2017 · 2016. 12. 9. · 2017 15th anniversary of Xistory since its birth as question banks of university entrance examination. Xistory stands for extra intensive story for an entrance

자이

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2017

15th

A

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IVER

SARY

1판매량

1만족도

1평가도

전국연합 고2 수학 나형 [4개년 학력평가]

전국연합부속(001~008)(나형).indd 1 2016. 10. 25. 오후 6:44

자이스토리는 명강의로 소문난 학교·학원 선생님들께서

수능 준비에 가장 효과적이고 가장 우수한 수능, 평가원, 학력평가 기출문제를

10단계에 걸친 분석 검증을 통해 개념별, 유형별, 난이도별로 수록하였습니다.

또한 다시는 그 문제를 틀리지 않도록 쉽게 이해되고 개념이 쌓이는

입체 분석 해설로 구성하였습니다.

“

“

집필진·감수진 선생님들

[전국연합 고2 수학 나형]

[ 집필진 ]

박숙녀 학교법인 충남 삼성학원 연구 팀장, EBS 인터넷 수능방송 강사

배수나 탑클래스 강사/저) 형상공식문제집 미적분Ⅰ+ 확률과 통계

신명선 안양 신성고 교사/저) 키워드수학 수학Ⅱ

유정석 세종과학고 교사/저) [이투스] 新 수학의 바이블 시리즈

윤장로 안양 신성고 교사/저) EBS수능가이드

윤혜미 가락고 교사/저) 2009개정교육과정 중등·고등 교과서,

이경진 중동고 교사/저) 형상공식문제집 수학Ⅰ+ 수학Ⅱ

이창희 다원교육 고등부 원장/저) [이투스] 新 수학의 바이블 시리즈

위경아 노량진, 강남 대성학원 강사

장광걸 김포외고 교사/저) 자이스토리 고1 수학Ⅰ, Ⅱ

장철희 보성고 교사/저) 0순위 파이널 모의고사

전경준 풍문여고 교사/저) 키워드수학 미적분Ⅱ

홍분남 의왕 백운고 교사/저) 수력충전 기하와 벡터

[ 감수진 ]

곽병우 KS 수학 전문학원 강사

구아름 구수한 수학학원 강사

구태현 일산 후곡 현수학 강사

김영환 목동 종로학원 강사

김용백 관악 서수원 학원 강사

김현철 문명의 STEM학원 강사

박노원 강남 대성학원 강사

박승규 대전 제일학원 평가이사

손영윤 대전 제일학원 강사

심행천 목동 종로학원 원장

오현욱 올림피아드 학원 강사

이경희 이경희 수학 원장

이창엽 목동 종로학원 강사

STEP 1 STEP 2 STEP 3 STEP 4

STEP 5STEP 6STEP 7

STEP 8 STEP 9 STEP 10

출제 단원 분석 문제 유형 분석 수험생 입장의 난이도 분석

매력적인 오답 분석 풀이 함께 알아야 할 개념 분석문제 해결 핵심 단서 분석

개념 적용 방법 분석 문제에 필요한 개념 분석유형의 풀이 해법 분석

학습 효과에 따른 문제 순서 배열

전국연합부속(001~008)(나형).indd 2 2016. 10. 25. 오후 6:44

[하루 100분, 15일 완성] ★ 하루하루 계획표대로 공부하면 어느덧 눈앞에 수학 1등급이 놓여 있을 것입니다.

분 량 학습 날짜 복습 날짜 틀린 문제, 헷갈리는 문제 번호 적기Day

01 01회[1등급 TEST]

월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일


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월 일 월 일


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월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일


월 일 월 일

전국연합 고2 수학 나형 15일 학습 계획표

15th ANNIVERSARY

전국연합부속(001~008)(나형).indd 3 2016. 10. 25. 오후 6:44

꼼꼼한 구성의 3가지 특징


새 교육과정에 적용된 기출문제를 그대로 수록하여 고2 나형

모의고사에 대비하도록 회차별 구성을 하였습니다.

2015, 2016년도 새 수능 기출문제1

회1 수학영역문항수 30개 | 배점 100점 | 제한시간 100분

제 2 교시전국연합학력평가〔 2016년 3월 10일시행〕고2

[나`형]

10 자이스토리 전국연합 고2 수학[나형]

5지선다형

두 다항식 A=x¤ -y¤ , B=2x¤ +y¤ 에 대하여 A+B를 간단히

하면? (2점)

① x¤ ② 2x¤ ③ 3x¤

④ y¤ ⑤ 2y¤

01 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

i(1+i)의 값은? (단, i='∂-1이다.) (2점)

① 1+i ②-1+i ③ 1-i

④-1-i ⑤ 2i

02 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

3;2!;_3—;2!;의 값은? (2점)

① ② ③ 1

④ 2 ⑤ 3

12

13

03 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

좌표평면에서 두 점 O(0, 0), A(8, 0)에 대하여 선분 OA를

3 : 1로 내분하는 점의 좌표는? (3점)

① (2, 0) ② (3, 0) ③ (4, 0)

④ (5, 0) ⑤ (6, 0)

04 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

함수 f(x)=3x-1에 대하여 f —⁄ (2)의 값은? (3점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

05 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

모든 항이 양수인 등비수열 {a«}에 대하여 a™=2, a¢=18일 때,

a£의 값은? (3점)

① 3 ② 6 ③ 9

④ 12 ⑤ 15

06 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

구 교육과정에 적용된 문제를 새 교육과정에 맞게 기출문제를

엄선하여 수록하였습니다. [각 문항 출처 참조]

2013, 2014년도 새 수능 맞춘 재구성 문제2


제 2 교시


[2015년 7월 고3 A형 학력평가 1번]

log™24-log™3의 값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

01

이차부등식 x(x-8)<0을 만족시키는 자연수 x의 개수는?

(2점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

02

[2011년 3월 고2 학력평가 4번]

0이 아닌 세 실수 a, b, c가 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=0을 만족

할 때, + + 의 값은? (3점)

① ② 2 ③

④ 3 ⑤72

52

32

ac

cb

ba

04


직선 3x+2y+9=0을 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 직선

이 원점을 지날 때, 상수 a의 값은? (3점)

① 3 ② 5 ③ 7

④ 9 ⑤ 11

06


수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn이 Sn=n+2n일 때,

a§`의 값은? (3점)

① 31 ② 33 ③ 35

④ 37 ⑤ 39

05

[2010년 3월 고2 학력평가 3번]

등식

⋯⋯ + + + =a+bi

를 만족시키는 실수 a , b의 합 a+b의 값은? (단, i ='∂-1) (2점)

① 2` ② 4 ③ 6`

④ 8` ⑤ 10

7i ›

5i ‹

3i ¤

1i

03

5지선다형

[나`형]전국연합학력평가〔 2013년 3월 13일시행〕고2

●새교육과정에 맞추어 새롭게 구성하였습니다.

✽숫자 변형 문제 수록 : 각 회차별 주요 문제를 선별 후 숫자를

바꾸어 수학 개념을 폭넓게 복습하도

록 예상 문제를 추가 수록하였습니다.

✽조건 변형 문제 수록 : 각 회차별 주요 문제를 선별 후 조건이나

상황을 변형하여 문제에 대한 해법을

다양한 각도에서 접근하도록 하였습니다.

학교 시험 및 모의고사를 대비한 1등급 완성 TEST3

1701회정답및해설 9~12p

REVIEW회1 문항수：4개, 제한시간：25분

수열 {a«}은 a¡=1, a™+a£=8이고,

⋯⋯ a˚- a˚=2n¤ +2 (næ3)

를 만족시킨다. a˚의 값은?

① 703 ② 713 ③ 723

④ 733 ⑤ 743

10¡k=1

n-1¡k=2

n¡k=3

01 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

그림과 같이 한 변의 길이가 12인 정사각형 OABC 모양의 종이

를 점 O가 원점에, 두 점 A, C가 각각 x축, y축 위에 있도록 좌

표평면 위에 놓았다. 두 점 D, E는 각각 두 선분 OC, AB를

2 : 1로 내분하는 점이고, 선분 OA 위의 점 F에 대하여 OF”=5

이다. 선분 OC 위의 점 P와 선분 AB 위의 점 Q에 대하여 선분

PQ를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 O는 선분 BC 위의

점O'으로, 점F는 선분DE 위의 점F'으로 옮겨졌다. 이때 사각

형POAQ의 넓이는? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

02 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

모든 실수 x에 대하여 이차부등식 x¤ -2(a-1)x+b-2æ0이

성립할 때, a¤ +b의 최솟값은m이다. 4m¤ 의 값을 구하시오.

(단, a, b는 실수이다.)

03 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

두 등차수열 {a«}, {b«}과 실수 전체의 집합의 두 부분집합

⋯⋯A={a˚|1…a˚…100, a˚는 수열 {a«}의 항}

⋯⋯B={b˚|1…b˚…100, b˚는 수열 {b«}의 항}

이 다음 조건을 만족시킨다.

04 [2014년 3월 고2 B형 학력평가 1]

F5 A

Q

E

BO'

F'D

y

O

P

C

x

집합B의 모든 원소의 합을 구하시오.

(단, 수열 {b«}의 항은 유한개가 아니다.)

① 46 ② 48 ③ 50

④ 52 ⑤ 54

(가) a¡=1, a¡º=73

(나) n(A;B)-1= _n(A;BÇ )= _n(AÇ ;B)

(다) 집합A;B의 모든 원소의 합은 245이다.

13

12

TEST [예상 문제]

전국연합부속(001~008)(나형).indd 4 2016. 10. 25. 오후 6:44

다시는 틀리지 않게 쉽게 이해시키고 개념이 쌓이는 입체 첨삭 해설!

15th ANNIVERSARY

문제를 풀 때는 다각

적으로 사고하는 연

습이 필요합니다. 이

에 다른 방법으로 문

제에 접근할 수 있는

방법을 알려줍니다.

다른 풀이

문제를 풀기 위해 요구

되는 주요 개념과 공식

을 정리하였습니다.

개념·공식

문제를 푸는 데 요구

되는 사고의 순서를

구체적으로 단계를 나

누어 제시하였습니다.

단계별 명쾌 풀이

오답에 대한 상대평

가를 할 수 있도록 하

였습니다.

난이도 하

난이도 중

난이도 상

정답률, 난이도

더욱 정확하고 완벽

하게 해설을 이해할

수 있도록 해설에 내

재된 내용을 설명하

였습니다.

보충 설명

기출 개념을 정리하

여 교과서 개념과 연

계하여 공부할 수 있

도록 하였습니다.

기출 개념

문제를 조금 더 쉽고

빠르게 풀 수 있는 스

킬 등을 자세히 설명하

였습니다.

수능 핵강

해설에 직접적, 간접적

으로 사용된 개념, 공식

을 보여줍니다.

해설 적용 공식

직관적으로 풀거나,

교육과정 외의 개념

또는 특이한 풀이 방

법을 알려줍니다.

쉬운 풀이, 톡톡 풀이

문제를 푸는 데 핵심

이 되는 단서와 그 단

서를 문제 풀이에 적

용하는 방법을 설명하

였습니다.

핵심 단서



3 : 1로 내분하는 점의 좌표는? (3점)

① (2, 0) ② (3, 0) ③ (4, 0)

④ (5, 0) ⑤ (6, 0)

단서 좌표평면의 두 점을 이은 선분을m : n으로 내분하는 점의 좌표구할 수 있지?

내분점을 구하는 공식을 생각해.

두 점O(0, 0), A(8, 0)에 대하여OA”를 3 : 1로 내분하는점의 좌표는

{ , }, 즉 (6, 0)이다.3_0+1_0

3+13_8+1_0

3+1

두 다항식 A=x¤ -y¤ , B=2x¤ +y¤ 에 대하여 A+B를 간단히 하

면? (2점)

① x¤ ② 2x¤ ③ 3x¤

④ y¤ ⑤ 2y¤

단서 A, B는 모두 다항식이야. 다항식의 덧셈을 계산하면 돼!

다항식은 덧셈은 동류항끼리 계산해.

A+B=x¤ -y¤ +2x¤ +y¤ =x¤ +2x¤ -y¤ +y¤

A+B=(1+2)x¤ +(-1+1)y¤ =3x¤

i(1+i)의 값은? (단, i='∂-1이다.) (2점)

① 1+i ②-1+i ③ 1-i

④-1-i ⑤ 2i

단서 복소수의 곱셈에서 i는 문자와 같이 생각하면 돼!

복소수의 곱셈도 다항식의 곱셈과 같이 분배법칙을 이용해.

i(1+i)=i+i¤=i+(-1)=-1+i

3;2!;_3—;2!;의 값은? (2점)

① ② ③ 1

④ 2 ⑤ 3

12

13

단서 지수법칙을 이용해서 계산하면 돼!

지수법칙을 이용해서 계산해.

3;2!;_3-;2!;=3;2!;+{-;2!;}=3‚ =1

3;2!;_3-;2!;=3;2!;_{ };2!;

='3_æ±='3_=1

1'3

13

13

교환법칙이 성립하니까 자리를 바꿔도 OK!

i='∂-1이므로

i¤ =-1이야.

a® _aß =a® ±ß a‚ =1

두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)를 이은 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는

P{ , }my™+ny¡m+n

mx™+nx¡m+n

연립방정식 의 해를 x=a, y=b라 할 때, a+b

의 값은? (3점)

①-1 ②-2 ③-3

④-4 ⑤-5

xy+x+1=0

x-y=3‡

단서 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식이지?이 경우 일차방정식을 한 미지수에 관해 풀고, 이것을 이차방정식에 대입해서 미지수가 1개인 이차방정식으로 만들어서 풀어!

일차식을 한 문자에 관해서 푼 후 다른 식에 대입하여 연립방정식을 풀어 보

자.

㉠에서 y=x-3이므로 ㉡에 대입하면

x(x-3)+x+1=0, x¤ -2x+1=0이제 x에 대한 이차방정식의 해를 구한 뒤에 ㉠에 대입해 보자.

(x-1)¤ =0이므로x=1x=1을 ㉠에 대입하면 y=-2따라서 주어진 연립방정식의해는x=1, y=-2이므로 a=1, b=-2∴ a+b=-1

x-y=3 y ㉠

xy+x+1=0 y ㉡‡

무리함수 y='∂ax의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향

으로 -2만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지난다. 상수 a의 값

은? (3점)

①-7 ②-4 ③-1

④ 2 ⑤ 5

단서 그래프의 평행이동이므로 x 대신 x-1, y 대신 y+2를 대입해 봐!

㉠이 일차식이므로 ㉡에 대입하면 돼!

인수분해를 통해 x값을 구해.

일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은 일차방정식을 한

미지수에 관하여 풀고, 이것을 이차방정식에 대입하여 미지수가 1개인 이차방

정식으로 만들어서 푼다.

수능 핵강

정답 ③*다항식의 연산(계산) ……………… [정답률92%]01

정답 ②*복소수(계산) ………………………… [정답률93%]02

정답 ③*지수(계산) …………………………… [정답률89%]03

정답 ⑤*평면좌표(계산) ……………………… [정답률82%]04

정답 ②*무리함수(이해) ……………………… [정답률71%]06

정답 ①*연립방정식(이해) …………………… [정답률66%]05

세 다항식 A, B, C에 대하여

① 교환법칙 A+B=B+A② 결합법칙 (A+B)+C=A+(B+C)

다항식의 덧셈에 대한 성질 개념•공식두 점O, A가 모두x축 위의 점이므로

그림에서OA”를 3 : 1로 내분하는점의 좌표는 (6, 0)이야.

xO A

0 1

13

2 3 4 5 6 7 8

회1 전국연합학력평가 고2·나형 2016년 3월시행

▲

▲▲

전국연합부속(001~008)(나형).indd 5 2016. 10. 25. 오후 6:44

차 례

•1회 모의고사 - 2016년 3월 10

1등급 완성 TEST 17

3월 전국연합학력평가Ⅰ

•2회 모의고사 - 2015년 3월 18


[새 수능 체제 재구성]

•3회 모의고사 - 2014년 3월 26



•4회 모의고사 - 2013년 3월 34


•5회 모의고사 - 2016년 6월 44


6월 전국연합학력평가Ⅱ

•6회 모의고사 - 2015년 6월 52



•7회 모의고사 - 2014년 6월 60



•8회 모의고사 - 2013년 6월 68



전국연합부속(001~008)(나형).indd 6 2016. 10. 25. 오후 6:44

★ 전국연합학력평가를 월 단위로 묶어 최근 연도부터 차례대로 수록하였습니다.

★ 교육청에서 발표한 2017학년도 학력평가 출제범위를 준수하였습니다.

★ 2013~2014년도 학력평가는 구 교육과정에 따른 문항구성이어서, 새 교육과정에 맞도록 2010~2015년도 학력평가 문항들로

엄선하여 수록하였습니다.

•13회 모의고사 - 2015년 11월 112


11월 전국연합학력평가Ⅳ


•14회 모의고사 - 2014년 11월 120



•15회 모의고사 - 2013년 11월 128


•9회 모의고사 - 2016년 9월 78


9월 전국연합학력평가Ⅲ

•10회 모의고사 - 2015년 9월 86



•11회 모의고사 - 2014년 9월 94



•12회 모의고사 - 2013년 9월 102


15th ANNIVERSARY

전국연합부속(001~008)(나형).indd 7 2016. 10. 25. 오후 6:44

모든 행복은

행복한 생각에서 출발합니다.

생각은 눈에 보이지 않습니다.

보이는 것은 보이지 않는 것에서부터 옵니다.

행복한 생각을 심으면, 행복한 인격이 나오고

행복한 인격을 심으면, 행복한 인생이 나옵니다.

행복은 선택입니다.

행복은 습관입니다.

불행도 습관입니다.

평소에

행복한 선택을 훈련함으로

나의 행복은 결정됩니다.

- ‘아름다운 사람은 향가기 있다’ 중에서 -

전국연합부속(001~008)(나형).indd 8 2016. 10. 25. 오후 6:44

[회별 30문항, 제한시간 100분]

3월 전국연합학력평가

Ⅰ

모의고사 - 2016년 3월

[범위 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 전범위]







1회

2회

3회

4회

✽ 3, 4회는 개정교육과정에 따라 이동한 개념

(삼각함수, 순열과 조합 등)을 포함한 문제는

교체하였습니다.

전국연합도비라(나형).indd 9 2016. 10. 25. 오후 5:58



[나`형]

10 자이스토리전국연합고2 수학[나형]

5지선다형

두 다항식 A=x¤ -y¤ , B=2x¤ +y¤ 에 대하여 A+B를 간단히

하면? (2점)

① x¤ ② 2x¤ ③ 3x¤

④ y¤ ⑤ 2y¤

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A+B=x¤ -y¤ +2x¤ +y¤ =x¤ +2x¤ -y¤ +y¤A+B=(1+2)x¤ +(-1+1)y¤ =3x¤

i(1+i)의값은? (단, i='∂-1이다.) (2점)

① 1+i ②-1+i ③ 1-i

④-1-i ⑤ 2i

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

i(1+i)=i+i¤=-1+i

3;2!;_3—;2!;의값은? (2점)

① ② ③ 1

④ 2 ⑤ 3

12

13

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

3;2!;_3-;2!;=3‚ =1


3 : 1로내분하는점의좌표는? (3점)

① (2, 0) ② (3, 0) ③ (4, 0)

④ (5, 0) ⑤ (6, 0)

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

{ , }, 즉 (6, 0)3_0+1_0

3+13_8+1_0

3+1

함수 f(x)=3x-1에대하여 f —⁄ (2)의값은? (3점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

05 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

y=3x-1에서 x=

여기서 x와 y를서로바꾸면

y= = x+ 이므로 f —⁄ (x)= x+

∴ f —⁄ (2)= _2+ =113

13

13

13

13

13

x+13

y+13

모든항이양수인등비수열 {a«}에대하여 a™=2, a¢=18일때,

a£의값은? (3점)

① 3 ② 6 ③ 9

④ 12 ⑤ 15

06 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

a£은 a™와 a¢의등비중항이다.

따라서 a£¤ =a™_a¢=2_18=36이고

a«>0이므로 a£=6


2016.3

1회

연립방정식 의해를 x=a, y=b라할때, a+b

의값은? (3점)

①-1 ②-2 ③-3

④-4 ⑤-5

x-y=3

xy+x+1=0‡

07 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

㉠에서 y=x-3이므로㉡에대입하면

x(x-3)+x+1=0, x¤ -2x+1=0(x-1)¤ =0이므로 x=1x=1을㉠에대입하면 y=-2따라서 a=1, b=-2∴ a+b=-1

x-y=3 y ㉠

xy+x+1=0 y ㉡‡

무리함수 y='∂ax의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방

향으로 -2만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지난다. 상수 a의

값은? (3점)

①-7 ②-4 ③-1

④ 2 ⑤ 5

08 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

y="√a(x-1)-2의그래프가원점을지나므로

0="√a(0-1)-2='∂-a-2

'∂-a=2 이므로-a=4⋯⋯∴ a=-4

어떤 알고리즘에서 N개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 T

라하면다음과같은관계식이성립한다고한다.

⋯⋯ =logN

100개의자료를처리할때의시간복잡도를T¡, 1000개의자료를

처리할때의시간복잡도를T™라할때, 의값은? (3점)

① 15 ② 20 ③ 25

④ 30 ⑤ 35

T™T¡

TN

09 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

=log100, =2⋯⋯∴T¡=200

=log1000, =3⋯⋯∴T™=3000

∴ = =153000200

T™T¡

T™1000

T™1000

T¡100

T¡100

방정식 x‹ +8=0의근중허수부분이양수인근을 a라하자.

a-a’의값은? (단, i='∂-1이고, a’는 a의켤레복소수이다.)

(3점)

①-2'3 i ②-'3 i ③ '3 i④ 2'3 i ⑤ 4'3 i

10 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

(x+2)(x¤ -2x+4)=0∴ x=-2 또는 x¤ -2x+4=0x¤ -2x+4=0에서 x=1—'3 i따라서 a=1+'3 i, a’=1-'3 i이므로

a-a’=1+'3 i-(1-'3 i)=2'3 i

실수 x에대하여두조건 p, q가다음과같다.

⋯⋯p : x¤ -2x-3…0

⋯⋯q : |x-a|…b

p는 q이기위한필요충분조건일때, ab의값은?

(단, a, b는상수이다.) (3점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

11 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

두조건 p, q의진리집합을각각P, Q라하면

P={x|-1…x…3}, Q={x|a-b…x…a+b}P=Q이어야하므로

a-b=-1, a+b=3연립하여풀면 a=1, b=2∴ ab=2


log 2=a, log3=b라할때, f(log£ 6)의값을 a, b로나타낸것

은? (4점)

① ② ③

④ ⑤a+2b2a+b

a+b2a+b

2a+ba+2b

2a+ba+b

a+2ba+b

14 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

log£ 6= =

=1+ =1+

f(x)= = =a+2b2a+b

1+;bA;+1

2_{1+;bA;}-1

x+12x-1

ab

log2log3

log2+log3log3

log6log3

이차항의계수가-1인이차함수 y=f(x)의그래프와직선

y=g(x)가만나는두점의 x좌표는 2와 6이다.

h(x)=f(x)-g(x)라 할 때, 함수 h(x)는 x=p에서 최댓값 q

를갖는다. p+q의값은? (4점)

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

15 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f(2)=g(2), f(6)=g(6)에서 h(2)=0, h(6)=0이므로

h(x)=-(x-2)(x-6)으로놓을수있다.

h(x)=-x¤ +8x-12=-(x-4)¤ +4

이므로 h(x)는 x=4에서최댓값 4를갖는다.

따라서 p=4, q=4이므로 p+q=8

[ 13~14 ] 함수

⋯⋯f(x)=

에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

x+1

2x-1

유리함수 y=f(x)의 그래프가 점 (p, q)에 대하여 대칭일 때,

p+q의값은? (3점)

① ② ③

④ 1 ⑤54

34

12

14

13 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f(x)= = +

p= , q= 이므로

p+q=1

12

12

12

;4#;x-;2!;

x+12x-1

그림과 같이 좌표평면에서 점 A(-2, 3)과 직선 y=m(x-2)

위의서로다른두점 B, C가AB”=AC”를만족시킨다. 선분 BC

의중점이 y축위에있을때, 양수m의값은? (3점)

12 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

BC”의중점을M이라하면M(0, -2m)

(직선AM의기울기)=

AM”⊥BC”이고, 직선BC의기울기는m이므로

_m=-1

즉, 2m¤ +3m-2=0에서 (2m-1)(m+2)=0

m>0이므로m=12

-2m-32

-2m-32

y=m(x-2)

A3

-2

B

C

y

O x

① ② ③

④ ⑤23

712

12

512

13

y=f (x)

y=g(x)

y

O 2 6 x


2016.3

1회

모든항이양수인수열 {a«}이모든자연수 n에대하여

⋯⋯ a˚=

을만족시킨다. 다음은일반항 a«이⋯⋯a«='n-'ƒn-1 yy (*)

임을수학적귀납법을이용하여 [증명]한것이다.

a«¤ +12a«

n¡k=1

16 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

a˚= a˚+aμ≠¡= ('ßk-'ƒk-1)+aμ≠¡

='∂m+aμ≠¡

='∂m+aμ≠¡이므로

aμ≠¡ ¤ +2'∂m_aμ≠¡-1=0이고, 근의공식에의하여

aμ≠¡=-'∂m—'ƒm+1이고,

aμ≠¡>0이므로 aμ≠¡='ƒm+1-'∂m따라서 f(m)='∂m, g(m)='ƒm+1이므로

f(25)+g(35)='∂25+'ƒ35+1=5+6=11

aμ≠¡¤ +12aμ≠¡

m

¡k=1

m

¡k=1

m+1

¡k=1

두자연수 a, b에대하여

⋯⋯a¤ b+2ab+a¤ +2a+b+1

의값이 245일때, a+b의값은? (4점)

① 9 ② 10 ③ 11

④ 12 ⑤ 13

17 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

(a¤ +2a+1)b+a¤ +2a+ 1=(a¤ +2a+1)(b+1)=(a+1)¤ (b+1)

245=5_7¤ 이므로

(a+1)¤ (b+1)=245=7¤ _5a, b는자연수이므로 a=6, b=4∴ a+b=10

위의(가)와 (나)에알맞은식을각각 f(m), g(m)이라할때,

f(25)+g(35)의값은? (4점)

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

(가)

(가)

(나)

그림과같이좌표평면에세점 O(0, 0), A(8, 4), B(7, a)와삼

각형 OAB의무게중심 G(5, b)가있다. 점 G와직선 OA 사이

의거리가 '5일때, a+b의값은? (단, a는양수이다.) (4점)

18 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

y

O

A

G

B

x

△OAB의무게중심의좌표는 { , }

이점이G(5, b)와일치하므로

3b=a+4 y ㉠

원점과점A(8, 4)를지나는직선의방정식은 y= x

='5, |5-2b|=5

5-2b=5 또는 5-2b=-5⋯⋯∴ b=0 또는 b=5a>0이므로㉠에서 b>0따라서 a=11, b=5이므로 a+b=16

|5-2b|"√1¤ +(-2)¤

12

0+4+a3

0+8+73

① 16 ② 17 ③ 18

④ 19 ⑤ 20

[증명]

⁄ n=1일때,

a¡= 에서 a¡>0이므로

(좌변)=a¡=1, (우변)=1-0=1이다.

따라서 n=1일때 (*)이성립한다.

¤ n=m일때 (*)이성립한다고가정하면

aμ='ßm-'ƒm-1이므로

a˚= a˚+aμ≠¡

a˚= ('k-'ƒk-1)+aμ≠¡

a˚= +aμ≠¡이다. 이때

= +aμ≠¡

즉,

aμ≠¡¤ +2'ßm_aμ≠¡-1=0

이고, aμ≠¡>0이므로

aμ≠¡= -'ßm이다. 따라서 n=m+1일때도 (*)이성립한다.

⁄, ¤에의하여모든자연수 n에대하여

a«='n-'ƒn-1이다.

aμ≠¡¤ +12aμ≠¡

m¡k=1

m¡k=1

m+1¡k=1

a¡¤ +12a¡

'∂m¤

'∂m¤

'ƒm+1¤


집합X={1, 2, 3, 4}에대하여X에서X로의일대일대응인함

수 f가다음조건을만족시킨다.

20 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

그림과같이한변의길이가 12인정사각형 OABC 모양의종이

를점 O가원점에, 두점 A, C가각각 x축, y축위에있도록좌


2 : 1로내분하는점이고, 선분 OA 위의점 F에대하여 OF”=5

이다.

선분 OC 위의점 P와선분AB 위의점 Q에대하여선분 PQ를

접는선으로하여종이를접었더니점 O는선분 BC 위의점 O'

으로, 점 F는선분 DE 위의점 F'으로옮겨졌다. 이때좌표평면

에서직선PQ의방정식은 y=mx+n이다. m+n의값은?

(단, m, n은상수이고, 종이의두께는고려하지않는다.) (4점)

21 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

CD”=4

F'H”=CD”=4

O'F' ”=OF”=5이므로O'H”=3

CO'”=a라하면O'(a, 12), F'(a+3, 8)

OO'”과FF'”의기울기가서로같으므로

O'(6, 12)이다.

직선PQ의기울기는-

M(3, 6)이므로직선PQ의방정식은

y=- x+

따라서m=- , n= 이므로m+n=7152

12

152

12

12

F5 H' A RQS

E

BHO'5 4

F'D

3y

O

P

C

x

수열 {a«}은 a¡+a™=8이고,

⋯⋯ a˚- a˚=2n¤ +2 (næ2)

를만족시킨다. a˚의값은? (4점)

① 756 ② 766 ③ 776

④ 786 ⑤ 796

10¡k=1

n-1¡k=1

n¡k=2

19 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

양변에n=2를대입하면 a™-a¡=10이므로

a¡+a™=8과연립하여풀면 a¡=-1, a™=9

a˚- a˚=a«-a¡=a«+1이므로

a«+1=2n¤ +2 (næ2)

∴ a˚=a¡+ a˚

=-1+ (2k¤ +1)

=2_ +10-4

=776

10_11_216

10

¡k=2

10

¡k=2

10

¡k=1

n-1

¡k=1

n

¡k=2

[보기]에서옳은것만을있는대로고른것은? (4점)

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄴ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. f(x)=f—⁄ (x)이므로 f(3)=f—⁄ (3)(참)

ㄴ. f(1)=2, f(2)=4 중적어도하나는성립해야한다.

따라서 f(1)=3이면 f(1)+2이므로반드시 f(2)=4이어야한다. (참)

ㄷ. ⁄ f(1)=2이고 f(2)+4인경우

f(3)=3, f(4)=4 또는 f(3)=4, f(4)=3이어야하므로함수 f의개수는 2이다.

¤ f(2)=4이고 f(1)+2인경우

f(1)=1, f(3)=3 또는 f(1)=3, f(3)=1이어야하므로함수 f의개수는 2이다.

‹ f(1)=2이고 f(2)=4인경우조건(가)에모순이다.

가능한함수 f의개수는4이다. (참)

F5 A

Q

E

BO'

F'D

y

O

P

C

x

① 6 ② ③

④ ⑤ 7274

132

254

(가) 집합X의모든원소 x에대하여 ( fΩ f)(x)=x이다.

(나) 집합X의어떤원소 x에대하여 f(x)=2x이다.

[보기]

ㄱ. f(3)=f—⁄ (3)

ㄴ. f(1)=3이면 f(2)=4이다.

ㄷ.가능한함수 f의개수는 4이다.


2016.3

1회

단답형

다항식 P(x)=x‹ +x¤ +x+1을 x-k로나눈나머지와 x+k로

나눈나머지의합이 8이다. P(x)를 x-k¤ 으로나눈나머지를구

하시오. (단, k는상수이다.) (3점) 답⃞ 40

25 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P(x)=x‹ +x¤ +x+1=(x-k)Q¡(x)+R¡ y ㉠

P(x)=x‹ +x¤ +x+1=(x+k)Q™(x)+R™ y ㉡

㉠의양변에 x=k를대입하면

R¡=P(k)=k‹ +k¤ +k+1 y ㉢

㉡의양변에 x=-k를대입하면

R™=P(-k)=(-k)‹ +(-k)¤ +(-k)+1=-k‹ +k¤ -k+1 y ㉣

㉢+㉣을하면R¡+R™=2k¤ +2이고R¡+R™=8이므로

2k¤ +2=8⋯⋯∴ k¤ =3P(x)=x‹ +x¤ +x+1=(x-3)Q£(x)+R£x=3을대입하면

R£=P(3)=3‹ +3¤ +3+1=27+9+3+1=40

전체집합U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의두부분집합

⋯⋯A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}

에대하여집합P를

⋯⋯P=(A'B);(A;B)Ç

이라 하자. P,X,U를 만족시키는 집합 X의 개수를 구하시

오. (4점) 답⃞ 16

26 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P=(A'B);(A;B)Ç =(A'B)-(A;B)={1, 2, 3, 4, 5} -{2, 3}={1, 4, 5}

따라서 {1, 4, 5},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}을만족시키는

집합X의개수는 27-3=2›=16

두집합A={2, 4, 6}, B={3, 6, 9}에대하여집합A'B의모든

원소의합을구하시오. (3점) 답⃞ 24

22 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A'B={2, 3, 4, 6, 9}이므로

2+3+4+6+9=24

모든실수 x에대하여등식

⋯⋯x‹ -x¤ -5x+a=(x-2)(x¤ +x+b)

가성립할때, a+b의값을구하시오. (단, a, b는상수이다.)

답⃞ 3 (3점)

23 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

양변에 x=2를대입하면

8-4-10+a=0⋯⋯∴ a=6x‹ -x¤ -5x+6=(x-2)(x¤ +x+b)

=x‹ -x¤ +(b-2)x-2b양변의계수를비교하면 b=-3∴ a+b=6-3=3

이차방정식 x¤ -ax+a-3=0의두근의합이 10일때, 두근의

곱을구하시오. (단, a는상수이다.) (3점) 답⃞ 7

24 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

주어진이차방정식의두근을 a, b라하면

a+b=a, ab=a-3두근의합이 10이므로 a=10따라서두근의곱은 ab=a-3=7


æ _›'a가자연수가되도록하는자연수 a의최솟값을구하시

오. (4점) 답⃞ 36

32

27 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

æ± _›'a=n (n은자연수)이라하면

n={ };2!;_a;4!;={ }

;4!;

n이자연수가되려면자연수 a는 a=2¤ _3¤ _k› (k는자연수) 꼴이어야한다.

따라서자연수 a의최솟값은 k=1일때 36이다.

3¤ _a2¤

32

32

그림과같이좌표평면에서세점 O(0, 0), A(4, 0), B(0, 3)을

꼭짓점으로하는삼각형OAB를평행이동한도형을삼각형

O'A'B'이라하자. 점 A'의좌표가 (9, 2)일때, 삼각형 O'A'B'

에내접하는원의방정식은 x¤ +y¤ +ax+by+c=0이다.

a+b+c의값을구하시오. (단, a, b, c는상수이다.) (4점) 답⃞ 26

28 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

두삼각형OAB와O'A'B'에내접하는원을각각C, C'이라하고

원C의반지름의길이를 r라하면

_4_3= _r_(3+4+5)

∴ r=1원C를 x축의방향으로 5만큼, y축의방향으로 2만큼평행이동하면원C'이된다.

따라서원C'의방정식은

(x-6)¤ +(y-3)¤ =1즉, x¤ +y¤ -12x-6y+44=0이므로

a=-12, b=-6, c=44∴ a+b+c=26

12

12


성립할때, a+b의최솟값은m이다. 4m의값을구하시오.

답⃞ 11 (단, a, b는실수이다.) (4점)

29 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

x¤ -2(a-1)x+b-2æ0이므로이차방정식

x¤ -2(a-1)x+b-2=0의판별식을D¡이라하면

=(a-1)¤ -b+2…0

a+b=k라하면

직선 b=-a+k가 이차함수 b=(a-1)¤ +2의 그래

프에접할때 b절편인 k값이최소이므로

(a-1)¤ +2=-a+ka¤ -a+3-k=0D™=1-4 (3-k)=0, -11+4k=0

∴ k=

따라서m= 이므로

4m=11

114

114

D¡4

b

O a

b=(a-1)™+2

b=-a+k

㉠

두등차수열 {a«}, {b«}과실수전체의집합의두부분집합

⋯⋯A={a˚|1…a˚…60, a˚는수열 {a«}의항}

⋯⋯B={b˚|1…b˚…60, b˚는수열 {b«}의항}

이다음조건을만족시킨다.

30 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A={1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55}이고n(A)=10n(A;B)=n이라하면n(A)=2n=10이므로n=5이고, n(B)=15A;B={1, 13, 25, 37, 49}이고, n(B)=15이므로집합 B의원소들을크기가작

은것부터나열해보면

1, c¡, c™, 13, c£, c¢, 25, c∞, c§, 37, c¶, c•, 49, cª, c¡º등차수열 {b«}의공차를d™라하면 13=1+(4-1)d™이므로d™=4따라서집합B={1, 5, 9, y, 53, 57}이므로

=43515(1+57)

2

y

O

B

A

O'

B'

A'

x집합B의모든원소의합을구하시오.

(단, 수열 {b«}의항은유한개가아니다.) (4점)답⃞ 435

(가) a¡=1, a¡º=55

(나) n(A;B)=n(A;BÇ )= _n(AÇ ;B)

(다) 집합A;B의모든원소의합은 125이다.

12

2016.3

1회



수열 {a«}은 a¡=1, a™+a£=8이고,

⋯⋯ a˚- a˚=2n¤ +2 (næ3)

를만족시킨다. a˚의값은?

① 703 ② 713 ③ 723

④ 733 ⑤ 743

10¡k=1

n-1¡k=2

n¡k=3

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

양변에n=3을대입하면 a£-a™=20이므로

a™+a£=8과연립하여풀면 a™=-6, a£=14

a˚- a˚=a«-a™=a«+6

a«+6=2n¤ +2 (næ3)이므로

a˚=a¡+a™+ a˚=1-6+ (2k¤ -4)+2-4

=2_ -47=72310_11_21

6

10

¡k=1

10

¡k=3

10

¡k=1

n-1

¡k=2

n

¡k=3

그림과같이한변의길이가 12인정사각형 OABC 모양의종이

를점 O가원점에, 두점 A, C가각각 x축, y축위에있도록좌


2 : 1로내분하는점이고, 선분 OA 위의점 F에대하여 OF”=5

이다. 선분 OC 위의점 P와선분 AB 위의점 Q에대하여선분

PQ를접는선으로하여종이를접었더니점 O는선분 BC 위의

점O'으로, 점F는선분DE 위의점F'으로옮겨졌다. 이때사각

형POAQ의넓이는? (단, 종이의두께는고려하지않는다.)

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]


성립할때, a¤ +b의최솟값은m이다. 4m¤ 의값을구하시오.

(단, a, b는실수이다.)

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

x¤ -2(a-1)x+b-2=0의판별식을D¡이라하면

=(a-1)¤ -b+2…0

a¤ +b=k라하면

두이차함수 b=(a-1)¤ +2, b=-a¤ +k의그래프가

접할때 k의값이최소이므로연립하여정리하면

(a-1)¤ +2=-a¤ +k2a¤ -2a+3-k=0

=1-2(3-k)=0, -5+2k=0⋯⋯∴ k=

따라서m= 이므로 4m¤ =2552

52

D™4

b

O a

b=(a-1)™+2

b=-a™+k

㉠

D¡4

두등차수열 {a«}, {b«}과실수전체의집합의두부분집합

⋯⋯A={a˚|1…a˚…100, a˚는수열 {a«}의항}

⋯⋯B={b˚|1…b˚…100, b˚는수열 {b«}의항}

이다음조건을만족시킨다.

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A={1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97}이고n(A)=13n(A;B)=m이라하면조건(나)에서m=5∴n(B)=n(A;B)+n(AÇ ;B)=5+12=17A;B={1, 25, 49, 73, 97}이고n(B)=17이므로집합B의원소는

{1, C1, C2, C3, 25, C4, C5, C6, 49, C7, C8, C9, 73, C10, C11, C12, 97}{bn}의공차를d2라하면d2=6따라서집합B={1, 7, 13, y, 91, 97}이고집합B의원소의합은첫째항이 1, 끝항

이 97, 항의개수가 17인등차수열의합이므로

=17_49=83317(1+97)

2

F5 A

Q

E

BO'

F'D

y

O

P

C

x

CD”=4

F'H”=CD”=4

O'H”=3

CO'”=a라하면O'(a, 12), F'(a+3, 8)

OO'”과FF' ”의기울기가서로같으므로

= 에서 a=6

PO'”=PO”=t라하면 t=

∴□POAQ= _(OP”+QA”)_OA”= _{ + }_12=5432

152

12

12

152

8-0a+3-5

12a F5 A

Q

N

E

BHO'

5 4

F'D

M

3

y

O

P

C

x

집합B의모든원소의합을구하시오.

(단, 수열 {b«}의항은유한개가아니다.)

① 46 ② 48 ③ 50

④ 52 ⑤ 54

답⃞ 25

답⃞ 833

(가) a¡=1, a¡º=73

(나) n(A;B)-1= _n(A;BÇ )= _n(AÇ ;B)

(다) 집합A;B의모든원소의합은 245이다.

13

12





두집합A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}에대하여A;B는? (2점)

① {1} ② {2, 3} ③ {4, 5}

④ {1, 4, 5} ⑤ {2, 3, 4, 5}

01

(1+i)(1-i)의값은? (단, i='∂-1) (2점)

①-2i ②-i ③ i

④-2 ⑤ 2

02

(x+2y)(x¤ +xy)의전개식에서 x¤ y의계수는? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

03

2;3!;_4;3!;의값은? (3점)

① '2 ② 2 ③ 2‹'2④ 2'2 ⑤ 4

04

x에대한이차방정식 x¤ -2ax+3=0이서로다른두허근을갖

도록하는정수 a의개수는? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

05

5지선다형

[나`형]

두집합A, B에공통으로속한원소는 2와 3이므로A;B={2, 3}이다.

(1+i)(1-i)=1-i+i-i ¤ =1-i ¤=1+1=2

(x+2y)(x¤ +xy)=x‹ +x¤ y+2x¤ y+2xy¤=x‹ +3x¤ y+2xy¤

따라서 x¤ y의계수는 3이다.

2;3!;_4;3!;=2;3!;_(2¤ );3!;=2;3!;_2;3@;=2;3!;+;3@;=2⁄ =2

이차방정식이서로다른두허근을가지려면

=a¤ -3<0, (a-'3)(a+'3)<0

∴-'3<a<'3따라서구하는정수 a는-1, 0, 1로 3개이다.

D4


2015.3

2회

세수 3, 12, a가이순서대로등비수열을이룰때, a의값은?

(3점)

① 24 ② 36 ③ 48

④ 60 ⑤ 72

06

유리함수 y= 의 그래프에서 점근선의 방정식이 x=p,

y=q일때, p+q`의값은? (3점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤10

2x-3x-4

07

두함수 f(x)=x¤ -1, g(x)='ƒx+3+1`에대하여 ( fΩg)(1)의값은? (3점)

① 8 ② 10 ③ 12

④ 14 ⑤ 16

08


⋯⋯p : 2x+4>0

⋯⋯q : xæa

p가 q이기위한충분조건이되도록하는실수 a의최댓값은?

(3점)

①-4 ②-2 ③ 0

④ 2 ⑤ 4

09

연립방정식

⋯⋯[의해를 x=a, y=b라할때, a+b의값은? (3점)

① 1 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 9

2x-y=5x¤ -2y=6

10

두조건 p, q의진리집합을각각P, Q라하면

P={x|x>-2 }, Q={x|xæa}p가 q이기위한충분조건이므로P,Q이어야한다.

따라서구하는 a의값의범위는 a…-2이므로실수 a의최댓값은-2이다.

2x-y=5 y㉠, x¤ -2y=6 y㉡이라하면 ㉠에서 y=2x-5이므로

㉡에대입하면

x¤ -2(2x-5)=6, x¤ -4x+4=0(x-2)¤ =0즉, x=2이므로 ㉠에대입하면 4-y=5에서 y=-1따라서 a=2, b=-1이므로 a+b=1

세수 3, 12, a가이순서대로등비수열을이루므로 12는 3과 a의등비중항이다. 즉,

12¤ =3a⋯⋯∴ a=48

유리함수 y= 의그래프의점근선의방정식을구하면

x=4, y=2∴ p+q=4+2=6

2x-3x-4

( fΩg)(1)=f(g(1))에서 g(1)의값을구하면

g(1)='ƒ1+3+1=3∴ ( fΩg)(1)=f(g(1))=f(3)=3¤ -1=8`


두직선OA, OB의기울기를각각 an, bn이라할때,

(an+bn)의값은? (4점)

① 195 ② 199 ③ 203

④ 207 ⑤ 211

20¡n=3

14

그림은전체집합U의서로다른두부분집합A, B 사이의관계

를벤다이어그램으로나타낸것이다.

11

x에대한다항식 (kx‹ +3)(kx¤ -4)-kx가 x+1`로나누어떨어

지도록하는모든실수 k의값의합은? (3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8` ⑤ 9

12

UA B

다음중어두운부분을나타낸집합과같은것은? (3점)

① À;BÇ

② (A;B)'BÇ

③ (A;BÇ )'AÇ

④ (A'B);(A;B)Ç

⑤ (A-B)'(AÇ ;BÇ )

[ 13~14 ] 그림과 같이 3 이상의 자연수 n에 대하여 곡선 y=x¤ 과

직선 y=nx-2가 두 점 A, B에서 만난다. 13번과 14번의 두

물음에 답하시오. (단, O는 원점이다.)

x

y

O-2

A

B

y=nx-2y=x@

n=4일때, 선분AB의길이는? (3점)

① '∂17 ② '∂34 ③ 2'∂17④ 2'∂34 ⑤ 4'∂17

13② (A;B)'BÇ =(A'BÇ );(B'BÇ )

=(A'BÇ );U=A'BÇ

UBA

P(x)=(kx‹ +3)(kx¤ -4)-kx라 할 때, 다항식 P(x)가 x+1`로 나누어떨어지

므로몫을Q(x)라하고식으로나타내면다음과같다.

P(x)=(kx‹ +3)(kx¤ -4)-kx=(x+1)Q(x)⋯y㉠⋯

㉠의양변에 x=-1을대입하면

P(-1)=(-k+3)(k-4)+k=0-k¤ +7k-12+k=0, k¤ -8k+12=0따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여모든실수 k의값의합은 8이다.

곡선 y=x¤과직선 y=4x-2의두교점의좌표를각각A(a, 4a-2), B(b, 4b-2)라하면 a+b=4, ab=2AB”="√(b-a)¤ +{(4b-2) √-(4a-2)}¤AB="√(b-a)¤ + √16(b-a)¤AB="√17(b-a)¤한편, (b-a)¤ =(b+a)¤ -4ab=16-8=8이므로

AB” ='ƒ17_8=2'∂34

곡선 y=x¤ 과 직선 y=nx-2`의 두 교점의 좌표를 각각 A(a, a¤ ), B(b, b ¤ )이라

하면

an= =a, bn= =b

∴ an+bn=a+by=x¤ 과 y=nx-2`를연립하면

x¤ =nx-2, x¤ -nx+2=0`이때, 이이차방정식의두근이 a, b이므로근과계수의관계에의하여

a+b=n∴ an+bn=n

∴ (an+bn)= n= n-(1+2)= -3=20720_21

2

20

¡n=1

20

¡n=3

20

¡n=3

b¤b

a¤a


2015.3

2회

좌표평면에원 x¤ +y¤ -10x=0`이있다. 이원의현중에서점

A(1, 0)을지나고그길이가자연수인현의개수는? (4점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

15수열 {an}은 a¡=1이고

⋯⋯ = + (næ1)⋯⋯yy㉠

을만족시킨다. 다음은모든자연수 n`에대하여

⋯⋯an=(1+2+3+y+n){1+ + +y+ }⋯⋯yy㉡

이성립함을수학적귀납법으로 [증명]한것이다.

1n

13

12

12

an

nan+1

n+2

17

좌표평면에서중심이 (1, 1)이고반지름의길이가 1인원과직선

y=mx(m>0)가두점A, B에서만난다. 두점A, B에서각각

이원에접하는두직선이서로수직이되도록하는모든실수m

의값의합은? (4점)

16

① 2 ② ③ 3

④ ⑤ 4 72

52

x

y

O

AB

y=mx

위의(가), (나)에알맞은식을각각 f(k), g(k)라할때,

f(10)_g(9)의값은? (4점)

① 66 ② 68 ③ 70

④ 72 ⑤ 74

⁄ n=1일때,

(좌변)=a¡=1, (우변)=1_1=1

따라서㉡이성립한다.

¤ n=k일때, ㉡이성립한다고가정하면

ak=(1+2+3+y+k){1+ + +y+ }이다. ㉠에서

ak+1= ak+

= (1+2+3+y+k){1+ + +y+ }

+

= {1+ + +y+ }+

={1+2+3+y+(k+1)}{1+ + +y+ }이다.

따라서 n=k+1일때도㉡이성립한다.

⁄, ¤에의하여모든자연수 n에대하여㉡이성립한다.

1k+1

13

12

k+22

1k

13

12

k+22

1k

13

12

k+22

1k

13

12

(가)

(가)

(나)

현PQ의길이의최솟값은PQ”=2_AP”=6또, 현PQ`의길이의최댓값은현PQ가지름일때이므로최댓값은 10이다.

이때, 길이가 7, 8, 9`인 현은각각 2개씩존재하고, 길이가 6, 10`인 현은각각 1개씩

존재하므로구하는현의개수는 3_2+2_1=8

원의중심을 C라하고, 두점A, B`에서각각이원에접하는두직선의교점을 D라하면사각형ADBC는한변의길이가 1인정사각형이다.

정사각형ADBC`의대각선AB`의중점을M이라하면CD”='2이므로CM”=

이때, 원의중심 C(1, 1)에서직선y=mx까지의거리가선분 CM의길이와같으므로

= 에서m¤ -4m+1=0

따라서이이차방정식은서로다른두실근을가지므로근과계수의관계에의해모든

실수m의값의합은 4이다.

'22

|m-1|

øπm¤ +1

'22

f(k)= , g(k)= 이므로

f(10)_g(9)= _ =6610_11

21210

(k+1)(k+2)2

k+2k

←

k+2k

←

(k+1)(k+2)2

[증명]


정의역이 {x|0…x…6}인 두 함수 y=f(x), y=g(x)는 일대일

대응이고그래프는그림과같다.

19

그림과같이점A(-2, 2)와곡선 y= 위의두점 B, C가다

음조건을만족시킨다.

2x

21

이차함수 f(x)=k(x-1)¤ -4k+2에 대하여 곡선 y=f(x)의

꼭짓점을A라하고, 이곡선이 y축과만나는점을B라하자.

[보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이

다.) (4점)

20좌표평면에서두점A(4, a), B(2, 1)을직선 y=x에대하여대

칭이동한점을각각A', B'이라하고, 두직선AB, A'B'의교점

을 P라하자. 두삼각형APA', BPB'의넓이의비가 9 : 4일때,

a의값은? (단, a>4) (4점)

① 5 ② ③ 6

④ ⑤ 7132

112

18

x

y

1

1

O 2

23456

3 4 5 6

y=f{x}

y=g{x}

등식 f -1(a)=g(b)를만족시키는두자연수 a, b의순서쌍

(a, b)의개수는? (단, 두함수의그래프는각각세선분으로되어

있다.) (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

점B의좌표를 (a, b)라할때, a ¤ +b¤의값은? (단, a>'2)(4점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

x

y

O-2

A

B

C

2

y=xy=2x

(가) 점B와점C는직선 y=x에대하여대칭이다.

(나) 삼각형ABC`의넓이는 2'3이다.

두삼각형 APA', BPB'은서로닮은도형이고, 두 삼각형 APA', BPB'의넓이의

비가 9 : 4이므로두삼각형의선분의길이의비는 3 : 2이다.

즉, 점P는선분AB를 3 : 2로내분하는점이므로점P의좌표를구하면

{ , }⋯⋯∴ { , }그런데점P는직선 y=x 위에있으므로

= ⋯⋯∴ a=112

2a+35

145

2a+35

145

3_1+2_a3+2

3_2+2_43+2

f-1(1)=g(5)= , f-1(2)=g(4)=1, f-1(3)=g(3)=3

f-1(4)=g(2)=5, f-1(5)=g(1)= , f-1(6)=g(0)=6

따라서등식 f-1(a)=g(b)를만족시키는두자연수 a, b의순서쌍 (a, b)는(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)로 5개이다.

112

12

ㄷ. A(1, -4k+2), B(0, -3k+2)이고

직선AB`의기울기는 =-k이므로직선AB`의방정식

은 y=-kx-3k+2이식을 k`에대하여정리하면 k(x+3)+y-2=0이등식이 0이아닌실수 k의값에관계없이성립하려면

x+3=0, y-2=0즉, x=-3, y=2이므로직선AB`는항상점 (-3, 2)를지난다. (참)

(-4k+2)-(-3k+2)1-0

점B`가곡선 y= 위의점이므로 b= ⋯⋯∴ ab=2⋯y ㉠

조건(나)에서삼각형ABC의넓이가 2'3이므로

△ABC= _BC”_h= _'2(a-b)_ (a+b)= (a¤ -b¤ )=2'3∴ a ¤ -b¤ =4'3⋯y㉡

㉠, ㉡에의하여

(a¤ +b ¤ )¤ =(a¤ -b ¤ )¤ +4a¤ b¤ =(4'3)¤ +4_2¤ =64∴ a ¤ +b¤ =8 (∵ a¤ +b¤ >0)

12

1'2

12

12

2a

2x

[보기]

ㄱ. k=1일때, OA”='5이다.

ㄴ. 0이아닌실수 k의값에관계없이곡선 y=f(x)가항상

지나는점은 2`개이다.

ㄷ. 0이 아닌 실수 k의 값에 관계없이 직선 AB는 항상 점

(-3, 2)를지난다.


2015.3

2회

log™ 16_log£ 27의값을구하시오. (3점) 답⃞ 12

22

두점A(3, 4), B(5, 7)에대하여선분AB를 2 : 1로외분하는

점의좌표가 (a, b)일때, a+b의값을구하시오. (3점) 답⃞ 17

23

등차수열 {an}에서

⋯⋯a¡+2a¡º=34, a¡-a¡º=-14

일때, 첫째항부터제10항까지의합을구하시오. (3점) 답⃞ 90

25

좌표평면에서부등식

⋯⋯(x¤ +y¤ -4)(x¤ +y¤ -64)…0`

이나타내는영역의넓이가 ap일때, a의값을구하시오. (3점)

24

곡선 y=-x¤ +4 위의점과직선 y=2x+k 사이의거리의최솟

값이 2'5가되도록하는상수 k의값을구하시오. (4점) 답⃞ 15

26

단답형

답⃞ 60

log™ 16_log£ 27=log™ 2› _log£ 3‹ =4log™ 2_3log£ 3=4_3=12

두점A(3, 4), B(5, 7)에대하여선분AB를 2 : 1로외분하는점의좌표는

{ , }∴ (7, 10)=(a, b)∴ a+b=7+10=17

2_7-1_42-1

2_5-1_32-1

⁄ x¤ +y¤ -4…0, x¤ +y¤ -64æ0이면

x¤ +y¤ …2¤ , x¤ +y¤ æ8¤ 이므로만족하는공통범위는존재하지않는다.

¤ x¤ +y¤ -4æ0, x¤ +y¤ -64…0이면

x¤ +y¤ æ2¤ , x¤ +y¤ …8¤ 이므로 만족하는 공통

범위는오른쪽그림과같다.

⁄, ¤에의해구하는넓이는

p_8¤ -p_2¤ =60p이므로 a=60 -8 -2-2

2

2 8

8

-8

x

y

O

a¡+2a¡º=34⋯y ㉠, a¡-a¡º=-14⋯y ㉡

㉠-㉡에서 3a¡º=48이므로 a¡º=16a¡º=16을㉡에대입하면 a¡-16=-14⋯⋯∴ a¡=2

따라서등차수열 {an}의제1항부터제10항까지의합은

= =9010_(2+16)

210(a¡+a¡º)

2

곡선위의점 (-1, 3)에서직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0 사이의거리가 2'5이므로 =2'5, |k-5|=10

∴ k=15 또는 k=-5이때, k=-5`이면곡선 y=-x¤ +4와직선 y=2x-5가만나므로조건을만족하지

않는다.

∴ k=15

|-5+k|"√2¤ +(-1)¤


통신이론에서가용대역폭을B(Hz), 수신신호전력을 S(W),

잡음 전력을 N(W)이라고할때, 채널 용량 C(bps)는다음과

같은관계식을만족시킨다고한다.

⋯⋯C=Blog™ {1+ }가용대역폭이일정하고, 수신신호전력이 1.2W일때, 잡음전

력을 0.4W에서 a(W)로변경하였더니채널용량이 3배가되었

다. 상수 a의값이 일때, p+q의값을구하시오. (단, p와 q는

서로소인자연수이다.) (4점) 답⃞ 107

qp

SN

27수열 {an}을다음과같이정의하자.

29

다음은 어떤 학생이 자전거를 탄 전체 시간과 줄넘기를 한 전체

시간에대한설명이다.

28두집합

⋯⋯A={x|x는 100 이하의자연수},

⋯⋯B={x|x는 50과서로소인자연수}

에대하여다음조건을만족시키는집합X의개수를구하시오.

답⃞ 127 (4점)

30

이학생이자전거를 1분동안탔을때칼로리소모량은 4kcal이

고, 줄넘기를 1분동안했을때칼로리소모량은 8kcal이다. 이

학생이 자전거 타기와 줄넘기를 했을 때, 칼로리 소모량의 합을

a(kcal)라하자. a의최댓값을구하시오. (4점) 답⃞ 380

ak=-20을만족시키는자연수m의값을구하시오. (4점) 답⃞ 46m¡

k=1

(가) 자전거를탄전체시간과줄넘기를한전체시간의차는

10분이하이다.

(나) 자전거를탄전체시간과줄넘기를한전체시간의합은

1`시간이하이다.

집합An={x|(x-n)(x-2n+1)…0}에대하여

25<An이면 an=1`이고, 25≤An이면 an=-1이다.

(가) X,A, X+Δ(나) X;B=Δ(다) 집합X의모든원소는 12와서로소이다.

C¡=Blog™ {1+ }=Blog™ 4=2B⋯y㉠

C™=Blog™ {1+ }⋯y㉡이고C™가C¡의 3배이므로C™=3C¡⋯y㉢

㉠에서C¡=2B이므로㉢에대입하면C™=3C¡=6B⋯y㉣

㉣을㉡에대입하면Blog™ {1+ }=6B에서 log™ {1+ }=6

1+ =2fl , =63

따라서 a= = 이므로 p=105, q=2

∴ p+q=107

2105

1.263

1.2a

1.2a

1.2a

1.2a

1.2a

1.20.4

직선 4x+8y=a가점 (25, 35)를지날때

a=4_25+8_35=380이므로칼로리소모량의합 a의최댓값은

380이다.

x

y

O

60

-1060

104x+8y=a

y=x-10

x+y=60

y=x+10

{25,35}

an=[

⁄ 0<m<13이면 ak=-m=-20에서m=20이므로만족하는m의값은존

재하지않는다.

¤ 13…m…25이면 ak=-12+m-12=m-24=-20에서

m=4이므로만족하는m의값은존재하지않는다.

‹ m>25인경우

ak= ak+ ak+ ak

=(-1)_12+1_13+(-1)_(m-25)=-m+26=-20

∴m=46따라서⁄~‹에의해 만족하는m의값은 46이다.

m

¡k=26

25

¡k=13

12

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

-1(1…n…12``또는``næ26)

-1(13…n…25)

집합X의원소가될수있는수의집합을S라하고원소를나열하면먼저 5의배수의

집합은 {5, 10, 15, 20, y, 100}이고이중 2의배수인모든짝수와 3의배수인 15의배수를제외하면S={5, 25, 35, 55, 65, 85, 95}이다.

따라서 조건 (가)에서 집합 X는 공집합이 아닌 부분집합이어야 하고 만족하는 집합

X의개수는집합S의부분집합중공집합이아닌집합이므로

2‡ -1=128-1=127

2015.3

2회

정답및해설 21~24p 2502회


02그림과같이점A(-3, 3)과곡선 y= 위의두점 B, C가다

음조건을만족시킨다.

1x

04두집합

⋯⋯A={x|x는 50 이하의자연수},

⋯⋯B={x|x는 15와서로소인자연수}

에대하여다음조건을만족시키는집합X의개수를구하시오.

x

y

O

A

B

y=mx

① ② ③

④ ⑤215

196

177

158

149

① 11 ② 12 ③ 13

④ 14 ⑤ 15

점B의좌표를 (a, b)라할때, a¤ +b¤의값은? (단, a>'3)

x

y

O-3

A

B

C

3

y=xy=1x

ak=100을만족시키는자연수m의값을구하시오. 답⃞ 126m¡

k=1

(가) 점B와점C는직선 y=x에대하여대칭이다.

(나) 삼각형ABC의넓이는 4'3이다.

집합An={x|(x-2n+1)(x-4n-2)>0}에대하여

47<An이면 an=1이고, 47≤An이면 an=-1이다.

(가) X,A, X+Δ(나) X;B=Δ(다) 집합X의모든원소는 10과서로소이다.

답⃞ 63

정사각형ADBC의대각선AB의중점을M이라하면CD”='2이므로CM”=

이때, 원의중심C(2, 3)에서직선y=mx까지의거리가선분CM의길이와같으므로

= , "√2(m¤ +1)=2|2m-3|⋯⋯∴ 7m¤ -24m+17=0

따라서이이차방정식은서로다른두실근을가지므로근과계수의관계에의해모든

실수m의값의곱은 이다.177

'22

|2m-3|"√m¤ +1

'22

원의 중심을 C`라 하

고, 두점A, B에서각

각 이 원에 접하는 두

직선의교점을 D라하

면 사각형 ADBC는한변의길이가 1인정

사각형이다.

점B가곡선 y= 위의점이므로 b= ⋯⋯∴ ab=1⋯y㉠

조건(나)에서삼각형ABC의넓이가 4'3이므로

△ABC= _BC”_h= _'2(a-b)_ (a+b)

= (a¤ -b ¤ )=4'3⋯⋯∴ a¤ -b ¤=8'3⋯y㉡

㉠, ㉡에의하여

(a ¤ +b¤ )¤ =(a ¤ -b¤ )¤ +4a¤ b¤ =(8'3)¤ +4_1¤ =196=14¤∴ a ¤ +b¤ =14

12

1'2

12

12

1a

1x

an=[⁄1…m…11인경우

ak=m=100이므로만족하는m의값은존재하지않는다.

¤12…m…24인경우

ak=11-(m-11)=22-m=100

에서m=-78이므로만족하는m의값은존재하지않는다.

‹mæ25인경우

ak= ak+ ak+ ak

=1_11+(-1)_13+1_(m-24)=m-26=100∴m=126

따라서⁄ ~ ‹에의해만족하는m의값은 126이다.

m

¡k=25

24

¡k=12

11

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

-1 (12…n…24)

-1 (1…n…11 또는 næ25)

집합X의원소가될수있는수의집합을S라하고원소를나열하면먼저 3의배수의

집합은 {3, 6, 9, 12, y, 48}이고이중 2의배수인짝수와 5의배수인 15의배수를

제외하면 S={3, 9, 21, 27, 33, 39}이다.

따라서조건 (가)에서 집합 X`는 공집합이 아닌부분집합이어야 하고만족하는 집합

X의개수는집합S의부분집합중공집합이아닌집합이므로

2fl -1=64-1=63


01좌표평면에서중심이 (2, 3)이고반지름의길이가 1인원과직선

y=mx(m>0)가서로다른두점 A, B에서만난다. 두 점 A,

B에서각각이원에접하는두직선이서로수직이되도록하는

모든실수m의값의곱은?

03수열 {an}을다음과같이정의하자.


제 2 교시 전국연합학력평가〔 2014년 3월 12일시행〕고2


[2015년 3월고3 A형학력평가 1번]

3_{ }-2의값은? (2점)

① ② ③ 3

④ 9 ⑤ 27

13

19

13

01

[2011년 3월고2 학력평가 1번]

전체집합U의공집합이아닌두부분집합A, B에대하여

B,A를만족할때, AÇ 'BÇ 과항상같은것은? (단, AÇ 은A의

여집합이다.) (2점)

①Z/ ②A ③B

④AÇ ⑤BÇ

02


수직선위의두점 A(1), B(7)에대하여선분 AB를 1 : 3으로

내분하는점을P(a)라할때, a의값은? (3점)

① ② 2 ③

④ 3 ⑤72

52

32

04


두복소수 a=3+i, b=1-2i에대하여 (a-b)(a’-b’)의값은?

(단, i='∂-1이고, a’ , b ’는각각 a , b의켤레복소수이다.) (3점)

① 11 ② 13 ③ 15

④ 17 ⑤ 19

06


두조건

⋯⋯p : x¤ …9

⋯⋯q : x…a

에대하여명제 p⁄ q가참이되도록하는실수 a의최솟값은?

(3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

05


다항식 x‹ +3x+9를 x+1로나눈나머지는? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

03

5지선다형

[나`형]●새교육과정에맞추어새롭게구성하였습니다.

3_{ }-2=3_(3-1)-2=3_32=33=27

13

B,A이므로A;B=B∴AÇ 'BÇ =(A;B)Ç =BÇ

x‹ +3x+9=P(x)라하면다항식P(x)=x‹ +3x+9를 x+1로나눈나머지는

P(-1)=-1-3+9=5

두점A(1), B(7)에대하여선분AB를1：3으로내분하는점이P(a)이므로

a= =52

1_7+3_11+3

명제 p 2⁄ q가참이되려면명제 p, q의진리집합P, Q에대하여P,Q가성립해야

하므로 aæ3이다.

따라서실수 a의최솟값은 3이다.

a-b=(3+i)-(1-2i)=2+3ia’-b ’=3+i”-1-2i”=(3-i)-(1+2i)=2-3i∴ (a-b)(a’-b’)=(2+3i)(2-3i)

=2¤ -3¤ ¥i ¤ =13


2014.3

3회


두실수 a , b에대하여 2a=3, 3b='2가성립할때, ab의값은?

(3점)

① ② ③

④ ⑤ 112

13

14

16

09


무리함수 f(x)='ƒax+b의역함수를 g(x)라하자. f(2)=3,

g(5)=10일때, a+b의값은? (단, a와 b는상수이다.) (3점)

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

07


등차수열 {an}`에대하여 a¢=9, a¶=21일때, a£+a•의값은?

(3점)

① 28 ② 29 ③ 30

④ 31 ⑤ 32

08

모든 실수 x에대하여 "√kx¤ -kx+3의값이실수가되도록하는

정수 k의개수는? (3점)

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

10

다항식

⋯⋯f(x)=x‹ -(a+4)x¤ +(4a-5)x+5a

에대하여 f(a)=f(a+3)=0을만족시키는실수 a의값의합은?

(3점)

①-4 ②-2 ③ 0

④ 2 ⑤ 4

11

f(2)=3에서 'ƒ2a+b=3⋯⋯∴ 2a+b=9y㉠

g(5)=10에서역함수의정의에의해 f(10)=5이므로 'ƒ10a+b=5∴ 10a+b=25y㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, b=5∴ a+b=7

등차수열 {an}의첫째항을 a, 공차를d라하면

a4=a+3d=9, a7=a+6d=21위의두식을연립하여풀면

a=-3, d=4∴ a3+a8=(a+2d)+(a+7d)=2a+9d

=2¥(-3)+9¥4=30

2a=3의양변을 b거듭제곱하면

(2a)b=3b='2, 2ab=2;2!;

∴ ab=12

모든실수 x에대하여무리식 "√kx¤ -kx+3의값이실수가되도록하려면

kx¤ -kx+3æ0을만족시켜야한다.

⁄ k>0일때,

이차방정식 kx¤ -kx+3=0의 판별식을 D라 하면 D…0을 만족시켜야 하므로

D=k¤ -12k…0에서 0…k…12⁄ ∴ 0<k…12¤ k=0일때,

⁄ 3æ0이므로주어진부등식은실수 x의값에관계없이항상성립한다.

‹ k<0일때,

⁄ kx¤ -kx+3<0인 x가 k의값에관계없이항상존재하므로이경우의 k의값은

존재하지않는다.

⁄~‹에의하여 0…k…12이므로정수 k는 0, 1, 2, y, 12로 13개이다.

f(x)=(x-a)(x¤ -4x-5)=(x-a)(x+1)(x-5)f(a)=f(a+3)=0에서 x=a와 x=a+3은방정식 f(x)=0의해이므로

a+3=-1 또는 a+3=5∴ a=-4 또는 a=2따라서실수 a의값의합은 (-4)+2=-2


그림은원 (x+1)¤ +(y-3)¤ =4와직선 y=mx+2를좌표평면

위에나타낸것이다. 원과직선의두교점을각각A, B라할때,

선분AB의길이가 2'2가되도록하는상수m의값은? (단, O는

원점이다.) (3점)

12


두실수 x, y에대하여

⋯⋯x*y=x+y+xy

라하자. (1*a)*b=3을만족시키는정수 a, b의순서쌍 (a, b)의

개수는? (3점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

13


컴퓨터 화면에서 마우스 커서( )가 아이콘까지 이동하는 시간

을 T(초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의

거리를 D(cm), 마우스커서가움직이는방향으로측정한아이

콘의폭을W(cm)라하면다음과같은관계식이성립한다고한

다. (단, D>0)

⋯⋯T=a+ log™ { +1} (단, a는상수)DW

110

14

① ② ③ 1

④ '2 ⑤ '3

'22

'33

x

y

O

A

B

y=mx+2{x+1}@+{y-3}@=4

DW

그림과같이컴퓨터화면에두개의아이콘A, B가있다.

A B

현재마우스커서의위치에서아이콘A의방향으로측정한아이

콘 A의 폭 WA와 아이콘 B의 방향으로 측정한 아이콘 B의 폭

WB는모두 1cm로같다. 현재마우스커서의위치로부터아이콘

A의 중심까지의 거리와 아이콘 B의 중심까지의 거리를 각각

DA(cm), DB(cm)라할때, 마우스커서가아이콘A까지이동

하는시간 TA, 아이콘 B까지이동하는시간 TB는각각 0.71초,

0.66`초이다. 의값은? (4점)

① 1 ② '2 ③ 2

④ 2'2 ⑤ 4

DA+1DB+1

원 (x+1)¤ +(y-3)¤ =4의중심 (-1, 3)에서직선mx-y+2=0까지의거리가

'2이므로

='2, |-m-1|='2"√m¤ +1

양변을제곱하여정리하면

m¤ +2m+1=2m¤ +2, m¤ -2m+1=0, (m-1)¤ =0∴m=1

|-m-3+2|"√m¤ +1

1*a=1+a+1¥a=1+2a(1*a)*b=(1+2a)*b=(1+2a)+b+(1+2a)b

=2ab+2a+2b+1=3ab+a+b=1, ab+a+b+1=2∴ (a+1)(b+1)=2이때, a, b가정수이므로 a+1, b+1도정수이다. 두정수 a+1, b+1을곱하여 2가되는경우는 (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)의 4가지뿐이므로구하는

(a, b)의순서쌍은 (0, 1), (1, 0), (-2, -3), (-3, -2)의 4개이다.

WA=1, TA=0.71이므로 0.71=a+ log™(DA+1) y ㉠

WB=1, TB=0.66이므로 0.66=a+ log™(DB+1) y ㉡

㉠-㉡에서 0.05= {log™(DA+1)-log™(DB+1)}

0.5=log™

∴ =20.5='2DA+1DB+1

DA+1DB+1

110

110

110


2014.3

3회

어느학교에서토론, 글쓰기, 탐구발표대회가열렸다. 다음은 3

가지대회중적어도한대회에참가한학생 100명에대한설명이

다.

15


공차가 6인등차수열 {an}에대하여세항 a™, ak, a•은이순서대

로등차수열을이루고, 세 항 a¡, a™, ak는이순서대로등비수열

을이룬다. k+a¡의값은? (4점)

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

16


연립부등식

⋯⋯[이나타내는영역의넓이는? (4점)

① 10p-3'3 ② 10p-6'3 ③ 10p-9'3④ 12p-6'3 ⑤ 12p-9'3

x¤ +y¤ -10x-6y-2…0

3x-4y+12…0 `

17


그림과같이직선 x+y=2 위의점 P(a, b)(ab+0)에서 x축,

y축에내린수선의발을각각 Q, R라하고, 점 P를지나고직선

QR에수직인직선을 l이라하자.

18

탐구발표대회에참가한학생중토론대회에참가하지않은학

생수는? (4점)

① 31 ② 32 ③ 33

④ 34 ⑤ 35

(가) 토론대회에참가한학생중글쓰기대회에참가하지않

은학생은 23명이다.

(나) 글쓰기대회에참가한학생중탐구발표대회에참가하

지않은학생은 29명이다.

(다) 3가지대회에모두참가한학생은 17명이다. x

y

O

R

Q

P

x+y=2 l

다음은직선 l이점 P의위치에관계없이항상일정한점을지남

을보이는과정이다.

위의과정에서 (가)에알맞은식을 f(a)라하고, (나), (다)에알맞

은수를각각 a, b라할때, f{ }+a+b의값은? (단, O는원점

이다.) (4점)

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

43

점P(a, b)는직선 x+y=2 위의점이므로

b=2-a

이때직선 l의기울기는 이므로직선 l의방정식은

y-(2-a)= (x-a)⋯y㉠

한편, ㉠이 a의값에관계없이항상성립하려면

x= , y=

따라서직선 l`은 점 P의위치에관계없이항상일정한점을

지난다.

(가)

(가)

(나) (다)

탐구발표대회에참가한학생중토론대회에참가하지않은

학생수는d+e이므로

d+e=100-(a+f)-(b+c)-17=100-23-29-17=31

CB

A

a

e

b17

dc

f

세항 a™, ak, a•이이순서대로등차수열을이루므로 k= =5

등차수열 {an}의공차가 6이므로세항 a¡, a™=a¡+6, a∞=a¡+24이다. 이때, 이세

항이이순서대로등비수열을이루므로

(a¡+6)¤ =a¡(a¡+24), a¡¤ +12a¡+36=a¡¤ +24a¡12a¡=36⋯⋯∴ a¡=3∴ k+a¡=5+3=8

2+82

주어진연립부등식에서 [이므로연립부등식의영역은그림의어두운

부분이다.

∴(구하는넓이)

=p_6¤ _ - _6_6_sin120˘

=12p-9'312

120360

(x-5)¤ +(y-3)¤ …363x-4y+12…0

A

B

H

C

x

y

O

{x-5}@+{y-3}@=36

3x-4y+12=0

(가)에서 f(a)= 이므로 f{ }= =2

(나)에서 a=2, (다)에서 b=2

∴ f{ }+a+b=2+2+2=643

4323

43

a2-a

←2

← 2

←

a2-a



집합X={1, 2, 3, 4, 5}에대하여함수 f : X⁄X가그림과같

다.

19 [2014년 3월고2 A형학력평가 19번]

이차항의계수가 1인이차함수 f(x)는다음조건을만족시킨다.

20

함수 f(x)는다음조건을만족시킨다.

21

(가) 이차방정식 f(x)=0의두근의곱은 7이다.

(나) 이차방정식 x¤ -3x+1=0의두근 a, b에대하여

f(a)+ f(b)=3이다.

(가) g(1)=3, g(2)=5

(나) g의역함수가존재한다.

X

123

54

54

X

123

f

(gΩf)(4)+(fΩg)(4)의최댓값은? (4점)

① 5 ② 6 ③ 7`

④ 8 ⑤ 9

함수 g : X⁄X는다음조건을만족시킨다.

f(7)의값은? (4점)

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

(가) -2…x…2에서 f(x)=x¤ +2이다.

(나) 모든실수 x에대하여 f(x)=f(x+4)이다.

두 함수 y=f(x), y= 의그래프가무수히많은점에서만

나도록하는정수 a의값의합은? (4점)

① 14 ② 16 ③ 18

④ 20 ⑤ 22

axx+2

따라서 g(5)+f(g(4))의최댓값은 7이다.

이차방정식 f(x)=0의이차항의계수가 1이고두근의곱이 7이므로

f(x)=x¤ +kx+7(단, k는실수)이라하자.

조건 (나)에서이차방정식 x¤ -3x+1=0의두근이 a, b이므로근과계수의관계에

의해 a+b=3, ab=1y㉠

한편, f(a)+f(b)=3에서 (a¤ +ka+7)+(b¤ +kb+7)=3(a¤ +b ¤ )+k(a+b)+14=3, (a+b)¤ -2ab+k(a+b)+14=39-2+3k+14=3 (∵㉠)⋯⋯∴ k=-6따라서 f(x)=x¤ -6x+7이므로 f(7)=49-42+7=14

분수함수 y= = =a+ 는 점근선의 방정식이 x=-2,

y=a이고이분수함수가함수 f(x)와무수히많은점에서만나려면점근선 y=a가두직선 y=2와 y=6 사이에있어야한다.

∴ 2…a…6따라서정수 a의값의합은 2+3+4+5+6=20

-2ax+2

a(x+2)-2ax+2

axx+2

g(5)

1

1

2

2

4

4

2

4

1

4

1

2

1

5

2

5

2

1

2

6

4

7

6

5

g(4) f(g(4)) g(5)+f(g


2014.3

3회

[2010년 9월고2 나형학력평가 23번]

log™ 9_log'3 16의값을구하시오. (3점) 답⃞ 16

22


수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn이 Sn=n¤ 일 때, a∞º

의값을구하시오. (3점) 답⃞ 99

23


30…a…40, 150…b…294일 때, 'a+‹'b의 값이 자연수가 되도

록하는두자연수 a, b에대하여 a+b`의값을구하시오. (3점)

24


다음은어느회사에서신제품A의가격을정하기위하여시장조

사를한결과이다.

25

[2012년 11월 고1 학력평가 26번]

그림과 같이 좌표평면 위에 마름모 ABCD가 있다. 두 점 A, C

의좌표가각각 (1, 3), (5, 1)이고, 두점 B, D를지나는직선 l

의방정식이 2x+ay+b=0일때, ab의값을구하시오. (단, a, b

는상수이다.) (4점) 답⃞ 4

26

(가) A의가격을 100만원으로정하면판매량은 2400대이다.

(나) A의가격을만원인상할때마다판매량은 20대씩줄어

든다.

신제품A를판매하여얻은전체판매금액이최대가되도록하는

A의가격은 a만원이다. a의값을구하시오. (단, A의가격은 100

만원이상이다.) (3점)답⃞ 110

x

y

O

A3

1

1 5

D

CB

l

단답형

답⃞ 252

log™ 9_log'316=log™ 3¤ _log3;2!;2› =2log™ 3_8log£ 2=16

a50=S50-S49=50¤ -49¤ =(50+49)(50-49)=99

30…a…40에서제곱수는 36이므로 a=36150…b…294에서세제곱수는 216이므로 b=216∴ a+b=36+216=252

A의가격100만원에서x만원(x>0)인상하면판매량은(2400-20x)대이다.

이때, (전체판매금액)=(판매금액)_(판매량)이므로

(100+x)(2400-20x)=240000+400x-20x¤=-20(x-10)¤ +242000

따라서전체판매금액은 x=10일때최대이고, 이때의A의가격은

100+10=110(만원)이다.⋯⋯∴ a=110

⁄ (직선 AC의 기울기)= = =- 이고 AC”⊥l이므로 직선 l의 기울

기는 2이다.

따라서직선 l의방정식 2x+ay+b=0, 즉 y=- x- 에서

(직선 l의기울기)=- =2⋯⋯∴ a=-1

¤ 직선 l이AC”의중점 (3, 2)를지나므로 6-2+b=0⋯⋯∴ b=-4⁄, ¤에서 ab=(-1)_(-4)=4

2a

ba

2a

12

-24

1-35-1



log™(-x¤ +ax+4)의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 x의 개

수가 6일때, 모든자연수 a의값의곱을구하시오. (4점) 답⃞ 30

28

1<x<3이고 3<y<5인두실수 x, y에대하여집합

A={1, x, 3, y, 5}의부분집합중원소의개수가 2인부분집합을

각각A¡, A™, A£, y, A¡º이라하고, 집합Ak(k=1, 2, 3, y, 10)

의두원소중작은수를mk, 큰수를Mk라하자. mk와Mk가다

음조건을만족시킬때, 12x+6y의최댓값을구하시오. (4점)

29

그림과같이AB”=2, AC”=3, A=30˘인삼각형ABC의변 BC

위의 점 P`에서 두 직선 AB, AC 위에 내린 수선의 발을 각각

M , N이라 하자. + 의 최솟값이 일 때, p+q의 값

을구하시오. (단, p`와 q는서로소인자연수이다.) (4점) 답⃞ 28

qp

AC”PN”

AB”PM””

30

(가) m¡+m™+m£+y+m¡º…19

(나) M¡+M™+M£+y+M¡º…41

3

2

30æA

P

N

M

C

B


전체집합U={1, 2, 3, y, 10}의두부분집합

⋯⋯A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 3, 5, 7, 9}

에 대하여 A'C=B'C를 만족시키는 U의 부분집합 C`의 개

수를구하시오. (4점) 답⃞ 64

27

답⃞ 45

직선 12x+6y=k가두직선 3x+y=9, x+3y=15의교점

{ , }를지날때, k는최댓값을가진다.

따라서 12x+6y의최댓값은

12¥ +6¥ =4592

32

92

32

x

y

O

3

1 3

5

5

3x+y=9

y=-2x+

x+3y=15

,32

92{ {

k6

PM”=x, PN”=y라하면

2x+3y=3 y ㉠

∴ + = + = { + }(2x+3y) (∵㉠)

= [13+6 { + }]æ {13+6¥2æ– ¥ }{단, 등호는 = 일때성립}= =


qp

253

yx

xy

yx

xy

13

yx

xy

13

3y

2x

13

3y

2x

AC”PN”

AB”PM”

세집합U, A, B를벤다이어그램으로나타내면오

른쪽과같다.

즉, A-B={2, 4}, B-A={7, 9}이고

A'C=B'C를만족하려면집합C는A-B와 B-A의 원소를 모두 포함해야 하므로

집합C는집합 {2, 4, 7, 9}를포함하는전체집합U의부분집합이다.

따라서집합C의개수는U-{2, 4, 7, 9}={1, 3, 5, 6, 8, 10}의부분집합의개수와같으므로구하는부분집합C의개수는 2fl =64

U

BA

2 4

86 10

13 5 7 9

log™(-x¤ +ax+4)의 값이 자연수가

되는실수 x의개수가 6이므로 y=f(x)의 그래프는 그림과 같이 y=2⁄ , y=2¤ ,y=2‹ 과각각 2개의점에서만나고

y=2n(næ4)과는만나지않아야한다.

즉, 2‹ < +4<2› 가성립해야하므로

16<a¤ <48이고 a가자연수이므로

a=5 또는 a=6∴(구하는곱)=5_6=30

a¤4 x

y=2$

y=2@

y=2#

y=2

a2

y= +4a@4

2014.3

3회

정답및해설 32~34p 3303회

REVIEW회301함수 f(x)는다음조건을만족시킨다.

03집합X={1, 2, 3, 4, 5}에대하여다음은역함수가존재하는함수

f : X⁄X의일부를그린것이다.

02그림과같이좌표평면위에마름모ABCD가있다. 두점B, C의

좌표가각각 (2, 2), (3, 4)이고, 두점 A, C를지나는직선 l의

방정식이 y=- x+k일 때, 점 D의 좌표 (p, q)에 대하여

5(p+q)의값을구하시오. (단, k, p, q는실수이다.) 답⃞ 48

13 04

집합An을

⋯⋯An={x|x는 n의배수} (n=1, 2, 3, y)

이라하자. An;A3=A3n이고 42가집합A3-An의원소가되도

록하는 100 이하의자연수 n의개수를구하시오. 답⃞ 63

(가) -1…x…1에서 f(x)=3x¤ +2이다.

(나) 모든실수 x에대하여 f(x)=f(x+2)이다.

두 함수 y=f(x), y= 의그래프가무수히많은점에서만

나도록하는정수 a의값의합은?

① 12 ② 14 ③ 16

④ 18 ⑤ 20

axx-1

x

y

O

A

D

C

By=- x+k1

3

1

2

3

4

5

X1

2

3

4

5

Xf

(fΩf)(3)+(fΩf)(4)의최댓값은?

① 4 ② 5 ③ 6`

④ 7 ⑤ 8

문항수：4개, 제한시간：25분

따라서 (fΩf )(3)+(fΩf )(4)의최댓값은 6이다.

An;A£은 n과 3의공배수의집합을나타내는데, 이집합이 3n의배수의집합과같

다고하였으므로n과 3은서로소이다.

42=2_3_7이집합A£-An의원소이므로 42≤An이다.

한편, 42의약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이고, 이중 3과서로소인것은 1, 2, 7,14이므로 An+A1, A2, A7, A14

따라서 100 이하의자연수중 3과서로소인자연수는 100-33=67(개)이므로가능

한n의개수는 67-4=63이다.

분수함수 y= = =a+ 는 점근선의방정식이x=1, y=a

이고이분수함수가함수 y=f(x)의그래프와무수히많은점에서만나려면점근선

y=a가두직선 y=2와 y=5 사이에있어야한다.

∴ 2…a…5따라서정수 a의값의합은 2+3+4+5=14

ax-1

a(x-1)+ax-1

axx-1

⁄ 직선 l의기울기가- 이므로

(직선BD의기울기)= =3, q-2=3(p-2)

∴ 3p-q=4 y㉠

¤ 선분 BD의중점의좌표는 { , }이고직선 l이선분 BD의중점을지

나므로직선 l의방정식y=- x+5에대입하면

=- ¥ +5, 3q+6=-p-2+30

∴ p+3q=22 y㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 p= , q=

∴ 5(p+q)=5{ + }=48315

175

315

175

p+22

13

q+22

13

q+22

p+22

q-2p-2

13

f(3)

1

1

3

3

5

5

3

5

1

5

1

3

5

3

5

1

3

1

2

2

3

3

3

1

1

3

2

1

2

5

3

5

5

4

5

6

f(4) f(5) f(f(3)) f(f(4)) f(f(3))+f(f(4))



제 2 교시


[2015년 7월 고3 A형학력평가 1번]

log™24-log™3의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

01

이차부등식 x(x-8)<0을만족시키는자연수 x의개수는?

(2점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

02


0이아닌세실수 a, b, c가 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=0을만족

할때, + + 의값은? (3점)

① ② 2 ③

④ 3 ⑤72

52

32

ac

cb

ba

04


직선 3x+2y+9=0을 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 직선

이원점을지날때, 상수 a의값은? (3점)

① 3 ② 5 ③ 7

④ 9 ⑤ 11

06


수열 {an}의첫째항부터제n항까지의합 Sn이 Sn=n+2n일때,

a§`의값은? (3점)

① 31 ② 33 ③ 35

④ 37 ⑤ 39

05


등식

⋯⋯ + + + =a+bi

를만족시키는실수 a , b의합 a+b의값은? (단, i ='∂-1) (2점)

① 2` ② 4 ③ 6`

④ 8` ⑤ 10

7i ›

5i ‹

3i ¤

1i

03

5지선다형


●새교육과정에맞추어새롭게구성하였습니다.

log™ 24-log™ 3=log™ =log™ 8=log™ 23=3243

x(x-8)<0에서 0<x<8

따라서자연수 x의개수는 1, 2, y, 7로 7이다.

=-i, =-1, = =i, =1이므로

+ + + =-i-3+5i+7=4+4i=a+bi

∴ a+b=8

7i ›

5i ‹

3i ¤

1i

1i ›

1-i

1i ‹

1i ¤

1i

a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca= {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }=0

a, b, c가실수이므로

a-b=0, b-c=0, c-a=0⋯⋯∴ a=b=c

∴ + + = + + =3cc

bb

aa

ac

cb

ba

12

an=Sn-Sn-1=(n+2n)-{(n-1)+2n-1}=2n-1+1(næ2)

∴ a§=26-1+1=33

x축의방향으로 a만큼평행이동하면 3(x-a)+2y+9=0이직선이원점을지나므로

3(-a)+0+9=0 ∴ a=3


2013.3

4회

함수 y=f(x)의역함수를 y=g(x)라할때, g(3)의값은? (3점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

09


그림은전체집합U의세부분집합A , B , C 사이의포함관계를

나타낸벤다이어그램이다.

07

그림과같이두점P('2), Q('3)을수직선위에나타내었다.

08

제`1`사분면에서함수 y=f(x)의그래프위에점 P(a, b)가있을

때, (a-1)+(b-2)의최솟값은? (3점)

① 2 ② 2'2 ③ 2'3④ 4 ⑤ 2'5

10

U

A CB

공집합이아닌집합 (A'B)Ç ;C의원소인 x에대하여 x가속

하는집합으로알맞은것은? (3점)

①B ②A;B ③B;C

④A-B ⑤C-A

P{Â2} Q{Â3} x

세점 A{ }, B{ }, C{ }를수직선위

에나타낼때, 세점의위치를왼쪽부터순서대로나열한것은?

(3점)

①A , B , C ②A , C , B ③B , A , C

④B , C , A `⑤C , B , A

3'3-'23-1

'3+3'21+3

'2+'32

[ 09~10 ] 다음은유리함수 f(x)= +2의그래프이다.

09번과 10번의두물음에답하시오.

3

x-1

x

y

y=f(x)

O

2

1

(A'B)C;C=C-(A'B)이므로 원소 x가 속하

는영역은오른쪽그림에서색칠된부분이다.

∴⑤ x<(C-A) (참)

UA C

B

점A는선분PQ의중점이다.

점B는선분PQ를 1 : 3으로내분하는점이다.

점C는선분PQ를 3 : 1로외분하는점이다.

따라서세점의위치를왼쪽부터순서대로나열하면B, A, C이다.

P{Â2} B A CQ{Â3} x

g(3)=k라하면 g—⁄ (k)=3이다.

이때, g—⁄ (x)=f(x)이므로 f(k)=3에서

+2=3, =1, k=4

∴ g(3)=4

3k-1

3k-1

(a-1)+(b-2)=(a-1)+ æ2æ≠(a-1)_ =2'3{단, 등호는 a-1= 일때성립}

따라서주어진식의최솟값은 2'3이다.

3a-1

3a-1

3a-1


이차방정식 x¤ +4x+2=0의서로다른두실근을 a, b라할때,

+ 의값은? (3점)

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

1|b|

1|a|

11


두양수 a, b에대하여세수 a+3, 3, b는이순서대로등차수열

을이루고, 세수 , 1, 는이순서대로등비수열을이룬

다. 이때, b-a의값은? (3점)

①-5-2'5 ②-3-2'5 ③-1-2'5④ 1-2'5 ⑤ 3-2'5

2a+3

2b

12


이상기체 1몰의 부피가 Vº에서 V‘로 변할 때, 엔트로피 변화량

S‘(J/K)는다음과같이구할수있다고한다.

⋯⋯S‘=C log (단, C는상수이고부피의단위는m‹이다.)

이상기체 1몰의부피가Vº에서V¡로 a배변할때 S¡=6.02이고,

이상기체 1몰의부피가Vº에서V™로 b배변할때S™=36.02이다.

이때, 의값은? (단, 몰은기체입자수의단위이고C=20(J/K)

으로계산한다.) (3점)

① 10 ② 6'6 ③ 10'∂10④ 15'∂15 ⑤ 100

ba

V‘Vº

13

[2012년 3월고2 학력평가 15번]

네조건

p : x는정수이다. q : x¤은정수이다.

r : x‹은정수이다. s : x›은정수이다.

에대하여옳은것만을 [보기]에서있는대로고른것은? (4점)

14

①ㄴ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차방정식의근과계수의관계에의하여 a+b=-4, ab=2

∴ + =- - =-{ + }=- =- =2

-42

a+bab

1b

1a

1b

1a

1|b|

1|a|

세수 a+3, 3, b는이순서대로등차수열을이루므로

6=a+3+b, a+b=3⋯⋯∴ b=3-a y ㉠

세수 , 1, 는이순서대로등비수열을이루므로

1= , (a+3)b=4 y ㉡

㉠을㉡에대입하면 (a+3)(3-a)=49-a¤ =4, a¤ =5 ∴ a='5 (∵ a>0), b=3-'5 (∵㉠)

∴ b-a=3-2'5

4(a+3)b

2a+3

2b

S¡=20log =20log =20log a=6.02

S™=20log =20log =20log b=36.02

S™-S¡=20log b-20log a=20log =30, log =

∴ =10;2#;=10'1å0b

a

32

ba

ba

bVºVº

V™Vº

aVºVº

V¡Vº

ㄱ. 【반례】x=‹'2이면 x‹ =2는정수이지만 x› =2 ‹"2는정수가아니다.

즉, ‘x‹ 이정수이면 x› 은정수이다.’가거짓이므로 r는 s이기위한충분조건이아

니다. (거짓)

[보기]

ㄱ. r는 s이기위한충분조건이다.

ㄴ. (p이고 r)는 q이기위한충분조건이다.

ㄷ. (p 또는 s)는 q이기위한필요조건이다.


2013.3

4회

표는양의실수 x, y에대하여두종류의변환장치를설명한것이

다.

15

등식 z¤ =3+4i를만족시키는복소수 z에대하여 zz’의값은?

(단, i='∂-1이고 z’는 z의켤레복소수이다.) (4점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

16

조선시대산학서에서중심이같은서로다른두원으로둘러싸인

도형을환(環)이라불렀다.

17

예를들면 를변환하였을때 이다.

을변환한것을 라할때, (가)에알맞은

식은? (4점)

① xy ② 2xy ③ 2xy+1

④ 2xy+2 ⑤ 4xy+2

(가)x+y

x

y

1x

1y

4xy2x+y

x x

y

환(環)

다음은실경과정주라는것을이용하여환의넓이를구하는과정

이다.

그림에서두원C¡, C™는모두중심이O인원이다. 두원C¡,

C™의 반지름의 길이를 각각 r¡, r™(r¡>r™)라 하고, 원의 중

심O와원 C¡ 위의점 P를연결한선분이원 C™와만나는점

을Q라하자. 선분 PQ의중점을R라하고, 중심이O이고선

분OR를반지름으로하는원D를그린다.

이때, 선분 PQ의길이를 실경, 원 D의둘레의길이를 정주

라한다.

위에서실경은 , 정주는 2p_ 이므로

(실경)_(정주)=( )_(2p_ )

=pr¡¤ -pr™¤= (환의넓이)

이다. 따라서환의넓이는실경과정주의곱으로구할수있

다.

C¡

O Q RP

C™D

(가)

(가) (나)

(나)

위의과정에서(가), (나)에알맞은식을더하면 pr¡+qr™이다.

8(p¤ +q¤ )의값은? (단, p, q는상수이다.) (4점)

① 20 ② 24 ③ 28

④ 32 ⑤ 36

변환장치

x

y

x y

변환

⇨

⇨

결과

2xyx+y

x+y

+ = + = + = x+y2

x+y2xyx+y

;[™];

x+yxy

2xyx+y

2¥;[¡];

;[!;+;]!;

2xyx+y

z=a+bi(a, b는실수)로놓으면켤레복소수 zÆ=a-bi이므로

z¤ =(a+bi)¤ =3+4i에서 a¤ -b¤ +2abi=3+4i복소수가서로같을조건에의해 a¤ -b¤ =3, ab=2

∴ zz Æ=(a+bi)(a-bi) Æ=a¤ +b¤ =øπ(a¤ +b¤ )¤

∴ zz Æ=øπ(a¤ -b¤ )¤ +4a¤ b¤ =øπ3¤ +4_2¤ =5

(가), (나)에알맞은식을더하면

r¡-r™+ = r¡- r™⋯⋯∴ p= , q=-

∴ 8(p¤ +q¤ )=8{ + }=2014

94

12

32

12

32

r¡+r™2

←r¡-r™

←r™+

r¡-r™2

←2xy+2


두실수 x, y가등식 (x-y-3)(x+y-2)=0을만족시킬때,

6(x¤ +y¤ )의최솟값은? (4점)

① 4 ② 6 ③ 8

④ 10 ⑤ 12

19

가격이 500원, 700원, 900원인세종류의음료수를선택할수있

는자판기에서현금 28,000원을남김없이사용하여 40개의음료

수를사려고한다. 세종류의음료수를각각두개이상씩산다고

할 때, 가격이 500원인 음료수의 최대 개수는? (단, 자판기에는

각음료수가충분히들어있다고가정한다.) (4점)

① 15 ② 16 ③ 17

④ 18 ⑤ 19

20


수열 {an}은 15와서로소인자연수를작은수부터차례대로모두

나열하여만든것이다. 예를들면 a™=2, a¢=7이다. an의값

은? (4점)

① 240 ② 280 ③ 320

④ 360 ⑤ 400

16¡n=1

21

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=x¤ -2x-3의 그래프

는다음과같다.

18

x

y

O 3-1

y=f{x}

함수 g(x)를

⋯⋯g(x)=

라할때, 옳은것만을 [보기]에서있는대로고른것은? (4점)

f(x)+|f(x)|2

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷf(x)=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4,

g(x)=[이므로함수 y=g(x)의그래프는오른쪽그림과같다.

ㄱ. y=g(x)의 그래프는 직선 x=1에 대하여 대칭이

다.(거짓)

f(x) (x…-1, xæ3)0 (-1<x<3)

x

y

O 3-1

y=g{x}

원점과직선 x+y-2=0 사이의거리가최솟값이므로

= ='2, 'kæ'2⋯⋯∴ kæ2

∴ 6(x¤ +y¤ )=6kæ12따라서 6(x¤ +y¤ )의최솟값은 12이다.

2'2

|0+0-2|"√1¤ +1¤

가격이 500원인음료수의개수를 x, 700원인음료수의개수를 y, 900원인음료수의

개수를 z라하면 x+y+z=40 y ㉠

500x+700y+900z=28000에서 5x+7y+9z=280(xæ2, yæ2, zæ2) y㉡

7_㉠－㉡을하면 2x-2z=0, x=z y㉢

㉢을㉠에대입하면 y+2z=40y=-2z+4에서-2z+40æ2, -2zæ-38 ∴ z…19따라서 z의최댓값은 19이고, x=z이므로가격이 500원인음료수의최대개수는 19이다.

an= n- 3n- 5n+ 15n

= -3_ -5_ +15_

=465-165-105+45=240

2_32

6_72

10_112

30_312

2

¡n=1

6

¡n=1

10

¡n=1

30

¡n=1

16

¡n=1

[보기]

ㄱ. y=g(x)의그래프는직선 x=2에대하여대칭이다.

ㄴ. 방정식 g(x)=1은서로다른두실근을갖는다.

ㄷ. 부등식 g(x)…0의해는-1…x…3이다.


2013.3

4회


« '2_« '8=°'2를만족시키는자연수 n의값을구하시오. (3점)

22


실수전체의집합U의두부분집합P, Q는

⋯⋯P={x|10…x…26}, Q={x|1…x…a}

이다. 두집합 P, Q가각각두조건 p, q의진리집합일때, 명제

p ⁄ q가참이되게하는실수 a의최솟값을구하시오. (3점)

23


무리함수 f(x)='ƒ4x+a+b의그래프가그림과같다.

24

다항식P(x)를 2x¤ -5x-3으로나눈나머지가 2x+3일때, 다

항식 (x¤ -2)P(x)를 x-3으로나눈나머지를구하시오. (3점)

25


4m이 8자리의정수가되도록하는모든자연수m의값의합을구

하시오. (단, log2=0.301로계산한다.) (4점) 답⃞ 25

26

x

y

O-1

-3

f{x}=Â4xÊ+ÊaÊ+b

이때 a+b의값을구하시오. (단, a, b는실수이다.) (3점) 답⃞ 11

단답형

답⃞ 32

답⃞ 26

답⃞ 63

(좌변)=n'2_n'8=n'∂16(우변)=° '2=° _4"ç2› =‹ ¤ '∂16∴n=32

명제p ⁄q가참이므로조건p의진리집합P가조건 q의진리집합Q의부분집합이다.

P,Q이어야하므로집합P에서의원소의최댓값이집합Q에서의원소의최댓값안

에있어야한다.

따라서 aæ26이므로 a의최솟값은 26이다.

그래프가점 (-3, -1)을기준으로오른쪽위로향하는그래프이므로주어진그래

프가나타내는식은

f(x)=øπ4(x+3)-1='ƒ4x+12-1'ƒ4x+a+b='ƒ4x+12-1이므로

a=12, b=-1 ∴ a+b=11

P(x)를 2x¤ -5x-3으로나누었을때의몫을Q(x)라하면나머지가 2x+3이므로

P(x)=(2x¤ -5x-3)Q(x)+2x+3=(2x+1)(x-3)Q(x)+2x+3

따라서 (x¤ -2)P(x)를 x-3으로나눈나머지는

(3¤ -2)P(3)=7(2_3+3)=63

7…log 4m<8, 7…mlog 4<8, …m<

…m< , …m<

11.6×××…m<13.2×××이므로m=12 또는m=13∴ 12+13=25

40.301

70.602

82log 2

72log2

8log4

7log 4


그림과같이좌표평면위에모든변이 x축또는 y축에평행한두

직사각형 ABCD,ÈFGH가 있다. 기울기가 m인 한 직선이 두

직사각형 ABCD,ÈFGH의 넓이를 각각 이등분할 때, 12m의

값을구하시오. (4점) 답⃞ 18

28

두실수 x, y에대하여연립부등식

⋯⋯[의영역을좌표평면위에나타낼때, 점 (x , y)가존재하는영역

의넓이를구하시오. (4점) 답⃞ 250

3y-2x…x+y

y…3y-2x…50

29

자연수 n에대하여정의된함수 f(n)이다음두조건을만족시

킨다.

30

x

y

O

A

B G C

D

E

F

H1

7

1 4-1

-3 -2

1…n…128에서 f(n)은 n=a일때최댓값M을갖는다. a+M


(가) f(1)=1

(나) f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1


수열 {a«}이a™«–¡=a™«=n(n=1, 2, 3, y)

을 만족시킬 때, 수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라하자. 수열 {S«}에대하여첫째항부터제 240항까지의값중에

서 3의배수를값으로하는모든항의개수를구하시오. (4점)

27

답⃞ 120

수열 {a«}의첫째항부터제n항까지의합인S«을 3으로나눈나머지는 1, 2, 1, 0, 0,0이계속반복되어나열된다. 이때, 주기가 6이고한주기당 3의배수가 3번나오고첫

째항부터제 240항까지 1, 2, 1, 0, 0, 0이총 40번반복되므로 3의배수의개수는

40_3=120

두점 (1, 3), (-1, 0)을지나는직선의기울기는 m= =

∴ 12m=12_ =1832

32

3-01-(-1)

실수 x, y에대하여

3y-2x…x+y에서 y… x y㉠

y…3y-2x…50에서

y…3y-2x이므로 yæx

3y-2x…50이므로 y… x+

∴ x…y… x+ y㉡

㉠, ㉡을동시에만족하는영역은그림의어두운부분과같아.

따라서점 (x, y)가존재하는영역의넓이는

_50'2_5'2=25012

503

32

503

32

32

x

y

O

50

30

20 50

y=x

y= x+23

503

y= x32

503

n=2k-1(k는자연수) 꼴일때, n<2k에서 f(n)의값이가장크다.

즉, f(n)은n=127일때최댓값 7을가지므로

a+M=127+7=134

2013.3

4회

정답및해설 42~44p 4104회

REVIEW회401등식 z¤ =5+12i를 만족시키는 복소수 z에 대하여 + 의 값

은? (단, i='∂-1이고 z’는 z의켤레복소수이다.)

① ② ③

④ ⑤1312

1213

1013

512

513

zz’

z’z

03수열 {an}은 3의 배수도 7의 배수도 아닌 자연수를 작은 수부터

차례대로모두나열하여만든것이다. 예를들면 a™=2, a¢=5이다.

an의값은?

① 500 ② 504 ③ 508

④ 512 ⑤ 516

24¡n=1

02두 실수 x, y가 등식 (x-y+3)(x+y+5)=0을 만족시킬 때,

2x¤ +2y¤ +8y+8의최솟값은?

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

04그림과같이좌표평면위에모든변이 x축또는직선 y=2x에

평행한두평행사변형ABCD,ÈFGH가있다. 기울기가m인한

직선이 두 평행사변형 ABCD,ÈFGH의 넓이를 각각 이등분할

때, 10m의값을구하시오. 답⃞ 6

x

y

O1 4

4

A

BC

F

D

E H

G

-4

-4

-2


z=a+bi(a, b는실수)로놓으면 z¤ =(a+bi)¤ =5+12i에서

a¤ -b¤ +2abi=5+12i이므로

복소수가서로같을조건에의해 a¤ -b¤ =5, ab=6

∴ + = + =

=

=

= = =1013

10'∂169

10"√25+4_6¤

2(a¤ -b¤ )"√(a¤ -b¤ )¤ +4a¤ b¤

a¤ -2abi-b¤ +a¤ +2abi-b¤a¤ +b¤

(a-bi)¤ +(a+bi)¤(a+bi)(a-bi)

a+bia-bi

a-bia+bi

zzÆ

z Æz

점 (0, -2)와직선 x+y+5=0 사이의거리가æ 의최솟값이고, 점

(0, -2)와직선사이의거리는

= , 즉æ æ 이므로

'kæ3⋯⋯∴ kæ9따라서 2x¤ +2y¤ +8y+8의최솟값은 9이다.

3'2

k2

3'2

|0-2+5|"√1¤ +1¤

k2

an= n- 3n- 7n+ 21n

= -3_ -7_ +21_

=903-315-147+63=504

2_32

6_72

14_152

42_432

2

¡n=1

6

¡n=1

14

¡n=1

42

¡n=1

24

¡n=1

두점 {- , -2}, { , 1}을지나는직선의기울기는

m= =

∴ 10m=10_ =635

35

1-(-2)

;2%;-{-;2%;}

52

52


2000년창단이후활발한활동으로

2004년에중앙동아리로등록된중앙흑인음악동아리어비스는

창작곡으로1년에두번정기공연을열고있으며,

힙합, R&B를비롯한여러흑인음악장르전반을창작하고감상하려하고있다.

또한학교중앙동아리로서오리엔테이션행사에도참여하고있다.

가능한많은사람들과흑인음악을나누고싶기에,

동아리에들어오고자하는사람들에게

오디션은물론그어떤조건도필요하지않다고이야기하는이들은,

흑인음악에관심있는학생들에게

흑인음악에대한관심과열정만있다면누구든연락을달라고한다.

흑인음악의리듬에둠칫둠칫~

어비스(ABYSS) 서강대학교흑인음악동아리



Ⅱ


[범위 : 수학Ⅱ 전범위

미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅱ. 함수의 극한과 연속]








[범위 : 수학Ⅱ 전범위 미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅱ. 함수의 극한과 연속]

5회

6회

7회

8회







[나`형]


5지선다형

‹'∂27_2‹ 의값은? (2점)

① 16 ② 18 ③ 20

④ 22 ⑤ 24

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

‹'∂27_2‹ =‹"ç3‹ _2‹ =(‹'3)‹ _2‹ =3_8=24

전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 두 부분집합 A={1, 2, 3, 4},

B={2, 4, 5}에대하여집합A;B의모든원소의합은? (2점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A;B={2, 4}이므로

2+4=6

의값은? (2점)

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

3n¤ +52n¤ -n

limn ⁄¶

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

=32

3n¤ +52n¤ -n

limn ⁄¶

집합X={1, 2, 3, 4, 5}에대하여집합X에서집합X로의함수

f가그림과같이정의될때, f(2)+f—⁄ (1)의값은? (3점)

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

등비수열 {a«}에대하여 a¡=24, a™=12일때, a¢의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

05 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

공비를 r라하면 a™=a¡ r=12

24r=12이므로 r=

a«=24_{ }n-1

이므로 a¢=a¡r‹ =24_{ } ‹ =312

12

12

5 5

f

4 4

3 3

2 2

1 1

X Y

f(2)=4, f —⁄ (1)=4이므로

f(2)+f—⁄ (1)=8

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9


2016.6

5회

수열 {a«}이모든자연수 n에대하여부등식

⋯⋯2n‹ +2n…a«…2n‹ +5n+1

을만족시킬때, 의값은? (3점)

① ② ③

④ ⑤45

710

35

12

25

a«5n‹

limn ⁄¶

06 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

… … 에서

… … 이므로

=25

a«5n‹

limn ⁄¶

2n‹ +5n+15n‹

limn ⁄¶

a«5n‹

limn ⁄¶

2n‹ +2n5n‹

limn ⁄¶

2n‹ +5n+15n‹

a«5n‹

2n‹ +2n5n‹

함수 y= 의그래프를 x축의방향으로 a만큼, y축의방향으로

b만큼 평행이동하였더니 함수 y= 의 그래프와 일치하였

다. 두상수 a, b에대하여 a+b의값은? (3점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

3x-1x-1

2x

07 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

y= +b=

y= 과계수를비교하면

x-a=x-1, 3x-1=bx+2-ab이므로 a=1, b=3∴ a+b=4

3x-1x-1

bx+2-abx-a

2x-a


⋯⋯p : -3…x…8

⋯⋯q : a-3…x…a

p는 q이기위한필요조건이되도록하는모든정수 a의개수는?

(3점)

① 3 ② 5 ③ 7

④ 9 ⑤ 11

08 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P={x|-3…x…8}, Q={x|a-3…x…a}P.Q이려면-3…a-3, a…8이므로 0…a…8따라서모든정수 a의개수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8로 9개이다.

두함수 f(x)=2x+1, g(x)=x-3에대하여

( fΩg—⁄ )(x)=ax+b라할때, 두상수 a, b의곱 ab의값은?

(3점)

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

10 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

g—⁄ (x)=x+3( fΩg—⁄ )(x)=f(g—⁄ (x))=f(x+3)

=2(x+3)+1=2x+7따라서 a=2, b=7이므로

ab=14

수열 {a«}에대하여 a˚=12, a ¤ =40일때, (a˚+2)¤ 의

값은? (3점)

① 88 ② 98 ③ 108

④ 118 ⑤ 128

5¡k=1

5¡k=1

5¡k=1

09 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

(a˚+2)¤ = (a˚¤ +4a˚+4)

= a˚¤ +4 a˚+ 4

=40+4_12+4_5=108

5

¡k=1

5

¡k=1

5

¡k=1

5

¡k=1

5

¡k=1


양수 a에대하여세수 f { }, a, f(16)은이순서대로등비수열

을이룬다. a의값은? (3점)

① ② 2 ③

④ ⑤ 383

73

53

52

13 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f { }= , f(16)=3'2이므로

a¤ =f { }_f(16)= _3'2=9

a는양수이므로 a=3

3'22

52

3'22

52

직선 x=t와 함수 y=f(x)의 그래프의 교점을 P, 직선 x=t와

x축과의 교점을 Q라 하자. 삼각형 POQ의 넓이를 S(t), 선분

OQ를지름으로하는원의넓이를 C(t)라할때,

의값은? (4점)

① p ② p ③ p

④ p ⑤ p'26

'25

'24

'23

'22

C(t) t_S(t)

limt⁄0+

14 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P(t, 'ƒt+2), Q(t, 0)이므로

S(t)= _OQ”_PQ”= _t_'ƒt+2

C(t)=p_{ }¤ = p

∴ = = = = p'24

p2'2

p2'ƒt+2

limt ⁄0+

t¤ p2t¤ 'ƒt+2

limt ⁄0+

C(t)t_S(t)lim

t ⁄0+

t¤4

t2

12

12

[ 13~14 ] 함수 f(x)='ƒx+2와 직선 x=t ( t>0)에 대하여 13

번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, O는 원점이다.)

그림과같이함수 y= 의그래프위의점중제1사분면에있는

한점을A{a, }라하고, 점A를 x축, y축, 원점에대하여대칭

이동한 점을 각각 B, C, D라 하자. 직사각형 ACDB의 둘레의

길이의최솟값은? (3점)

4a

4x

11 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

log 22n+ log5«이정수가되도록하는 50 이하의자연수 n

의개수는? (3점)

① 28 ② 25 ③ 22

④ 19 ⑤ 16

12

14

12 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

log22n+ log5« = (log2+log5)=

1…n…50에대하여 이정수가되는것은 n=2, 4, 6, y, 50이므로자연수 n의

개수는 25개이다.

n2

n2

n2

12

14

y

O

C A

D B

a x

4xy=

B{a, - }, C{-a, }, D{-a, - }

직사각형ACDB의 둘레의길이는 2(AC”+AB”)=2{2a+ }

a>0이므로

2 {2a+ }æ4æ≠2a_ =16 (단, 등호는 a=2일때성립한다.)

따라서직사각형ACDB의둘레의길이의최솟값은 16이다.

8a

8a

8a

4a

4a

4a

y

x=t

O x

y=f (x)P

Q-2

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

ㄱ. f(x)=0 (참)

ㄴ. f(x)g(x)= f(x)_ g(x)=1_0=0 (참)

ㄷ. f(x)g(x)=f(1)g(1)=0이므로함수 f(x)g(x)는 x=1에서

ㄷ.연속이다. (참)

limx⁄1

limx ⁄1-

limx ⁄1-

limx ⁄1-

limx ⁄0+


2016.6

5회

두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프가그림과같을때, [보기]

에서옳은것만을있는대로고른것은? (4점)

15 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

등차수열 {a«}에대하여

⋯⋯a¡=1, a™+a¢=18

이다. S«= a˚라할때, ('ƒS«≠¡-'∂S«)의값은? (4점)

① '2 ② 2'2 ③ 3'2④ 4'2 ⑤ 5'2

limn ⁄¶

n¡k=1

16 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

공차를d라하면d=4이므로 a«=4n-3

S«= (4k-3)=2n¤ -n

('ƒS«≠¡-'∂S«)= ("√2(n+1)¤ -(n+1)-"√2n¤ -n)

('ƒS«≠¡-'∂S«)=

('ƒS«≠¡-'∂S«)= ='24'2+'2

4n+1"√2n¤ +3n+1+"√2n¤ -n

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

n

¡k=1

음파가서로다른매질의경계를투과하면서잃어버리는음파의

에너지의 정도를 나타내는 투과손실을 TL(dB), 입사되는 음파

의 에너지를 I, 투과된 음파의 에너지를 T라 하면 다음과 같은

관계식이성립한다고한다.

⋯⋯TL=10 log

어떤음파를매질 A에서매질 B로투과시킬때, 입사되는음파

의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 a배일 때의 투과손실을

TL¡이라하고, 매질A에서매질 C로투과시킬때, 입사되는음

파의 에너지가 투과된 음파의 에너지의 4배일 때의 투과손실을

TL™라하자. = 일때, a의값은? (4점)

① 8 ② 16 ③ 24

④ 32 ⑤ 40

52

TL¡TL™

IT

17 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

TL¡=10 log =10 log =10 loga

TL™=10 log =10 log =10 log4

= , 즉 = 이므로 log¢a= ⋯⋯

∴ a=4;2%;=(2¤ );2%;=2fi =32

52

52

logalog4

52

TL¡TL™

4TT

I™T

aTT

I¡T

y=f (x)

y=g (x)y

O-1

1 1

1 -1

-1

1x

y

O x

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

a, b는 1이아닌양수이고

⋯⋯logå2+log∫2=2, log™a+log™ b=-1

일때, (logå2)¤ +(log∫ 2)¤ 의값은? (4점)

① 4 ② 6 ③ 8

④ 10 ⑤ 12

18 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

logå 2+log∫ 2=A+B=2 y ㉠

log™ a+log™ b= + = =-1

이므로AB=-(A+B)=-2 y ㉡

∴ (logå 2)¤ +(log∫ 2)¤ =(A+B)¤ -2AB=2¤ -2_(-2)=8

A+B AB

1logb 2

1logå 2

함수

⋯⋯f(x)= (x>0)

에대하여 f { }=33이다. 상수 a의값은? (4점)

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

k5

10¡k=1

ax«1+x«

limn ⁄¶

19 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f(x)=

k=1, 2, 3, 4일때 f { }=0, k=5일때 f { }= ,

k=6, 7, 8, 9, 10일때 f { }=a

f { }=f { }+f { }+y+f { }=4_0+1_ +5_a= a

따라서 a=33이므로 a=6112

112

a2

105

25

15

k5

10

¡k=1

k5

a2

k5

k5

0 (0<x<1)

;2A; (x=1)

a (x>1)

({9

[보기]

ㄱ. f(x)=0

ㄴ. f(x)g(x)=0

ㄷ. 함수 f(x)g(x)는 x=1에서연속이다.

limx ⁄1-

limx ⁄0+


다음은 2 이상인모든자연수 n에대하여부등식

⋯⋯ ¥ <4 y (*)

이성립함을[증명]하는과정의일부이다.

12k-1

nn-k

n-1¡k=1

20 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

a«≠¡= ¥

= + ¥ + ¥ +y+

a«≠¡= +(n+1) { ¥ + ¥ +y+ }

= +(n+1)_

이식을정리하면

a«≠¡= a«+

따라서 f(n)= , g(n)= 이므로

=2248g(10)f(5)

n+12n

n+1n

n+1n

n+12n

a«2n

n+1n

12n-1

12¤

1n-2

12

1n-1

n+1n

n+12n-1

12¤

n+1n-2

12

n+1n-1

n+1n

12k-1

n+1n+1-k

n

¡k=1

중심이O이고길이가 4인선분A¡B¡을지름으로하는반원이있

다. 그림과 같이 반원 위에 ∠C¡A¡B¡=30˘, ∠D¡B¡A¡=30˘가

되도록두점C¡, D¡을각각정하고, 두선분A¡C¡, B¡D¡과두호

B¡C¡, A¡D¡로 둘러싸인 모양에 색칠하여 얻은 그림을

R¡이라하자.

그림 R¡에서 중심이 O이고 두 선분 A¡C¡, B¡D¡에 접하는 원이

선분 A¡B¡과만나는점을각각 A™, B™라하자. 선분 A™B™를지

름으로하는반원에그림 R¡을얻는것과같은방법으로만들어

지는 모양에색칠하여얻은그림을R™라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째얻은그림R«에색칠되어있는

부분의 넓이를 S«이라 할 때, S«= 이다. a+b의

값은? (단, a, b는정수이다.) (4점)

ap+b'39

limn ⁄¶

21 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

위의(가), (나)에알맞은식을각각 f(n), g(n)이라할때,

의값은? (4점)

① 20 ② 22 ③ 24

④ 26 ⑤ 28

48g(10)f(5)

(가)

(가)

(나)

. . .

. . .

A¡ B¡30æ30æ

O

D¡ C¡

A¡ A™ B™ B¡R¡

R£

R™O

D¡ C¡

S¡=2_{p_2¤ _ - _2¤ + _ _2}

= p-

A«O” :A«B« ”=r«≠¡ : r«이고

A«O” :A«B« ”=1 : 2이므로

넓이의비는 1 : 4이다.

∴ S«= a«= =

따라서 a=16, b=-8이므로 a+b=8

16p-8'39

;3$;p- 2'3113 ``1-;4!;

¶¡n=1

limn ⁄¶

An B¡Bn+1An+1 rn+1

rn

O

Dn Cn

D

2'33

43

2'3

12

'34

60360

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

[증명]

2 이상인모든자연수 n에대하여

a«= ¥ = + ¥ +y+

라하자.

a«≠¡= ¥

a«≠¡= + ¥ + ¥ +y+

a«≠¡=

a«≠¡= +(n+1) { ¥ + ¥ +y+ }

이식을정리하면

a«≠¡= a«+ (næ2)를얻는다.

a™=2<4, a£=3<4이므로(*)이성립한다.

næ3일때 a«<4라하자.

⋯

따라서 2 이상인모든자연수 n에대하여(*)이성립한다.

n+1n

12n-1

12¤

1n-2

12

1n-1

n+12n-1

12¤

n+1n-2

12

n+1n-1

12k-1

n+1n+1-k

n¡k=1

n2n-2

12

nn-2

nn-1

12k-1

nn-k

n-1¡k=1

¤n+1n

¤

¤n+12n


2016.6

5회

단답형

어느학교 56명의학생들을대상으로두동아리 A, B의가입여

부를조사한결과다음과같은사실을알게되었다.

25 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

수열 {a«}이모든자연수 n에대하여

⋯⋯a¡+2a™+3a£+y+na«=2n¤ +3n

을만족시킬때, 의값을구하시오. (4점) 답⃞ 1102

a«-410¡

n=1

26 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

b«=na«, S«= b«=2n¤ +3n이라하면

b«=S«-Sn-1=2n¤ +3n-{2(n-1)¤ +3(n-1)}=4n+1 (næ2)

a1=5에서 b1=1_5=5이므로 b«=4n+1 (næ1)

a«= =4+ (næ1)이므로

=

= 2n=11010

¡n=1

2

4+;n!;-4

10

¡n=1

2a«-4

10

¡n=1

1n

b«n

n

¡k=1

의값을구하시오. (3점) 답⃞ 16(x-4)(x+12)

x-4limx ⁄4

22 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

= (x+12)=16limx ⁄4

(x-4)(x+12)x-4

limx ⁄4

log£ 18- log£ 4의값을구하시오. (3점) 답⃞ 212

23 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

log£ 18- log£ 4=log£ 18-log£ 4;2!;

=log£ 18-log£ 2

=log£

=log£ 9=log£ 3¤=2 log£ 3=2

182

12

수열 {a«}에대하여급수 { -a«}이수렴할때,

(8a«+7)의값을구하시오. (3점) 답⃞ 43limn ⁄¶

92

¶¡n=1

24 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

급수 { -a«}이수렴하므로 { -a«}=0

∴ a«=

∴ (8a«+7)=8_ a«+7

∴ (8a«+7)=8_ +7=4392

limn ⁄¶

limn ⁄¶

92

limn ⁄¶

92

limn ⁄¶

92

¶¡n=1

동아리A에만가입한학생의수를구하시오. (3점) 답⃞ 29

동아리A와B에가입한학생의집합을각각X, Y라하면n(X'Y)=56n(X)=35, n(Y)=27이므로

n(X;Y)=n(X)+n(Y)-n(X'Y)=35+27-56=6

따라서동아리A에만가입한학생의집합은X;YÇ 이므로

n(X;YÇ )=n(X)-n(X;Y)=35-6=29

(가) 학생들은두동아리A, B 중적어도한곳에가입하였

다.

(나) 두 동아리 A, B에 가입한 학생의 수는 각각 35명, 27

명이었다.


자연수 n에대하여함수 f(x)=x¤ +nx (xæ0)의역함수를

g(x)라하고, 직선 y=-x+n+2와두함수 y=f(x),

y=g(x)의 그래프가 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형

POQ의넓이를S«이라할때, 의값을구하시오.

(단, O는원점이다.) (4점)

50S«

¶¡n=1

29 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

두실수 a, b에대하여다음조건을만족시키는모든실수 a의값

의합을 k라하자. 48k의값을구하시오. (4점) 답⃞ 84

30 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

a<0<b라하면등비수열을이루기위해서는 b가등비중항이어야한다.

따라서등비수열이되는배열은 a, a¤ , a‹ 또는 a‹ , a¤ , a이다.

세수 a, b, ab는음수, 양수, 음수가되는데등차중항은음수이어야하므로

음수인 a 또는 ab=a‹ 이등차중항이된다.

⁄ a가등차중항이면 2a=a¤ +a‹ 이고

2a¤ -a-1=0에서 (a+2)(a-1)=0a<0이므로 a=-2, b=4

¤ a‹ 이등차중항이면 2a‹ =a+a¤ 이고 2a¤ -a-1=0에서 (2a+1) (a-1)=0

a<0이므로 a=- 이고 b=

b<0<a라고하면위와같은방법에의해

b=-2, a=4인경우와 b=- , a= 인경우가생긴다.

따라서 k=-2+{- }+4+ = 이므로

48k=84

74

14

12

14

12

14

12

자연수 n (næ4)에대하여집합

⋯⋯D«={x|x는 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정n각형

의대각선의길이}

라하고, 집합D«의원소의개수를 a«이라하자.

예를들어, 그림과같이 a∞=1, a§=2이다. a™™+a™∞의값을구하

시오. (4점) 답⃞ 21

28 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

⁄ n=2k+1 (kæ2)일때, 길이가서로다른대각선의개수는

=k-1이므로

a«=a™˚≠¡=k-1¤ n=2k (kæ2)일때, 길이가서로다른대각선의개수는

=k-2에서

지름을포함하면 (k-2)+1=k-1이므로

a«=a™˚=k-1∴ a™™+a™∞=10+11=21

2k-42

2k-22

2 이상의자연수 n에대하여 «'∂20 보다작은정수중에서최댓값

을 f(n)이라하자. f(n)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 1410¡

n=2

27 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

⁄ n=2일때, m의최댓값은 4이다.⋯⋯∴ f(2)=4¤ n=3일때, m의최댓값은 2이다.⋯⋯∴ f(3)=2‹ n=4일때, m의최댓값은 2이다.⋯⋯∴ f(4)=2› næ5일때, m의최댓값은 1이다.⋯⋯∴ f(n)=1

∴ f(n)=f(2)+f(3)+y+f(10)

=1_4+2_2+6_1=14

10

¡n=2

a5=1 a6=2

y=g (x)

y=f (x)y

O

P

Q

x

y=-x+n+2

P (1, n+1)이고Q (n+1, 1)이다.

S«=□OQ'R'P'-△PQR-2_△OQ'Q=

=100 [ ]

=50 {1+ - - }

∴ = =7550S˚lim

n ⁄¶

¶¡n=1

50S˚

¶¡n=1

1n+2

1n+1

12

1k(k+2)

n

¡k=1

50S˚

n

¡k=1

n(n+2)2

답⃞ 75

(가) ab<0

(나) 세수 a, b, ab를적절히배열하여등비수열을만들수

있다.

(다) 세수 a, b, ab를적절히배열하여등차수열을만들수

있다.

2016.6

5회



함수

⋯⋯f(x)=

에대하여 [ f { }+f {- }]=33이다. 상수 a의값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

k5

k5

10¡n=1

a|x|«1+|x|«

limn ⁄¶

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f(x)=

k=1, 2, 3, 4일때 f { }=f {- }=0

k=5일때 f { }=f {- }=

k=6, 7, 8, 9, 10일때 f { }=f {- }=a

∴ [ f { }+f {- }]=8_0+2_ +10_a=11a

따라서 11a=33이므로 a=3

a2

k5

k5

10

¡k=1

k5

k5

a2

k5

k5

k5

k5

0 (-1<x<1)

;2A; (x=—1)

a (x<-1 또는 x>1)

({9

2 이상의자연수 n에대하여 «'∂20 보다큰자연수중에서최솟값

을 f(n)이라하자. f(n)의값을구하시오. 답⃞ 2310¡

n=2

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

⁄ n=2일때, m의최솟값은 5이다.⋯⋯∴ f(2)=5¤ n=3일때, m의최솟값은 3이다.⋯⋯∴ f(3)=3‹ n=4일때, m의최솟값은 3이다.⋯⋯∴ f(4)=3› næ5일때, m의최솟값은 2이다.⋯⋯∴ f(n)=2

∴ f(n)=f(2)+f(3)+y+f(10)

=1_5+2_3+6_2=23

10

¡n=2

자연수 n에대하여함수 f(x)=x¤ +nx (xæ0)의역함수를

g(x)라하고, 직선 y=-x+n+2와두함수 y=f(x),

y=g(x)의 그래프가 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 세 점 O,

P, Q를지나는원의넓이를S«이라할때,

{æ≠ -1}= 이다. p+q의값을구하시오.

(단, p, q는서로소인자연수이고점O는원점이다.) 답⃞ 5

qp

2S«pn¤

¶¡n=1

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P(1, n+1), Q(n+1, 1)이므로OP”=OQ”="√n¤ +2n+2,

PQ”='2nOM”="√a¤ -b¤ =r+"√r¤ -b¤ 이므로 r="√a¤ -b¤ -"√r¤ -b¤

∴S«=pr¤ = { +n}¤

{æ≠ -1}=1+ - - 이므로

{æ≠ -1}= ⋯⋯∴ p+q=532

2S«pn¤

¶¡n=1

1n+2

1n+1

12

2S˚pk¤

n

¡k=1

2n+2

p2

O

P

M

Q

R

a r

r

b

두실수 a, b에대하여다음조건을만족시키는모든실수 a의값

의합을 k라하자. 24k의값을구하시오. 답⃞ 42

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

a<0<b라하면등비수열을이루기위해서는 a¤ b가등비중항이어야한다.

따라서등비수열이되는배열은 a‹ , a› , afi 또는 afi , a› , a‹ 이다.

세수 ab, a¤ b, ab¤ 은차례로음수, 양수, 음수인데등차중항은음수이어야하므로음

수인 ab=a‹ 또는 ab¤ =a fi이등차중항이된다.

⁄ a‹ 이등차중항이면 a¤ +a-2=0에서 (a+2)(a-1)=0a<0이므로 a=-2, b=4

¤ afi이등차중항이면 2a¤ -a-1=0에서 (2a+1)(a-1)=0

a<0이므로 a=- , b=

b<0<a라고하면위와같은방법에의해

b=-2, a=4인경우와 b=- , a= 인경우가생긴다.

k=-2+{- }+4+ = ∴ 24k=4274

14

12

14

12

14

12

y=g (x)

y=f (x)

y=-x+n+2

y

O

P

Q

x

(가) ab<0

(나) 세수 ab, a¤ b, ab¤ 을적절히배열하여등비수열을만들

수있다.

(다) 세수 ab, a¤ b, ab¤ 을적절히배열하여등차수열을만들

수있다.





‹'8_2¤ 의값은? (2점)

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

01두수열 {an}, {bn}에대하여 ak=9, bk=5일때,

(ak+2bk)의값은? (3점)

① 15 ② 16 ③ 17

④ 18 ⑤ 19

10¡k=1

10¡k=1

10¡k=1

04

두집합 A={2, 4, 6, 8}, B={2, 4}에대하여집합 A-B의모

든원소의합은? (2점)

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

02

의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

4n¤ +5n-12n¤ -n+1lim

n ⁄¶

03

등차수열 {an}에대하여 a¡=1, a™=4일때, a∞의값은? (3점)

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

05

명제

⋯⋯‘x¤ -6x+5+0이면 x-a+0이다.’

가참이되기위한모든상수 a의값의합은? (3점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

06

5지선다형

[나`형]

‹'8_2¤ =‹"ç2‹ _4=2_4=8

A-B={6, 8}이므로집합A-B의모든원소의합은 6+8=14

= =2limn⁄¶

4n¤ +5n-12n¤ -n+1

limn ⁄¶

(ak+2bk)= ak+2 bk=9+2_5=1910

¡k=1

10

¡k=1

10

¡k=1

등차수열 {an}의공차를d라하면

d=a™-a¡=4-1=3∴ a∞=a¡+4d=1+4_3=13

주어진명제가참이되려면이명제의대우가참이면된다.

따라서명제‘x¤ -6x+5+0이면 x-a+0`이다.’의대우는

‘x-a=0이면 x¤ -6x+5=0이다.’이므로 x=a를대입하면

a¤ -6a+5=0, (a-1)(a-5)=0∴ a=1`또는` a=5따라서주어진명제가참이되기위한모든 a의값의합은 6이다.

4+ -

2- +1n¤

1n

1n¤

5n


2015.6

6회

유리함수 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향

으로 5만큼평행이동한그래프가점 (5, a)를지날때, 상수 a의

값은? (3점)

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

3x

08

두일차함수 f(x)=x-10, g(x)=2x-1에대하여

( f-1Ωg )(1)의값은? (3점)

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

07

두상수 a, b에대하여 =b일때, a+b의값은?

(3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

x¤ -x-ax-2lim

x ⁄2

09

수열 {an}이모든자연수 n에대하여부등식

⋯⋯ <an<

을만족시킬때, 의값은? (3점)

① ② ③

④ ⑤512

13

14

16

112

a«2n+3lim

n ⁄¶

2n¤ +n3n-1

2n¤ -n3n-1

10

log(x-1)(-x¤ +4x+5)가정의되도록하는모든정수 x`의 값의

합은? (3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

11

수열 {an}에대하여급수 {an- }이수렴할때,

an의값은? (3점)

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

limn ⁄¶

2_3n+1+2n

3n+2n

¶¡n=1

12

g(1)=2-1=1이므로

( f-1Ωg)(1)=f-1(g(1))=f-1(1)이때, f -1(1)=a라하면역함수의성질에의하여 f(a)=1이다.

따라서 f(a)=a-10=1이므로 a=11이다.

∴ ( f-1Ωg)(1)=11

유리함수 y= 의그래프를 x축의방향으로 4만큼, y축의방향으로 5만큼평행이동

하면 y-5= ⋯⋯∴ y= +5

이그래프가점 (5, a)를지나므로대입하면

a= +5=3+5=83

5-4

3x-4

3x-4

3x

(x¤ -x-a)=4-2-a=0이므로 a=2

a=2를주어진식에대입하면

= =

= (x+1)=3⋯⋯∴ b=3

∴ a+b=5

limx ⁄2

(x-2)(x+1)x-2

limx ⁄2

x¤ -x-2x-2

limx ⁄2

x¤ -x-ax-2

limx ⁄2

limx⁄2

부등식 <an< 의각변을 (2n+3)으로나누면

< <

… …

이때, = =

= = 이므로

=13

a«2n+3

limn⁄¶

13

2n¤ +n6n¤ +7n-3

limn ⁄¶

2n¤ +n(3n-1)(2n+3)

limn⁄¶

13

2n¤ -n6n¤ +7n-3

limn ⁄¶

2n¤ -n(3n-1)(2n+3)

limn ⁄¶

2n¤ +n(3n-1)(2n+3)

limn⁄¶

a«2n+3

limn⁄¶

2n¤ -n(3n-1)(2n+3)

limn⁄¶

2n¤ +n(3n-1)(2n+3)

a«2n+3

2n¤ -n(3n-1)(2n+3)

2n¤ +n3n-1

2n¤ -n3n-1

⁄ 밑의조건에의해

x-1>0, x-1+1⋯⋯∴ x>1이고 x+2¤ 진수의조건에의해

-x¤ +4x+5>0, x¤ -4x-5<0, (x+1)(x-5)<0∴-1<x<5

⁄, ¤에의해 1<x<5, x+2이므로만족하는정수 x는 3, 4이고그합은 3+4=7

bn=an- 이라하면 an=bn+ 에서 bn=0

이고 = =6이므로

an= {bn+ }=0+6=62_3« ±⁄ +2«

3« +2«limn⁄¶

limn⁄¶

limn ⁄¶

2_3« ±⁄ +2«3« +2«lim

n ⁄¶

limn ⁄¶

2_3« ±⁄ +2«3« +2«

2_3« ±⁄ +2«3« +2«

6+{ }n1+{ }n2

3

23


선분AnBn의길이보다크지않은최대의정수를 an이라할때,

an의값은? (4점)

① 61 ② 62 ③ 63

④ 64 ⑤ 65

10¡n=1

14

함수

⋯⋯f(x)=[의그래프가그림과같다.

-x (xæ1)-x (x<1)

15[ 13~14 ] 자연수 n에 대하여 직선 x=n이

무리함수 f(x)='ƒ2x+2+3의 그래프와 만나는 점을 An, x

축과 만나는 점을 Bn이라 하자. (단, O는 원점이다.) 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

x

y

O-1

3

An

Bn

y=f{x}

x=n

삼각형OA¶B¶의넓이는? (3점)

① ② ③

④ ⑤532

512

492

472

452

13

x

y

O

y=f{x}

1

1-1

함수 g(x)=2x-a에 대하여 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집

합에서연속일때, 상수 a의값은? (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

삼각형OAnBn의넓이는 ¥n¥('∂2n+2+3)이므로n=7을대입하면

△OA7B7= ¥ 7¥('ƒ2¥7+2+3)= _7=492

72

12

12

an은 'ƒ2n+2+3보다크지않은최대의정수이므로

⁄ n=1, 2, 3인경우

5…'ƒ2n+2+3<6⋯⋯∴ a¡=a™=a£=5¤ n=4, 5, 6인경우

6<'ƒ2n+2+3<7⋯⋯∴ a¢=a∞=a§=6‹ n=7, 8, 9, 10인경우

7…'ƒ2n+2+3<8⋯⋯∴ a¶=a•=aª=a¡º=7⁄, ¤, ‹에의하여

an=5_3+6_3+7_4=6110

¡n=1

f(x)g(x)가실수전체의집합에서연속이려면 x=1에서연속이면되므로

⁄ f(1)g(1)=2-a

¤ f(x)g(x)=-(2-a)=a-2

f(x)g(x)=2-a

⁄, ¤에의하여 2-a=a-2가성립해야하므로 2a=4∴ a=2따라서 a=2이면함수 f(x)g(x)는모든실수의집합에서연속이다.

limx⁄1+

limx ⁄1-


2015.6

6회

전체집합U가실수전체의집합일때, 실수 x`에대한두조건 p,

q가

⋯⋯p : a(x-1)(x-2)<0, q : x>b

이다. 두조건 p, q의진리집합을각각 P, Q라할때, 옳은것만

을 [보기]에서있는대로고른것은? (단, a, b는실수이다.) (4점)

16

밀도가균일한공기중에서자유낙하하는물체에작용하는중력

과공기저항력이평형을이루게될때의물체의속력을종단속력

이라 한다. 질량이 m이고 단면적이 S인 구형 물체의 종단속력

v(m/초)는다음식을만족시킨다고한다.

⋯⋯v¤ =

(단, D는 끌림 계수, q는 공기 밀도, g는 중력가속도이며, 질량

단위는 kg, 단면적단위는m¤이다.)

밀도가균일한공기중에서자유낙하하는구형의두물체A와B

에작용하는끌림계수(D), 공기밀도(q), 중력가속도(g)가서로

같다. 두물체A와B의질량의비는 1 : 2'2이고단면적의비는

1 : 8일때, 두물체A, B의종단속력을각각 vA, vB라하자.

{ } 3의값은? (4점)

① 2;8(; ② 2;2#; ③ 2;;¡8∞;;

④ 2;4(; ⑤ 2;;™8¡;

vA

vB

2mgDqS

17

그림과같이좌표평면위에중심이 (0, 2)이고반지름의길이가

2인원이있다. 양수 t에대하여점 `P(t, 0)과원의중심을지나

는직선이원과만나는두점중에서점 P에가까운점을Q, 나머

지한점을 R라하자. 의 값은? (단, O는원점

이다.) (4점)

PQ”_PR”OP” ¤ -PQ” ¤

limt⁄0+

18

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷx

y

O

R

P

Q

2

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

양수 r에대하여함수 y=|x|의그래프와원

(x-1)¤ +(y-2)¤ =r¤ 이만나는점의개수를 f(r)라하자. 함수

f(r)가불연속인점의개수는? (4점)

19

x

y

O

2

1

y=|x|

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

ㄷ. a<0, b=3이면

조건 p의 진리집합은 P={x|x<1 또는 x>2}이므로 조건 ~p의 진리집합은

PÇ ={x|1…x…2}조건 q의 진리집합은 Q={x|x>3}이므로 PÇ ¯Q이다. 즉, 명제‘~p이면 q이다.’는거짓이다. (거짓)

mB=2'2mA, SB=8SA y㉠

㉠`을주어진관계식에대입하면

= `= =2'2

즉, { }2=2;2#;이므로

{ } 3=[{ }2 ];2#;=(2;2#;);2#;=2;4(;vÅ

vıvÅvı

vÅvı

164'2

vÅ ¤vı ¤

=

=

=

= = =12+24

"√t¤ +4+24

limt ⁄0+

("√t¤ +4-2)("√t¤ +4+2)4("√t¤ +4-2)

limt ⁄0+

("√t¤ +4-2)("√t¤ +4+2)t¤ -(t¤ +4-4"√t¤ +4+4)

limt ⁄0+

("√t¤ +4-2)("√t¤ +4+2)t¤ -("√t¤ +4-2)¤

limt ⁄0+

PQ”_PR”OP” ¤ -PQ” ¤

limt⁄0+

함수 f(r)의그래프는오른쪽그림과같다.

따라서함수 f(r)는 r= , , '5에서

불연속이므로불연속인점의개수는 3이다.

3'22

'22

rO

3

2

1

4f{r}

Â22 3Â2

2

Â5

4'2mÅgDq(8SÅ)

2mÅgDqSÅ

[보기]

ㄱ. a=0일때, P=Δ이다.

ㄴ. a>0, b=0일때, P,Q이다.

ㄷ. a<0, b=3일때, 명제‘~p이면 q이다.’는참이다.


다음은모든자연수 n에대하여

⋯⋯6{ k}{ k¤ }=5 k› + k¤⋯⋯yy(*)

이성립함을수학적귀납법으로 [증명]하는과정의일부이다.

n¡k=1

n¡k=1

n¡k=1

n¡k=1

20그림과같이반지름의길이가 1인원을부채꼴로 6등분하여각각

의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 6개의 원에

의해 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R¡이

라하자.

그림R¡에합동인 6개의원안에그림R¡을얻은것과같은방법

으로만들어지는 6개의 모양의도형에색칠하여얻은그림을

R™라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째얻은그림Rn에색칠되어있는

부분의넓이를 Sn이라할때, Sn=a'3+bp이다. a+b의값

은? (단, a, b는유리수이다.) (4점)

limn ⁄¶

…

…

21

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m), g(m)이라

할때, 의값은? (4점)

① 101 ② 103 ③ 105

④ 107 ⑤ 109

g(10)f(5)

R¡ R™

① ② ③

④ ⑤116

53

32

43

76

(가)

(가)

(나)

f(m)=m+1, g(m)=5m¤ +10m+6이므로

= = =1016066

5_10¤ +10_10+65+1

g(10)f(5)

수열 {Sn}은첫째항이 이고공비가 인등비수열의합이므로

Sn= =3{ }=2'3- p=a'3+bp

따라서 a=2, b=- 이므로 a+b=43

23

23

6'3-2p9

S¡limn⁄¶

23

6'3-2p9

1-23

←m+1

←

5m¤ +10m+6

[증명]

⑴ n=1일때, (좌변)=6_1_1¤ =6이고,

(우변)=5_1› +1¤ =6이므로 (*)이성립한다.

⑵ n=m일때, (*)이성립한다고가정하면

6{ k}{ k¤ }=5 k› + k¤

이다.

n=m+1일때, (*)이성립함을보이자.

6{ k}{ k¤ }

=6[ k+( )][ k¤ +(m+1)¤ ]

=6{ k}{ k¤ }

=+( )_[6 k¤ +6(m+1) k+6(m+1)¤ ]

=6{ k}{ k¤ }+(m+1)¤ _( )

⋯

=5 k› + k¤

그러므로 n=m+1일때도 (*)이성립한다.

따라서모든자연수 n에대하여 (*)이성립한다.

m+1¡k=1

m+1¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m+1¡k=1

m+1¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1


2015.6

6회

전체집합U의두부분집합A, B에대하여

⋯⋯n(U)=40, n(A;B)=6

일때, n(AÇ 'BÇ )의값을구하시오. (3점) 답⃞ 34

24

log™ 4+(log™ 16)¤ 의값을구하시오. (3점) 답⃞ 18

23

어느 음악 사이트에서는 매달 말에 그 달 À노래의 다운로드 건

수를 발표한다. 2015년 1월부터 5월까지 이 사이트에서 발표한

À노래의다운로드건수는매달일정한비율로감소하였다. 2015

년 발표한 À노래의‘1월 다운로드 건수’는 480건이었고, ‘5월

다운로드 건수’가 30건이었다. 2015년‘3월 다운로드 건수’를

구하시오. (3점) 답⃞ 120

25

함수 f(x)=[ 의 그래프와 직선 x+3y-10=0이

두점 À(-2, 4), B(4, 2)에서만난다. 그림과같이주어진함

수 f(x)의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시

오. (단, O는원점이다.) (4점) 답⃞ 10

'x (xæ0)x¤ (x<0)

26

x

y

O

A

B

y=f{x}

x+3y-10=0

(3x-1)의값을구하시오. (3점) 답⃞ 14limx ⁄5

22

단답형

(3x-1)=3_5-1=14limx ⁄5

log™ 4+(log™ 16)¤ =log™ 2¤ +(log™ 2› )¤ =2+4¤ =18

n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç )=n(U)-n(A;B)=40-6=34

감소비율을 r라하면 5월의다운로드건수가 30이므로

a∞=480r› =30

즉, r› = = ={ } 4에서 r=

따라서 3월의다운로드건수는

a£=480r¤ =480{ } 2=480¥ =12014

12

12

12

116

30480

구하는넓이는삼각형 OBA의넓이와같으므로삼각형OBA의밑변을AB”라하면

AB”="√(4+2)¤ +(4-2)¤ ='∂40=2'∂10이고 높이는 원점과 직선 x+3y-10=0사이의거리이므로

='∂10따라서구하는넓이는 _2'∂10_'∂10=10

12

|0+3_0-10|"√1¤ +3¤


두수열 {an}, {bn}이모든자연수 n에대하여다음조건을만족시

킨다. a10의값을구하시오. (4점) 답⃞ 105

28

실수전체의집합U의두부분집합A, B에대하여

⋯⋯n(A)=5, B=[ |x<A]이다. 두 집합 A, B가다음조건을만족시킬때, 상수 a의값을

구하시오. (4점) 답⃞ 12

x+a2

272 이상 100 이하의자연수 n에대하여집합

⋯⋯{lognk|k는`자연수, 1…k…n}

의원소중유리수의개수를 f(n)이라하자. 예를들어 f(3)=2,

f(4)=3이다. f(n)æ5가되는모든자연수 n의값의합을구하

시오. (4점)답⃞ 193

29

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형을 [도형 1]이라 하자.

[도형 1]의아랫변에가로의길이 4, 세로의길이 2인직사각형을

한직선에대해대칭이되도록이어붙여만든도형을 [도형 2]라

하자. 이때한직선은[도형 2]의가장긴변의중점을지난다.

이와같은방법으로 3 이상의자연수 n에대하여 [도형 (n-1)]

의 아랫변에가로의길이 2n, 세로의길이 2인직사각형을이어

붙여만든도형을[도형 n]이라하자.

30

yy

자연수 n에대하여 [도형 n]을 포함하는원들중가장작은원의

넓이를 an이라하자. 의값을구하시오. (4점) 답⃞ 12580a«pn¤lim

n ⁄¶

(가) 집합A의모든원소의합은 28이다.

(나) 집합A'B의모든원소의합은 49이다.

(다) A;B={10, 13}

(가) bk=n¤ +n

(나) akbk-5 bk=n¤ (n+1)¤

2n¡

k=1

n¡k=1

n¡k=1

[도형n][도형 1] [도형 2] …

집합A'B의모든원소의합은집합A의모든원소의합과집합B의모든원소의

합에서집합A;B의모든원소의합을뺀것과같으므로조건(나), (다)에의하여

49=28+{14+ a}-(10+13), a=30

∴ a=12

52

52

2 k= 2k=n¤ +n이므로 bk=2k⋯y㉠

k‹ =[ ]2= 이므로양변에 2를곱하면

2 k‹ = ⋯y㉡

㉡을조건(나)에대입하면 akbk-5 bk= 에서

(ak-5)bk=2k‹즉, ㉠에의하여 (ak-5)¥2k=2k‹ 에서 ak-5=k¤따라서 ak=k¤ +5이므로 a¡º=10¤ +5=105

n¤ (n+1)¤2

n

¡k=1

n

¡k=1

n¤ (n+1)¤2

n

¡k=1

n¤ (n+1)¤4

n(n+1)2

n

¡k=1

n

¡k=1

n

¡k=1

f(n)æ5가되는모든자연수n의값의합을구하면

2› +2fi +2fl +3› =16+32+64+81=193

an=p(rn)¤ =p[{ }2+1]=p

∴ = ¥

= =125125n› +30n¤ +5

n›limn⁄¶

25n› +6n¤ +116n¤

80n¤

limn⁄¶

80a«pn¤

limn⁄¶

25n› +6n¤ +116n¤

5n¤ -14n

2015.6

6회

정답및해설 66~69p 5906회

REVIEW회601그림과같이반지름의길이가 1인원을부채꼴로 6등분하여각각

의 부채꼴에 내접하는 원을 하나씩 그려 넣는다. 이 6개의 원에

의해 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R¡이

라하자.

그림R¡에합동인 6개의원안에그림R¡을얻은것과같은방법

으로만들어지는 6개의 모양의도형에색칠하여얻은그림을

R™라하자.


부분의넓이를 Sn이라할때, Sn=ap-b'3이다. a+b의값

은? (단, a, b는유리수이다.)

limn ⁄¶

032 이상 1000 이하의자연수 n에대하여집합

`⋯⋯{lognk|k는`자연수, 1…k…n}

의원소중유리수의개수를 f(n)이라하자. 예를들어 f(2)=2,

f(4)=3이다. f(n)æ6이 되는 모든 자연수 n의 개수를 구하시

오. 답⃞ 7

02두수열 {an}, {bn}이모든자연수 n에대하여다음조건을만족시

킨다. a∞+b∞의값을구하시오. 답⃞ 52

04그림과같이가로, 세로의길이가각각 2와 1인직사각형을 [도형

1]이라하자. [도형 1]의아랫변에가로의길이 4, 세로의길이 1인

직사각형을한직선에대해대칭이되도록이어붙여만든도형을

[도형 2]라 하자. 이때한직선은 [도형 2]의 가장긴변의중점을

지난다. 이와 같은 방법으로 3 이상의 자연수 n에 대하여 [도형

(n-1)]의 아랫변에가로의길이 2n, 세로의길이 1인직사각형

을이어붙여만든도형을[도형n]이라하자.

① ② ③ 3

④ ⑤113

103

83

73

(가) bk=n¤

(나) akbk-2 bk=n›n¡

k=1

n¡k=1

n¡k=1

R¡ R™

…

…

y

y

자연수 n에대하여 [도형 n]을 포함하는원들중가장작은원의

넓이를 an이라하자. 의값을구하시오. 답⃞ 1a«pn¤lim

n ⁄¶

[도형n][도형 1] [도형 2] …


수열 {Sn}은첫째항이 p- 이고공비가 인등비수열의합이므로

Sn= = p-2'3

∴ a= , b=2 jK a+b= +2=113

53

53

53

limn ⁄¶

23

2'33

59

(an-2)bn=(2n-1)(2n¤ -2n+1)(næ1)이므로

an-2=2n¤ -2n+1(∵ bn=2n-1)∴ an=2n¤ -2n+3∴ a∞+b∞=(50-10+3)+(10-1)=43+9=52

f(n)æ6이되는모든자연수n의개수는

5+2=7

an=p(rn)¤ =p(x¤ +1)=p[{ } 2+1]=p{ }∴ = ¥ = =1

4n› +14n›

limn⁄¶

4n› +14n¤

1n¤

limn ⁄¶

a«pn¤

limn ⁄¶

4n› +14n¤

2n¤ -12n

p-

1-23

2'33

59



자연수 n(næ2)에 대하여 실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것

의개수를 f«(a)라할때, f™(-3)+f£(-2)+f¢(5)의값은?

(3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

06


제 2 교시


01


두집합A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7}에대하여집합

A-B의모든원소의합은? (2점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

02


공차가 7인등차수열 {an}에대하여 a¡£-a¡¡의값은? (3점)

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

04


두상수 a, b에대하여 =b일때, a+b의값은? (3점)

① 8 ② 9 ③ 10

④ 11 ⑤ 12

4x-ax-1lim

x⁄1

05


의값은? (2점)

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

8n-1"√n¤ +1

limn ⁄¶

03

9;2!;_3-1의값은? (2점)

① ② ③ 1

④ 3 ⑤ 9

13

19

5지선다형



9;2!;_3-1=(3¤ );2!;_ =3_ =113

13

A-B={1, 2, 3}이므로집합A-B의모든원소의합은 1+2+3=6

= = =88-0'ƒ1+0

limn ⁄¶

8n-1

øπn¤ +1limn⁄¶

수열 {an}은등차수열이므로

a¡¡=a¡+10_7=a¡+70, a¡£=a¡+12_7=a¡+84∴ a¡£-a¡¡=(a¡+84)-(a¡+70)=14

(4x-a)=0이므로 4-a=0⋯⋯∴ a=4

b= = = = 4=4

따라서 a=4, b=4이므로 a+b=8이다.

limx⁄1

4(x-1)x-1

limx ⁄1

4x-4x-1

limx ⁄1

4x-ax-1

limx ⁄1

limx ⁄1

-3의제곱근중실수는없으므로 f™(-3)=0-2의세제곱근중실수는 ‹ '∂-2로한개뿐이므로 f£(-2)=15의네제곱근중실수는 › '5, -› '5로 2개이므로 f¢(5)=2따라서 f™(-3)+f£(-2)+f¢(5)=3이다.

8-

Æ…1+ 1n¤

1n


2014.6

7회

[2010년 3월고2 학력평가 11번]

전체집합U에서세조건 p, q, r`의 진리집합을각각 P, Q, R라

하자. p jK~q이고, ~r jK q일때, 다음중옳지않은것은?

(단, P, Q, R는모두공집합이아니다.) (3점)

①P,QÇ ②P,R

③P,(R;QÇ ) ④R,PÇ

⑤QÇ ,R

09[2012년 3월고2 학력평가 7번]

유리함수 y= +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y

축의방향으로 n만큼평행이동하면 y= 의그래프와일

치한다. m+n의값은? (3점)

①-4 ②-2 ③ 2

④ 4 ⑤ 6

-2x+6x-2

2x+3

07


함수 y=f(x)의그래프가다음과같다.

08

[2012년 10월 고3 나형학력평가 9번]

이차방정식 x¤ -4x+2=0의두근을 log a, log b라할때, `

logå b+log∫ a의값은? (3점)

① 0 ② 2 ③ 4

④ 6 ⑤ 8

10

x

y

O

321

1-1

y=f{x}

f(x)+ f(x)의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

limx ⁄1+

limx ⁄-1 [2010년 3월고2 학력평가 10번]

집합X={1, 2, 3, 4}에서집합Y={1, 3, 7, 9}로의두함수 f, g를각각

f(n)=(3« 의일의자릿수)

g(n)=(7« 의일의자릿수)

로정의할때, (f Á g—⁄ )(1)+(g Á f —⁄ )(7)의값은? (3점)

① 4 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 16

11

y= +1의그래프를 x축의방향으로m만큼, y축의방향으로 n만큼평행이동

한그래프의식은 y= +1+n

y= = = -2

따라서-m+3=-2, 1+n=-2이므로m=5, n=-3 ∴m+n=2

2x-2

-2(x-2)+2x-2

-2x+6x-2

2x-m+3

2x+3

f(x)+ f(x)=1+3=4limx⁄1+

limx ⁄-1

④P,R이므로R,PC이참이려면P=Δ이어야한다. 그런데조건에서집합P는공집합이아니므로거짓이다.

이차방정식 x¤ -4x+2=0의두근이 log a, log b이므로

log a+log b=4이고 log a¥log b=2

logå b+log∫ a= + =

logå b+log∫ a=

logå b+log∫ a= =64¤ -2_2

2

(log a+log b)¤ -2log a¥log blog a¥log b

(log b)¤ +(log a)¤log a¥log b

log alog b

log blog a

두함수 f, g의정의에의해서

f(1)=3, f(2)=9, f(3)=7, f(4)=1이고

g(1)=7, g(2)=9, g(3)=3, g(4)=1이다.

이때, g—⁄ (1)=4, f—⁄ (7)=3이므로

(f Á g—⁄ )(1)+(g Á f—⁄ )(7)=f(g—⁄ (1))+g(f—⁄ (7))=f(4)+g(3)=1+3=4


[2010년 3월고2 학력평가 18번]

그림과 같이 무리함수 y='∂ax의 그래프와 직선 y=x가 만나는

한 점의 x좌표가 2이다. 무리함수 y='ƒax+b의 그래프가 직선

y=x에접할때, 상수 a, b의곱 ab의값은? (4점)

①-4 ②-2 ③-1

④- ⑤-14

12

x

yy=x

O 2

y="axy="ax+b

15

단원자이상기체의단열과정에서단열팽창전온도와부피를각

각 T‘, V‘라하고단열팽창후온도와부피를각각 Tƒ, Vƒ라하

자. 단열팽창전과단열팽창후의온도와부피사이에는다음과

같은관계식이성립한다고한다.

T‘V‘c-1=TƒVƒc-1

{단, 기체몰 열용량의 비 c= 이고, 온도의 단위는 K, 부피의

단위는m‹이다.}단열 팽창 전 온도가 480(K)이고 부피가 5(m‹ )인 단원자 이상

기체가있다. 이기체가단열팽창하여기체의온도가 270(K)가

되었을때, 기체의부피(m‹ )는? (3점)

① ② ③

④ ⑤32027

31727

31427

31127

30827

53

12


공비가 3인 등비수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn이

=5를만족시킬때, 첫째항 a¡의값은? (3점)

① 8 ② 10 ③ 12

④ 14 ⑤ 16

S«3«lim

n ⁄¶

13


함수

f(x)=(x› +x¤ )(1-x¤ )« (|x|<1)

0 (|x|æ1)

에대하여 f(x)의값은? (4점)

① ;2!; ② 1 ③ ;2#;

④ 2 ⑤ ;2%;

limx→-1+

¶¡n=0[

14

480_5 ;3@;=270_Vƒ;3@;, 16_5 ;3@;=9_Vƒ;3@;

Vƒ;3@;= _5 ;3@;

∴Vƒ={ };2#;_(5 ;3@;);2#;={ }2_;2#;

_5;3@;_;2#;

={ } 3_5= _5=32027

6427

43

43

169

169

Sn= = (3« -1)

= = {1- }

= (1-0)= =5

∴ a¡=10

a¡2

a¡2

13n

a¡2

limn⁄¶

limn⁄¶

Sn

3nlimn ⁄¶

a¡2

a¡(3« -1)3-1

f(x)= ;N'+)(x› +x¤ )(1-x¤ )« =(x› +x¤ );N'+)(1-x¤ )« (단, |x|<1)

이므로 함수 f(x)는첫째항이x› +x¤이고공비가1-x¤인등비급수이다.

이때, 주어진조건에서공비의범위를생각해보면

x ⁄-1+ jK -1<x<0 jK 0<1-x¤ <1이므로

f(x)= =x¤ +1

∴ f(x)= (x¤ +1)=1+1=2limx ⁄-1+

limx⁄-1+

x› +x¤1-(1-x¤ )

y=x와 y='∂ax의그래프의교점의x좌표가 2이면 y좌표도 2이므로

'∂2a=2 ∴ a=2y='ƒ2x+b의그래프와직선y=x가접하므로'ƒ2x+b=x의양변을제곱한

2x+b=x¤ , 즉x¤ -2x-b=0이중근을가진다.

이이차방정식의판별식을D라고하면 =1+b=0 ∴ b=-1

∴ ab=-2

D4

(3n-1)

3n

a¡2


2014.6

7회


그림과같이두점 A(a, 0), B(0, 3)에대하여삼각형 OAB에

내접하는원C가있다. 원C의반지름의길이를 r라할때,

의값은? (단, O는원점이다.) (4점)

① ② ③

④ ⑤12

13

14

15

16

x

r

y

O A

B

C

ra

lima⁄0+

16


두수열 {an}, {bn}이다음조건을만족시킨다.

17


수열 {an}에대하여Sn= ak라할때,

⋯⋯2Sn=3an-4n+3(næ1)

을만족시킨다. 다음은일반항 an을구하는과정이다.

n¡k=1

18

(가) (ak+bk)= (næ1)

(나) n¤ bn=2limn ⁄¶

1n+1

n¡k=1

n¤ an의값은? (4점)

①-3 ②-2 ③-1

④ 0 ⑤ 1

limn⁄¶

2Sn=3an-4n+3⋯y㉠

에서 n=1일때, 2S¡=3a¡-1이므로 a¡=1이다.

2Sn+1=3an+1-4(n+1)+3⋯y㉡

㉡에서㉠을뺀식으로부터

an+1=3an+

이다. 수열 {an+2}가등비수열이므로

일반항 an을구하면

an= (næ1)

이다.

(가)

(나)

위의 (가)에 알맞은수를 p, (나)에 알맞은식을 f(n)이라할때,

p+f(5)의값은? (4점)

① 225 ② 230 ③ 235

④ 240 ⑤ 245

=

∴ = = =12

33+'9

3a+3+"√a¤ +9

lima⁄0+

ra

lima⁄0+

3a+3+"√a¤ +9

ra

n¤ bn=2이고, n¤ an=n¤ (an+bn)-n¤ bn이므로

n¤ an= {n¤ (an+bn)-n¤ bn}= n¤ (an+bn)- n¤ bn

n¤ an= {- }-2= {- }-2

n¤ an=-1-2=-3

limn ⁄¶

n¤n¤ +n

limn⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

f(n)=3n-2이므로 f(5)=3fi -2=241이고 p=4∴ p+f(5)=4+241=245

1

1+1n

← 4

←

3n-2



세양수 a, b, c에대하여 3a=5, 7b=29, 8c=27일때, a, b, c의

대소관계를바르게나타낸것은? (4점)

① a<c<b ② b<a<c ③ b<c<a

④ c<a<b ⑤ c<b<a

19


-1이아닌실수 a에대하여함수 f(x)가

⋯⋯f(x)=[일 때, 함수 g(x)=f(x)f(x-1)이 실수 전체의 집합에서 연속

이되도록하는 a의값은? (4점)

①- ②-3 ③-

④-2 ⑤-32

52

72

-x-1 (x…0)

2x+a (x>0)

20


반지름의 길이가 2인 원 O¡에 내접하는 정삼각형 A¡B¡C¡이 있

다. 그림과같이직선 A¡C¡과평행하고점 B¡을지나지않는원

O¡의접선위에두점 D¡, E¡을사각형 A¡C¡D¡E¡이직사각형이

되도록잡고, 직사각형A¡C¡D¡E¡의내부와원 O¡의외부의공통

부분에색칠하여얻은그림을R¡이라하자.

그림R¡에정삼각형A¡B¡C¡에내접하는원O™와원O™에내접하

는정삼각형 A™B™C™를그리고, 그림 R¡을얻는것과같은방법

으로직사각형 A™C™D™E™의내부와원 O™의외부의공통부분에

색칠하여얻은그림을R™라하자.


부분의넓이를Sn이라할때, Sn의값은? (4점)limn ⁄¶

21

y

yR™R¡B¡

A¡

O¡

E¡ D¡

C¡

① 4'3- p ② 4'3- p

③ 4'3- p ④ 5'3- p

⑤ 5'3- p53

169

43

53

169

⁄ 3a=5와 7b=29의대소비교

(3a)¤ =52이므로 (3¤ )a=9a=25그런데 9a=25<7b=29<9b이므로 a<b

¤ 7b=29와 8c=27의대소비교

8c=27<7b=29<8b이므로 c<b‹ 3a=5와 8c=27의대소비교

9a=25<8c=27<9c이므로 a<c⁄, ¤, ‹에의해 a<c<b

⁄ g(0)=(-0-1)_(-0)=0

⁄ g(x)= (-x-1)(-x)=0

⁄ g(x)= (2x+a)(-x)=0

⁄ ∴ g(x)= g(x)=g(0)

⁄ 따라서함수 g(x)는 a의값에관계없이 x=0에서연속이다.

¤ g(1)=(2+a)_(-1)=-(a+2)

⁄ g(x)= (2x+a)(-x)=(2+a)_(-1)=-(a+2)

⁄ g(x)= (2x+a)(2x-2+a)=(2+a)_a=a(a+2)

⁄ 함수 g(x)가 x=1에서연속이되려면 g(x)= g(x)=g(1)

⁄ 이어야되므로-(a+2)=a(a+2)가성립해야한다.

⁄ 즉, -a-2=a¤ +2a에서 a¤ +3a+2=0⁄ (a+1)(a+2)=0⋯⋯∴ a=-2(∵ a+-1)

limx ⁄1+

limx ⁄1-

limx⁄1+

limx⁄1+

limx⁄1-

limx⁄1-

limx⁄0+

limx⁄0-

limx⁄0+

limx⁄0+

limx⁄0-

limx⁄0-

수열 {Sn}은첫째항이S¡=3'3 - p이고, 공비가 인등비수열의첫째항부터

제n항까지의합이므로

Sn= = {3'3- p}=4'3 - p169

43

43

limn ⁄¶

14

43

3'3- p

1-14

43


2014.6

7회


(2k+a)=300일때, 상수 a의값을구하시오. (3점) 답⃞ 1910¡

k=1

23

[2010년 3월고2 학력평가 24번]

자연수 n에대하여세조건 p, q, r를각각

⋯⋯p : næk

⋯⋯q : 2n-4æ3

⋯⋯r : n¤ -19næ20

이라하자. p는 q이기위한충분조건이고, p`는 r이기위한필요

조건일때, 자연수 k의개수를구하시오. (3점) 답⃞ 17

24


두실수 a, b가 3a-1=2, 62b=5를만족시킬때, 5 의값을구하

시오. (3점) 답⃞ 9

1ab

25


수열 {an}에대하여급수 이수렴할때, 의값

을구하시오. (4점) 답⃞ 9

a«+9nnlim

n ⁄¶

a«n

¶¡n=1

26


의값을구하시오. (3점) 답⃞ 11x¤ +7x-1lim

x ⁄2

22

[2011년 3월고2 학력평가 26번]

집합A={-2, -1, 0, 1, 2}에대하여다음두조건을모두만족

하는함수 f의개수를구하시오. (4점) 답⃞ 25

27

(가) 함수 f는A에서A로의함수이다.

(나) A의모든원소 x에대하여 f(-x)=-f(x)이다.

단답형

= =112¤ +72-1

x¤ +7x-1

limx ⁄2

(2k+a)=2 k+ a=2 k+a_10

(2k+a)=2_ +10a=110+10a=300

10a=190 ∴ a=19

10_112

10

¡k=1

10

¡k=1

10

¡k=1

10

¡k=1

P={n|næk, n은자연수}는{20, 21, 22, 23, y},P,{4, 5, 6, y}을만족시켜야하므로 k=4, 5, 6, y, 20따라서자연수 k의개수는 20-4+1=17

3a-1=2에서 =2⋯⋯∴ 3a=6

3a=6을 62b=5에대입하면 (3a)2b=532ab=(32)ab=9ab=5

∴ 5;a¡b;=(9ab);a¡b=9

3a

3

이수렴하므로 =0

∴ = { +9} = + 9=0+9=9limn⁄¶

an

nlimn ⁄¶

an

nlimn ⁄¶

an+9nn

limn ⁄¶

an

nlimn⁄¶

an

n

¶¡n=1

f(-2)=-f(2), f(-1)=-f(1), f(0)=0이때, f(-2)의값이정해지면 f(2)의값도정해지고, f(-1)의값이정해지면 f(1)의값도정해지므로 f(-2)와 f(-1)의값만생각하자. 예를들어,

f(-2)=-2라면 f(2)=2가되고, f(-1)=-1이면 f(1)=1이다.

따라서 f(-2), f(-1)의값은각각-2, -1, 0, 1, 2의 5가지가될수있으므로함

수 f의개수는 5_5=25


[2012년 11월 고1 학력평가 28번]

[그림 1]과같이세모서리의길이가각각 x, y, 3인직육면체모양

의나무토막이있다.

[그림 1]의나무토막의한모퉁이에서모서리의길이가 1인정육면

체모양의나무토막을잘라내었더니 [그림 2]와 같이나무토막 A

와나무토막B로나누어졌다.

A의부피가47일때, A의겉넓이의최솟값을구하시오. 답⃞ 80

(단, x>1, y>1) (4점)

11

1A

B

3

x

y

28 [2015년 3월고3 A형학력평가 28번]

연립부등식

⋯⋯[ (næ1)

의해 (x, y)가나타내는영역의넓이를Sn이라할때,

"√SnSn+2의값을구하시오. (4점) 답⃞ 15¶¡

n=1

20p-2

x¤ +y¤ …{;n!;}2|x|+|y|æ;n!;

29

[2015년 4월고3 B형학력평가 27번]

양수 x에대하여

⋯⋯log x=f(x)+g(x)(f(x)는정수, 0…g(x)<1)

이라하자. { f(x)}¤ +3g(x)의값이 3이되도록하는모든 x의값

의곱은 10 이다. 10(p+q)의값을구하시오. (단, p, q는서로

소인자연수이다.) (4점) 답⃞ 70

qp

30

[그림 1]

[그림 2]

(A의부피)=3xy-1=47이므로

3xy=48 ∴ xy=16 y`㉠(A의겉넓이)=2(xy+3x+3y)=2xy+6(x+y)

=32+6(x+y)(∵㉠)이때, x>1, y>1이므로산술평균과기하평균의관계에의하여

32+6(x+y)æ32+12'∂xy=80(∵㉠)(단, 등호는 x=y=4일때성립)

따라서A의겉넓이의최솟값은 80이다.

Sn=p{ }2- _ _ = , Sn+2=

∴ 'ƒSnSn+2= Æ … ¥

=20 =20 { - }

=10 { - }

=10 {1+ - - }=10{1+ }=15

12

1n+2

1n+1

12

limn⁄¶

1k+2

1k

n

¡k=1

limn⁄¶

1n+2

1n

12

¶¡n=1

1n(n+2)

¶¡n=1

p-2(n+2)¤

p-2n¤

¶¡n=1

20p-2

¶¡n=1

20p-2

p-2(n+2)¤

p-2n¤

2n

2n

12

1n

⁄ f(x)=1일때,

g(x)= = 이므로 logx=1+ =

∴ x=10;3%;

¤ f(x)=-1일때,

g(x)= = 이므로 logx=-1+ =-

∴ x=10-;3!;

⁄, ¤에의해모든x의값의곱은

10;3%;_10-;3!;=10;3$;이므로 p=3, q=4

∴ 10(p+q)=10(3+4)=70

13

23

23

3-(-1)¤3

53

23

23

3-1¤3

2014.6

7회


REVIEW회701실수 a에대하여함수 f(x)가

⋯⋯f(x)=[일 때, 함수 g(x)=f(x)f(x-2)가 실수 전체의 집합에서 연속

이되도록하는 a의값은?

①-4 ②-2 ③ 0

④ 2 ⑤ 4

x¤ (x…0)

2x+a (x>0)

03연립부등식

⋯⋯[ (næ1)

의해 (x, y)가나타내는영역의넓이를Sn이라할때,

"√SnSn+2의값을구하시오. 답⃞ 30¶¡

n=1

804-p

x¤ +y¤ æ;2!; {;n!;}2|x|+|y|…;n!;

02반지름의 길이가 2인 원 O¡에 내접하는 정삼각형 A¡B¡C¡이 있

다. 그림과같이직선 A¡C¡과평행하고점 B¡을지나지않는원

O¡의접선위에두점 D¡, E¡을사각형 A¡C¡D¡E¡이직사각형이

되도록잡고, 직사각형A¡C¡D¡E¡의내부와원 O¡의외부의공통

부분에색칠하여얻은그림을R¡이라하자.

그림R¡에정삼각형A¡B¡C¡에내접하는원O™와원O™에내접하

는정삼각형 A™B™C™를그리고, 그림 R¡을얻는것과같은방법

으로직사각형 A™C™D™E™의내부와원 O™의외부의공통부분에

색칠하여얻은그림을R™라하자.


부분의둘레의길이를 ln이라할때, ln의값은? limn⁄¶

04양수 x에대하여 log x의정수부분을 f(x)라하자.

등식 f(2k)=2f(k)-2를 만족시키는 1000 이하의 자연수 k의

개수를구하시오. 답⃞ 400

y

yR™R¡B¡

A¡

O¡

E¡ D¡

C¡

① 4{'3+1+ p} ② 5{'3+1+ p}

③ 6{'3+1+ p} ④ 7{'3+1+ p}

⑤ 8{'3+1+ p}23

23

23

23

23


함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 x=0, x=2에서 연속이 되어야

한다.

⁄ x=0인경우 a=0

¤ x=2인경우 a=0 또는 a=-4따라서⁄, ¤에의해 a=0이다.

수열 {ln}은 첫째항이 l¡=2'3+2+ p이고, 공비가 인 등비수열의 첫째항부터


ln= =2{2'3+2+ p}=4{'3+1+ p}23

43

limn⁄¶

12

43

Sn= _ _ -p{ }2= , Sn+2=

∴ 'ƒSnSn+2= Æ … ¥

=40 =40 { - }

=20 { - }

=20 {1+ - - }=20{1+ }=30

12

1n+2

1n+1

12

limn⁄¶

1k+2

1k

n

¡k=1

limn⁄¶

1n+2

1n

12

¶¡n=1

1n(n+2)

¶¡n=1

4-p2(n+2)¤

4-p2n¤

¶¡n=1

804-p

¶¡n=1

804-p

4-p2(n+2)¤

4-p2n¤

'22n

2n

2n

12

⁄ f(2k)=0일때, 이경우의자연수 k의값은없다.

¤ f(2k)=1일때, 이경우의자연수 k의값은없다.

‹ f(2k)=2일때, 100…k<500이므로자연수 k의개수는

500-100=400이다.

› f(2k)=3일때, 이경우의자연수 k의값은없다.

⁄ ~ ›에의하여자연수 k의개수는 400이다.

2'3+2+ p

1-12

43



전체집합U={1, 2, 3, 4, 5}의두부분집합A, B가다음조건을

만족한다.

06


제 2 교시


2;3@;_‹'∂54의값은? (2점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

01


두 함수 f(x)= , g(x)=4x+2에 대하여 (g Á f)(1)의

값은? (2점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

x+1x-3

02


log™5+log™ 의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

45

04

실수 a, b에대하여 3a=4, 9a+b=48일때, 3a+2b의값은? (3점)

① 9 ② 10 ③ 11

④ 12 ⑤ 13

05


[6+{ }n ]의값은? (2점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

59lim

n ⁄¶

03 (가) A;B={1, 2}(나) A'B=U

이때, 두집합A, B의순서쌍 (A, B)의개수는? (3점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

5지선다형



2;3@;_‹ '∂54=2;3@;_54;3!;=2;3@;_(2_3‹ );3!;=2;3@;_2;3!;_3;3#;

=2;3@;+;3!;_3=2_3=6

f(1)= =-1이므로

(gΩf)(1)=g( f(1))=g(-1)=4_(-1)+2=-2

1+11-3

[6+{ }n]= 6+ { }n=6+0=659

limn ⁄¶

limn ⁄¶

59

limn⁄¶

log™5+log™ =log™{5_ }=log™4=log™22=2log™2=245

45

9a+b=(32)a+b=32(a+b)=483a=4 y ㉠, 32(a+b)=48 y ㉡이라하면㉡÷㉠에서

32(a+b)÷3a=48÷4, 32a+2b-a=12∴ 3a+2b=12

n(A-B)=0일때, 순서쌍 (A, B)의개수는 1n(A-B)=1일때, 순서쌍 (A, B)의개수는 3n(A-B)=2일때, 순서쌍 (A, B)의개수는 3n(A-B)=3일때, 순서쌍 (A, B)의개수는 1따라서조건을만족하는순서쌍 (A, B)의개수는

1+3+3+1=8


2013.6

8회



an의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

limn ⁄¶

3n+1n

¶¡n=1

09[2015년 7월고3 A형학력평가 7번]

함수 y=f(x)의그래프가그림과같다.

07


두수열 {an}, {bn}에대하여 ak=4, bk=24일때,

(5ak+bk)의값은? (3점)

① 36 ② 40 ③ 44

④ 48 ⑤ 52

11¡k=1

11¡k=1

11¡k=1

08


함수 f(x)=-'ƒax+b+c의 그래프가 그림과 같을 때, f(-5)

의값은? (단, a, b, c는상수이다.) (3점)

①-7 ②-6 ③-5

④-4 ⑤-3

x

y

f(x)=-"ax+b+c

O

2

4

-2

10


①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

limx⁄2+

limx ⁄-1-

x

y

O 2

2

1

-1

-1

y=f{x}

f(x)+ f(x)=0+1=1limx⁄2+

limx⁄-1-

(5ak+bk)=5 ak+ bk=5_4+24=4411

¡k=1

11

¡k=1

11

¡k=1

{an- }이수렴하므로 {an- }=0

an- =bn이라하면 {an- }= bn=0

an=bn+ 이므로

an= {bn+ }= bn+ =0+3=33n+1

nlimn⁄¶

limn⁄¶

3n+1n

limn ⁄¶

limn ⁄¶

3n+1n

limn⁄¶

3n+1n

limn ⁄¶

3n+1n

3n+1n

limn⁄¶

3n+1n

¶¡n=1

주어진그래프에서함수 f(x)는 y=-'∂ax (a<0)의그래프를 x축의방향으로 4만큼, y축의방향으로 2만큼평행이동한것이므로

f(x)=-'∂a(x-4)+2=-'∂ax-4a+2`y`㉠그래프가 y축과점 (0, -2)에서만나므로 f(0)=-2, 즉㉠에서

-'∂-4a+2=-2, '∂-4a=4, -4a=16∴ a=-4따라서 f(x)=-'∂-4x+16+2이므로

f(-5)=-'∂-4_(∂-5)+16+2=-6+2=-4


[2012년 11월 고1 학력평가 8번]

집합A={1, 2, 3, 4}에대하여함수 f : A 1⁄A를

f(x)=[로정의하자.

f ⁄ (x)=f(x), f n+1(x)=f(f « (x))(n=1, 2, 3, y)이라할때,

f 2012(2)+f 2013(3)의값은? (3점)

① 3 ② 4 ③ 5

④ 6 ⑤ 7

x+1 (x…3)1 (x=4)

11


흙의투수계수는물이흙에침투하는정도를나타내는지표이다.

동일한흙의투수계수(k)는같은실험조건에서일정하고, 투수

실험장치에서처음물의높이를 h¡(cm), 실험을시작한지 t분

후의물의높이를 h™(cm)라할때, 다음식이성립한다고한다.

⋯⋯k= (logh¡-logh™) (단, C는양의상수이다.)

어떤흙의투수실험장치에서처음물의높이가 64cm일때, 실

험을시작한지 40분후의물의높이가 16cm이었고, 실험을시

작한지 x분후의물의높이가 2cm이었다. x의값은? (3점)

① 80 ② 100 ③ 120

④ 140 ⑤ 160

Ct

12


원C¡이 x축과만나는점중에서 x좌표가 0보다작은점을Q, 원

C™가 x축과만나는점중에서 x좌표가 1보다큰점을R라하자.

OP”, OR”, QR”가이순서대로등비수열을이룰때, 원 C™의반지

름의길이는? (단, O는원점이다.) (3점)

① ② ③

④ ⑤3-'3

2-1+'5

2

-1+'32

2-'32

-2+'52

13


점P의 x좌표를 f(r)라할때, 의값은? (4점)

① ;8!; ② ;4!; ③ ;2!; ④ 2 ⑤ 4

f(r)4-r›

limr ⁄⁄'2-

14

[ 13~14 ] 그림과 같이 좌표평면 위의 두 원

⋯⋯C¡ : x¤ +y¤ =1

⋯⋯C™ : (x-1)¤ +y¤ =r¤ (0<r<'2 )

이 제`1사분면에서 만나는 점을 P라 하자. 13번과 14번의 두

물음에 답하시오.

x

y

O 1

P

C¡C™

RQ

f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=1이때, x=1에대하여

f ¤ (1)=f(f(1))=f(2)=3f ‹ (1)=f(f ¤ (1))=f(3)=4f › (1)=f(f ‹ (1))=f(4)=1즉, f › (x)=x이므로

f 2012(2)=f 4_503(2)=2f 2013(3)=f 4_503+1(3)=f(3)=4 ∴ f 2012(2)+f 2013(3)=2+4=6

실험을시작한지 x분후의물의높이가 2cm이므로

h¡=64, t=x, h™=2, k= log2를 k= ( logh¡-logh™)에대입하면

log 2= (log64-log2), log2= log

log2= log2fi , =

∴ x=5_20=100

5x

120

1x

120

642

1x

120

Cx

C20

Ct

C20

두원C¡, C™의반지름의길이가각각 1, r이므로

OP”=1, OR”=1+r, QR”=2+r이때, OP”, OR”, QR”의길이, 즉 1, 1+r, 2+r가이순서대로등비수열을이루므로

등비중항의성질에의하여

(1+r)¤ =1_(2+r)r¤ +r-1=0

∴ r= (∵ 0<r<'2 )-1+'52

=

= = = 18

12(2+2)

12(2+r¤ )

limr 4∞ '2-

2-r¤2(2+r¤ )(2-r¤ )

limr 4∞ '2-

f(r)4-r›

limr 4∞ '2-


2013.6

8회

[2012년 11월 고1 학력평가 14번]

전체집합U의공집합이아닌세부분집합P, Q, R가각각세조

건 p, q, r의진리집합이고, 세 명제 p ⁄ q, ~p ⁄ q, ~r ⁄ p

가모두참일때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는대로고른것은?

(4점)

15

[2012년 3월고2 학력평가 16번]

그림과같이점 (1, 0)을지나는함수 y=f(x)의그래프와 y=x의

그래프가두점(-1, -1), (4, 4)에서만나고그외의점에서만나

지않는다. { f(x)}¤ =f(x)f —⁄ (x)를만족시키는모든실수 x의값

의합은? (단, f —⁄는 f의역함수이다.) (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

x

y y=f(x)y=x

(4, 4)

(-1, -1)O

16



17

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

x

y

y=f(x)

O

3

2

1

1

일차함수 g(x)에 대하여 g(0)= f(x)이고, f (x)g(x)가

실수전체의집합에서연속일때, g(-1)의값은? (4점)

① 0 ② 2 ③ 4

④ 6 ⑤ 8

limx ⁄⁄1-

ㄴ. 【반례】P={0, 1}, R={1, 2}, U=Q={0, 1, 2}이면

RC={0},P={0, 1} ,Q={0, 1, 2}를만족하지만

R-PC=R;P={1}+Δ (거짓)

f(x)=0에서 x=1f(x)=f —⁄ (x)를만족하는 x는 f(x)=x를만족하는 x의값과같으므로

-1 또는 4이다.

따라서모든실수 x의값의합은

1+(-1)+4=4

g(x)는일차함수이므로 a+0인상수 a에대하여 g(x)=ax+b라하자.

이때, g(0)= f(x)=2이므로 g(0)=b=2

∴ g(x)=ax+2함수 g(x)는 일차함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속이고 함수 f(x)는 x=1에서만 불연속이므로 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서

연속이어야한다.

f(x)g(x)=2_(a+2)

f(x)g(x)=0_(a+2)=0

f(1)g(1)=1_(a+2)=a+2에서함수 f(x)g(x)가 x=1에서연속이되기위해서는 x=1에서의극한값과함숫

값이같아야하므로

a+2=0⋯⋯∴ a=-2 ∴ g(x)=-2x+2∴ g(-1)=-2_(-1)+2=4

limx→ 1+

limx→ 1-

limx→ 1-

[보기]

ㄱ. PÇ ,Q

ㄴ. R-PÇ =Δㄷ. RÇ 'PÇ ,Q



양수 x에대하여 logx의정수부분을 f(x)라할때,

f(ab)=f(a)f(b)+2를만족시키는 20 이하의두자연수 a, b의

순서쌍 (a, b)에대하여 a+b의최솟값은? (4점)

① 19 ② 20 ③ 21

④ 22 ⑤ 23

19


그림과같이한변의길이가 8인정삼각형ABC가있다. 세선분

AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하고 두 정삼각형

BED, ECF를그린후마름모 ADEF에중심이 O인원을내접

하도록그린다. 원과두선분 DE, EF의접점을각각 P, Q라할

때, 사각형OPEQ를그리고색칠하여얻은그림을R¡이라하자.

그림 R¡에서새로그려진두개의정삼각형의내부에그림 R¡을

얻은것과같은방법으로두개의사각형을그리고색칠하여얻은

그림을R™라하자. 그림R™에서새로그려진네개의정삼각형의

내부에그림R¡을얻은것과같은방법으로네개의사각형을그

리고색칠하여얻은그림을R£이라하자.




모든항이양수인수열 {an}은 a¡= 이고

⋯⋯(n+1)an=an+1(3n-2an)(næ1)

을만족시킨다. 다음은일반항 an을구하는과정이다.

14

18

주어진식의양변을 anan+1로나누면

=

이다. bn= 이라하면

bn+1=3bn+

이고, bn+1-1=3(bn-1)이다.

b¡=4이므로 bn-1=

bn= +1

이다. 그러므로

an= (næ1)

이다.

n

nan

3n-2an

an

n+1an+1

(가)

(나)

(나)

(나) +1

위의 (가)에 알맞은값을 p, (나)에 알맞은식을 f(n)이라할때,

p+f(3)의값은? (4점)

① 24 ② 25 ③ 26

④ 27 ⑤ 28

R£

y

yR™R¡

A

B C

D F

P QO

E

① 6'3 ② ③ 7'3

④ ⑤ 8'315'32

13'32

p=-2이고, f(n)=3n에서 f(3)=33=27이므로

p+f(3)=-2+27=25

⁄ 1…a…9, 1…b…9인경우

자연수 a, b는존재하지않는다.

¤ 1…a…9, 10…b…20인경우

두자연수 a, b는 100…ab…180을만족해야만한다.

따라서 a+b의최솟값은 8+13=9+12=21‹ 10…a…20, 1…b…9인경우

¤와마찬가지로 a+b의최솟값은 21이다.

› 10…a…20, 10…b…20인경우


따라서 ⁄~›에의해구하는두자연수 a, b의순서쌍 (a, b)에대하여

a+b의최솟값은 21이다.

수열 {Sn}은 첫째항이 S¡=3'3이고 공비가 _2= 인 등비수열의 첫째항부터


Sn= =6'33'31-;2!;

limn⁄¶

12

14

←-2

← 3n


2013.6

8회


a, 10, 17, b는 이 순서대로 등차수열을 이루고 a, x, y, b는 이

순서대로등비수열을이루고있다. xy의값을구하시오. (3점)

23


함수 f(x)= 가 x=2에서연속일때,

두상수 a, b에대하여 2a-b의값을구하시오. (3점) 답⃞ 32

a'∂x+2+b111111111111 (x+2)x-22 (x=2)

({9

24


다항함수 f(x)가다음조건을만족시킬때, f(3)의값을구하시오.

답⃞ 14 (3점)

25


실수 t에대하여열린구간 (t-1, t+1)에서함수

⋯⋯f(x)=[의 불연속인 점의 개수를 g(t)라 하자. 옳은 것만을 [보기]에서

있는대로고른것은? (4점)

1 (x+0)2 (x=0)

21



"√n¤ +3n+2-nlimn ⁄¶

22

x

y

O

2

21

1

-1-2

y=f{x}

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) =0

(나) =1

(다) 방정식 f(x)=2x의한근이 2이다.

f(x)x-1

limx⁄1

f(x)x‹

limx ⁄¶

단답형

답⃞ 72

ㄷ. = =1, = =1, = 이므로

+

즉, 함수 는 x=0에서불연속이다. (거짓)g(x)f(x)

g(0)f(0)

g(x)f(x)

limx⁄0

12

g(0)f(0)

11

g(x)f(x)

limx⁄0+

11

g(x)f(x)

limx⁄0-

=

=

=

= =23(1+1)

3

limn⁄¶

3(øπn¤ +3n+2+n)3n+2

limn⁄¶

3(øπn¤ +3n+2+n)

(øπn¤ +3n+2-n)(øπn¤ +3n+2+n)limn⁄¶

3

øπn¤ +3n+2-nlimn ⁄¶

함수 f(x)가 x=2에서연속이므로

f(2)=limx⁄2

f(x) jK 2=limx⁄2

…㉠

limx ⁄2

(a'ƒx+2+b)=0에서 2a+b=0 jK b=-2a …㉡

㉡을㉠에대입하면

2=limx ⁄2

=limx⁄2

=limx ⁄2

2=limx ⁄2

=;4A;

∴ a=8, b=-16(∵㉡)∴ 2a-b=2¥8-(-16)=32

a'ƒx+2+2

a(x-2)(x-2)('ƒx+2+2)

a('ƒx+2-2)x-2

a'ƒx+2-2ax-2

a'ƒx+2+bx-2

a, 10, 17, b가이순서대로등차수열을이루므로공차는 17-10=7이다.

∴ a=10-7=3, b=17+7=24

a, x, y, b는이순서대로등비수열을이루므로 = , 즉 xy=ab이다.

따라서 a=3, b=24이므로 xy=ab=3_24=72

by

xa

함수 f(x)는 (x-1)을인수로가지는이차이하의다항함수이므로

f(x)=(ax+b)(x-1)이라하자.

조건 (나)에함수 f(x)를대입하면

= (ax+b)=1 jK a+b=1 y㉠

또한, 조건 (다)에의해방정식 (ax+b)(x-1)=2x의한근이 x=2이므로대입하

면 2a+b=4 y㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=3, b=-2∴ f(x)=(3x-2)(x-1) jK f(3)=(3¥3-2)(3-1)=14

limx ⁄1

(ax+b)(x-1)x-1

limx ⁄1

3{æ–1+ + – +1}3+

2n

2n¤

3n

[보기]

ㄱ. g(0)=1

ㄴ. g(x)+ g(x)=2

ㄷ. 함수 는 x=0에서연속이다.g(x)f(x)

limx ⁄-1+

limx⁄1-



함수 f(x)는다음조건을만족시킨다.

27

[2008년 3월고2 학력평가 30번]

어느고등학교 2학년 1반학생 35명을대상으로세종류의책A,

B, C를 읽었는지를 조사하였더니 A를 읽은 학생이 14명, B를

읽은학생이 16명, C를읽은학생이 15명이었다. 또, A와 B 중

적어도하나를읽은학생이 22명이고A와 C를모두읽은학생은

한명도없었으며, A, B, C 중에서어느책도읽지않은학생이 3

명이었다. 이때, A, B, C 중두종류의책만읽은학생의수를구

하시오. (4점) 답⃞ 13

28


곡선 y=x¤ 위에 두 점 P(a,à¤ ), Q(a+1,à¤ +2a+1)이 있다.

직선PQ와직선 y=x의교점의 x좌표를 f(a)라할때,

100 f(a)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 50lima ⁄⁄0

29


수열 {an}은다음조건을만족시킨다.

30

[2012년 9월고1 학력평가 26번]

x>3일때, x¤ + 의최솟값을구하시오. (4점) 답⃞ 2349

x¤ -9

26

(가) 0…x…1일때, f(x)= `

(나) f(x)= f(-x)

(다) f(x)= f(x+2)

2xx+1

함수 g(x)= |x|에 대하여 방정식 f(x)-g(x)=0의 실근의

개수를구하시오. (4점) 답⃞ 11

16

x

y y=x¤

y=x

O

P Q

(가) a¡=1, a™=2

(나) an은 an-2와 an-1의합을 4로나눈나머지 (næ3)

ak=166일때, m의값을구하시오. (4점) 답⃞ 123m¡

k=1

x¤ + =(x¤ -9)+ +9

x>3에서 x¤ -9>0이므로산술평균과기하평균의관계를이용하면

(x¤ -9)+ +9æ2æ≠(x¤ -9)¥≠ +9

=2¥7+9=23 (단, 등호는x=4일때성립)

따라서주어진식의최솟값은 23이다.

49x¤ -9

49x¤ -9

49x¤ -9

49x¤ -9

방정식 f(x)-g(x)=0, 즉 f(x)=g(x)의 실근의 개수는 두 함수 f(x)와 g(x)의그래프의교점의개수와같다.

따라서구하는실근의개수는교점의개수로 11이다.

-2-4-6 2 4 6 8

1

O

y=f(x) y=g(x)

x

y

A, B, C를읽은학생들의집합을각각A, B, C라하면

n(A)=14, n(B)=16, n(C)=15이고

n(A'B)=22, n(A;C)=0, n((A'B'C)Ç )=3이다.

∴n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)-3n(A;B;C) =8+5+0-0=13

U

5B C

6

3

3 100

8 0

A

ak=1+2+3+1+0+1=8이고, an+6=an이므로

ak= ak=y=8

∴ ak+ ak+y+ ak= ak=8n

그런데n=20일때, ak=160이고, a¡™¡=a¡=1, a¡™™=a™=2,

a¡™£=a£=3이므로

ak=166=160+1+2+3= ak+a¡™¡+a¡™™+a¡™£

∴m=123

120

¡k=1

m

¡k=1

120

¡k=1

6n

¡k=1

6n

¡k=6n-5

6_2

¡k=7

6

¡k=1

12

¡k=7

6

¡k=1

6

¡k=1

직선PQ의방정식은

y= (x-a)+a¤ =(2a+1)x-(a¤ +a)

이때, 두직선PQ와 y=x의교점의 x좌표는

x=(2a+1)x-(a¤ +a)에서 2ax=a¤ +a

∴ x= = (∵ a+0) jK f(a)=

∴ 100 f(a)=100 =100_ =5012

a+12

lima→ 0

lima→ 0

a+12

a+12

a¤ +a2a

(a¤ +2a+1)-a¤(a+1)-a

2013.6

8회


REVIEW회801양수 x에대하여 logx의정수부분을 f(x)라할때,

f(2ab)=f(a)f(b)+2를 만족시키는 20 이하의 두 자연수 a, b

의순서쌍 (a, b)의개수는?

① 136 ② 138 ③ 140

④ 142 ⑤ 144

03곡선 y=x¤ 위에 두 점 P(a,à¤ ), Q(a+1,à¤ +2a+1)이 있다.

직선PQ와직선 y=2x의교점의 x좌표를 f(a)라할때,

-50 의값을구하시오. 답⃞ 50f(a)a

lima ⁄⁄0

02실수 t에대하여열린구간 (t-1, t+1)에서함수

⋯⋯f(x)=[의 불연속인 점의 개수를 g(t)라 하자. 옳은 것만을 [보기]에서

있는대로고른것은?

1 (x+0 또는 x+1)2 (x=0)

04수열 {an}은다음조건을만족시킨다.

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

x

y y=x2

y=2x

O

P Q

(가) a¡=1, a™=2

(나) an은 an-2와 an-1의합을 3으로나눈나머지 (næ3)

ak=185일때, m의값을구하시오. 답⃞ 164m¡

k=1


⁄ 1…a…9, 1…b…9인경우

50…ab…81을만족해야하므로 10쌍이다.

¤ 1…a…9, 10…b…20인경우

50…ab…180을만족해야하므로 67쌍이다.

‹ 10…a…20, 1…b…9인경우

¤와마찬가지로생각하면 67쌍이다.

› 10…a…20, 10…b…20인경우


따라서⁄~›에서구하는두자연수 a, b의순서쌍(a, b)의개수는

10+67+67=144

ㄴ. g(x)+ g(x)=2+1=3 (거짓)

ㄷ. = =1, = =2이므로

의값이존재하지않는다.

즉, 함수 는 x=0에서불연속이다. (거짓)g(x)f(x)

g(x)f(x)

limx⁄0

21

g(x)f(x)lim

x⁄0+

11

g(x)f(x)

limx ⁄0-

limx ⁄-1+

limx ⁄1-

직선 PQ의기울기는 =2a+1이고점 P(a, a¤ )을지나는직선 PQ

의방정식은 y=(2a+1)(x-a)+a¤ =(2a+1)x-(a¤ +a)직선PQ와직선 y=2x의교점의 x좌표는

2x=(2a+1)x-(a¤ +a), (2a-1)x=a¤ +a

∴x= {a+ } jK f(a)= {a+ }

따라서 = = =-1이므로

-50 =-50_(-1)=50f(a)a

lima ⁄0

a+12a-1

lima⁄0

a¤ +aa(2a-1)

lima⁄0

f(a)a

lima⁄0

12

a¤ +a2a-1

12

a¤ +a2a-1

a¤ +2a+1-a¤a+1-a

ak=1+2+0+2+2+1+0+1=9이고, an+8=an이므로

ak= ak=y=9

∴ ak+ ak+y+ ak= ak=9n

그런데n=20일때, ak=180이고, a¡§¡=a¡=1, a¡§™=a™=2, a¡§£=a£=0,

a¡§¢=a¢=2이므로

ak=185=180+1+2+0+2= ak+a¡§¡+a¡§™+a¡§£+a¡§¢

∴m=164

160

¡k=1

m

¡k=1

160

¡k=1

8n

¡k=1

8n

¡k=8n-7

8_2

¡k=9

8

¡k=1

16

¡k=9

8

¡k=1

8

¡k=1


[보기]

ㄱ. g(1)=1

ㄴ. g(x)+ g(x)=2

ㄷ. 함수 는 x=0에서연속이다.g(x)f(x)

limx ⁄-1+

limx⁄1-

글쓴시간보다생각한시간이더많고말로떠든시간보다오래오래책을읽은시간이몇

십배더많던날들은절절한시를만나곤했습니다. 그러나사유한시간보다글쓴시간이

더많고, 공부한시간보다강의한시간이더많아지면서는제대로된시를쓰지못하였습니

다. 한말또하고한이야기또하면서밥벌어먹었습니다.

충분히사유할시간없이쫓기던삶에서잠시걸음을멈추고나를스쳐지나갔던시간들을

바라봅니다. 민망한날들이많았습니다. 전속력으로질주하던삶의속도를늦추고내삶을

바라봅니다. 내실이없는허세와과장이많았습니다. 평온한속도를만나야합니다. 평온

한속도로걸어가야다시청안(淸安)해지는삶을만날수있습니다. 요즘나는청화스님이

쓰신이말을인사말로자주씁니다.

“늘청안하시길바랍니다.”

청안이란말이마음에듭니다. 맑고평안해지는삶, 잠시비내린다음숲이더맑아졌습니

다. 그대도늘청안하시길바랍니다.

- 도종환, <그대언제이숲에오시렵니까> 중에서

청안한삶



Ⅲ



미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅲ. 미분법 2. 도함수]



미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅲ. 미분법]



미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅲ. 미분법]


[범위 : 수학Ⅱ 전범위 미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅲ. 미분법]




9회

10회

11회

12회




[나`형]


log™3+log™;3@;의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

5지선다형

log™3+log™ =log™{3_ }=log™2=123

23

두집합A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8, 10}에대하여집합

A;B의모든원소의합은? (2점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

A;B={2, 4}이므로

2+4=6

의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

x¤ (x-2)x-2

limx⁄2

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

= x2=4limx⁄2

x¤ (x-2)x-2

limx⁄2

실수 x에대하여 3x=2일때, 3x+3-x의값은? (3점)

① ② 3 ③

④ 4 ⑤92

72

52

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

3x+3-x=3x+ =2+ =52

12

13x

모든 항이 양수인 등비수열 {an}에 대하여 a¡=1, a™+a£=6일

때, a§의값은? (3점)

① 8 ② 16 ③ 32

④ 64 ⑤ 128

05 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

공비를 r라하면 a™=a¡r=r, a£=a¡r¤ =r¤a™+a£=6이므로 r+r¤ =6(r+3)(r-2)=0⋯⋯∴ r=2(∵ r>0)∴ a§=a¡rfi =rfi =2fi =32

양수 x에대하여 2x+ 의최솟값은? (3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

8x

06 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

2x+ æ2æ–2x_ =8 (단, 등호는 x=2일때성립한다.)8x

8x


2016.9

9회

의값은? (3점)

① ② ③

④ ⑤718

13

518

29

16

1(k+1)(k+2)

7¡k=1

07 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

= { - }

={ - }+{ - }+{ - }+y+{ - }]

=718

19

18

15

14

14

13

13

12

1k+2

1k+1

7

¡k=1

1(k+1)(k+2)

7

¡k=1

두실수 a, b에대하여 12a=16, 3b=2일때, 2 -의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

1b

4a

08 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

12a=16=24에서 (12a) =(2› ) 이므로 2 =12

3b=2에서 (3b) =2 이므로 2 =3

∴ 2 - =2 ÷2 =12÷3=41b

4a

1b

4a

1b

1b

1b

4a

1a

1a

실수 x에대하여두조건 p, q를각각

⋯⋯p : -1<x<2,⋯⋯q : x¤ +ax+b<0

이라하자. p는 q이기위한필요충분조건일때, a+b의값은?


①-5 ②-4 ③-3

④-2 ⑤-1

10 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

P={x|-1<x<2}, Q={x|x¤ +ax+b<0}

P=Q이려면 (x+1)(x-2)=x¤ +ax+b이므로

a=-1, b=-2∴ a+b=-3

함수 f(x)=2x‹ +ax+3에 대하여 f '(1)=7을 만족시키는 상

수 a의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

09 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f '(x)=6x¤ +a

f '(1)=7이므로 6+a=7∴ a=1

실수전체의집합에서정의된함수

⋯⋯f(x)=[이일대일대응이되도록하는모든정수 a의개수는? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

(a+3)x+1 (x<0)

(2-a)x+1 (xæ0)

11 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

함수 f(x)가일대일대응이되려면나누어진두식의그래프의기울기의부호가같

아야하므로 (a+3)(2-a)>0즉, (a+3)(a-2)<0이므로-3<a<2따라서정수 a는-2, -1, 0, 1의 4개이다.

수열 {an}이 a¡=1이고, 모든자연수 n에대하여

⋯⋯an+1= +1

을만족시킬때, a¢의값은? (3점)

① 2 ② ③

④ 3 ⑤103

83

73

n+11+an

12 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

n=1을대입하면 a™= +1= +1=2

n=2를대입하면 a£= +1= +1=2

n=3을대입하면 a¢= +1= +1=

∴ a¢=73

73

3+11+2

3+11+a£

2+11+2

2+11+a™

1+11+1

1+11+a¡

f(x)=

(ax+2)= x=f(1)=

즉, a+2=1= 에서 a=-1a+32

a+32

limx ⁄1+

limx ⁄1-

[


실수전체의집합에서정의된함수

⋯⋯f(x)=[이 x=1에서미분가능할때, a¤ +b¤`의값은?


① 33 ② 35 ③ 37

④ 39 ⑤ 41

-x¤ +a (x<1)

2x¤ +bx+4 (xæ1)

14 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

f(x)가 x=1에서미분가능하므로 x=1에서연속이다.

즉, (-x¤ +a)= (2x¤ +bx+4)=f(1)이어야하므로

a-1=6+b y ㉠

g(x)=-x¤ +a, h(x)=2x¤ +bx+4라하면

f '(1)= =

{-(x+1)}= {2(x+1)+b}

즉, -2=4+b이므로 b=-6㉠에대입하면 a=1∴ a¤ +b¤ =37

limx ⁄1+

limx ⁄1-

h(x)-h(1)x-1

limx ⁄1+

g(x)-g(1)x-1

limx ⁄1-

limx ⁄1+

limx ⁄1-

모든항이양수인수열 {an}에대하여급수 (an-n¤ )이수렴

할때, 의값은? (4점)

①- ②- ③ 0

④ ⑤12

14

14

12

an-nan+n¤

limn ⁄¶

¶¡n=1

15 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

급수 (an-n¤ )이수렴하므로 (an-n¤ )=0

=

=

=12

limn⁄¶

an-n¤ +n¤ -nan-n¤ +2n¤

limn⁄¶

an-nan+n¤

limn⁄¶

limn ⁄¶

¶¡n=1

정의역이 {x|x는 xæ0인모든실수}인함수

⋯⋯f(x)=

가 x=1에서연속일때, 상수 a의값은? (4점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

xn+1+ax+2xn+1

limn⁄¶

16 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

다항식 (x+3)n을 x+1로나눈나머지를Rn이라할때,

Rn의값은? (3점)

① 46 ② 50 ③ 54

④ 58 ⑤ 62

5¡n=1

13 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

(x+3)n=(x+1)Qn(x)+Rn

양변에 x=-1을대입하면 (-1+3)n=Rn이므로

Rn=2n

∴ Rn= 2n= =622(25-1)2-1

5

¡n=1

5

¡n=1

+1-1n

an-n¤n¤

+2an-n¤n¤

ax+2 (0…x<1)

(x=1)

x (x>1)

a+32


2016.9

9회

정의역이 {x|x는 xæk인모든실수}이고,

공역이 {y|y는 yæ1인모든실수}인함수

⋯⋯f(x)=x¤ -2kx+k¤ +1

에대하여함수 f(x)의역함수를 g(x)라하자. 두함수 y=f(x)

와 y=g(x)의그래프가서로다른두점에서만나도록하는실수

k의최댓값은? (4점)

① ② 1 ③

④ ⑤118

54

98

78

17 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

y=f(x)의그래프는항상점 (k, 1)을지난다.

두그래프 y=f(x)와 y=x가접할때는오른쪽그림에서㉠

인경우이다.

x¤ -2kx+k¤ +1=x에서 x¤ -(2k+1)x+k¤ +1=0

D=(2k+1)¤ -4k¤ -4=0에서 k=

㉡의경우 k=1

∴ <k…134

34

y

O x

㉠㉡ y=xy=f(x)

341

1

그림과같이제1사분면위에있는점A와 x축위의서로다른두

점 B, C를꼭짓점으로하고AB”=AC”인삼각형ABC의무게중

심 G가곡선 y= 위에있다. 점 G의 x좌표가 t, 삼각형ABC

의넓이가 3t일때, 선분BC의길이를 f(t)라하자.

의값은? (4점) f(t)-2tt-1lim

t⁄1

1x

① 1 ② ③ 2

④ ⑤ 352

32

18 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

G{t, }, A{t, }이므로

3t= BC”_ 에서BC”=2t¤

따라서 f(t)=2t¤ 이므로

=

=

= 2t=2limt ⁄1

2t(t-1)t-1

limt ⁄1

2t¤ -2tt-1

limt ⁄1

f(t)-2tt-1

limt ⁄1

3t

12

3t

1t

Ay

O B C

G

x

y= 1x

수열 {a«}의일반항은 a«=n+1이다.

다음은다음은모든자연수 n에대하여

⋯⋯{ a˚}¤ = (a˚)‹ -2 a˚ y (*)

이성립함을수학적귀납법을이용하여[증명]한것이다.

n¡k=1

n¡k=1

n¡k=1

19 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

위의 (가)에알맞은수를 p, (나)에알맞은식을 f(m)이라할때,

f(p)의값은? (4점)

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14⁄ n=1일때 an=n+1에서 a¡=2이므로

(좌변)={ ak}2=a¡¤ =2¤ =4,

(우변)= (ak)‹ -2 ak=a¡‹ -2a¡=2‹ -2_2=4

이므로(*)이성립한다.

¤ (ak)‹ -2 ak+2{ ak}am+1+(am+1)¤

= (ak)‹ +2(m+1) ak+(am+1)¤

따라서 p=4, f(m)=2(m+1)이므로

f(p)=f(4)=2(4+1)=10

m

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

m

¡k=1

1

¡k=1

1

¡k=1

1

¡k=1

[증명]

⁄ n=1일때,

(좌변)={ a˚}¤ = ,

(우변)= (a˚)‹ -2 a˚= 이므로

(*)이성립한다.

¤ n=m(mæ1)일때(*)이성립한다고가정하면

{ a˚}¤ = (a˚)‹ -2 a˚이므로

{ a˚}¤ ={ a˚+aμ≠¡}¤

={ a˚}¤ +2{ a˚}aμ≠¡+(aμ≠¡)¤

= (a˚)‹ -2 a˚+2{ a˚}aμ≠¡+(aμ≠¡)¤

= (a˚)‹ +( ) a˚+(aμ≠¡)¤

= (a˚)‹ +m‹ +5m¤ +7m+4

= (a˚)‹ +(aμ≠¡)‹ -(m¤ +5m+4)

= (a˚)‹ -2 a˚

¤ 이다. 따라서 n=m+1일때도(*)이성립한다.

⁄, ¤에의하여모든자연수 n에대하여(*)이성립한다.

m+1¡k=1

m+1¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m+1¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

m¡k=1

1¡k=1

1¡k=1

1¡k=1

(가)

(가)

(나)


그림과같이한변의길이가 2인정사각형A¡B¡C¡D¡에서중심을

B¡, 선분 B¡C¡을반지름으로하고중심각의크기가 90˘인부채꼴

B¡C¡A¡을 그린다. 부채꼴 B¡C¡A¡의 호 C¡A¡을 삼등분하는 두

점을각각 E¡, F¡이라하고, 선분 B¡E¡을그린다. 점 F¡을한꼭

짓점으로하고부채꼴 B¡E¡A¡에내접하는정삼각형에색칠하여

얻은그림을R¡이라하자.

그림 R¡에점 D¡과부채꼴 B¡C¡A¡의호 C¡A¡을이등분하는점

B™를대각선의양끝점으로하는정사각형A™B™C™D¡을그리고,

정사각형A™B™C™D¡에그림R¡을얻은것과같은방법으로만들

어지는정삼각형에색칠하여얻은그림을R™라하자.


부분의넓이를Sn이라할때, Sn의값은?

(단, ∠AnBnEn=60˘) (4점)

A¡ D¡

B¡ C¡

A¡ D¡F¡

E¡

B¡ C¡

C™

A™ F™

E™B™

R¡

R£

R™

. . .

. . .

limn⁄¶

21 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

① ② ③

④ ⑤5'6+3'3

215'6+2'3

21

4'6+3'321

4'6+2'321

3'6+2'321

BnD¡”='2an,

Bn+1D¡”='2an-an=('2-1)an이고,

□AnBnCnD¡ª□An+1Bn+1Cn+1D¡이므로

an : an+1=BnD¡” : Bn+1D¡”='2an :'2an-an='2 : '2-1

∴Tn : Tn+1=2:('2-1)¤

즉, 정삼각형의넓이Tn의공비는 이므로

Sn= Tk

= =4'6+2'3

21

n

¡k=1

limn⁄¶

limn⁄¶

3-2'22

AnAn+1

Bn Tn Cn

Dn

Fn

Tn

Cn+1

Tn+1

En

Bn+1

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과

같을때, [보기]에서옳은것만을있는대로고른것은?

(단, f(1)=f(3)=0) (4점)

20 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷㄱ. f(x)=1 (참)

ㄴ. f(x)f(x+3)= f(x)f(x+3)=f(0)f(3)=0이므로

ㄴ. 함수 f(x)f(x+3)은 x=0에서연속이다. (참)

ㄷ. g(1)=f(1)f(2)-3=-3<0, g(3)=f(3)f(4)+1=1>0이므로

ㄴ. 사이값정리에의해방정식 g(x)=0은열린구간 (1, 3)에서적어도하나의실근

을갖는다. (참)

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

limx ⁄0+

limx ⁄0-

limx ⁄0-

[보기]

ㄱ. f(x)=1

ㄴ. 함수 f(x)f(x+3)은 x=0에서연속이다.

ㄷ. 방정식 f(x)f(x+1)+2x-5=0은 열린 구간 (1, 3)

에서적어도하나의실근을갖는다.

limx⁄0-

y

O1

1

2

-2

-1

-1 23 4 x

y=f (x)

'33

1-{ }3-2'22

8309회정답및해설 98~100p

2016.9

9회

두 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2}에 대하여 B,X,A를

만족시키는모든집합X의개수를구하시오. (3점) 답⃞ 8

25 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

{1, 2},X,{1, 2, 3, 4, 5}따라서구하는집합X의개수는

25-2=2‹ =8

다항함수 f(x)가

⋯⋯ =2, =5

를만족시킬때, f(1)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 14

f(x)x+1

limx⁄-1

f(x)-x‹x¤ +1

limx⁄¶

26 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

=2에서 f(x)-x‹ 은이차항의계수가 2인다항식이므로

f(x)=x‹ +2x¤ +ax+b로놓을수있다.

=5에서 f(x)=0

즉, (x‹ +2x¤ +ax+b)=0에서

b=a-1 y ㉠

= (x¤ +x+a-1)

=1-1+a-1=a-1=5

따라서 a=6이고㉠에서 b=5이므로

f(x)=x‹ +2x¤ +6x+5∴ f(1)=1+2+6+5=14

limx⁄-1

f(x)x+1

limx ⁄-1

limx⁄-1

limx⁄-1

f(x)x+1

limx ⁄-1

f(x)-x‹x¤ +1

limx⁄¶

단답형

의값을구하시오. (3점) 답⃞ 273n+3 -2n

3nlimn⁄¶

22 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

= [33-{ } n ]=2723

limn⁄¶

3n+3 -2n

3nlimn⁄¶

양의실수A에대하여 logA=2.1673일때, A의값을구하시오.

(단, log1.47=0.1673으로계산한다.) (3점) 답⃞ 147

23 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

0.1673=log1.47이므로

logA=2.1673=2+0.1673=2+log1.47=log100+log1.47=log(100_1.47)=log147

∴A=147

수열 {an}의첫째항부터제n항까지의합Sn이Sn=n¤ +2n일때,

a¡º의값을구하시오. (3점) 답⃞ 21

24 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

an=Sn-Sn-1

=n¤ +2n-{(n-1)¤ +2(n-1)}=2n+1(næ2)

∴ a¡º=20+1=21

1, 3, 3¤ , 3‹ , y을 5로나눈나머지로만표현하면

1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, y이므로 1, 3, 4, 2가반복하여나타난다.

{an} :0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, y이므로

ak=0+4_1+4_2+4_3+4_4+3_5=5520

¡k=1


다음과같이제n`행에각각첫째항이 1이고공비가 3인등비수열

의항을첫째항부터차례로 n개나열한다.

29 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

-2…m…2, 1…n…16인두정수 m, n에대하여 4øπnm이유리

수가되도록하는모든순서쌍 (m, n)의개수를구하시오. (4점)

27 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

답⃞ 28

답⃞ 200

답⃞ 20

⁄ m=—2인경우n이될수있는정수는 1, 4, 9, 16이다.

¤ m=—1인경우n이될수있는정수는 1, 16이다.

‹ m=0인경우n이될수있는정수는 1, 2, 3, y, 15, 16이다.

따라서모든순서쌍 (m, n)의개수는

2_4+2_2+1_16=28

그림과같이점 P(2, 0)에서원 x¤ +y¤ =2에그은두접선이 y축

과만나는서로다른두점을각각 A, B라하고, 직선 y=kx가

직선 AP와 만나는 점을 Q라 하자. 삼각형 OQA의 넓이를 S¡,

삼각형 OPQ의넓이를 S™, 삼각형 OBP의넓이를 S£이라하자.

S¡, S™, S£이이순서대로등차수열을이룰때, 상수 k에대하여

100k의값을구하시오.

(단, O는원점, k>1이고, 점A의 y좌표는양수이다.) (4점)

28 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

PR”='2, A(0, 2)이므로

S¡= _2_a=a

S™= _2_ka=ka

S£= _2_2=2

2S™=S¡+S£에서

∴ 2ka=a+2 y ㉠

점Q는직선AP 위의점이므로

ka=-a+2 y ㉡

㉠과㉡을연립하여풀면 a= , k=2

∴ 100k=200

23

12

12

12

y y=kx

O

B

A Q

P x

그림과같이함수 f(x)= +k(k>1)의그래프가있다. 점

P(1, k)에대하여직선 OP와함수 y=f(x)의그래프가만나는

점중에서원점이아닌점을A라하자. 점 P를지나고원점으로

부터거리가 1인직선 l이함수 y=f(x)의그래프와제1`사분면

에서만나는점을 B, x축과만나는점을 C라하자. 삼각형 PBA

의넓이를 S¡, 삼각형 PCO의넓이를 S™라할때, 2S¡=S™이다.

상수 k에대하여 10k¤ 의값을구하시오.

(단, O는원점이고, 직선 l은좌표축과평행하지않다.) (4점)

kx-1

30 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

PQ”=QC”이므로QR”= PH”=

따라서Q{-1, }, R(-1, 0)이므로

PQ”=æ–2¤ +{ }2=æ–4+PQ”=QC”이므로CR”=RH”=2이고

C(-3, 0)이다.

S¡= _æ–4+ _1, S™= _3_k

2S¡=S™이므로æ–4+ = k에서æ–4+ = k¤ , k¤ `=2

∴ 10k¤ =20

32

k¤4

32

k¤4

12

k¤4

12

k¤2

k2

k2

k2

12

y

1

P

A

B

OC x

k

y=f (x)

l

위와같이나열할때, 제n`행의 모든자연수중에서 5로나눈나

머지가 3인자연수의개수를 an이라할때, ak의값을구하시

오. (4점) 답⃞ 55

20¡k=1

제1`행 1

제2`행 1, 3

제3`행 1, 3, 3¤

제4`행 1, 3, 3¤ , 3‹

⋯

제n`행 1, 3, 3¤ , 3‹ , y, 3n-2, 3n-1

y

P

A

B

OC x

k

y=f (x)

l

H(1, 0)R

Q

y y=kx

O

B

A QR

P x

ka

a

2016.9

9회

8509회정답및해설 100~103p


그림과같이곡선 y= 위의점A{t, }에대하여선분OA의

수직이등분선 l이 x축과만나는점을 B라하자. 삼각형AOB의

무게중심G의 x좌표를 f(t), y좌표를 g(t)라할때,

의값은? (단, O는원점이다.)9f(t)g(t)-2

t-1 limt⁄1

1t

1x

01 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과

같을때, [보기]에서옳은것만을있는대로고른것은?

(단, f(1)=f(3)=0)

02 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

|m|…4인 정수 m과 100보다 작은 자연수 n에 대하여 fl'∂nm이

유리수가되도록하는모든순서쌍 (m, n)의개수를구하시오.

03 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

⁄ m=—4 또는—2인경우n이될수있는수는 1, 8, 27, 64이다.

¤ m=—3인경우n이될수있는수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81이다.

‹ m=—1인경우n이될수있는수는 1, 64이다.

› m=0인경우n이될수있는수는 1, 2, 3, y, 99이다.

따라서모든순서쌍 (m, n)의개수는

4_4+2_9+2_2+1_99=137

다음과같이제1`행부터제n`행의첫째항들은첫째항이 1이고공

비가 3인 등비수열을 이룬다. 제n`행에 각각 첫째항이 3n-1이고

공비가 3인등비수열의항을첫째항부터차례로 n개나열한다.

04 [2014년 3월고2 B형학력평가 1]

답⃞ 137

y

O1

1

2

-2

-1

-1 23 4 x

y=f (x)

y

O B

A{t, }

Gx

y= 1x

1t

l


①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

①-3 ②- ③-2

④- ⑤-132

52

ㄱ. f(x)=-1 (참)

ㄴ. f(x)f(x+1)=f(2)f(3)=0이므로함수 f(x)f(x+1)은

ㄴ. x=2에서연속이다. (참)

ㄷ. g(-1)=f(3)f(0)+5=4>0, g(1)=f(1)f(2)-1=-1<0ㄴ. 이므로사이값정리에의해방정식 g(x)=0은열린구간

(-1, 1)에서적어도하나의실근을갖는다. (참)

limx ⁄2

limx⁄2+

[보기]

ㄱ. f(x)=-1

ㄴ. 함수 f(x)f(x+1)은 x=2에서연속이다.

ㄷ. 방정식 f(2-x)f(x+1)-3x+2=0은 열린 구간

(-1, 1)에서적어도하나의실근을갖는다.

limx ⁄2+

1, 3, 3¤ , 3‹ , y을 5로나눈나머지로만표현하면

1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, y{an} :0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, y항을4개씩끊어서살펴보면

0, 1, 0, 1/1, 2, 1, 2/2, 3, 2, 3/ y이므로앞의네개의항에각각 1을더하면다음네개의항이됨을알수있다.

∴ ak=4_ -2_5=505_62

20

¡k=1

l：y- =-t¤ {x- }이므로B{ + , 0}G { , }이므로 = =-2

3t› +1-4t›2t› (t-1)

limt ⁄1

9f(t)g(t)-2t-1

limt ⁄1

13t

3t› +16t‹

12t‹

t2

t2

12t

위와같이나열할때, 제n`행의 모든자연수중에서 5로나눈나

머지가 3인자연수의개수를 an이라할때, ak의값을구하시

오. 답⃞ 50

20¡k=1

제1`행 1

제2`행 3, 3¤

제3`행 3¤ , 3‹ , 3›

제4`행 3‹ , 3› , 3fi , 3fl

⋯

제n`행 3n-1, 3n-2, 3n-3, y, 32n-1, 32n-2




3_8;3@;의값은? (2점)

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

01등차수열 {an}에대하여 a£=8, a¶=20일때, a¡¡의값은? (3점)

① 30 ② 32 ③ 34

④ 36 ⑤ 38

04

log™3+log™ 6-log™ 9의값은? (2점)

①-3 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 3

02

의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

10n+12n+5lim

n ⁄¶

03

전체집합 U={x|x는 9 이하의 자연수}의 두 부분집합 A, B에

대하여 A;B={1, 2}, AC;B={3, 4, 5}, AC;BC={8, 9}를

만족시키는집합A의모든원소의합은? (3점)

① 8 ② 10 ③ 12

④ 14 ⑤ 16

05

5지선다형

[나`형]

3_8;3@;=3_(2‹ );3@;=3_4=12

log™3+log™6-log™9=log™ =log™2=13_69

= = =5102

limn⁄¶

10n+12n+5

limn ⁄¶

a£=a+2d=8 y㉠

a¶=a+6d=20 y㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, d=3따라서 an=2+(n-1)3=3n-1이므로 a¡¡=3_11-1=32

AÇ ;B=B-A={3, 4, 5}, AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={8, 9}이므로 주어진 집합들을 벤 다이어그램으로 나타

내면오른쪽과같다.

따라서집합A={1, 2, 6, 7}의모든원소의합은

1+2+6+7=16

U

BA8

6

7

1 3

4 5

9

2

10+

2+5n

1n

8710회정답및해설 104~105p

2015.9

10회

=6일때, 상수 a의값은? (3점)

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

a_4n+1+3n+1

4n+3nlimn ⁄¶

06

함수 f(x)에대하여 =3일때,

의값은? (3점)

① 10 ② 12 ③ 14

④ 16 ⑤ 18

f(x)-f(2)x-2lim

x ⁄2

f(x)-f(2)x¤ -4lim

x ⁄2

07

log 2=a, log 3=b라할때, log 를 a, b로나타낸것은?

(3점)

① a+b-1 ② 2a-b-1 ③ 2a+b-1

④ 3a-b-1 ⑤ 3a+b-1

125

09


①-1 ② 0 ③ 1

④ 2 ⑤ 3

limx ⁄⁄1+

limx ⁄⁄-1

정의역이 {x|-2…x…2}인함수y=f(x)의그래프가그림과같다.

08

x

y

O

1

1-1

-1

-2

-2

2

2

y=f{x}

= =4a=6

∴ a=32

limn ⁄¶

a_4n+1+3n+1

4« +3«limn⁄¶

= _ =3

f'(2)_ =3⋯⋯∴ f '(2)=12

∴ =f'(2)=12f(x)-f(2)

x-2limx ⁄2

14

1x+2

f(x)-f(2)x-2

limx⁄2

f(x)-f(2)x¤ -4

limx ⁄2

f(x)+ f(x)=1+2=3limx⁄1+

limx ⁄-1

log =log 12-log 5

=log(2¤ _3)-log

=2log 2+log 3-(log10-log2)=2a+b-(1-a)=3a+b-1

102

125

4a+3_{ } n1+{ } n3

4

34


어떤 펌프의 흡입구경 D(mm), 단위시간(분) 동안의 유체배출

량 Q(m‹ /분), 흡입구의유속 V(m/분) 사이에다음과같은관

계가성립한다고한다.

⋯⋯D=k { };2!; (단, V>0, k는양의상수이다.)

두펌프A, B의흡입구경을각각DA, DB, 단위시간(분) 동안의

유체배출량을각각 QA, QB, 흡입구의유속을각각VA, VB라하

자. QA가QB의 배, VA가VB의 배, DA-DB=60일때,

DB의값은? (3점)

① 120 ② 125 ③ 130

④ 135 ⑤ 140

827

23

QV

12모든자연수 n에대하여 f(n)이공차가 3인등차수열 {an}의첫

째항부터 제n항까지의 합과 같을 때, | f(k)|>| f(k+1)|이

성립하도록하는 k의최댓값은? (4점)

① 3 ② 5 ③ 7

④ 9 ⑤ 11

14

두조건 p, q의진리집합을각각P, Q라하고

⋯⋯P={x|(x+4)(x-5)…0}, Q={x||x|>a}

일때, 명제 ~p⁄ q가참이기위한자연수 a의개수는? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

11

=1일때, f(0)의값은? (3점)

①-3 ②-2 ③-1

④ 0 ⑤ 1

f(x)x-2lim

x ⁄2

13

함수 f(x)=2x‹ -x+1에서 x의값이-1에서 2까지변할때의

평균변화율과 f '(k)의값이서로같을때, 양수 k의값은? (3점)

① 1 ② ③

④ ⑤ 274

32

54

10 [ 13~14 ] 이차함수 f(x)가 모든 실수 x`에 대하여

f(4+x)=f(4-x)를 만족시킨다. 13번과 14번의 두 물음에

답하시오.

함수 f(x)=2x‹ -x+1에서 f '(x)=6x¤ -1이므로

f '(k)=6k¤ -1또, x의값이-1에서 2까지변할때의평균변화율은

= = =5

이므로

5=6k¤ -1, k¤ =1∴ k=1(∵ k는양수)

153

(16-2+1)-(-2+1+1)3

f(2)-f(-1)2-(-1)

두조건 p, q 각각의진리집합P, Q에대하여명제~p⁄q가참이기위해서는

PC,Q이어야한다.

PC={x|x<-4 또는 x>5}, Q={x|x<-a 또는 x>a}이므로

-aæ-4에서 a…4이고 a…5⋯⋯∴ a…4따라서만족하는자연수 a의개수는 1, 2, 3, 4로 4이다.

함수 y=f(x)가모든실수x에대하여 f(4+x)=f(4-x)이므로

f(x)=a(x-4)¤ +b (a+0)라할수있다.

f(2)=4a+b=0에서 b=-4a y㉠

=

=

= a(x-6)=-4a=1

∴ a=-

a=- 을㉠에대입하면 b=1

따라서 f(x)=- (x-4)¤ +1이므로 f(0)=- _16+1=-314

14

14

14

limx ⁄2

a(x-2)(x-6)x-2

limx ⁄2

a(x-4)¤ -4ax-2

limx ⁄2

f(x)x-2

limx ⁄2

ak= =a(n-4)¤ +b

3n¤ +(2a¡-3)n=2an¤ -16an+32a+2b

항등식의성질에서 3=2a, 32a+2b=0이므로 a= , b=-24

∴ f(n)= (n-4)¤ -24= (n¤ -8n+16)-24= n(n-8)

k(k-8)= (k+1)(k-7)에서

k¤ -8k=k¤ -6k-7, -2k=-7⋯⋯∴ k=

즉, 두함수 y=|f(k)|와y=|f(k+1)|의그래프는

오른쪽그림과같다.

따라서 |f(k)|>|f(k+1)|이성립하도록 하는 자연수 k의 값

은 4, 5, 6, 7이므로 최댓값은 7이다.

k

y

O-1 7 8

y=|f{k}|y=|f{k+1}|

72

72

32

32

32

32

32

32

n{2a¡+3(n-1)}2

n

¡k=1

DA=k{ };2!;=k_ { };2!;= Dı

DÅ-Dı= Dı-Dı= Dı=60이므로Dı=12012

32

32

QıVı

32

QB

VB827

23

8910회정답및해설 105~108p

2015.9

10회

AB”=BC”=CD”=2, AD”=3인 등변사다리꼴 ABCD에서 선분

BC위를움직이는점을 E, 직선 AE와직선 CD의교점을 F라

하자. 점 C와점 E 사이의거리를 x(0…x…2), 점 C와점 F 사

이의 거리를 f(x)라 할 때, 함수 y=f(x)의 그래프의 모양으로

알맞은것은? (4점)

15

x>0, y>0일때, {4x+ }{ +16y}의최솟값은? (4점)

① 34 ② 36 ③ 38

④ 40 ⑤ 42

1x

1y

16

수열 {an}이 =n¤ +3n을만족시킬때, 의값은? (4점)

① ② ③

④ ⑤ 156

23

12

13

1a«

¶¡n=1

a˚k

n¡k=1

17

다음은 수열 {an}의 일반항 an이 an= 일 때, næ2인 모든

자연수 n`에대하여등식

⋯⋯n+a¡+a™+a£+y+an-1=nan yy(★)


1k

n¡k=1

18

A D

BE

2 2

2

3

C

F

f{x}

x

① ② ③

④ ⑤

x

y

O 2x

y

O 2

x

y

O 2x

y

O 2x

y

O 2

위의 [증명]에서 (가)에알맞은수를 p, (나), (다)에알맞은식을

각각 f(m), g(m)이라할때, 의값은? (4점)

① 13 ② 15 ③ 17

④ 19 ⑤ 21

p_f(3)g(11)

두삼각형AFD, EFC가서로닮음이므로

AD”：EC”=DF”：CF”에서

3：x={ f(x)+2}：f(x), 3f(x)=xf(x)+2x

∴ f(x)= = -2 (0…x…2)

함수 y= 의그래프는점 (0, 0)을지나고점근선의방

정식이 x=3, y=-2이므로 0…x…2에서 그래프의 모양은

오른쪽과같다.

-2xx-3

x

y

O 2

-6x-3

-2xx-3

{4x+ }{ +16y}=4+16+64xy+

æ20+2æ≠64xy_=20+16=36 {단, 등호는 xy= 일때성립}

따라서주어진식의최솟값은 36이다.

18

1xy

1xy

1x

1y

= - =2n+2 (næ2)

∴ an=2n¤ +2n (næ1)

= =

= { - }= {1- }= 12

1n+1

limn⁄¶

12

1k+1

1k

n

¡k=1

limn⁄¶

12

12k¤ +2k

n

¡k=1

limn ⁄¶

1a˚

n

¡k=1

limn ⁄¶

1a«

¶¡n=1

a˚k

n-1

¡k=1

a˚k

n

¡k=1

a«n

p= , f(m)=am+1, g(m)= 이므로

= =6{1+ + +1}=1713

12

p_f(3)g(11)

1m+1

12

(a£+1)

112

12

[증명]

⁄ n=2일때,

(좌변)=2+a¡=3, (우변)=2a™=2(1+ )=3

이므로(★)이성립한다.

¤ n=m(mæ2)일때(★)이성립한다고가정하면

m+a¡+a™+a£+y+am-1=mam이므로

(m+1)+a¡+a™+a£+y+am-1+am

=mam+

=(m+1)(am+1- )+1

=(m+1)am+1

이다. 따라서 n=m+1일때도(★)이성립한다.

그러므로⁄, ¤에의하여 næ2인모든자연수 n에대하여

n+a¡+a™+a£+y+an-1=nan이성립한다.

(가)

(나)

(다)

← 12

← 1m+1

← am+1


집합X={x|x는 10 이하의자연수}의원소 n에대하여X의부

분집합중 n을최소의원소로갖는모든집합의개수를 f(n)이

라하자. [보기]에서옳은것만을있는대로고른것은? (4점)

20

두함수 f(x)= x¤ + k(xæ0), g(x)='ƒ5x-k에대하여

y=f(x), y=g(x)의그래프가서로다른두점에서만나도록하

는모든정수 k의개수는? (4점)

① 5 ② 7 ③ 9

④ 11 ⑤ 13

15

15

19한변의길이가 3인정사각형A¡B¡C¡D¡이있다. 그림과같이선

분 A¡B¡과선분 D¡C¡을 2：1로내분하는점을각각 P¡, Q¡이라

하고선분 P¡C¡과선분 Q¡B¡의교점을R¡이라할때, 선분 P¡B¡,

선분B¡C¡, 선분C¡Q¡, 선분Q¡R¡, 선분R¡P¡로둘러싸인부분인

모양에색칠하여얻은그림을T¡이라하자.

그림 T¡에선분 P¡R¡ 위의점 B™, 선분 R¡Q¡ 위의점 C™와선분

A¡D¡ 위의두점A™, D™를꼭짓점으로하는정사각형A™B™C™D™

를그리고, 정사각형 A™B™C™D™에그림 T¡을얻는것과같은방

법으로만들어지는 모양에색칠하여얻은그림을 T™

라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째얻은그림Tn에색칠되어있는


21

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

① ② ③

④ ⑤14732

14332

13932

13532

13132

T£

T¡ T™

A¡

P¡ Q¡

B¡ C¡

D¡

R¡

A¡A™

P¡

P™

Q¡

Q™

B¡ C¡

D¡D™

R¡

R™

A¡A™

P¡

P™

Q¡

Q™

B¡ C¡

D¡D™

R¡

R™B™ C™

B™ C™

함수 f(x)= x¤ + k(xæ0)와

g(x)='ƒ5x-k는 서로 역함수 관계이므로

두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프의교점

은직선 y=x 위의점이다.

이때, k<0이면두함수 f(x), g(x)의그래

프가그림과같으므로 kæ0 y ㉠이어야한

다.

또, y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점

의개수는방정식 f(x)=x의실근의개수와

같으므로 xæ0에서이차방정식

x¤ + k=x, 즉 x¤ -5x+k=0이음이아닌서로다른두실근을가져야한다.

따라서이이차방정식의판별식을D라하면

D=(-5)¤ -4k>0⋯⋯∴ k< y ㉡

㉠, ㉡에의하여 0…k< 이므로정수 k는 0, 1, 2, 3, y, 6으로 7개이다.254

254

15

15

x

y

O

y=f{x}

y=g{x}

15 k

15 k

15

15

f(n)은원소n을최소의원소로갖는집합X의부분집합의개수이므로 1부터 n까지

의원소를제외한 (10-n)개의원소로이루어진집합X의부분집합의개수를구하

면된다.⋯⋯∴ f(n)=210-n

ㄱ. f(8)=210-8=22= 4 (참)

ㄴ. 【반례】a=9, b=10일때,

f(9)=210-9=2이고 f(10)=210-10=20=1∴ f(9)>f(10) (거짓)

Sn= = =14732

limn ⁄¶

1-{ } 257

94

2449

94

[보기]

ㄱ. f(8)=4

ㄴ. a<X, b<X일때, a<b이면 f(a)<f(b)

ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)=682

9110회정답및해설 108~110p

2015.9

10회

두 함수 f(x)=2x-1, g(x)=x¤ 에 대하여 (gΩf )(4)의 값을

구하시오. (3점) 답⃞ 49

22

수열 {an}에대하여 {an- }=1일때, (an¤ +2an)


limn ⁄¶

3n+1n+1

¶¡n=1

24

함수 f(x)=2x‹ +ax에대하여 f '(1)=30을만족시키는상수 a


23

함수

⋯⋯f(x)=

이실수전체의집합에서연속이되도록하는두상수 a, b에대

하여 a¤ +b¤ 의값을구하시오. (3점) 답⃞ 80

[25

다항함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

26

(x+1)

b (x=1)

6x¤ +ax+2x-1

(가) =2

(나) =2f(x)-2x¤x¤ -1

limx ⁄1

f(x)-2x¤x¤ -1

limx ⁄¶

f '(5)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 40

단답형

f(4)=2_4-1=7이므로

(gΩf)(4)=g( f(4))=g(7)=7¤ =49

f(x)=2x‹ +ax에서 f '(x)=6x¤ +a이므로

f '(1)=6+a=30⋯⋯∴ a=24

급수 {an- }이 1로수렴하므로 {an- }=0

이때, =3이므로 an=3

∴ (an¤ +2an)=3¤ +2¥3=15limn⁄¶

limn ⁄¶

3n+1n+1

limn ⁄¶

3n+1n+1

limn⁄¶

3n+1n+1

¶¡n=1

(x-1)=0이므로 (6x¤ +ax+2)=6+a+2=0에서a=-8

= =

= (6x-2)=4=b

따라서 a=-8, b=4이므로 a¤ +b¤ =64+16=80

limx ⁄1

(6x-2)(x-1)x-1

limx ⁄1

6x¤ -8x+2x-1

limx ⁄1

6x¤ +ax+2x-1

limx ⁄1

limx ⁄1

limx ⁄1

= = =2

x⁄1일때, (분모)⁄0이므로(분자)⁄0이다. 즉, 2+a+b=0이므로

b=-a-2를대입하면

=

= = =2

4+a=4⋯⋯∴ a=0a=0을 b=-a-2에대입하면 b=-2∴ f(x)=4x¤ -2따라서 f '(x)=8x이므로 f '(5)=40

4+a2

2x+2+ax+1

limx ⁄1

(x-1)(2x+2+a)(x-1)(x+1)

limx ⁄1

2x¤ +ax-a-2x¤ -1

limx ⁄1

2x¤ +ax+bx¤ -1

limx⁄1

4x¤ +ax+b-2x¤x¤ -1

limx⁄1

f(x)-2x¤x¤ -1

limx ⁄1


자연수 n에대하여직선 x=n이두곡선 y='∂3x, y='x와만나

는점을각각An, Bn이라하고삼각형AnBnBn+1의넓이를 Sn이

라하자. 'n(Sn+1-Sn)=a+b'3일때, 40(a¤ +b¤ )의값을

구하시오. (단, a, b는유리수이다.) (4점) 답⃞ 5

limn ⁄¶

28

두집합

⋯⋯A={2l|l은자연수}, B={3m-2|m은자연수}

에대하여집합A;B의모든원소를작은수부터순서대로모두

나열하여만든수열을 {an}이라하자. a¢의값을구하시오. (4점)

27실수전체의집합에서연속인함수

⋯⋯f(x)=

의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 a, b에 대하여 3a+2b의

최댓값을구하시오. (4점) 답⃞ 12

x¤ -ax+3 (xæ1)

-x¤ +2bx-3 (x<1)[

29

한변의길이가 66인정삼각형 ABC가있다. 그림과같이세선

분 AB, AC, CB를 5：1로내분하는점을각각 P¡, Q¡, R¡이라

하고, 세선분AP¡, AQ¡, CR¡을 5：1로내분하는점을각각 P™,

Q™, R™라하고, 세 선분 AP™, AQ™, CR™를 5：1로내분하는점

을각각P£, Q£, R£이라하자.

이와같은방법으로세선분APk-1, AQk-1, CRk-1을 5：1로내

분하는점을각각Pk, Qk, Rk(k=4, 5, 6, y)라하자.

자연수 n에 대하여 선분 AR¡과 선분 PnQn의 교점을 An, 선분

AR™와선분PnQn의교점을Bn, 선분AR£과선분PnQn의교점을

Cn, 선분AR¢와선분PnQn의교점을Dn, 선분AR∞와선분PnQn

의교점을En, 선분AR§과선분PnQn의교점을Fn이라하자.

A¡B¡”+B™C™”+C£D£”+D¢E¢”+E∞F∞”=25- 일때, a+b의값을

구하시오. (단, a, b는자연수이다.) (4점) 답⃞ 22

5∫6å

30

x

y

O

An

Sn

BnBn+1

y=Â3xÊ

y=Âx

x=n x=n+1

A

B

P¡ Q¡

R¡

A¡ B¡ C¡ D¡ E¡ F¡

A™ B™ C™ D™E™F™

A£ B£ C£D£E£F£

R™ R£ R¢ R∞ R§

P™ Q™

P£ Q£

C

답⃞ 256

1-a+3=-1+2b-3⋯⋯∴ a+2b=8 jK b=- a+4 y㉠

⁄ xæ1일때, 함수 f(x)가증가해야하므로 y=x¤ -ax+3={x- } 2- +3

…1에서 a…2 y㉡

¤ x<1일때, 함수 f(x)가증가해야하므로

y=-x¤ +2bx-3=-(x-b)¤ +b¤ -3⋯⋯∴ bæ1 y㉢

㉠, ㉡, ㉢을만족시키는순서쌍 (a, b)는직선 b=- a+4(a…2, bæ1) 위의점이다.

따라서 3a+2b의최댓값은 3_2+2_3=12

12

a2

a¤4

a2

12

'n(Sn+1-Sn)= 'n[ - ]= 'n{ }('ƒn+1-'n)=

= =

따라서 a=- , b= 이므로

40(a¤ +b¤ )=40{ + }=5116

116

14

14

'3-14

1limn⁄¶

'3-12

'n'ƒn+1+'nlim

n⁄¶

'3-12

'3-12

limn⁄¶

'n('3-1)2

'ƒn+1('3-1)2

limn⁄¶

limn ⁄¶

A={2, 4, 8, 16, 32, 64, y}이고B={1, 4, 7, 10, 13, 16, y}집합A의원소를 3으로나눈나머지가 1인수를작은수부터차례로나열하면

4, 16, 64, 256, 1024, y∴ a¢=256

æ≠1+ +11n

BC”=66, RnC”=66{ } n이므로 a=66, r= 라하면

R¡R™”=ar-ar¤ , R™R£”=ar¤ -ar‹ , y, R∞R§”=arfi -arflA¡B¡”+B™C™”+C£D£”+D¢E¢”+E∞F∞”=(ar¤ -ar‹ )+(ar› -arfi )+y+(ar⁄ ‚ -ar⁄ ⁄ )

= = =25{1- }=25-

따라서 a=10, b=12이므로 a+b=22

5⁄ ¤6⁄ ‚

5⁄ ‚6⁄ ‚

ar¤ {1-(-r)⁄ ‚ }1+r

56

56

66{ }2 [1-{- }1 0 ]1+

56

56

56

문항수：4개, 제한시간：25분TEST [예상 문제]REVIEW회10

2015.9

10회

정답및해설 110~114p 9310회

01집합 X={x|x는 20 이하의자연수}의원소 n에대하여 원소의

개수가 2인X의부분집합중 n보다작은자연수 1개와 n보다큰

자연수 1개를 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 f(n)이라 하자.

[보기]에서옳은것만을있는대로고른것은?

03자연수 n에대하여직선

x=n이 두 곡선 y='∂3x,y='x와 만나는 점을 각각

An, Bn이라하고사각형

AnBnBn+1An+1의 넓이를 Sn

이라하자.

=a-b'3일때, a+b의값을구하시오. (단, a, b는자

연수이다.) 답⃞ 4

S£«'nlim

n ⁄¶

02한변의길이가 3인정사각형A¡B¡C¡D¡이있다. 그림과같이선

분 A¡B¡과선분 D¡C¡을 2：1로내분하는점을각각 P¡, Q¡이라

하고선분 P¡C¡과선분 Q¡B¡의교점을 R¡이라할때, 두 삼각형

P¡B¡R¡, C¡Q¡R¡에 색칠하여 얻은 그림을 T¡이라 하자. 그림

T¡에선분 P¡R¡ 위의점 B™, 선분 R¡Q¡ 위의점 C™와선분A¡D¡

위의두점A™, D™를꼭짓점으로하는정사각형A™B™C™D™를그

리고, 정사각형A™B™C™D™에그림T¡을얻는것과같은방법으로

두삼각형 P™B™R™, C™Q™R™에색칠하여얻은그림을 T™라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째얻은그림Tn에색칠되어있는

부분의넓이를Sn이라할때, Sn= 이다.

p+q의값을구하시오. (단, p, q는서로소인자연수이다.) 답⃞ 65

qplim

n ⁄¶

04한변의길이가 2'6인정삼각형ABC가있다. 그림과같이세선

분 AB, AC, CB를 2：1로내분하는점을각각 P¡, Q¡, R¡이라

하고, 세선분AP¡, AQ¡, CR¡을 2：1로내분하는점을각각 P™,

Q™, R™라하고, 세 선분 AP™, AQ™, CR™를 2：1로내분하는점

을각각P£, Q£, R£이라하자.

이와같은방법으로세선분APk-1, AQk-1, CRk-1을 2：1로내

분하는점을각각Pk, Qk, Rk(k=4, 5, 6, y)라하자.

자연수 n에 대하여 선분 AR¡과 선분 PnQn의 교점을 An, 선분

AR™와선분PnQn의교점을Bn, 선분AR£과선분PnQn의교점을

Cn, 선분AR¢와선분PnQn의교점을Dn이라하자.

그림의어두운부분의사각형들의넓이의합이

□BR¡A¡P¡+□A¡B¡B™A™+□B™C™C£B£+y= '3을만족할때, p+q의값을구하시오. (단, p, q는서로소인자연

수이다.) 답⃞ 49

qp

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

T£

T¡ T™

A¡

P¡ Q¡

B¡ C¡

D¡

R¡

A¡A™

P¡

P™

Q¡

Q™

B¡ C¡

D¡D™

R¡

R™

A¡A™

P¡

P™

Q¡

Q™

B¡ C¡

D¡D™

R¡

R™

R£

B™ C™

B™ C™

A

B

P¡ Q¡

R¡

A¡ B¡ C¡ D¡

A™ B™ C™D™

A£B£C£D£

R™ R£ R¢

P™ Q™

P£ Q£

C

x

y

O

An

Sn

BnBn+1

An+1

y=Â3xÊ

y=Âx

x=n x=n+1

Sn= = = ⋯⋯∴ p+q=16+49=654916

limn⁄¶

ㄴ. 【반례】a=9, b=13일때,

f(9)=(9-1)(20-9)=88, f(13)=(13-1)(20-13)=84∴ f(9)> f(13) (거짓)

원소n보다작은원소의개수는 n-1이고n보다큰원소의개수는

20-n이므로주어진조건을만족시키는집합X의모든부분집합의개

수는 f(n)=(n-1)(20-n)

= ¥

= ¥ = ¥2'3=3-'3따라서 a=3, b=1이므로 a+b=4

'3-121

'3-12

limn ⁄¶

('3 ∂n+1+'∂3n)'n

'3-12

limn ⁄¶

S3n

'nlimn⁄¶

각사다리꼴의넓이는첫째항이 a¤ (1-r¤ )이고공비가 r‹ 인등비수열이므로

(구하는넓이의합)= = = = '3

∴ p+q=19+30=49

3019

'3a¤ (1+r)12(1+r+r¤ )1-r‹

'312

1-{ } 257

32

2449

32

æ≠3+ +'31n

a¤ (1-r¤ )'312

'3_24{1+ }12{1+ + }4

923

23

[보기]

ㄱ. f(3)=34

ㄴ. a<X, b<X일때, a<b이면 f(a)<f(b)

ㄷ. f(n)=114020¡

n=1


제 2 교시



첫째항이 a이고공비가 인등비수열 {an}에대하여세수 a£, 2,

a¶이이순서대로등비수열을이룰때, 양수 a의값은? (3점)

① 16 ② 20 ③ 24

④ 28 ⑤ 32

12

06

2;3@;_8;9!;의값은? (2점)

① 2 ② 2'2 ③ 4

④ 4'2 ⑤ 8

01


의값은? (2점)

① 4 ② 6 ③ 8

④ 10 ⑤ 12

2_6n+1+36«

limn⁄¶

02


두 함수 f(x), g(x)에 대하여 (g Á f )(x)=3x+2, f —⁄ (2)=1

일때, g(2)의값은? (단, f —⁄는 f의역함수이다.) (3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

04


다항함수 f(x)가 = 을만족시킬때,

f '(1)+f(1)의값은? (3점)

① ② ③ 4

④ ⑤92

174

154

72

32

f(1+h)-3hlim

h ⁄0

05

logª36-log£2의값은? (2점)

① ② ③ 1

④ 2 ⑤ 4

12

14

03

5지선다형



2;3@;_8;9!;=2;3@;_(2‹ );9!;

=2;3@;_2;3!;=2;3@;+;3!;

=2

=

= =1212+0

1

1limn ⁄¶

2_6n+1+36«

limn ⁄¶

log9 36-log3 2=log36-log32

=log3 =log33=162

f —⁄ (2)=1에서 f(1)=2따라서 g(2)=g(f(1))=3_1+2=5

{ f(1+h)-3}=0에서 f(1)=3

= =f '(1)=

∴ f '(1)+f(1)= +3=92

32

32

f(1+h)-f(1)h

limh⁄0

f(1+h)-3h

limh ⁄0

limh ⁄0

a£=a{ }2 , a¶=a{ } 6세수 a£, 2, a¶이이순서대로등비수열을이루므로

4=a£a¶=a{ }2_a{ } 6=a¤ { }8a2=22_28=210

∴ a=25=32(∵ a>0)

12

12

12

12

12

12+36«

9511회정답및해설 115~117p

2014.9

11회



의값은? (3점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

a«+3a«-1lim

n⁄¶

5nn+1

¶¡n=1


함수

⋯⋯f(x)=

(x+2)

a (x=2)

가모든실수 x에서연속일때, 상수 a의값은? (3점)

① 3 ② 4 ③ 5

④ 6 ⑤ 7

x¤ -x-2x-2[

07


두집합X, Y에대하여연산△를

⋯⋯X△Y=(X-Y)'(Y-X)

라고 정의할 때, 집합 {A;(B'C)}△(B△C)를 벤 다이어그

램으로나타낸것은? (3점)

① ②

③ ④

⑤

CB

A

CB

A

CB

A

CB

A

CB

A

08


직선 + =1 (a>0, b>0)이점A(2, 3)을지날때, ab의

최솟값은? (3점)

① 18 ② 21 ③ 24

④ 27 ⑤ 30

yb

xa

10


세수A=2'3, B=‹'∂81, C=›'∂256의대소관계로옳은것은?

(3점)

①A<B<C ②A<C<B

③B<A<C ④C<A<B

⑤C<B<A

11

f(x)=f(2)이어야하므로

f(2)= = (x+1)=3

이때, f(2)=a이므로 a=3

limx ⁄2

(x-2)(x+1)x-2

limx ⁄2

limx ⁄2

{A;(B'C)} (B△C) {A;(B'C)}△(B△C)CB

A

CB

A

=

CB

A

a>0, b>0이므로 1= + æ2æ– ¥

æ– … , … , …

∴ abæ24 {단, 등호는 = 일때성립}따라서 ab의최솟값은 24이다.

3b

2a

124

1ab

14

6ab

12

6ab

3b

2a

3b

2a

A=2'3, B=‹'∂81=3;3$;, C=›'∂256=(2° );4!;=2¤

A, C에서 '3<2이므로A<CB, C를각각세제곱을하면B‹ =81, C‹ =64이므로C‹ <B‹ 에서C<B∴A<C<B

급수 {an- }이수렴하므로 {an- }=0

=

=

= =20+5+30+5-1

limn⁄¶

a«+3a«-1

limn ⁄¶

5nn+1

limn ⁄¶

5nn+1

¶¡n=1

a«- + +3

a«- + -15n

n+15nn+1

5nn+1

5nn+1

{a«- }+ + 3

{a«- }+ - 1limn⁄¶

5nn+1

limn⁄¶

5nn+1

limn ⁄¶

limn⁄¶

5nn+1

limn⁄¶

5nn+1

limn ⁄¶



함수 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)y(x-10)에대하여

의값은? (4점)

①-80 ②-84 ③-88

④-92 ⑤-96

f'(1)f'(4)

15


모든항이양의실수인수열 {an}이

⋯⋯a¡=k, anan+1+an+1=kan¤ +kan(næ1)

을만족시키고 an=5일때, 실수 k의값은? (단, 0<k<1)

(3점)

① ② ③

④ ⑤12

23

34

45

56

¶¡n=1

12



13

어느해상에서태풍의최대풍속은중심기압에따라변한다. 태

풍의중심기압이 P(hPa)일때최대풍속 V(m/초)는 다음식

을만족시킨다고한다.

⋯⋯V=4.86(1010-P)0.5 `

이 해상에서태풍의중심기압이 900(hPa)과 960(hPa)일때,

최대풍속이각각VA(m/초), VB(m/초)이었다. 의값은?

(단, log 1.1=0.0414, log 1.472=0.1679, log 1.483=0.1712,

log 2=0.3010으로계산한다.) (4점)

① 1.301 ② 1.414 ③ 1.472

④ 1.483 ⑤ 1.679

VA

VB

14

x

y

O

2

1

1-1

-1

-2

y=f{x}

f(x)=a일때, f(x+3)의값은? (3점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

limx ⁄a+

limx ⁄-1-

anan+1+an+1=kan¤ +kan에서(an+1)an+1=kan(an+1)이고an+1+0이므로

양변을 an+1로나누면 an+1=kan

즉, 수열 {an}은 a¡=k, 공비가 k인등비수열이므로 an=kn

an= kn= =5에서 k=5-5k

∴ k=56

k1-k

¶¡n=1

¶¡n=1

f(x)=-2이므로 a=-2

f(x+3)에서 x+3=t라하면 x⁄-2+일때, t ⁄1+이므로

f(x+3)= f(t)=1limt ⁄1+

limx⁄-2+

limx⁄-2+

limx⁄-1-

= ={ }0.5='∂2.2에서양변에 log를취하면

log =log'∂2.2 = (log 1.1+log 2)

= (0.0414+0.3010)=0.1712=log1.483

∴ =1.483VA

VB

12

12

VA

VB

11050

4.86(1010-900)0.5

4.86(1010-960)0.5

VA

VB

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)y(x-10)에서

f '(x)=(x-2)(x-3)y(x-10)+(x-1)(x-3)y(x-10)+y+(x-1)(x-2)y(x-9)

f '(1)=(1-2)(1-3)y(1-10)=(-1)(-2)y(-9)f '(4)=(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)y(4-10)=6¥(-1)(-2)y(-6)

∴ =- =-849¥8¥7

6f'(1)f'(4)

9711회정답및해설 117~119p

2014.9

11회


자연수 k에대하여집합Ak를

⋯⋯Ak=[x|logx-[logx]= , 1…x…10fi ]라할때, [보기]에서옳은것만을있는대로고른것은? (단, [x]는

x보다크지않은최대의정수이다.) (4점)

1k

16


수열 {an}의첫째항부터제n항까지의합을Sn이라할때,

⋯⋯[이성립한다.

다음은 ak+1-5 ak를구하는과정이다.n¡

k=1

n¡k=1

a¡=1

4Sn+1=3an+1+10an(n=1, 2, 3, y)

17

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

4Sn+2=3an+2+10an+1에서

an+2=7an+1+ _an이다.

an+1-5an=bn이라하면

수열 {bn}은공비가 2인등비수열이다.

∴ bn= (n=1, 2, 3, y)

따라서 ak+1-5 ak=n¡

k=1

n¡k=1

(가)

(나)

(다)

위의 (가)에 알맞은수를 p, (나), (다)에 알맞은식을각각 f(n),

g(n)이라할때, 의값은? (4점)

①-1027 ②-1025 ③-1023

④-1021 ⑤-1019

2_p_g(10)5_f(3)


그림과같이곡선 y=-x¤ +6과직선 y=x가제1사분면에서만

나는점을A라하고, 점A에서 x축에내린수선의발을 B라하

자. 직선 y=x 위의점 P(a, a)에서선분AB에내린수선의발

을Q라하고, 점P를지나고 y축에평행한직선이곡선

y=-x¤ +6과만나는점을R라할때, 의값은?

(단, 0<a<2) (4점)

PQ”PR”

lima ⁄2-

18

x

y

O

Q

B

A

R

P

y=xy=-x@+6

① ② ③

④ ⑤25

13

415

15

215

ㄷ. Am;An+Δ을만족시키는서로다른자연수m, n이존재한다고하면

10a+ =10b+ (단, 0…a…4, 0…b…4) y㉠

을만족시키는정수 a, b가존재해야한다.

∴n=

a=b, a>b, a<b일경우를나누어살펴보면㉠을만족시키는정수 a, b가존재

하지 않으므로 Am;An+Δ을 만족시키는 서로 다른 자연수 m, n이 존재하지

않는다. (거짓)

m1-(b-a)m

1n

1m

Ak={10;k!;, 101+;k!;, 102+;k!;, 103+;k!;, 104+;k!;}

p=-10, f(n)=2« —⁄ , g(n)=2« -1이므로

= =-10232_(-10)_(2⁄ ‚ -1)

5_2‹ —⁄2_p_g(10)

5_f(3)

= =

= =15

1a+3

lima⁄2-

2-a(a+3)(2-a)

lima⁄2-

2-a-a¤ -a+6

lima⁄2-

PQ”PR”

lima ⁄2-

←←

-10

2n-1

← 2n-1

[보기]

ㄱ. '∂10<A™

ㄴ. n(A£)=n(A∞)

ㄷ. Am;An+Δ을만족하는서로다른자연수m, n이존

재한다.



한변의길이가 1인정육각형에서서로이웃하지않는세변의중

점과이정육각형에외접하는원의중심을각각연결하여세선분

을얻는다. 이세선분을각각가장긴대각선으로하는 3개의정

육각형을그려서얻은 모양의그림을H¡이라하고, 그림H¡

의넓이를S¡이라하자.

그림 H¡에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 H¡을

얻은것과같은방법으로그려서얻은 3개의 모양의그림을

H™라하고, 그림H™의넓이를S™라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째그려서얻은 3« —⁄개의 모

양의그림을H«이라하고, 그림H«의넓이를S«이라할때,

S«의값은? (4점)

① '3 ② '3 ③ '3

④ '3 ⑤ '395

2714

2713

94

2711

1

H¡ H™

¶;n=1

19 [2010년 3월고2 학력평가 19번]

그림과같이좌표평면위의점 P(1, 2)를 x`축의방향으로 a만큼

평행이동시킨점을 Q, y축의방향으로 b만큼평행이동시킨점을

R라하자.

20

x

y

O

Q2

R

1

P a

b

원점 O와두점 Q, R를꼭짓점으로하는삼각형 OQR의넓이가

4일때, 양수 a, b의순서쌍 (a, b)를좌표평면에나타낸것은?

(4점)

① ②

③ ④

⑤

a

b

O

4

8

a

b

O

4

8a

b

O

8

4

a

b

O

8

4a

b

O

8

4

r= _3=

S¡= '3_3= '3

∴ S«= = '32714

27 '3ƒ 321-;1ª6;

¶¡n=1

2732

932

916

316

S=(a+1)(b+2)-(S¡+S™+S£)

=(a+1)(b+2)-[ _(a+1)_2+ _(b+2)_1- ab]= ab+a+ b=4

ab+2a+b=8, b(a+1)=-2a+8

∴ b= = =-2+ (a>0, b>0)

즉, 양수 a, b의순서쌍 (a, b)가나타내는도형은분수함수 b= 의그래프를 a축

의 방향으로 -1만큼, b축의 방향으로 -2만큼 평행이동시킨 그래프이므로 순서쌍

(a, b)를좌표평면에나타내면①과같다.

10a

10a+1

-2(a+1)+10a+1

-2a+8a+1

12

12

12

12

12

x

y

O

Q{a+1,2}

{a+1,b+2}

2

R{1,b+2}

1

P a

a+1

b+2

S¡

S™

S£

b

9911회정답및해설 120~122p

2014.9

11회


함수 f(x)=x‹ +10x에대하여 f '(0)의값을구하시오. (3점) 답⃞ 10

23


닫힌구간 [-2, 5]에서정의된함수 y=f(x)의그래프가그림과

같다.

=1을 만족시키는 상수 a의 개수는?

(4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

|nf(a)-1|-nf(a)2n+3

limn⁄¶

x

y

O

2

-2

-2 5

y=f(x)

21


의값을구하시오. (3점) 답⃞ 10(x-4)(x+6)

x-4limx ⁄4

22


자연수 n에대하여 2n-1의모든양의약수의합을 an이라할때,

an의값을구하시오. (3점) 답⃞ 5028¡

n=1

25


다항함수 f(x)가 =9를만족시킨다.

g(x)=xf(x)라할때, g'(1)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 14

f(x)-5x-1lim

x⁄1

26

[2011년 3월고2 학력평가 23번]

실수 x에대한두조건

⋯⋯p : -1<x<a+1

⋯⋯q : |x-10|æ1

에대하여명제 p⁄ q가참이되도록하는상수 a의최댓값을구

하시오. (3점) 답⃞ 8

24

단답형

⁄ nf(a)-1æ0일때,

= =0

그런데 =1에모순이다.

¤ nf(a)-1<0일때,

= =-f(a)=1

∴ f(a)=-1

따라서주어진그래프에서 f(a)=-1을만족하는x=a의값은그림과같이 a, b로 2개존재한다.

1-2nf(a) 2n+3

limn ⁄¶

-nf(a)+1-nf(a) 2n+3

limn⁄¶

|nf(a)-1|-nf(a) 2n+3

limn ⁄¶

-1 2n+3

limn ⁄¶

nf(a)-1-nf(a) 2n+3

limn⁄¶ x

a b

y

O

2

-2-1

-2 5

y=f(x)

y=-1

= (x+6)=10limx ⁄4

(x-4)(x+6)x-4

limx ⁄4

f '(x)=3x¤ +10이므로

f '(0)=3_0¤ +10=10

P={x|-1<x<a+1}Q={x|x…9 또는 xæ11}P,Q이려면 a+1…9이어야한다.

따라서 a…8이므로 a의최댓값은 8이다.

an=1+2+y+2n-1= =2n-1

∴ an= (2n-1)= 2n- 1= -8

=2· -2-8=502

2_(2° -1)2-1

8

¡n=1

8

¡n=1

8

¡n=1

8

¡n=1

1_(2« -1)2-1

{ f(x)-5}=0을만족하므로

{ f(x)-5}=f(1)-5=0⋯⋯∴ f(1)=5

따라서 = =f '(1)이므로 f '(1)=9

g(x)=xf(x)에서 g '(x)=f(x)+xf '(x)∴ g '(1)=f(1)+f '(1)=5+9=14

f(x)-f(1)x-1

limx ⁄1

f(x)-5x-1

limx⁄1

limx ⁄1

limx ⁄1


[2009년 3월고2 학력평가 29번]

두함수

f(x)='ƒx+4-3, g(x)='ƒ-x+4+3

의 그래프와 두 직선 x=-4, x=4로 둘러싸인 도형의 넓이를

구하시오. (4점) 답⃞ 48

27


자연수 n에대하여점 (3n, 4n)을중심으로하고 y축에접하는

원 O«이있다. 원 O« `위를움직이는점과점 (0, -1) 사이의거

리의최댓값을 a«, 최솟값을 b«이라할때, 의 값을구하

시오. (4점) 답⃞ 4

a«b«lim

n ⁄⁄¶

28


실수 t에 대하여 직선 y=t가 곡선 y=|x¤ -2x|와 만나는 점의

개수를 f(t)라하자. 최고차항의계수가 1인이차함수 g(t)에대

하여 함수 f(t)g(t)가 모든 실수 t에서 연속일 때, f(3)+g(3)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 8

29


그림과같이점A는두직선 y=1과 y='3x의교점이다. 자연수

n에대하여 y=1 위에ABn”=n인점을Bn, y='3x 위에

ACn”=n인점을 Cn이라하자. 삼각형ABnCn의무게중심의 y좌

표를 an이라할때, an>6을만족하는 n의최솟값을구하시오.

(단, Bn, Cn은제1사분면의점이다.) (4점)

30

x

y y=|x@-2x|

O 2

x

y

OA B¡

C¡C™C£

B™ B£1 y=1

y=Â3x답⃞ 18

x=-4, x=4와두함수의그래프로둘러싸인도형은빗금친부분이다. 그런데그림

에서두어두운부분의넓이가같으므로구하는도형의넓이는네직선 x=-4, x=4와 y=3, y=-3으로둘러싸인직사각형의넓이이다.

따라서구하는넓이는 8_6=48

O-4 4

8

6

3

-3

y

x

y= x+4-3

y= -x+4+3

=

=

= =4'∂25+3'∂25-3

limn ⁄¶

"√25n¤ +8n+1+3n"√25n¤ +8n+1-3n

limn ⁄¶

a«b«lim

n ⁄¶

f(t)=

⁄ t=0일때, 0=4g(0)=2g(0)이성립해야하므로 g(0)=0¤ t=1일때, 4g(1)=2g(1)=3g(1)이성립해야하므로 g(1)=0⁄, ¤에서 g(0)=g(1)=0이고최고차항의계수가 1인이차함수 g(t)는g(t)=t(t-1)∴ g(3)=3_2=6∴ f(3)+g(3)=2+6=8

0 (t<0)2 (t=0)4 (0<t<1)3 (t=1)2 (t>1)

({9

삼각형ABnCn에서ABn”=ACn ”=n이고∠BnACn=60˘이므로삼각형ABnCn은

한변의길이가n인정삼각형이다.

이때, 정삼각형 ABnCn의무게중심을 Gn이라하고점 Gn에서선분ABn에내린수

선의발을Hn이라하면정삼각형ABnCn의높이가 n이고

CnGn”：GnHn”=2：1이므로GnHn”= n_

따라서점Gn의 y좌표 an은 an= n_ +1

an>6에서

n_ +1>6, n>5, n> ⋯⋯∴n>'∂300이때, 18¤ =324, 17¤ =289이므로 17<'ƒ300<18따라서n의최솟값은 18이다.

30'3

'36

13

'32

13

'32

13

'32

'32

æ≠≠≠≠≠≠≠≠25+ + +3

æ≠≠≠≠≠≠≠≠25+ + -31n¤

8n

1n¤

8n


2014.9

11회

10111회정답및해설 122~125p

01그림과같이좌표평면위의점P(a, b)를직선 y=x`에대하여대

칭이동시킨후다시 x축에대하여대칭이동시킨점을Q라하자.

03실수 t에 대하여 직선 y=t가 곡선 y=|x¤ -4x|와 만나는 점의

개수를 f(t)라 하자. 이차함수 g(t)에 대하여 함수 f(t)g(t)가모든 실수 t에서 연속이고, f(2)g(2)=-16일 때, g(6)의 값을

구하시오. 답⃞ 12

02닫힌구간 [-2, 5]에서정의된함수 y=f(x)의그래프가그림과

같다.

=-1을 만족시키는 상수 a의 개

수는?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

n|f(a)|f(a)-n{ f(a)}¤2n+3

limn⁄¶

x

y

O

2

-2

-2 5

y=f(x)

04그림과같이점A는두직선 y=1과 y='3x의교점이다. 자연수

n에대하여 y=1 위에ABn”=n인점을Bn, y='3x 위에ACn”=n

인점을Cn이라하자. 삼각형ABnCn의넓이를 an이라할때,

an>6을만족하는 n의최솟값을구하시오. (단, Bn, Cn은제1사

분면의점이다.) 답⃞ 4

x

y

O

Q

P{a, b}y=x

a

b

원점 O와두점 P, Q를꼭짓점으로하는삼각형 OQP의넓이가

8일때, 두실수 a, b의순서쌍 (a, b)가나타내는도형의넓이는?

① 4p ② 8p ③ 12p④ 16p ⑤ 20p

x

y

O 4

y=|x@-4x|

x

y

OA B¡

C¡C™C£

B™ B£1 y=1

y=Â3x

삼각형OQP의넓이를S라하면

S= (|a|+|b|)(|a|+|b|)-{ |a||b|+ |a||b|}= (a¤ +2|a||b|+b¤ -2|a||b|)= (a¤ +b¤ )=8

∴ a¤ +b¤ =16따라서두실수 a, b의순서쌍 (a, b)가나타내는도형은반지름의길이가 4인원이므

로구하는도형의넓이는 4¤ p=16p

12

12

12

12

12

f(a)<0일때, |f(a)|=-f(a)이므로

=

= =-{ f(a)}¤

즉, -{ f(a)}¤ =-1에서 { f(a)}¤ =1이때, f(a)<0이므로 f(a)=-1이고주어진그래프에서이것을만족시키는 a의개

수는 2이다.

-2n{ f(a)}¤2n+3

limn ⁄¶

-nf(a)f(a)-n{ f(a)}¤2n+3

limn ⁄¶

n|f(a)|f(a)-n{ f(a)}¤2n+3

limn⁄¶

f(t)=

⁄ t=0일때, 0=4g(0)=2g(0)이성립해야하므로 g(0)=0¤ t=4일때, 4g(4)=2g(4)=3g(4)가성립해야하므로 g(4)=0⁄, ¤에서 g(0)=g(4)=0이고이차함수 g(t)의최고차항의계수를

a(a+0)로놓으면 g(t)=at(t-4)라할수있다.

한편, f(2)g(2)=-16에서 f(2)=4이므로

4_g(2)=-16⋯⋯∴ g(2)=-4즉, g(2)=2a(2-4)=-4a=-4⋯⋯∴ a=1따라서 g(t)=t(t-4)이므로 g(6)=6_(6-4)=12

0 (t<0)2 (t=0)4 (0<t<4)3 (t=4)2 (t>4)

({9

삼각형 ABnCn에서 ABn”=ACn ”=n이고 ∠BnACn=60˘이므로 삼각형 ABnCn은

한변의길이가n인정삼각형이다.

∴ an=△ABnCn= n¤

an>6에서 n¤ >6, n¤ > =8'3이고

3¤ =9<8'3<16=4¤ 이므로 an>6을만족하는n의최솟값은 4이다.

24'3

'34

'34


제 2 교시



등차수열 {an}에대하여 a¡=3, a∞=a£+4일때, an>100을만족

시키는자연수 n의최솟값은? (3점)

① 46 ② 47 ③ 48

④ 49 ⑤ 50

06

3;3!;_‹"≈3¤의값은? (2점)

① ② ③ '3④ 3 ⑤ 3'3

'33

13

01


의값은? (2점)

① 10 ② 11 ③ 12

④ 13 ⑤ 14

x¤ +11xxlim

x ⁄0

02


명제‘x>'2이면 xæ'6이다.’는 거짓이다. 다음 중 이 명제가

거짓임을보이는예가될수있는것은? (3점)

① ;2!; ② '2 ③ 2

④ '6 ⑤ p

04


두수열 {an}, {bn}에대하여 an=5, (bn-4)=0이성립

할때, anbn의값은? (3점)

① 16 ② 17 ③ 18

④ 19 ⑤ 20

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

05


등비급수 5{;4#;}n-1

의값은? (2점)

① 5 ② 10 ③ 15

④ 20 ⑤ 25

¶;n=1

03

5지선다형



3;3!;_‹"≈3¤ =3;3!;_3;3@;=3;3!;+;3@;=3⁄ =3

= (x+11)

=0+11=11

limx ⁄0

x¤ +11xx

limx⁄0

5{ } « —⁄ = =2053

4

¶¡n=1

‘가정은성립하지만, 결론은성립하지않는값`’이반례이므로‘x>'2이지만x<'6`’인 x를하나찾으면된다.

이때, x=2이면 2>'2이지만 2<'6이므로 2는구하는반례가될수있다.

(bn-4)=0이므로

bn= {(bn-4)+4}

bn= (bn-4)+ 4

bn=0+4=4

따라서 an=5이고 bn=4이므로

anbn= an_ bn=5_4=20limn ⁄¶

limn⁄¶

limn ⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

an=3+(n-1)2=2n+1an>100에서

2n+1>100, 2n>99

∴n> =49.5

따라서 an>100을만족시키는자연수n의최솟값은 50이다.

992

1-34

10312회정답및해설 126~128p

2013.9

12회


두집합

⋯⋯A={x|(x-1)(x-26)>0}

⋯⋯B={x|(x-a)(x-a¤ )…0}

에대하여A;B=Δ이되도록하는정수 a의개수는? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

09


두실수 a, b에대하여다음(가), (나)에알맞은것은?

(단, i='∂-1이다.) (3점)

07


다항함수 f(x)가 =2를만족시킬때,

x¤ f { }의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

1xlim

x ⁄0+

f(x)-x¤xlim

x ⁄¶

08


= 일때, n의값은? (3점)

① 11 ② 12 ③ 13

④ 14 ⑤ 15

154

4k(k+1)

n;k=1

10


함수 f(x)=x¤ +8x에대하여 의값은?

(3점)

① 16 ② 17 ③ 18

④ 19 ⑤ 20

f(1+2h)-f(1)hlim

h ⁄0

11

•ab=0은 a+bi=0이기위한 조건이다.

•a+b=0은 a¤ -b¤ =0이기위한 조건이다.

(가)

(나)

(가) (나)

① 충분 필요

② 필요 필요충분

③ 충분 필요충분

④ 필요 충분

⑤필요충분 충분


그림은 xæ0에서정의된두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프와

직선 y=x를나타낸것이다. g—⁄ (f(c))의값은? (단, g는역함수가

존재하는함수이다.) (3점)

① a ② b ③ c

④d ⑤ e

xa b c ed

y y=x

y=f(x)

y=g(x)

O

12f(x)-x¤ =ax+b(단, a, b는상수)라하면

= =2에서 a=2

따라서 f(x)-x¤ =2x+b이므로 f(x)=x¤ +2x+b

∴ x¤ f{ }= x¤ [{ } 2+2{ }+b]= (1+2x+bx¤ )=1lim

x ⁄0+

1x

1x

limx ⁄0+

1x

limx ⁄0+

ax+bx

limx⁄¶

f(x)-x¤x

limx⁄¶

집합`À에서``부등식 (x-1)(x-26)>0`의해는

x<1 또는 x>26집합B에서``부등식 (x-a)(x-a¤ )…0의해는

a…x…a¤A;B=Δ이어야하므로

aæ1이고 a¤ …26a¤ …26에서 a…'∂26∴ 1…a…'∂26이때, 5<'∂26<6이므로 A;B=Δ이 되도록 하는 정수 a는 1, 2, 3, 4, 5로5개이다.

=4 =4 { - } =4{1- }=

따라서 = 이므로 16n=15(n+1) ∴n=15154

4nn+1

4nn+1

1n+1

1k+1

1k

n

¡k=1

1k(k+1)

n

¡k=1

4k(k+1)

n

¡k=1

= _2=2f '(1)

이때, f(x)=x¤ +8x에서 f '(x)=2x+8이므로

2f '(1)=2(2+8)=20

f(1+2h)-f(1)2h

limh ⁄0

f(1+2h)-f(1)h

limh ⁄0

오른쪽그래프에서 f(c)=b이므로

g—⁄ (f(c))=g—⁄ (b)이때, g—⁄ (b)=k라 하면 g(k)=b인데 주어진 그래

프에서 g(a)=b이므로 k=a이다.

따라서 g—⁄ (f(c))=g—⁄ (b)=a

x

yy=x

a c

c

e

e

b

b

d

d

y=f(x)

y=g(x)

O

←

←

필요

충분


양수 a에대하여N(a)를 log™a의정수부분이라하자. 1보다큰

두실수 x,`y에대하여N(x)N(y)=2를만족시키는점 (x, y)

가존재하는영역의넓이는? (4점)

① 16 ② 18 ③ 20

④ 22 ⑤ 24

15


함수

⋯⋯f(x)=

가실수전체의집합에서연속일때, 두 상수 a, b의곱 ab의값

은? (4점)

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

x2n+1+ax¤ +bx-2x2n+1

limn⁄¶

16


BC”, OC”, AC”가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 k의 값

은? (3점)

① 1 ② '3 ③ 3

④ 3'3 ⑤ 9

13


의값은? (4점)

① ② ③

④ ⑤ 112

13

14

15

OA”-AC”OB”-BC”

limk ⁄⁄0+

14

[ 13~14 ] 그림과 같이 두 함수 y=3'ßx, y='ßx의 그래프와 직선x=k가 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 x=k가 x축과

만나는 점을 C라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

(단, k>0이고, O는 원점이다.)

y x=k

y="x

y=3"x

xO

A

B

C

BC”='ßk, OC”=k, AC”=3'ßk 즉, 'ßk, k, 3'ßk가이순서대로등비수열을이루므로

k¤ ='ßk_3'ßk에서

k¤ =3k, k(k-3)=0 ∴ k=3 (∵ k>0)

=

= (∵ k>0)

= =

= = = 13

1+13+3

'ƒk+1+1'ƒk+9+3

limk ⁄0+

k('ƒk+1+1)k('ƒk+9+3)

limk⁄0+

'ƒk+9-3'ƒk+1-1

limk ⁄0+

'k('ƒk+9-3)'k('ƒk+1-1)

limk ⁄0+

"√k¤ +ç9k-3'ßk"√k¤ +≈k-'ßklim

k ⁄0+

OA”-AC”OB”-BC”

limk⁄0+

⁄ (N(x), N(y))=(2, 1)일때,

4…x<8, 2…y<4즉, 점 (x, y)가존재하는영역의넓이는 4_2=8

¤ (N(x), N(y))=(1, 2)일때,

2…x<4, 4…y<8즉, 점 (x, y)가존재하는영역의넓이는 2_4=8

⁄, ¤에의하여구하는영역의넓이는 8+8=16

f(x)=

⁄ x=-1일때,

f(x)= f(x)=f(-1)이어야하므로

-1=a-b-2= ⋯⋯∴ a-b=1 y㉠

¤ x=1일때,

f(x)= f(x)=f(1)이어야하므로

a+b-2=1= ⋯⋯∴ a+b=3 y㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, b=1∴ ab=2

a+b-12

limx⁄1+

limx⁄1-

a-b-32

limx⁄-1+

limx⁄-1-

(|{|9

x (x<-1)

(x=-1)

ax¤ +bx-2 (-1<x<1)

(x=1)

x (x>1)

a+b-12

a-b-32

10512회정답및해설 128~130p

2013.9

12회


어떤앰프에스피커를접속케이블로연결하여작동시키면접속

케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를

때생기는저항)에따라전송손실이생긴다.

접속케이블의저항을R, 스피커의임피던스를 r, 전송손실을L

이라하면다음과같은관계식이성립한다고한다.

⋯⋯L=10log{1+ }(단, 전송손실의단위는 dB, 접속케이블의저항과스피커의임

피던스의단위는X이다.)

이 앰프에 임피던스가 8인 스피커를 저항이 5인 접속 케이블로

연결하여작동시켰을때의전송손실은저항이 a인접속케이블

로교체하여작동시켰을때의전송손실의 2배이다. 양수 a의값

은? (4점)

2Rr

17 [2013년 10월 고3 A형학력평가 16번]


[보기]에서옳은것만을있는대로고른것은? (4점)

y=f(x)

x

y

O-1

-1

1

1

18

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ


2 이상의자연수 k`에대하여집합

⋯⋯Ak={x|logk x가유리수, 2…x…100인자연수}

라할때, [보기]에서항상옳은것만을있는대로고른것은?

(단, n(A)는집합A의원소의개수이다.) (4점)

19

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

임피던스가 8, 저항이 5일때, 전송손실이 2k이므로

2k=10 log {1+ } y㉠

임피던스가 8, 저항이 a일때, 전송손실이 k이므로

k=10 log {1+ } y㉡


20log {1+ }=10 log {1+ }{1+ } 2= , 1+ =—

∴ a=2 또는 a=-10이때, a는양수이므로 a=2

32

a4

94

2a8

2_58

2a8

2a8

2_58

ㄴ. f(-x)에서-x=t로치환하면 f(t)이다. 이때, x=1에서

좌극한값을구하면

f(-x)= f(t)=-1

우극한값을구하면

f(-x)= f(t)=1

따라서 f(-x)+ f(-x)이므로함수 f(-x)는 x=1에서의

극한값이존재하지않는다. (거짓)

limx⁄1+

limx⁄1-

limt⁄-1-

limx ⁄1+

limt⁄-1+

limx ⁄1-

limt⁄-1

limx ⁄1

ㄷ. x<(Am;An)에대하여 x=mp=nq (p , q는양의유리수)이므로

m=x;p!;, n=x;q!;

또한 y<Am이면 y=mr=x;pR;=n;;QpR; (r는양의유리수)이므로 y<An

∴Am,An

같은방법으로An,Am이므로Am=An (참)

[보기]

ㄱ. f(x)+ f(x)=0

ㄴ. f(-x)는존재한다.

ㄷ. 함수 f(x)f(-x)는 x=1에서연속이다.

limx⁄1

limx⁄1+

limx ⁄-1-

[보기]

ㄱ. n(A™)=6

ㄴ. n(A£)+n(Aª)+n(A™¶)+n(A•¡)=16

ㄷ. Am;An+Δ이면Am=An이다.



첫째항이 1인수열 {an}에대하여Sn= ak라할때,

⋯⋯an+1=(2n-1)(Sn+1)(næ1) y(*)

이성립한다. 다음은일반항 an을구하는과정이다.

n¡k=1

20 [2015년 4월고3 A형학력평가 20번]

자연수 n에대하여그림과같이두점 An(n, 0), Bn(0, n+1)

이 있다. 삼각형 OAnBn에 내접하는 원의 중심을 Cn이라 하고,

두점Bn과 Cn을지나는직선이 x축과만나는점을 Pn이라하자.

의값은? (단, O는원점이다.) (4점)OPn ”n

limn⁄¶

21

식 (*)의양변에Sn을더하여정리하면

Sn+1+1=2n(Sn+1)

이다. bn=log™(Sn+1)이라하면 b¡=1이고

bn+1= +bn

이다. 수열 {bn}의일반항을구하면

bn= (næ1)

이므로

Sn=2 -1(næ1)

이다. 그러므로 a¡=1이고, næ2일때

an=Sn-Sn-1

an=2 -2

an=2 _(2n-1-1)

이다.

n¤ -n+22

n¤ -n+22

n¤ -n+22

(가)

(나)

(나)

위의 (가)와 (나)에알맞은식을각각 f(n), g(n)이라할때,

f(12)-g(5)의값은? (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

x

y

O

Bn

Cn

Pn An

① ② '2-1 ③ 2-'2

④ ⑤ 2'2-2'22

'2-12

f(n)=n, g(n)= 이므로

f(12)-g(5)=12- =55¤ -3_5+4

2

n¤ -3n+42

OPn ”= y㉠

rn= (2n+1-"√2n¤ +2n+1) y㉡


OPn ”=

OPn=

∴ =

= ='2-1limn ⁄¶

(n+1)(2n+1-"√2n¤ +2n+1)n(1+"√2n¤ +2n+1)

limn ⁄¶

OPn”n

limn ⁄¶

(n+1)(2n+1-"√2n¤ +2n+1)1+"√2n¤ +2n+1

12

(n+1)r«n+1-r«

x

y

O

Bn

CnEn

rnFn

PnDn An

n+1-rn2n@+2n+1

(n+1)(2n+1-"√2n¤ +2n+1)

n+1- (2n+1-"√2n¤ +2n+1)12

12

{1+ }{2+ -æ≠2+ + }+æ≠2+ +

1n¤

2n

1n

1n¤

2n

1n

1n

←n

←n¤ -3n+4

2

10712회정답및해설 131~133p

2013.9

12회

[2009년 3월고2 학력평가 25번]

좌표평면에점 P(0, 3)과곡선 y= +3이있다. 점 Q가이곡

선위를움직일때, 선분 PQ의길이의최솟값을m이라하자. m¤


8x

23


함수

⋯⋯f(x)=[가 x=2에서미분가능할때, 상수 a, b에대하여 ab의값을구하

시오. (3점) 답⃞ 36

-x¤ +ax+2 (xæ2)

2x+b (x<2)

24

[2012년 7월 고3 가형학력평가 24번]

다항함수 f(x)에대하여 =-1일때,

의값을구하시오. (3점) 답⃞ 14f(1-2h)-f(1+5h)

hlimh ⁄⁄0

f(x)-f(1)x¤ -1

limx ⁄⁄1

25

[2010년 3월고2 학력평가 30번]

케플러의법칙에의하면지구의질량이M kg, 지구의중심에서

인공위성까지의 거리가 r m일 때 인공위성이 지구 주위를 도는

주기T는

T=æ≠ (단, G는상수이고주기의단위는초이다.)

이성립한다고한다.

지구의반지름의길이를 Rm라할때지표면으로부터의거리가

m인 인공위성의 주기는 T¡이고, 지표면으로부터의 거리가

m인인공위성의주기는T™이다. T™=2'2T¡이성립할때,

상수 a의값을구하시오. (4점) 답⃞ 12

aR10

R10

rR

4p¤ r‹GM

26


두 상수 a, b에 대하여 =6일 때, a+b의 값을

구하시오. (3점) 답⃞ 14

x+2'ƒx+a-b

limx ⁄-2

22

단답형

'ƒx+a-b=0에서 'ƒa-2-b=0이므로 b='ƒa-2 y㉠

=

=

= ('ƒx+a+'ƒa-2)=2'ƒa-2=6

∴ a=11a=11을㉠에대입하면 b='ƒ11-2=3∴ a+b=11+3=14

limx⁄-2

(x+2)('ƒx+a+'ƒa-2)x+2

limx⁄-2

x+2'ƒx+a-'ƒa-2

limx⁄-2

x+2'ƒx+a-b

limx ⁄-2

limx ⁄-2

PQ”=æ≠a¤ +{ } 2

a¤ +{ } 2æ2æ≠a¤ _{ } 2=16 {단, 등호는 a¤ ={ }2일때성립}따라서PQ”의길이의최솟값은m='∂16=4이므로m¤ =16이다.

8a

8a

8a

8a

f(x)= f(x)=f(2)이므로

4+b=-4+2a+2⋯⋯∴ b=2a-6 y㉠

= =2

=

=-4+a이때, 함수 f(x)가 x=2에서미분가능하므로 2=-4+a에서 a=6이다.

a=6을㉠에대입하면 b=2¥6-6=6∴ ab=36

{-(2+h)¤ +a(2+h)+2}-(-4+2a+2)h

limh ⁄0+

f(2+h)-f(2)h

limh⁄0+

{2(2+h)+2a-6}-(2a-2)h

limh ⁄0-

f(2+h)-f(2)h

limh⁄0-

limx ⁄2+

limx⁄2-

=

=;2!; f '(1)=-1

∴ f '(1)=-2 y㉠

=-2 -5

=-2f '(1)-5f '(1)=-7f '(1)=(-7)_(-2)(∵㉠)=14

f(1+5h)-f(1)5h

limh⁄0

f(1-2h)-f(1)-2h

limh⁄0

f(1-2h)-f(1+5h)h

limh⁄0

f(x)-f(1)(x-1)(x+1)

limx⁄1

f(x)-f(1)x¤ -1

limx ⁄1

T¡=»«…

,T™=»«…

T™=2'2T¡에서T™¤ =8T¡¤ 이므로

=8_

{ }3=2‹ _{ }3 , (10+a)‹ =22‹

10+a=22⋯⋯∴ a=12

1110

10+a10

GMGM

GMGM

4p ¤ { R} 31110

4p¤ { R} 31110

4p¤ { R}310+a10

4p¤ { R} 310+a10



최고차항의계수가 1인삼차함수 f(x)와실수 a가다음조건을

만족시킬때, f '(a)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 5

27


함수

⋯⋯f(x)=[에 대하여 함수 f(-x){ f(x)+k}가 x=2에서 연속이 되도록

하는상수 k의값을구하시오. (4점) 답⃞ 16

x¤ +1 (|x|…2)

-2x+3 (|x|>2)

28


집합U={x|x`는 30 이하의자연수}의부분집합

A={a¡, a™, a£, y, a¡∞}가다음조건을만족시킨다.

29


한변의길이가 1인정사각형을 R¡이라하자. 그림과같이 R¡의

한꼭짓점과정사각형R¡의변위의두점을세꼭짓점으로하는

정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후,

이원에내접하는하나의정사각형을R™라하자.

정사각형 R™의 한 꼭짓점과 정사각형 R™의 변 위의 두 점을 세

꼭짓점으로하는정삼각형하나를그리고이정삼각형에내접하는

원을그린후, 이원에내접하는하나의정사각형을R£이라하자.

이와같은과정을계속하여 n번째얻은정사각형을R«이라하자.

정사각형 R«의넓이를 S«이라할때, S«= 이다. 이

때, a+b의값을구하시오. (단, a, b는자연수이다.) (4점) 답⃞ 9

a+b'311

¶;n=1

30

(가) f(a)=f(2)=f(6)

(나) f '(2)=-4

(가) 집합A의임의의두원소 ai, aj (i+j)에대하여

ai+aj+31

(나) ai=26415¡i=1

ai¤의값을구하시오. (4점) 답⃞ 18415¡i=1

131

R¡ R™ R£

조건(가)에서 f(a)=f(2)=f(6)=k로놓으면

f(a)-k=f(2)-k=f(6)-k=0즉, g(x)=f(x)-k라하면 g(a)=g(2)=g(6)=0이므로

g(x)=(x-a)(x-2)(x-6)∴ f(x)=(x-a)(x-2)(x-6)+kf'(x)=(x-2)(x-6)+(x-a)(x-6)+(x-a)(x-2) y ㉠

조건(나)에서 f '(2)=-4이므로 x=2를㉠에대입하면

-4(2-a)=-4⋯⋯∴ a=1따라서 x=a를㉠에대입하면

f '(a)=(a-2)(a-6)∴ f '(1)=(-1)_(-5)=5

f(x)=5, f(x)=-1

한편, -x=t라하면

x 2⁄ 2-일때 t 2⁄ -2+, x 2⁄ 2+일때 t 2⁄ -2-이므로

f(-x)= f(t)=5

f(-x)= f(t)=7

f(-x){ f(x)+k}=5(5+k)

f(-x){ f(x)+k}=7(-1+k)

함수 f(-x){ f(x)+k}가 x=2에서연속이되기위해서는

5(5+k)=7(-1+k)25+5k=-7+7k-2k=-32∴ k=16

limx ⁄2+

limx ⁄2-

limt ⁄-2-

limx ⁄2+

limt ⁄-2+

limx ⁄2-

limx ⁄2+

limx ⁄2-

조건(가)에서두원소의합이 31이아니므로집합A에속하지않는원소는

31-ai(1…i…15)

ai2+ (31-ai)¤ = i ¤

ai2+ 31¤ -62 ai+ ai

2=

2 ai2+15_31¤ -62_264=5_31_61

ai2= (5_3_61-15_31¤ +62_264)

∴ ai2= (5_31_61-15_31¤ +62_264)=184

12_31

15

¡i=1

131

12

15

¡i=1

15

¡i=1

30_31_616

15

¡i=1

15

¡i=1

15

¡i=1

15

¡i=1

30

¡i=1

15

¡i=1

15

¡i=1

수열 {S«}은첫째항이 1이고공비가 인등비수열이므로

S«=

S«= =

∴ a+b=3+6=9

a+b'311

3+6'311

14-2'3

1-111243

¶¡n=1

4-2'33


2013.9

12회

10912회

012 이상의자연수 k`에대하여집합

⋯⋯Ak={x|logk x가무리수, 2…x…100인자연수}

라할때, [보기]에서항상옳은것만을있는대로고른것은?

(단, n(A)는집합A의원소의개수이다.)

03최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 곡선 f(x)가

직선 y=k(k는상수)와두점에서만난다. 삼차함수 f(x)와실

수 a가다음조건을만족시킬때, f '(4)의값을구하시오.

02그림과 같이 자연수 n에 대하여 점 Pn(n+1, 0)을 지나고 원

x¤ +y¤ =n¤ 에 접하는 직선이 원과 제1사분면에서 만나는 점을

Qn, y축과 만나는 점을 Rn이라 하자. 삼각형 OPnQn의 넓이를

Sn, 삼각형 OQnRn의 넓이를 Tn이라 할 때, 의 값을

구하시오. (단, O는원점이다.) 답⃞ 10

5nSn

Tnlimn ⁄¶

04집합U={x|x`는 20 이하의자연수}의부분집합

A={a¡, a™, a£, y, a¡º}이다음조건을만족시킨다.

①ㄱ ②ㄴ ③ㄷ

④ㄱ, ㄴ ⑤ㄴ, ㄷ

y

x

Rn

Qn

PnO

x@+y@=n@

(가) f(a)=f(3)=k

(나) f '(3)=4

(다) a<3

(가) 집합A의임의의두원소 ai, aj (i+j)에대하여

ai+aj+21

(나) ai2=1246

10¡i=1

ai의값을구하시오. 답⃞ 9610¡i=1

답⃞ 15

ㄴ. A™={x|log™ x가 무리수, 2…x…100인 자연수}이므로 x는 2의 거듭제곱 꼴인

자연수가아니어야한다.

따라서 x는 2, 4, 8, 16, 32, 64의 6개를제외해야하므로

n(A™)=99-6=93또한A¢={x|log¢ x가무리수, 2…x…100인자연수}이고

log¢ x= log™ x이므로 log¢ x는 log™ x가무리수일때만무리수가된다.

즉, log™ x가무리수인A™의모든원소가A¢의원소가되므로

n(A™)=n(A¢)

마찬가지로A•에서도 log• x= log™ x이므로n(A™)=n(A•)

∴n(A™)+n(A¢)+ n(A•)=93_3=279 (참)

13

12

Sn=△OPnQn= ¥OPn”¥b

= ¥(n+1)¥ =

Tn=△OQnRn= ¥ORn”¥a

= ¥ ¥ =

∴ = = =1010n¤ (2n+1)

2n‹limn⁄¶

limn⁄¶

5nSn

Tn

limn ⁄¶

n‹2'ƒ2n+1

n¤n+1

n(n+1)'ƒ2n+1

12

12

n'ƒ2n+12

n'ƒ2n+1n+1

12

12

⁄ f(x)-k=(x-a)(x-3)¤ , 즉 f(x)=(x-a)(x-3)¤ +k일때,

양변을 x에대하여미분하면 f '(x)=(x-3)¤ +2(x-a)(x-3)양변에 x=3을대입하면 f '(3)=0그런데이것은조건(나)를만족시키지않는다.

¤ f(x)-k=(x-a)¤ (x-3), 즉 f(x)=(x-a)¤ (x-3)+k일때,

양변을 x에대하여미분하면 f '(x)=2(x-a)(x-3)+(x-a)¤양변에 x=3을대입하면 f '(3)=(3-a)¤ =4 (∵조건 (나))에서

3-a=—2⋯⋯∴ a=1 또는 a=5그런데조건(다)에서 a<3이므로 a=1∴ f '(x)=2(x-1)(x-3)+(x-1)¤

⁄, ¤에의하여 f '(x)=2(x-1)(x-3)+(x-1)¤∴ f '(4)=2(4-1)(4-3)+(4-1)¤ =2_3_1+3¤ =15

조건(가)에서두원소의합이 21이아니므로집합A에속하지않는원소는

21-ai(1…i…10)

ai2+ (21-ai)¤ = i ¤ 에서

ai2+ 21¤ -42 ai+ ai

2=

이때, 조건 (나)에서 ai¤ =1246이므로

1246+21¤ _10-42 ai+1246=2870

-42 ai+6902=2870, -42 ai=-4032

∴ ai=9610

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

20_21_416

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

20

¡i=1

10

¡i=1

10

¡i=1

5n¥

n‹2'ƒ2n+1

n'ƒ2n+12

[보기]

ㄱ. n(A£)=96

ㄴ. n(A™)+n(A¢)+n(A•)=279

ㄷ. Am;An+Δ이면유리수 a에대하여m=na이다.

정답및해설 134~136p

고려대학교국악연구회는1979년에발족한이래60회이상의연주회와

활발한대외활동을통해우리문화를익혀온동아리이다.

매학기마다정기연주회를개최하고,

방학때는합숙, 평소에는악기연습을기본으로하고있다.

가야금, 거문고, 대금, 피리, 해금, 단소등의악기에대한이해와연주는물론

국악에관한궁금한것들을모두배울수있다.

매년이화여대와추계예대에서국악전공자들이

사부로와서악기를가르쳐주고있으며, 선배들도많이도와준다.

그리고동아리회원들이방학때약일주일정도산좋고물좋은곳으로가서

합숙을하며집중적으로악기를연습한다.

집중적인연습을통해악기실력도많이늘뿐아니라

친구들, 선후배들, 그리고사부들과함께하는시간이잊을수없는추억으로남는다.

악기연주외에도크고작은행사에동아리회원이모두참여한다.

자체행사는물론이고4.18 마라톤이나고연전등에참여하며,

연세대국악연구회와도교류하고있다.

좋은사람들을만날수있고, 그좋은사람들과평생함께한다는점이무엇보다좋다.

국악연구회는학생회관5층에있으며,

우리음악에관심이있는학생들의많은참여를기다린다.

신명나는우리음악에, 얼쑤!

국악연구회 고려대학교국악연구회



Ⅳ

모의고사 - 2015년 11월


미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅳ. 부정적분]

모의고사 - 2014년 11월


미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅳ. 부정적분]

모의고사 - 2013년 11월

[범위 : 수학Ⅱ 전범위 미적분Ⅰ-Ⅰ~Ⅳ. 부정적분]




13회

14회

15회





두집합A={1, 3}, B={2, 4}에대하여집합A'B의모든원소

의합은? (2점)

① 7 ② 8 ③ 9

④ 10 ⑤ 11

01

log§ 2+log§ 3의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

02

의값은? (2점)

① 1 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 9

5_3«3« +1lim

n ⁄¶

03

모든항이양수인등비수열 {an}에대하여 a™_a¢=64일때, a£의

값은? (3점)

① 4 ② 8 ③ 12

④ 16 ⑤ 20

04

유리함수 f(x)= +a의그래프의점근선의방정식이

x=b, y=3일때, 두상수 a, b에대하여 a-b의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

1x+2

05

5지선다형

[나`형]

A'B={1, 2, 3, 4}이므로집합A'B의모든원소의합은

1+2+3+4=10

log62+log63=log6(2_3)=log66=1

= =55lim

n⁄¶

5_3«3« +1

limn ⁄¶

첫째항을 a, 공비를 r라하면 an=arn-1이므로

a™_a¢=ar_ar‹ =a¤ r› =(ar¤ )¤ =(a£)¤ =64이때, 조건에서 an>0이므로 a£=8

유리함수 f(x)= +a의점근선의방정식은 x=-2, y=a이므로

a=3, b=-2⋯⋯∴ a-b=3-(-2)=5

1x+2

1+13«

11313회정답및해설 137~138p

2015.11

13회

다항함수 f(x)의도함수 f '(x)가 f '(x)=2x+5이다. f(0)=1

일때, f(2)의값은? (3점)

① 9 ② 11 ③ 13

④ 15 ⑤ 17

06

등비급수 { }n이수렴하도록하는정수 x의개수는?

(3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

x-43

¶¡n=1

08

명제‘x¤-ax+9+0이면 x+3이다.’가참일때, 상수 a의값은?

(3점)

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

07

수직선위를움직이는점P의시각 t에서의위치 x가

x=t‹ -4t¤ -3t+4일때, 점 P가출발후운동방향을바꾸는순

간의시각 t의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

09

함수 f(x)=2x¤ +5x에대하여 의값은?

(3점)

① 1 ② 3 ③ 5

④ 7 ⑤ 9

f(4+h)-f(4)3hlim

h ⁄0

10

f(x)=: f '(x)dx=: (2x+5)dx=x¤ +5x+C (단, C는적분상수)

이고조건에서 f(0)=C=1이므로함수 f(x)는f(x)=x¤ +5x+1∴ f(2)=4+10+1=15

주어진명제가참이므로대우‘x=3이면 x¤ -ax+9=0이다.’도참이다.

따라서 x=3을 x¤ -ax+9=0에대입하면

9-3a+9=03a=18∴ a=6

등비급수 { } n이수렴하려면

-1< <1

∴ 1<x<7따라서정수 x는 2, 3, 4, 5, 6이므로 x의개수는 5이다.

x-43

x-43

¶¡n=1

점P의시각 t에서의위치x가x=t‹ -4t¤ -3t+4일때시각 t에서점P의속도를

v라하면

v= =3t¤ -8t-3

이때, 점P가출발후운동방향을바꾸는순간의속도는 0이므로

3t¤ -8t-3=0(3t+1)(t-3)=0∴ t=3 (∵ t>0)

dxdt

함수 f(x)=2x¤ +5x에서 f '(x)=4x+5이고

= f '(4)= (16+5)= =7213

13

13

f(4+h)-f(4)3h

limh ⁄0


비행기가항력을이겨서등속수평비행하는데필요한동력을필

요마력이라한다. 필요마력 P(마력)와 비행기의항력계수 C, 비

행속력V(m/초), 날개의넓이 S(m¤ ) 사이에는다음과같은관

계식이성립한다고한다.

⋯⋯P= kCV‹ S (단, k는양의상수이다.)

날개의넓이의비가 1 : 3인두비행기 A, B가동일한항력계수

를갖고각각등속수평비행하고있을때, 필요마력의비는

1 : '3이고비행속력은각각VA, VB이다. 의값은? (3점)

① 3;6!; ② 3;3!; ③ 3;2!;

④ 3;3@; ⑤ 3;6%;

VA

VB

1150

12

f(x)f(1-x)의값은? (4점)

①-6 ②-3 ③ 1

④ 3 ⑤ 6

limx ⁄2-

14

첫째항이 1이고 공비가 2인 등비수열 {an}에 대하여 a2k-1의

값은? (3점)

① 341 ② 343 ③ 345

④ 347 ⑤ 349

5¡k=1

11 [ 13~14 ] 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의

두 물음에 답하시오.

( fΩf )(1)의값은? (3점)

①-1 ② 0 ③1

④ 2 ⑤ 3

13

3

2

2

1

1O-2 -1

-1

x

y y=f{x}

첫째항이 1이고공비가 2인등비수열 {an}의일반항이 an=2n-1이므로

a2k-1=22k-2=22(k-1)=4k-1

∴ a2k-1= 4k-1= =3411_(4fi -1)

4-1

5

¡k=1

5

¡k=1

y=f(x)의그래프에서 f(1)=2이므로

( fΩf )(1)=f( f (1))=f(2)=3

f(x)=3

1-x=t라하면 x ⁄ 2-일때 t ⁄ -1+이므로

f(1-x)= f(t)=-1

∴ f(x)f(1-x)=3_(-1)=-3limx⁄2-

limt ⁄-1+

limx ⁄2-

limx ⁄2-PA= kC(VA)‹ SA y㉠

PB= kC(VB)‹ SB에서 '3PA= kC(VB)‹ (3SA) y㉡

㉠÷㉡을하면

= = { } 3 , { }3=3;2!;

∴ =3;6!;VÅ

Vı

VÅVı

VÅVı

13

PÅ'3PÅ

1150

1150

1150

kC(VA)‹ SA

kC(VB)‹ (3SA)1

150

1150

좌표평면에서자연수 n에대하여원 x¤ +y¤ =n¤ 과

곡선 y='x∂+ßn이만나는 두점사이의 거리를 an, 원의 지름의

길이를 bn이라할때, (bn-an)의값은? (4점)

① ;6!; ② ;3!; ③ ;2!;④ ;3@; ⑤ ;6%;

O x

y

y=Âx+nÊ

n

n

x@+y@=n@

limn⁄¶

11513회정답및해설 138~141p

2015.11

13회

좌표평면에서곡선 y='ƒx+4+1이두직선 x=0, y=-;4!;x와만나는점을각각A, B라할때, 삼각형OAB의넓이는? (단, O는

원점이다.) (4점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

15

수열 {an}에서일반항 an= 일때,

næ2인모든자연수 n에대하여

a¡+a™+a£+y+an-1+ =nan⋯⋯yy(*)


1i

n¡i=1

1k¤

n¡k=1

16

두실수 a, b에대하여조건 p가조건 q이기위한충분조건이지만

필요조건이아닌것만을 [보기]에서있는대로고른것은? (4점)

17

18

위의 (가)에알맞은수를 p, (나)에알맞은식을 f(m)이라할때,

p_f(3)의값은? (4점)

① 4 ② 6 ③ 8

④ 10 ⑤ 12

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

△OAB= _3_4=612

3A

B 1

O-4x

y

y=Âx+Ê4Ê+1

y=-14 x

p= , f(m)=m+1이므로

p_f(3)= _4=1052

52

ㄷ. p：a‹ -b‹ =(a-b)(a¤ +ab+b¤ )=0에서

a-b=0 또는 a¤ +ab+b¤ =0의해를구하면

조건에서 a, b가실수이므로 a=bq：a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)=0에서 a=b 또는 a=-b따라서 p는 q이기위한충분조건이다. (참)

←52

←m+1

원 x¤ +y¤ =n¤ 과곡선 y='ƒx+n이만나는두점을각각A, B라하면

A(-n, 0), B(n-1, 'ƒ2n-1)

an=AB”=øπ(n-1+n)¤ +π('ƒ2n-1)¤ ="√4n¤ -2n

이고원의지름의길이는 bn=2n이므로

(bn-an)= (2n-"√4n¤ -2n)

(bn-an)=

(bn-an)= =12

2limn⁄¶

2n2n+"√4n¤ -2n

limn⁄¶

limn⁄¶

limn ⁄¶

2+æ≠4- 2n

[보기]

ㄱ. p : a¤ +b¤ =0 q : a=b

ㄴ. p : ab<0 q : a<0 또는 b<0

ㄷ. p : a‹ -b‹ =0 q : a¤ -b¤ =0

[증명]

⑴ n=2일때, (*)에서

⑴(좌변)=a¡+;1!;+;2!;=⑴(우변)=2a™=

⑴(좌변)=(우변)이므로 (*)이성립한다.

⑵ n=m (mæ2)일때, (*)이성립한다고가정하면

⑴ a¡+a™+a£+y+am-1+ =mam

⑴이다.

⑴ n=m+1일때, (*)이성립함을보이자.

⑴ a¡+a™+a£+y+am+

⑴= _am+

⑴=(m+1)[am+1- ]+⑴=(m+1)am+1

⑴따라서 n=m+1일때도 (*)이성립한다.

⑴, ⑵에의하여

næ2인모든자연수 n에대하여 (*)이성립한다.

1m+1

1(m+1)¤

1m+1

1i

m+1¡i=1

1i

m¡i=1

(가)

(가)

(나)


그림과같이한변의길이가 6인정육각형H¡이있다. 정육각형

H¡의각변에대하여변을삼등분하는점을지름의양끝점으로

하는 원을 그리고, 6개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을

R¡이라하자.

그림R¡에정육각형H¡의내부에있는각반원의호를이등분하

는점을꼭짓점으로하는정육각형을H™라하자. 정육각형H™의

각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는

원을그리고, 새로그려진 6개의원의내부에색칠하여얻은그림

을R™라하자.

그림R™에정육각형H™의내부에있는각반원의호를이등분하

는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 H£이라 하자. 정육각형

H£의각변에대하여변을삼등분하는점을지름의양끝점으로

하는원을그리고, 새로그려진 6개의원의내부에색칠하여얻은

그림을R£이라하자.


부분의넓이를Sn이라할때, Sn=k(3'3-m)p이다.

11k+m의값은? (단, k, m은유리수이다.) (4점)

① 90 ② 101 ③ 112

④ 123 ⑤ 134

H¡ H¡H™

R¡ R™

limn ⁄¶

20

집합X={1, 2, 3, 4}에대하여X에서X로의함수 f가

⋯⋯f(x)=[이고, 함수 f의역함수 g가존재한다.

g ⁄ (x)=g(x), gn+1(x)=g(gn(x))(n=1, 2, 3, y)라할때,

a+g⁄ ‚ (2)+g⁄ ⁄ (2)의값은? (4점)

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

x¤ (x=1, 2)

x+a (x=3, 4)(a는상수)

19그림과같이한변의길이가 4인정사각형 ABCD에서선분 BC

와선분 CD의중점을각각 E, F라하자. 점 E를꼭짓점으로하

고두점A, D를지나는포물선과선분AF가만나는점을 G라

하자. 선분AG 위를움직이는점 P를지나고직선AB와평행한

직선이포물선과만나는점을 Q라할때, 삼각형AQP의넓이의

최댓값은? (단, 점P는점A와점G가아니다.) (4점)

① ;2*7%; ② ;1#0$8#; ③ ;;¡5¶4£;;④ ;1#0$8(; ⑤ ;2*7*;

P

G F

DA

B E C

Q

21

f(1)=1, f(2)=4, f(3)=3+a, f(4)=4+a이고함수 f(x)가일대일대응이어야하므로

f(3)=2, f(4)=3일때, 3+a=2, 4+a=3에서 a=-1

따라서 g(1)=1, g(2)=3, g(3)=4, g(4)=2이고

g ¤ (3)=g(4)=2, g ‹ (3)=g ¤ (4)=g(2)=3이므로

g3n(x)=x, g3n+1(x)=g(x), g3n+2(x)=g ¤ (x)∴ a+g10(2)+g11(2)=-1+3+4=6

그림과같이점 B를원점으로하는좌표평면을생

각하면A(0, 4), D(4, 4), E(2, 0), F(4, 2)이므로포물선과직선AF의식을구하면

y=(x-2)¤ , y=- x+4

이때, 곡선과 직선이 만나는 점 G의 좌표를 구하

면

(x-2)¤ =-;2!;x+4⋯⋯∴G{;2&;, ;4(;}

점P의 x좌표를 t{0<t<;2&;}라하면P{t,-;2!;t+4}, Q(t, (t-2)¤ )

이때, 삼각형AQP의넓이를S(t)라하면

S(t)=;2!;_t_[-;2!;t+4-(t-2)¤ ]= {-t¤ + t}=-;4!;(2t‹ -7t¤ )

즉, S'(t)=-;4!;(6t¤ -14t)=-;2!;t(3t-7)

따라서S(t)는 t=;3&;에서극대이면서최대이므로S(t)의최댓값은

S{;3&;}=-;4!;_[2_{;3&;} 3 -7_{;3&;}2 ]= 343108

72

t2

12

P

G F

DA

B E C

Q

x

y y={x-2}@

수열 {Sn}은첫째항이 6p이고공비가 인등비수열의합이므로

Sn= = (3'3-4)p

따라서 k= , m=4이므로 11k+m=11_ +4=11210811

10811

10811

6plimn ⁄¶

14-3'318

1-14-3'3

18

11713회정답및해설 141~143p

2015.11

13회

함수 f(x)=4x¤ -3x+1에대하여 f '(6)의값을구하시오. (3점)

22

의값을구하시오. (3점) 답⃞ 20x¤ +x-6'∂x+2-2

limx ⁄2

24

수열 {an}의첫째항부터제n항까지의합 Sn이 Sn=n¤ +6n일때,

a∞의값을구하시오. (3점) 답⃞ 15

23

함수

⋯⋯f(x)=[가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의

값을구하시오. (3점) 답⃞ 9

(x+3)

(x=3)

x(x¤ +a)x-3b

25

두집합A={1, 2, 3, 4, a}, B={1, 3, 5}에대하여

집합 X={x+y|x<A ,`y<B}라 할 때, n(X)=10이 되도록

하는자연수 a의최댓값을구하시오. (4점) 답⃞ 8

26

단답형

답⃞ 45f(x)=4x¤ -3x+1에서 f '(x)=8x-3이므로

f '(6)=48-3=45

a∞=S∞-S¢=(5¤ +30)-(4¤ +24)=55-40=15

=

= (x+3)('ƒx+2+2)

=(2+3)('ƒ2+2+2)=20

limx⁄2

(x-2)(x+3)('ƒx+2+2)x-2

limx ⁄2

x¤ +x-6'ƒx+2-2

limx ⁄2

=b y㉠에서 (x-3)=0이므로

x(x¤ +a)=0, 3(3¤ +a)=0⋯⋯∴ a=-9

a=-9를㉠에대입하면

= = x(x+3)=18=b

∴ a+b=-9+18=9

limx ⁄3

x(x+3)(x-3)x-3

limx⁄3

x(x¤ -9)x-3

limx ⁄3

limx ⁄3

limx⁄3

x(x¤ +a)x-3

limx ⁄3

X={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5}이때, n(X)=10이되기위해서는 a+1, a+3, a+5 중한개만이 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9가되어야하므로 a+3<2, a+5æ2 또는 a+1…9, a+3>9를만족해야한다.

따라서구하는범위는-3…a<-1 또는 6<a…8에서자연수 a의최댓값은 8이다.


첫째항이 6이고공차가양수인등차수열 {an}에대하여

이차방정식 x¤ -(an+an+2)x-an+1=0의 서로 다른 두 실근을

an, bn이라하자. (an+1)(bn+1)=180일때, a¡¡의값을구

하시오. (4점) 답⃞ 26

10¡n=1

28

두양수 a, b에대하여 2a=3b, a+b=;3$;ab일때, 8a_3b의값을

구하시오. (4점) 답⃞ 216

27좌표평면에서자연수 n에대하여두곡선 y="√x+n¤ ,

y=-'ßx+n과 x축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에

포함되고 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 an이라 하

자. an의값을구하시오. (4점) 답⃞ 3005¡

n=1

29

삼차함수 f(x)와실수 t에대하여곡선 y=f(x)와직선 y=t가

만나는서로다른점의개수를 g(t)라하자. 함수 f(x), g(x)는다음조건을만족시킨다.

30

(가) 함수 g(x)는 x=0, x=6에서불연속이다.

(나) 함수 f(x)g(x)는모든실수에서연속이다.

(다) f(5)f(7)<0

f(-4)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 30

2å _2∫ =3∫ _2∫ 에서 2å ±∫ =(3_2)∫ =6∫

이때, a+b= ab이므로

2å ±∫ =2;3$;ab=6∫ , 2;3$;a=6⋯⋯∴ 2å =6;4#;

∴ 8å _3∫ =(2å )‹ _2å =(2å )› =(6;4#;)› =6‹ =216

43

a«+b«=a«+a«≠™=2a«≠¡, a«b«=-a«≠¡

(a«+1)(b«+1)= (a«b«+a«+b«+1)= (-a«≠¡+2a«≠¡+1)

= (a«≠¡+1)=180

이므로 a™+a£+a¢+…+a¡¡+10=180 y㉠

㉠의양변에 a¡`을더하면

a¡+a™+a£+a¢+…+a¡¡+10=a¡+180

+10=6+180

6+a¡¡=32⋯⋯∴ a¡¡=26

11_(a¡+a¡¡)2

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

그림에서㉠의영역과㉢의영역의 x좌표와 y좌표가모두정수인점의개수는같으므

로 an은영역㉡과영역㉢의 x좌표와 y좌표가모두정수인점의개수와같다.

따라서 a«=(n¤ +1)(n+1)=n‹ +n¤ +n+1이므로

a«= (n‹ +n¤ +n+1)

={ }2+ + +5

=225+55+15+5=300

5_62

5_6_116

5_62

5

¡n=1

5

¡n=1

Ox

y

n@-n@

y=Âx+n@Ê

y=-Âx Ê+n

n

f(x)g(x)= 이고 조건 (나)에서 함수 f(x)g(x)가 실수

전체의집합에서연속이므로 x=0, x=6에서연속이어야한다.

즉, 함수 f(x)의그래프의개형은다음의 2가지가될수있다.

그런데조건(다)에서 f(5)f(7)<0이고이것을만족하는것은위의오른쪽그림이므로

f(x)는 f(x)=ax¤ (x-6)(a<0)로 놓으면 f '(x)=3ax(x-4)이고 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4이므로함수 f(x)는 x=4에서극댓값 6을갖는다.

즉, f(4)=-32a=6에서 a=-;1£6;

따라서 f(x)=-;1£6;x¤ (x-6)이므로

f(-4)=-;1£6;_(-4)¤ _(-4-6)=30

y=ax@{x-6}6

6O x

y

6

6O x

yy=ax{x-6}@

f(x) (x<0, x>6)2f(x) (x=0, x=6)3f(x) (0<x<6)

({9


2015.11

13회

정답및해설 143~146p 11913회

01그림과같이한변의길이가 6인정사각형ABCD에서선분AD

와선분 BC의중점을각각 E, F라하자. 선분 EF 위를움직이

는점P에대하여점P를지나고직선AD와평행한직선이점F

를꼭짓점으로하고두점A, D를지나는포물선과만나는두점

을각각 Q, R라할때, 삼각형 EQR의넓이의최댓값은? (단, 점

P는점E와점F가아니다.)

① ② 3'3 ③

④ ⑤ 4'311'33

10'33

8'33

P

E

R

F

DA

B C

Q

03좌표평면에서자연수 n에대하여두곡선 y="√x+n› ,

y=-'ßx+n¤ 과 x축으로둘러싸인영역의내부와경계에포함되

고 x좌표와 y좌표가모두정수인점의개수를 an이라하자.

an의값은?

① 5278 ② 5345 ③ 5574

④ 5679 ⑤ 5900

4¡n=1

02첫째항이 3이고공차가양수인등차수열 {an}에대하여

이차방정식 x¤ +2(an+an+2)x-an+1=0의서로다른두실근을

an, bn이라 하자. (an-1)(bn-1)=7540일 때, a∞º의 값을

구하시오. 답⃞ 97

49¡n=1

04삼차함수 f(x)와실수 t에대하여곡선 y=f(x)와직선 y=t가

만나는서로다른점의개수를 g(t)라하자. 함수 f(x), g(x)는다음조건을만족시킨다.

(가) 함수 g(x)는 x=0, x=5에서불연속이다.

(나) 함수 f(x)g(x)는모든실수에서연속이다.

(다) f(4)f(6)>0

f(10)= 일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, p, q는 서로소인

자연수이다.) 답⃞ 137

qp

점 F를꼭짓점으로하고두점A, D를지나는포물선의방정식을 y=ax¤ 이라하면

이포물선이점D(3, 6)을지나므로 9a=6

∴ a= jK y= x¤

점R의 x좌표를 t(0<t<3)라하면R{t, t¤ }이고삼각형 EQR는선분 EP에대

하여대칭이므로삼각형EQR의넓이를 f(t)라하면

f(t)=2_{ _PR”_EP”}=2_[ _t_{6- t¤ }]=- t‹ +6t (0<t<3)

따라서함수 f(t)는 t='3에서극대이면서최대이므로삼각형 EQR의넓이 f(t)의

최댓값은 f('3)=- _('3)‹ +6_'3=4'323

23

23

12

12

23

23

23

an+bn=-2(an+an+2)=-4an+1, anbn=-an+1

(an-1)(bn-1)= {anbn-(an+bn)+1}= (-an+1+4an+1+1)

= (3an+1+1)=7540

에서 3(a™+a£+a¢+y+a∞º)+49=7540 a™+a£+a¢+y+a∞º=2497 y㉠

㉠의양변에 a¡을더하면

a¡+a™+a£+a¢+y+a∞º=a¡+2497=3+2497=2500

=2500, 3+a∞º=100⋯⋯∴ a∞º=9750_(a¡+a∞º)

2

49

¡n=1

49

¡n=1

49

¡n=1

49

¡n=1

an=(n› +1)(n¤ +1)=nfl +n› +n¤ +1이므로

a«= (nfl +n› +n¤ +1)

=(1fl +2fl +3fl +4fl )+(1› +2› +3› +4› )+ +4

=4890+354+30+4=5278

4_5_96

4

¡n=1

4

¡n=1

f(x)g(x)= 이고조건 (나)에서함수 f(x)g(x)가실수전

체의집합에서연속이므로 x=0, x=5에서연속이어야한다.

f(x)=ax(x-5)¤ (a>0)이라하면

f '(x)=a(x-5)¤ +2ax(x-5)=a(x-5)(3x-5)이고 f '(x)=0에서

x=;3%; 또는 x=5이므로함수 f(x)는 x=;3%;에서극댓값 5를갖는다.

즉, f{;3%;}=a_;3%;_{;3%;-5}2=5에서 a=

따라서 f(x)= x(x-5)¤ 이므로

f(10)= _10_(10-5)¤ = =

∴ p+q=2+135=137

qp

1352

27100

27100

27100

f(x) (x<0, x>5)2f(x) (x=0, x=5)3f(x) (0<x<5)

({9


제 2 교시



log™ 8-log™'2의값은? (2점)

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

12

01


의값은? (2점)

① ② ③ 1

④ ⑤32

43

23

12

2n¤ +13n¤ +n

limn ⁄¶

02


두양의실수 a, b(a>b)에대하여 의값은? (3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

2a«a« +b«

limn⁄¶

04


("√2 ‹'4)‹보다큰자연수중가장작은것은? (3점)

① 4 ② 6 ③ 8

④ 10 ⑤ 12

05

첫째항이 2이고, 공차가 3인등차수열 {an}에대하여 a§의값은?

(2점)

① 14 ② 15 ③ 16

④ 17 ⑤ 18

03

5지선다형



log2 8-log2 '2= log2 23-log2 2

;2!;

= log2 2- log2 2

= - =112

32

12

32

12

12

an=2+(n-1)_3=3n-1∴ a6=3_6-1=17

("√2 ‹'4)‹ =(2¥‹'4);2#;=(2¥2;3@;);2#;=(2;3%;);2#;=2;2%;='∂32이때, 5='∂25<'∂32<'∂36=6이므로 ("√2 ‹'4)‹ 보다큰자연수중가장작은것은

6이다.

= = =23

2+03+0

limn⁄¶

2n¤ +13n¤ +n

limn ⁄¶

2+

3+1n

1n¤

0<b<a에서 0< <1이므로 { } n=0

∴ = = =22

1+02

limn⁄¶

2a«a« +b«

limn⁄¶

ba

limn⁄¶

ba

1+b«a«

12114회정답및해설 147~149p

2014.11

14회



06 [2009년 3월고2 학력평가 8번]

전체집합U의두부분집합A, B에대하여연산≠을

A≠B=(A'B)Ç '(A;B)

로정의할때, 옳은것만을[보기]에서있는대로고른것은? (3점)

09


다항함수 f(x)에대하여

⋯⋯ =2

일때, 의값은? (3점)

①-2 ②-1 ③ 1

④ 2 ⑤ 4

f(2+h)-f(2-h)h

limh ⁄0

f(x)-1x-2

limx ⁄2

07


수열 {an}에서 an=2n-3일때, ak+1=48을만족시키는m의

값은? (3점)

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

m¡k=2

08

[2012년 11월 고1 학력평가 10번]

그림은무리함수 f(x)='ƒx+a+b의그래프이다.

함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f—⁄ (x)의 그래프의 교

점이 (p, q)일때, p+q의값은? (단, a, b는상수이다.) (3점)

① 3+'∂15 ② 3+3'2 ③ 3+'∂21④ 3+2'6 ⑤ 3+3'3

x

yy=f(x)

O

1

3

-4

10

x

y y=f (x)

O

1

1-2

3

2


① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

limx ⁄⁄1

limx ⁄⁄0-

ㄱ. A≠B=B≠A

ㄴ. A≠A=A

ㄷ. A≠A≠y≠A=A

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

A가 2009개

( » { » 9

f(x)+ f(x)=2+2=4limx→ 1

limx→ 0-

= =2이므로 f '(2)=2

∴

= [ - ]= +

=f '(2)+f '(2)=2f '(2)=4

f(2-h)-f(2)-h

limh⁄0

f(2+h)-f(2)h

limh ⁄0

f(2-h)-f(2)h

f(2+h)-f(2)h

limh ⁄0

f(2+h)-f(2-h)h

limh ⁄0

f(x)-f(2)x-2

limx ⁄2

f(x)-1x-2

limx ⁄2

an=2n-3에서 ak+1=2(k+1)-3=2k-1

ak+1= (2k-1)-(2_1-1)

=2_ -m-1=m¤ -1

즉, m¤ -1=48이므로m¤ =49∴m=7(∵m>0)

m(m+1)2

m

¡k=1

m

¡k=2

f(x)='ƒx+4+1이고 f(x)의역함수를구하면

f—⁄ (x)=(x-1)¤ -4(xæ1)함수 y=f(x)의그래프와그역함수 y=f—⁄ (x)의그래프의교점은함수 y=f(x)의그래프와직선 y=x의교점과같다.

즉, f(x)='ƒx+4+1과 y=x는x>0인부분에서만나므로

'ƒx+4+1=x, 'ƒx+4=x-1x+4=(x-1)¤ , x¤ -3x-3=0

∴ x= (∵ x>0)

따라서 (p, q)는 { , }이므로 p+q=3+'ß213+'ß212

3+'ß212

3+'ß212

ㄴ. A≠A=(A'A)Ç '(A;A)=AÇ 'A=U (거짓)

ㄷ. A≠A≠A=U≠A=UÇ 'A=AA≠A≠A≠A=A≠A=UA≠A≠A≠A≠A=U≠A=A

⋯

ㄷ. 위로부터

ㄷ. A≠A≠A≠y≠A=U, A≠A≠A≠y≠A=A

ㄷ. 즉, 2009가홀수이므로A≠A≠y≠A=A (참)

A가짝수개

( » » { » » 9

A가홀수개

( » » { » » 9

A가 2009개

( » { » 9

[보기]



그림은두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프이다. 옳은것만을

[보기]에서있는대로고른것은? (3점)

32-

1

1 3 4

2

y=f(x)

y

O x 1 4

2 y=g(x)

y

O x

11


함수

f(x)=x+a (x…1)

(x>1)

이실수전체의집합에서연속일때, 상수 a의값은? (3점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

2x« ±⁄ +3x«x« +1

limn⁄¶

({9


자연수 n에대하여방정식 f(x)=n의두근이 a, b일때,

h(n)=|a-b|라하자. 'n {h(n+1)-h(n)}의값은?

(4점)

① ② 1 ③

④ 2 ⑤52

32

12

limn⁄¶

14

[ 13~14 ] 함수 f(x)가 f(x)=(x-3)¤ 일 때, 13번과 14번의 두

물음에 답하시오.


함수 g(x)의도함수가 f(x)이고곡선 y=g(x) 위의점

(2, g(2))에서의접선의 y절편이-5일때, 이접선의 x절편은?

(3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

13

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

x

y

O 3

y=f{x}

ㄴ. x=3에서의함수 f(x)g(x)의함숫값은 f(3)g(3)=1_2=2

f(x)g(x)= _2=3, f(x)g(x)= _2=3

∴ f(x)g(x)=3

그런데 f(x)g(x)+f(3)g(3)이므로 함수 f(x)g(x)는 x=3에서

불연속이다. (거짓)

ㄷ. ⁄ x=1에서의좌극한값과우극한값은

⁄ f(x)g(x)=1_2=2, f(x)g(x)=2_2=4

⁄ 즉, f(x)g(x)+ f(x)g(x)에의해함수 f(x)g(x)는

⁄ x=1에서극한값이존재하지않으므로불연속이다.

¤ ㄴ에의해 x=3에서도함수 f(x)g(x)는불연속이다.

⁄, ¤에의하여함수 f(x)g(x)는x=1, x=3에서불연속이다. (거짓)

limx→1+

limx→1-

limx→1+

limx→1-

limx→3

limx→3

32

limx→3+

32

limx→3-

= =2x+3

∴ f(x)=[(x+a)= (2x+3)=1+a에서

a+1=5∴ a=4

limx→1+

limx→1-

x+a (x…1)2x+3 (x>1)

2x+31

1+14x«

limn→¶

2x« ±⁄ +3x«x« +1

limn→¶

점 (2, g(2))에서의접선의방정식은

y-g(2)=f(2)(x-2)이때, f(x)=(x-3)¤ 이므로

f(2)=(2-3)¤ =1따라서접선의방정식은

y=x+g(2)-2직선 y=x+g(2)-2의 y절편이 -5이므로 접선의 방정식은 y=x-5이고 x절편

은 5이다.

h(n)=|a-b|=|(3+'n)-(3-'n)|=2'n∴ 'ßn {h(n+1)-h(n)}= 'ßn(2'ƒn+1-2'ßn)∴ 'ßn {h(n+1)-h(n)}=

∴ 'ßn {h(n+1)-h(n)}= = =122

2'1limn ⁄¶

2'ßn'ƒn+1+'ßnlim

n ⁄¶

limn ⁄¶

limn⁄¶

æ≠1+ +'11n

[보기]

ㄱ. f(x)g(x)=2

ㄴ. 함수 f(x)g(x)는 x=3에서연속이다.

ㄷ. 닫힌구간 [0, 4]에서함수 f(x)g(x)의불연속인점은

오직한개존재한다.

limx⁄1-

12314회정답및해설 149~152p

2014.11

14회

[2008년 3월고2 학력평가 14번]

함수 f에 대하여 f ¤ (x)=f(f(x)), f ‹ (x)=f(f ¤ (x)), y이라

정의하자. 이때, 집합X={1, 2, 3}에대하여함수 f : X 1⁄X

가두조건 f(1)=3, f ‹ =I(I는항등함수)를만족한다. 함수 f의

역함수를 g라할때, g ⁄ ‚ (2)+g ⁄ ⁄ (3)의값은? (4점)

① 6 ② 5 ③ 4

④ 3 ⑤ 2

15

[2008년 3월고2 학력평가 15번]

a>0, b>0, c>0일 때, [보기]에서 항상 성립하는 부등식을 모

두고른것은? (4점)

16


함수 f(x)=x‹ -3x¤ +a의 모든 극값의 곱이 -4일 때, 상수 a

의값은? (4점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

17

[2009년 3월고2 학력평가 20번]

ABO식혈액형에는 A, B, O 세가지의유전자가있고, 이들이

만드는대립유전자형은AA, AO, BB, BO, AB, OO의여섯가

지가있다. 모든사람은이중한가지의대립유전자형을가지며

AA, BB, OO를순종인대립유전자형, AO, BO, AB를잡종인

대립유전자형이라한다. 어느학급학생 40명중유전자A, B, O

를가지고있는학생이각각 18, 16, 27명일때, 이학급에서순종

인대립유전자형을가진학생수는? (4점)

① 18 ② 19 ③ 20

④ 21 ⑤ 22

18


두함수

⋯⋯f(x)=3x‹ -x¤ -3x, g(x)=x‹ -4x¤ +9x+a

에대하여방정식 f(x)=g(x)가서로다른두개의양의실근과

한개의음의실근을갖도록하는모든정수 a의개수는? (4점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

19①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

f ‹ =I이므로 f의역함수 g에대하여 g‹ =I가성립한다.

즉, g⁄ ‚ =g3_3+1=g, g⁄ ⁄ =g3_3+2=g¤ 이고 f(1)=3, f(3)=2, f(2)=1에서 g(1)=2, g(2)=3, g(3)=1이므로

함수 g의대응관계는다음과같다.

∴ g⁄ ‚ (2)+g ⁄ ⁄ (3)=g(2)+g ¤ (3)=3+2=5

1

2

3

X

1

g

2

3

X

1

2

3

X

1

g

2

3

X

1

g

2

3

X

1

2

3

X

1

f

2

3

X

ㄷ. ('a-'b)¤ +('b-'c )¤ +('c-'a)¤ æ0이므로

(a-2'∂ab+b)+(b-2'∂bc+c)+(c-2'∂ca+a)æ0 2(a+b+c)-2('∂ab+'∂bc+'∂ca )æ0∴ a+b+cæ'∂ab+'∂bc+'∂ca (참)

f(x)=x‹ -3x¤ +a에서 f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)

즉, 함수 f(x)는 x=0에서극댓값 a, x=2에서극솟값 a-4를가지고극값의곱이

-4이므로 a(a-4)=-4a¤ -4a+4=0, (a-2)¤ =0∴ a=2

유전자A, B, O를가진학생의집합을각각A, B, C라하고, 학생전체의집합을U라고하면

n(A)=18, n(B)=16, n(C)=27, n(U)=40n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)

-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)에서A'B'C=U이고, A;B;C=Z/이므로

40=18+16+27-n(A;B)-n(B;C)-n(C;A) ∴n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)=21 그런데A;B, B;C, C;A는대립유전자형이각각AB, BO, AO인학생의집합

이므로잡종인대립유전자형을가진학생수는 21명이다.

따라서순종인대립유전자형을가진학생수는

40-21=19(명)

f(x)-g(x)=3x‹ -x¤ -3x-(x‹ -4x¤ +9x+a)=2x‹ +3x¤ -12x-a

에서 h(x)=2x‹ +3x¤ -12x라하면

h'(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1)이때, h(0)=0, h(-2)=20, h(1)=-7이므로

y=h(x)의그래프는오른쪽그림과같다.

따라서주어진방정식이서로다른두개의양의실근과

한개의음의실근을가지려면

-7<a<0이어야하므로정수 a는-6, -5,y, -1의 6개이다.

O1

20

-2

-7

y=ax

y

y=h (x)

[보기]

ㄱ. + æ

ㄴ. 'a+'b>'ƒa+b

ㄷ. a+b+cæ'∂ab+'∂bc+'∂ca

4a+b

1b

1a



a;2!;+a-;2!;=10을만족시키는 양수 a에대하여 a+a—⁄ 의 값을 구

하시오. (3점) 답⃞ 98

23


함수 f(x)=x¤ +5x+6에 대하여 의 값을

구하시오. (3점) 답⃞ 11

f(3+h)-f(3)h

limh⁄0

24


원 x¤ +y¤ =1 위를움직이는제1`사분면위의점 P(a, b)를지나고 x

축과평행한직선을그어원과만나는다른점을Q, x축위의한점을R

라하자. 삼각형PQR의넓이를S(a)라할때, 의값은?

(4점)

S(a)'ƒ1-a

lima→1-

20


최고차항의계수가 1인사차함수 f(x)에대하여함수

g(x)=|f(x)|가다음조건을만족시킨다.

21


의값을구하시오. (3점) 답⃞ 126x¤ -24x¤ -2x

limx ⁄2

22

1

PQ

y

xOR 1

① 1 ② '2 ③ '3④ 2 ⑤ '5

(가) g(x)는 x=1에서미분가능하고 g(1)=g'(1)이다.

(나) g(x)는 x=-1, x=0, x=1에서극솟값을갖는다.

g(2)의값은? (4점)

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

단답형

S(a)=;2!;_2a_b=ab=a"√1-a¤

∴ =

∴ =

∴ = a'ƒ1+a='2lima→1-

a"√(1+a)(1-a)'ƒ1-a

lima→1-

a"√1-a¤'ƒ1-a

lima→1-

S(a)'ƒ1-a

lima→1-

조건 (나)에 의해 g(x)는 x=-1, x=0, x=1`에서극솟값을가지므로그래프는그림과같다.

즉, f(x)=(x-1)¤ x(x+1)이고

g(x)=|(x-1)¤ x(x+1)|이므로

g(2)=|(2-1)¤ _2_(2+1)|=6O 1-1 x

y

y=g{x}

y=f{x}

=

=

= =126(2+2)

2

6(x+2)x

limx ⁄2

6(x-2)(x+2)x(x-2)

limx ⁄2

6x¤ -24x¤ -2x

limx ⁄2

a;2!;+a

-;2!;=10의양변을제곱하면

{a;2!;+a-;2!;}2=100

a+2+a—⁄ =100∴ a+a—⁄ =98

=f '(3)이고

f(x)=x¤ +5x+6에서 f '(x)=2x+5이므로

(구하는값)=f '(3)=2_3+5=11

f(3+h)-f(3)h

limh ⁄0

12514회정답및해설 152~154p

2014.11

14회

모든항이양수인등비수열 {an}이 a•a¡º=100, aª+a¡¡=30을만

족시킬때, a2k-1의값을구하시오. (3점) 답⃞ 63010¡

k=5

25


함수 f(x)=: [ (x¤ -6x)]dx에 대하여 f(x)의 최솟값이 8

일때, f(1)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 12

ddx

26


한변의길이가 12'3인정삼각형과그정삼각형에내접하는원으

로이루어진도형이있다. 이도형에서정삼각형의각변의길이

가매초 3'3씩늘어남에따라원도정삼각형에내접하면서반지

름의길이가늘어난다. 정삼각형의한변의길이가 24'3이되는

순간, 정삼각형에내접하는원의넓이의시간(초)에 대한변화율

이 ap이다. 이때, 상수 a의값을구하시오. (4점) 답⃞ 36

27


두수열 {an}, {bn}은다음조건을만족시킨다.

28

(가) an=¶

(나) (2an-5bn)=3limn⁄¶

limn⁄¶

= 일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, p, q는

서로소인자연수이다.) (4점) 답⃞ 23

qp

2a«+3b«a«+b«

limn ⁄¶

a•a¡º=(aª)¤ =100모든항이양수이므로 aª=10aª=ar° =10이고 aª+a¡¡=30에서

10+10r¤ =30, r¤ =2⋯⋯∴ r='2aª=a('2)° =16a=10에서 a=

a2k-1= a2k+7이고 a2k+7= ('2)2k+7-1= ¥2k+3=10_2k-1이므로

a2k+7= 10_2k-1= =10(64-1)=63010(2fl -1)

2-1

6

¡k=1

6

¡k=1

58

58

6

¡k=1

10

¡k=5

58

f(x)=:[ (x¤ -6x)]dx=x¤ -6x+C(단, C는적분상수)

이때, f(x)=x¤ -6x+C=(x-3)¤ +C-9이므로 f(x)는 x=3일때

최솟값C-9를가진다.

즉, C-9=8이므로C=17따라서 f(x)=x¤ -6x+17이므로

f(1)=1-6+17=12

ddx

t초후의정삼각형의한변의길이를a(t)로놓으면

a(t)=12'3+3'3t=3'3(t+4)내접원의반지름의길이를 r(t)로놓으면

{a(t)}¤ =;2!;_a(t)_r(t)_3

∴ r(t)= a(t)=;2#;(t+4)

정삼각형의한변의길이가 24'3이되는시간은

3'3(t+4)=24'3, t+4=8⋯⋯∴ t=4따라서내접원의넓이를S(t)라하고 t=4(초)일때넓이의변화율을구하면

S(t)=p{r(t)}¤ = (t+4)¤

S'(t)= (t+4) jK S'(4)=36p=ap

∴ a=36

9p2

9p4

'36

'34

(2an-5bn)= an{2-5¥ }=3에서

an=¶이므로 {2-5¥ }=0

∴ = y㉠

= = = (∵㉠)


167

limn⁄¶

2a«+3b«a«+b«

limn⁄¶

25

b«a«

limn⁄¶

b«a«

limn⁄¶

limn⁄¶

b«a«

limn⁄¶

limn⁄¶

2+

1+b«a«

3b«a« 2+3_

1+25

25


그림과같이자연수 n에대하여 1행에는 1개, 2행에는 3개, y, n

행에는 (2n-1)개의 크기가 같은 원을 나열하고 그 안에 다음

규칙에따라숫자를써넣는다.

29 [2014년 7월고3 A형학력평가 30번]

그림과같이길이가 4인선분B¡C¡을빗변으로하고

∠B¡A¡C¡=90˘인직각이등변삼각형A¡B¡C¡을그린다.

B¡A¡”=B¡C™”이고 C¡A¡”=C¡B™”인선분 B¡C¡ 위의두점 C™와 B™

에대하여부채꼴B¡A¡C™와부채꼴C¡A¡B™를그린후생긴

모양에색칠하고그넓이를S¡이라하자.

선분B™C™를빗변으로하고삼각형A¡B¡C¡의내부의점A™에대

하여∠B™A™C™=90˘인직각이등변삼각형A™B™C™를그린다.

B™A™”=B™C£”이고 C™A™”=C™B£”인 선분 B™C™ 위의 두 점 C£과

B£에 대하여 부채꼴 B™A™C£과 부채꼴 C™A™B£을 그린 후 생긴

모양에색칠하고그넓이를S™라하자.

선분B£C£을빗변으로하고삼각형A™B™C™의내부의점A£에

대하여∠B£A£C£=90˘인직각이등변삼각형A£B£C£을그린다.

B£A£”=B£C¢”이고C£A£”=C£B¢”인선분B£C£ 위의두점C¢와B¢

에대하여부채꼴B£A£C¢와부채꼴C£A£B¢를그린후생긴

모양에색칠하고그넓이를S£이라하자.

이와같은과정을계속하여얻은Sn에대하여

Sn=a+'b(a, b는정수)일때, a¤ +b¤의값을구하시오.

답⃞ 5 (4점)

¶¡n=1

14-p

30

(가) 1행의원안에는 1을써넣는다.

(나) næ2일때, n행의홀수번째놓인원안에는 (2n-1)을

써넣는다. n행의짝수번째놓인원안에는 (n-1)행과

n행에놓인원중에서, n행의짝수번째놓인원과접하

는세원안에쓰인수의합을써넣는다.

11

2

3

4

y y

3

5 5 513

19 19 19

13

37

777 7

1행부터 10행까지나열된원안에써넣은모든수의합을 S라할

때, 의값을구하시오. (4점) 답⃞ 247S10

A¡

A™

A£

B¡B™ B£ B¢ C¢C£ C™

C¡

n행의짝수번째놓인원안에쓰인수를 an이라하면

an=(2n-3)+(2n-1)+(2n-1)=6n-5 (단, næ2)n행에는 (2n-1)개의 원이 있고 홀수 번째 놓인 원은 n개, 짝수 번째 놓인 원은

(n-1)개있으므로n행의모든수의합을 bn이라하면

bn=n_(2n-1)+(n-1)_(6n-5)=8n¤ -12n+5

∴S= (8n¤ -12n+5)

=8_ -12_ +5_10

=3080-660+50=2470

∴ =247S10

10_112

10_11_216

10

¡n=1

Sn= = =

∴ Sn= _ = ='2+1

따라서 a=1, b=2이므로 a¤ +b¤ =1¤ +2¤ =5

1'2-1

4-p'2-1

14-p

¶¡n=1

14-p

4-p'2-1

8-2p2('2-1)

8-2p1-(3-2'2)

¶¡n=1


2014.11

14회

12714회정답및해설 154~156p

01함수 f에대하여 f ¤ (x)=f(f(x)), f ‹ (x)=f(f ¤ (x)), y라 정

의하자. 이때, 집합X={1, 2, 3}에대하여함수

f : X 1⁄X의역함수 g가두조건

⋯⋯g(1)=2, g ‹ =I(I는항등함수)

를만족한다. f 2016(1)+f 2017(3)의값은?

① 6 ② 5 ③ 4

④ 3 ⑤ 2

03빗변이아닌한변의길이가 2'2인직각이등변삼각형과그직각

이등변삼각형에내접하는원으로이루어진도형이있다. 이도형

에서직각이등변삼각형의빗변이아닌두변의길이가매초 '2씩늘어남에 따라 빗변의 길이도 직각이등변삼각형을 이루면서 늘

어나고 원도 직각이등변삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가

늘어난다. 직각이등변삼각형의빗변이아닌한변의길이가 18'2가 되는 순간, 직각이등변삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간

(초)에 대한변화율이 (a+b'2)p이다. 이때, a+b의값을구하

시오. (단, a, b는상수이다.) 답⃞ 36

02최고차항의계수가 1인사차함수 f(x)에대하여함수

g(x)=|f(x)|가다음조건을만족시킨다.

04그림과같이자연수 n에대하여 1행에는 1개, 2행에는 3개, y, n

행에는 (2n-1)개의 크기가 같은 원을 나열하고 그 안에 다음

규칙에따라숫자를써넣는다.

(가) g(x)는 x=2에서미분가능하고 g(2)=g'(2)이다.

(나) g(x)는 x=-3, x=0, x=2에서극솟값을갖는다.

g(4)의값은?

① 110 ② 112 ③ 114

④ 116 ⑤ 118

(가) 1행의원안에는 2를써넣는다.

(나) næ2일때, n행의홀수번째놓인원안에는 2n을써넣

는다. n행의짝수번째놓인원안에는 (n-1)행과 n행

및 (n+1)행에 놓인 원 중에서, n행의 짝수 번째 놓인

원과접하는네원안에쓰인수의합을써넣는다.

21

2

3

4

y y

4

6 6 624

32 32 32

24

416

888 8

1행부터 n행까지나열된원안에써넣은모든수의합을 S«이라

할 때, = 이다. pq의 값을 구하시오. (단, p, q는 서로

소인자연수이다.) 답⃞ 30

qp

S«n‹

limn ⁄¶

함수 f：X 2⁄ X의 역함수 g에 대하여 g(1)=2, g ‹ =I(I는 항등함수)이므로

f(2)=1, f ‹ =I(I는항등함수)

이때, 함수 f의역함수 g가존재하므로함수 f는일대일대응이어야한다.

f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2이면함수 f의대응관계는다음과같다.

위의 그림에서 f ‹ (1)=1, f ‹ (2)=2, f ‹ (3)=3이므로 함수 f ‹ 은 항등함수가 되어

주어진조건을만족시킨다.

따라서 f ‹ =I(I는항등함수)이므로 2016=672_3, 2017=672_3+1에서

f2016(1)+f2017(3)=I(1)+f(3)=1+2=3

1

2

3

X

1

f

2

3

X

1

f

2

3

X

1

f

2

3

X

조건(나)에서 g(x)는 x=-3, x=0,x=2`에서극솟값을가지므로그래프는

오른쪽그림과같다.

즉, f(x)=(x-2)¤ x(x+3)이고

g(x)=|(x-2)¤ x(x+3)|이므로

g(4)=|(4-2)¤ _4_(4+3)|=112

O 2-3 x

y

y=g{x}

y=f{x}

a(t)=2'2+'2t r(t)= a(t)= a(t)

= (2'2+'2t)=('2-1)(2+t)

즉, 내접원의넓이를S(t)라하면

S(t)=p{('2-1)(2+t)}¤ =p(3-2'2)(t¤ +4t+4)이고

S'(t)=2(3-2'2)(2+t)p따라서S'(16)=36(3-2'2)p=(108-72'2)p이므로

a+b=108-72=36

2-'22

2-'22

'22(1+'2)

a{t}

A

B C

O

Â2r{t}

r{t}

n행의짝수번째놓인원안에쓰인수를 an이라하면

an=(2n-2)+2n+2n+(2n+2)=8n (단, næ2)n행의모든수의합을 bn이라하면

bn=n_2n+(n-1)_8n=10n¤ -8n

∴Sn= (10k¤ -8k)=10_ -8_

=

따라서 = = 이므로 pq=3_10=30103

n(n+1)(10n-7)3n‹

limn⁄¶

S«n‹

limn⁄¶

n(n+1)(10n-7)3

n(n+1)2

n(n+1)(2n+1)6

n

¡k=1


제 2 교시


4;2!;_log™8의값은? (2점)

① 6 ② 8 ③ 10

④ 12 ⑤ 14

01


두실수 a, b에대하여 limx ⁄⁄2

=b일때, a+b의값은? (2점)

① 14 ② 16 ③ 18

④ 20 ⑤ 22

x‹ -ax-2

02


수열 [{ }n ]이수렴하도록하는모든정수 x의값의합은?

(3점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

2x-15

04


수열 {an}에대하여 an=4, (2an-1)¤ =34일때, an¤의

값은? (3점)

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

10¡n=1

10¡n=1

10¡n=1

05


함수 f(x)=x¤ +2x에대하여 limx ⁄⁄1

의값은? (2점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

f(x)-3x-1

03

5지선다형



4;2!;_log™ 8=(2¤ );2!;_log™ 2‹ =2_3=6

(x‹ -a)=8-a=0에서 a=8

a=8을주어진식에대입하면

= = (x¤ +2x+4)

=4+4+4=12=b∴ a+b=20

limx ⁄2

(x-2)(x¤ +2x+4)x-2

limx⁄2

x‹ -8x-2

limx⁄2

limx⁄2

함수 f(x)=x¤ +2x에서 f(1)=3이므로

limx⁄1

=limx⁄1

=f '(1)

이때, f '(x)=2x+2이므로 f '(1)=2+2=4

f(x)-f(1)x-1

f(x)-3x-1

수열 [{ } n ]이수렴하고공비가 이므로

-1< …1, -5<2x-1…5, -4<2x…6

∴-2<x…3따라서주어진수열을수렴하도록하는정수 x는-1, 0, 1, 2, 3이므로

모든정수 x의값의합은 5이다.

2x-15

2x-15

2x-15

(2an-1)¤ = (4an¤ -4an+1)

=4 an¤ -4 an+ 1

=4 an¤ -4_4+10=34

따라서 4 an¤ =40에서 an¤ =1010

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

10

¡n=1

12915회정답및해설 157~158p

2013.11

15회


1보다큰세실수 a, b, c에대하여

⋯⋯logå 2=log∫ 5=logç 10=logå∫ç x가성립할때, 실수 x의값은? (3점)

① ② '∂10 ③ 10

④ 10'∂10 ⑤ 100

110

06 [2013년 7월고3 A형학력평가 7번]

곡선 y=x‹ +6x¤ -11x+7 위의점 (1, 3)에서의접선의방정식을

y=mx+n이라할때, 상수m, n에대하여m-n의값은? (3점)

① 5 ② 7 ③ 9

④ 11 ⑤ 13

09


함수 f(x)=: (x¤ +2x)dx일때, `

의

값은? (3점)

① 14 ② 16 ③ 18

④ 20 ⑤ 22

f(2+h)-f(2-h)h

limh ⁄⁄0

07


공비가실수인등비수열 {an}에대하여

⋯⋯ =2, a¢+a¶=12

일때, a¡£의값은? (3점)

① 30 ② 32 ③ 34

④ 36 ⑤ 38

a∞a™

08

[2008년 3월고2 학력평가 10번]

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 오

른쪽그림과같을때, 무리함수

f(x)=a'ƒ-x+b-c의 그래프의 개형

은? (단, a, b, c는상수이다.) (3점)

10

x

yy=ax¤ +bx+c

O

① ②

③ ④

⑤

y=f(x)

x

y

O

y=f(x)

x

y

O

y=f(x)

x

y

O

y=f(x)

x

y

O

y=f(x)

x

y

O

k+0인상수k에대하여 logå 2=log∫ 5=logç 10=logå∫ç x=k로놓자.

logx y=z HjK y=xΩ 을이용하면

2=a , 5=b , 10=c , x=(abc)∴ x=(abc) =a b c =2_5_10=100

= - _(-1)

=2f '(2)

f(x)=: (x¤ +2x)dx의양변을미분하면

f '(x)=x¤ +2x

∴ f '(2)=2¤ +2¥2=8 jK 2f '(2)=2¥8=16

f(2-h)-f(2)-h

limh⁄0

f(2+h)-f(2)h

limh⁄0

f(2+h)-f(2-h)h

limh⁄0

=2에서 =r‹ =2 y㉠

또, a¢+a¶=12`에서

ar‹ +arfl =ar‹ (1+r‹ )=12 y㉡

㉠을㉡에대입하면

2a(1+2)=12에서 a=2∴ a¡£=ar⁄ ¤ =a(r‹ )› =2_2› =2fi =32

ar›ar

a∞a™

f(x)=x‹ +6x¤ -11x+7에대하여 f '(x)=3x¤ +12x-11이므로

f '(1)=3_1¤ +12_1-11=4y-y¡=m(x-x¡)이다.

점 (1, 3)을지나고기울기가 4인접선의방정식은

y-3=4(x-1)이므로 y=4x-1=mx+n∴m-n=4-(-1)=5

y=ax¤ +bx+c의그래프에서위로볼록이므로a<0축이 y축의오른쪽에있으므로ab<0 ∴ b>0y절편이x축보다위쪽에있으므로 c>0f(x)=a'ƒ-x+b-c=a'ƒ-(x-b)-c에서 a<0이고점 (b, -c)는제4`사분면위의점이므로그림처

럼그래프를그릴수있다.

y

y=f(x)

xO



미분가능한함수

⋯⋯f(x)=[에대하여 f(1)의값은? (단, a, b는상수이다.) (3점)

① ;4!; ② ;2!; ③ 1

④ ;2#; ⑤ 2

-x+1 (x<0)

a(x-1)¤ +b (xæ0)

11

[2009년 3월고2 학력평가 11번]

집합X={1, 2, 3}에대하여두함수

f : X1⁄X, g :X1⁄X

가있다. [보기]에서옳은것만을있는대로고른것은? (3점)

12


곡선 y=f(x) 위의점 P(1, 1)에서의접선을 l이라하자. 직선 l

에곡선 y=g(x)가접할때의접점을Q, 곡선 y=g(x)와 x축이

만나는두점을각각R, S라할때, 삼각형QRS의넓이는? (4점)

① 4 ② ③ 5

④ ⑤ 6112

92

14

[ 13~14 ] 두 함수 f(x)=x¤ 과 g (x)=-(x-3)¤ +k(k>0)

에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.


직선 y=k와함수 y=f(x)의그래프가만나는두점을 A, B라

하고, 함수 y=g(x)의꼭짓점을C라하자. 세점A, B, C의 x좌

표가이순서대로등차수열을이룰때, 상수 k의값은? (단, A는

제2사분면위의점이다.) (3점)

① 1 ② ③

④ ⑤ 274

32

54

13

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

x

y

O

y=f{x}

y=g{x}

f(x)는 x=0에서연속이어야한다.

{a(x-1)¤ +b}= (-x+1)=f(0)

∴ a+b=1

f '(0)= =

이때, =-1이고

=2a(0-1)=-2a이므로

-1=-2a⋯⋯∴ a=

∴ f(1)= (1-1)¤ + = 12

12

12

12

f(0+h)-f(0)h

limh⁄0+

f(0+h)-f(0)h

limh⁄0-

f(0+h)-f(0)h

limh⁄0-

f(0+h)-f(0)h

limh⁄0+

limx ⁄0-

limx⁄0+

ㄷ. 【반례】다음에서 g Á f가항등함수이지만 f, g는모두항등함수가아니다.

1

2

3

X

1

f

2

3

X

1

2

3

Xg

f˘g

y=x¤ 과 y=k를연립하면

x¤ =k에서 x=-'k 또는 x='k즉, 두점A, B의 x좌표는각각-'k, 'k이다.

한편, 점C는함수 y=g(x)의그래프의꼭짓점이므로 x좌표는 3이다.

따라서세수-'k, 'k,`3이이순서대로등차수열을이루므로

2'k=-'k+3,`3'k=3∴ k=1

점P(1, 1)에서의접선 l의방정식은 y=2x-1직선 y=2x-1과곡선 g(x)=-(x-3)¤ +k가접하므로

2x-1=-(x-3)¤ +k, x¤ -4x+8-k=0

=4-(8-k)=0⋯⋯∴ k=4

따라서 x¤ -4x+4=(x-2)¤ =0이므로점Q의좌표는Q(2, 3)이다.

이때, g(x)=-(x-3)¤ +4=-(x-1)(x-5)이므로

△QRS= _RS”_|점Q의 y좌표|

= _(5-1)_3=612

12

D4

[보기]

ㄱ. f, g가모두항등함수이면 g Á`f는항등함수이다.

ㄴ. g Á`f가항등함수이면 f, g는모두일대일대응이다.

ㄷ. g Á`f가항등함수이면 f, g는모두항등함수이다.

13115회정답및해설 159~162p

2013.11

15회

[2012년 6월고1 학력평가 16번]

명제‘k-1…x…k+3인 어떤 실수 x에 대하여 0…x…2이다.’

가참이되게하는정수 k의개수는? (4점)

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

15


총공기흡인량이V(m‹ )이고공기포집전후여과지의질량차가

W(mg)일때의공기중먼지농도C(lg/m‹ )는다음식을만족

시킨다고한다.

⋯⋯logC=3-logV+ logW(W>0)

A지역에서총공기흡인량이Vº이고공기포집전후여과지의질

량차가Wº일때의공기중먼지농도를 CA, B지역에서총공기

흡인량이 Vº이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 Wº

일때의공기중먼지농도를CB라하자. CA=kCB를만족시키는

상수 k의값은? (단, Wº>0) (4점)

① '3 ② 3 ③ 3'3④ 9 ⑤ 9'3

127

19

16


함수 f(x)= 에대하여

f { }+ f(x)의값은? (4점)

①-;3$; ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ ;3$;

'22

{x¤ +;2!;}« -2

{x¤ +;2!;}« +2limn→¶

17

limx→ -

'22


두수열 {a«}, {b«}에대하여옳은것만을 [보기]에서있는대로고

른것은? (4점)

18

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

명제‘k-1…x…k+3인어떤실수 x에대하여 0…x…2이다.’에서

조건 k-1…x…k+3의진리집합을P라하면

P={x|k-1…x…k+3}또, 조건 0…x…2의진리집합을Q라하면

Q={x|0…x…2}⁄ k-1æ0인경우

k-1…2에서 k…3⋯⋯∴ 1…k…3¤ k-1<0인경우

0…k+3에서 kæ-3⋯⋯∴-3…k<1따라서⁄, ¤에서 k의값의범위는-3…k…3이므로

만족하는정수 k의개수는-3, -2, y, 3으로 7이다.

logCA=3-logV0+logW0 y㉠

logCB=3-log V0+log W0 y㉡

㉠-㉡에서

logCA-logCB=-logV0+log V0+logW0-log W0

log =log +log 27=log3⋯⋯∴ =3

따라서CA=kCB에서 =k이므로 k=3이다. CA

CB

CA

CB

19

CA

CB

127

19

127

19

ㄴ. 【반례】a«=1, b«= 이라놓으면 a«=1, b«=0으로두

수열 {a«}, {b«}이각각수렴한다.

이때, a«b«= =1이고, a«=¶, b«=1이므로

a« b«=¶

∴ a«b«+ a« b« (거짓)¶;

n=1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

;2!;1-;2!;

¶;n=1

limn 4∞ ¶lim

n 4∞¶12«

f(x)=

∴ f{ }+ f(x)=-;3!;+(-1)=-;3$;lim'2x→144-2

'22

(MM{MM9

-1 {|x|< }-;3!; {|x|= } 1 {|x|> }'2

2

'22

'22

[보기]

ㄱ. 수열 {a«}에서a«= 일때, a«은발산한다.

ㄴ. 두수열 {a«}, {b«}이각각수렴하면

a«b«= a« b«이다.

ㄷ. 수열 {a«}이 a¡=1, a«≠¡= a«(n=1, 2, 3, y)을

만족시킬때, =;2!;이다.a«≠™a«

¶;n=1

1n+1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

¶;n=1

1'ƒn+1+'ßn



이차함수 f(x)에대하여함수 g(x)가

⋯⋯g(x)=: {x¤ +f(x)}dx, f(x)g(x)=-2x› +8x‹

을만족시킬때, g(1)의값은? (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

19


두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 다음과 같을 때, 옳은

것만을 [보기]에서있는대로고른것은? (4점)

O-1

-1

1 x

y

y=f(x) y=g(x)

O-1 1

1

x

y

20


자연수 n에대하여최고차항의계수가 1이고다음조건을만족시

키는삼차함수 f(x)의극댓값을 an이라하자.

21

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) f(n)=0

(나) 모든실수 x에대하여 (x+n)f(x)æ0이다.

an이자연수가되도록하는 n의최솟값은? (4점)

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

g(x)=: {x¤ +f(x)}dx=: (x¤ +ax¤ +bx+c)dx

g(x)=;3!;(a+1)x‹ +;2B;x¤ +cx+d (단, d는적분상수)

이때, f(x)는이차함수이고 f(x)g(x)=-2x› +8x‹ 으로사차함수이므로

f(x)=-x¤ +bx+c, g(x)=;2B;x¤ +cx+d

f(x)g(x)=(-x¤ +bx+c){;2B;x¤ +cx+d}

f(x)g(x)=-;2B;x› +{ -c}x‹ +{ bc-d}x¤ +(bd+c¤ )x+cd=-2x› +8x‹

즉, -;2B;=-2에서 b=4, -c=8에서 c=0, bc-d=0에서d=0

따라서 g(x)=2x¤ 이므로 g(1)=2¥1¤ =2

32

b¤2

32

b¤2

ㄴ. limx ⁄0

g(x)=1-이므로 limx ⁄0

f(g(x))= limt ⁄1-

f(t)=0

근데 f(g(0))=-1이므로 x=0에서함수 (fΩg)(x)는연속이아니다. (거짓)

f(x)=(x-n)¤ (x+n) f'(x)=2(x-n)(x+n)+(x-n)¤

=(x-n)(3x+n)

즉, 함수 f(x)는 x=- 에서극댓값을가지므로

an=f{- }={- n} 2_ n=32¥{ } 3따라서 an이자연수가되도록하는n의최솟값은 3이다.

n3

23

43

n3

n3

x y - y n y

n

3

f ' (x)

f(x)

+

↗

0

극대

-

↘

0

극소

+

↗

[보기]

ㄱ. 함수 f(x)g(x)는 x=1에서연속이다.

ㄴ. 함수 ( fΩg)(x)는 x=0에서연속이다.

ㄷ. 함수 (gΩf )(x)는 x=-1에서연속이다.

13315회정답및해설 162~164p

2013.11

15회

2a-1+2-a=3일때, 4a-1+4-a의값을구하시오. (3점) 답⃞ 8

23


곡선 y=f(x) 위의임의의점P(x, y)에서의접선의기울기가

3x¤ -12이고함수 f(x)의극솟값이 3일때, 함수 f(x)의극댓값

을구하시오. (3점) 답⃞ 35

24


함수

⋯⋯f(x)=[이실수전체의집합에서연속일때, 상수a의값을구하시오. (3점)

(x+3)

(x=3)

(3x+2)(x-3)x-3a

25

[2008년 3월고2 학력평가 26번]

두함수

f(x)=|x|-4, g(x)=[에대하여 g(f(k))=3을만족하는실수 k의값을 a, b(a>b)라하자. 이때, a-b의값을구하시오. (4점) 답⃞ 10

-x¤ +4 (xæ0)x¤ +4 (x<0)

26

[2012년 11월 고1 학력평가 22번]

전체집합U의두부분집합A, B에대하여

A={2, 3, 4, 5, 6}, A-B={2, 6}

일때, 집합A;B의모든원소의합을구하시오. (3점) 답⃞ 12

22

단답형

답⃞ 11

A;B={3, 4, 5}이므로모든원소의합은 3+4+5=12

U

B

34

2

6 5

A

a=f(3)=

= (3x+2)=3¥3+2=11limx ⁄ 3

(3x+2)(x-3)x-3

limx⁄ 3

g(f(k))=3이되는 f(k)>0이므로

-{ f(k)}¤ +4=3, { f(k)}¤ =1 ∴ f(k)=1f(k)=|k|-4=1에서 |k|=5∴ k=—5따라서 a=5, b=-5 (∵ a>b)이므로

a-b=5-(-5)=10

y

x

y=34

3

y=g(x)

f(k)O

2a-1+2-a=3이므로

4a-1+4-a=(2a-1)¤ +(2-a)¤=(2a-1+2-a)¤ -2¥2a-1¥2-a

=3¤ -1=8

f '(x)=3x¤ -12=3(x¤ -4)=3(x+2)(x-2)

f(x)=: (3x¤ -12)dx=x‹ -12x+C (단, C는적분상수)

함수 f(x)는 x=2에서극솟값 3을가지므로

f(2)=2‹ -12¥2+C=-16+C=3 jK C=19따라서 f(x)=x‹ -12x+19이고함수 f(x)는 x=-2에서극댓값을가지므로함수

f(x)의극댓값은

f(-2)=(-2)‹ -12¥(-2)+19=35



자연수 k에대하여삼차방정식 x‹ -12x+22-4k=0의양의실

근의개수를 f(k)라하자. f(k)의값을구하시오. (4점) 답⃞ 1310¡

k=1

29


좌표평면위에직선 y='ß3x가있다. 자연수 n에대하여 x축위

의점중에서 x좌표가 n인점을P«, 직선 y='ß3x 위의점중에서

x좌표가 인점을 Q«이라하자. 삼각형 OP«Q«의내접원의중

심에서 x축까지의거리를 a«, 삼각형 OP«Q«의외접원의중심에

서 x축까지의 거리를 b«이라 할 때, a«b«=L이다. 100L의

값을구하시오. (단, O는원점이다.) (4점) 답⃞ 25

x

y y="3x

O

Q«

a« b«

P«

limn ⁄⁄¶

1n

30


함수 f(x)= x‹ -9x+3이열린구간 (-a, a)에서감소할때,

양수 a의최댓값을구하시오. (4점) 답⃞ 3

13

27


다음 [단계]에 따라반지름의길이가같은원들을외접하도록그

린다.

28

[단계 1] 3개의원을외접하게그려서<그림 1>을얻는다.

[단계 2] <그림 1>의아래에 3개의원을외접하게그려서

<그림 2>를얻는다.

[단계 3] <그림 2>의아래에 4개의원을외접하게그려서

<그림 3>을얻는다.

⋯

[단계m] <그림 m-1>의 아래에 (m+1)개의 원을 외접하

게그려서<그림m>을얻는다. (mæ2)

y

<그림 3> y<그림 2><그림 1>

<그림 n>에그려진원의모든접점의개수를 an(n=1, 2, 3, y)

이라 하자. 예를 들어, a¡=3, a™=9이다. a¡º의 값을 구하시오.

답⃞ 165 (4점)

f(x)= x‹ -9x+3에서

f '(x)=x¤ -9=(x+3)(x-3)즉, y=f(x)의그래프는오른쪽과같다.

따라서 f '(x)…0을만족하는-3…x…3에서함수 f(x)는감소하므로열린구간

(-a, a)에서감소하는 a의최댓값은 a=3

-3 O

-15

33

21

x

y y=f{x}13

a™-a¡=6a£-a™=9a¢-a£=12⋯

∴ an+1-an=6+(n-1)3=3n+3 y㉠

㉠에n=1, 2, y, 9를대입한후변변더하면

a™-a¡=3_1+3a£-a™=3_2+3⋯

+)a¡º-aª=3_9+3a¡º-a¡=3(1+2+y+9)+3_9

∴ a¡º=3+3[ ]+27

=165

9(1+9)2

x에대한삼차방정식 x‹ -12x+22-4k=0에서

x‹ -12x+22=4k이때, g(x)=x‹ -12x+22라하면주어진삼차방정식의양의실근의개수는 x>0인범위에서곡선 y=g(x)와직선 y=4k의교점의개수와같다.

그림과 같이 주어진 삼차방정식의 양의 실근의 개수

f(k)는⁄ k=1일때, f(k)=0 ¤ 2…k…5일때, f(k)=2 ‹ 6…k…10일때, f(k)=1

∴ f(k)=0_1+2_4+1_5=1310

¡k=1

x

y y=g{x}

2

864

-2 O

40

36

242220

38

yy

y=4y=4

y=4y=4

y=4y=4

10¥9¥

6¥5¥

2¥1¥

L= a«b«= { _ }

= =;4!;

∴ 100L=100_;4!;=25

41-:;;:

n¤

2 2 42{1+:;;:+Æ1…-:;;…:+¬:; ˚;:}

n¤ n¤ n›

limn 4∞¶

n¤ -42'3n

'3nn¤ +2+"√n› -√2n √¤ +4

limn 4∞¶lim

n 4∞¶


135정답및해설 164~167p

2013.11

15회

15회

01자연수 n에대하여최고차항의계수가 1이고다음조건을만족시

키는삼차함수 f(x)의그래프와 x축으로둘러싸인부분의넓이

를Sn이라하자.

03자연수 k에 대하여 삼차방정식 x‹ -12x+25-3k=0의 양의 실

근의개수를 f(k)라하자. f(k)의값을구하시오. 답⃞ 5350¡

k=1

02두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프가 다음과 같을 때, 옳은

것만을 [보기]에서있는대로고른것은?

x

y

-1

-1

1O O

1

-1 1

-1

x

y

y=f{x} y=g{x}

04좌표평면위에직선 y='ß3x가있다. 자연수 n에대하여 x축위

의점중에서 x좌표가 n인점을P«, 직선 y='ß3x 위의점중에서

x좌표가 인점을 Q«이라하자. 삼각형 OP«Q«의내접원의넓

이를S«, 삼각형OP«Q«의외접원의넓이를T«이라할때,

S«T«의값은? (단, O는원점이다.)

① ② ③ p¤

④ 2p¤ ⑤ 4p¤

p ¤4

p¤2

x

y

O

Qn

Pn

y=Â3x

limn ⁄⁄¶

1n

(가) f(-n)=0

(나) 모든실수 x에대하여 (x-n)f(x)æ0이다.

Snæ1000을만족시키는자연수 n의최솟값은?

① 4 ② 5 ③ 6

④ 7 ⑤ 8

①ㄱ ②ㄷ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

Sn=-:_nnN (x-n)(x+n)¤ dx=-:_nnN (x‹ +nx¤ -n¤ x-n‹ )dx

=2:)n (n‹ -nx¤ )dx= n›

즉, Sn= n› æ1000에서n› æ750

이때, 5› =625, 6› =1296이므로Snæ1000을만족시키는자연수n의최솟값은

6이다.

43

43

ㄴ. f(g(x))=f(0)=-1, f(g(x))= f(t)=-1이므로

f(g(x))=-1

또, f(g(1))=f(0)=-1이므로 f(g(x))=f(g(1))=-1

따라서함수 (fΩg)(x)는 x=1에서연속이다. (참)

ㄷ. g(f(x))= g(t)=1, g(f(x))= g(t)=1

이므로 g(f(x))=1

또 g(f(-1))=g(0)=1이므로 g(f(x))=g(f(-1))=1

따라서함수 (gΩf)(x)는 x=-1에서연속이다. (참)

limx⁄-1

limx ⁄-1

limt ⁄0-

limx⁄-1+

limt ⁄0+

limx ⁄-1-

limx ⁄1

limx⁄1

limt ⁄0+

limx ⁄1-

limx⁄1+

g(x)=x‹ -12x+25라하면 g '(x)=3x¤ -12=3(x-2)(x+2)이므로

g '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2

주어진삼차방정식의양의실근의개수 f(k)는y=g(x)의 그래프와 직선 y=3k가 제1사분면에서

만나는교점의개수이므로오른쪽과같다.

⁄ k=1, 2일때 f(k)=0¤ k=3일때 f(k)=1‹ k=4, 5, y, 8일때 f(k)=2› k=9, 10, y, 50일때, f(k)=1

∴ f(k)=0_2+1_1+2_5+1_42=5350

¡k=1

x

y42

y=g{x}y=3Û14

y=3Û13

y=3Û9y=3Û8

y=3Û4y=3Û3

4139

2527

24

129

-22O

SnTn

= _p[ + ]

=

= = =p¤4

3p¤6+6

limn ⁄¶

(3n› -6n¤ +12)p¤limn ⁄¶

(4-n¤ )¤12n¤

n¤4

3plimn ⁄¶

limn ⁄¶

{n+ +æ≠n¤ -2+ }24n¤

2n

6n› +6n¤ +24+(6n‹ +12n)æ≠n¤ -2+4n¤

{3- + }p¤

6+ + +{6+ }æ≠1- +4n›

2n¤

12n¤

24n›

6n¤

12n›

6n¤

[보기]

ㄱ. 함수 f(x)g(x)는 x=-1에서연속이다.

ㄴ. 함수 ( fΩg)(x)는 x=1에서연속이다.

ㄷ. 함수 (gΩf )(x)는 x=-1에서연속이다.

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