@2012,Eko Didik Representasi Representasi Bilangan dan ... · PDF fileinformasi/bilangan digital ke dalam kode BCD (binary-coded decimal) maupun ASCII dengan tepat 4.[C3,C4] Mahasiswa

Representasi Bilangandan Operasi Aritmatika

@2012,Eko DidikWidianto

([email protected])

RepresentasiPosisional

Bilangan Signed(Bertanda)

Operasi Penjumlahandan Pengurangan

Bilangan Fixed-Pointdan Floating-Point

Representasi Lainnya

Lisensi

Representasi Bilangan dan OperasiAritmatika

Kuliah#8 TSK205 Sistem Digital - TA 2011/2012

Eko Didik Widianto

Teknik Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/


mailto:[email protected]



([email protected])






Lisensi

Review Kuliah

I Sebelumnya telah dibahas tentang sintesis rangkaianlogika dan teknologi implementasi menggunakan CMOS.Dalam rangkaian logika, diimplementasikanvariabel-variabel (masukan dan keluaran) yangmenyatakan suatu keadaan switch atau kondisi atausistem

I Selanjutnya akan dibahas tentang representasi nilaidigital untuk variabel sistem digital/komputer ini






([email protected])






Lisensi

Tentang Kuliah

I Representasi posisional: bilangan unsigned, desimal,biner, oktal dan hexadesimal

I Konversi bilanganI Bilangan bertanda: sign-magnitude, 1´s complement, 2´s

complementI Operasi penjumlahan dan penguranganI Overflow aritmatikaI Bilangan fixed-point, floating-point, BCD dan ASCII






([email protected])






Lisensi

Kompetensi Dasar

I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:1. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan sistem bilangan

digital, dalam bentuk bilangan positional, bertanda (signed)dan tak bertanda (unsigned) dengan tepat

2. [C2] Mahasiswa akan mampu menuliskan bilangan pecahandalam bentuk fixed-point dan floating-point dengan tepat

3. [C2] Mahasiswa akan mampu merepresentasikaninformasi/bilangan digital ke dalam kode BCD (binary-codeddecimal) maupun ASCII dengan tepat

4. [C3,C4] Mahasiswa akan mampu melakukan operasipenjumlahan dan pengurangan dengan tepat menggunakansistem bilangan 2´s complement dan mampu menganalisiskondisi overflow aritmatika

I LinkI Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/

kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/I Email: [email protected]









([email protected])






Lisensi

Bahasan

Representasi Posisional

Bilangan Signed (Bertanda)

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Bilangan Fixed-Point dan Floating-Point


Lisensi






([email protected])






Lisensi

Bilangan Integer dan Desimal

I Dua tipe bilangan

1. Tak bertanda (unsigned): bilangan yang hanya memuatnilai positif

2. Bertanda (signed): bilangan yang memuat nilai positif dannegatif

I Sistem desimal, unsigned integerI bilangan memuat digit yang mempunyai nilai 0-9I Bilangan desimal n-digit dapat dinyatakan sebagai

D = dn−1dn−2 · · ·d1d0I Bilangan D tersebut mewakili nilai integer

V (D) = dn−1×10n−1+dn−2×10n−2+· · ·+d1×101+d0×100

Misalnya: 8547 mewakili8 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100

I Representasi bilangan tersebut disebut representasiposisional

I Bilangan desimal disebut bilangan radix-10 atau base-10,karena digitnya mempunayi 10 nilai yang mungkin dan tiap digitberbobot pangkat 10






([email protected])






Lisensi

Bilangan Biner

I Dalam sistem digital, digunakan bilangan biner atau base-2I Tiap digit (bit, binary digit) mempunyai nilai 0 atau 1I Sebuah variabel mewakili satu bit

I Representasi posisional bilangan biner n-digit:B = bn−1bn−2 · · ·b1b0

I Bilangan B tersebut mewakili nilai integer V(B)

V (B) = bn−1×2n−1 +bn−2×2n−2 + · · ·+b1×21 +b0×20 =n−1∑i=0

bi × 2i

I Misalnya:(1101)2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = (13)10

I Bilangan n-bit mewakili bilangan integer positif dari 0 . . . 2n − 1






([email protected])






Lisensi

Bilangan Oktal dan Hexadesimal

I Representasi posisional dapat digunakan untuk sebarangradix

I Untuk radix r, maka untuk bilangan

K = kn−1kn−2 · · · k1k0mempunyai nilai integern−1∑i=0

ki × ri

I Bilangan dengan radix 8 disebut oktalI Digit bernilai dari 0 . . . 7

I Bilangan dengan radix 16 disebut hexadesimal (hex)I Digit bernilai dari 0 . . . 9 dan A . . .F






([email protected])






Lisensi

Representasi Bilangan dan Nilai Ekivalennya

Desimal Biner Oktal Hexa Desimal Biner Oktal Hexa

0 0000 0 0 8 1000 10 8

1 0001 1 1 9 1001 11 9

2 0010 2 2 10 1010 12 A

3 0011 3 3 11 1011 13 B

4 0100 4 4 12 1100 14 C

5 0101 5 5 13 1101 15 D

6 0110 6 6 14 1110 16 E

7 0111 7 7 15 1111 17 F






([email protected])






Lisensi

Konversi Bilangan

I Konversi bilangan biner ke desimal atau sebaliknyaI Biner ke desimal

V (B) = bn−1 × 2n−1 + bn−2 × 2n−2 + · · ·+ b1 × 21 + b0 × 20

=

n−1∑i=0

bi × 2i

Misalnya:

(11101011)2 = 27 + 26 + 25 + 23 + 21 + 20

= (235)10 = 235

I Desimal ke binerI Bagi bilangan desimal D dengan 2, memberikan hasil bagi

(quotient) dan sisa. Sisa nilainya 0 atau 1. Sisa akan menjadiLSB

I Bagi quotient dengan 2, memberikan hasil bagi dan sisa.Ulangi pembagian quotient sampai quotient=0

I Untuk setiap pembagian, sisa akan merepresentasikan satubit bilangan binernya






([email protected])






Lisensi

Contoh Desimal ke Biner






([email protected])






Lisensi

Konversi Biner-Oktal-Hexadesimal

I Biner - OktalI 1 digit oktal merupakan grup 3 digit biner

I Konversi biner - oktal:Biner 001 000 110 100Oktal 1 0 6 4

I Konversi oktal - biner:Oktal 2 3 6 7Biner 010 011 110 111

I Biner - HexadesimalI 1 digit hexa merupakan grup 4 digit binerI Konversi biner - hexa:

Biner 1111 0000 0110 0100Hexa F 0 6 4

I Konversi hexa - biner:Hexa 2 A C 7Biner 0010 1010 1100 0111






([email protected])






Lisensi

Bilangan Signed

I Dalam sistem biner, representasi bilangan signed berisi:tanda (sign) dan besar nilai (magnitude)

I Tanda diyatakan oleh bit paling kiri (0: bilangan positif, 1:bilangan negatif)

I Bilangan n-bit: 1 bit paling kiri menyatakan tanda, n-1 bitberikutnya menunjukan besar nilai bilangan






([email protected])






Lisensi

Bilangan Sign-Magnitude

I Di bilangan signed, terdapat 3 format yang umum digunakanuntuk representasi bilangan negatif

1. Sign-Magnitude2. 1’s Complement3. 2’s Complement

I Bilangan sign-magnitude menggunakan 1 bit paling kiri untukmenyatakan tanda (0: positif, 1: negatif) dan bit sisanyamenyatakan magnitude (besar nilai bilangan). Bilangan 4-bit:

0 1 2 3 4 5 6 7Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

Negatif 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111I Walaupun ini mudah dipahami, tapi ini tidak cocok digunakan di

sistem komputer (dibahas di Operasi Bilangan)






([email protected])






Lisensi

Bilangan 1’s Complement

I Skema 1’s Complement:Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan2n − 1 dengan bilangan positif ekivalennya PK = (2n − 1)− P

I Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4):K = (24 − 1)− P = 15 − P = (1111)2 − P

0 1 2 3 4 5 6 7

Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

Negatif 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000I Terlihat bahwa 1’s complement dapat dibentuk dengan

mengkomplemenkan tiap bit bilangan, termasuk bit tandaI Masih ada kekurangan dari penggunaan 1’s complement

(dibahas di Operasi Bilangan)






([email protected])






Lisensi

Bilangan 2’s Complement

I Skema 2’s Complement:Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh darimengurangkan 2n dengan bilangan positif ekivalennya PK = 2n − P

I Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4):K = 24 − P = 16 − P = (10000)2 − P

0 1 2 3 4 5 6 7 8Positif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 -Negatif 0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000

I Terlihat bahwa 2’s complement dapat dibentuk denganmengkomplemenkan tiap bit bilangan dan menambahkan1

I (2’s complement) = (1’s complement) + 1

I Bilangan signed 2’s complement ini yang seringdigunakan dalam sistem komputer






([email protected])






Lisensi

Aturan Mencari 2’s Complement

I Jika diberikan satu bilangan signed B = bn−1bn−2 · · ·b1b0

(baik positif maupun negatif) maka 2’s complementnyaK = kn−1kn−2 · · · k1k0 dapat diperoleh dengan

I Melihat semua bit B dari kanan ke kiri (mulai b0, b1, dst) danmengkomplemenkan semua bit setelah nilai ’1’ yangpertama dijumpai

I Jika B=+76 (01001100) maka K=-76 (10110100)I Jika B=-81 (10101111) maka K=+81 (01010001)






([email protected])






Lisensi

Bilangan Integer Bertanda (Signed Integer)4-bit

b3b2b1b0 sign-magnitude 1’s complement 2’s complement

0111 +7 +7 +7

0110 +6 +6 +6

0101 +5 +5 +5

0100 +4 +4 +4

0011 +3 +3 +3

0010 +2 +2 +2

0001 +1 +1 +1

0000 +0 +0 +0

1000 -0 -7 -8

1001 -1 -6 -7

1010 -2 -5 -6

1011 -3 -4 -5

1100 -4 -3 -4

1101 -5 -2 -3

1110 -6 -1 -2

1111 -7 -0 -1






([email protected])






Lisensi

Jangkauan Bilangan Signed

#Bit Nama Jangkauan

4 nible, semioctet signed: −(23) s/d 23 − 1

unsigned: 0 s/d 24 − 18 byte, octet signed: −

(27) s/d 27 − 1

unsigned: 0 s/d 28 − 116 half-word, word, short signed: −

(215) s/d 215 − 1

unsigned: 0 s/d 216 − 132 word, long, doubleword,

intsigned: −

(231) s/d 231 − 1

unsigned: 0 s/d 232 − 164 doubleword, int64 signed: −

(263) s/d 263 − 1

unsigned: 0 s/d 264 − 1n Integer n-bit (bentuk

umum)signed: −

(2n−1) s/d 2n−1 − 1

unsigned: 0 s/d 2n − 1






([email protected])






Lisensi

Operasi Bilangan Unsigned

I Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4kombinasi yang mungkin

I Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder)






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Full-Adder (FA)






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi)






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi Lain)

I Persamaan:I ci+1 = xiyi + xici + yici = xiyi + (xi + yi) ciI si = xi ⊕ yi ⊕ ci

I Anggap gi = xiyi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pici

I Rangkaian?






([email protected])






Lisensi

Operasi Penjumlahan

I Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1)I Tiap pasang bit ditambahkanI Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin

melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)






([email protected])






Lisensi

Ripple Carry Adder (RCA)I Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan

(LSB) sampai ke paling kiri (MSB)I Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry

tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit denganposisi i+1

I Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder(FA) yang dihubungkan seri

I Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carryI Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnyaI RCA ini mempunyai kelemahan, yaitu adanya delay untuk

meripple carryI Akan diperbaiki dengan struktur CLA






([email protected])






Lisensi

Operasi Bilangan Signed

I Sign-magnitudeI Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3.

Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010?I Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan

mengurangkan bilangan

I 1’s complementI Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan

1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111agar menghasilkan 1000 (=-7)

I Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar

I 2’s complementI penjumlahan selalu benar






([email protected])






Lisensi

Operasi 2’s Complement

I Penjumlahan






([email protected])






Lisensi

Operasi 2’s Complement

I Pengurangan






([email protected])






Lisensi

Unit Penjumlah dan Pengurang

I Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagaioperasi penjumlahan dengan menggunakan 2’scomplement di pengurangnya (baik positif maupun negatif)

I Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untukmelakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus

I Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1I 1’s complement dapat diimplementasikan dengan

menggunakan XORI x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = xI Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan

bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1






([email protected])






Lisensi

Unit Penjumlah dan Pengurang

I Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang






([email protected])






Lisensi

Overflow Aritmatika

I Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangansigned, maka hasil penjumlahan atau pengurangan harusdalam jangkauan −2n−1 sampai +2n−1 − 1

I Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telahterjadi overflow aritmatika

I Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi denganbenar, perlu pendeteksi kejadian overflow

I Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yangsama, maka tidak terjadi overflow






([email protected])






Lisensi

Overflow Aritmatika

I Overflow dapat dideteksi dengan:I overflow = c3 ⊕ c4

I Untuk bilangan n-bitI overflow = cn−1 ⊕ cn

I Bagaimana rangkaian unit penjumlah/pengurang denganoverflow detection?






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Komparator Bilangan

I Misalnya: Bandingkan dua bilangan X = x3x2x1x0 danY = y3y2y1y0

I Bisa diimplementasikan dengan rangkaian pengurang (X-Y)I Terdapat 3 output: Z, N, V

I Z=1 jika (X-Y)=0, hasil lainnya Z=0I N=1 jika (X-Y)<0, hasil lainnya N=0I V=1 jika terjadi overflow aritmatika, kalau tidak ada overflow

V=0

I Tunjukkan bagaimana Z, N, V digunakan untuk menentukanX=Y, X<Y, X≤Y, X>Y dan X≥Y






([email protected])






Lisensi

Solusi

I Misalnya X < Y, kemungkinan yang akan terjadiI Jika X dan Y mempunyai tanda yang sama, tidak akan

terjadi overflow, sehingga V=0. Dan untuk semua nilai Xdan Y (positif/negatif) menghasilkan nilai negatif N=1

I Saat X negatif dan Y positif, maka (X-Y) akan negatif (N=1)jika tidak ada overflow (V=0) dan (X-Y) akan positif (N=0)jika terdapat overflow (V=1)

I Sehingga jika X<Y maka N ⊕ V = 1I Hasil

I X=Y terdeteksi saat Z=1I X<Y terdeteksi jika N ⊕ V = 1. X≤Y terdeteksi jika

Z + (N ⊕ V ) = 1I X>Y terdeteksi jika Z + (N ⊕ V ) = 1. X≥Y terdeteksi jika

(N ⊕ V ) = 1






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Komparator 4-bit






([email protected])






Lisensi

Bilangan Fixed-Point

I Bilangan fixed-point terdiri atas bagian integer (digit signifikan) danpecahan

I memungkinkan bilangan pecahan (mis: 75,625)I Digunakan di mesin yang tidak mempunyai FPU (floating-point unit)

I Notasi bilangan (n+k) bit: Bn, k = bn−1bn−2 · · ·b1b0,b−1b−2 · · ·b−k

I n: #bit integer (tanpa bit tanda), k: #bit pecahan. Misal: B3,4adalah bilangan dengan 3 bit integer dan 4 bit pecahan yangdisimpan dalam satu integer 2’s complement 8-bit

I Nilai bilangan: V(Bn, k) =n−1∑i=−k

bi × 2i

I Contoh:I B3, 4 = (0101, 1010)2 = 22 + 1 + 2−1 + 2−3 = 5, 62510 = 5,A16I B3, 4 = (1011, 1010)2 = −

(22 + 1 + 2−1 + 2−3) = −5, 62510 =

B,A16

I Rangkaian logika untuk fixed-point sama dengan bilangan integer






([email protected])






Lisensi

Konversi Bilangan Fixed-Point






([email protected])






Lisensi

Konversi Bilangan Fixed-Point






([email protected])






Lisensi

Bilangan Floating-Point

I Bilangan fixed-point mempunyai range yang dibatasi oleh digitsignifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan

I Dalam beberapa aplikasi, diperlukan bilangan yangmungkin sangat besar atau sangat kecil

I Memerlukan representasi floating-pointI Bilangan direpresentasikan dengan mantissa yang berisi

bit signifikan dan eksponen dari radix RI Format: mantisa × Reksponen

I Bilangan tersebut seringkali dinormalisasi terhadapradixnya. Misalnya untuk radix 10: 1, 5 × 1044atau1, 25 × 10−36






([email protected])






Lisensi

Format IEEE Presisi Tunggal

I IEEE mendefinisikan format 32-bit (single precision) untuk nilaifloating-point (IEEE 754-1985)

I 1-bit sign (S)I 8-bit eksponen (E)I 23-bit mantissa (M)

I Dalam programming dikenal dengan tipe data float (C, C++, Java) dansingle (Pascal, VB, MATLAB)

I Nilai bilangan: V(B) = (−1)S

(1 +

23∑i=1

b−i × 2−i

)× 2E−127

I Baca: http://en.wikipedia.org/wiki/Single_precision






([email protected])






Lisensi

Bilangan Float 32-bit

I Representasi bilangan floatI B = (3E200000)16I B=(+)(1.01)2 × 2124−127 = +(0.00101)2 = 0.15625

I Nilai eksponen:I Emin = 1, Emax = 254, menghasilkan eksponen (bias=127):

E = 1− 127 = −126 dan E = 254− 127 = 127

Eksponen(E)

Signifikan=0 signifikan6=0 Persamaan

0 0, -0 subnormal (−1)S × 0.bit signifikan × 2−126

1-254 Nilai ternormalisasi (−1)S × 1.bit signifikan × 2E−127

255 ∞ bukan bilangan(NAN=not-a-

number)






([email protected])






Lisensi

Contoh Bilangan Float 32-bit

I Nyatakan nilai bilangan dari:

I Nyatakan bilangan (3.5)10 dalam bentuk IEEE singleprecision






([email protected])






Lisensi

BCD (Binary-Coded Decimal)

I Binary-coded-decimal mengkodekan bilangan desimal dalambentuk biner

I Karena terdapat 10 nilai yang harus diwakili, diperlukan 4 bit perdigit

I Dari 0=0000 sampai 9=1001I Contoh: (01111000)BCD = (78)10

I BCD digunakan di sistem komputer terdahulu dan kalkulator,keypad numerik

I Menyediakan format yang memadai saat informasi numerikperlu ditampilkan di display sederhana berorientasi digit

I Tapi, membutuhkan rangkaian yang kompleks untukmelakukan operasi aritmatika dan masalah efisiensi kode (6buah kode tidak digunakan)






([email protected])






Lisensi

Operasi dengan BCD

I Operasi penjumlahan Z = X + YI Jika Z ≤ 9, maka S=Z dan Carry=0I Jika Z > 9, maka S=Z+6 dan Carry=1






([email protected])






Lisensi

Rangkaian Penjumlah BCD 1 Digit






([email protected])






Lisensi

Implementasi Rangkaian Penjumlah BCD 1Digit






([email protected])






Lisensi

Kode ASCII

I Kode yang sering digunakan untuk merepresentasikaninformasi di komputer

I American Standard Code for Information InterchangeI bilangan, huruf, tanda baca dan kontrol kode

I Kode ASCII menggunakan pola 7-bit untukmerepresentasikan 128 simbol

I digit bilangan (0-9)I karakter (a-z dan A-Z)I tanda bacaI kode kontrol

I Kode ASCII ekstended 8-bit mempunyai tambahan simboluntuk 128 karakter grafik (local glyph)

I http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_ASCII






([email protected])






Lisensi

Kode ASCII

I Lihat: http://en.wikipedia.org/wiki/ASCIII Sumber:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:ASCII_Code_Chart-Quick_ref_card.png






([email protected])






Lisensi

LisensiCreative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CCBY-SA 3.0)

I Anda bebas:I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan,

dan menyebarkan karya, danI untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya

I Di bawah persyaratan berikut:I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai

dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karyatersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi

I Cantumkan sumber asal file ini, yaituhttp://didik.blog.undip.ac.id/2012/02/24/

kuliah-sistem-digital-tsk-205-2011/

I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah,atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Andahanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya denganlisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.

I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0Unported License






http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Documents

@2012,Eko Didik Representasi Representasi Bilangan dan ... · PDF fileinformasi/bilangan digital ke dalam kode BCD (binary-coded decimal) maupun ASCII dengan tepat 4.[C3,C4] Mahasiswa