mediaprint.al · 2018-11-07 · 1 U përpoqa Iu afrova E zgjidha saktë Matematika 10-11 1.1 Mënyra numërimi 1 Anisa ka 4 pllaka. M X Y Z Ajo zgjedh 2 prej këtyre pllakave. Shkruaj

Përmbajtja

1.1 Mënyra numërimi .......................................1

1.2 Gjetja me përafërsi .....................................2

1.3.3Pjesëtuesit dhe numrat e thjeshtë ..............3

1.4 Eksponentët 1 ............................................4

1.5 Eksponentët 2 ............................................5

1.6 Numrat dhjetorë .........................................6

1.6.1 Shkrimi shkencor i numrit .......................7

1.7 Numrat irracionalë .....................................8

Zgjidhje ushtrimesh .........................................9

Aftësi në përdorimin e makinës llogaritëse ..... 10

2.1 Shprehjet algjebrike .................................. 11

2.2 Hapja e kllapave ....................................... 12

2.2 Faktorizimi .............................................. 13

2.3 Ekuacione lineare 1 .................................. 14

2.3 Ekuacione lineare 2 .................................. 15

2.4 Formulat .................................................. 16

2.5 Vargu aritmetik ....................................... 17

2.6 Ushtrime me vargje .................................. 18

2.6 Vargje të gradës së dytë ............................. 19

3.1 Krahasimi i të dhënave ............................. 20

3.5 Mesatarja aritmetike, mesorja dhe moda .. 21

3.6 Tabelat e dendurive .................................. 22

3.6 Grafikët statistikorë .................................. 23

3.7 Grafiku i shpërndarjes .............................. 24

4.1 Thyesat ..................................................... 25

4.2 Raportet .................................................. 26

4.3 Raportet ................................................... 27

4.4 Përqindjet ................................................. 28

4.5 Diferenca në përqindje ............................ 29

4.5 Numrat dhjetorë periodikë ....................... 30

Aftësi në përdorimin e makinës llogaritëse ..... 31

5.1 Vetitë e këndeve ........................................ 32

5.1 Zgjidhja e problemave me kënde............... 33

5.2 Këndet e shumëkëndëshit ......................... 34

5.4 Teorema e Pitagorës ................................. 35

5.6 Trigonometri 1 ......................................... 36

5.7 Trigonometri 2 ......................................... 37

Zgjidhje problemash trigonometrie ................ 38

6.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan 1 ................ 39

6.2 Ekuacioni i drejtëzës në plan 2 ................ 40

6.3 Shpejtësia e ndryshimit të grafikut ........... 41

6.4 Grafiku shpejtësi-kohë ............................. 42

6.5 Drejtëza paralele dhe pingule .................. 43

6.5 Zgjidhje problemash ................................. 44

6.6 Grafikët e ekuacioneve të gradës së dytë ... 45

6.8 Grafikët në jetën e përditshme .................. 46

6.8 Ekuacioni i rrethit .................................... 47

Shpejtësia ....................................................... 48

7.1 Perimetri dhe syprina ............................... 49

7.2 Njësitë e syprinës dhe vëllimit................... 50

7.2 Vlera më e vogël dhe më e madhe ............. 51

7.2 Gabimi në matje ....................................... 52

7.3 Prizmat .................................................... 53

7.4 Rrathët dhe cilindrat ................................ 54

7.5 Sektorët e qarkut ...................................... 55

7.6 Vëllimet e trupave gjeometrikë.................. 56

7.7 Syprina e trupave ..................................... 57

Zgjidhje ushtrimesh ....................................... 58

8.1 Projektimi i trupave .................................. 59

8.2 Zhvendosja, pasqyrimi dhe rrotullimi ...... 60

8.3 Zmadhimi ................................................ 61

8.4 Kombinimi i transformimeve gjeometrike 62

8.5 Koordinata e lëvizjes ................................ 63

8.5 Vizatimet e shkallëzuara dhe hartat .......... 64

8.6 Ndërtime me vizore dhe kompas 1 ........... 65

8.7 Ndërtime me vizore dhe kompas 2 ........... 66

8.8 Vendi gjeometrik ...................................... 67

9.1 Ekuacione të gradës së dytë ...................... 68

9.2 Ekuacione të gradës së dytë ...................... 69

9.3 Formimi i katrorit të plotë ........................ 70

9.4 Sistemet e ekuacioneve 1 .......................... 71

9.5 Sistemet e ekuacioneve 2 .......................... 72

9.7 Inekuacione .............................................. 73

10.3 Probabiliteti ........................................... 74

10.4 Diagrami pemë ....................................... 75

10.5 Probabiliteti me kusht ............................ 76

10.6 Diagramat e Venit .................................. 77

Zgjidhje problemash 1 .................................... 78


11.1. Rritja dhe zvogëlimi .............................. 80

11. 2 Njësi të tjera matëse të përbëra .............. 81

11.3 Dendësia ................................................ 82

11.4 Raporti dhe grafikët ............................... 83

11.5 Formulat me përpjesëtim ........................ 84



12.1 Trekëndëshat kongruentë ........................ 87

12.3 Figura të ngjashme 1 .............................. 88

12.4 Figura të ngjashme 2 .............................. 89

13.2 Grafiku i funksioneve trigonometrike ..... 90

13.5 Teorema e sinusit .................................... 91

13.6 Teorema e kosinusit ................................ 92

13.7 Teorema e Pitagorës në 3D ..................... 93

Trigonometri në 3D ....................................... 94

14.1 Zgjedhja në një popullim ........................ 95

14.1.1 Zgjedhja e shtresëzuar ......................... 96

14.1.2 Zgjedhje – Rizgjedhje .......................... 97

14.2 Denduria e grumbulluar ......................... 98

14.3 Histogrami ............................................. 99

14.3.1 Shumëkëndëshi i dendurive ............... 100

14.3.2 Denduria relative ............................... 101

Grafikët me kuti ........................................... 102

15.2 Zgjidhja grafike e inekuacioneve........... 103

15.2 Inekuacione të gradës së dytë ............... 104

15.3 Pikat ekstremum ................................... 105

15.3.1 Përdorimi i grafikut të gradës

së dytë .............................................. 106

15.4 Skicimi i grafikut .................................. 107

15.5 Grafikët e ekuacioneve të gradës

së tretë dhe grafikët e anasjellë ............. 108

16.1 Teoremat për rrethin ............................. 109

16.2 Arsyetime mbi rrethin .......................... 110

Trekëndëshat dhe segmentet harkorë ............ 111

17.1 Transformimi i formulave ..................... 112

17.3 Thyesat algjebrike ................................. 113

17.5 Numrat irracionalë 2 ............................ 114

17.6 Ekuacione të gradës së dytë dhe thyesat 115

17.7 Funksioni ............................................. 116

17.7 Funksioni i anasjellë ............................. 117

17.8 Vërtetimi algjebrik ............................... 118

Metoda rekurente e zgjidhjes së ekuacioneve 119

18.1 Vektorët ............................................... 120

18.3 Vërtetime me vektorë ........................... 121

18.5 Zgjidhje problemash 1 .......................... 122

18.5.1 Zgjidhje problemash 2 ....................... 123

19.3 Relacione të tjera përpjesëtimore .......... 124

19.4 Grafiku i funksionit eksponencial......... 125

19.5 Syprina nën grafik ................................ 126

19.6 Transformimi i funksioneve .................. 127

Zgjidhje problemash .................................... 128

PROVIM PROVË ....................................... 129

PËRgjIgjet ............................................ 136

1

U përpoqa Iu afrova E zgjidha saktë Matematika

10-11

1.1 Mënyra numërimi1 Anisa ka 4 pllaka.

M X Y Z

Ajo zgjedh 2 prej këtyre pllakave. Shkruaj të gjitha kombinimet e mundshme të pllakave që mund të zgjedhë Anisa. (2 pikë)

2 Alba, Blerta, Kristi dhe Danieli marrin pjesë në një konkurs.Secili lojtar duhet të luajë një herë kundër të tjerëve. Sa lojë do të luhen gjithsej?

(A, ) (A, ) (A, ) (B, ) (2 pikë)

3 Beni ka një këmishë të zezë (KZ), një këmishë të bardhë (KB) dhe një këmishë rozë (KR). Gjithashtu, ai ka një kollare jeshile (KJ), një kollare të kuqe (KK), dhe një kollare portokalli(KP) Beni zgjedh rastësisht një kombinim këmishe dhe kollare. Sa kombinime të ndryshme mund të zgjedhë Beni?

(2 pikë)

4 Iliri ka një kod për të hapur kutinë e tij të kursimeve. Ky kod është i përbërë nga dy shifra të ndjekura nga 3 shkronja. Shifrat dhe shkronjat mund të jenë të përsëritura. Shifrat janë numrat nga 0 në 9. (Shkronjat janë jo dyshe dhe jo ç).Iliri thotë se ka më shumë se një milion kode të ndryshme. A ka të drejtë ai? Trego mënyrën tënde të arsyetimit.

shifër shifër shkronjë shkronjë shkronjë

10 × × 26 × × = (2 pikë)

5 Diagramet tregojnë tastierat e dy llojeve të ndryshme alarmesh.Secili alarm ka një kod prej 4 kombinimesh.

Tastiera klasike

1 2 3 4 5

6 7 8 9 0

Tastiera e avancuar

1 2 3 4 5

6 7 8 9 0

A B C

(a) Sa kode të ndryshme janë të mundura në rastin e

(i) Tastierës klasike të alarmeve (ii) Tastierës së avancuar të alarmeve?

(2 pikë)

(b) Tastiera e avancuar është programuar në mënyrë të tillë që kodi prej 4 kombinimesh duhet të fillojë me dy shkronja, e ndjekur nga 2 shifra. Vërteto se ka më pak se 1000 kode të ndryshme të mundshme.

(2 pikë)

Kujto se (A, B) është e njëjtë me (B, A).

Shëno Albën, Blertën, Kristin, dhe Danielin përkatësisht me shkronjat A,B,C,D.

Udhëzim

Sa shkronja të ndryshme ka gjithsej?

Sa shifra të ndryshme ka gjithsej?

ZgjidhProblemën!

Gjatë provimit do të të duhet të përdorësh aftësitë e tua për të zgjidhur ushtrime – ji i përgatitur!

2

U përpoqa Iu afrova E zgjidha saktë FlEtorE

PUnE

1.2 Gjetja me përafërsi1 Gjej me përafërsi vlerat e mëposhtme:

(a) 188 × 69 ≈ 200 × 70 = (1 pikë)

(b) 28.9 ÷ 4.85 ≈ ÷ = (1 pikë)

(c) (51.2)3 ≈ ( )3 = (1 pikë)

2 Gjej me përafërsi vlerën e 4826 _________

4.1 × 9.72

≈ 5000 ________ 4 ×

= ____ =

(2 pikë)

3 Gjej me përafërsi vlerën e

8.92 × 408

_________ 0.506

(2 pikë)

4 Gjej me përafërsi vlerën e 716 × 5.13

_________ 0.191

≈ 700 × 5 ________ 0.2

= 3500 ______ 0.2

= ____ 2 = (2 pikë)

5 Gjej me përafërsi vlerën e 29 × 4.90

________ 0.204

(2 pikë)

6 Rrezja e një sfere është 6.2 cm.

(a) Gjej me përafërsi syprinën e sferës.

cm2 (2 pikë)

(b) Pa kryer njehsime të mëtejshme, shpjego nëse metoda e ndjekur në pikën (a) ju ka dhënë një rezultat më të madh apo më të vogël sesa vlera e saktë e syprinës së sferës.

(1 pikë)

7 Bledi ka në pronësi një fushë në formë trapezi.

(a) Gjej me përafërsi syprinën e fushës.

m2 (3 pikë)

(b) Përgjigjja në pikën a) është më e vogël apo më e madhe se syprina reale? Shpjego. (1 pikë)

Udhëzim

Përafro të dy numrat me një shifër kryesore.

1. Përafro gjithë numrat me 1 shifër pas presjes.2. Shumëzo numrat në emërues.3. Thjeshto nëse është e mundur, më pas kryej pjesëtimin.

Udhëzim

Mos e përafro 0.506 me 1, sepse nuk është rruga e duhur

Nëse do pjesëtosh me një numër dhjetor, shumëzo numëruesin dhe emëruesin me numrin 10 ose 100 për të thjeshtuar veprimet

Udhëzim

Syprina e sferës = 4p r2

ZgjidhProblemën!


28 m

56.9 m

39 m Do të të duhet të mësosh formulën e syprinës së trapezit për provimin:

h

b

a

Syprina = 1 _ 2 (a + b)h

3


10-11

Pjesëtuesit dhe numrat e thjeshtë1 (a) Shkruaj numrat e mëposhtëm si prodhim të fuqive

të pjesëtuesve të tyre të thjeshtë:

(i) 90 (ii) 210

90

9 10

3

210

10 21

2

90 = × 3 × (2 pikë) 210 = 2 × × × (2 pikë)

(b) Gjej pjesëtuesin më të madh të përbashkët (PMP) të numrit 90 dhe 210.

90 = × 3 × ×

210 = 2 × × ×

PMP = × × = (1 pikë)

(c) Gjej shumëfishin më të vogël të përbashkët (SHVP) të numrit 90 dhe 210.

SHPV = × × = (1 pikë)

2 n është një numër natyror. SHVP e numrit 20 dhe numrit n Gjatë provimit do të të duhet të përdorësh aftësitë e tua për të zgjidhur ushtrime – ji i përgatitur!

është e barabartë me 100. Gjej dy vlera të mundshme të n-së.

n =

n = (2 pikë)

3 Numri 45 mund të shkruhet si 3m × n , ku m dhe n janë numra të thjeshtë. Gjej vlerat e m dhe n.

m =

n = (3 pikë)

4 Një klub ekskursionistësh blenë kapela të cilat janë në paketim me nga 12 copë dhe shalle të cilat janë në paketim me nga 18 copë. Klubi blen të njëjtën numër kapelash dhe shallesh. Sa është numri më i vogël i kapelave dhe numri më i vogël i shalleve që ky klub mund të blejë?

(3 pikë)

Udhëzim

Rretho numrat e thjeshtë. Ato tregojnë fundin e degës.

Rretho numrat e thjeshtë që janë të përbashkët në të dyja prodhimet e pjesëtuesve të thjeshtë. Shumëzo numrat që rrethove për të gjetur PMP.

Për të gjetur SHVP shumëzo PMP me numrat që nuk rrethuat në dy prodhimet e pikës (b).

ZgjidhProblemën!

1.3

4


PUnE

1.4 Eksponentët 11 Shkruaj shprehjet e mëposhtme si fuqi me bazë 4.

(a) 4 × 4 = 4 (1 pikë) (b) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = (1 pikë)

2 Gjej vlerën e:

(a) 42 (b) 23 (c) √ ___

64

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

(d) 3 √ ___

64 (e) 3 √ ___

27 (f) 3 √ ____

−64


3 Thjeshto shprehjet e mëposhtme. Shkruaj përgjigjen përfundimtare në formë fuqie:

(a) 53 × 56 = 53 + 6 = 5 (1 pikë)

(b) 59 ÷ 56 = 59 − 6 = 5 (1 pikë)

(c) 5 12 ______

5 × 5 7 = (2 pikë)

4 Thjeshto shprehjet e mëposhtme. Shkruaj përgjigjen përfundimtare në formë fuqie:

(a) 3 2 × 3 6

______ 3 5

(b) 3 12 ______

3 6 × 3 4

(2 pikë) (2 pikë)

(c) 3 7 × 3 6

______ 3 × 3 4

(d) 3 8 × 3 −6

_______ 3 × 3 −5

(2 pikë) (2 pikë)

5 Gjej vlerën e x:

(a) 113 × 11x = 1112 (b) 1112 ÷ 11x = 118

113 + x = 1112

x = (1 pikë) x = (1 pikë)

6 7 4 × 7 x = 7 9 × 7 6

______ 7 3

Gjej vlerën e x.

x = (2 pikë)

7 Teksa po zgjidhte një ushtrim, Tomi arriti në përfundimin se “numri 6 është një numër kub i plotë, sepse 23 = 6.”A ka të drejtë ai? Shpjego përgjigjen tënde.

Jo, sepse 2 × 2 × 2 = (2 pikë)

8 3x × 3y = 312 dhe 3x ÷ 3y = 32

Njehso vlerën e x dhe y.

x = y = (3 pikë)

Udhëzim

Udhëzim Mblidh eksponentët

Zbrit eksponentët

Në fillim llogarit fuqinë me bazë 5 në emërues.

Udhëzim

Shpjego përgjigjen duke shkruar një fjali me arsyetimin tuaj ose duke treguar mënyrën tënde të zgjidhjes.Udhëzim

5


10-11

1.5 Eksponentët 21 Njehso vlerat e mëposhtme:

(a) 2−3 (b) 3−1 (c) 7−2 (d) 4 − 1 _ 2

1 ___ 23 = ___ (1 pikë) (1 pikë) 1 ____ 2 = ___ (1 pikë) (1 pikë)

2 Njehso të anasjellën e vlerave të mëposhtme:

(a) 3 (b) 1 _ 4 (c) 3 _ 5 (d) 9 _ 7

(1 pikë) (1 pikë) (1 pikë) (1 pikë)

3 Njehso vlerat e mëposhtme:

(a) ( 2 _ 3 ) 2 (b) (  4 _ 3 )

3 (c) ( 4 _ 5 )

2 (d) ( 1 _ 5 )

3


4 Njehso vlerat e Ndërro vendin e numëruesit me emëruesin e thyesës, më pas ndrysho eksponentin negativ në eksponent pozitiv. mëposhtme:

(a) ( 4 __

3 )

−2

= ( 3 __ 4 )

2

= 32 ___

42 = ____ (1 pikë) (b) ( 1 __

3 )

−3

= ( ____ ) 3

= 3 _____ 3 = (1 pikë)

(c) ( 6 __

5 )

−2

(d) ( 3 __

5 )

−3

(1 pikë) (1 pikë)


(a) 25 1 _ 2 (b) 8

1 _ 3 (c) 6 4 1 _ 3 (d) 81

1 _ 4



(a) 16 3 _ 2 (b) 16

3 _ 4

( 16 1 __ 2 )

3 = ( )3 = (1 pikë) (16

1—

) = ( ) = (1 pikë)

(c) 25 3 _ 2 (d) 27

2 _ 3

(25 —

) = ( ) = (1 pikë) (1 pikë)

7 Vërteto që 8 2 _ 3 = 16

1 _ 2 Gjatë provimit do të të duhet të përdorësh aftësitë e tua për të zgjidhur ushtrime – ji i përgatitur!

(2 pikë)

8 x = 3 m and y = 3 n Shpreh vlerat e mëposhtme në terma të x dhe y:

(a) 3 m + n (b) 3 2n

(1 pikë) (1 pikë)

Udhëzim

Udhëzim

Udhëzim

6


PUnE

1.6 numrat dhjetorë1 Rendit numrat e mëposhtëm sipas madhësisë. Fillo me numrin më të vogël.

1 _ 3 0.3 18 __ 50 0.35

(1 pikë)

2 Vërteto që 3 __ 20 mund të shprehet si një numër dhjetor i fundëm.

3 ___ 20

= ___ 100

= (2 pikë)

3 Vërteto që 7 __ 30 nuk mund të shprehet si një numër dhjetor i fundëm.

30 = × × (2 pikë)

4 Pasi të shprehësh emëruesin si prodhimin e pjesëtuesve të tij të thjeshtë, përcakto nëse thyesat e mëposhtme mund të shprehen si një numër dhjetor i fundëm apo jo:

(a) 11 __ 40 (b) 15 __ 32

(1 pikë) (1 pikë)

(c) 22 __ 39 (d) 9 __ 42

(1 pikë) (1 pikë)

5 Shpreh thyesën 2 __ 11 si një numër dhjetor periodik.

(1 pikë)

6 Shpreh thyesat e mëposhtme si numra dhjetorë duke kryer pjesëtimet e duhura:

(a) 11 __ 40 (b) 6 __ 25 (c) 11 __ 30


7 Koha që i duhet një makine lodër për të përshkuar 12 m është 5 sekonda. Mario arrin në përfundimin se shpejtësia e makinës është 2.375 m/s. A ka të drejtë ai? Jep arsyet e përgjigjes tënde. (3 pikë)

8 Përdor faktin që138 × 85 = 11 730 për te gjetur vlerën e:

(a) 1380 × 85 (b) 0.138 × 8.5 (c) 11 730 ÷ 1.38


Shpreh 3 __ 20 si një thyesë me emërues 100.

Udhëzim

Shpreh numrin 30 si prodhimin e pjesëtuesve të tij të thjeshtë.

Nëse emëruesi përmban një pjesëtues të ndryshëm nga numri 2 dhe 5, atëherë thyesa nuk mund të shprehet si një numër dhjetor i fundëm.

Udhëzim

shpejtësia = distancë ________ kohë

Kryej pjesëtimin e duhur.

7


10-11

1.6.1 Shkrimi shkencor i numrit1 (a) Shkruaj numrin 45000 në formë

shkencore.45 000 = 4.5 × 10 (1 pikë)

(b) Shkruaj me presje dhjetore numrin 3.4 × 10−5.

3.4 × 10−5 = 0.0 (1 pikë)

(c) Shkruaj 28 × 106 në formë shkencore. (1 pikë)

2 Shkruaj në formë shkencore numrat e mëposhtëm:

(a) 567 000 (b) 0.000 056 7 (c) 567 × 108


3 Në vitin 2014 popullsia e Mbretërisë së Bashkuar ishte 6.5 × 107 banorë. Në vitin 2014 popullsia e Rusisë ishte 1.4 × 108.

(a) Sa është popullsia e Mbretërisë së Bashkuar dhe Rusisë të marra së bashku? Jepe përgjigjen në formë shkencore. (2 pikë)

(b) Sa është diferenca mes popullsisë së Mbretërisë Bashkuar dhe Rusisë? Jep përgjigje në formë shkencore.

(2 pikë)

4 Njehso shprehjet e mëposhtme, duke dhënë përgjigjen në formë shkencore:

(a) (3 × 106) × (6 × 10−3) (b) (8 × 106) ÷ (4 × 10−14)

(3 × ) × (106 × 10 ) = × 10 (8 ÷ ) × (106 ÷ 10 ) = × 10

= × 10 (2 pikë) (2 pikë)

5 Njehso shprehjet e mëposhtme, duke dhënë përgjigjen në formë shkencore:

(a) 5.1 × 103 + 6.5 × 104 (b) 7.6 × 105 − 8 × 103

5 1 00 760000+ 65000 − 8000

(2 pikë) (2 pikë)

6 Dritës i duhen 8 minuta për të udhëtuar nga Dielli në Tokë. Shpejtësia e dritës është 3 × 108 m/s.Njehsoni largësinë në km nga Dielli në Tokë. Shpreh përgjigjen tënde në formë shkencore.

(3 pikë)

Udhëzim

Në këtë rast fuqia e 10- ës është negative, prandaj numri është më i vogël se 1.

Përpiqu ta zgjidhësh këtë ushtrim pa përdorur makinën llogaritëse. Shumëzo në fillim numrat, më pas mblidh fuqitë e 10-ës.

Udhëzim

Udhëzim

Largësia (në km) = Shpejtësi (në km/s) x kohë (në sekonda)

Numëro shifrat nga e djathta. Sa shifra duhen për të arritur tek 4.5?

8


PUnE

1.7 numrat irracionalë1 Shpreh rrënjët e mëposhtme në formën a √

__ b , ku a dhe b janë numra natyrorë.

(a) √ ___

12 = √ _____

× √ __

3 = √ __

3 (1 pikë)

(b) √ ___

20 = √ __

4 × √ ______

= (1 pikë)

(c) √ ___

48 = √ _____

× √ _____

= (1 pikë)

(d) √ __

3 × √ ___

27 (2 pikë)

(e) √ ___

98 − √ ___

18 (2 pikë)

(f ) 5 √ ___

28 − √ ___

63 (2 pikë)

2 Kthe emëruesin në numër racional.

(a) 3 __ √

__ 5 (b) 2 __

√ __

6

3 ___ √ __

5 ×

√ __

5 ___

√ __

5 =

(1 pikë) 2 ___

√ __

6 ×

√ ___

____ √ ___

= = (1 pikë)

(c) 2 ___

√ __

8 (d)

21 ___

√ __

7

(1 pikë) (1 pikë)

(e) 1 + √

__ 3 ______

√ ___

12 (f )

√ ___

18 + 10 ________

√ __

2

(2 pikë) (2 pikë)

3 Zgjidh ekuacionet e mëposhtme, ku x është një numër natyror.

(a) √ ___

45 × x = √ ____

180

x = (3 pikë)

(b) √

__ x × √

___ 24 _________

2 √ __

3 = √

___ 20

x = (4 pikë)

4 Gjej gjatësinë e brinjës së shënuar me x në formën a √ __

b , ku a dhe b janë numra natyrorë.

22

10

x

x = (3 pikë)

5 Vërteto që 1 ______

1 + 1 ___

√ __

3 mund të shprehet si

3 − √ __

3 ______

2

(3 pikë)

Mendo dy numra, njëri prej tyre katror i plotë, të cilët kur i shumëzon japin numrin 12.

9


10-11

Zgjidhje ushtrimesh1 Një makineri prodhon 48 bulona në orë

Makineria punon 7 1 _ 2 orë në ditë, në 5 ditë të javës. Bulonat paketohen në kuti. Çdo kuti mban 30 bulona. Sa kuti janë të nevojshme për të paketuar bulonat e prodhuara gjatë një jave?

kuti (4 pikë)

2 Albana bleu ushqim për një festë. Ajo ka dëshirë të bëjë hot dog për të ftuarit. Albanës i duhen një bukë hot dog-u, një salçiçe, dhe një qese e vogël salcë domateje për secilin hot dog. Një pako me bukë hot dog-u ka 40 copë bukë, një pako me salçiçe ka 24 salçiçe, dhe një pako me salcë domateje ka 15 qese të vogla me salcë domateje.

(a) Sa është numri më i vogël i pakove të bukës, salçiçes, dhe salcës së domates që mund të blejë Albana për të bërë një numër të plotë hot dog-u pa tepruar ndonjë përbërës?

pako bukë hot dog-u

pako me salçiçe

pako me salcë domateje (3 pikë)

(b) Sa hot dog mund të bëjë ajo?

(1 pikë)

3 (a) Kodi i një celulari përbëhet nga 3 shifra të ndryshme. Shifrat mund të jenë numrat nga 0 në 9. Shifrat mund të përsëriten. Sa kode të ndryshme mund të formohen?

(1 pikë)

(b) Nëse shifrat nuk mund të përsëriten, sa kode të ndryshme mund të formohen?

(2 pikë)

Një kod tjetër ka x shifra. Shifrat mund të jenë numrat nga 1 në 8. Shifrat mund të përsëriten. Afërsisht janë të mundura 260 000 kode të ndryshme.

(c) Gjej vlerën e x. Trego mënyrën tënde të arsyetimit.

x = (2 pikë)

10


PUnE

Aftësi në përdorimin e makinës llogaritëse1 Njehso vlerat e mëposhtme. Jep përgjigjen tënde

me 3 shifra kryesore.

(a) (11 + 8 ÷ 2)3

(11 + )3 = (1 pikë)

(b) (2 + 9 × 10 + 3 ) 1 _ 2

(1 pikë)

(c) (8 + (3 × 20) ÷ 6 ) 2 _ 3

(1 pikë)

2 Njehso vlerat:

(a) (27 + 3 × 3)2

___________ 3 × 2

(b) (13 − √

___ 12 ÷ 4)3

_____________ (4 + 3 × 2)2

(1 pikë) (1 pikë)

3 3) Gjej vlerën e shprehjes 4.5 + 3.75

___________ 3. 2 2 − 5.53

Shkruaj shifrat e sakta kur të kryesh veprimet me makinën llogaritëse.

8.25 _______ = (2 pikë)

4 (a) Gjej vlerën e √ _____

30.25 + 1. 75 2

Përdor makinën llogaritëse për të njehsuar më vete vlerat e √ _____

30.25 dhe 1.752.. Shkruaj këto vlera para se të kryesh mbledhjen e tyre.

(2 pikë)

(b) Shpreh përgjigjen e pikës (a) me një shifër kryesore. (1 pikë)

5 m = 7.1 × 106 dhe n = 3.2 × 10−3

Njehso vlerat e mëposhtme duke dhënë përgjigjen tënde me 3 shifra kryesore:

(a) mn (b) m

__ n

(2 pikë) (2 pikë)

6 Njehso vlerat e mëposhtme duke dhënë përgjigjen tënde me 3 shifra kryesore:

(a) √ ____________

5.3 + tan 38° (b) 288.3 × cos 58°

____________ (4.23 − 1.13) 3

(2 pikë) (2 pikë)

7 t 3 = mn

_____ m − n m = 4 × 10 12 n = 3 × 10 9

Njehso vlerën e t -së duke dhënë përgjigjen tënde në formë shkencore me 3 shifra kryesore.

t = (3 pikë)

Ji i kujdesshëm të zbatosh radhën e duhur të veprimeve: KllapatEksponentëtPjesëtimiShumëzimiMbledhjaZbritja

Udhëzim

Udhëzim

11


10-11

2.1 Shprehjet algjebrike1 Thjeshto plotësisht shprehjet e mëposhtme:

(a) m × m × m (b) d × d × d × d (c) e × e × e × e × e

m (1 pikë) d (1 pikë) e (1 pikë)

2 Thjeshto shprehjet e mëposhtme:

(a) x 4 × x 7 (b) y 7 ÷ y 2 (c) t 5 × t 6 ÷ t 7

x + = x (2 pikë) y

− = y (2 pikë) (2 pikë)

3 Thjeshto plotësisht shprehjet e mëposhtme:

(a) ( x 3 ) 2 (b) ( y 5 ) 3 (c) ( t 3 ) 7

x × = x (1 pikë) (2 pikë) (2 pikë)


(a) x 3 × x 4

_______ x 2

(b) y 14 _______

y 3 × y 2 (c) ( t 7 __

t 4 )

2

x + ________ x2 = x −

= x (1 pikë) (2 pikë) (2 pikë)


(a) 7x y 3 × 4 x 2 y 4 (b) 16 x 4 y 3

_______ 8x y 2

(c) (3 x 2 y 5 z 3 ) 4



(a) (25x6) 1 _ 2 (b) (16x3 y4)

3 _ 2 (c) (81x5 y3)

1 _ 4



(a) ( 1 ____

3 x 4 )

−2

(b) ( 25 _______

64 x 4 y 10 )

− 1 __ 2

(c) ( 27 _______

64 x 3 y 9 )

− 2 __ 3


Udhëzim

Udhëzim

12


PUnE

2.2 Hapja e kllapave1 Hap kllapat dhe thjeshto shprehjet e mëposhtme:

(a) (x + 3)(x + 4) (b) (x + 5)(x − 3) (c) (x − 2)(x − 6)

x(x + 4) + 3(x + 4) x(x − 3) + 5(x − 3)

= x + x + x + 12 = x − x + x −

= x + x + 12 = x + x − (2 pikë) (2 pikë) (2 pikë)

2 Hap kllapat dhe thjeshto shprehjet e mëposhtme:

(a) (x + 3)2 (b) (x − 4)2 (c) (2x + 1)2

(x + 3)(x + 3)

= x(x + 3) + 3(x + 3)

= x + x + x +

= x + x + (2 pikë) (2 pikë) (2 pikë)


(a) x(x + 3)(x + 5) (b) x(x − 2)(x + 4) (c) x(x − 3)(x − 7)

x(x + 3)(x + 5)

= x(x + x + x + )

= x(x + x + )

= x + x + x (2 pikë) (2 pikë) (2 pikë)


(a) (x + 3)3 (b) (x − 4)3 (c) (2x + 1)3


5 Skica tregon një kuboid me gjatësi x + 2, gjerësi x – 3, dhe lartësi x + 4. Të gjitha njësitë janë në cm.

(a) Shkruaj shprehjen, në varësi të x, që tregon syprinën e këtij kuboidi.

(2 pikë)

(b) Vërteto që vëllimi i këtij kuboidi mund të shkruhet në formën ax3 + bx2 + cx + d cm3.

(2 pikë)

Udhëzim

Shumëzo më parë dy kllapat, dhe më pas shumëzo këtë shprehje me x

x 1 4x 1 2

x 2 3

13


10-11

2.2 Faktorizimi1 Faktorizo shprehjet e mëposhtme:

(a) 3x + 6 (b) 2p − 6 (c) 5y − 15

= 3( + ) (1 pikë) (1 pikë) = 5( − ) (1 pikë)

2 Faktorizo shprehjet e mëposhtme:

(a) x2 + 6x (b) x2 + 4x (c) x2 − 12x

= x( + ) (1 pikë) (1 pikë) = x( − ) (2 pikë)

3 Faktorizo plotësisht shprehjet e mëposhtme:

(a) 3p2 + 6p (b) 8y2 − 24y

= 3p( + ) (1 pikë) (2 pikë)

4 Faktorizo plotësisht shprehjet e mëposhtme:

(a) 4d 2 + 12d (b) 6x2 − 18x

(2 pikë) (2 pikë)


(a) x2 + 4x + 3 (b) x2 + 11x + 10

× = +3 × = +10

+ = +4 + = +11

x2 + 4x + 3 = (x + )(x + ) x2 + 11x + 10 = (x )(x )

(2 pikë) (2 pikë)


(a) x2 + 6x − 7 (b) x2 + 4x − 5 (c) x2 − 2x − 15



(a) x2 − 9 (b) x2 − 144

a = x, b = 3

x2 − 9 = (x + )(x − )

(2 pikë) (2 pikë)


(a) 3x2 − 7x + 2 (b) 2x2 − x − 3 (c) 3x2 − 16x − 12


Udhëzim

Udhëzim

"Të faktorizosh plotësisht" do të thotë që duhet të faktorizosh shprehjen me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (PMP).

Nëse shkruan se 4d2 + 12d = 4(d2 - 3d) atëherë nuk do të kesh faktorizuar plotësisht, sepse numri 4 nuk është PMP i këtyre dy mbledhorëve.

Udhëzim

Ti duhet të gjesh dy numra të cilët kur shumëzohen japin 3, ndërsa kur mblidhen japin 4.

Udhëzim

Këto shprehje janë në formën e diferencës së katrorëve. Përdor rregullën: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

14


PUnE

2.3 Ekuacione lineare 11 Zgjidh ekuacionet e mëposhtme:

(a) 3x + 1 = 13 (b) 5x − 3 = 27 (c) 26 = 7q − 9

3x + 1 = 13 (− 1)

3x = 13 − 1

3x = (÷ 3)

x = (1 pikë) x = (1 pikë) q = (1 pikë)

(d) 12x + 18 = 66 (e) t __

6 − 7 = 3 (f )

d __

3 + 2 = − 4

x = (1 pikë) t = (1 pikë) d = (1 pikë)

2 Zgjidh ekuacionet e mëposhtme:

(a) 3(3x + 5) = 42 (b) 5(2x + 3) = 35 (c) 5(x − 3) = −25

9x + = 42

9x = 42 −

9x = (÷ 9)

x = (2 pikë) x = (2 pikë) x = (2 pikë)

(d) 4(5x + 7) = 16 (e) 3(4x + 13) = 51 (f) 3(10 − 4x) = 45



(a) 2x + 3 = x + 7 (b) 7y + 15 = 4y − 6 (c) 4t − 6 = 2t + 18

x = (2 pikë) y = (2 pikë) t = (2 pikë)

(d) 2(x + 3) = x + 10 (e) 5(x − 4) = 3(x + 2) (f ) 3(2y − 4) = 2(6 − 3y)

x = (2 pikë) x = (2 pikë) y = (2 pikë)

4 Altini bleu 8 pako me zara. Çdo pako përmban m zara. Ai luan me një shokun e tij dhe fiton edhe 7 zara të tjerë. Kur Altini kthehet në shtëpi zbulon që ka gjithsej 103 zara. Njehso vlerën e m-së. Trego arsyetimin tënd për zgjidhjen.

m = (3 pikë)

Udhëzim

Udhëzim

Shumëzo kllapat.

Vendos të panjohurat në njërën anë.

Ti mund të shkruash një ekuacion me të panjohur m. Altini fillon me 8m zara. Ai më pas shton dhe 7 zara për të përftuar gjithsej 103.

15


10-11

2.3 Ekuacione lineare 21 Zgjidh ekuacionet e mëposhtme:

(a) 3x + 10

________ 2 = 12 (b)

2x + 7 _______

5 = 3 (c) 4 =

5x − 3 _______

3

3x + 10 _______ 2 = 12 (× 2)

2 (3x + 10)

_________ 2 = 12 × 2

3x + 10 = (− 10)

3x = −

3x = (÷ 3)



(a) 6 − 2x

_______ 4 = 2 − x (b)

5x ___

3 − 6 = x + 2

6 − 2x ________ 4 = 2 − x (× 4)

4 (6 − 2x)

__________ 4 = 4(2 − x )

6 − 2x = 4( 2 − x )

6 − 2x = − x

x − 2x = − 6



(a) x − 5

______ 5 −

4 − x ______

3 = 5 (b)

3x − 1 _______

2 −

2 (4 + 3x) _________

13 = 2

3 (x − 5) _______

5 × 3 −

5 (4 − x) _______

3 × 5 = 5

3x − − + x ______________________________ 15

= 5 (× 15)

x − = 5 × 15

x − = 75

x =


4 Le të jetë një trekëndësh ABC. Këndi A është (4x – 25)°, ndërsa këndi B është (x +3)°. Këndi A është sa trefishi i këndit B. Njehso vlerën e x.

x = (3 pikë)

Udhëzim

UdhëzimVendos (2 – x) në kllapa.

Shumëzo kllapat.

Vendos të panjohurat në njërën anë.

Udhëzim

A

B C

(4x 2 25)°

(x 1 3)°

Kujtohu të formosh një ekuacion

16


PUnE

2.4 Formulat1 Nga formula y = 3x − 7 , gjej vlerën e y kur:

(a) x = 5 (b) x = −4

y = 3(5) − 7 y = 3( ) − 7

= − 7 = (2 pikë) = − 7 = (2 pikë)

2 Vlera e y gjendet nga formula y = 2 x 2 + 5 . Gjej vlerën e y kur:

(a) x = 3 (b) x = 5 _ 2

y = 2( )2 + 5

= + 5 = (2 pikë) y = (3 pikë)

3 Jep përgjigjet e pikave nga (a) në (c) me saktësi 3 shifra kryesore:

(a) Duke përdorur formulën V = 1 __ 3 p r 2 h, gjej vlerën e V kur r = 24 dhe h = 5.8.

V = 1 __ 3 π( )2 × = (2 pikë)

(b) Duke përdorur formulën s = ut + 1 _ 2 at2, gjej vlerën e s kur u = −4, t = 6 dhe a = −9.8.

s = (3 pikë)

(c) Duke përdorur formulën T = 2p √ __

L

__ g , gjej vlerën e T kur L = 19.4 dhe g = 9.8.

T = (2 pikë)

(d) Duke përdorur formulën T = 2Mmg

_______ M + m

, gjej vlerën e T kur M = 3.6, m = 1.4 dhe g = 9.8 .

Jep përgjigjen tënde me saktësi 2 shifra kryesore.

T = (2 pikë)

4 N, numri i bimëve për hektar, jepet me formulën N = 12 000

______ dx

, ku d është largësia në metra

ndërmjet rreshtave të bimëve, dhe x është largesa midis bimëve.

Nëse d = 0.85 dhe x = 0.54, gjej vlerën e N.

Jepe përgjigjen tënde me saktësi 2 shifra kryesore.

N = (3 pikë)

5 Syprina e cilindrit përcaktohet nga formula

A = 2p r 2 + 2p rh

Vëllimi i cilindrit përcaktohet nga formula V = p r 2 hShpreh syprinën e cilindrit në varësi të rrezes r dhe vëllimit V.

A = (3 pikë)

UdhëzimZëvendëso x = 5 në formulë.

Udhëzim

Udhëzim


17


10-11

2.5 Vargu aritmetik 1 Më poshtë janë disa vargje aritmetike. Gjej një shprehje për kufizën e përgjithshme, an, të secilit varg.

(a) 5 9 13 17

14 14 14

an = 4n (2 pikë)

(b) 2 5 8 11 (c) 2 9 16 23

(2 pikë) (2 pikë)

2 Më poshtë janë 5 kufizat e para të një vargu aritmetik.

4 7 10 13 16

Gjej një shprehje për kufizën e përgjithshme, an, në varësi të n-së për këtë varg.

(2 pikë)

3 Më poshtë janë disa modele të krijuara me shkopinj:

modeli 1 modeli 2 modeli 3 modeli 4

Gjej formulën që tregon numrin e shkopinjve, N, në varësi të numrit të modelit, n.

N = (3 pikë)

4 Më poshtë janë 5 kufizat e para të një vargu aritmetik:

3 7 11 15 19

(a) Gjej një shprehje për kufizën e përgjithshme, an, në varësi të n-së për këtë varg.

n − (2 pikë)

(b) Mira thotë se 199 është një nga kufizat e këtij vargu. A ka të drejtë ajo? Shpjego përgjigjen tënde.

Barazo kufizën e përgjithshme, an, të këtij vargu me 199 dhe më pas zgjidh ekuacionin për të gjetur n. Nëse n është numër natyror, atëherë 199 është një nga kufizat e këtij vargu. Nëse n nuk është numër natyror, atëherë 199 nuk është një nga kufizat e këtij vargu.

(2 pikë)

5 Më poshtë janë 5 kufizat e para të një vargu aritmetik.

3 9 15 21 27


(2 pikë)

(b) Altini thotë se 242 është një nga kufizat e këtij vargu. A ka të drejtë ai? Shpjego përgjigjen tënde.

(2 pikë)

Kthehu pas për të gjetur kufizën fillestare, a0, të vargut. Për këtë duhet të zbresësh diferencën nga kufiza e parë, a1. Atëherë, kufiza e përgjithshme (an) = diferenca x n + kufiza fillestare (a0)

18


PUnE

2.6 Ushtrime me vargje1 Kufiza e përgjithshme, an, e një vargu aritmetik jepet

me formulën an + b, ku a dhe b janë numra natyrorë. Kufiza e katërt është e barabartë me 11, ndërsa kufiza e shtatë është e barabartë me 20. Gjej vlerat e a-së dhe b-së.

11 = a × + b dhe 20 = a × + b

(2 pikë)

2 Rregulla për gjetjen e kufizës në një varg është Shumëzo me k dhe mblidh me 3

Kufiza e dytë e vargut është e barabartë me 21, dhe kufiza e tretë është e barabartë me 45.

(a) Gjej kufizën e parë të këtij vargu.

(3 pikë)

(b) Gjej një shprehje për un + 1 në varësi të un.

(1 pikë)

3 Rregulla për gjetjen e kufizës së radhës në një varg është: Mblidh me 6 dhe më pas pjesëto me pKufiza e dytë e vargut është e barabartë me 15, dhe

kufiza e tretë është e barabartë me 7. Gjej kufizën e parë të këtij vargu.

(4 pikë)

4 Më poshtë janë 7 kufizat e para të vargut të Fibonacci-t.

1 1 2 3 5 8 13

Për të gjetur kufizën e radhës, mblidh dy kufizat paraardhëse.

(a) Gjeni kufizën e 10-të të vargut të Fibonacci-t.

(1 pikë)

Tre termat e parë të një vargu tjetër të Fibonacci-t janë:

x y x + y

(b) Gjej kufizën e 5-të të këtij vargu. (2 pikë)

Kufiza e tretë e vargut është e barabartë me 11, dhe kufiza e pestë është e barabartë me 28.

(c) Gjej vlerën e x dhe y.

x = dhe y = (3 pikë)

5 3, 3 √ __

3 , 9, 9 √ __

3 , 27, , , Gjej dy kufizat e radhës së këtij vargu.

(2 pikë)

Formo një sistem me dy ekuacione. Zgjidh sistemin.

Udhëzim

19


10-11

2.6 Vargje të gradës së dytë1 Një varg numerik përcaktohet nga formula un = n2 + 2n − 1

Gjej 6 kufizat e para të këtij vargu.

u1 = 12 + 2(1) − 1 = u2 = ( )2 + 2( ) − 1 =

u3 = ( )2 + 2( ) − 1 = u4 = ( )2 + 2( ) − 1 =

u5 = ( )2 + 2( ) − 1 = u6 = ( )2 + 2( ) − 1 = (2 pikë)

2 Përcakto formulën për kufizën e përgjithshme te secili nga vargjet e mëposhtme.

(a) 3 6 11 18 27 38 (b) 3 13 27 45 67 93

(3 pikë) (3 pikë)

(c) 4 10 20 34 52 74 (d) 2 9 22 41 66 97

(3 pikë) (3 pikë)

(e) 2 12 26 44 66 92 (f ) 1 5 15 31 53 81

(3 pikë) (3 pikë)

3 Më poshtë janë disa modele të krijuara me pllaka katrore.


(3 pikë)

(b) Xhena thotë se 75 është një nga kufizat e këtij vargu. A ka të drejtë ajo? Shpjego.

(1 pikë)

Udhëzim

Zëvendëso n = 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6 në formulë.

20


PUnE

3.1 Krahasimi i të dhënave1 Diagrami i mëposhtëm tregon pikët e marra në provimin për klasat 11A dhe 11B.

56789

2153

336

468

788

567

435

11B11A

1242

Zgjidhja: 6 | 2 tregon 62 pikëZgjidhja: 1 | 5 tregon 51 pikë

Krahaso pikët e marra nga klasa 11A me pikët e marra nga klasa 11B.

Gjej vlerën e mesores dhe amplitudën. Më pas përdor këto vlera për të bërë krahasimin mes dy klasave.

Mesorja e pikëve të klasës 11A është . Amplituda e pikëve të klasës 11A

është − =

(2 pikë)

2 Grafiku i mëposhtëm jep informacion mbi kohën që i duhet Altinin dhe Rominës për të zgjidhur disa ushtrime.

100

Romina

Altini

20Koha (min)

30 40 505 15 25 35 45

Krahaso shpërndarjen e kohës që i duhet Altinit dhe Rominës për të zgjidhur ushtrimet. Shkruaj dy krahasimet.

(2 pikë)

Gjithmonë krahaso mesoren dhe amplitudën ose gjerësinë ndërkuartilore.

Udhëzim

21


10-11

3.5 Mesatarja aritmetike, mesorja dhe moda1 Mesatarja aritmetike e 9 numrave është 62. Mesatarja aritmetike e 3 numrave është 52.

Cila është mesatarja aritmetike e 6 numrave të tjerë?

Shuma e 9 numrave = 9 × 62 =

Shuma e 3 numrave = × =

Diferenca = − =

Mesatarja aritmetike e 6 numrave = = (3 pikë)

2 Ema ka 5 letra. Ajo ka dëshirë të shkruajë një Gjatë provimit do të të duhet të përdorësh aftësitë e tua për të zgjidhur ushtrime – ji i përgatitur!

numër në secilën letër në mënyrë të tillë që: • Moda e këtyre 5 numrave është 7.• Mesorja e këtyre 5 numrave është 8.• Mesatarja aritmetike e këtyre 5 numrave është 9.• Amplituda e këtyre 5 numrave është 5.

Gjej vlerat e këtyre 5 numrave.

(3 pikë)

3 Jepen 5 letra me nga një numër të shkruar në to. X është një numër i thjeshtë, ndërsa Y është një katror i plotë. Mesatarja aritmetike e të pestë numrave të shkruar në këto letra është 11. Gjej vlerën e X dhe Y.

X =

Y = (3 pikë)

4 Ledio shkruan në një letër gjatësitë në cm të disa bimëve të ndryshme. Pa dashje Ledio fshin vlerën e fundit. Ledio thotë se mesatarja aritmetike, mesorja dhe moda e të gjithë numrave ishin të barabarta. Gjej vlerën e numrit të fshirë.

(3 pikë)

Udhëzim

ZgjidhProblemën!

? ? ? ? ?

12 8 17 X Y

23 29 14 23 17 23

Documents

mediaprint.al · 2018-11-07 · 1 U përpoqa Iu afrova E zgjidha saktë Matematika 10-11 1.1 Mënyra numërimi 1 Anisa ka 4 pllaka. M X Y Z Ajo zgjedh 2 prej këtyre pllakave. Shkruaj