22

2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Citation preview

Page 1: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKAL

GMAN�OPQRSRTR<URVWXRYTUVZ<[QP\VTR\]<P_<[QP\ZRQ_T_<R<SPXU_<UP<RTXaSTVUPTP<UP<YT_bU_YTTP<UP<VWSPWP<cdefgheijikleddmchffghfflkn n n ]<P<SPW\VPTP<R<SPXUP<UPboQP\_T_<RTVSVpVqSRU_<VY\_<Y<pVqSP<UP<YT_TVpVTR<SPXUP<UP<ej<<<

r@stJu

DMAN�vSPX_awa\UV]<Y<xVS_VUP<i<yaTV<y_ow_\ZQP<_T<za\{VUPTP<VQP<Ya|PTP<_}V_\P<PT_<XPzSPT<YaY<YTSPUP<d<YQj<

A~<<OPQRSRTR<\VpRT_<UP<ySPX_awa\UVP�<�~<�_\_< [TVV<}_Z<TSZ}XP<zP<YR< [yZT<WP<}_ZzVYXPURT_<UP<

ySPX_awa\UVP<V<XPzSPTP]<P_<h<[TVZ<YazaS{P<f<\VTSP<}_Z<V<Y<h<\VTaS<YR<}_ZzVYXPT<l<XjQj<<

r@stJu

�MAN��<i<QPPSV<VQP<_}|_<hg�<Q<yPUzR\Vj<�\Rz<PT_<_T<yaSXPTP<QPPSP<_TSZWP\V<fl<Q]<_VT_<YP<Y<g<Q<y_XRR<_T<XT_SPTP<QPPSP]<P<_T<TSRTPTP<QPPSP<_TSZWP\V<Y<h<Q<y_XRR<_T<XT_SPTP<QPPSP]<XaX<XYZP<RzUP<_T<QPPSVTR<_YTPUP\V<RzUPXV<yPSRTP<za\{VUP<yPUzR\Vj<v_<_\_<QRTSP<yPUzR\P<R<VQP\_<X<UPP\_T_<XaX<XYZP<_T<TSVTR<QPPSV�<<<

<r@stJu

�#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;���

Page 2: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSTUAV

GWAX�QYZ[\Y]<]Y<_ab]a_ Y<]Y<[c\YcY<<< < < defghij<< < klmnopmqrqstmllukpnnopnnts vtmwx x x y <

< QYZ[\Y]<]Y<z {|\[]}YY<]Y<vtmw<~<plpo< < ���efghi�<< QYZ[\Y]<]Y<]Yb�ZY�}aa<z [\[�[�\]a<z[_�a<_<�[�\Y<]Y<

_a[�[ <\Y{]Y<]Y<m<~<pmww< < < < < < < �efghi�<< �a��zY{Y]<]Y<[c\YcY<plpo<~<�<�<pmww< < < �efghi�<< QYZ[\Y]<]Y<�<�<tpo<< < < < < < ���efghi�<

DWAX�<MY<]YZ[\Y]<�}{r<�<��\r<�<qt<Z< �efghi�e

MY<]YZ[\Y]<]Y<_\Y][ <]Y<�\Y{a|�|�][}Y<_|a{ ]a<pt<Z<[<n<Z e e e e e e e e e e defghije

MY<]YZ[\Y]<�[� a<]Y<}{Y�\YY<~<mn<}{rZ<< < < �efghi�e

MY<]YZ[\Y]<�[� a<]Y<�\Y{a|�|�][}Y<~<nl<}{rZ< < �efghi�e

MY<]YZ[\Y]<}a�}a<�[\Y<�a�<_Y<]a��a�[Z[<~<om<�r< �efghi�<<MY<]YZ[\Y]<]Y<�\a�<]Y<}�[[ <~<pn<< �efghi�<

�WAX�nt<~<o<�<qv<Z<a<{a\YY<�Y]��}Y<< < < < �efghi�<qv<�<p<�<ql<Z<a<\ YY<�Y]��}Y<<< < < < �efghi�<qv<�<ql<�<nt<�<ppv<Z<a\�cY�[<{_[z}a< < < < �efghi�<po�<~<ppv<�<nt<Z<a_Y]Y�[<{<\[ <ZY}Y\[<<< < < �efghi�<nt<u<q<�<pn<Z<a_Y]Y�[<{|{<{_�}Y<ZY}Y\Y<<< < < ���eefghij<pn<�<nt<�<om<Z<{<�|\{YY<ZY}Y\Y<< < < < < ���efghij<pn<�<qv<�<op<Z<{|{<{a\YY<ZY}Y\Y< < < < < ���efghij<<pn<�<ql<�<ot<Z<{<\ YY<ZY}Y\Y<< < < < < ���efghij<<

< < < < < < < < < < <<

Page 3: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJAK<

GLAM�NOPQRPSTPSP<U<V<W<X<YZ<[\]X<< Z_<abZcd_<e<dZfbgh<<i<j<Zk<

afZb<V<lh<X<Zm<e<__Zc<X<c<j<gZb<< n<j<Zfc<<cb<V<fZo<e<Zfc<<fm< p@qrIs

DLAM�<<t[uPTv<Q[<SOvwxwyTv\<v<\z[uO[SZ<\]vS]<vR[S<O[zTv<]{v\]y\v<<[h<|\]<yv}PS]<T[<SOvwxwyTv\[<P<fZc<\z<RZ<uzP<]S<QSO[TvSP<RW<Q[<_Zc<R<

v<_Zb<RZ<[<zvQ]~vT[S[<\wR<SOPS[S[<QSO[T[<P<fZc<RZ<T[RPOPSP<QSO[T[<T[<\z[uO[S[�<< <

{h<�]y\]<yvSO[<z]u[<�P<Q[<TP]{U]uvRv<u[<QP<T[�wyTv<[\z[OvWR<Q<�]OR[<T[<�O[z]wxwyPT<�[O[yPyP�v�PuZ<[\]<v�RPOPTv�S[<RW<�<v<�<Q[<Qw]SzPST]<O[zTv<T[<T[��R[y\[S[<v<T[��x]y�R[S[<QSO[T[<T[<SOvwxwyTv\[Z<[<zvQ]~vT[S[<RW<��P<O[zT[<T[<QSO[T[S[<T[<\z[uO[S[< <

p@qrIs

�LAM��uT]<PQSPQSzPT]<~vQy]<�P<T[Ov~[RP<�\O[Qvz]�Z<[\]<zQ�\[<TPx]z[<}v�O[<P<�]�x]y�R[<]S<Q{]O[<T[<}v�OvSPZ<\]vS]<QP<T[RvO[S<zu�QT]<]S<TP�<�[�OvRPO<~vQy]S]<fm_<P<�\O[Qvz]�Z<�[�]S]<_<�<Z<m<�<_<e<Z<f<�<m<e<_<e<<t[<QP<T[RPO�S<zQv~\v<�\O[Qvzv�<�PS}v�OPTv<~vQy[<< << < < < < p@qrIs< �#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;���

Page 4: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSTAU

<

GVAW�QXYZ[X\]<\X<<<_<<< < < < < < abcdefgb

QXYZ[X\]<\X<<h<_<i<< < < < < < abcdefg<< QXYZ[X\]<\X<<j<_<klm<< < < < < < abcdefg<

n[]oYpqX\]<\X<<r<s<t<u<j<_<<s<i<u<klm<_<<s<<_<v<<<< wbcdefx<

DVAW�<<QXYZ[X\]<q[]qXqX<oq[X\X<\X<q[Zyzy{\Z|X<}lm<u<~vl<�<}lm�<_<m<Y<< < < < < < < < < < < abcdefg<QXYZ[X\]<oq[X\XqX<\X<|�X�[XqX<�l�<u<�<_<klm<Y<<< < abcdefg<<QXYZ[X\]<��]YX<\X<�X[X{]{]�Z�]�X<<�<_<<klm<�m<�klm<<_<ml��<|t��<Y

abcdefg< n[]�[y�X\]<\X<ml��<|t��<Y<_<ml��<�kvvv<_<m��v<|t��<�Y<_<m��v<{Zq[X<<< < < < < < < < < < < < wbcdefx<

�VAW�O�\X�X�X\]<\X<�Zo{�q�<�����<< < ���bbcdefg<N|�<��o{]�\XqX<�Z�[X<]<���z�{pYX<Z{Z<[X�\X<\X<kl<q�]�< k��l<q�< k��Z{Z<�<]<��\]<ml< k m��� l<q�]�<�<]<��\]<�l< k m ���� � l<q�]�<�]<��\]<��<K�zX�X<k m � � k��� � � � l<|�]q�<]<\]�y�Y��\��<<

O�[]�]{p\]<\X<�<_<v<< < < < < abcdefg<N\X{�zZ�\�<��[]�]{p\]<\X<�b_<k< < < w��bbcdefg<O�[]�]{p\]<\X<�b_<m<< < < < < wbcdefx<O�[]�]{p\]<\X<�b_<�<Z{Z<�b_<<< < < wbcdefx<O�[]�]{p\]<\X<�b_<�<Z{Z<�b_<�<< < < wbcdefx<< < < < < < << < < < < < < < < < <<

Page 5: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKAL

GMAN�<<OPQRSRTR<UTVWXVUTYTR<XP<Z<Y<[\<

P]<

^ _ab \_c b

bdcace a_b^

Zf gh

g

<< i _

_

cdjkdjb] jb]]

b[h f fff

<<

l]<mPTV<YnoVpnqPTR<XPQRSRXYTR<UTVWXVUTY<XP<r<Y<[<VT<P]<q<oSPqVstspXP<uVVSvYXPTXP<UYUTRQP<wxy<XPXRURTR<TVzuYTR<{j|<caeb<}<r~<_]<Y<�<j[<|<b~<_]d<OPQRSRTR<pY�RTV<XP<TSYstspXYuP<{w�d< �@��J�

DMAN��<nPTqVSRXP<u�TY�<U<�VSQP<XP<oSPqVstspRX<oPSPpRpRoYoRv<YQP<qVvPd<�Y�RTV<XP<oVqsS�XYXPTP<XP<u�TY�TP<R<ci<uqd<UQd<�uV<oVUTPqYQ<u�TY�TP<U<vsXVTV<qsS��<QPUPTPa<XYqVTV<XP<qVvPTP<R<XP<qYUVzYXP<k<UQd<�uV<oVUTPqYQ<RvXPTP<VT<UTRXYTR<qsS��<QPUPTPa<XYqVTV<R<_<UQa<P<PuV<oVUTPqYQ<RvXP<VT<vS�tYTR<UTRXYa<TV<R<i<UQd<�P<UR<XPQRSY<uVpuV<pYTSP<qVvP<YQP<q<u�TY�TPd< �@��J�

�MAN��vYX<SPlVTXYu<QV�R<vP<UqsS�Y<RvXP<SPlVTP<nP<c�<zPUPa<P<vS�t<nP<ck<zPUPd<�TXPzPpV<osSqY�T<SPlVTXYu<SPlVTYp<_<zPUP<UPQa<P<UpRv<TVqP<UR<qup�zYp<Y<qTVSY�Td<�P<UR<XPQRSY\<

P]<�V<uVpuV<zPUP<R<TS�lqPpV<vP<SPlVTY<qURuY<VT<SPlVTXY�YTRa<nP<vP<lsvR<UqsS�RXP<��pPTP<SPlVTP�<

l]<�<uVpuV<zPUP�<R<lYpP<UqsS�RXP<_iVT<SPlVTPTPa<PuV<osSqY�T<

SPlVTXYu<R<nPoVzXPp<SPlVTP<q<�<Qd<Y<_<QYX<Y<vqPQPTP<XPoSPqYpY<VlRvXP<oVzYquP<VT<ib<QYX�<< <�@��J�

�#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;��� <

Page 6: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSTUAV

GWAX�<YZ<QY[\]Y_Y<<a<bcdef<<<< ghijklmno<<<<<<QY[\]Y_Y<p<a<qq<<< < ghijklmno<<rZ<QY[\]Y_<stt]u\Yv\v_<\<YYwx_<

Y<yzb<e{<|Z<< < < < ghijklmno<<<<<QY[\]Y_<stt]u\Yv\v_<\<YYwx_<

Y<}z~{<|Z<<< < < < ghijklmno<<<<<QY[\]Y_<�\�_vt<Y<v]\����\sY<y�}<�<a<cdf���|<a<qe<s��[�_u�<<< < < < < gjklmn<

DWAX�O�Y�Y�Y_<]�rt�_v_<Y<�Y]Y�_�_�\�_uY<w<�d<p<\<�d<\<t�]_u_�x_<tr_[Y<�<v]\v_<w���Yx�<�<a<��p�ed<<<<<<�<a<p���|d<<<<<�<a<�����<< <gjklmn<

< J�]Y�x�Y_<Y<�e

��p� <�

|

�p�� < �

���� < < < < gjklmn<

J�]Y�x�Y_<Y< q q q q|� � � �

e | � qe�p p� �� � �

� �� � � � � �� �

� �<< < < ghijklmno<

J�]Y�x�Y_<Y<���YvY<�t��]�\Y<Y<s�v\xvYez� � �Zqc��p p� ��� � � <\<t�]_u_�x_d<�_<� � � fe�p p� ��� � � < < < < < < < ghijklmno

QY[\]Y_<Y<��<q| � � � feqe� �p p� ��� � � � d< �� �� n����� << < gjklmn<

<< �]_�]��Y_<Y<��<s�r�<w[<a<��<�cdccq<a<cdc��<s�r�<u[<a<cdc��<�\v]Y<<gjklmn<

 WAX�YZ<��]�\xv<]Yrtv\s<�Y<q<�Yw<w��]¡�Yqq�tv<]YrtvYvY{< ¢hijklmnoj

£vt]\xv<]Yrtv\s<�Y<q<�Yw<w��]¡�Yqqetv<]YrtvYvY{<<< < ¢hijklmno<

¤�wvY�x_<Y<�]Y�_\_vt< q q q|� � qq� q� qe

¥� �� � �� �� �

d<¥j_<�]_[_vtd<st_vt<_<]Yrtv\�<

�vt]\x<]Yrtv\s�< << < gjklmnj

QY[\]Y_<Y<¥<a<~<�YwY<]Yrtv\�<�vt]\x<\<¦<�YwY<]Yrtv\�<��]�\x�<j jj j jj j ghijklmno<<

rZ<¤�wvY�x_<Y<�]Y�_\_vt< q

q q q ||� �q� q� qe �

¥� �� � �� �� �

d<¥qj_<�]_[_vtd<st_vt<_<

]Yrtv\�<�vt]\x<]Yrtv\s<ut<w��]¡�Y_<Y<|�<tv<]YrtvYvY�<< gjklmn<

Page 7: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A>BC<B><DE<F<G<H>I><@<EJ<?@BK<L<MAC?CNOP<QOCNO<C<A>RON@S<MNOA@T<

A>RONB@Q<UO<IMVAWM>BC<B><XG<ON<A>RON>N>K< << < YZ[\]_<

=>?@A>BC<B><MAC?CNOP<><QOCNO<C<IMVAWCB><XG<ON<A>RON>N><aIVI<

bOH@MQ>N>cd<G<H>I><@<EJ<?@BK<e<X<H>I><e<Gf<?@B<F<g<H>I><@<fg<?@BK<<YZ[\]_<

=>?@A>BC<H>I>h<B><IMVAWM>BC<B><XG<ON<A>RON>N><L<Ei<H>I>h<@<Jg<?@BK<<

jklZ[\]m

Page 8: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLAMN

GOAP�QR<ST<SUVWRXY<ZW[\XR<] ] ]

] ] ]

]

]

^ _ ` _

^ _ ` ^

a b a

b a b<Y<ZR<ST<cRdTWY<eYSfTcRXR<Yg<

SX[hc[SXi<RV[j<k<T<SXTlTcXR<cR<dc[m[efTcR< n o n o

] pp ]p pq qrs qrs rsa a a t<

u T<dvWVRXR<cR<wUcxcYv<UmUf<lWY<wUWyR<z<cR<WRwc[\TZWTc<XWYUmUfcYV<{|z<}{z<~<|z�i<S<UmUf<lWY<[Sc[wRXR<WRwTc<cR<����<� T<l[�dRfVYv<V[WTc<cR<�WRwcTcYTX[<� p � ]� �q qa b a �b<

�@��K�<

DOAP���WYSX<XWv\wRf[<ZR<Y�dYcT<WR�SX[vcYTX[<[X<�<Z[<�<�R<[lWTZTfTc[<wWTdT�<�R<TZYc<eRS<X[h<Y�dYcRf<�<Vd<Y<lWTSdTXcRfi<eT<RV[<ST<ZwY�Y<XRVRi<�T<�RVUScTT<S<��<dYc�XY�<�RX[wR<�wTfYeYf<SV[W[SXXR<SY<S<�<Vd�eRS<Y<lWYSXYmcRf<wUw<�<�<dYc�XY<lWTZY<[lWTZTfTc[X[<wWTdT�<�[fV[<wWTdT<T<lUX�wRf<X�WYSXUX<[X<�Z[<��<< �@��K�

�OAP��WRw[UmUfcYV<����<SUS<SXWRcY<��<~<p<Sd<Y<��<~<]<Sd<T<WR�ZTfTc<S<lWRwYi<�Sl[WTZcY<cR<��<Y<��<cR<�<VwRZWRXeTXR<SUS<SXWRcR<�<Sd�<QR<ST<Z[VR�Ti<eTj< ����� � �¡ a¡ � ¢�<<<<�@��K�

< �@��K�

<<

�#�£� ¤8 #8¥�18 ¦ 6 §8.8 ¨��8�£ �� *.;�©ª

Page 9: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSSTUAV

<

GWAX�<YZ[\]Z_ab[<b<cZ\]d<

e f

e f

e fe fe fe f

e fe f

g gg g g

gg g g g

g

g

h i j h i j h i j h i jh i j hi

h i j hj h j i h j i h j ih j i

k l k l k k k kk l km m m

l k l l l l k l ll l<< < < <noopqrst<

OuZ[c[vwb[<xd[u[bd<b<yb\z\{v[b< e f e fg || g| |} }~� }~� ~�k k k �<����opqrs�<

OuZ[c[vwb[<b<ywZ�d<b<a�b�b�w<�z�v<uZ�<a�Z�<�<b<Zab\][cZ[b<dZ��z�vb��<���<���<�<����<x<�z�v<uZ�<\xb\ad<Za[b<b<���<< � ��F<<< < < < < < < < < < < < �opqrs�<I[� ab[<b<Zab[b�[d\<� | � g� �} }k l k ml<�<by�Zb[<b<u\�yv��w<y<

�\Z[b<.��=<<< < < < < < < < < noopqrst<

Qy�Zb[<b<{�xv[bd<xd\�b\xd<b<cZ\]d<e fe f

� |� � |�

� � |� ��

h i j

h j i

k k k lm m

l l k l<�opqrs�<

DWAX�Q[�<\uZ[c[v[b\d\<aZ[y[<[<<�<�<� <�¡�<�<�opqrs�o

< Y�dwd<�_y�bd<x�x<x�\Z\xd<¢£�<�y¤{<[< �¥��

��¦§

¨©ª

«k� <<�opqrs�<

< Y�dwd<�_y�bd<x�x<x�\Z\xd<¢£¬<�y¤{<[< �¥��

�¦§

¨©ª

«l� <<�opqrs�o

< ­�xdawb[<b<Zab[b�[d\<< � ��� � ¥� ¥�

�� ��� �« ¨ « ¨k ll m k© ¦ © ¦ª § ª §

<<nopqrst<<

I[� ab[<b<Zab[b�[d\�<�o�<®�D=°±²�[<u�dav<dZ�xd�d<nopqrst< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<�WAX�< g³ µ¶ · ¹º »¼m m m m <<

�³¶ µ¹ · º¶ »¼m m m m <<¶³ ¹µ¶ · ¶º¹½ m½ m½ m½ <

¾<³ ¶ µ¶¹ · ´ º¹¶¿ ¿ ¿À À À À <�<Á<uZ�_b�<<<<<nopqrst<Od<³ ¶ µ¶¹¿ ¾À À ¶ ¶¹ ¶¹m ¾À <[<Zab\][cZ[b¥<<<

Âìopqrst<N�\<\_b{�y<³¶ Ľ m <d\< ��³ ¶ Ľ m Ål  <Od<³ ¶ µ¶¹¿ ¾À À ��µ¶¹ Ľ m Ål <K\za< �Æ� �Æ� �� ��¶¹ ³¶ µ¶¹ Ä Ä½ m Ål½ l½ m Ål l Åk m Å<

­v[c\ad[vb\< ¶¹À [<Zab\][cZ[b<�<uZa\�z�v[b<<< < <<<<<nopqrst<Od< ¶¹À <Zab\][cZ[b<�<uZa\�z�v[b<xv[ca�<{[< ��¶ ¹ ¶¹½ m½ m Å<Âìopqrst<Q\<¶¹ ¶¹· ¹·½ m½ k½ �<<\d<º¹¶ · ´¿ ¾À À ´ · ¶¹º½ m½ <<­v[c\ad[vb\< ��¶¹· ¹· ´ · ¹· ¶¹½ k½ m½ k½ m½ m Å<<<< < <<<<<nopqrst<

Page 10: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B���������������������

��C����������DE�FD�DFGF��HIJIKLAM

GNAO�PQRST<S<UVWQVXY<Z[ Z [ Z [

\] ^ _`a a aab c c d <

< Qe<PQ<fS<ghfYWhU<iWQjUkQYQ<TQ<jlTkmUnYQ< Z[a`ob p<Qkh< \] qrc a <U<RQ<fS<TQsSWnY<khhWRUTQYUYS<TQ<gWSfStTUYS<YhtkU<TQ<iWQjUkQYQ<f<khhWRUTQYTUYS<hfUu<< ve<PQ<fS<gWSfsSYTS<fYhwThfYYQ<TQ<UVWQVQx<<

Z [ Z[y y

\^ zx{ ]_

| ` ` ` `}~ } ~

b c c�� � ��� � �

<

�e<<�Q<khU<fYhwThfYU<TQ<gQWQsSYXWQ<�<lWQ�TSTUnYQ<<

Z[ ]\

z dcbd

b ��a

�a` <fQ<WQ�ThfU�TU�<

�@��K�<DNAO�PUQihTQ�UYS<TQ<lfghWSRTUkQ<�|��<fS<gWSfUtQY<�<Yhtkh<�<�htkUYS<�<U<�<fQ<fWSRUYS<fXhY�SYTh<TQ<fYWQTUYS<��<U<���<< Qe<�kh<�<S<fWSRQYQ<TQ<fYWQTQYQ<��<U< z]zzb���� p<RQ<fS<TQsSWU<���� <

ve<PQ<fS<RhkQ�Sp<tS<YhtkQ<�<S<sSRUmSTYXW<TQ<�<����< �@��K��NAO�Qe<PQ<fS<TQsSWnY<fYhwThfYUYS<TQ<gQWQsSYXWQ<�p<VQ<khUYh<lWQ�TSTUSYh<��<�<]ea\< <��¡ <{ea< <�< <¢<£<z<UsQ<WQ�TU<khWSTU<<<<<<<<<<ve<�htkQYQ<�<S<fWSRQ<TQ<fYWQTQYQ<�|<TQ<lfghWSRTUkQ<�|��<¤hfYWhwYS<YhtkQ<�p<YQkQ<tS<< ^�� ¥��b

¦¦¦§ ¦¦¦¦§p<kXRSYh<¥<S<ghih�nsQYQ<fYhwThfY<TQ<

�<hY<Qep<U<RhkQ�SYS<tS<�p<|<U<�<�S�QY<TQ<SRTQ<gWQ�Q< �@��K��#�©� ª8 #8«�18 ¬ 6 ­8.8 ®��8�© �� *.;�°

¡¡¡

Page 11: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSSSTUAV

GWAX�<YZ [\]_ ``a <<bcdefgh<<ij<klmnolpqirs<ri<toiuvwini<v<rixvoirs<wlloyvrinvns<ri<kosmszrvns<

nlzwv<<Y Z{|[} <v<[|{\

~� �� �� �

<bcdefgh<<

�j<Y Z_�a [�|<<< _��

���

�a <�<�|<<<YZ_{a [|<< _�

���

[�

�a �

[<<bcdefghc

< �<�<�<\�<<< <bcdefgh<<

qj<<c�c���c�c�<<<<< <bcdefghcc

cccc�<�<\

�<<<<<<<<<<< <�cdefg�<<

<

DWAX�<ij<<��<mosyri<lnmszwi|<<<���<}�<<<bcdefgh<<<<<<<<<<<<<<<<��<mosyri<lnmszwi|<<<<���<~�<<<<bcdefgh<< <<<< \{���� _ �<<< < < < <<<<<bcdefgh<

�j<<Klzwi<�<mosyi<ri<��<<<< < <<<<bcdefgh<

<<<<<Klzwi<�<mosyi<ri<��<<<< < <<<<bcdefgh<

<<<<< ¡<�<|<< �<�<�|<n¢ <xsyv£srn¤o<<<<<<�cdefg�<

¥WAX�ij<Okosys¦prs<ri<yvmwovxvrirnini<ri<§oiqrsrvsnl<©�cª<�j�<�<�¢<©�<�<[j¢c©�<ª<�j<�<{<< < bcdefgh<<«osl�oi¬§qirs<v<rixvoirs<ri<os­srvpni<ri<§oiqrsrvsnl<

< �� [� �� {� �^ ^ ] _ <[

��

�� _ <v<� �� _ <<<<<< < �cdefg�<

<�j<Okosys¦prs<ri<®<�<�<v<klmnolpqirs<ri< �¢�� ��_¯° ¯ °

<<< bcdefgh<J¬oi¬pqirs<ri<~� ~� ��_ ]

¯° ¯ ° ¯°<< < < < < < bcdefgh<

J¬oi¬pqirs<ri< Y Z� � ��� �� �� ~} �� ~� �� ~� ��_ ] _ ] _ ] _ ]¯° ¯° ¯° ¯° ¯° ¯ ° ¯° ¯ ° ¯°

<bcdefghc

Okosys¦prs±< ��� ~�_¯° ¯°

±<m¦sylqins¦rl<¦s²in<ri<syri<koiqi<<bcdefgh<<

³c ~c�c

�c

�c�c

¡c

 c

b µ

Page 12: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B���������������������

��C����������DE�FD�DFGF��HIJKAL

GMAN�OPQRST<R<UVPWSRSXRYT Z [\ ]\ ^_ _ ` abTVRSX<c<X<de<fPgRVRYR<bTRhXiXRSYXYR<]<X<<X<bTVRSXYR<SP<UVPWSRSXRYT<c<X<dj<PbT<<k lG<X<mlG<aP<bTVRSX<SP<UVPWSRSXRYTZ Z [e\ ]\ ]n _ `

o@pqJr<

DMAN�s<YVXtutvSXbP<wxy<QtvzXSPYP<SP<gRQXPSPYP<x{<R<VPWSP<SP<aYVPSPYP<wye<fP<|VTQtvzRSX}YP<SP<aYVPSXYR<xw<X<wy<aP<X~�VPSX<atTYWRYST<YT�bX<�<X��j<YPbP<�R<aP<X~|tvSRSX<VPWRSaYWPYP<��<�<��<X<��<�<��e<OTbPzRYRj<�R<|VPWXYR<��<X<��<aP<|RV|RSQXbUv}VSXe o@pqJr

�MAN�P�<OP<aR<VR�X<UVPWSRSXRYT< Z ZZ � �Z � � � [\ \ \ \_ n _ _ _ ` <

��<OP<aR<VR�X<aXaYRgPYP

� �Z

� �

Z[

\ �

\�\�

n `

n `

o@pqJr�#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;���

<<<<<<<<<<<

Page 13: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B���������������������

��C����������DE�FD�DFGF��HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<

RSTUAV<GWAX�YZ[\]]_<_]<abZcd\[e<_]<f[e<g]<dZ]h__[eb< i jkl ml no o p mq ro ps <[<

t nqrp < < < < < < < < < < < uvwxyz{<

YZ[\]]_<_]<abZcd\[e<_]<f[e<g]<dZ]h__[eb<i i jkl ml mns o p i| | mq roo op <[<

} |~t} |~ mnq ro o p << < < < < < < < < uvwxyz{

Q]c[Z]_<_]<mu<�<|<[\[<m�<�<�<i< < < < < < < u��vwxyz�<Q]c[Z]_<_]<n<�<h���b<�[�\b<�Z[<mu<�<|<[\[<<n<�<�<|<�Z[<m�<�<�<i<<< u��vwxyz�<

Q]c[Z]_<_]<| |�

i

nqso sp <[<<

| |�

i

nrss sp <�Z[<mu<�<|�<<n<�<h���b<�[�\b<<uvwxyz{<

Q]c[Z]_<_]< | iqpo <[< | irps <�Z[<vm�<�<�i�<<n<�<�<|< < < uvwxyz{<

<DWAX�O�Z�\�_<_]<eb��]<�<<�[ceZ[�_]<_]<�<be_b�_b<�t< < << < uvwxyz{<���� <�<Z]h_b��Z_<}��<�<��~<[<���� ���b<<Z]h_b��Z_<}��<�<��~<<< < < < < < �vwxyz�<N�b< bg_]�[c< ��� ��� q� p� p �< ]<��� ��� r� p� p <be< ���� <�<�\�h]�<�<

�jq ro p ��<ett< �j���� p �<[\[<�� ��� <<<

< < < < < < �vwxyz�<�e[Z[��\_[�]< ����< < d��bZ�_[�<}�[]b_]\[e<cd<��<[<��<�<Z]g�b\bh�h]e~<<< < < < < < uvwxyz{<�� ��  ¡ < �� ��  � <<< < uvwxyz{<

<

¢WAX�<]~<Yb\]]_<_]< ii £ �l l ¤o o p �< j¤¥ << ¦��vwxyz�<

Yb\d�]h]_<_]<dZ]h__[eb<i § ¨ j¤ ¤s s p <<< ¦���vwxyz�<

Q]c[Z]_<_]<| ¨¤p <[<i |¤ps<< < < ¦��vwxyz�<

O�Z�\�_�<�<i |¤ps<_<<Z©_[< < ¦��vwxyz�<

Yb\d�]h]_<_]<dZ]h__[eb< ii £ iª jl lo s p < ¦���vwxyz�<

Q]c[Z]_<_]<| £lp<[<i�

ilps << < < ¦��vwxyz�<

YZbhZ�]<�<| £lp <[<i�

ilps <�]<�bZ_[<_]<dZ]h__[eb< i ii £ §i £ � £ jl l l lo s o o o p <

v v v v v v v v ¦��vwxyz�<

Page 14: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

<

=><?@ABCDEDFG<FD<

H HI

H J

IK

L M

LMLM

N O

N O

P<<<I

I

IKQ > J IK K

M L LM

LM LM

N O

R N O

K

K

L

M

S

S TUVWXYZ[\]

?@ADDFG<FD<LM _O <<a@ABCDEDFG<FD<BbDEFGFGc@< IIK J IK K_ _R N O << TUVWXYZ[\]X

dGeDEDFG<FD<BbDEFGFGc@< IIK J IK K_ _R N O <<FDfbDFG<FD<Hg

h_O <<I

h

g_ON <iXYZ[\j<

?@ABCDEDFG<FD<kkcGfcGl<<

g

h

m

h

LM

M L

O

N O

<<

h

g

h

I

LM

M L

ON

N ON

TUWXXYZ[\]<

nDfbDFG<FD<H

H

I

h

I

L

M

O

O

<o<<<I

I

I

I

h

L

M

ON

ONo<<<

p

p

h h

g

h h

g

L

M

RO

NO

<<g

g

h h

g

h h

g

L

M

NO

N NO

< < < VXYZ[\]<

Page 15: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJAK

<

GLAM�NOPOQO<RSRQOTUQU<

V WW X Y

Z [VW

[

\ \

\\

\

] ] ^

]_ ]

]

<<

< < < < < < < < < < < @abIc

DLAM�d<efUghijikOl<QfSijiklSm<O<geSRUlU<ehknhmfiolhRQ<QUmUp<qO<rOlQifiQ<Ss<kOoS<lU<tSehQOlnuUQU<S<v<wOkS<lU<hQROqmS<R<wikoSlS<X<RT<S<V<RTx<yUTOfOQO<mUQOQSQO<lU<QfSijiklSmU<S<fUwSnRU<lU<ehknhmfiolhRQQUx< @abIc

zLAM�yOmU<\[<S<\W<RU<fOUklS<mhfOlS<lU<nfUglOlSOQh< Y{|WW WW }~]~] ���\\ p<miwOQh<��O<fOUkOl<eUfUTOQif<S<�\[<�<\W�

W���\����\������x<�U<RO<lUTOfvQ<RQh�lhRQSQO<lU<eUfUTOQifU<�p<uU<mhSQh<�<efSOTU<lU��TUkmU<S<lU��jhkvTU<RQh�lhRQ<S<wU<RO<lUTOfvQ<QOuS<OmRQfOTUklS<RQh�lhRQS<lU<��<< @abIc<<<<<<�#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;���

<<<<<<<<<<

Page 16: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSTAU

GVAW�XYZ[\[]<][<_` ab <c<][dce[]<][<f gab <c<_ fabh<< ijklmnopq<

XYZrs[t[]<][<utct[Z]v]Y<]e[t]wvtY<][<x __ g y` `h h z <{ | }| }| }_g g f y` ` `h ~ ~ z <

< < < < < < < < < < ilmnop�<<

Q[dce[]<][<e�]c�v[<][<| }| }| }_g g f y` ` `h ~ ~ z < | } | }� g g��h�h � ~�<<<ilmnop�<<

XeY�e[�rt[]<� fx

_f

``

`

h� h

h<{

_ � f�y

f

` `

`

h ~�

h{

_� x�y

f

`

`

h�

h ijklmnopq<<

Q[dce[]<][<e�]c�v[<][<]e[t]wvtYvY< | } ���f x�h� � << < < <<ilmnop�<

Q[dce[]<][<e�]c�v[<][<wcwvd[v[< | } ��� g x�h�h � << < < <<ilmnop�<

DVAW�<O�e�Z�]<][<< g���` �b Yv<���� <<ilmnop�<O�e�Z�]<][<< x�����y � x���` � �b �h b Yv<�� � <

<<< < < < < ilmnop�<M[�cwt[]<][<re[t]]cvY<g��� x���� �b <c<][dce[]<][<<

x���

��b <c<

g���

��b < < < < ¡lmnopq<

Q[dce[]<][<e[�crw[<][<Yue¢£]Ywvv[<f_

_¤x�

` ¥¦b b <<<<

ilmnop�<

Q[dce[]<][<u[vv[<_�

§��� �¤��

�© ¥¦�b b b <<< ilmnop�<

Q[dce[]<][<u[vv[<_f

§��� x¤_�

�© ¥¦�b b b <<< ilmnop�<

<<

< < < < < < < < <ªVAW�O�e�Z�]¤<s<re[t]]cvY<< y��__ __ b~h~h ���` cd[<e[Z]c<uYe]c<�ec<

_ � � y« ¬ ¬bh ~ h � << < < < < < < < < <<<<<ilmnop�<<Q[dce[]<e�]c�v[<][<]e[t]wvtYvY< _ � � y¬ ¬h ~ h � ¤< x_ ��¬ << < <<<<<ilmnop�<M[�cwt[]<­YedrZcv<][<®cv<�[<re[t]]cvY< y��__ __ b~h~h ���` <°f<±<°_<²<_�<c<°f°_<²<_�

_<³<��<±�< < < < < < < <<<<<ilmnop�l

lµl¶f<³<_·_l³lil³l¡llµ¶f<±<_·

_l³lxil¡ll¶lil±l¡�<²llx¬_<±<__�<³<g_<<ilmnop�<

Q[dce[]<][<][¹ºd[Zu[<wvY¹]Ywv<][<<�ec< x¬b <c<»�� �´ bh<<< < <<<<ijklmnopq<

Q[dce[]<][<][¹º\YZ�d[v[<wvY¹]Ywv<][<<�ec<ff

x¬b lql»¼½

§

x´ bh l llllllllllllllijklmnopq<

Page 17: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

<=>?@A�B���������������������

��C����������DE�FD�DFGF��HIJKAL

<<

GMAN�O<PQRSTUTVUWX<Y Z[ Y \

Y] ^_] _

` ab b c b de fg h

<<<U<QRSTX<TR<iWXjTXiWWR<TR<kl<mQV<

nXoWX<pViqRWR<rstl< u vwxrsY

Z Zbck l< u vrsY ykc <S<WXzV<QU{<X|QRzPSRW<RQVW}UWVpTR<

mQX~QUiVol<R<�<U<QURqUT<mRQR}UW�Q�<�R<iU<VzQRzV<pQUz<�<pRiWTXWX�<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

�<�<u v Y

Y

YZ

Y

Y

Y

Z

cb

c

]]

]] l<n�{UWX<]Z<V<<]Y<iR<nXQUTVWU<TR<{R{UTXWX<PQRSTUTVU

�@��J�<DMAN��R<iUTR}UQV<qV�UWX<TR< l���� <RnX<��<�<[<i}l<��<�<x<i}l<R<}U{VRTVWU<��<V<��<iR<SzRV}TX<mUQmUT{VnPqoQTV�< < < < < < << < < <

�@��J�<<�MAN��R<iU<TR}UQV<iP}RWR<TR<TUi�nQRWV}VWU<{QX|V<i�i<zTR}UTRWUq<[l<zRnq�pUTV<}U�{P<UiWUiWSUTVWU<pViqR<�<V<�<��<�<���< �@��J��#��� �8 #8��18 � 6  8.8 ¡��8�� �� *.;�¢£

Page 18: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSTUAV

GWAX�YZ[\]_ a< <\b_acadZ<< e f e fghij hik l him no opp p q r << < stuvwxyt

Ozba{a[|a<<}~<mo�g<�<n< < < < < < < < ���tuvwx�t

�_a�{ a< <\b_acadZ< e f e fghij hik l him no opp p q r {Z<e f e fgjk l m no opp q r stuvwxyt

YZ[\]_ a< <\b_acadZ<m�kko<�<j�ko<�<mm<�<�< < < < < stuvwxytQ�cb a< <o<�<k<c<c�_Z{�<]a<\{Z_[ad_Zb|_<ab_a�d_ZdZ<< < s��tuvwx�tYZ[\]_ a< <\b_acadZ<�<��<k k � g �� �� �r p rq < < < < ���tuvwx�tMzc�_ a<�Zb�\[cda<<�cad�<�g<�<�k<�<k��<�g��k<�<��<�<g<<< < < ���tuvwx�t

M�a�d_ a<_<c�b�<�<�<c<ZzbZ�d|_ adZ<�\k

k

k � g

k � �

� ��

� �

r pq

r p stuvwxyt

DWAX�Ozba{a[|a<<[c�adZ<g g� � ���� ��m���� ����k k

���� ���� � � �q q q <<< stuvwxy<

Ybc[  a< <¡Z�c\�Z_<daZba�<�< ���� �¢���£�¤ ¤ ¤ �<

k kj km�¥¦��� �q r §< k g�gk�¥¦��¢ �q r §< k l�gk�¥¦�

m�£ �q r §<<<< < < s��tuvwx�<

Ybc[  a< <Ycd ZbZ_<daZba�<�<��¤ �<k k

k k k k kk k m m

� � n n�� � � �¢ �£ �¢ �£

© ª © ªq p q p q p« ¬ « ¬

­ ® ­ ®<< < < < stuvwxy<

m l�kj km�¥¦� g�gk�¥¦� gk¥¦�

n m� � �

© ªr q r p r« ¬

­ ®< < < < < < stuvwxy<

<

Q�cb a< <j

¥¦��

�q <c<gg

����

�q << < < < < < ttuvwx�<

Q�cb a< < ����� gg���� �q q < < < < < < < ���tuvwx�<

<°WAX�}bZ±<�²�<� �a da[<�<a<a�²¡bdc��<¡Z dZ<]c�[cda[|d<c³<a<�a<{a[c< <��<d�a�<¡Z dZ<a<�|[Z<]c�[Z<Zd<_c{<�x<�<g<c[c<�x<�k�<¡²{adZ<xta<�|[Z<]c�[Z�< stuvwxy<K²b�a d<�\�<�<�Z�a<{<�a<zba{�d_c<¡dZ<�±Zb<<{_a<�\�c<�s<c<�<�<

g k

g m k k j g��� ���

� � � � � �� � � ´ ´ µ ´ ´ µ

¶ · ¶ ·© ª© ª © ª © ª© ª © ªq p q p p p p p r p p p p p p r« ¬« ¬ « ¬ « ¬« ¬ « ¬¸ ¹ ¸ ¹

­ ®­ ® ­ ® ­ ®­ ® ­ ®º » º »< tuvwx�<

<<<<

Page 19: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A<BC<CDEF<>GHF<D<AIFCHDCFJKA<LIBMID>F?<><IAENF@A<O<F<>D<>P>CBF<BC<Q<R<S<KA<TIBU<JNDKBVDW<<< < < < < < < < < < XYZ[\]<

_ `_ `

_ `_ `

_ `_ `

_ _ `

O a

a a

O aa OWO a OWO

b b

a a

c a a O

a

S Q S S Q S

d d d Q S Q S

S Q SQ S Q S Q S Q S

e f e fg g h h g g h hi j i j

k l k lm g m h g h m

g g h hm h m h g m h

<< XYZ[\]<

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Page 20: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B���������������������

��C����������DE�FD�DFGF��HIIJKAL

<

GMAN�OP<QR<SPTRUV<WUPSVXPYPZ<[\]_

a bc

d]e [

f

`

` g

h

h ij<Pkl<QYlmSlQYYP<SP<n<R<UPoSP<SP<

QpTPYP<q<r<s<j<ktuRYl<qvV<s<QP<URwRSVxYP<SP<QVQYRTPYPZ<<<`y`

y`y

ihzii

izhhh

fc

{|<

< < < < < < < < < < < < }@~�J�DMAN��kl�SVxY<Ut�<SP<SPk�lSRSP<YUVtWt�SP<�UV�TP<R<�<QT�<�YUPSVYR<SP<�RU�RSuVkp�xUSlYl<SP<Yl�V<Ut�<QR�RSVR<QR<lYSPQxY<YPkPj<kPkYl<�Z[�Z[�j<P<�VXRYl<Tp<R<[��<QTc�<�PTRURYR<�VXRYl<SP<lkl�SPYP<�lotU�SVSP<SP<�UV�TPYP�<< <

<}@~�J�

<< < < < < < < < < < < < <

�MAN�OP<QR<ulkP�Rj<�R<Pkl<[j

c [�

��

iz

h<Yl<[ [ [ [

���d]ec d]e� d]ec d]e�� � � �

i i i z �<

< }@~�J� �#��� �8 #8��18 � 6 �8.8 ���8�� �� *.;���

<

Page 21: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A�B�����������������������C����������DE�FD�DFGF��

HIJKLIJJ<MN<OPLQHN<RSSTUAV

GWAX�YZ[\]\_< ` `a b c bd e f d g e g fh i jh i k jj i j j < < < lmnopqr<` ` ` `s b b s

` `

g f f g f f

f g f g

j j j i j j i jt

h i h i<<< < < < < < uvwmnopqxm

Oyz_{_[|_<}~<�\<r�<r<�<s<<�<\��z\_<\<z_�_�|�\<`

f

g

i

i<<<<<<<<<<< lvwmnopqx<

Q\��z\_<\<�<�<�<` ��

�sb �

d e d

ed

h i it

ijjh i< < < < < < lmnopqrm

Q\��z\_<\<q<�<�<�<yZ[��\�\_<\<<�����d

� �b�

����` hj

j

dd

d�<

�����d

� �� �� �b�

����

jj

j

dd

d<<< lmnopqr<

Yz_Z�z\���\_<<�����d

� �� �� �b�

����

jj

j

dd

d�<

�����d � �

� � � ��

�������`

�������

b

��� j

jji

j

j�

j �� d

d

d

d

d dd< lmnopqr<

< < < < < <YZ[\]\_<\<<e<�<d<�<��<N�Z<d<�[Z�<���<��<�Z<e<�[Z�<���<�<�<yZ[��\�\_<\<<<

� �`

��

`

�������`

�������`

���

ji�jijij

jj

�� e

e

d

ded

< < < < < < lmnopqr<

DWAX�Oyz_{_[|_<\<��z\��_<<\<y_zy_{���[|zZ�Z<�_�_�_<mr ¡�vm¢ lu�mxm£ l¤�vm�¥ummm m m m m m m m m m m lmnopqr<

YZ[��\�\_<\<yZ[�y_z��_��z\< dddd¦gf

§ �`

�©���

`i

hhi

hhi < < uvwmnopqx<

J�z\�|�\_<\<[�ª_�Z<\<�_�_�_�Z<�<\��z\_<\<�<

`��������««¬«¬¬ ikiijjji­ ddddd¦§g§f§§® °± << < < lvwmnopqx<

Q\��z\_<��z\��_<rvm¢<�<£<\<y_zy_{���[|zZ�Z<\<<\�[Z_�|<z��<²<�_�_�_<<�<���<�<��<�<b�<��<< < < < < < < < < lmnopqr<O�< °±²x±²°²°±² ³³³k³ �«¬ �<¬µ¶«<<_<z\��\�\<\<�_�_�_�Z< lvwmnopqx<

·�ª_�Z<\<Z�Z[\�\<yZ��z �\<\<yz���\�\<¹<��Zz<Z�<[�ª\�\<\<�z�<��yZz_{��\�<`¨©��«�¬��� iihhihhi ¦gf²°±²±²°²® <��<< < < < < lvwmnopqx<

ºWAX�M\y���\_<\<��»{_���Z�Z<�

¼½¾ ¼½¾`���

¿d ¿ddi j << < < lmnopqr<

M\�_���\_<�<��»{_���Z�Z<yZ�[_{Z�\�_[Z< �� �����Àd Á Á Áji <�<yZ[��\�\_<\<z\�_���\�\�<�

¼½¾ ¼½¾`���

¿ ¿Á ÁÁi j <

Page 22: 2010.28.02 59-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА ОБЩИНСКИ КРЪГ Велико Търново

������������������������ ������������������������������������������������������������������ !"#$�%�& '((() *�+,�+-�%.��, /0) 1��+2(345 3/&30&/6) 78�. 2(345 34&9(&0:) ;+�+ /'4

<

=>?@A >?@B

CDEBF FG G

GH I <

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ<==

>?@A >?@ACDEA

K K

KF FG G

GIH I < < < < < < < < LMNOPQRST<

UVWXYZZV<[\]_ZY<Z<_aYZ[bab<<Zc_ZY<<<= = =

JJJ >?@ >?@ACDEA CDEB CDEA

K

KF FG G

G G Gd d d H I << < < < < LOPQRSe<

f gCDEA =>?C >?CA>?@ >?@A

CDE CDEA CDEJCDEA

KKK

K KF F

GG GG G

G G G G

II H I H < < < < < LMNOPQRSe<

hcY[baZY<Z<=A =K

iG

dH

I<<jVXkWaZY<

f gf g f g

= = =

A = A = AJCDEA = CDE CDE CDE CDEA

A = A = A =

K K KK K

K K K

i i iG i G

d d d

l mI In oI H H I H H

I I In op q

<< < LOPQRSe<

UVXkWaZY<Z<f gCDEA = CDEA =

CDEJCDEA CDEJCDEA CDE

K K

K K

G G

G G G G G

IH H << < < < LOPQRSe<