SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET VUTEZ U TRAVNIKU

FAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE U TRAVNIKU

TRAVNIK

ARMIN AHMETOVIĆ

Matematika za informatičare

SEMINARSKI RAD

Travnik, 2012

SVEUČILIŠTE/UNIVERZITET VITEZ U TRAVNIKU

FAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE U TRAVNIKU

TRAVNIK

Matematika za informatičare

SEMINARSKI RAD

Predmet: Matematika za informatičare

Mentor: prof. dr. Esad Jakupović

Student: Armin Ahmetović

Broj indexa: 0120-11/VIT

Smijer: Informacione tehnologije

Travnik, februar 2012

Sadržaj1. Matrice I determinante 1

1.1. Pojam I vrste matrica 1

1.2. Računske operacije sa matricama 3

1.3. Kvadratne matrice, determinante I inverzne matrice 3

2. Ograničenost funkcije 3

3. Asimptote 4

4. Tejlorova formula 5

5. Tablica osnovnih integrala 5

6. Literatura 7

1. Matrice i determinante1.1. Pojam i vrste matrica

U ekonomskim i ne samo ekonomskim istraživanjima često se služimo tabelama poput ove:

Tabela 1. Dobavljači i sirovine

Dobavljači SirovineS1 S2 S3 S4 S5

D1 20 30 40 50 60D2 22 28 40 45 61D3 19 32 40 50 60D4 18 26 42 52 61

Radi lakšeg računanja sa njima podatci iz tabele 1 se mogu prikazati u obliku pravougaone šeme ovako:

[20 30 40 50 6022 28 40 45 6119 32 40 50 6018 26 42 52 61

]S obzirom da se radi o šemi u kojoj je poredak elemenata bitan, možemo reći da je u pitanju uređeni skup čije elemente moćemo označiti ovako:

a11=20. a12=30 …

a21=22. a22=28 …itd .

Prvi broj u indeksu pokazje kojem redu (vrsti), a drugi broj kojoj koloni (stupcu) pripada posmatrani elemenat.

U opštem slučaju elemente k-te vrste možemo označiti sa aK ∨¿ ' , j=1,2… .. , n ; a

elemente j-te kolone sa a j 1i=2,1 m:te da se ovakve šeme sastoje od elemenata a ij (i=1.2 … ..m : j=1.2 .. n ) .

Prema tome, u opštem slučaju, možemo zaključiti da se radi o svojevrsnom preslikavanju operacija.

F : IxJ → A , gdje je: I={1.2 … ..m } ;J= {1,2 , .. n }; A={a ij}; i∈ I , j∈ J .

I gdje su: F(i.j) = a ij rezultati operacije koje po potrebi možemo prikazati u obliku pravougaone šeme podanika poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

1

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… ... … …am1 am2 … amn

]=[a1 j

a2 j

…amj

]=[ai 1 , ai 2 ,…. ,a¿ ] ,i=1,2 ,…,m; j=1,2 , …,n .

Ako su svi elementi aij realni brojevi onda je riječ o tzv. Realnoj matrici.

Matrice (naročito realne) mogu korisno poslužiti pri rješavanju mnogih problema, a naročito u svrhu rješavanja sistema linearnih jednačina.

Ako je u matrici Amnbroj vrsta jednak broju kolona, tj. Ako je m=n onda je riječ o

kvadratnoj matrici Ann. Kvadratne matrice su, s obzirom na značaj, predmet posebnog razmatranja.

Ako je m=1, onda je riječ o matrici koja ima samo jednu vrstu i kao specijalni tip naziva se matrica-vrsta(red) ili vektor-vrsta(red) u oznaci:

A=[a11 , a12…. a1 n ]= [aij ]; j=1,2 n .

Ako je n=1, onda je riječ o matrici koja ima samo jednu kolonu i koju nazivamo matrica – kolona (stubac) ili vektor (stubac).

Radi eventualnog razlikovanja ovih specijalnih matrica od ostalih možemo ih označiti kao vektore, malim slovima, i to x- da bude oznaka za vektor-vrstu, a x oznaka za vektor-kolonu.

Specijalni slučajevi ovakvih matrica su tzv. Jedinični vektori, kojima je jedan od elemenata broj 1, a svi ostali su nule, u oznaci e1 ,e2 …. en, pri čemu broj u indexu pokazje na kome mjestu se u vektoru nalazi broj 1.

Uvođenje ovih pojmova omogućava nam da o matricama govorimo kao o vektorskim sistemima, tj. O skupu konačno mnogo vektora, a za skup svih matrica istoga npa da čine vektorski prostor.

Ako je m=n=1, onda je riječ o matrici koja ima samo jedan elemenat, koji se kao i skalar može pisati i bez znaka matrice, ovako:

[a11]=a11

Matrica u kojoj su svi elementi nule naziva se nula matrica.

Submatrica ili podmatrica matrice A je matrica koja se dobije kada se iz A izostavi određen broj vrsta i kolona. Prema tome matrica se može podijeliti na više submatrica ili podmatrica.

2

1.2. Računske operacije sa matricama

Dvije matrice se mogu sabirati i oduzimati ako su istog tipa, a sabiranje (oduzimanje) se vrši tako što se saberu (oduzmu) odgovarajući elementi matrica koje se sabiraju ili oduzimaju.

Matrica se množi skalarom tako što se svaki elemenat matrice pomnoži skalarom.

Dvije matrice se mogu pomnožiti ako je broj vrsta druge jednak broju kolona prve. Rezulatat množenja matrica je matrica kojoj je broj vrsta jednak sa brojem vrsta prve, a kolona jedna sa brojem kolona druge.

1.3. Kvadratne matrice, determinante i inverzne matrice

Opšti oblik kvadratne matrice tipa n x n, tj. Reda n je:

A=[ a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an1 an 2 … ann

]=[a ij] n , n 1

Pri čemu a11 , a22…, ann čine elemente glavne, a an 1, an−1,2 ,…., a1n elemente sporedne dijagonale.

Kvadratna matrica je dijagonalna ako su joj svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Dijagonalne matrice su specijalni slučaj trouglastih matrica. Ako su u dijagonalnoj matrici svi elementi glavne dijagonale isti i različiti od nule.

Primjer 1.

[−2 0 0 00 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2

]=−2∗[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]=¿−2 ,−2 ,−2,−2>.

Za kvadratne matrice važe računske operacije koje važe za matrice uopšte, s tim da specijalno za njih važi i operacija stepenovanja matrica.

2. Ograničenost funkcije

3

Za funkciju f ( x ) se kaže da je ograničena s gornje strane u oblasti definisanosti Df,

ako postoji realan broj G, takav da za svakog x iz Df važi nejednakost f ( x )≤ G .

Za f(x) se kaže da je ograničena s fonje strane u Df ako postoji realan broj g, takav da za svako x iz Df važi nedjednakost f(x)>g.

Ako je f ( x ) ograničena i sa gornje i sa donje strane, tj. Ako za svakog x iz Df važi

nejednakost g≤|(x)≤F, tada važi nedjednakost |f(x)|≤ K, gdje je K=max |ig|, pa se za f(x) kaže da je ograničena u D.

Dalje slijedi da važi –K ≤ f(x) ≤ K, a to znači da se grafik funkcije y=f(x) nalazi između pravih y=K i y=K.

Kod funkcije ograničene s gornje strane postoji najmanji broj M koji nije manji ni od jedne vrijednosti funkcije f(x) u oblasti Df.

Kod funkcije ograničene s donje strane postoji najveći broj m koji nije veći ni od

jedne vrijednosti funkcije f ( x ) i naziva se donja meda ili infimum funkcije f ( x ).

Primjer 2.

Funkcije y = sin x i y = cos su ograničene u intervalu (- ∞, +∞), jer je:

( x e R)(-1≤sin x ≤ 1);( x e R) (-1 ≤ cos x ≤ 1.

3. Asimptote

Potpuno ispitivanje funkcija y=f(x) zahtjeva sistematično određivanje svih karakterističnih osobina date funckije. Prilikom konstrukcije grafika veličina slike je ograničena. Imamo mogućnost da skiciramo u konačnim dimenzijama, ali je neophodno da ispitujemo ponašanje funkcije kad x→±∞ ih u tačkama prekida. U tom

cilju upoređuju se funkcija y=f ( x ) sa pogodno izabranom funkcijom čije ponašanje je

dobro poznato, funkcija ⱷ(x) se naziva asmiptota funkcije y=f(x) ako je ispunjen uslov.

U vezi inverznog preslikavanja gornje relacije znače da se grafici datih funkcija u beskonačnosti neograničeno približavaju jedan drugome. Asimptote mogu da budu pravolinijske i krivolinijske. U nastavku govorit će se o pravolinijskim asimptotama, koje mogu biti: kose, horizontalne i vertikalne.

4

Horizontalna asimptota je definisana relacijom.

Potrebno je napomenuti da prilikom određivanja asimptota određujemo granične vrijednosti i za +∞ i za - ∞

Primjer 3.

Odrediti asimptote funkcije f ( x )−x+1x−1

a=limf (x)

x= lim x+1

x+ lim x−1

x=0

4. Tejlorova formula

Ako je funkcija f(x) neprekidna u intervalu [x0 , x0+∆X] i ima izvod u svakoj tački [x0 , x0+∆X] tada su ispunjeni uslovi Lagranžove teoreme o srednjoj vrijednosti, koju je moguće izreći ovako:

f ( x0+∆ x )=f ( x0 )+∆ x∗f '(x0+0 ,∆ x )

Ako funkcija f(x) ima u (x0 , x0+∆X) i drugi izvod, tada važi jednakost

f ' ( x0+0 , ∆ x )=f ' ( x0 )+0 , ∆ x f ' ' ( x0+0 , ∆ x )

5. Tablica osnovnih integrala

5

Tablica osnovnih integrala se dobija na osnovu tablice izvoda elementarnih funkcija dodavanjem proizvoljne konstante.

5 ∫ax dx= ax

¿a+C

6° ∫ex dx=e x+C

7° ∫ sin xdx = -cos x + C

8° ∫ cos xdx = sin x + C

9° ∫ dx

cos2 x= tgx+C

10° ∫ dx

sin2 x=−ctgx+C

6

6.LITERATURA

Knjiga:

Jakupović, E.: „Viša matematika“, Paneuropski Univerzitet APEIRON u Banja

Luci, Banja Luka, 2008.

7