son figuras equivalentes o topo-logicamente equivalentes. (v) y (vi) no son topologicamente equivalentes.Tampoco lo son

y .

Observemos que en el anlisis de estas figuras, la nocin de medida o derea no entra en juego. La topologa (general) estudia las propiedades cuali-tativas. El nombre de topologa fue introducido por el matemtico Listingen 1847. En contraste, la geometra euclidiana estudia a las magnitudes queson invariantes cuando una figura es sometida a un movimiento. Ella es unageometra mtrica en donde las ideas de longitud, rea, volumen,...son ideasbsicas. En la geometra proyectiva se estudian a las propiedades que soninvariantes por proyecciones y por secciones. La topologa estudia transfor-

maciones que son mas amplias, incluyendo a la geometra mtrica y a laproyectiva.

1.2.2 Espacios Mtricos.

Los espacios mtricos fueron introducidos por M. Frchet en 1906 y desar-rollados por F. Hausdoff, entre otros matemticos de inicios del siglo XX.Estos espacios generalizan al espacio Rn y son casos particulares de espaciostopolgicos.


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SeaMun conjunto no vaco. La funcin

d: M M R(x, y) 7 d (x, y)

es llamada unamtricao unadistanciasi d satisface:

(i) d (x, y) 0; d (x, y) = 0 x= y;(ii) d (x, y) =d (y, x) ;

(iii) d (x, y) d (x, z) + d (z, y)...desigualdad triangular.

(M, d)es llamado unespacio mtrico.Ejemplo 1. (Rn, d)es un espacio mtrico, donde

d (x, y) =

vuut nXi=1

(xi yi)2, x= (x1,...,xn) , y= (y1,...,yn) .

Ejemplo 2. M6= 0es un conjunto arbitrario. Entonces (M, d)es un espaciomtrico donde

d (x, y) = 1 ... x6=y

0 ... x= y

Ejemplo 3. Seaf : R Runa funcin estrictamente creciente. Sid: R R R+; d (x, y) =|f(x) f(y)| ,

entonces(R, d)es un espacio mtrico.

Ejemplo 4. En Rn, si x = (x1,...,xn) , y = (y1,...,yn) consideremos lasfunciones

d1(x, y) =nX

i=1

|xi yi| , d2(x, y) = supi

{|xi yi|}

entonces(Rn, d1)y (Rn, d2)son espacios mtricos.La funcin d del ejemplo 1 nos motiva considerar la norma de x Rn

(longitud o valor absoluto) va, |x| =

s nXi=1

x2i donde x = (x1,...,xn). Es


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claro que | | satisface las condiciones que definen a una norma (ver 1.1.1).

Entonces tenemosd (x, y) =|x y| .EstudiemosRn como un espacio mtrico.(xk)denota una sucesin de puntos de Rn. Six Rn, diremos que (xk)

converge a x si d (x, xk) 0 cuando k . Diremos quex es el puntolmitede (xk). Escribimos lim

kxk = x. Sea Eun conjunto en Rn. x Rn

es llamado unpunto lmite(o deacumulacin) deEsix es punto lmitede alguna sucesin de puntos diferentes de E. xespunto aisladodeEsix no es lmite de cualquier sucesin en E, en donde excluimos la sucesin(xk) conxk = x, k. Luego,xes punto aislado de E > 0tal qued (x, y)> , y E, y6=x.

Una sucesin (xk)en Rn es llamada una sucesin de Cauchy si dado

>0 (real), Nnatural tal que d (xk xj)< para todo k, j N. Todasucesin de Cauchy en Rn es una sucesin convergente a un punto de Rn.Por ello decimos que Rn es un espacio mtricocompleto.

Un conjunto A A1 es llamado densoen A1 si para todo x1 A1 y>0,xAtal que 0< d (x, x1)< . En otras palabras, Aes denso enA1si todo punto de A1es un punto lmite deA. SiA = A1, Aesdenso ensi mismo. En R1, los nmeros racionales es denso en los reales. El conjuntode puntos en Rn cuyas componentes son nmeros racionales, es denso en Rn.Asi,Rn tiene un subconjunto enumerable denso; por esto decimos que Rn esunespacio separable.

SeaAun conjunto en Rn. Eldimetrode Aes definido va,

(A) =diamA= sup {d (x, y)/ x, y A} .Aes llamadoacotadosi (A)< 0, esto es, A es acotado si una constantefinitaMtal que|x| M, x A.

La distancia entre dos conjuntos A1y A2 se define va

d (A1, A2) = inf{ d (x, y)/ x A1, y A2} .


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Topologa de los Espacios Mtricos.

Sean x Rn, > 0 real. La bola abierta, con centro x y radio es elconjunto

B (x, ) ={ y/ d (y, x)< } .

Un puntoxde un conjuntoAes llamado unpunto interiordeAsi > 0tal queB (x, ) A. Por definicin,

A=interior de A = { x A/ xes punto interior de A} .

Un conjunto Aes llamado abiertosi A = A. Luego,Aes un conjuntoabierto si para todo x A, > 0 tal queB (x, ) A.

Convenio: el conjunto vaco es abierto.Rn y la bola B (x, ) son conjuntos abiertos. Un conjunto Aes llamado

cerrado si su complemento CA es abierto. Luego, y Rn son conjuntoscerrados.

Por definicin, lacerradurade A es

A= A

{puntos lmites deA} .

Proposicin 1.

(i) B (x, ) ={ y/ d (y, x) }(bola cerrada)

(ii) Aes cerrado A= A (Acontiene a todos sus puntos lmites)

(iii) Aes cerrado; Aes el mas pequeo conjunto cerrado que contiene aA.

La frontera deAes definida siendoA= A A.

Proposicin 2.

(i) Si {Ai}iIes una familia de conjuntos abiertos enRn, entonces

SiI

Ai

es un conjunto abierto.

(ii) Si A1,...,Am son conjuntos abiertos, entoncesmT

i=1

Ai es abierto.


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Por esta proposicin podemos dar la

Definicin. Rn asociado con la familia de todos sus abiertos (que satisfacenla Proposicin 2), es llamado unespacio topolgico.

Va lasleyes de Morgan,

C

[i

Ai

!=\

i

CAi y C

\i

Ai

!=[

i

CAi

se obtiene en forma equivalente la

Proposicin 20.

(i) Si {Fi}iIes una familia de conjuntos cerrados enRn, entonces

Ti

Fi

es un conjunto cerrado.

(ii) Si F1,...,Fm son conjuntos cerrados en Rn, entoncesmS

i=1

Fi es cerra-

do. Luego, la topologa en Rn puede tambin ser introducida va losconjuntos cerrados.

Un subconjunto A1 A es llamado relativamente abiertocon re-specto aA si A1= A

Gpara algn abierto G.

A1 es relativamente cerradocon respecto a Asi A1 = A F paraalgn cerradoF.

Proposicin 3. A1 Aes relativamente cerrado con respecto aA A1=A A1 todo punto lmite de A1, el cual est en A, est en A1.

Conjuntos de Tipo Ay A.

Sea{Ai}una familia de conjuntos. Diremos que un conjuntoAes detipoAsiA puede ser escrito como una interseccin enumerable de conjuntos Ais. Aes detipo A si puede ser escrito como una unin enumerable de Ais.

Asi, en Rn diremos que un conjunto Hes de tipoGsiH=Tk

Gk, donde

Gk es un conjunto abierto en Rn; H es de tipo F si H =S

k

Fk, con Fk

cerrado.F es un conjunto perfecto si es cerrado y denso en si mismo. Una

propiedad importante de los conjuntos perfectos es que son enumerables. Los


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conjuntos abiertos enRn admiten descomposiciones en trminos de intervalos.

Veamos.

Caso R1: todo conjunto abierto en R1 puede ser escrito como una uninenumerable de intervalos abiertos disjuntos.

Caso Rn: todo abierto en Rn, n 1, pude ser escrito como una uninenumerable de cubos (generalidades a Rn) que a lo mas se intersectan en susbordes.

Una familia C = {Ai}de conjuntos es un cubrimientode un conjuntoAsi A

Si Ai. Unsubcubrimiento C1 de Ces un cubrimiento tal que siAi C1, Ai C.Un cubrimientoCes llamado uncubrimiento abiertosi cada elemento

deCes abierto.

Definicin. A es un conjunto compacto si todo cubrimiento abierto deAtiene un subcubrimiento finito.

Proposicin 4. (Teorema de Heine - Borel)

(i) A Rn es compacto Aes cerrado y acotado.

(ii) A Rn es compacto toda sucesin de puntos en A tiene una sub-sucesin la cual converge a un punto deA.

Funciones.

Sea

f : A Rn Rx 7 f(x)

es una funcin de valor real, la que puede tomar los valores . Si|f(x)|


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(Observe que sopfsiempre es un conjunto cerrado).

Seafdefinida en una vecindad de x0 Rn. Diremos quefescontinuaenx0 sif(x0)es finita y lim

xx0f(x) =f(x0). Seax0 A Rn y fdefinida

sobreA; diremos quefescontinua enx0relativo aAsif(x0)esfinito y, x0es un punto aislado deA x0es un punto lmite de Ay lim

xx0f(x) =f(x0) .

SiA1 A, fes llamadacontinuaen A1 relativo a Asi fes continuarelativo aA en todo punto de A1.

Proposicin 5. Sea A Rn un conjunto compacto; f es continua en Arelativo aA. Entonces,

(i) fes acotada sobreA supxA

|f(x)|< .(ii) fasume su supremo y su nfimo sobreA ( x1, x2 Atal quef(x1) =

supxA

f(x) , f(x2) = infxA

f(x)).

(iii) fes uniformemente continuo sobreA relativo aA (dado > 0, >0tal que si |x y|< , x,y A, entonces

|f(x) f(y)|< d (f(x) , f(y))< ).

Sea(fk)una sucesin de funciones definidas sobreA. Decimos que(fk)converge uniformementea f (finito) sobre Asi dado > 0, K(natural) tal que k Kse tiened (fk(x) , f(x))< , x A.

Proposicin 6. Sea (fk) una sucesin de funciones definidas sobre A,continuas en A, relativas a A, y tal que converge uniformemente, sobre A,af (finita). Entonces, fes continua sobreA, relativo aA.

Unatransformacin Tde un conjunto A Rn en Rn es la aplicaciny=T x

Precisemos. Si y= (y1,...,yn)entonces Tes identificada con el conjuntode las funciones coordenadas yk =fk(x) , k= 1,...,n, inducidas por T.


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Por definicin, laimagende A bajoT es

T(A) ={ y/ y= T x, algnx A} .

T escontinuaen x0 A(relativo aA), esto es limxx0

T x= T x0, cadafk es continua en x0 (relativo a A).

Proposicin 7. Seay= T xuna transformacin deRn, la cual es continuaen A(relativo aA). Si A es compacto, entonces T(A)es compacto.

1.2.3 Espacios Topolgicos.Para un toplogo las dos figuras siguientes

son topolgicamente equivalentes o iguales. Porqu?... porque suponien-do que ambas figuras estn hechas de un material deformable, podramospasar de la figura (a) a la figura (b), y viceversa, sin romper las figuras (con-tinuidad) ni superponer puntos (biunivocidad). En la geometra de Euclides,las figuras geomtricas son no deformables; el aspecto cuantitativo dominaal cualitativo; la nocin de distancia entre puntos es una idea absoluta. Conlos espacios mtricos, la nocin de distancia se relativiza estos espacios estn,de alguna manera, entre Euclides y la idea de espacio topolgico, donde locualitativo es lo esencial.

Topologa y Espacios Topolgicos.

SeaX un conjunto. Una familia Tde subconjuntos de Xes llamada unatopologade Xsi:

(i) T, X T;

(ii) siUi T, i I(conjunto de ndices), entoncesS

iIUi T;


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(iii) siU1, U2,...,Umestn enT, entoncesTiIUi T.Definicin. (X, T) es llamado un espacio topolgico. Los elementosde Xson llamados puntos y los elementos de T son llamados conjuntosabiertos.

Corolario. La familia de conjuntos abiertos en un espacio mtrico satisfacenlos axiomas (i), (ii) y (iii). Porqu?...(ver Proposicin 2). Luego, todoespacio mtrico es un espacio topolgico. Cmo son los conjuntos abiertosen el espacio topolgico?

Un espacio topolgicoXes llamadometrizablesi enXpuede ser intro-ducida un mtrica tal que la topologa determinada por la mtrica coincidecon la topologa de X. No todo espacio topolgico es metrizable.

Ejemplos.

1. Todo espacio mtrico (M, d)es un espacio topolgico. Cmo son losabiertos en el espacio topolgico Rn?

2. Xes un conjunto arbitrario (6=); entonces T ={X,} es una topologa

enX, llamadatopologa trivialoindiscreta. Esta es una topologamnima que solo tiene dos elementos.

3. X conjunto arbitrario. Entonces T P(X) = {subconjuntos deX}es una topologa en X, llamada la topologa discreta y posee el mayornmero de conjuntos abiertos.

4. Sea el conjunto X={a,b,c}. Entonces(X, T)es un espacio topolgico,donde

T ={, {a} , {a, b} , {a, c} , X} .

Sea(X, T) un espacio topolgico. Decimos que F Xes unconjuntocerrado si XFes un conjunto abierto; es decir, un conjunto es cerrado (conla topologa T) si su complemento (respecto a X) es abierto. Por ejemplo,en el plano R2 con la topologa como espacio mtrico, la bola (cerrada)

B ((x0, y0) , r) =

(x, y) R2 d ((x, y) , (x0, y0)) res un conjunto cerrado pues su complemento (respecto al plano) es abierto.


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En un espacio topolgico (X, T), diremos que N

Xes unavecindad

dex N si U T tal quex U N. EnR2, la bola abiertaB ((x0, y0) , r) =

(x, y) R2 d ((x, y) , (x0, y0))< r

es vecindad de su centro(x0, y0) .

La siguiente caracterizacin es til: en un espacio topolgico, U T x U, una vecindadNdex tal queN U.

SeaE X. Diremos que x0 Xes unpunto de acumulacin deEsi toda vecindad N de x0 contiene al menos un x

E conx 6= x0. En el

intervalo abierto (a, b) , a y b son puntos de acumulacin del intervalo. Elconjunto de todos los puntos de acumulacin de E, E0,se llama elconjuntoderivadodeE. Lacerradura,E,deEes definida siendoE=

TiI

Fi, donde

Fies cerrado tal que E Fi. La cerradura del intervalo(a, b)es el intervalocerrado [a, b]. La cerradura deB ((x0, y0) , r)es B ((x0, y0) , r) .

Funciones Continuas.

Sean (X, T1) , (Y, T2) dos espacios topolgicos y f : X Y una funcin.Diremos quefescontinuaenx0

Xsi

V

T2tal quef(x0)

V,

U

T1 con x0 U, tal quef(U) V.

fescontinua enXsi lo es en todo elemento de X.

La siguiente caracterizacin es til.

Sean (X, T1)y (Y, T2)dos espacios topolgicos, f :X Yuna funcin;entonces,

fes continua V T2, f1 (V) T1. x0 X, vecindadV def(x0)en Y, existe una

vecindad Udex0enXtal quef(U) V.


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Ejemplo. Sea el espacio topolgico (X, T), donde X = {a,b,c,d} y T =

{X,, {a} , {b} , {a, b} , {b,c,d}}. Definamosf :X Xva el grfico:

Entonces: (i). fno es continua enc; (ii).fes continua en b.Solucin.

(i). Por hiptesis f(c) = b; sea la vecindad V = {b} de b; existir unavecindad Ude ctal que f(U) V? ... Veamos,{b,c,d}es una vecindadde c y toda vecindad Ude c es tal que {b,c,d} U. Pero,f({b,c,d})6ya que f(b) =d 6 {b}. Por tanto, la respuesta es negativa y fno escontinua enc.

(ii). f(b) = d. Si tomamos Xcomo vecindad de d, entonces existe una

vecindad U = {b} de b tal que f(U) X. La otra vecindad ded es {b,c,d} y tomamos U = {b} como vecindad de b y tendremosf(U) =f(b) ={d} V ={b,c,d} .

Homeomorfismos.

Los espacios topolgicos (X, T1) y (Y, T2) son llamados homeomorfos siexiste una biyeccin h : X Ytal quehy h1 son funciones continuas.

hes llamado unhomeomorfismo.Lasfiguras (a) y (b) presentadas al inicio de esta seccin, son dos figuras

homeomorfas. Asi, la idea del homeomorfismo es que transforma un espacioen otro de un modo continuo y sin romper o doblar al espacio. Loshomeomorfismos son llamados tambintransformaciones topolgicas.

SeaSun subconjunto de un espacio topolgico (X, T). En Sse puedeintroducir una topologa va la siguiente idea:

U, subconjunto de S, es un conjunto abierto en Ssi W T tal queW S=U.


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En otras palabras, si j es la inyeccin cannica j : S

X, j (y) = y,

entonces la familia: TS={j1 (W)/ W T } es una topologa en S.(S, TS)es llamdo unsubespaciodel espacio topolgico (X, T) .

1.2.4 Qu es la Topologa?

La topologa es una rama de la matemtica que estudia la nocin de funcincontinua en su contexto mas generalizado. Los espacios topolgicos son losuniversos en donde se desarrollan las ideas topolgicas. Tales espacios sonmuy amplios razn por lo cual es conveniente imponer algunas condicionesextras para aplicarlas a situaciones particulares. En la topologa surgen dife-rentes tipos de espacios topolgicos especiales, en funcin a tales condicionesextras.

En la seccin 1.1. hemos presentado a los espacios normados, en particulara los espacios de Hilbert. Ellos son casos particulares de espacios topolgicosen el siguiente sentido.

Sea(X, k k)un espacio normado. Sea la bola (abierta) de centrox0 Xy radior,

B (x0, r) ={ x X/ kx x0k< r} .Un conjunto U

Xes llamado abierto si para todo x

U,

B (x, r)tal

queB (x, r) U. La familia de todos los conjuntos abiertos, en tal sentidoes una topologa en el espacio normado X.

Conclusin: El espacio normadoXes un espacio topolgico. En particular,todo espacio de Hilbert es un espacio topolgico; todo espacio de Banach esun espacio topolgico. An mas, el espacio de LebesgueL2 (R)es un espaciotopolgico.

La topologa es un amplio sub-universo de la matemtica; ella influymucho en el desarrollo de la matemtica contempornea.


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Ejercicios 1.2.

1. (i). Dibuje dos figuras que sean topologicamente homeomorfas o equi-valentes.

(ii). Dibuje dos figuras que no sean homeomorfas.

(iii). En su entorno fsico, puede descubrir objetos que sean homeo-morfos?, que no lo sean?

(iv). Una moneda de 10 centavos y una moneda de un sol, son equi-valentes topologicamente?, porqu?

2. (i). En su propia profesin (fsico, matemtico, ingeniero, economista,

... ), Ud. podra precisar algunas situaciones en donde tenga objetosque sean homeomorfos?, qu no sean homeomorfas?

(ii). Recordando sus estudios de geometra plana, agrupe algunas fi-guras de modo que ellas sean homeomorfas entre si (con un pocode paciencia, las puede encontrar)

(iii). Observemos una cmara de llanta de carro completamente inflada.Ella es homeomorfa a una pelota de futbol, inflada tambin.

3. Pruebe que las funciones d (x, y) dadas en los ejemplos 1, 2, 3 y 4,

seccin 1.2.2; son mtricas, y que por tanto los respectivos espacios,son espacios mtricos.

4. Dado un espacio mtrico, explique como se puede introducir una topologaen tal espacio.

Nota. El lector es sugerido a consultar la excelente obra [BAR], seccin8. pag. 69, para complementar el aprendizaje de algunos aspectosbsicos de la topologa general, asi como de otros temas del anlisisreal.

5. Pruebe las frmulas dadas en las Leyes de Morgan.6. Pruebe la proposicin 1, 1.2.2.

7. Pruebe la proposicin 2, 1.2.2.





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13. En los ejemplos 2, 3 y 4, 1.2.3., justifique que las respectivas familiasT

0s son en efecto topologas.

14. En el plano R2, con la topologa de espacio mtrico, d dos ejemplosde conjuntos abiertos y de conjuntos cerrados.

15. Cundo dos espacios topolgicos son homeomorfos?

16. Para funcionesf : R R, d dos ejemplos de funciones continuas y dedos funciones que no sean continuas. Justifique.

17. Explique como un espacio de Hilbert puede ser tambin considera-do como un espacio topolgico. L2 (R), visto en 1.1., es un espaciotopolgico?, Cmo se definiran las respectivas bolas (abiertas)?; Co-mo definira un conjunto abierto en L2 (R)?

18. Si Ud. fuera un profesional no matemtico, exponga una crtica si loque Ud. est aprendiendo sobre topologa (y sobre espacios normados)le podra servir en las investigaciones tericas en su propia especialidad.Si Ud. lee revistas especializadas en su campo de inters, los artculos

usan un lenguaje matemtico, similar al que estamos tratando? Sila respuesta fuera negativa, cree Ud. que vale la pena cultivar unrazonamiento lgico-matemtico como el que est realizando?

19. Qu es la topologa? ... Para mayores comentarios ver, por ejemplo,[ORT.2]. (En las bibliotecas de la PUCP, UNT y otras bibliotecas deprovincias, existe un ejemplar de esta obra).

20. SeaX6= un conjunto arbitrario. Definamos

d (x, y) =

1 ... x6=y0 ... x= y

.

Pruebe qued es una mtrica.

21. Seaf : R Runa funcin estrictamente creciente (si x < yentoncesf(x)< f(y)).

Definamos

d: R R R(x, y) d (x, y) = |f(x) f(y)|

Pruebe qued es una mtrica.


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22. Sean x = (x1, x2, x3) , y = (y1, y2, y3) dos elementos cualesquiera de

R3. Definamos

d1(x, y) =3P

i=1

|xi yi| , d2(x, y) = supi=1,2,3

{|xi yi|} .

Pruebe que d1 y d2 son dos mtricas en R3. Recordemos que enR3

tenemos tambin la mtrica

d (x, y) =

vuut

3

Xi=1(xi yi)2

23. Sea Xun conjunto infinito. Pongamos T = {, X , U / Uces finito},donde Uc significa el complemento de U respecto a X. Pruebe que(X, T)es un espacio topolgico.

24. SeaXun conjunto y

Y, T 0

un espacio topolgico, y sea la aplicacinf : X Y. Pruebe que T = f1 (V)/ V T 0es una topologa enX.

25. SeanT1 y T2 dos topologas sobre un conjunto X. Pruebe que T1 T2es una topologa enX.

26. Sea (X, T) un espacio topolgico. Pruebe que F Xes un conjuntocerrado todo y F0 (conjunto derivado de F), est en F. Esdecir,F

0 F.27. (X, T) es un espacio topolgico; sea E Xun conjunto. El interior

deEes definido siendo E=

SiI

Ui, dondeUi T yUi E.

Lafronterade EenXes definida siendo E=E

E.

Pruebe.(i). Ees un conjunto abierto E E=.

(ii). Ees un conjunto cerrado E E.(iii). E=E E.

28. EyFson subconjuntos en un espacio topolgico (X, T). Pruebe que:

(i). E F implicaE0 F0 ;


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1.3. ASPECTOS BSICOS SOBRE MEDIDA Y LA INTEGRAL. 49

(ii). (E

F)

0

=E0

F

0.

29. Sean(X, T1) , (Y, T2)dos espacios topolgicos. Pruebe que: f :X Yes continua f1

F

[f1 (F)], para todoF Y.

30. Pruebe que la biyeccin f : X Y, entre dos espacios topolgicosX, Y, es un homeomorfismo fA =f(A), para todoA X.

1.3 Aspectos Bsicos Sobre Medida y la In-

tegral.En esta seccin vamos a considerar una idea fundamental de la matemtica:la idea de integral. Este concepto lo hemos empleado en la Seccin 1.1.El camino natural e histrico es el siguiente orden: la integral de Riemann,la integral de Riemann-Stieltjes y la integral de Lebesgue. Desde que laintegral de Riemann-Stieltjes es una generalizacin natural de la de Riemann,comenzaremos estudiando brevemente a la integral de Riemann-Stieltjes. Ellector es sugerido a consultar [BAR], [WHE-ZYG] y [ORT.1].

En su evolucin, la idea de integral est relacionada con la idea de reao volumen de figuras geomtricas familiares. Desde la poca de los antiguosgriegos ya tal idea estaba en gestacin. La tarea de calcular longitudes,reas y volmenes llev de un modo natural, a fines del siglo XIX, a lainvestigacin de una idea mucho mas general, a la idea de medida defiguras mas complicadas que las familiares de la geometra bsica.

1.3.1 La Integral de Riemann-Stieltjes.

Asumimos que el lector est familiarizado con la integral de Riemann

Rb

af(x) dx

de una funcinfdefinida sobre el intervalo[a, b]. Esta es la integral que se

estudia en los cursos bsicos de clculo y que se utiliza en las aplicacionesmas familiares en ingeniera, fsica y otros campos. Ahora estudiaremos unageneralizacin de esta integral para considerar a la integral de Riemann-Stieltjes

Rba

f(x) (x) dx, donde (x) es una adecuada funcin, que en elcaso particular (x) =x, se obtiene a la integral de Riemann.

Seanfydos funciones de valor real definidas sobre el intervalo cerradoI = [a, b], tal que f y son acotadas sobre I. Una particin, P, deI es un conjunto finito de puntos x0, x1, x2, ..., xn1, xn tal que a =


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x0 < x1 < x2 < . . . < xn1 < xn = b. Asi se tienen los subintervalos

[xk1, xk] , k= 1, 2,...,n. El nmerokPk= max

i=1,...,n{xi xi1}

se llama lanormade P. SiP yQ son dos particiones de I, decimos queQes unrefinamientodeP, queQ esmas finoqueP, si todo subintervaloenQ est contenido en algn subintervalo en P. EscribiremosP Q.

SeaPuna particin de I. Unasuma de Riemann-Stieltjesde f conrespecto a y la particin P (x0, x1,...,xn)es un nmero real S(P; f, )de la forma

S(P; f, ) =nX

k=1

f(k) ( (xk) (xk1)) [+]

dondexk1 k xk, k= 1,...,n. En el caso (x) =x, se obtiene la sumade Riemann

nXk=1

f(k) (xk xk1) .

Definicin. Decimos que f es integrable con respecto a sobre I siexiste un nmero real A tal que para todo > 0, existe una particin P deItal que siPes un refinamiento deP y si S(P; f, )es cualquier suma deRiemann-Stieltjes correspondiente aP, entonces

|S(P; f, ) A|< .Aes univocamente determinado y escribimos

A=

Z ba

fd=

Z ba

f(t) d (t) .

Z b

a

fdes llamada laintegral de Riemann-Stieltjesdefcon respecto

a sobreI= [a, b] .

Ejemplos.

Si (x) =x, Z ba

f d=

Z ba

f dx

es la integral de Riemann.


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Parax

[a, b] , es definida siendo

(x) = 0 ... x= a

1 ... 0< x b

Entonces, existeZ b

a

fdsi y solo si fes continua en a, y se tiene

Z ba

fd= f(a) .

Nota. Mirando [+], la definicin dada la podemos expresar en la forma,

limkPk0

S(P; f, ) =A.

Se tienen los siguientes resultados.

(i). Si fes continua sobre [a, b]y es continuamente diferenciable sobre[a, b], entonces Z b

a

fd=

Z ba

f0dx.

En efecto, observemos que, por el teorema del valor medio,

S(P; f, ) =nX

k=1

f(k) ( (xk) (xk1)) =nX

k=1

f(k)0 (k) (xk xk1) ,

donde xk1 k, k xk. Tomando lmite de S(P; f, ) cuandokPk 0y usando la continuidad uniforme de 0, se obtiene que

limkPk0

S(P; f, ) =

Z b

a

f0dx.

(ii). Sea (x) una funcin escala definida sobre [a, b], esto es, si a =x0 < x1 < ... < xn = b,entonces es constante sobre cada subinter-valo (xk1, xk). Sean los lmites laterales, por la derecha e izquierda,respectivamente,

(xk+) = limxx+

k

(x) , k= 0, 1,...,n 1


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y

(xk) = limxx

k

(x) , k= 1,...,n;

y sean los saltos de ,

dk= (xk+) (xk) , k= 1,...,n 1.

d0= (x0+) (x0) , dn= (xn+) (xn) .

Sifes continua, se verifica que

Z ba

fd=nX

k=0

f(xk) dk.

(iii). (a). Si f1 y f2 son funciones integrables con respecto a sobre I,y si r1, r2 son nmeros reales, entonces r1f1+ r2f2 es integrable conrespecto a sobreI, y se tiene:Z b

a

(r1f1+ r2f2) d= r1

Z ba

f1d+ r2

Z ba

f2d.

(b). Si f es integrable con respecto a 1 y 2 sobre I y r1, r2 sonnmeros reales, entoncesfes integrable con respecto a= r11+r22,y se tiene Z b

a

fd= r1

Z ba

fd1+ r2

Z ba

f d2.

(iv). SiZ b

a

fd existe y a < c < b, entoncesZ c

a

fd yZ b

c

f d tambin

existen y se tiene

Z b

a f d= Z c

a f d+ Z b

c f d.

(v). (Integracin por Partes). SiZ b

a

fdexiste, entonces tambin existeZ ba

dfy se tiene:

Z ba

f d= [f(b) (b) f(a) (a)] Z b

a

df.


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(vi). (Teorema del Valor Medio). Si f es continua sobre [a, b] y es

una funcin acotada y creciente sobre [a, b], entonces existe [a, b]tal que Z b

a

fd= f() [ (b) (a)] .

(vii). Sea fcontinua sobre I y es montona creciente sobre I, entoncestenemos

Z b

a

f d Z b

a

|f| d

kfk ( (b) (a)) ,

dondekfk= supxI

{|f(x)|} .

Adems, si m f(x) M, x I, entonces

m { (b) (a)} Z b

a

fd M{ (b) (a)} .

(viii). Veamos la siguiente cuestin. Sea (fn) una sucesin de funciones tal

que cadafnes integrable respecto a una funcin , montona creciente,y tal que fn f, n , en cada punto deI; tendremosZ b

a

f d= limn

Z ba

fnd? (+)

Veamos el siguiente ejemplo ([BAR], pag. 286). Sea I = [0, 1] y (x) = x (recuerde que en este caso la integral de Riemann-Stieltjeses la integral de Riemann).

Para n 2, sea la ecuacin

fn(x) =

n2x ... 0 x 1n

n2

x 2n

...

1

n x 2

n

0 ... 2

n x 1


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Observemos que, para cadan, fntiene el siguiente grfico adjunto.

Adems, Z 10

fnd=

Z 10

fn(x) dx= 1

(el rea del tringulo del grfico es igual a 1); por definicin,fn f0, n . Luego, Z 1

0

f d=

Z 10

fdx= 0.

Conclusin: Z 10 fndnoconverge a Z 1

0fd.

Qu condicin extra hay que imponer para que se tenga (+)? ... laconvergencia uniforme. Al respecto se tiene el siguiente resultado.

(ix). Sea (fn) una sucesin de funciones integrables con respecto a , unafuncin montona creciente sobreI, tal quefnconverge uniformementea fsobre I. Entonces,fes integrable con respecto asobre Iy adems

Z b

a fd= limnZ b

a fnd.

Para el caso particular (x) =x se tienen algunos importantes resul-tados, como son los siguientes.

(x). (Teorema de la Convergencia Limitada). Sea(fn)una sucesinde funciones integrables segn Riemann sobre I= [a, b]tal que

kfnk supxI

{|fn(x)|}< B, n N.


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Si en cada punto deIse tiene quefn

f, dondefes integrable segn

Riemann, entonces Z ba

fdx= limn

Z ba

fndx.

(xi). (Teorema de la Convergencia Montona). Sea(fn)una sucesinmontona de funciones integrables segn Riemann tal que, en cadapunto deI= [a, b] , fn f, dondefes una funcin integrable segnRiemann. Entonces

Z b

a

fdx= limnZ

b

a

fn

dx.

Volvamos a la integral de Riemann-Stieltjes. SeaC(I)el espacio de lasfunciones continuas, de valor real, definidas sobre I= [a, b], en dondeconsideramos la norma

kfk= supxI

{|f(x)|} .

La funcinG: C(I) R es llamada unafuncional linealsobreC(I)si

G (m1f1+ m2f2) =m1G (f1) + m2G (f2) ,

dondem1, m2son nmeros reales y f1, f2estn en C(I) .

La funcional lineal Ges llamada positivasi para toda f C(I)talquef(x) 0, x I, se tiene G (f) 0. Tal Gesacotadasi existeuna constanteMtal que

|G (f)| Mkfk , f C(I) .

(xii). Sea una funcin montona creciente y G : C(I) Rdefinida va

G (f) =Z b

a

f d, f C(I) .

EntoncesGes una funcional lineal acotada positiva sobre C(I) .

Frederic Riesz fue un famoso matemtico hngaro que contribuy aldesarrollo del anlisis funcional con profundos resultados, uno de loscuales, puesto en el contexto de lo que estamos tratando, es el siguienteresultado.


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(xiii). (Teorema de Representacin de Riesz). Si G es una funcional

li-neal acotada positiva sobreC(I), entonces existe una funcin mon-tona creciente sobreItal que

G (f) =

Z ba

f d, f C(I) .

La demostracin de este teorema puede ser encontrada en [BAR], pag.290; ella es un tanto elaborada pero es una buena oportunidad paraque el lector se entrene en algunas tcnicas que se usan para probarresultados del anlisis funcional.

Remaracamos que estamos tratando a la integral de Riemann-Stieltjes,la que es una generalizacin de la integral de Riemann. La teora dela integral es una rea muy importante del anlisis matemtico y estil en muchsimas aplicaciones. El lector seguramente en sus estudiosbsicos debe haber estudiado a la integral de Riemann (capaz sin sabertal nombre) y debe recordar algunos teoremas bsicos, como el teoremade valor medio, al teorema de diferenciacin y al teorema fundamentaldel clculo. Recordemos estos resultados.

(xiv). (Primer) Teorema del Valor Medio. Seafuna funcin continua,de valor real, definida sobreI= [a, b]y una funcin creciente sobreI. Entonces existe un nmero c en Ital que:Z b

a

f d= f(c)

Z ba

d= f(c) ( (b) (a)) .

(xv). Teorema de Diferenciacin. Seafcontinua sobre Iy crecientesobreIla que tiene derivada en un punto c en I. Entonces, la funcin

F(x) =

Z xa

f d, x I,

tiene derivada enc y F0 (c) =f(c)0

(c) .

(xvi). Teorema Fundamental del Clculo Integral. (Caso Riemann).Sea f continua sobre I = [a, b]. Una funcin F, definida sobre I,satisface

F(x) F(a) =Z x

a

f, x I F0 =fsobreI .

(xvii). (Segundo) Teorema del Valor Medio.


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(a) Si fes creciente y es continua sobre I= [a, b], entonces existe

un puntocen Ital que:Z ba

f d= f(a)

Z ca

d+ f(b)

Z bc

d.

(b) Sifes creciente y hes continua sobreI, entonces existe un puntocen Ital que Z b

a

fh= f(a)

Z ca

h + f(b)

Z bc

h.

(c) Si fes creciente no - negativa y hes continua sobre I, entoncesexiste un punto c en Ital queZ b

a

fh= f(b)

Z bc

h.

(xviii). Integracin por Partes. Si f y g tienen derivadas continuas sobreI= [a, b], entonces

Z b

a

f g0

=f(b) g (b)

f(a) g (a)

Z b

c

f0

g.

(xix) Teorema de Cambio de Variable. Sea definida sobre [c, d], devalor real, con primera derivada continua y supongamos que a= (c) 0, existe un conjunto abierto Gtal queE Gy |G E|e0, a. () = y0. () = 0.

Definicin. Sea (X, A)un espacio medible. Entonces,

(a). La funcin f : X R es llamada medible (Lebesgue) si para todo R,

f1 (], +]) ={ x X/ f(x)> }est enA, es decir,f1 (], +])es un conjunto medible;

(b). La funcin f :X C (nmeros complejos), de la forma f =g +ih,es llamada medible si g yhson funciones medibles.

Ejemplo. Sea lafuncin caractersticade un conjunto E, XE, definidapor:

XE(x) = 1 ... x E0 ... x / E .Si Ees un conjunto medible, entoncesXEes una funcin medible (porqu?).

Proposicin. Sea(X, A)un espacio medible; seanfygfunciones medibles,entonces tambin son funciones medibles:

mf, m R; f+ g;f g; max(f, g) , min(f, g) ;f+ = max (f, 0) , f= max (

f, 0) ; |f| .

En un espacio medida, un conjunto medible E tiene medida cero si (E) = 0.Diremos que una propiedadPse satisfacecasi en todas partes(c.t.p.) enEcon respecto a si Pse satisface enE, excepto a lo mas en unconjunto de medida cero.

Por ser de utilidad, vamos a precisar algunos tipos de convergencia de unasucesin de funciones{fn} , n= 1, 2,..., la que converge a una funcin f .


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Convergencia Uniforme: diremos que fn

funiformementesi dado

>0existe un entero positivo N =N()tal que para todo nNy todox, se tiene

|fn(x) f(x)|< .Convergencia Puntual (o Simple): diremos quefn fpuntualmenteenXsi dado > 0,existeN=N(, x)tal que n N, se tiene

|fn(x) f(x)|< .Convergencia Puntual c.t.p.: diremos que fn f puntual c.t.p. sifn

fen todo punto xque est en el exterior de un conjunto de medida

cero.

Convergencia en Medida: dado > 0, sea el conjunto

En= { x/ |fn(x) f(x)| } ,donde fn, n, y f son medibles (luego En es un conjunto medible, conmedida (En)).

Diremos que fn f en medida si (En) 0, es decir, , > 0cualesquiera, N=N(, )tal que n N, se tiene (En) .Ejemplo. Sea el intervalo[0, 1]en donde consideramos la medida de LebesgueenR1 y consideremos la sucesin:

f0(x) =

1 ... x [0, 1]0 ... complemento

, f1(x) =

1 ... x 0, 1

2

0 ... complemento

,

f2(x) =

1 ... x 1

2, 1

0 ... complemento , f3(x) =

1 ... x 0, 1

3

0 ... complemento

,

f4(x) = 1 ... x 13 , 230 ... complemento , f5(x) = 1 ... x 23 , 10 ... complemento ;en general,

fk(x) =

1 ... x

p

n,p + 1

n

0 ... complemento

,


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donde n es un entero tal que

n (n 1)2

k n (n + 1)2

, y p= k n (n 1)2

.

Desde que {x/ |fk(x)| } 1n

0, cuando k , se tiene quefk 0 en medida. Observemos que, por otra parte, {fk} no converge enpunto alguno de [0, 1] .

Veamos ahora la idea particular de funcin medible segn el enfoqueintuitivo de la medida de Lebesgue.

Definicin. Seaf :E R2 R, f(x) +, x E, dondeEesun conjunto medible. fes una funcin medible (Lebesgue) si

E() ={ x E/ f(x)> }es un conjunto medible enR2, para todo R.

Ejemplo. Toda funcin f : E R2 R continua, es medible. [ObservequeE() =f1 (], [)es un conjunto abierto en R2 ya quefes continua,y por tantoE()es medible-Lebesgue].


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Teorema 2. f :E

R2

R es medible

una de las siguientes condi-

ciones se satisface para todo finito:

(a). {x E/ f(x) } es medible;(b). {x E/ f(x)< }es medible;(c). {x E/ f(x) } es medible.

Prueba.

(a). {x E/ f(x) } =

Tn=1x E/ f(x)> 1

n, donde cada con-

junto en la interseccin es medible.(b). {x E/ f(x)< } =complemento de {x E/ f(x) } (Corolario

2. (e)).

(c). {x E/ f(x) }=complemento {x E/ f(x)> }, el cual es med-ible (an por corolario 2. (e)).

Teorema 3. Si f yg son funciones medibles, entonces asi lo esf+ g.Prueba.

Sies finito, ges una funcin medible, luego{x/ f(x) + g (x)> }= { x/ f(x)> g (x)}

es un conjunto medible (ya que: si fyg son medibles, entonces el conjuntoE={ x/ f(x)> g (x)}es medible). Luego, f+ ges una funcin medible.

Corolario. Si f1, f2, ..., fn son funciones medibles y r1, r2, ..., rn son

nmeros reales, entoncesn

Xk=1rkfk es una funcin medible. Teorema 4. Seanf y g dos funciones medibles, finitas c.t.p. Entonces fges medible.Prueba.

Se sabe que f2 =

=|f|2

es medible pues flo es. Entonces, de

f g=(f+ g)2 (f g)2

4


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se concluye quefges medible.

Teorema 5. Seanf, f1, f2, f3, ..., fk, ...funciones medibles yfinitas c.t.p.enE.

Si limk

fk =f c.t.p. sobreEy |E|< , entonces lim fk =fen medida.

La clase de los conjuntos medibles segn Lebesgue es muy amplia; incluyea los conjuntos abiertos bsicamente, asi como a otros conjuntos raros.Sin embargo, es factible construirse conjuntos los cuales son no mediblessegn Lebesgue. Dado que una funcin medible se define en base a la ideade conjunto medible, la clase de las funciones medibles segn Lebesgue sertambin una clase amplia de funciones. Esto fue un mrito de la teora generalde la medida. Ahora el paso siguiente es integrar funciones medibles, lo querequiere de un punto de vista un tanto diferente a la usada por Riemann.Comenzamos con la teora en Rn y luego pasamos al caso general de enfocarla integral cuando se dispone de un espacio medida (X,A,) .

1.3.4 La Integral de Lebesgue en Rn.

En general, la teora de funciones tuvo un gran desarrollo a fines del sigloXIX, lo que estimulado en parte con la creacin de la teora de conjuntospor G. Cantor y con la formulacin de la teora de la medida de conjuntos,lo que una culminacin de un proceso en participaron notables matemticos,entre los que mencionamos a los franceses Borel, Baire y H. Lebesgue. Ya amediados del siglo XIX, Dirichlet haba considerado a la funcin

f(x) =

1 ... si xes racional

0 ... si xes irracional,

x [0, 1]. Esta funcinno es integrable segn Riemann, lo que exigi unarevisin de esta integral. Por otro lado, sea el intervaloI = [0, 1] y consi-deremos los nmeros racionales r1, r2, ..., rm enI. Definamos la sucesinde funciones{fn(x)}, donde

fn(x) =

1 ... si x = rm, m= 1, 2,...,n

0 ... para los dems x en I .


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Observemos que, para cadan, fn(x)es integrable segn Riemann, pero

su lmite es la funcin de Dirichlet

f(x) =

1 ... xracional

0 ... xirracional,

que como sabemos no es integrable segn Riemann. Otra dificultad en lateora de Riemann es la siguiente. SobreI= [0, 1], consideremos la sucesin{fn(x)}, donde

fn(x) =

n ... si x

0,1

n0 ... otrosx.

Entonces observamos que fn(x) 0peroZ 1

0

fn(x) dx = 1, para todo

n. Luego se tiene

limn

Z 10

fn(x) dx6=

Z 10

lim fn(x) dx,

algo no deseado. La teora de la medida clarifica esas y otras situaciones.

Veamos.Sea f una funcin (de valor real) medible, definida sobre un conjuntomedibleE Rn. Consideremos primero el casof0.

Elreade la funcin fes definida siendo el conjunto

A (f, E) =

(x, y) Rn+1x E, 0 y f(x) .

Observemos que en esta interpretacin, el rea es un conjunto y no unnmero.

Elgrficode fes definido siendo el conjunto,

(f, E) =

(x, y) Rn+1x E, y= f(x) .


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Definicin. Si A (f, E)es un conjunto medible enRn+1, la integral de fsobreEes por definicin: |A (f, E)|n+1, la que denotaremosZ

E

f(x) dx Z

E

f .

Corolario. 0 Z

E

f

Definicin. fes unafuncin integrable segn Lebesguesi|A (f, E)|n+1


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(i). fes una funcin simple positiva;

(ii). fes una funcin positiva;

(iii). fes una funcin arbitraria.

Veamos. Sea(X,A,)un espacio medida y sea s una funcin simple

s (x) =nX

j=1

j XEj(x)

definida sobre X. Definimos la integral (de Lebesgue) de s sobre X con

respecto a, siendo el nmero positivo, denotado con Z X

sdy que puede

tomar el valor+, definido va:ZX

sd=nX

j=1

j (Ej) .

SiZ

sd < , diremos ques es integrable(Lebesgue).SiE A, definimos la integral des sobreEva,Z

E

sd=Z

X

sXEd=nX

j=1

j (E Ej) .

Se tiene, para la funcin caracterstica de E,ZE

d=

ZX

XEd= (E) .

Veamos ahora el caso de una funcin medible positiva. Sea(X,A,)unespacio medida y f : X R+ una funcin medible positiva. Llamamos laintegral defrespecto a la medida siendo el nmero positivo (que puede

tomar el valor+) y denotado conZ

X

f d, definido va:

ZX

fd= sup0sf

ZX

sd

,

donde s es una funcin simple.


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Esta definicin se sustenta en el siguiente resultado: toda funcin medi-

ble positiva, de valor real, es el lmite de una sucesin creciente de funcionessimples medibles.

SiZ

X

fd < , diremos que fesintegrable o sumable.SiE A, definimos: Z

E

f d=

ZX

fXEd.

Tratemos ahora elcaso generalcuandofes una funcin (medible) ar-

bitraria, con valores en R. La idea es usar la descomposicin f =f+ f,donde f+ yfson funciones positivas medibles, definidas va:

f+ = max (f, 0) y f= max (f, 0) .

Entonces consideramos la siguiente definicin de integral.Sea (X,A,) un espacio medida y f : X R una funcin medible.

Diremos quefesintegrablesobre un conjunto E AsiZ E

f+d < yZ

E

fd < .

Laintegralde fsobreEes definida va:ZE

fd=

ZE

f+d Z

E

fd .

Nota. En el caso de que fasuma valores complejos, f =f1+if2, se tienela definicin Z

E

fd=

ZE

f1d + i

ZE

f2d .

Cuando la medida es la medida de Lebesgue | |, la integral Z E

fd

es la integral de LebesgueZ

E

fdx. Es oportuno observar, tambin, que si

ffuera la funcin de Dirichlet, hemos ya mencionado que fno es integrablesegn Riemann; sin embargo, en el sentido de la integral de Lebesgue setiene, Z

fdx= |Q|= 0,


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donde Qes el conjunto de los nmeros racionales.

Veamos algunas propiedades de la integral.

Teorema 7. Sea(X,A,)un espacio medida; fyg son funciones (medibles)definidas sobreX, con valores enR+; E1 yE2 estn enA. Se tiene:

(i). Si 0 f g, entonces0 Z

E1

fd Z

E1

gd;

(ii). Si E1 E2, entonces Z E1 fd Z E2 fd;(iii). Si E1 E2 = , se tiene

Z E1E2

fd=

Z E1

f d +

Z E2

fd;

(iv). Si fes integrable, entonces

Z E1

f d

Z

E1

|f| d.

Teorema 8. [Convergencia Montona]. Sea (X,A,) un espacio me-dida; (fn) es una sucesin de funciones medibles, fn : X R+ tal que x X, n N, se tiene 0 fn(x) fn+1(x). Entonces la funcin f,definida por

f(x) = limn

fn(x) ,

es medible y positiva; adems, para todo E A se tiene

limn

ZE

fnd =

ZE

fd

Teorema 9. Sea(X,A,)un espacio medida; f yg son funciones mediblessobreE A. Entonces,

(i).Z

E

fd=

Z E

fd, R.

(ii).Z

E

(f+ g) d=

Z E

fd +

Z E

gd.


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Teorema 10. Sea (X,A,) un espacio medida y f : X

R una funcin

medible. Entonces,f es integrable |f|es integrable.Prueba.

= . Seafintegrable; entonces,Z

X

f+d < yZ

X

fd < . Luego,Z

X

|f| d=

ZX

f+ + f

d=

ZX

f+d +

ZX

fd < .

Por tanto,|f|es integrable.

=. Sea|f| integrable. Se tiene 0 f+

|f| y 0 f |f|, luegoZX

f+d Z

X

|f| d < yZ

X

fd Z

X

|f| d < .

Entonces, ZX

fd=

ZX

f+d Z

X

fd < .

Luego, fes integrable.

Teorema 11. Sea (X,A,) un espacio medida y f :X R+ una funcinmedible, positiva. Entonces,Z

X

fd= 0 f= 0 c.t.p.

Al inicio de la seccin 1.1.1 hemos considerado al espacio

L1 (R) =

f : R Rmedible Lebesgue/

Z

|f(t)| dt <

,

o an mas en general al espacio de Lebesgue

Lp (Rn) =

f : Rn Rmedible Lebesgue/

ZRn

|f(x)|p dx &

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20100707-5- FUNDAMENTOS MATEMATICOS PARA APLICACIONES.pdf