2014 2015 NSU Predavanje 04 FazniProstor

8/18/2019 2014 2015 NSU Predavanje 04 FazniProstor

1/14

NSU Predavanje 4 – Fazni prostor, singulariteti

Prof. Z. Vukić

2014/2015 1

Ak.g.2014/2015 Kolegij: Nelinearni sustavi upravljanja 1

Nelinearni sustavi upravljanja

Fazni prostor i trajektorije

Nelinearni sustavi upravljanja

Fazni prostor i trajektorije

Prof.dr.sc. Zoran Vukić

Tel: 01/6129 840, Fax:01/6129 809,

E-mail:[email protected]

Prof.dr.sc. Zoran Vukić

Tel: 01/6129 840, Fax:01/6129 809,

E-mail:[email protected]

DefinicijeDefinicije

Fazni prostor – prostor određen koordinatama

stanja ili tzv. faznim varijablama sustava danih sa:

Fazna točka – točka faznog prostora koja određuje

stanje ili fazu sustava

Fazna trajektorija – putanja promjene stanja ili

promjene faznih varijabli. Fazne točke formiraju

faznu trajektoriju

Fazni portret – familija faznih trajektorija

dobivena pri svim, za dati sustav mogućim,

početnim uvjetima

Fazni prostor – prostor određen koordinatama

stanja ili tzv. faznim varijablama sustava danih sa:

Fazna točka – točka faznog prostora koja određuje

stanje ili fazu sustava

Fazna trajektorija – putanja promjene stanja ili

promjene faznih varijabli. Fazne točke formiraju

faznu trajektoriju

Fazni portret – familija faznih trajektorija

dobivena pri svim, za dati sustav mogućim,

početnim uvjetima2

( 1)( ), ( ), ( ), , ( )n x t x t x t x t

http://math.rice.edu/~dfield/

Fazne trajektorije mogu se dobiti

analitički, grafički i simulacijom

Fazne trajektorije mogu se dobiti

analitički, grafički i simulacijom

Fazne trajektorije mogu se grafički prikazati za sustave

reda n ≤ 3.

Fazne trajektorije linearnih sustava pravilnog su oblika,

kod njih se može o ponašanju sustava zaključiti temeljem

poznavanja jedne fazne trajektorije, jer su sve ostale istog

oblika. Linearan sustav ima globalna svojstva.

Fazne trajektorije nelinearnih sustava općenito su nepra-

vilnog oblika. Kod nelinearnog sustava nije moguće

temeljem jedne trajektorije zaključiti o ponašanju neline-

arnog sustava u čitavom faznom prostoru. Nelinearni

sustav može imati različita lokalna svojstva.

Za sustave drugog reda fazni prostor je ravnina (2D), dok

je za sustave trećeg reda fazni prostor 3D.

Fazne trajektorije mogu se grafički prikazati za sustave

reda n ≤ 3.

Fazne trajektorije linearnih sustava pravilnog su oblika,

kod njih se može o ponašanju sustava zaključiti temeljem

poznavanja jedne fazne trajektorije, jer su sve ostale istog

oblika. Linearan sustav ima globalna svojstva.

Fazne trajektorije nelinearnih sustava općenito su nepra-

vilnog oblika. Kod nelinearnog sustava nije moguće

temeljem jedne trajektorije zaključiti o ponašanju neline-

arnog sustava u čitavom faznom prostoru. Nelinearni

sustav može imati različita lokalna svojstva.

Za sustave drugog reda fazni prostor je ravnina (2D), dok

je za sustave trećeg reda fazni prostor 3D.Kolegij: Nelinearni sustavi upravljanja 3

Linearni sustav (LTI)Linearni sustav (LTI)

Za linearan vremenski nepromjenjiv sustav (LTI)

dan sa d2 x/dt2 + adx/dt+bx = 0 svojstvene vr.

(korjeni karakteristične jednadžbe) su dani sa:

Ovisno o karakteru korjena moguće je 6 tipovasingularnih točaka:

Za linearan vremenski nepromjenjiv sustav (LTI)

dan sa d2 x/dt2 + adx/dt+bx = 0 svojstvene vr.

(korjeni karakteristične jednadžbe) su dani sa:

Ovisno o karakteru korjena moguće je 6 tipovasingularnih točaka:

Kolegij: Nelinearni sustavi upravljanja 4

2

1,2( )2 2

a a x t b


2/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 2

Ovisno o poziciji korjena, 6 tipova singularnih

točaka (ponašanja trajektorije) je moguće:

Ovisno o poziciji korjena, 6 tipova singularnih

točaka (ponašanja trajektorije) je moguće:


centar ( x1,2=±jω),

stabilan fokus ( x1,2 = - ± jω; σ > 0),

stabilan čvor ( x1 = 1 ; x2 = 2 ; σ 1,2< 0),

nestabilan fokus ( x1,2 = ± jω; σ > 0),

nestabilan čvor ( x1 = 1 ; x2 = 2 ; σ 1,2 > 0),

sedlo ( x1 = 1 ; x2 = 2 ; σ 1< 0 ; σ 2 > 0), .

Singularne točke – LTI sustavSingularne točke – LTI sustav

Priroda singularnih točaka Priroda singularnih točaka

2

Pokazuje se da se trajektorije ponašaju na isti način u okol ini

ranotežne točke. Ako se razmatra , . x Ax x R

1Tada je Mz A Mz z M A Mz

11

2

0

0 0r

k M AM J ili ili

λ λ α β

λ λ β α

(a) 1 2 0 & realniλ λ 1

2

2

1

2

1

1 1 1 1 10

2 2 2 2 20

2 1

20

10

( )

( )

( )

t

t

z z z t z e

z z z t z e

z cz

zc

z

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

stabilančvor

2 2Uvede li se uz det M 0 x Mz gdje M R

2 1 0λ λ

Te je

gdje

Fazni portreti – LTI sustavFazni portreti – LTI sustav

1 2, 0λ λ 1 2, 0λ λ

2 10 : sedloλ λ

stabilančvor nestabilan čvor

Fazni portreti (nastavak)Fazni portreti (nastavak)

(b) 1 2 0 & re a ln iλ λ

1 2kada 0,k z cz

jedna ili obje sv.vrijednosti su nula ravnotežni potprostor

0λ 0λ

0λ 0λ

20

2

20

1021 ln,0

z

zk

z

z z zk

λ

1 1 2

1 10 20 2 20

2 2

( ) ( ), ( )t t

z z kz z t e z kz t z t z e

z z

λ λλ

λ


3/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 3

Fazni portreti (nastavak)Fazni portreti (nastavak)

(c) 1,2 jλ α β

1 1 2

2 1 2

z z z z z z

α ββ α

2 2

1 2

1 2

1

tan

r z z z

zθ

r r αθ β

0

0

( )

( )

t r t r e

t t

α

θ θ β

0α 0α 0α

Let

stabilanfokus nestabilanfokus centar

Sustavi drugog redaSustavi drugog reda

),(

),(

y xgdt

dy

y x f dt

dx

Dvodimenzijalni LTI sustaviDvodimenzijalni LTI sustavi

y

x

d

b

c

a

dycx y

byax x

x

xx

,A

A

Primjer: OscilatorPrimjer: Oscilator

0

f ma

kx ma mx

mx kx

m k

x

xm

k v

v x

xv

v x

m

k 2

2

ωω


4/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 4

Oscilator: Fazna ravnina (1)Oscilator: Fazna ravnina (1)

xv

v x

2ω

x

v

Fazni portret

Fiksna točka

Zatvorena putanja

Trajektorija

Oscilator: Fazna ravnina (2)Oscilator: Fazna ravnina (2)

x

v

X=0

(a)

(b)

(c)

(d)

(a)

(b)

(c)

(d)

Primjer: Kanonički sustavPrimjer: Kanonički sustav

t

at

e yt y

e xt x

y y

ax x

y

xa

y

x

a

0

0

)(

)(

.1

0

0

1

0

0A

A

xx

Simetrični čvor (Zvijezda):Simetrični čvor (Zvijezda):

a = -1a = -1

t

at

e yt y

e xt x

0

0

)(

)(


5/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 5

Stabilan čvor:Stabilan čvor:

a < -1a < -1

t

at

e yt y

e xt x

0

0

)(

)(

-1 < a < 0

t

at

e yt y

e xt x

0

0

)(

)(

Linija fiksiranih točaka:Linija fiksiranih točaka:

a = 0 a = 0

t

at

e yt y

e xt x

0

0

)(

)(

Sedlo:Sedlo:

a > 0a > 0

t

at

e yt y

e xt x

0

0

)(

)(

Stabilan Manifold/Kolektor

Nestabilan Manifold

Opća analiza linearnih sustava (1)Opća analiza linearnih sustava (1)

U svim slučajevima trajektorije koje započinju na x ili y osi ostaju natim osima zauvijek. Fiksirane točke su točke u presjecištu ovih osiju.

U svim slučajevima trajektorije koje započinju na x ili y osi ostaju natim osima zauvijek. Fiksirane točke su točke u presjecištu ovih osiju.


6/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 6


Trajektorije se mogu općenito dobiti iz: Trajektorije se mogu općenito dobiti iz:

A

A ,

želimo izraziti rješenja u formi: 0

A A A

:svojstvene vr. od A (dinamika promjene)

:svojstveni vektori od A (smjer promjene)

t

t t

a b x

c d y

(t) e

e e

λ

λ λλ λ

λ

x x

x

x v , v

x x v v v v

v

2

2

2

1

Karakteristična jednadžba iz koje se mogu dobiti sv. vrijednosti: det(A-λI) 0

λ A det 0λ

0

λ ( )λ 0

( )λ λ 0

det( )

4λ

a b a bc d c d

(a λ)(d λ)-bc

a d (ad - bc)

a d trag A

ad bc A

ττ

τ τ

2

1

4, λ

2 2

τ τ


1

1 2

1 1

1

za svaku sv. vrijednost ( , ) postoji sv.vektor takav da:

A , A

Kada su sv. vrijednosti poznate sv. vektori se mogu lako izračunati

Opće rješenje za sustav je oblika:

x(t) c eλ

λ λ

λ λ

1 1 2 2v v v v

2

1 2 2cv e vλ

Opća analiza linearnih sustava (3)Opća analiza linearnih sustava (3) Primjer:Primjer:

2

1 2

1

1 1

2

2 2

2

1 1

2 2

4 2

1 1 .

4 2

λ λ-6 0

2 , 3

A

za λ :

1 1 1 2 0

4 2 1

za λ :

1 1 3

4 2

x x y

y x y

x x

y y

v vv v

v v

v v

v v

λ λ

λ

1 1

v v

v

2

14 0

4v v

1 2v

Svojstveni vektori:

y

x


7/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 7

Primjer:Primjer:

2 1kada 0:λ λ

y

x

Brzi svojstveni smjer Spori svojstveni smjer

Primjer:Primjer:

2 1kada 0:λ λ

y

x

Kompleksne sv. vrijednosti (1)Kompleksne sv. vrijednosti (1)

2

2

1,2

2

1 2

2

1,2

λ λ 0

( )

det( )

τ 4Δ

2

Ako τ 4Δ 0 ta da su λ i λ kon jugi ra no-kompleksne veličine:τ 4Δ

1, ,2 2

(t) sadrži modove

(cos

(α iω)t

(α iω)t αt

a d trag A

ad bc A

i i

e

e e t i

τ

τ

τλ

τλ α ω α ω

ω

x

sin )

Prema tome sustav ima oscilatorno ponašanje

t ω

ω

πα

ωω

ωτ

αωαλ

2periodomsnoscilatorasustav jetada0ako

)sin(cos

članovesadrži(t)

2

4Δτ,

2,1

2

2,1

T

t it ee

e

ii

αt iωω)(α

iωω)(αx

Centar

Kompleksne sv. vrijednosti (2)Kompleksne sv. vrijednosti (2)


8/14


9/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 9

1-33

NTI Sustav drugog reda -

izokline

NTI Sustav drugog reda -

izokline

Izokline

Skup svih trajektorija na ravnini → Fazni portret

Treba zapaziti da je nagib trajektorije na bilo kojoj točkix dana sa: S(x) = f 2(x1 ,x2)/f 1(x1 ,x2)

Izokline

Skup svih trajektorija na ravnini → Fazni portret

Treba zapaziti da je nagib trajektorije na bilo kojoj točkix dana sa: S(x) = f 2(x1 ,x2)/f 1(x1 ,x2)

1 1 1 2

2 2 1 2

( ) ( ) , ( )

( ) ( ) , ( )

:

i

i

x t f x t x t

x R x t f x t x t

f R R R

2 2

glatka funkcija

( ) : smjer trajektorije na svakom f x R R x

1 x

2 x

( ) f x

Zove se “vektorsko polje”

Izokline (nastavak)Izokline (nastavak)

S(x) = c prema tome definira krivulju (izoklinu) u

prostoru stanja duž koje trajektorije imaju nagib c.

Izoklina je geometrijsko mjesto točaka sa istim

konstantnim nagibom tangente na faznu

trajektoriju.

Crtanje fazne trajektorije metodom izoklina

olakšava skiciranje faznih trajektorija.

Jednadžba izokline dobije se uvrštavanjem

konstantnog iznosa u diferencijalnu jednadžbu

sustava dy(t)/dt = S(x) = c = konstantno

S(x) = c prema tome definira krivulju (izoklinu) u

prostoru stanja duž koje trajektorije imaju nagib c.

Izoklina je geometrijsko mjesto točaka sa istim

konstantnim nagibom tangente na faznu

trajektoriju.

Crtanje fazne trajektorije metodom izoklina

olakšava skiciranje faznih trajektorija.

Jednadžba izokline dobije se uvrštavanjem

konstantnog iznosa u diferencijalnu jednadžbu

sustava dy(t)/dt = S(x) = c = konstantno


1-35

Izokline (nastavak)Izokline (nastavak)

Krivulja c naziva se izoklina: kada trajektorija prolazi kroz izoklinu ona ju prolazi pod nagibom c, povezivanjemizoklina moguće je dobiti rješenje.

Primjer:

1 2

2 1

1

2

2 1

( ) ( )

( ) sin ( )

sin ( )( )

( )

1( ) sin ( )

x t x t

x t x t

x t S x c

x t

x t x t c

2

1

2 1

0

0 0

14sin

4

c x

c x

c x x


Primjer: 2

2

2

2

( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) 0 :

( )( ) ( )

0( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x t x t

y t x t

y t x t y x

dy t

y t x t dt

dx t x t y t dt

dy t x t

dx t y t

ω

ω

ω

ω

Nagib tangente u svakoj točki izoklinena faznu trajektoriju je konstantan:

tgα = dy/dx = c = konst.


10/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 10


Jednadžba izokline je:2

2

( )

( ):

1( ) ( )

x t c

y t odnosno

y t x t c

ω

ω

Za različite iznose konstante c dobiti će se familija izoklina.U našem slučaju izokline su pravci kroz ishodište

koordinatnog sustava (fazne ravnine).

Crtanje fazne trajektorijeCrtanje fazne trajektorije

Postoje dva načina

Prvi način: iz početne točke A (početnog uvjeta) povuci

pravac pod srednjim nagibom c12 = 0.5(c1+c2 ) - odredi

kut pravca α12 = arctg c12

Postoje dva načina

Prvi način: iz početne točke A (početnog uvjeta) povuci

pravac pod srednjim nagibom c12 = 0.5(c1+c2 ) - odredi

kut pravca α12 = arctg c12


α12

A

B

c1

c2

x

y Tamo gdje povučeni pravacsiječe izoklinu nalazi se

sljedeća točka (B) fazne

trajektorije.

Slobodnom rukom skiciratitrajektoriju od A do B.

Drugi način:

Iz početne točke (A) povuče se pravac pod kutem

(tangente fazne trajektorije) s nagibom α1= arctgc1.

Između izoklina c1 i c2 povuci pravac OD. Presjecište

pravca povučenog iz točke A i pravca OD predstavlja

pomoćnu točku B. Kroz ovu točku B povuci pravac snagibom tangente na faznu trajektoriju α

2

= arctgc2

.

Presjecište tog pravca s izoklinom c2 daje točku C

kroz koju će proći trajektorija. Nagib fazne

trajektorije u točki A je α1 a u točki C je α2.

Drugi način:

Iz početne točke (A) povuče se pravac pod kutem

(tangente fazne trajektorije) s nagibom α1= arctgc1.

Između izoklina c1 i c2 povuci pravac OD. Presjecište

pravca povučenog iz točke A i pravca OD predstavlja

pomoćnu točku B. Kroz ovu točku B povuci pravac snagibom tangente na faznu trajektoriju α

2

= arctgc2

.

Presjecište tog pravca s izoklinom c2 daje točku C

kroz koju će proći trajektorija. Nagib fazne

trajektorije u točki A je α1 a u točki C je α2.


Dinamika NTI sustava drugog reda

(kontinuirani sustav)

Dinamika NTI sustava drugog reda

(kontinuirani sustav)

Harmonički linearni oscilator (njihalo)

Fazni portret

Njihalo s prigušenjem

Nelinearno njihalo

Prinudne oscilacije

Harmonički linearni oscilator (njihalo)

Fazni portret

Njihalo s prigušenjem

Nelinearno njihalo

Prinudne oscilacije


11/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 11

Oscilatoran LTI

sustav

Oscilatoran LTI

sustav

2

2

d xm kx

dt

2

2

1d qq

LC dt

2

2

d g

Ldt

θθ

22

2

d x x

dt ω

Fazni portret LTI sustava zaFazni portret LTI sustava za

0 1

0

x xd k

v vdt m

dxv

dt

dv k x

dt m

2

2

d xm kx

dt

Ravnotežno stanje (točka):

0 0, 0dx dv

x vdt dt

Klasifikacija po sv. vrijednostima:

20

k

mλ

-5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y(2) vs y(1)

y(1)

y ( 2 )

Sustav:

Prigušene oscilacije LTI sustavaPrigušene oscilacije LTI sustava

2

2

d x dxm kx b

dt dt

0 1

/ /

x xd

v k m b m vdt

2 0m b k λ λ

Sustav:

Klasifikacija prema sv. vrijednostima:

2 4

2 2

b b mk

m mλ

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2DampedPendulum

x

y

Nelinearno njihalo

(Nelinearni oscilator)

Nelinearno njihalo

(Nelinearni oscilator)

2

2sin

d x g x

Ldt

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5vvs x

x

v

•Integrabilan Hamiltonski sustav

•Separatrisa

•Perturbacije – isprepletena stabilna/nestabilna područja


12/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 12

Prigušeno nelinearno njihaloPrigušeno nelinearno njihalo

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5vvs x

x

v

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5vvs x

x

Bez prigušenja Sa prigušenjem

Prinudne oscilacijePrinudne oscilacije2

2cos 2

d xm kx A ft

dt π

0 1 0

/ 0 cos 2

x xd

v k m v A ft dt π

Sustav:

Rezonancija

Fazni portret – prinudne

oscilacije nelinearnog njihala

Fazni portret – prinudne

oscilacije nelinearnog njihala

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

vvs x

x

v

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5vvs x

x

v

Bez prigušenja Sa prigušenjem1-48

LinearizacijaLinearizacija

Linearizacija Linearizacija ( ) x f x1

Pretpostavlja se da su rješenja , .k

e e x x

Nelinearansustav može se prikazati s više linearnihsustava od kojih svaki

vrijedi u malom okolišu oko x ei upotrebom linearizacije.

Pretpostavlja se da je f(x) ; x Є Rn kontinuirano derivabilna funkcija,

Ako se odabere jedno ravnotežno stanje, recimo xei

te uvede supstitucija:i i

e e z x x x z x

Tada ( ) ( ) . . ( )ie

i i

e e

x x

f z f z x f x z HOT z

x

1 1

1

1

n

n n

n

f f

x x f

x f f

x x

= 0

gdje

Ra zmatra se ( ) 0.e f x


13/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 13

1-49

Linearizacija (nastavak)Linearizacija (nastavak)

Razmatra li se dovoljno mala kugla Br Є Rn oko x e

i

{ : }n ii e

B x R x x ε

Linearizacija dx/dt = f(x) oko x ei definirana je sa:

( ) ( )

g d j e j eie

i

i

x x

z t A z t

f A

x

Primjer:

1 2

2 1 2

( ) ( )

( ) sin ( ) ( )

x t x t

x t a x t bx t

1 20

,0 0

e e x xπ

1

0 1

cos

f

a x b x

1

0 1, A

a b

2

0 1 A

a b

1-50

Linearizacija (nastavak)Linearizacija (nastavak)

1 2

2 1 2

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )unutar

z t z t

z t az t bz t B

1 2

2 1 2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( )unutar

z t z t

z t az t bz t B

1 2

2 1 2

( ) ( )

( ) sin ( ) ( )

x t x t

x t a x t bx t

π π

2 B2 B1 B

Tada su dvije linearizacije:

Nelinearan sustav – singularitetiNelinearan sustav – singulariteti

Nelinearan sustav Nelinearan sustav

1 1 1 2

2 2 1 2

( , )

( , )

x f x x

x f x x

( ) 0 lin earizacija ( )e e f x z A x z

Pretpostavimo da priroda singularne točke kod linearnog sustava može poprimitirazne forme: [ vor, fokus, centar, sedlo]α

Kakva je priroda singularne točke nelinearnog sustava?

Odgovor: Ista, osim za centar. Naime, centar kod linearnog sustava razlikuje seod centra kod nelinearnog sustava. Centar kod linearnog sustava ima pravilnuformu (kružnica ili elipsa) dok kod nelinearnog sustava singularna točka tipacentar predstavlja zatvorenu konturu – granični krug (limit cycle). Kod linearnogsustava govorimo o rubu stabilnosti ( oscilacijama konstantne apmplitude ifrekvencije), dok kod nelinearnog sustava govorimo o vlastitim oscilacijama(engl. Limit cycles)

Ravnotežna točka nelinearnog sustava kod koje linearizacija ne daje svojstvenevrijednosti na imaginarnoj osi naziva se hiperbolička ravnotežna točka.

Nelinearan sustav (nastavak)Nelinearan sustav (nastavak)

1 2

2 1 2

( ) ( )

( ) sin ( ) ( )

x t x t

x t a x t bx t

11

0 0 1stabilna

0e x A

a b

2

1

0 1nestabilna

0e x A

a b

π

gdje je: 1, 0.5a b

Primjer:


14/14


Prof. Z. Vukić

2014/2015 14

Zaključak 1/2Zaključak 1/2

Kod linearnih sustava o ponašanju se možezaključiti temeljem jedne fazne trajektorije jer su

sve ostale slične Kod nelinearnih sustava to nije moguće

Separatrisa – fazna trajektorija koja dijeli fazniprostor na područja različitih režima radanelinearnog sustava

Amplituda i frekvencija periodičkih oscilacija kodnelinearnih sustava (vlastite oscilacije) ne ovisi opočetnim uvjetima već isključivo o strukturisustava

Kod linearnih sustava o ponašanju se možezaključiti temeljem jedne fazne trajektorije jer su

sve ostale slične Kod nelinearnih sustava to nije moguće

Separatrisa – fazna trajektorija koja dijeli fazniprostor na područja različitih režima radanelinearnog sustava

Amplituda i frekvencija periodičkih oscilacija kodnelinearnih sustava (vlastite oscilacije) ne ovisi opočetnim uvjetima već isključivo o strukturisustava

53

Zaključak 2/2Zaključak 2/2

Kod linearnog sustava singularne točke su

Kod nelinearnog sustava imamo singularitete: Točkasti (ravnotežni):

Ciklički (periodički):

Torusni (kvaziperiodički)

Čudni (kaotični) atraktor

Granični krug – zatvorena trajektorija nepravilnog oblikakoja pokazuje da postoje vlastite oscilacije koje mogubiti stabilne i nestabilne

Kod linearnog sustava singularne točke su

Kod nelinearnog sustava imamo singularitete: Točkasti (ravnotežni):

Ciklički (periodički):

Torusni (kvaziperiodički)

Čudni (kaotični) atraktor

Granični krug – zatvorena trajektorija nepravilnog oblikakoja pokazuje da postoje vlastite oscilacije koje mogubiti stabilne i nestabilne

54

[čvor, fokus, centar, sedlo]α

[čvor, fokus, sedlo]α

[granični krug]α

Documents

2014 2015 NSU Predavanje 04 FazniProstor