Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
การหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารคดเลขเรวแบบเวทคณต การหาร
VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต
สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
สำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ�
สำ�นกง�นคณะกรรมก�รก�รศกษ�ขนพนฐ�น
กระทรวงศกษ�ธก�ร
คดเลขเรวแบบเวทคณต
การหาร
ปทพมพ 2562
จำ�นวนพมพ 45,000เลม
พมพท โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จำากด
79ถนนงามวงศวานแขวงลาดยาวเขตจตจกร
กรงเทพมหานคร10900
โทร.0-2561-4567โทรสาร0-2579-5101
นายโชคด ออสวรรณ ผพมพผโฆษณา
คำานำา
ก า ร จ ด ก า ร เร ย นก า ร สอนคณ ต ศ า สต ร ด ว ย เ ทคน ค
การคดเลขเรวแบบอนเดย (เวทคณต) เลมน จดทำาขนโดยมวตถประสงค
เพอพฒนาทกษะการคดคำานวณทางคณตศาสตรของผเรยน ใหผเรยน
คดเลขไดรวดเรว ถกตอง และแมนยำา รจกคด มเหตผลอยางเปนระบบ
สามารถแกปญหาใหมประสทธภาพมากขน ในการจดทำาเอกสารเลมน
ไดศกษาเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต:VedicMathematics)
มทมาจากคมภรโบราณในการคดเลขเรวซงเปนสวนหนงของคมภรพระเวท
ของอนเดย ประกอบดวยสตรหลก 16 สตร และสตรยอย 13 สตร
ทเกยวกบการบวกลบคณหารซงแตละสตรเปนสตรเฉพาะสามารถนำามา
ผสมผสานและผนวกกบพนความรในดานคดคำานวณได
จากนโยบายของนายกรฐมนตร (พลเอกประยทธ จนทรโอชา)
ในงานนายกรฐมนตรพบเพอนคร เมอป 2559 สำานกงานคณะกรรมการ
การศกษาขนพนฐาน ไดดำาเนนการจดทำาคมอเทคนคการคดเลขเรว
แบบอนเดย(เวทคณต)พรอมทงขยายผลครอบคลมทกเขตพนทการศกษา
และไดสงผบรหาร ศกษานเทศก ครผสอนคณตศาสตรเขารวมโครงการ
ฝกอบรมและสมมนาการจดการเรยนการสอนเวทคณตณสาธารณรฐอนเดย
จากผเชยวชาญทมประสบการณซงเปนตนกำาเนดเวทคณต และพฒนา
เปนตนแบบในการจดการเรยนการสอน การพฒนาเอกสารการจด
การเรยนการสอนคณตศาสตร ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย
ก
(เวทคณต)เลมน ไดรอยเรยงภาษาทงายกะทดรดเขาใจไดอยางรวดเรว
พรอมตวอยางประกอบ ทำาใหครผสอนและผ เรยนสามารถศกษา
และทำาความเขาใจไดดวยตนเองเอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร
ดวยเทคนคการคดเลขเรวแบบอนเดย(เวทคณต)ใน1ชดจดทำาเปน4เรอง
ประกอบดวยเรองการบวกการลบการคณและการหาร
สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานหวงเปนอยางยงวา
เอกสารการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรดวยเทคนคการคดเลขเรว
แบบอนเดย(เวทคณต)เลมนจะเปนประโยชนตอครผสอนนำาไปใชเพอพฒนา
ผเรยนทมพนฐานการใชเทคนคเวทคณตไดอยางคลองแคลวรวดเรว
ถกตอง แมนยำามากขน ซงเปนการบมเพาะและพฒนาผเรยนทม
ความโดดเดนทางคณตศาสตรเพอตอยอดผ เรยนไปสการแขงขน
ในระดบชาตและนานาชาตตอไป
สำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
สารบญ
หน�
คำ�นำ� ก
ส�รบญ ข
เกรนนำ� ค
ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธนขลม(NikhilamMethod) 1
การหารแบบนขลมผลลพธเปนจำานวนเตม 1
การหารแบบนขลมผลลพธเหลอเศษ 9
การหารแบบนขลมโดยใชการแปลงตวตง 28
เปนจำานวนวนควลม
ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธพ�ร�ว�รท(ParavartyaMethod) 47
การหารแบบพาราวารทผลลพธเปนจำานวนเตม 47
การหารแบบพาราวารทผลลพธเหลอเศษ 51
การหารแบบพาราวารทโดยใชการแปลงตวตง 55
หรอตวหารเปนจำานวนวนควลม
ก�รดำ�เนนก�รห�รโดยวธเพมหรอลดสดสวน 71
(AnurupyenaMethod)
การดำาเนนการหารโดยวธเพมสดสวน 71
การดำาเนนการหารโดยวธลดสดสวน 76
ข
หน�
สารบญ (ตอ)
ก�รห�รตรง(DhvajankaSutra) 96
ขนตอนการหาร(TheDivisionAlgorithm) 96
การหารตรง(DhvajankaSutra) 97
วธการดำาเนนการหารตรง 102
- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก 102
- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก 129
- การหารตรงกรณทตวหารเปนจำานวนเตมตงแต 169
สามหลกขนไป
ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวย(AuxiliaryFractions) 218
เศษสวนชวยแบบท1(ลงทายดวย9หรออนกรมของ9) 219
เศษสวนชวยแบบท2(ลงทายดวย1หรออนกรมของ1) 241
ภ�คผนวกก�รห�ร 275
บรรณ�นกรม 289
คณะทำ�ง�น 291
การหารในเวทคณตมหลายรปแบบ แตละรปแบบขนอยกบ
ตวตงและตวหารวาอยในเงอนไขของรปแบบใดถาเลอกรปแบบการหาร
ไดเหมาะสมกบโจทยจะทำาใหการหาผลหารถกตองและรวดเรว
ตวอยางสตรหลกและสตรยอยทนำ ามาชวยในการหาร
แตละรปแบบ ไดแก การหารแบบนขลม ใชสตร Nikhi lam
NavatashcaramamDashatah (All from 9 the last from 10)
การหารแบบพาราวารท ใชสตร Paravartya Yojayet (Transpose
and Adjust) การหารโดยวธ เ พมหรอลดสดสวน ใชสตรยอย
Anurupyena (Proport ionately) การหารตรง ใชสตรยอย
Dhvajanka (On the Flag) โดยมสตร Urdhva - Tiryagbhyam
(VerticallyandCrosswise)เขาเสรมในขนตอนการหารและโจทยบางขอ
อาจตองใชสตรยอย Anurupyena กอนจะหาผลหารแบบหารตรง
และการหารดวยเศษสวนยอย ใชสตร Ekadhikena Purvena
(By onemore than the previous one) หรอสตร Ekanyunena
Purvena (Byone less than thepreviousone)และโจทยบางขอ
อาจตองใชสตรยอย Anurupyena กอนขยายผลหารดวยเศษสวนยอย
เปนตน
เกรนนำา
ค
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
1
การดำาเนนการหารโดยวธนขลม เปนวธการแปลงตวหารทม
คานอยกวาและใกลเคยงกบฐานปฐมภม 10, 100, 1000, …, 10n
จะทำาใหการหารนนงายขน
1.1 การหารแบบนขลมผลลพธเปนจำานวนเตม
ก�รห�รแบบนขลมผลลพธเปนจำ�นวนเตมมขนตอนดงตอไปน
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกา
ขนท2ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 57,942 ÷ 999
วธคด
1. การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาได001
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
2
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 001 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวลากเสนแบง
ขนท 3 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย
ของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวนเลขโดด 2 ตว
นบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
3
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1
5
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
5
ขนท4ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ5ดานซายมอลงมาใตเสน
ขนท 5 นำาตวเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณ
ไปใสในหลกถดไปใตตวตงคอ001×5
5x0=0นำา0ใสใตเลขโดด7
5x0=0นำา0ใสใตเลขโดด9
5x1=5นำา5ใสใตเลขโดด4
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
4
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
5 7
ขนท 7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตงคอ001×7
7x0=0นำา0ใสใตเลขโดด9และ0
7x0=0นำา0ใสใตเลขโดด4และ5
7x1=7นำา7ใสใตเลขโดด2
ขนท6บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสนคอ
7 + 0 = 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
5
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9 1001
ขนท 8 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดทงสองตอน
ลงมาไวใตเสน
ขนท 9 พจารณาคาของจำานวนหลงเสนแบง คอ 999 มคาเทากบ
ตวหารเดมจงตองดำาเนนการหารตอโดยแปลงเศษ999ใหเปนจำานวน
ทมบารจะได999=1001เพอดำาเนนการหารตอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
6
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
1 0 0 1
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
1 0 0 1
1
ขนท 10 นำาจำานวนทแปลงไดมาแบงตวตงและขดเสนใตจากการพจารณาตามขนท2และขนท3
ขนท11ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ1ลงมาใตเสน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
7
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
1 0 0 1
0 0 1
1
ขนท12นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตงคอ001×1
1x0=0นำา0ใสใตเลขโดด0
1x0=0นำา0ใสใตเลขโดด0
1x1=1นำา1ใสใตเลขโดด1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
8
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
1 0 0 1
0 0 1
1 0 0 0
9 9 9 ) 5 7 9 4 2
0 0 1 0 0 5
0 0 7
5 7 9 9 9
1 0 0 1
0 0 1
1 0 0 0
ขนท13หาผลรวมทอยหลงเสนแบงเหลอเศษ000เปนการหารลงตว
ขนท 14 นำาจำานวนทอยหนาเสนแบงครงท 1 รวมกบครงท 2
ไดผลลพธคอ57+1=58
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
9
ดงนน 57,942÷999=58
ตอบ 58
1.2 การหารแบบนขลมผลลพธเหลอเศษ
ก�รห�รแบบนขลมผลลพธเหลอเศษมขนตอนดงตอไปน
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกา
ขนท2ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 87,639 ÷ 998
วธคด
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาจะได002
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
10
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 002 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวลากเสนแบง
ขนท 3 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย
ของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวนเลขโดด 2 ตว
นบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
11
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2
8
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
8
ขนท4ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ8ดานซายมอลงมาใตเสน
ขนท 5 นำาตวเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณ
ไปใสในหลกถดไปใตตวตงคอ002×8
8x0=0นำา0ใสใตเลขโดด7
8x0=0นำา0ใสใตเลขโดด6
8x2=16นำา16เขยนเปน16ใสใตเลขโดด3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
12
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
0 014
8 7
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
8 7
ขนท7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตงคอ002×7
7x0=0นำา0ใสใตเลขโดด6และ0
7x0=0นำา0ใสใตเลขโดด3และ16
7x2=14นำา14เขยนเปน14ใสใตเลขโดด9
ขนท6บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสนคอ
7 + 0 = 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
13
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
0 01
4
8 7 619
23
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
0 014
8 7 619
23 813
ขนท8หาผลรวมทอยหลงเสนแบง
ขนท9ปรบผลบวกทไดคอ619
23ใหเปน813
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
14
9 9 8 ) 8 7 6 3 9
0 0 2 0 016
0 014
8 7 8 1 3
ขนท 10 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม (813<998)เหลอเศษ813
ดงนน 87,639÷998=87เศษ813
ตอบ 87เศษ813
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
15
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 483,973 ÷ 9,897
วธคด
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาจะได0103
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 0103 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวลากเสนแบง
ขนท 3 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย
ของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวนเลขโดด 2 ตว
นบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
16
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3
4
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
4
ขนท4ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ4ดานซายมอลงมาใตเสน
ขนท 5 นำาตวเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณ
ไปใสในหลกถดไปใตตวตงคอ0103×4
4x0=0นำา0ใสใตเลขโดด8
4x1=4นำา4ใสใตเลขโดด3
4x0=0นำา0ใสใตเลขโดด9
4x3=12นำา12เขยนเปน12ใสใตเลขโดด7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
17
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
0 8 0 24
4 8
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
4 8
ขนท 7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตงคอ0103×8
8x0=0นำา0ใสใตเลขโดด3และ4
8x1=8นำา8ใสใตเลขโดด9และ0
8x0=0นำา0ใสใตเลขโดด7และ12
8x3=24นำา24เขยนเปน24ใสใตเลขโดด3
ขนท6บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสนคอ
8+0=8
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
18
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
0 8 0 24
4 8 717
19
27
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
0 8 0 24
4 8 717
19
27 8917
ขนท8หาผลรวมทอยหลงเสนแบง
ขนท9ปรบผลบวกทไดคอ717
19
27ใหเปน8917
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
19
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
0 8 0 24
4 8 8 9 1 7
ขนท10พจารณาจำานวนเศษทไดมคานอยกวาตวหารเดม(8917<9897)เหลอเศษ8917
ดงนน 483,973÷9,897=48เศษ8,917
ตอบ 48เศษ8,917
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
20
ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 712,435 ÷ 8,999
วธคด
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1
ขนท1ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาจะได1001
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1001 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวลากเสนแบง
ขนท 3 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย
ของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวนเลขโดด 2 ตว
นบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
21
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1
7
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
7
ขนท4ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ7ดานซายมอลงมาใตเสน
ขนท 5 นำาตวเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณ
ไปใสในหลกถดไปใตตวตง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
22
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 8
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
7 8
ขนท 7 นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหม แลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตง
ขนท6บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสนคอ
1+7=8
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
23
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13 10513
ขนท8หาผลรวมทอยหลงเสนแบง
ขนท9ปรบผลบวกทได10 4
10
13เปน10513
เมอพจารณาแลวจำานวนทเหลอมคามากกวาตวหารเดม
(10513>8999)ตองดำาเนนการหารตอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
24
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13
1 0 5 1 3
ขนท10นำาจำานวน10513มาแบงตวตงและขดเสนใตพจารณาตามขนท2และขนท3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
25
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13
1 0 5 1 3
1 0 0 1
1
ขนท 11 ชกเลขโดดตวแรก คอ 1 ลงมาใตเสน แลวนำาไปคณกบ ตวหารใหมคอ1001×1นำาผลคณไปใสในหลกถดไป
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
26
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13
1 0 5 1 3
1 0 0 1
1 1 5 1 4
ขนท 12 หาผลรวมทอยหลงเสนแบงได 1514 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม(1514<8999)เหลอเศษ1514
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
27
8 9 9 9 ) 7 1 2 4 3 5
1 0 0 1 7 0 0 7
8 0 0 8
7 810 4
10
13
1 0 5 1 3
1 0 0 1
1 1 5 1 4
ขนท 13 นำาผลจากการดำาเนนการหารครงท 1 รวมกบครงท 2 ได78+1=79
ดงนน 712,435÷8,999=79เศษ1,514
ตอบ 79เศษ1,514
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
28
1.3 การหารแบบนขลมโดยใชการแปลงตวตงเปนจำานวน
วนควลม
ก�รห�รแบบนขลมโดยใชก�รแปลงตวตงเปนจำ�นวนวนควลม
มขนตอนดงตอไปน
ขนท1 สงเกตเลขโดดของตวตงทมคามากกวา5
ขนท2 ปรบตวตงใหเปนจำานวนวนควลม
ขนท3ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกา
ขนท4 ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 99,716,489 ÷ 97,899
วธคด
ขนท1พจารณาตวตงมเลขโดดทมคามากกวา5หลายตวแปลงเปน
จำานวนวนควลม
99716489÷97899
99716489=100,324,51 1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
29
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1
ขนท2ปรบปรงตวหารใหมโดยใชหลกการทบสบทบเกาได02101
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1
ขนท 3 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 02101 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกตวหารแลวลากเสนแบง
ขนท 4 นบบรรทดลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดดของตวตงทางซาย
ของเสนแบงแลวขดเสนใต
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
30
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
1
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0
1 0
ขนท 5 ชกเลขโดดตวแรกของตวตง คอ 1 ดานซายมอลงมาใตเสน
แลวนำาไปคณกบตวหารใหมนำาผลคณไปใสในหลกถดไปใตตวตง
ขนท 6 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดตวแรกลงมาไว
ใตเสน คอ 0 + 0 = 0 นำา 0 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
31
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0
0 4 2 0 2
1 0 2
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0
0 4 2 0 2
0 4 2 0 2
1 0 2 2
ขนท 7 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน คอ
0 + 2 + 0 = 2 นำา 2 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใสในหลก
ถดไปใตตวตง
ขนท 8 บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน คอ
3 + 1 + 0 + 0 = 2 นำา 2 ไปคณกบตวหารใหม นำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
32
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0
0 4 2 0 2
0 4 2 0 2
1 0 2 2 6 5 3 1 3 55307
9 7 8 9 9 ) 1 0 0 3 2 4 5 1 1
0 2 1 0 1 0 2 1 0 1
0 0 0 0 0
0 4 2 0 2
0 4 2 0 2
1 0 2 2 5 5 3 0 7
ขนท 9 หาผลรวมทอยหลงเสนแบง แลวปรบผลบวกทได คอ
65313=55307
ขนท 10 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม
(55307<97899)เหลอเศษ55307
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
33
ขนท11ปรบผลหารคอ1022=1018เหลอเศษคอ55307ผลลพธคอ1018เศษ55307
ดงนน 99,716,489÷97,899=1,018เศษ55,307
ตอบ 1,018เศษ55,307
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
34
แบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)
1) 7,743÷87=
วธคด
ตอบ
2) 5,726÷97=
วธคด
ตอบ
จงห�ผลห�รตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
35
3) 87,639÷878=
วธคด
ตอบ
4) 97,632÷899=
วธคด
ตอบ
5) 89,742÷989=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
36
6) 29,365÷998=
วธคด
ตอบ
7) 27,664÷988=
วธคด
ตอบ
8) 483,973÷9,897=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
37
9) 357,862÷9,999=
วธคด
ตอบ
10) 4,973,218÷9,988=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
38
1) 7,743÷87=
วธคด
ดงนน 7,743÷87 =89
ตอบ 89
8 7 ) 7 7 4 3
1 3 7 21
14
42
714
39
45
4 3 5
412
4 717
1 1 3
1 3
1 0 0
39
45=435>87
7 17=8711 3
7 14+4+1=89เศษ0
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธนขลม (Nikhilam Method)
จงห�ผลห�รตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
39
2) 5,726÷97=
วธคด
ดงนน 5,726÷97 =59เศษ3
ตอบ 59เศษ3
9 7 ) 5 7 2 6
0 3 015
0 21
5 717
27
1 9 7
0 3
1 910
1 0 0
0 3
1 0 3
17
27=197>97
9 10=100>97
57+1+1=59
03<97
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
40
3) 87,639÷878=
วธคด
ดงนน 87,639÷878 =99เศษ717
ตอบ 99เศษ717
8 7 8 ) 8 7 6 3 9
1 2 2 816
16
15
30
30
815
37
49
39
4 2 2 9
4 8 8
4 610
17
37
49
39=4229>878
6 10
17=717<878
815 + 4 = 99
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
41
4) 97,632÷899=
วธคด
ดงนน 97,632÷899 =108เศษ540
ตอบ 108เศษ540
8 9 9 ) 9 7 6 3 2
1 0 1 9 0 9
16 0
16
916
22
12
18
2 3 3 8
2 0 2
2 5 310
22
12
18=2338>899
5310
=540<899
9 16+2=108
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
42
5) 89,742÷989=
วธคด
ดงนน 89,742÷989 =90เศษ732
ตอบ 90เศษ732
9 8 9 ) 8 9 7 4 2
0 1 1 0 8 8
0 9 9
8 915
21
11
1 7 2 1
0 1 1
1 7 3 2
15
21
11=1721>989
732<989
89+1=90
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
43
6) 29,365÷998=
วธคด
ดงนน 29,365÷998 =29เศษ423
ตอบ 29เศษ423
9 9 8 ) 2 9 3 6 5
0 0 2 0 0 4
0 018
2 9 310
23
310
23=423<998
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
44
7) 27,664÷988=
วธคด
ดงนน 27,664÷988 =28
ตอบ 28
9 8 8 ) 2 7 6 6 4
0 1 2 0 2 4
0 714
2 7 817
18
1 0 1 2
0 1 2
1 0 0 0
817
18=988→101 2
27+1=28
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
45
8)483,973÷9,897=
วธคด
ดงนน 483,973÷9,897=48เศษ8,917
ตอบ 48เศษ8,917
9) 357,862÷9,999=
วธคด
ดงนน 357,862÷9,999 =35เศษ7,897
ตอบ 35เศษ7,897
9 8 9 7 ) 4 8 3 9 7 3
0 1 0 3 0 4 012
0 8 0 24
4 8 717
19
27
9 9 9 9 ) 3 5 7 8 6 2
0 0 0 1 0 0 0 3
0 0 0 5
3 5 7 8 9 7
7 17
19
27=8917<9897
7897<9999
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
46
10)4,973,218÷9,988=
วธคด
ดงนน 4,973,218÷9,988 =497เศษ9,182
ตอบ 497เศษ9,182
812 1 8 = 921 8=9182<9988
503 = 497
9 9 8 8 ) 5 0 3 3 2 2 2
0 0 1 2 0 0 510
0 0 3 6
5 0 3 812 1 8
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
47
การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารทเปนการหารแบบเทคนคเฉพาะ
กลาวคอ ใชตวหารทม คามากกวาและใกล เคยงกบฐานปฐมภ ม
มความเหมาะสมกบตวหารทอยในรป 1abc ตวหารทปรบปรงใหม
(Modified Divisor) คอ a b c (MD = a b c) การดำาเนนการหาร
โดยวธพาราวารท จะแตกตางจากวธนขลมในขนตอนท 1 สวนขนตอน
ถดไปจะดำาเนนการคลายกน
2.1 การหารแบบพาราวารทผลลพธเปนจำานวนเตม
ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทผลลพธเปนจำ�นวนเตมมขนตอนดงตอไปน
ขนท1ปรบปรงตวหารใหม
ขนท2ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
2. การดำาเนนการหารโดยวธ
พาราวารท (Paravartya Method)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
48
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 1,344 ÷ 112
วธคด
1 1 2 ) 1 3 4 4
1 2
1 1 2 ) 1 3 4 4
1 2
ขนท1ปรบปรงตวหารใหม
MD=1 2
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 2 พจารณาแบงตวตงจาก
ขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง
นบจำานวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดด
ของตวตงทางซายของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวน
เลขโดด2ตวนบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
49
1 1 2 ) 1 3 4 4
1 2
1
1 1 2 ) 1 3 4 4
1 2 1 2
1 2
ขนท3ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ1ดานซายมอลงมาใตเสน
ขนท4นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาผลคณไปใส
ในหลกถดไปใตตวตงคอ1x1 = 1และ1x2 = 2
บวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดดทคณไดลงมาไวใตเสน
คอ3+1 = 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
50
1 1 2 ) 1 3 4 4
1 2 1 2
2 4
1 2 0 0
ขนท 6 พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบง พบวาเปนศนย แสดงวา
ผลหารลงตว
ดงนน 1,344÷112=12
ตอบ 12
ขนท5นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหมคอ2x1 = 2และ
2 x 2 = 4แลวนำาผลคณไปใสในหลกถดไป
หาผลรวมของเลขโดดหลงเสนแบงทละหลกลงมาไวใตเสน
คอ4+2 + 2=0และ4+4 = 0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
51
2.2 การหารแบบพาราวารทผลลพธเหลอเศษ
ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทผลลพธเหลอเศษมขนตอนดงตอไปน
ขนท1ปรบปรงตวหารใหม
ขนท2ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 432 ÷ 11
วธคด
1 1 ) 4 3 2
1
ขนท1ปรบปรงตวหารใหม
MD=1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
52
1 1 ) 4 3 2
1
4
ขนท3ชกเลขโดดตวแรกของตวตงคอ4ดานซายมอลงมาใตเสน
1 1 ) 4 3 2
1
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 พจารณาแบงตวตงจาก
ขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง
นบจำานวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดด
ของตวตงทางซายของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวน
เลขโดด2ตวนบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
53
1 1 ) 4 3 2
1 4
4 1
1 1 ) 4 3 2
1 4
1
4 1 3
ขนท4นำาเลขโดดทชกลงมาไปคณกบตวหารใหมแลวนำาไปใสในหลก
ถดไปใตตวตง คอ 4 x 1 = 4 และบวกเลขโดดของตวตงกบเลขโดด
ทคณไดลงมาไวใตเสนคอ3+4 = 1
ขนท5นำาเลขโดดทบวกไดไปคณกบตวหารใหมคอ1 x 1=1แลวนำา
ไปใสในหลกถดไป และหาผลรวมของเลขโดดหลงเสนแบงทละหลก
ลงมาไวใตเสนคอ2+1=3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
54
ขนท6พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม
(3<11)เหลอเศษ3
41=39
ดงนน 432÷11=39เศษ3
ตอบ 39เศษ3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
55
2.3 การหารแบบพาราวารทโดยใชการแปลงตวตงหรอ
ตวหารเปนจำานวนวนควลม
ก�รห�รแบบพ�ร�ว�รทโดยใชก�รแปลงตวตงหรอตวห�ร
เปนจำ�นวนวนควลมมขนตอนดงตอไปน
ขนท1สงเกตเลขโดดของตวตงหรอตวหารทมคามากกวา5
ขนท2ปรบตวตงหรอตวหารใหเปนจำานวนวนควลม
ขนท3ปรบปรงตวหารใหม
ขนท4ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 18,937 ÷ 1,102
วธคด
ขนท1พจารณาตวตงมเลขโดดทมคามากกวา5หลายตวแปลงเปน
จำานวนวนควลม
18937÷1102
18937=21 14 3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
56
1 1 0 2 ) 2 1 1 4 3
1 0 2
1 1 0 2 ) 2 1 1 4 3
1 0 2 2 0 4
3 0 6
2 3 2 0 3
ขนท 2 จากตวหารทปรบปรงใหม คอ 1 0 2 พจารณาแบงตวตง
จากขวาไปซายเทากบจำานวนหลกของตวหารแลวขดเสนแบง
นบจำานวนบรรทดตอจากตวตงลงมาใหเทากบจำานวนเลขโดด
ของตวตงทางซายของเสนแบง แลวขดเสนใต (ทางซายมอมจำานวน
เลขโดด2ตวนบลงมาสองบรรทดแลวขดเสนใต)
ขนท3ดำาเนนการหารโดยใชการหารสงเคราะห
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
57
ขนท4พจารณาจำานวนทอยหลงเสนแบงมคานอยกวาตวหารเดม
(203<1102)เหลอเศษ203
23=17
ดงนน 18,937÷1,102=17เศษ203
ตอบ 17เศษ203
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
58
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 11,011 ÷ 119
วธคด
วธท1
1 1 9 ) 1 1 0 1 1
1 9 1 9
0 0
981
1 0 910
82
9 118 2
1 8 2
1 9
1 7 7
1 6 3
ดงนน 91+1=92เศษ63
ตอบ 92เศษ63
109+1เศษ77=92เศษ63
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
59
113+1เศษ63=92เศษ63
วธท2ปรบตวหารเปนจำานวนวนควลม
1 2 1 ) 1 1 0 1 1
2 1 2 1
2 1
6 3
1 1 3 6 4
9 314 4
1 4 4
2 1
1 6 3
ดงนน 93+1=92เศษ63
ตอบ 92เศษ63
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
60
แบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารท
(Paravartya Method)
จงห�ผลห�รตอไปน
1) 1,232÷112=
วธคด
ตอบ
2) 2,583÷123=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
61
3) 121,212÷113=
วธคด
ตอบ
4) 79,999÷111=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
62
5) 2,321÷118=
วธคด
ตอบ
6) 207÷101=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
63
7) 426÷11=
วธคด
ตอบ
8) 239,479÷11,203=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
64
9) 39,999÷9,819=
วธคด
ตอบ
10) 13,579÷8,897=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
65
1) 1,232÷112=
วธคด
ดงนน 1,232÷112 =11
ตอบ 11
2) 2,583÷123=
วธคด
ดงนน 2,583÷123 =21
ตอบ 21
1 1 2 ) 1 2 3 2
1 2 1 2
1 2
1 1 0 0
1 2 3 ) 2 5 8 3
2 3 4 6
2 3
2 1 0 0
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธพาราวารท
(Paravartya Method)
จงห�ผลห�รตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
66
3) 121,212÷113=
วธคด
ดงนน 121,212÷113 =1,072เศษ76
ตอบ 1,072เศษ76
1 1 3 ) 1 2 1 2 1 2
1 3 1 3
1 3
3 9
2 6
1 1 3 2 8 4
1 0 7 2 7 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
67
4) 79,999÷111=
วธคด79,999=120001
ดงนน 79,999÷111 =721+1เศษ79=720เศษ79
ตอบ 720เศษ79
1 1 1 ) 1 2 0 0 0 1
1 1 1 1
3 3
2 2
1 1
1 3 2 1 3 2
7 2 1 3 2
1 6 8
1 1
1 7 9
3 2 = 168
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
68
5) 2,321÷118=
วธคด118=122
ดงนน 2,321÷118 =19เศษ79
ตอบ 19เศษ79
6) 207÷101=
วธคด
ดงนน 207÷101 =2เศษ5
ตอบ 2เศษ5
1 2 2 ) 2 3 2 1
2 2 4 4
2 2
2 1 8 1
1 9 7 9
1 0 1 ) 2 0 7
0 1 0 2
2 0 5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
69
1 1 ) 4 2 6
1 4
2
4 2 8
3 8 8
7) 426÷11=
วธคด
ดงนน 426÷11 =38เศษ8
ตอบ 38เศษ8
8) 239,479÷11,203=
วธคด
ดงนน 239,479÷11,203 =21เศษ4,216
ตอบ 21เศษ4,216
1 1 2 0 3 ) 2 3 9 4 7 9
1 2 0 3 2 4 0 6
1 2 0 3
2 1 4 2 1 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
70
9) 39,999÷9,819=
วธคด39,999=40001
9,819=10221
ดงนน 39,999÷9,819 =4เศษ723
ตอบ 4เศษ723
10) 13,579÷8,897=
วธคด8,897=11 103
ดงนน 13,579÷8,897 =1เศษ4,682
ตอบ 1เศษ4,682
1 0 2 2 1 ) 4 0 0 0 1
0 2 2 1 0 8 8 4
4 0 8 8 3
4 0 7 2 3
1 1 1 0 3 ) 1 3 5 7 9
1 1 0 3 1 1 0 3
1 4 6 712
1 4 6 8 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
71
การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวนเปนการปรบตวหาร
ใหเหมาะสมกบวธนขลมหรอวธพาราวารท
3.1 การดำาเนนการหารโดยวธเพมสดสวน
ขนท1เพมสดสวนตวหารใหใกลเคยงฐานปฐมภมโดยการคณ
ขนท2ใชการดำาเนนการแบบวธนขลมกรณทตวหารใกลเคยง
และนอยกวาฐานปฐมภมหรอใชการดำาเนนการแบบวธพาราวารทกรณท
ตวหารใกลเคยงและมากกวาฐานปฐมภม
ขนท3เมอไดผลหารจากการดำาเนนการในขนท2แลวนำาผลหาร
เฉพาะสวนของจำานวนเตมทอยดานหนาของเสนแบงคณกบจำานวน
ทนำาไปเพมสดสวนในขนท 1 กรณทเหลอเศษมากกวาตวหาร ใหคณ
ดวยจำานวนทนำาไปเพมสดสวนแลวหาคาตอ เมอเสรจสนการดำาเนนการ
จงนำาเศษหารดวยจำานวนทนำาไปเพมสดสวนจะไดคำาตอบ
3. การดำาเนนการหารโดยวธเพม
หรอลดสดสวน (Anurupyena Method)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
72
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 1,361 ÷ 26
วธคด
2 6 x 4 = 1 0 4
ขนท1 เพมสดสวนตวห�ร
นำา4มาคณกบ26จะได104ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100
ขนท2ดำ�เนนก�รห�รแบบวธพ�ร�ว�รทไดผลหารคอ13เหลอเศษ9
1 0 4 ) 1 3 6 1
0 4 0 4
0 12
1 3 2 11
1 3 0 9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
73
ขนท 3 นำาผลหารหนาเสนแบงไปคณดวย 4 (จำานวนในขนท 1)
จะไดคำาตอบ52เหลอเศษ9
1 0 4 ) 1 3 6 1
0 4 0 4
0 12
1 3 2 11
1 3 0 9
4
5 2 0 9
ดงนน1,361÷26=52เศษ9
ตอบ 52เศษ9
x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
74
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 1,011 ÷ 23
วธคด
2 3 x 4 = 9 2
ขนท1 เพมสดสวนตวห�ร
นำา4มาคณกบ23จะได92ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100
ขนท2 ดำ�เนนก�รห�รแบบวธนขลม
ไดผลหารคอ10เหลอเศษ91
9 2 ) 1 0 1 1
0 8 0 8
0 0
1 0 9 1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
75
ขนท3นำาผลหารหนาเสนแบงไปคณดวย4และขอนเหลอเศษมากกวา
ตวหาร(91<23)นำา91คณดวย4ได364ดำาเนนการหารตอได3
เหลอเศษ88แลวหารเศษทไดดวย4ไดเศษทเหลอคอ22
จะได40+3=43เศษ22
9 2 ) 1 0 1 10 8 0 8
0 01 0 9 1
4 44 0
36 4
3 6 40
24
3 6 28
4 3 8 84
4 3 2 2
ดงนน1,011÷23=43เศษ22
ตอบ 43เศษ22
x x
÷
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
76
3.2 การดำาเนนการหารโดยวธลดสดสวน
ขนท1ลดสดสวนตวหารใหใกลเคยงฐานปฐมภมโดยการหาร
ขนท2ใชการดำาเนนการแบบวธนขลมกรณทตวหารใกลเคยง
และนอยกวาฐานปฐมภมหรอใชการดำาเนนการแบบวธพาราวารทกรณท
ตวหารใกลเคยงและมากกวาฐานปฐมภม
ขนท3เมอไดผลหารจากการดำาเนนการในขนท2แลวนำาผลหาร
เฉพาะสวนของจำานวนเตมทอยดานหนาของเสนแบงหารกบจำานวนทนำาไป
ลดสดสวนในขนท1กรณหารไมลงตวใหนำาเฉพาะเศษสวนไปคณตวหาร
แลวนำาไปบวกกบเศษเหลอทอยหลงเสนแบง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
77
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 12,345 ÷ 204
วธคด
2 0 4 ÷ 2 = 1 0 2
ขนท1 ลดสดสวนตวห�ร
นำา2มาหาร204จะได102ใกลเคยงฐานปฐมภม100
1 0 2 ) 1 2 3 4 5
0 2 0 2
0 4
0 2
1 2 1 0 3
ขนท2ดำ�เนนก�รห�รแบบวธพ�ร�ว�รทไดผลหารคอ121เศษ03
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
78
ขนท3จากผลหารนำาจำานวนหนาเสนแบงหารดวย2จะได
121÷2=60 12 และนำา 1
2 x204=102แลวนำาไปบวกกบเศษเหลอ
จะไดเศษ102+3=105ไดคำาตอบคอ60เศษ105
1 0 2 ) 1 2 3 4 50 2 0 2
0 40 2
1 2 1 0 3 260 0 3
60
60 105
12
12
ดงนน12,345÷204=60เศษ105
ตอบ 60เศษ105
÷
x204+03
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
79
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 10,600 ÷ 588
วธคด
5 8 8 ÷ 6 = 9 8
ขนท1 ลดสดสวนตวห�ร
นำา6มาหาร588จะได98ซงใกลเคยงฐานปฐมภม100
ขนท2 ดำ�เนนก�รห�รแบบวธนขลมไดผลหารคอ108เศษ16
9 8 ) 1 0 6 0 0
0 2 0 2
0 0
01
6
1 0 8 1 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
80
ขนท3จากผลหารนำาจำานวนหนาเสนแบงหารดวย6จะได
108÷6=18ไดคำาตอบคอ18เศษ16
9 8 ) 1 0 6 0 0
0 2 0 2
0 0
01
6
1 0 8 1 6
6
18 1 6
ดงนน10,600÷588=18เศษ16
ตอบ 18เศษ16
÷
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
81
แบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวน
(Anurupyena Method)
จงห�ผลห�รตอไปน
1) 1,400÷199=
วธคด
ตอบ
2) 1,699÷223=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
82
3) 13,333÷439=
วธคด
ตอบ
4) 12,584÷511=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
83
5) 12,345÷331=
วธคด
ตอบ
6) 1,177÷516=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
84
7) 13,045÷494=
วธคด
ตอบ
8) 137,987÷1,427=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
85
9) 79,999÷555=
วธคด
ตอบ
10) 33,033÷1,231=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
86
1) 1,400÷199=
วธคด199x5=995
ดงนน1,400÷199=7เศษ7
ตอบ 7เศษ7
9 9 5 ) 1 4 0 0
0 0 5 0 0 51 4 0 5
5 5
5 20 0
25
2 0 2 5
0 010
2 0 215
0 3 5
57 0 0 7
÷
x x
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารโดยวธเพมหรอลดสดสวน
(Anurupyena Method)
จงห�ผลห�รตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
87
2) 1,699÷223=
วธคด223x4=892
ดงนน1,699÷223=7เศษ138
ตอบ 7เศษ138
8 9 2 ) 1 6 9 9
1 0 8 1 0 81 7 9
17
4 4
4 28
36
68
3 2 2 8
3 0 24
3 5 232
7 5 5 2
47 1 3 8
÷
xx
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
88
8 7 8 ) 1 3 3 3 3
1 2 2 1 2 24 8 8
1 4 913
11
2 22 8
18
26
22
2 0 8 22 4 4
2 212 6
3 0 3 2 62
3 0 1 6 3
3) 13,333÷439=
วธคด439x2=878
ดงนน13,333÷439=30เศษ163
ตอบ 30เศษ163
÷
x x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
89
1 0 2 2 ) 1 2 5 8 4
0 2 2 0 2 2
0 4 4
1 2 3 2 0
2
2 4 3 2 0
4) 12,584÷511=
วธคด511x2=1,022
ดงนน12,584÷511=24เศษ320
ตอบ 24เศษ320
x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
90
9 9 3 ) 1 2 3 4 5
0 0 7 0 0 70 0
14
1 2 311
19
3 33 6 9
33
57
1 2 8 70 0 7
1 2 814
2 9 43
3 7 0 9 8
5) 12,345÷331=
วธคด331x3=993
ดงนน12,345÷331=37เศษ98
ตอบ 37เศษ98
÷
x x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
91
÷
1 2 9 ) 1 1 7 7
2 9 2 92 9
1 1 016
9 1 642 1 6
2 x 516+ 16
2 1 4 5
6) 1,177÷516=
วธคด516÷4=129
ดงนน1,177÷516=2เศษ145
ตอบ 2เศษ145
14
14
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
92
9 8 8 ) 1 3 0 4 5
0 1 2 0 1 2
0 3 6
1 3 1 911
2
2 6 2 0 1
7) 13,045÷494=
วธคด494x2=988
ดงนน13,045÷494=26เศษ201
ตอบ 26เศษ201
x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
93
9 9 8 9 ) 1 3 7 9 8 7
0 0 1 1 0 0 1 10 0 3 3
1 3 710
12
10
7 79 1
49
70
84
70
5 6 9 1 00 0 5 5
5 6 9 6 5
9 6 6 9 6 57
9 6 0 9 9 5
8) 137,987÷1,427=
วธคด1,427x7=9,989
ดงนน137,987÷1,427=96เศษ995
ตอบ 96เศษ995
÷
x x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
94
1 1 1 ) 7 9 9 9 9
1 1 7 7
2 2
0 0
7 2 0 7 9
5
1 4 4 7 9
9) 79,999÷555=
วธคด555÷5=111
ดงนน79,999÷555=144เศษ79
ตอบ 144เศษ79
÷
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
95
9 8 4 8 ) 3 3 0 3 3
0 1 5 2 0 31
5 6
3 3 318 9
8 82 4
24
24
144
72
2 7 9 1 20 2
10 4
2 7 11
11 6
2 6 8 2 1 68
2 6 1 0 2 7
10) 33,033÷1,231=
วธคด1,231x8=9,848
ดงนน33,033÷1,231=26เศษ1,027
ตอบ 26เศษ1,027
÷
x x
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
96
การหารในหวขอนจะเปนการหารในระบบจำานวนเตมทตวหาร
ไมเปนศนย ตวอยางเชน 29 หารดวย 8 จะไดผลหารเปน 3 เศษเหลอ
เทากบ5เขยนไดเปน
29=(8x3)+5
จากสมการ ตวตงคอ 29 ตวหารคอ 8 ไดผลหารเทากบ 3
เศษเหลอเทากบ5เรยกสมการนวาขนตอนก�รห�รในกรณทเศษเหลอ
เทากบ 0 จะเรยกวา การหารลงตว ดงนน ควรทำาความเขาใจเกยวกบ
ขนตอนการหารกอนทจะเรยนรเรองการหารตรง เพราะมศพทเฉพาะ
บางคำาทนำามาใชแลวเขาใจไมตรงกน
4.1 ขนตอนการหาร (The Division Algorithm)
ใหaและbเปนจำานวนเตมโดยทa≠0แลวมจำานวนเตมq
และrเพยงคเดยวททำาให
b=aq+rโดยท0≤r<|a|
เรยก b วา ตวตง(dividend)
a วา ตวหาร(divisor)
q วา ผลหาร(quotient)
r วา เศษเหลอ(remainder)
4. การหารตรง (Dhvajanka Sutra)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
97
จากขนตอนการหาร ตวตงและตวหารเปนจำานวนเตม โดยท
ตวหารไมเปนศนยผลหารเปนจำานวนเตมและเศษเหลอเปนจำานวนเตมบวก
ทนอยกวาคาสมบรณของตวหารหรอเทากบ0ในการดำาเนนการหารตรง
มสญลกษณและขอความทตองใหความหมายดงน
1. 28÷9=4เศษเหลอ1เขยนแทนดวย28÷9=4เศษ1
2. 45÷7=6เศษ3หมายถง45หารดวย7ไดผลหารเทากบ6
เศษเหลอเทากบ3
3. r=107หมายถงเศษเหลอของการหารเทากบ107
4.3
139 r=3
หมายถงผลหารเทากบ139เศษเหลอเทากบ3
5. เศษเหลอ9เขยนแทนดวยเศษ9
6.23มคาเทากบ23
4.2 การหารตรง (Dhvajanka Sutra)
การหารตรง เปนวธการหารทใชไดกบโจทยการหารทวไป
การดำาเนนการคลายกบการตงหารยาว เพยงแตสงเคราะหขนมาใหม
เพอใหการดำาเนนการหารงายขน
ในกรณทตวหารมเพยงหลกเดยวสามารถดำาเนนการหารตรงได
โดยไมตองแปลงตวหารและตวตงดงรป
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
98
จากรป เปรยบเทยบวธการตงหารยาวกบการหารตรง สงเกต
ไดวา8–6=2แลวชก3ลงมากบการนำา2ไปเขยนหอยไวหนาเลข3
มคาเทากนคอ23และ23–18=5แลวชก 7ลงมากบการนำา 5
ไปเขยนหอยไวหนาเลข 7 มคาเทากน คอ 57 เมอดำาเนนการหารเสรจ
จะไดผลลพธเทากนคอ139เศษ3
ในกรณทตวหารเปนจำานวนเตมบวกตงแตสองหลกขนไป
กอนดำาเนนการหารตรงตองแยกตวหารและตวตงออกเปนสองสวนดงน
1. ตวห�ร เพอใหการดำาเนนการหารงายขน จะแบงตวหาร
ออกเปนสองสวน สวนหนาใชเปนตวห�ร เรยกวาตวห�รใหม จะเปน
จำานวนเตมทมหนงหลกหรอสองหลกเทานน สวนหลงคอตวเลขทเหลอ
จะทำาหนาทเปนตวเสรมในการหารเรยกวาตวธง
2. ตวต ง จะแบงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร
โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธงเสมอ
ดงตวอยางตอไปน
ก�รตงห�รย�ว ก�รห�รตรง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
99
ตวอย�งก�รแบงตวห�รและตวตง
ตวอย�งท1
ตวหารคอ63เปนจำานวนเตมทมสองหลกเพอใหงายตอการหาร
จะแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหมคอ6สวนหลง
เปนตวธง คอ 3 เมอแบงตวหารแลวจะแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกน โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวน
หลกของตวธง ซงในตวอยางน ตวธง มหลกเดยว ดงนน ตวตง 82,715
จงแบงเปน8271กบ5
ตวอย�งท2
6 3| 8 2 7 1 5
ตวห�ร
ตวห�รใหม
ตวตง
ตวธง
5 42| 7 3 2 4 8
ตวห�ร
ตวห�รใหม
ตวตง
ตวธง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
100
ตวหารคอ542เปนจำานวนเตมทมสามหลกเพอใหงายตอการหาร
จะแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหมคอ5สวนหลง
เปนตวธงคอ42และแบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกนโดยสวนหลง
ของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ซงในตวอยางน
ตวธงมสองหลกดงนนตวตง73,248จงแบงเปน732กบ48
ตวอย�งท3
ตวหารคอ2,341เปนจำานวนเตมทมสหลกเพอใหงายตอการหาร
จะแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหมคอ2สวนหลง
เปนตวธงคอ341และแบงตวตงออกเปนสองสวนโดยใหสวนหลงของตวตง
มจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ดงนน ตวตง 735,165
จงแบงเปน735กบ165
หม�ยเหต เราอาจจะแบงตวหารเปน23|41
และแบงตวตงเปน7351|65กได
2 341| 7 3 5 1 6 5
ตวห�ร
ตวห�รใหม
ตวตง
ตวธง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
101
ตวอย�งท4
ตวหารคอ1,147เปนจำานวนทมสหลกเพอใหงายตอการหาร
จะแบงตวหารออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม คอ 11
สวนหลงเปนตวธงคอ47และแบงตวตงออกเปนสองสวนโดยใหสวนหลง
ของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง ดงนน ตวตง
9,140,372จงแบงเปน91403กบ72
หม�ยเหต เราอาจจะแบงตวหารเปน1|147
และแบงตวตงเปน9140|372กได
11 47| 9 1 4 0 3 7 2
ตวห�ร
ตวห�รใหม
ตวตง
ตวธง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
102
ตวอย�งท5
ตวหาร คอ 121,536 เปนจำานวนเตมทมหกหลก เพอใหงาย
ตอการหาร จะแบงตวหารออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม
คอ 12 สวนหลงเปนตวธง คอ 1536 และแบงตวตงออกเปนสองสวน
โดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง
จงแบงตวตงเปน607กบ6415
ในตวอยางตอไปจะเปนวธการดำาเนนการหารตรง
4.3 วธการดำาเนนการหารตรง
4.3.1 ก�รห�รตรงกรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมหนงหลก
วธการดำาเนนการหารตรงใหเขยนตวตงตวหารโดยเวน
ชองวางระหวางตวเลขไวพอสมควรสำาหรบใสเศษเหลอหอยไวหนา
ตวเลขถดไป เขยนเสนกำากบจากซายไปขวา เขยนเสนแบงดานหลงตวตง
เพอแบงผลหารออกเปนสองสวนดงตวอยางตอไปน
12 1536| 6 0 7 6 4 1 5
ตวห�ร
ตวห�รใหม
ตวตง
ตวธง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
103
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 837 ÷ 6
วธคด
6 823 7
1
6 8 23
57
1 3
ขนท1 8÷6=1เศษ2
เขยนผลหาร1ใตเลข8ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข3
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ23
ขนท2 23÷6=3เศษ5
เขยนผลหาร3ใตเลข3ของตวตง
เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข7
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ57
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
104
วธทำ�
6 8 23
57
3
1 3 9 r=3
6 8 23
57
3
1 3 9 r=3
ขนท3 57÷6=9เศษ3
เขยนผลหาร9ใตเลข7ของตวตง
เขยนเศษ3ไวหลงเสนแบง
จะไดคำาตอบคอ139เศษ3
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 837÷6=139เศษ3
ตอบ 139เศษ3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
105
6 8 23
57
30
00
1 3 9
6 8 23
57
30
00
1 3 9 5
ขนท4 เขยนเลข0จำานวน2ตวหลงเสนแบง
เขยนเศษ3หอยขางหนาเลข0ตวแรก(เศษ3มาจากขนท3)
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ30
ขนท5 30÷6=5เศษ0
เขยนผลหาร5ใตเลข0ตวแรก
เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข0ตวถดไป
จะไดคำาตอบคอ139.5
ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมหนงตำ�แหนง เตมเลข 0 หลงเสนแบง
จนมจำานวนตวเลขทมากกวาตำาแหนงทศนยมทตองการอย 1 ในทน
เตมเลข0จำานวน2ตวและใหดำาเนนการหารตอดงน
วธคด
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
106
วธทำ�
6 8 23
57
30
00
1 3 9 5
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมหนงตำาแหนง)ดงน
ดงนน 837÷6=139.5
ตอบ 139.5
ขอสงเกต
การหารทผลหารเปนทศนยมใหเขยนเลข0หลงเสนแบงดงน
- ถาตองการผลหารเปนทศนยมหนงตำาแหนง ใหเขยนเลข 0
จำานวน2ตว
- ถาตองการผลหารเปนทศนยมสองตำาแหนง ใหเขยนเลข 0
จำานวน3ตว
- ถาตองการผลหารเปนทศนยมสามตำาแหนง ใหเขยนเลข 0
จำานวน4ตว
หรอถาตองการผลหารเปนทศนยมทมากกวา 3 ตำาแหนง
กใหดำาเนนการหารโดยใชหลกการเดยวกนน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
107
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 42,165 ÷ 8
วธคด
8 442 1 6 5
0
ขนท1 4÷8=0เศษ4
เขยนผลหาร0ใตเลข4ของตวตง
เขยนเศษ4หอยขางหนาเลข2
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ42
8 442
21 6 5
0 5
ขนท2 42÷8=5เศษ2
เขยนผลหาร5ใตเลข2ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข1
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ21
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
108
8 442
21
56 5
0 5 2
8 442
21
56
05
0 5 2 7
ขนท3 21÷8=2เศษ5
เขยนผลหาร2ใตเลข1ของตวตงเขยนเศษ5หอยขางหนาเลข6
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ56
ขนท4 56÷8=7เศษ0
เขยนผลหาร7ใตเลข6ของตวตง
เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข5
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ5
8 442
21
56
05
5
0 5 2 7 0 r=5
ขนท5 5÷8=0เศษ5
เขยนผลหาร0ใตเลข5ของตวตง
เขยนเศษ5ไวหลงเสนแบง
จะไดคำาตอบคอ5270เศษ5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
109
วธทำ�
8 442
21
56
05
5
0 5 2 7 0 r=5
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 42,165÷8=5,270เศษ5
ตอบ 5,270เศษ5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
110
8 442
21
56
05
50 0 0 0
0 5 2 7 0
8 442
21
56
05
50
20 0 0
0 5 2 7 0 6
ขนท6 เขยนเลข0จำานวน4ตวหลงเสนแบง
เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข0(เศษ5มาจากขนตอนท5)
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ50
ขนท7 50÷8=6เศษ2
เขยนผลหาร6ใตเลข0ตวแรก
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข0ตวทสอง
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ20
ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมส�มตำ�แหนง ใหเตม 0 หลงเสนแบง
จำานวน4ตวและดำาเนนการหารตอดงน
วธคด
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
111
8 442
21
56
05
50
20
40 0
0 5 2 7 0 6 2
8 442
21
56
05
50
20
40
00
0 5 2 7 0 6 2 5
ขนท8 20÷8=2เศษ4
เขยนผลหาร2ใตเลข0ตวทสอง
เขยนเศษ4หอยขางหนาเลข0ตวทสาม
จะไดตวตงในขนตอนถดไปคอ40
ขนท9 40÷8=5เศษ0
เขยนผลหาร5ใตเลข0ตวแรก
เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข0ตวทส
จะไดคำาตอบคอ5270.625
วธทำ�
8 442
21
56
05
50
20
40
00
0 5 2 7 0 6 2 5
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสามตำาแหนง)ดงน
ดงนน 42,165÷8=5,270.625
ตอบ 5,270.625
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
112
วธทำ�
7 114
05
56
03
33
50
10
30
20
60
40
50
10
0 2 0 8 0 4 7 1 4 2 8 5 7
ดงนน 145,633÷7=20,804.714285
ตอบ 20,804.714285
ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 145,633 ÷ 7 (ห�คำ�ตอบในรป
ทศนยมซำ�)
ขอสงเกต
การหารทผลหารเปนทศนยมซำา ใหดำาเนนการหารไปเรอย ๆ
จนไดผลหารในตำาแหนงทเปนทศนยมซำา
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
113
แบบฝกหด
เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก)
1. 547÷3=
วธคด
ตอบ
2. 1,396÷5=
วธคด
ตอบ
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
114
3. 89,410÷7=
วธคด
ตอบ
4. 30,518÷8=
วธคด
ตอบ
5. 142,769÷8=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
115
6. 425,503÷6=
วธคด
ตอบ
7. 2,437,026÷4=
วธคด
ตอบ
8. 1,308,465÷9=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
116
9. 54,628,317÷8=
วธคด
ตอบ
10. 72,834,955,146÷9=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
117
1. 729÷4=
วธคด
ตอบ
2. 2,147÷3=
วธคด
ตอบ
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
118
3. 42,333÷5=
วธคด
ตอบ
4. 59,087÷6=
วธคด
ตอบ
5. 113,479÷7=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
119
6. 633,825÷4=
วธคด
ตอบ
7. 1,482,506÷6=
วธคด
ตอบ
8. 7,520,357÷9=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
120
9. 31,522,743÷3=
วธคด
ตอบ
10. 81,131,294÷7=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
121
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก)
1. 547÷3=
วธคด
ดงนน547÷3=182เศษ1
ตอบ182เศษ1
2. 1,396÷5=
วธคด
ดงนน1,396÷5=279เศษ1
ตอบ279เศษ1
3 524
07
1
1 8 2 r=1
5 113
39
46
1
0 2 7 9 r=1
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
122
3. 89,410÷7=
วธคด
ดงนน89,410÷7=12,772เศษ6
ตอบ12,772เศษ6
4. 30,518÷8=
วธคด
ดงนน30,518÷8=3,814เศษ6
ตอบ3,814เศษ6
5. 142,769÷8=
วธคด
ดงนน142,769÷8=17,846เศษ1
ตอบ17,846เศษ1
7 819
54
51
20
6
1 2 7 7 2 r=6
8 330
65
11
38
6
0 3 8 1 4 r=6
8 114
62
67
36
49
1
0 1 7 8 4 6 r=1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
123
6. 425,503÷6=
วธคด
ดงนน425,503÷6=70,917เศษ1
ตอบ70,917เศษ1
7. 2,437,026÷4=
วธคด
ดงนน2,437,026÷4=609,256เศษ2
ตอบ609,256เศษ2
8. 1,308,465÷9=
วธคด
ดงนน1,308,465÷9=145,385เศษ0
ตอบ145,385เศษ0
6 442
05
55
10
43
1
0 7 0 9 1 7 r=1
4 224
03
37
10
22
26
2
0 6 0 9 2 5 6 r=2
9 113
40
48
34
76
45
0
0 1 4 5 3 8 5 r=0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
124
9. 54,628,317÷8=
วธคด
ดงนน54,628,317÷8=6,828,539เศษ5
ตอบ6,828,539เศษ5
10. 72,834,955,146÷9=
วธคด
ดงนน72,834,955,146÷9=8,092,772,794เศษ0
ตอบ8,092,772,794เศษ0
8 554
66
22
68
43
31
77
5
0 6 8 2 8 5 3 9 r=5
9 772
08
83
24
69
65
25
71
84
36
0
0 8 0 9 2 7 7 2 7 9 4 r=0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
125
1. 729÷4=
วธคด
ดงนน729÷4=182.250
ตอบ182.25
2. 2,147÷3=
วธคด
ดงนน2,147÷3=715.666
ตอบ715.67
4 732
09
10
20
00
1 8 2 2 5 0
3 221
04
17
20
20
20
0 7 1 5 6 6 6
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
126
3. 42,333÷5=
วธคด
ดงนน42,333÷5=8,466.600
ตอบ8,466.60
4. 59,087÷6=
วธคด
ดงนน59,087÷6=9,847.833
ตอบ9,847.83
5. 113,479÷7=
วธคด
ดงนน113,479÷7=16,211.285
ตอบ16,211.29
5 442
23
33
33
30
00
00
0 8 4 6 6 6 0 0
6 559
50
28
47
50
20
20
0 9 8 4 7 8 3 3
7 111
43
14
07
09
20
60
40
0 1 6 2 1 1 2 8 5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
127
6. 633,825÷4=
วธคด
ดงนน633,825÷4=158,456.250
ตอบ158,456.25
7. 1,482,506÷6=
วธคด
ดงนน1,482,506÷6=247,084.333
ตอบ247,084.33
8. 7,520,357÷9=
วธคด
ดงนน7,520,357÷9=835,595.222
ตอบ835,595.22
4 623
33
18
22
25
10
20
00
1 5 8 4 5 6 2 5 0
6 114
28
42
05
50
26
20
20
20
0 2 4 7 0 8 4 3 3 3
9 775
32
50
53
85
47
20
20
20
0 8 3 5 5 9 5 2 2 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
128
9. 31,522,743÷3=
วธคด
ดงนน31,522,743÷3=10,507,581.000
ตอบ10,507,581.00
10. 81,131,294÷7=
วธคด
ดงนน81,131,294÷7=11,590,184.857
ตอบ11,590,184.86
3 301
15
02
22
17
24
03
00
00
00
1 0 5 0 7 5 8 1 0 0 0
7 811
41
63
01
12
59
34
60
40
50
1 1 5 9 0 1 8 4 8 5 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
129
4.3.2 ก�รห�รตรงกรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมสองหลก
ในกรณทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลกใหดำาเนนการหาร
ดงน
ขนท1แบงตวหารเปนสองสวน โดยสวนหนาจะทำา
หนาทเปนตวหารหลก เรยกวา ตวห�รใหม และสวนหลงจะทำาหนาท
เปนตวเสรมในการหารเรยกวาตวธง
ขนท2แบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร
ใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง
ขนท3ดำาเนนการหารทำานองเดยวกบการหารตรง
กรณทตวหารเปนจำานวนเตมหนงหลก แตกตางกนตรงทมตวธง ดงนน
กอนทจะหารจะตองนำาตวธงไปคณกบผลหารทไดในขนกอนหนา
และนำาไปลบออกจากตวตงทอยในหลกถดไปทางขวาแลวหารดวยตวหารใหม
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
130
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 82,715 ÷ 63
วธคด
6 3 822 7 1 5
1
6 3 822
17 1 5
(3x1)
1 3
ขนท1 8÷6=1เศษ2
เขยนผลหาร1ใตเลข8ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข2
ขนท2 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร1(จากขนท1)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได22–(3x1)=19แลวหารดวย6
จะได19÷6=3เศษ1
เขยนผลหาร3ใตเลข2ของตวตง
เขยนเศษ1หอยขางหนาเลข7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
131
6 3 822
17
21 5
(3x1) (3x3)
1 3 1
6 3 822
17
21
65
(3x1) (3x3) (3x1)
1 3 1 2
ขนท3 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร3(จากขนท2)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได17–(3x3)=8แลวหารดวย6
จะได8÷6=1เศษ2
เขยนผลหาร1ใตเลข7ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข1
ขนท4 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร1(จากขนท3)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได21–(3x1)=18แลวหารดวย6
จะได18÷6=3เศษ0แตเนองจากขอนตองดำาเนนการหารตอ
หากนำาผลหารคณกบตวธงแลวนำาไปลบออกจากตวตงถดไปจะทำาให
ผลลบเปนจำานวนลบดงนนจงตองลดผลหารลงดงน
18÷6=2เศษ6
เขยนผลหาร2ใตเลข1ของตวตง
เขยนเศษ6หอยขางหนาเลข5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
132
6 3 822
17
21
65
(3x1) (3x3) (3x1) (3x2)
1 3 1 2
6 3 822
17
21
65
19 8 18 59
1 3 1 2 r=59
ขนท5 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร2(จากขนท4)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได65–(3x2)=59ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดคำาตอบคอ1,312เศษ59
วธทำ�
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 82,715÷63=1,312เศษ59
ตอบ 1,312เศษ59
3 9 3 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
133
ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมส�มตำ�แหนงใหดำาเนนการหารตอดงน
วธคด
6 3 822
17
21
65
50 0 0
(3x1) (3x3) (3x1) (3x2)
1 3 1 2 9
6 3 822
17
21
65
50
50 0
(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9)
1 3 1 2 9 3
ขนท6 เขยนเลข0จำานวน3ตวตอจากเลข5ของตวตง
นำาเศษ59(จากขนท5)หารดวย6จะได59÷6=9เศษ5
เขยนผลหาร9ใตเลข5ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท1
เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข0
ขนท7 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร9(จากขนท6)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได50–(3x9)=23แลวหารดวย6
จะได23÷6=3เศษ5
เขยนผลหาร3ใตเลข0ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท2
เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข0ตวถดไป
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
134
6 3 822
17
21
65
50
50
50
(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9) (3x3)
1 3 1 2 9 3 6
6 3 822
17
21
65
50
50
50
(3x1) (3x3) (3x1) (3x2) (3x9) (3x3) (3x6)
1 3 1 2 9 3 6 5
ขนท8 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร3(จากขนท7)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได50–(3x3)=41แลวหารดวย6
จะได41÷6=6เศษ5
เขยนผลหาร6ใตเลข0ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท3
เขยนเศษ5หอยขางหนาเลข0ตวถดไป
ขนท9 หาผลคณของตวธง3กบผลหาร3(จากขนท8)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได50–(3x6)=32แลวหารดวย6
จะได32÷6=5เศษ2
เขยนผลหาร5ใตเลข0ของตวตง
จะไดคำาตอบคอ1,312.937
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
135
วธทำ�
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสามตำาแหนง)ดงน
ดงนน 82,715÷63=1,312.9365
ตอบ 1,312.937
6 3 822
17
21
65
50
50
50
19 8 18 59 23 41 32
1 3 1 2 9 3 6 5
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 287,946 ÷ 92
วธคด ในตวอยางน แบงตวหาร 92 เปนสองสวน คอ 9 เปนตวหารใหม
และ 2 เปนตวธง
9 2 228 7 9 4 6
0
ขนท1 2÷9=0เศษ2
เขยนผลหาร0ใตเลข2ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข8
3 9 3 6 27 9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
136
9 2 228
17 9 4 6
(2x0)
0 3
9 2 228
17
29 4 6
(2x0) (2x3)
0 3 1
ขนท2 หาผลคณของตวธง2กบผลหาร0(จากขนท1)แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได28–(2x0)=28แลวหารดวย9
จะได28÷9=3เศษ1
เขยนผลหาร3ใตเลข8ของตวตง
เขยนเศษ1หอยขางหนาเลข7
ขนท3 หาผลคณของตวธงกบผลหารทไดมาจากขนตอนกอนหนา
นำาไปลบออกจากตวตงถดไปทางขวาแลวหารดวยตวหารใหมเปนเชนน
ไปเรอยๆจะได17–(2x3)=11แลวหารดวย9
จะได11÷9=1เศษ2
เขยนผลหาร1ใตเลข7ของตวตง
เขยนเศษ2หอยขางหนาเลข9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
137
9 2 228
17
29
94 6
(2x0) (2x3) (2x1)
0 3 1 2
9 2 228
17
29
94
96
(2x0) (2x3) (2x1) (2x2)
0 3 1 2 9
ขนท4 29–(2x1)=27
27 ÷9= 3 เศษ 0 แตเนองจากขอนตองดำาเนนการหารตอ
หากนำาผลหารคณกบตวธงแลวนำาไปลบออกจากตวตงถดไป จะทำาให
ผลลบเปนจำานวนลบดงนนจงตองลดผลหารลงดงน
27 ÷9=2เศษ9
เขยนผลหาร2ใตเลข9ของตวตง
เขยนเศษ9หอยขางหนาเลข4
ขนท5 94 – (2 x 2) = 90 แตเนองจาก 90 ÷ 9 = 10 เศษ 0
แลวจะทำาใหมผลลบเปนจำานวนลบ ดงนน จงตองลดผลหารลง
เชนเดยวกบขนท4ดงน
90 ÷9=9เศษ9
เขยนผลหาร9ใตเลข4ของตวตง
เขยนเศษ9หอยขางหนาเลข6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
138
9 2 228
17
29
94
96
(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9)
0 3 1 2 9 96–18=78
ขนท6 96–(2x9)=78ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดคำาตอบคอ3,129เศษ78
วธทำ�
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 287,946÷92=3,129เศษ78
ตอบ 3,129เศษ78
0 6 2 4 189 2 2
28
17
29
94
96
28 11 27 90 78
0 3 1 2 9 r=78
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
139
9 2 228
17
29
94
96
60 0
(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9)
0 3 1 2 9 8
9 2 228
17
29
94
96
60
80
(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9) (2x8)
0 3 1 2 9 8 4
ขนท7 เขยนเลข0จำานวน2ตวตอจากเลข6ของตวตง 96–(2x9)=78แลวหารดวย9 จะได78÷9=8เศษ6 เขยนผลหาร8ใตเลข6ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท1 เขยนเศษ6หอยขางหนาเลข0
ขนท8 60–(2x8)=44 44÷9=4เศษ8 เขยนผลหาร4ใตเลข0ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท2 เขยนเศษ8หอยขางหนาเลข0
ถ�ตองก�รผลห�รในรปทศนยมสองตำ�แหนงใหดำาเนนการหารตอดงน
วธคด
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
140
9 2 228
17
29
94
96
60
80
(2x0) (2x3) (2x1) (2x2) (2x9) (2x8) (2x4)
0 3 1 2 9 8 4 7
ขนท9 80–(2x4)=72
72 ÷9=7เศษ9
เขยนผลหาร7ใตเลข0ของตวตงซงจะเปนทศนยมตำาแหนงท3
จะไดคำาตอบคอ3,129.85
0 6 2 4 18 16 89 2 2
28
17
29
94
96
60
80
28 11 27 90 78 44 72
0 3 1 2 9 8 4 7
วธทำ�
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบเปนทศนยมสองตำาแหนง)ดงน
ดงนน 287,946÷92=3,129.847
ตอบ 3,129.85
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
141
ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 3,466,721 ÷ 37
วธคด ในตวอยางนแบงตวหาร37เปนสองสวนคอ3เปนตวหารใหม
และ7เปนตวธง
37 334 6 6 7 2 1
0
37 334
76 6 7 2 1
(7x0)
0 9
ขนท1 3÷3=0เศษ3
เขยนผลหาร0ใตเลข3ของตวตง
เขยนเศษ3หอยขางหนาเลข4
ขนท2 34–(7x0)=34
34÷3=9เศษ7
เขยนผลหาร9ใตเลข4ของตวตง
เขยนเศษ7หอยขางหนาเลข6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
142
37 334
76
46 7 2 1
(7x0) (7x9)
0 9 3
37 334
76
46
77 2 1
(7x0) (7x9) (7x3)
0 9 3 6
ขนท3 76–(7x9)=13
13÷3=3เศษ4
เขยนผลหาร3ใตเลข6ของตวตง
เขยนเศษ4หอยขางหนาเลข6
ขนท4 46–(7x3)=25
25÷3=6เศษ7
เขยนผลหาร6ใตเลข6ของตวตง
เขยนเศษ7หอยขางหนาเลข7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
143
37 334
76
46
77
82 1
(7x0) (7x9) (7x3) (7x6)
0 9 3 6 9
37 334
76
46
77
82
41
(7x0) (7x9) (7x3) (7x6) (7x9)
0 9 3 6 9 5
ขนท5 77–(7x6)=35
35÷3=9เศษ8
เขยนผลหาร9ใตเลข7ของตวตง
เขยนเศษ8หอยขางหนาเลข2
ขนท6 82–(7x9)=19
19÷3=5เศษ4
เขยนผลหาร5ใตเลข2ของตวตง
เขยนเศษ4หอยขางหนาเลข1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
144
37 334
76
46
77
82
41
(7x0) (7x9) (7x3) (7x6) (7x9) (7x5)
0 9 3 6 9 5 41–35=6
ขนท7 41–(7x5)=6ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดคำาตอบคอ93,695เศษ6
0 63 21 42 63 3537 3
34
76
46
77
82
41
34 13 25 35 19 6
0 9 3 6 9 5 r=6
วธทำ�
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 3,466,721÷37=93,695เศษ6
ตอบ 93,695เศษ6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
145
ตวอยางท 4 จงหาผลหาร 560,253 ÷ 57
วธคด การหารจำานวนทมบารทำาไดดงน
5 7 506 0 2 5 3
1
ขนท1 5÷5=1เศษ0
เขยนผลหาร1ใตเลข5ของตวตง
เขยนเศษ0หอยขางหนาเลข6
ขนท2 6–(7x1)=6–7=1
1 ÷5=0เศษ1
เขยนผลหาร0ใตเลข6ของตวตง
เขยนเศษ1หอยขางหนาเลข0
75 7 5
06
10 2 5 3
(7x1)
1 0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
146
ขนท4 2–(7x2)=2–1 4=16
16÷5=3เศษ1
เขยนผลหาร3ใตเลข2ของตวตง
เขยนเศษ1หอยหนาเลข5
ขนท3 10 = 10
10–(7x0)=10–0=10
10 ÷ 5 = 2เศษ0
เขยนผลหาร2ใตเลข0ของตวตง
เขยนเศษ0หอยหนาเลข2
5 7 506
10
02
15 3
(7x1) (7x0)
1 0 2
5 7 506
10
02
15 3
(7x1) (7x0) (7x2)
1 0 2 3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
147
ขนท5 15–(7x3)=6
6÷5=1เศษ1
เขยนผลหาร1ใตเลข5ของตวตง
เขยนเศษ1หอยหนาเลข3
ขนท6 13=7
7–(7x1)=7–7 = 0 ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดคำาตอบคอ10231=9,829
5 7 506
10
02
15
13
(7x1) (7x0) (7x2) (7x3) (7x1)
1 0 2 3 1
5 7 506
10
02
15
13
(7x1) (7x0) (7x2) (7x3)
1 0 2 3 1
r=13–7 = 7–7 = 0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
148
วธทำ�
วธคด พจารณาตวหาร48มตวเลขบางตวมากกวา5อาจเปลยนตวหาร
เปนจำานวนวนควลมไดดงน461,207÷48=461,207÷ 52
สามารถเขยนวธการหารตรง(ตอบในรปเศษเหลอ)ดงน
ดงนน 560,253÷57=10231=9,829
ตอบ 9,829
ดงนน 461,207÷48=9,608.479
ตอบ 9,608.48
7 0 1 4 21 75 7 5
06
10
02
15
13
1 10 16 6 0
1 0 2 3 1 r=0
0 1 8 1 2 0 1 6 8 1 45
24
46
11
12
40
07
30
30
46 29 4 40 23 38 44
0 9 6 0 8 4 7 9
ตวอยางท 5 จงหาผลหาร 461,207 ÷ 48 (ตอบเปนทศนยม
สองตำาแหนง)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
149
วธคด
วธคด 732,806÷39=732,806÷41
ดงนน 7,528,163÷31=242844.03 2=242,843.968
ตอบ 242,843.97
ดงนน 732,806÷39=2 1 2 1.1 0 2 6=18,789.8974
ตอบ 18,789.897
2 4 2 8 4 4 0 331 7
15
12
28
21
16
03
1 0
1 0
13 8 26 13 12 1 10 7
2 4 2 8 4 4 0 3 2
2 1 2 1 0 1 0 24
17
1 3
1 2
1 8
00
1 6
00
1 0
2 0
5 9 4 1 4 1 10 2 2
2 1 2 1 0 1 0 2 6
ตวอยางท 6 จงหาผลหาร 7,528,163 ÷ 31 (ตอบเปนทศนยม
สองตำาแหนง)
ตวอยางท 7 จงหาผลหาร 732,806 ÷ 39 (ตอบเปนทศนยม
สามตำาแหนง)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
150
ขอสงเกต
1.การหารตรงทมจำานวนวนควลมใหยดตามหลกการบวกการลบ
การคณและการหารจำานวนเตมเชน8–4=8–(-4)=8+4=12
หรอ20÷5=(-20)÷(-5)=4เปนตน
2.การหารตรงสามารถเขยนแบบยอไดดงน
ตวอย�งท6จงห�ผลห�ร7,528,163÷31(ตอบเปนทศนยม
สองตำาแหนง)
วธทำ�
ดงนน 7,528,163÷31=242,844.03 2
=242,843.968
ตอบ 242,843.97
31 715
12
28
21
16
03
1 0
1 0
2 4 2 8 4 4 0 3 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
151
แบบฝกหด
เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก)
1. 4,228÷21=
วธคด
ตอบ
2. 7,245÷62=
วธคด
ตอบ
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
152
3. 38,047÷32=
วธคด
ตอบ
4. 89,898÷41=
วธคด
ตอบ
5. 255,139÷63=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
153
6. 367,292÷44=
วธคด
ตอบ
7. 2,671,905÷82=
วธคด
ตอบ
8. 4,744,683÷69=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
154
9. 32,472,083÷38=
วธคด
ตอบ
10. 23,508,127÷91=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
155
1. 4,278÷31=
วธคด
ตอบ
2. 6,249÷52=
วธคด
ตอบ
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
156
3. 31,582÷81=
วธคด
ตอบ
4. 76,565÷38=
วธคด
ตอบ
5. 145,247÷43=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
157
6. 450,279÷24=
วธคด
ตอบ
7. 1,544,862÷72=
วธคด
ตอบ
8. 6,743,285÷49=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
158
9. 23,058,199÷36=
วธคด
ตอบ
10. 125,466,038÷77=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
159
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การหารตรง (ตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก)
1. 4,228÷21=
วธคด
ตอบ201เศษ7
2. 7,245÷62=
วธคด
ตอบ116เศษ53
2 0 12 1 4
02
02
08
0 2 7
2 0 1 7
2 2 126 2 7
12
44
65
10 42 53
1 1 6 53
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
160
3. 38,047÷32=
วธคด
ตอบ1,188เศษ31
4. 89,898÷41=
วธคด
ตอบ2,192เศษ26
2 2 16 1632 3
08
30
44
47
6 28 28 31
1 1 8 8 31
2 1 9 24 1 8
09
38
19
28
7 37 10 26
2 1 9 2 26
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
161
5. 255,139÷63=
วธคด
ตอบ4,049เศษ52
6. 367,292÷44=
วธคด
ตอบ8,347เศษ24
12 0 12 276 3 2 5
15
31
73
79
3 31 61 52
4 0 4 9 52
32 12 16 284 4 3 6
47
32
49
52
15 20 33 24
8 3 4 7 24
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
162
7. 2,671,905÷82=
วธคด
ตอบ32,584เศษ17
8. 4,744,683÷69=
วธคด
ตอบ68,763เศษ36
6 4 10 16 882 2 6
27
51
79
50
25
21 47 69 34 17
3 2 5 8 4 17
54
72
63 54 27
6 9 4 7114
124
106
78
63
60
52
43 24 36
6 8 7 6 3 36
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
163
9. 32,472,083÷38=
วธคด
ตอบ854,528เศษ19
10. 23,508,127÷91=
วธคด
ตอบ258,331เศษ6
64 40 32 40 16 64
38 3 284
57
52
50
48
83
20 17 20 10 32 19
8 5 4 5 2 8 19
2
5
8
3
3
1
9 1 2 355
80
38
31
12
07
53 75 30 28 9 6
2 5 8 3 3 1 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
164
1. 4,278÷31=
วธคด
ตอบ138
2. 6,249÷52=
วธคด
ตอบ120.173
1 3 8 031 4
12
27
08 0 0 0
11 24 0
1 3 8 0
2 4 0 2 14 6
5 2 612
04
09
40
30
10
10 0 9 38 16 4
1 2 0 1 7 3 0
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
165
3. 31,582÷81=
วธคด
ตอบ389.901
4. 76,565÷38=
วธคด
ตอบ2,014.868
3 8 9 9 0 181 3 1
75
88
82
10
10
20
72 80 73 1 10 19
3 8 9 9 0 1 2
16 0 8 32 64
48
64
38 716
05
26
65
90
80
80
0 5 18 33 26 32 16
2 0 1 4 8 6 8 4
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
166
5. 145,247÷43=
วธคด
ตอบ3,377.837
6. 450,279÷24=
วธคด
ตอบ18,761.625
9 9 21 21
24 9 21
4 3 1 4 25
42
54
57
40
40
30
16 33 33 36 16 31 9
3 3 7 7 8 3 7 2
4 32 28 24 4 24 8 20
2 4 4 2
5 50
42
27
19
30
20
20
21 18 14 3 15 6 12 0
1 8 7 6 1 6 2 5 0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
167
7. 1,544,862÷72=
วธคด
ตอบ21,456.417
8. 6,743,285÷49=
วธคด
ตอบ137,618.061
4 2 8 10 12 8 2
12
7 2 1 514
34
48
56
42
20
50
60
10 32 40 46 30 12 48 48
2 1 4 5 6 4 1 6 6
9 27 63 54 9 72 0 54 9
4 9 627
64
93
62
48
75
30
60
20
18 37 30 8 39 3 30 6 11
1 3 7 6 1 8 0 6 1 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
168
9. 23,058,199÷36=
วธคด
ตอบ640,505.528
10. 125,466,038÷77=
วธคด
ตอบ1,629,429.065
36 24 0 30 0 30 30 12 42
36 2 3 50
25
18
31
19
49
40
40
70
14 1 18 1 19 19 10 28 28
6 4 0 5 0 5 5 2 7 7
7 42 14 63 28 14
63 0
42
28
7 7 1 255
64
86
96
50
83
68
50
80
100
48 22 72 33 22 69
5 50 38
72
1 6 2 9 4 2 9 0 6 4 9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
169
4.3.3 ก�รห�รตรง กรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมตงแต
ส�มหลกขนไป
การหารตรงทมตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป
ใชวธการเดยวกบการหารตรงทตวหารเปนจำานวนเตมสองหลก คอ
กอนดำาเนนการหารตรงตองแบงตวหารและตวตง โดยดำาเนนการ
ตามขนตอนดงน
ขนท 1 พจารณาตวหาร ถาตวหารเปนจำานวนเตม
ตงแตสามหลกขนไปจะตองแบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาใชเปน
ตวหาร เรยกวา ตวห�รใหม เพอใหงายในการคดคำานวณ ตวหารใหมน
จะเปนจำานวนเตมทมหนงหลกหรอสองหลกเทานนสวนหลงคอตวเลข
ทเหลอจะทำาหนาทเปนตวคณเสรมในการหารเรยกวาตวธง
ขนท2แบงตวตงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหาร
โดยสวนหลงของตวตงตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง
ขนท3นำาตวหารใหมไปหารตวตงแลวนำาผลหารทได
เขยนไวใตตวตงและนำาเศษไปเขยนหอยไวหนาตวตงทอยถดไปทางขวา
ขนท4หาผลคณระหวางตวธงกบผลหารทไดกอนหนา
แลวนำาไปลบออกจากตวตงทอยถดไปทางขวา(จำานวนเดยวกบทกลาวไวใน
ขนท3)เสรจแลวหารดวยตวหารใหมนำาผลหารทไดเขยนไวใตตวตงและ
นำาเศษไปเขยนหอยไวหนาตวตงตวถดไปดำาเนนการตามขนท3และขนท4
เปนเชนนไปเรอยๆจนกวาจะหารลงตวหรอไดเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
170
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 73,248 ÷ 542 (ตอบในรปเศษเหลอ)
วธคด
ขนท 1 แบงตวหาร 542 ออกเปนสองสวน สวนแรกเปนตวหารใหม
คอ5และสวนหลงเปนตวธงคอ42และแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก
ของตวธงดงนนตวตง73,248จงแบงเปน732กบ48
ขนท2นำา7÷5=1เศษ2เขยนผลหาร1ใตเลข7แลวนำาเศษ2
ไปเขยนหอยขางหนาเลข3
วธก�รห�รตรง กรณทตวห�รเปนจำ�นวนเตมตงแต
ส�มหลกขนไป
542| 7
23 2 4 8
1
542| 7 3 2 4 8
ตวธง
ตวห�รใหม
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
171
ขนท3 หาผลคณระหวางตวธงตวทหนงคอ4กบผลหารทไดจากขนท2
คอ1แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได23–(4x1)=19
ขนท5หาผลคณระหวางตวธง42กบผลหาร13ทไดจากขนท2
และขนท4แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง
จะได42–{(4x3)+(2x1)}=28
ขนท4นำา19÷5=3 เศษ4 เขยนผลหาร3ใตตวตง3แลวนำา
เศษ4ไปเขยนหอยขางหนาเลข2
54 2| 7
23 2 4 8
(4x1)
1
542| 7
23
42 4 8
(4x1)
1 3
54 2| 7
23
42 4 8
(4x3)+(2x1)=14
1 3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
172
ขนท6นำา28÷5=5เศษ3เขยนผลหาร5ใตเลข2แลวนำาเศษ3
ไปเขยนหอยขางหนาเลข4
ขนท8หาผลคณของตวธงตวสดทายคอ2กบผลหารตวสดทายคอ5
ทไดจากขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได88–(2x5)=78ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดผลหารคอ135เศษ78
ขนท7หาผลคณของตวธง42กบผลหาร35ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได34–{(4x5)+(2x3)}=8แลวนำา8ไปเขยนหอยขางหนาเลข8
542| 7
23
42
34 8
1 3 5
หม�ยเหตในขนท7และขนท8เปนขนของการหาเศษเหลอทไดจากการหาร จงไมมการหารตอแตนำาตวธงไปคณกบผลหารใหครบทกจำานวนแลวนำาไปลบ ออกจากตวตงซงอยหลงเสนแบงเพอหาเศษของการหาร
54 2| 7
23
42
34
88
(4x5)+(2x3)=26
1 3 5
54 2| 7
23
42
34
88
(2x5)
1 3 5 88-10=78
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
173
วธทำ�542 7
23
42
34
88
1 3 5 r=78
จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถงขนท 8 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบในรปเศษเหลอ) ไดดงน
ดงนน 73,248÷542=135เศษ78
ตอบ 135เศษ78
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 701,985 ÷ 823 (ตอบในรปเศษเหลอ)
วธคด
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 73,248 ÷ 542
ขนท 1 แบงตวหาร 823 ออกเปนสองสวน สวนแรกเปนตวหารใหม
คอ8และสวนหลงเปนตวธงคอ23และแบงตวตงออกเปนสองสวน
โดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง
ดงนนตวตง701,985จงแบงเปน7019กบ85
823| 7 0 1 9 8 5
ตวธง
ตวห�รใหม
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
174
ขนท2นำา70÷8=8เศษ6เขยนผลหาร8ไวใตเลข0แลวนำา
เศษ6ไปเขยนหอยขางหนาเลข1
ขนท 4 นำา 45 ÷ 8 = 5 เศษ 5 เขยนผลหาร 5 แลวนำาเศษ 5
ไปเขยนหอยขางหนาเลข9
ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ2กบผลหารทไดจากขนท2คอ8
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตงจะได61–(2x8)=45
823| 7
70
61 9 8 5
0 8
823| 7
70
61
59 8 5
8 5
823| 7
70
61 9 8 5
(2x8)
8
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
175
ขนท5หาผลคณของตวธง23กบผลหาร85ทไดจากขนท2และขนท4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได59–{(2x5)+(3x8)}=25
ขนท7หาผลคณของตวธง23กบผลหาร52ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได98-{(2x2)+(3x5)}=79
แลวนำา79ไปเขยนหอยขางหนาเลข5
ขนท 6 นำา 25 ÷ 8 = 2 เศษ 9 เขยนผลหาร 2 แลวนำาเศษ 9
ไปเขยนหอยขางหนาเลข8
823| 7
70
61
59
98 5
8 5 2
8
8
2
2
3
3
|
|
770
61
59 8 5(2x5)+(3x8)=34
8 5
770
61
59
98
795
(2x2)+(3x5)=19
8 5 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
176
ขนท 8 หาผลคณของตวธงตวสดทาย คอ 3 กบผลหาร 2 ทไดจาก
ขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได795–6=789ซงเปนเศษทไดจากการหาร
จะไดผลหารคอ852เศษ789
82 3| 7
70
61
59
98
795
(3x2)
0 8 5 2 795–6=789
r=789
วธทำ�823 7
70
61
59
98
795
0 8 5 2 r=789
จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถง ขนท 8 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบในรปเศษเหลอ)ไดดงน
ดงนน 701,985÷823=852เศษ789
ตอบ 852เศษ789
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
177
ตวอยางท 3 จงหาผลหาร 735,165 ÷ 2,341 (ตอบในรปเศษเหลอ)
วธคด
ขนท1แบงตวหาร2,341ออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหม
คอ2และสวนหลงเปนตวธงคอ341และแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก
ของตวธงดงนนตวตง735,165จงแบงเปน735กบ165
ขนท2นำา7÷2=3เศษ1เขยนผลหาร3ใตเลข7แลวนำาเศษ1
ไปเขยนหอยขางหนาเลข3
2
2
341
341
|
|
7 3 5 1 6 5
713 5 1 6 5
3
ตวธง
ตวตง
ตวห�รใหม
ตวห�ร
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
178
ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ3กบผลหารทไดจากขนท2
คอ3แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได13–(3x3)=4
ขนท5หาผลคณของตวธง34กบผลหาร31ทไดจากขนท2และขนท4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได25–{(3x1)+(4x3)}=10
ขนท4นำา4÷2=1เศษ2เขยนผลหาร1ใตเลข3แลวนำาเศษ2
ไปเขยนหอยขางหนาเลข5
2 341| 713
25 1 6 5
3 1
2
2
3
3
41
4 1
|
|
713 5 1 6 5
(3x3)
3
713
25 1 6 5
(3x1)+(4x3)=15
3 1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
179
ขนท6นำา10÷2=4เศษ2เขยนผลหาร4ใตเลข5แลวนำาเศษ2
ไปเขยนหอยขางหนาเลข1
ขนท7หาผลคณของตวธง341กบผลหาร314ทไดจากขนท2
ขนท4และขนท6แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง
จะได21–{(3x4)+(4x1)+(1x3)}=2
นำา2ไปเขยนหอยขางหนาเลข6
2 341| 713
25
21 6 5
3 1 4
23 4 1| 7
13
25
21
26 5
(3x4)(4x1)+(1x3)=19
3 1 4
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
180
ขนท8หาผลคณของตวธง41กบผลหาร14ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได26–{(4x4)+(1x1)}=9
นำา9ไปเขยนหอยขางหนาเลข5
ขนท9หาผลคณของตวธงตวสดทายคอ1กบผลหารตวสดทายคอ4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง 95 – 4 = 91 ซงเปน
เศษเหลอทไดจากการหารจะไดคำาตอบคอ314เศษ91
2
2
3
3
4
4
1
1
|
|
713
25
21
26
95
(4x4)+(1x1)=17
3 1 4
713
25
21
26
95
3 1 4 95–4=91r=91
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
181
วธทำ�2341 7
13
25
21
26
95
3 1 4 r=91
จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถงขนท 9 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบในรปเศษเหลอ)ไดดงน
ดงนน 735,165÷2,341=314เศษ91
ตอบ 314เศษ91
หม�ยเหต 1) ในขนท 7-9 เปนขนตอนของการหาเศษทไดจาก
การหารจงไมมการหารตอ แตเปนการนำาตวธงไปคณกบผลหาร แลวนำา
ไปลบออกจากตวตงทอยหลงเสนแบงทละขนจนครบ เพอหาเศษเหลอ
ของการหาร
2) สามารถหาเศษเหลอของการหารดวยการคดคำานวณ
เพยงครงเดยว โดยใชการคณตรงและการคณไขวระหวางตวธงกบผลหาร
แลวนำาไปลบออกจากตวตงทอยหลงเสนแบง เมอการหาผลหารสนสดลง
(จากตวอยางการหาผลหารสนสดในขนท6จำานวนหลงเสนแบงคอ2,165)
แลวนำามาคำานวณหาเศษเหลอไดดงน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
182
ผลหาร
ตวธง
คณตรงและคณไขว
ผลห�ร 3 1 4
ตวธง 3 4 1 (1x3)+(3x4)+(4x1)
ผลห�ร 3 1 4
ตวธง 3 4 1 (1x1)+(4x4)
ผลห�ร 3 1 4
ตวธง 3 4 1 (1x4)
3 1 4
3 4 1
19
17 4=2074
ดงนนเศษเหลอจ�กก�รห�รคอ2,165–2,074=91
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
183
ตวอยางท 4 จงหาผลหาร 9,140,372 ÷ 1,147 (ตอบในรปเศษเหลอ)
วธคด
ขนท1แบงตวหาร1,147ออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหม
คอ11และสวนหลงเปนตวธงคอ47และแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก
ของตวธงดงนนตวตง9,140,372จงแบงเปน91403กบ72
ขนท2นำา91÷11=7เศษ14เขยนผลหาร7แลวนำาเศษ14
ไปเขยนหอยขางหนาเลข4
11
11
47
47
|
|
9 1 4 0 3 7 2
9 1144 0 3 7 2
7
ตวธง
ตวตง
ตวห�รใหม
ตวห�ร
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
184
ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ4กบผลหารทไดจากขนท2
คอ7แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได144–(4x7)=116
ขนท5หาผลคณของตวธง47กบผลหาร79ทไดจากขนท2และขนท4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขตวถดไปของตวตง
จะได170–{(4x9)+(7x7)}=85
ขนท4นำา116÷11=9เศษ17เขยนผลหาร9แลวนำาเศษ17
ไปเขยนหอยขางหนาเลข0
11
11
11
4
4
7
7
47
|
|
|
9 1144 0 3 7 2
(4x7)
7
9 1144
170 3 7 2
(4x9)+(7x7)=85
7 9
9 1144
170 3 7 2
7 9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
185
ขนท7หาผลคณของตวธง47กบผลหาร96ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไปของตวตง
จะได193-{(4x6)+(7x9)}=106
ขนท 6นำา 85÷11=6 เศษ19 เขยนผลหาร6แลวนำาเศษ19
ไปเขยนหอยขางหนาเลข3
ขนท8นำา106÷11=8เศษ18เขยนผลหาร8แลวนำาเศษ18
ไปเขยนหอยขางหนาเลข7
11
11
11
4 7
47
47
|
|
|
9 1144
170
193 7 2
(4x6)+(7x9)=87
7 9 6
9 1144
170
193 7 2
7 9 6
9 1144
170
193
187 2
7 9 6 8
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
186
ขนท9หาผลคณของตวธง47กบผลหาร68ทไดจากขนท6และขนท8
แลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไปคอ187
จะได187-{(4x8)+(7x6)}=113
นำา113ไปเขยนหอยขางหนาเลข2
ขนท10หาผลคณของตวธง7กบผลหารตวสดทายคอ8แลวนำาไปลบ
ออกจากตวเลขถดไปของตวตงคอ1,132จะได1132–56=1076ซงเปน
เศษทไดจากการหารจะไดคำาตอบคอ7968เศษ1076
11
11
4
4
7
7
|
|
9 1144
170
193
187
1132
(4x8)(7x6)=74
7 9 6 8
9 1144
170
193
187
1132
(7x8)
7 9 6 8 1132-56=1076
หม�ยเหต สามารถหาเศษของการหารจากการคดคำานวณเพยงครงเดยว
โดยใชการคณตรงและการคณไขวระหวางตวธงกบผลหาร แลวนำาไปลบ
ออกจากตวตงทอยหลงเสนแบง เมอการหาผลหารสนสด (จากตวอยาง
การหาผลหารสนสดในขนท8)ดงนนในขนท9ถงขนท10นำามาคดรวม
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
187
ผลหาร
ตวธง
คณตรงและคณไขว
ผลห�ร 6 8
ตวธง 4 7
(7x6)+(4x8)=74
ผลห�ร 6 8
ตวธง 4 7
(7x8)=56
6 8
4 7
74
56=796
ดงนนเศษเหลอจ�กก�รห�รคอ1,872–796=1,076
วธทำ�
จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถงขนท 10 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบในรปเศษเหลอ)ไดดงน
ดงนน 9,140,372÷1,147=7,968เศษ1,076
ตอบ 7,968เศษ1,076
1147
9 1144
170
193
187
1132
7 9 6 8 r=1076
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
188
ตวอยางท 5 จงหาผลหาร 504,467 ÷ 327 (ตอบเปนทศนยม
สองตำาแหนง)
วธคด
ขนท 1 แบงตวหาร 327 ออกเปนสองสวน สวนหนาเปนตวหารใหม
คอ3และสวนหลงเปนตวธงคอ27และแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก
ของตวธงดงนนตวตง504,467จงแบงเปน5044กบ67
3 27| 5 0 4 4 6 7 0
ตวธง
ตวตง
ตวห�รใหม
ตวห�ร
ก�รห�รตรงนอกจ�กจะห�ผลลพธในรปเศษเหลอยงส�ม�รถ
ห�ผลลพธในรปของทศนยมซำ�หรอจำ�นวนทศนยมต�มตองก�รโดยใช
หลกก�รปดเศษและตองเตม0ใหจำ�นวนตวเลขหลงเสนแบงม�กกว�
ตำ�แหนงทศนยมทตองก�รอย1จำ�นวนดงตวอย�งตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
189
ขนท 2 นำา 5 ÷ 3 = 1 เศษ 2 เขยนผลหาร 1 แลวนำาเศษ 2
ไปเขยนหอยขางหนาเลข0
ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ2กบผลหารทไดจากขนท2
คอ1แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได20–(2x1)=18
ขนท 4 นำา 18 ÷ 3 = 5 เศษ 3 เขยนผลหาร 5 แลวนำาเศษ 3
ไปเขยนหอยขางหนาเลข4
3 2 7| 520 4 4 6 7 0
(2x1)
1
3
3
27
27
|
|
520 4 4 6 7 0
1
520
34 4 6 7 0
1 5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
190
ขนท 6 นำา 17 ÷ 3 = 4 เศษ 5 เขยนผลหาร 4 แลวนำาเศษ 5
ไปเขยนหอยขางหนาเลข4
3
3
2
2
7
7
|
|
520
34 4 6 7 0
(2x5)+(7x1)=17
1 5
520
34
54 6 7 0
(2x4)+(7x5)=43
1 5 4
3 27| 520
34
54 6 7 0
1 5 4
ขนท5หาผลคณของตวธง27กบผลหาร15ทไดจากขนท2และขนท4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได34–{(2x5)+(7x1)}=17
ขนท7หาผลคณของตวธง27กบผลหาร54ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได54–{(2x4)+(7x5)}=11
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
191
ขนท 8 นำา 11 ÷ 3 = 2 เศษ 5 เขยนผลหาร 2 แลวนำาเศษ 5
ไปเขยนหอยขางหนาเลข6
ขนท9หาผลคณของตวธง27กบผลหาร42ทไดจากขนท6และขนท8
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได56–{(2x2)+(7x4)}=24
ขนท 10 นำา 24 ÷ 3 = 7 เศษ 3 เขยนผลหาร 7 แลวนำาเศษ 3
ไปเขยนหอยขางหนาเลข7
3 2 7| 520
34
54
56 7 0
(2x2)+(7x4)=32
1 5 4 2
3
3
27
27
|
|
520
34
54
56 7 0
1 5 4 2
520
34
54
56
37 0
1 5 4 2 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
192
ขนท 12 นำา 9 ÷ 3 = 1 เศษ 6 เขยนผลหาร 1 แลวนำาเศษ 6
ไปเขยนหอยขางหนาเลข0
3
3
2
2
7
7
|
|
520
34
54
56
37 0
(2x7)+(7x2)=28
1 5 4 2 7
520
34
54
56
37
60
(2x1)+(7x7)=51
1 5 4 2 7 1
3 27| 520
34
54
56
37
60
1 5 4 2 7 1
ขนท 11 หาผลคณของตวธง 2 7 กบผลหาร 2 7 ทไดจากขนท 8
และขนท10แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได37–{(2x7)+(7x2)}=9
ขนท 13หาผลคณของตวธง 2 7กบผลหาร7 1ทไดจากขนท 10
และขนท12แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได60–{(2x1)+(7x7)}=9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
193
ขนท14นำา9÷3=2เศษ3เขยนผลหาร2
จะไดคำาตอบคอ1542.71
3
3
27
27
| 520
34
54
56
37
60
1 5 4 2 7 1 2
วธทำ�
จ�กตวอย�ง จ�กวธคดในขนท 1 ถงขนท 14 ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง)ไดดงน
ดงนน 504,467÷327=1,543.712=1,542.71
ตอบ 1,542.71
520
34
54
56
37
60
1 5 4 2 7 1 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
194
ตวอยางท 6 จงหาผลหาร 49,586 ÷ 1,203 (ตอบเปนทศนยม
สามตำาแหนง)
วธคด
ขนท1แบงตวหาร1,203ออกเปนสองสวนสวนหนาเปนตวหารใหม
คอ12และสวนหลงเปนตวธงคอ03และแบงตวตงออกเปนสองสวน
เชนเดยวกนโดยใหสวนหลงของตวตงมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลก
ของตวธงดงนนตวตง49,586จงแบงเปน495กบ86
12 03| 4 9 5 8 6 0 0
ตวธง
ตวตง
ตวห�รใหม
ตวห�ร
ขนท 2 นำา 49 ÷ 12 = 4 เศษ 1 เขยนผลหาร 4 แลวนำาเศษ 1
ไปเขยนหอยขางหนาเลข5
12 03| 4 915 8 6 0 0
4
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
195
ขนท3หาผลคณของตวธงตวทหนงคอ0กบผลหารทไดจากขนท2
คอ4แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได15–(0x4)=15
ขนท 4 นำา 15 ÷ 12 = 1 เศษ 3 เขยนผลหาร 1 แลวนำาเศษ 3
ไปเขยนหอยขางหนาเลข8
12 0 3| 4 915 8 6 0 0
(0x4)
4
12 03| 4 915
38 6 0 0
4 1
12 0 3| 4 925
38 6 0 0
(0x1)+(3x4)=12
4 1
ขนท5หาผลคณของตวธง03กบผลหาร41ทไดจากขนท2และขนท4
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได38–{(0x1)+(3x4)}=26
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
196
ขนท 6 นำา 26 ÷ 12 = 2 เศษ 2 เขยนผลหาร 2 แลวนำาเศษ 2
ไปเขยนหอยขางหนาเลข6
ขนท 8นำา 26÷12=1 เศษ11 เขยนผลหาร1แลวนำาเศษ11
ไปเขยนหอยขางหนาเลข0
12
12
03
03
|
|
4 915
38
26 0 0
4 1 2
4 915
38
26
110 0
4 1 2 1
12 0 3| 4 925
38
26 0 0
(0x2)+(3x1)=3
4 1 2
ขนท7หาผลคณของตวธง03กบผลหาร12ทไดจากขนท4และขนท6
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได26–{(0x2)+(3x1)}=23
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
197
ขนท 10นำา104÷12=8 เศษ8 เขยนผลหาร8แลวนำาเศษ8
ไปเขยนหอยขางหนาเลข0
12 03| 4 915
38
26
110
80
4 1 2 1 8
12
12
0
0
3
3
|
|
4 925
38
26
110 0
(0x2)+(3x2)=6
4 1 2 1
4 925
38
26
110
80
(0x1)+(3x1)=3
4 1 2 1 8
ขนท9หาผลคณของตวธง03กบผลหาร21ทไดจากขนท6และขนท8
แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได110–{(0x1)+(3x2)}=104
ขนท 11 หาผลคณของตวธง 0 3 กบผลหาร 1 8 ทไดจากขนท 8
และขนท10แลวนำาไปลบออกจากตวเลขถดไปของตวตง
จะได80–{(0x8)+(3x1)}=77
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
198
วธทำ�4
49
15
38
26
110
80
4 1 2 1 8 6
ขนท12นำา77÷12=6เศษ5เขยนผลหาร6
จะไดคำาตอบคอ41.219
12 03| 4 915
38
26
110
80
4 1 2 1 8 6
1203
จ�กตวอย�งจ�กวธคดในขนท1ถงขนท12ส�ม�รถเขยนเปนวธทำ�
(ตอบเปนทศนยมส�มตำ�แหนง) ไดดงน
ดงนน 49,586÷1,203=41.2186=41.219
ตอบ 41.219
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
199
ขอสงเกต/ขอเสนอแนะ
การหารตรงในกรณทมตวหารเปนจำานวนเตมบวกตงแต
สามหลกขนไป การดำาเนนการหารจะพจารณาทตวหารกอน โดยจะ
แบงตวหารออกเปนสองสวนสวนหนาเรยกวาตวห�รใหมนยมใชเปน
จำานวนหนงหลกหรอจำานวนสองหลกเพอทำาใหงายในการคดคำานวณ
สวนทสองของตวหารจะใชเปนตวคณเสรมในการหารเรยกวาตวธง
ตวตงจะแบงออกเปนสองสวนเชนเดยวกบตวหารโดยมเงอนไขวา
สวนหลงของตวตงจะตองมจำานวนหลกเทากบจำานวนหลกของตวธง
สำาหรบขนตอนของการดำาเนนการหารในขนตอไป หลงจาก
ขนแรกของการหาร จะตองนำาตวธงไปคณผลหารกอนหนา แลวนำา
ไปลบออกจากตวตงกอนการหาร ในบางครงตองลดผลหารลง เพราะเมอ
นำาตวธงไปคณกบผลหารกอนหนาแลวนำาไปลบออกจากตวตงตวถดไป
ผลลพธทไดควรตองมากกวาศนย ในกรณทตองการผลลพธเปน
จำานวนทศนยมตามทกำาหนดจะตองเตม 0 ทตวตงใหมากกวา
จำานวนทศนยมทตองการ1จำานวน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
200
แบบฝกหด
เรอง การหารตรง
(ตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป)
1. 7,374÷516=
วธคด
ตอบ
2. 10,210÷324=
วธคด
ตอบ
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
201
3. 56,624÷473=
วธคด
ตอบ
4. 66,666÷616=
วธคด
ตอบ
5. 4,245,643÷823=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
202
6. 98,079÷712=
วธคด
ตอบ
7. 54,321÷645=
วธคด
ตอบ
8. 653,742÷127=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
203
9. 921,226÷314=
วธคด
ตอบ
10.306,478÷1,325=
วธคด
ตอบ
11.345,619÷7,556=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
204
12.639,102÷1,404=
วธคด
ตอบ
13.5,067,415÷6,153=
วธคด
ตอบ
14.77,502,189÷8,213=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
205
15.3,585,615÷12,289=
วธคด
ตอบ
16.669,922,972÷902,132=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
206
1.1,524÷746=
วธคด
ตอบ
2.269,767÷541=
วธคด
ตอบ
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
207
3. 6,552,155÷314=
วธคด
ตอบ
4. 215,871÷2,713=
วธคด
ตอบ
5. 69,435,346÷7,234=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
208
6. 656,895÷1,124=
วธคด
ตอบ
7. 813,513÷10,122=
วธคด
ตอบ
8. 91,129,611÷82,125=
วธคด
ตอบ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
209
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การหารตรง
(ตวหารเปนจำานวนเตมตงแตสามหลกขนไป)
1. 7,374÷516=
วธคด
ตอบ14เศษ150
2. 10,210÷324=
วธคด
ตอบ31เศษ166
516 723
27
174
1 4 r=150
324 110
12
31
170
0 3 1 r=166
1.จงห�ผลห�รโดยตอบในรปเศษเหลอ
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
1 4
1 6
10
24=124
r=274−124=150
3 1
2 4
14 4=144
r=310−144=166
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
210
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
3. 56,624÷473=
วธคด
ตอบ119เศษ337
4. 66,666÷616=
วธคด
ตอบ108เศษ138
5. 4,245,643÷823=
วธคด
ตอบ5,158เศษ609
473 516
56
102
364
1 1 9 r=337
616 606
56
26
186
1 0 8 r=138
823 442
24
65
86
94
633
0 5 1 5 8 r=609
1 9
7 3
66
27=687
r=1024−687=337
0 8
1 6
8 48=128
r=266−128=138
5 8
2 3
31
24=334
r=943−334=609
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
211
6. 98,079÷712=
วธคด
ตอบ137เศษ535
7. 54,321÷645=
วธคด
ตอบ84เศษ141
8. 653,742÷127=
วธคด
ตอบ5,147เศษ73
712 9 28
60
67
549
1 3 7 r=535
645 554
63
72
161
0 8 4 r=141
127 665
53
67
124
122
0 5 1 4 7 r=73
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
3 7
1 2
13
14=144
r=679−144=535
8 4
4 5
56
20=580
r=721−580=141
7
7 49= 49
r=122−49=73
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
212
9. 921,226÷314=
วธคด
ตอบ2,933เศษ264
10.306,478÷1,325=
วธคด
ตอบ231เศษ403
11.345,619÷7,556=
วธคด
ตอบ45เศษ5,599
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
3 3
1 4
15
12=162
r=426−162=264
3 1
2 5
17 5=175
r=578−175=403
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
0 4 5
5 5 6
45
49
30=5020
r=10619−5020=5599
314 932
31
52
42
276
2 9 3 3 r=264
1325 330
46
34
57
408
0 2 3 1 r=403
7556 334
65
106
611
5629
0 4 5 r=5599
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
213
12.639,102÷1,404=
วธคด
ตอบ455เศษ282
13.5,067,415÷6,153=
วธคด
ตอบ823เศษ3,496
14.77,502,189÷8,213=
วธคด
ตอบ9,436เศษ4,321
1404 623
29
41
50
302
4 5 5 r=282
6153 550
26
67
74
371
3505
0 8 2 3 r=3496
8213 777
55
50
92
71
448
4339
0 9 4 3 6 r=4321
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
4 5 5
4 0 4
36
20
20=3820
r=4102−3820=282
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
4 3 6
2 1 3
27
15
18=2868
r=7189−2868=4321
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
8 2 3
1 5 3
37
21 9=3919
r=7415−3919=3496
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
214
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
ก�รคดเศษเหลอแบบง�ย
15.3,585,615÷12,289=
วธคด
ตอบ291เศษ9,516
16.669,922,972÷902,132=
วธคด
ตอบ742เศษ541,028
12289 335
118
65
196
1041
9525
0 2 9 1 r=9516
902132 666
39
39
72 2 9 7 2
0 7 4 2 r=541028
2 9 1
2 8 9
92
89 9=10099
r=19615−10099=9516
0 0 7 42
0 2 1 32
15
29
28
144=181944
r=722972−181944=541028
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
215
1.1,524÷746=
วธคด
ตอบ2.04
2.269,767÷541=
วธคด
ตอบ498.65
3. 6,552,155÷314=
วธคด
ตอบ20,866.74
746 115
12
44
40
0 2 0 4 2
541 226
69
87
76
57
50
0 4 9 8 6 4 5
314 605
35
32
61
55
45
50
2 0 8 6 6 7 3 5
2.จงห�ผลห�รโดยตอบเปนทศนยมสองตำ�แหนง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
216
4. 215,871÷2,713=
วธคด
ตอบ79.57
5. 69,435,346÷7,234=
วธคด
ตอบ9,598.47
6. 656,895÷1,124=
วธคด
ตอบ584.43
2713 221
75
88
87
101
0 7 9 5 6 9
7234 669
64
113
135
103
124
76
0 9 5 9 8 4 7 1
1124 665
106
88
89
55
90
0 5 8 4 4 2 6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
217
7. 813,513÷10,122=
วธคด
ตอบ80.37
8. 91,129,611÷82,125=
วธคด
ตอบ1,109.65
10122 881
13
55
91
23
0 8 0 3 7 0
82125 911
11
82
79
66
81
91
1 1 0 9 6 4 5
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
218
เศษสวนชวย (AuxiliaryFractions)คอจำานวนทสามารถ
เขยนอยในรป ab
โดยท a อยในรปทศนยม และ b เปนจำานวนเตม
ทไมเปนศนย
ในเวทคณตมวธการแปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย
ทมตวเศษอยในรปทศนยมและตวสวนเปนจำานวนเตมทไมเปนศนย
ตวอย�ง
(1) 1500
= 0.015
(2) 169,000
= 0.0169
(3)5,24860,000
= 0.52486
(4) 893,200 = 0.89
32
(5) 98,54667,000 = 98.54667 (6) 2,3458,000,000 = 0.002345
8
การแปลงเศษสวนใหเปนเศษสวนชวยทำาใหเราสามารถ
ดำาเนนการหารไดงายขน และผลลพธทไดเปนจำานวนทอยในรปทศนยม
ทเปนจำานวนตรรกยะ
5. การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย
(Auxiliary Fractions)
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
219
เศษสวนชวย แบงออกเปน 2 แบบ
เศษสวนชวยแบบท1กรณทเศษสวนมตวสวนลงทายดวย9,
99,999,…เชน 229
, 41199
เปนตน
จากสตรแรกของเวทคณตคอเอกาธเกนะปรเวณะ(Ekadhikena
Purvena : By OneMore Than the Previous One) หมายถง
การปดคาตวเลขโดดโดยเพมคาขน1หนวย(Roundingupprocess)
เชน 3.9 เขยนแทนดวย4.0
8.29 เขยนแทนดวย8.3
0.0499 เขยนแทนดวย0.05
สามารถนำาไปแปลงเปนเศษสวนชวยโดยเพมคาตวเศษขน1
ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวยแบบท1ส�ม�รถทำ�ไดดงน
ขนท 1 แปลงเศษสวน (Fractions) ใหอยในรปเศษสวนชวย
(AuxiliaryFractions)
ขนท2ดำาเนนการหารโดยนำาตวหารไปหารตวตงและนำาเศษ
ทเหลอไปหอยไวดานหนาของตวเลขผลลพธทเกดกอนหนา
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
220
ต�ร�งแสดงเศษสวนทมตวสวนลงท�ยดวย9หรออนกรมของ9
เปนเศษสวนชวย(AuxiliaryFraction=A.F.)
ขอเศษสวนทมตวสวน
ลงท�ยดวย9(F)ก�รปดค�ตวสวน
เศษสวนชวย
(A.F.)
1
2
3
4
5
6
7
8
139
4561,499
6,04189,999
520249,999
4,0001,599,999
4,0001,600,000
520250,000
6,04190,000
0.60419
0.05225
4561,500
102799
102800
4.5615
0.0416
0.014
1.028
5869
479
140
5870
480
0.14
5.87
0.48
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
221
ตวอยางท 1 จงหาคาประมาณของ 4359
ใหอยในรปทศนยม
วธคด
ขนท1 แปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย
ขนท2 นำาเศษสวนชวยทไดมาดำาเนนการ
นำา6ไปหาร4ได0เหลอเศษ4
นำาเศษทเหลอคอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลขถดไป(3)
จะได43
ขนท3 นำา6ไปหาร43หรอ43ได7เหลอเศษ1
เขยน7เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข7
จะได17
4359
4360
4.43
6
4.43
6
4.36
0.
0.17
F A.F.
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
222
ขนท4 นำา6ไปหาร17หรอ17ได2เหลอเศษ5
นำาเศษทเหลอคอ5ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข2
จะได52
ขนท5 นำา6ไปหาร52หรอ52ได8เหลอเศษ4
นำาเศษทเหลอคอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข8
จะได48
ขนท6 นำา6ไปหาร48หรอ48ได8เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข8
จะได08
4.43
6
4.43
6
4.43
6
0.17
52
0.17
52
48
0.17
52
48
08
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
223
ขนท7 นำา6ไปหาร08หรอ08ได1เหลอเศษ2
นำาเศษทเหลอคอ2ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1
จะได21
4.43
60.
17
52
48
08
21=
ในการหารขนตอไปจะเหมอนขางตนสามารถหารจนไดจำานวน
ตำาแหนงของทศนยมทตองการ
จากการหารขางตนสรปไดวา 4.36
มคาประมาณ0.17
52
48
08
21...
ดงนนผลลพธของ4359 ≈0.72881
ตอบ0.72881
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
224
ตวอยางท 2 จงหาคาประมาณของ 19399
ใหอยในรป
ทศนยม
วธคด
ขนท1 แปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย
ขนท2 นำาเศษสวนชวยทไดมาดำาเนนการ
นำา4ไปหาร0ได0เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1
จะได01
ขนท3 นำา4ไปหาร01หรอ01ได0เหลอเศษ1
เขยน0เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลขถดไป9
จะได19
19399
19400
0.0194
0.01
19
4
0.194
0.
0.0
F A.F.
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
225
ขนท4 นำา4ไปหาร19หรอ19ได4เหลอเศษ3
นำาเศษทเหลอคอ3ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข0
จะได30
ขนท5 นำา4ไปหาร30หรอ30ได7เหลอเศษ2
นำาเศษทเหลอคอ2ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข4
จะได24
ขนท6 นำา4ไปหาร24หรอ24ได6เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข7
จะได07
0.01
19
4
0.01
19
4
0.01
19
4
0.304
0.30
247
0.30
24
076
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
226
ขนท7 นำา4ไปหาร07หรอ07ได1เหลอเศษ3
นำาเศษทเหลอคอ3ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข6
จะได36
ขนท8 นำา4ไปหาร36หรอ36ได9เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1
จะได01
ขนท9 นำา4ไปหาร01หรอ01ได0เหลอเศษ1
นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข9
จะได19
0.01
19
4
0.01
19
4
0.01
19
4
0.30
24
07
361
0.30
24
07
36
019
0.30
24
07
36
01
190
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
227
ขนท10 นำา4ไปหาร19หรอ19ได4เหลอเศษ3
นำาเศษทเหลอคอ3ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข0
จะได30
0.01
19
40.
30
24
07
36
01
19
304=
ในตวอยางนจะพบวาหากดำาเนนการหารไปเรอยๆ คำาตอบทได
จะเปนทศนยมซำา
จากการหารขางตนสรปไดวา
0.194
มคาประมาณ0.30
24
07
36
01
19
30
24
07
36
01
19...
ดงนนผลลพธของ 19399
≈0.047619
ตอบ0.047619
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
228
ตวอยางท 3 จงหาคาประมาณของ 411,599
ใหอยในรป
ทศนยม
วธคด
ขนท1 แปลงเศษสวนใหอยในรปเศษสวนชวย
ขนท2 นำาเศษสวนชวยทไดมาดำาเนนการ
นำา16ไปหาร0ได0เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข4
จะได04
ขนท3 นำา16ไปหาร04หรอ04ได0เหลอเศษ4
เขยน0เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษทเหลอคอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1
จะได41
411,599
411,600
0.041
16
0.04
41
16
0.4116
0.
0.0
F A.F.
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
229
ขนท4 นำา16ไปหาร41หรอ41ได2เหลอเศษ9
นำาเศษทเหลอคอ9ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข0
จะได90
ขนท5 นำา16ไปหาร90หรอ90ได5เหลอเศษ10
นำาเศษทเหลอคอ10ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข2
จะได102
ขนท6 นำา16ไปหาร102หรอ102ได6เหลอเศษ6
นำาเศษทเหลอคอ6ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข5
จะได65
0.04
41
16
0.04
41
16
0.04
41
16
0.902
0.90
1025
0.90
102
656
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
230
ขนท7 นำา16ไปหาร65หรอ65ได4เหลอเศษ1
นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข6
จะได16
ขนท8 นำา16ไปหาร16หรอ16ได1เหลอเศษ0
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข4
จะได04
ขนท9 นำา16ไปหาร 04หรอ04ได0เหลอเศษ4
นำาเศษทเหลอคอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1
จะได41
0.04
41
16
0.04
41
16
0.04
41
16
0.90
102
65
164
0.90
102
65
16
041
0.90
102
65
16
04
410
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
231
ขนท10นำา16ไปหาร41หรอ41ได2เหลอเศษ9
นำาเศษทเหลอคอ9ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข0
จะได90
0.04
41
160.
90
102
65
16
04
41
902=
ในตวอยางนจะพบวาหากดำาเนนการหารตอไปเรอยๆ คำาตอบ
ทไดจะเปนทศนยมซำา
จากการหารขางตนสรปไดวา
0.4116
มคาประมาณ0.90
102
65
16
04
41
902 ...
ดงนนผลลพธของ 411,599
=0.025641
ตอบ0.025641
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
232
ตวอยางท 4 จงหาคาประมาณของ 18959
ใหอยในรป
ทศนยม
วธคด
ขนท2 นำาเฉพาะ 1259
มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวย
ขนท1 แปลงเศษเกนใหอยในรปจำานวนคละ
ขนท3 นำาเศษสวนชวยทไดมาดำาเนนการ
นำา6ไปหาร1ได0เหลอเศษ1
นำาเศษทเหลอคอ1ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข2
จะได12
18959
1259
1.12
6
3
0.
F A.F.
=
=
=
1260
1.26
1259
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
233
ขนท4 นำา6ไปหาร12หรอ12ได2เหลอเศษ0
เขยน2เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษทเหลอคอ0ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข2
จะได02
ขนท5 นำา6ไปหาร02หรอ02ได0เหลอเศษ2
นำาเศษทเหลอคอ2ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข0
จะได20
ขนท6 นำา6ไปหาร20หรอ20ได3เหลอเศษ2
นำาเศษทเหลอคอ2ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข3
จะได23
0.02
0.02
20
0.02
20
23
=
=
=
1.12
6
1.12
6
1.12
6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
234
ขนท7 นำา6ไปหาร23หรอ23ได3เหลอเศษ5
นำาเศษทเหลอคอ5ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข3
จะได53
ขนท8 นำา6ไปหาร53หรอ53ได8เหลอเศษ5
นำาเศษทเหลอคอ5ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข8
จะได58
ขนท9 นำา3มาบวกกบทศนยมทไดจะไดเปนคำาตอบ
ดงนนผลลพธของ 1259
3 ≈3.20338
ตอบ 3.20338
0.02
20
23
53
0.02
20
23
53
58
=
=
= 3+0.20338...
= 3.20338
1.12
6
1.12
6
1259
3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
235
แบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย
กรณเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 9 หรออนกรมของ 9
1. =
วธคด
ตอบ
2. =
วธคด
ตอบ
จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมสตำ�แหนง)
719
1239
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
236
3.=
วธคด
ตอบ
4. =
วธคด
ตอบ
13289
94499
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
237
5. =
วธคด
ตอบ
6. =
วธคด
ตอบ
80213
61,199
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
238
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย
กรณเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 9 หรออนกรมของ 9
1.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.3684
2. =
วธคด
ดงนน
ตอบ0.3077
จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมสตำ�แหนง)
0.07
2
1.12
4
0.72
1.24
=
=
= 0.13
16
08
04
02
= 0.03
30
27
36
09
≈0.3684
≈0.3077
719
1239
719
1239
719
1239
720
1240
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
239
3. =
วธคด
จะได
ดงนน
ตอบ1.4831
4.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.1884
4.43
9
0.09
44
5
4.39
4389
0.945
=
=
=
= 0.74
28
13
41
54
1
= 0.41
18
38
337
≈0.4831
≈1.4831
≈1+0.4831
≈0.1884
13289
4389
13289
13289
4389
4390
94499
94499
94499
4989
94500
1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
240
5.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.005
6. =
วธคด
จะได
ดงนน
ตอบ61.6923
2.27
4
0.00
06
12
2.74
913
2739
0.0612
=
=
=
=
= 0.36
09
12
03
30
61
= 0.60
00
05
500
≈0.6923
≈61.6923
≈0.0050
80213
27 39
80213
9x313x3
80213
2740
61,199
61,199
61,199
61,200
2739
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
241
เศษสวนชวยแบบท 2กรณทเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 1
เชน1231 ,
351 ,
3456101 เปนตนวธแปลงเปนเศษสวนชวยคอใหลดคาตวเศษ
และตวสวนลง1
ก�รดำ�เนนก�รห�รดวยเศษสวนชวยแบบท2ส�ม�รถทำ�ได
ดงน
ขนท1แปลงเศษสวน(F)ใหเปนเศษสวนชวย(A.F.)
ขนท2ดำาเนนการโดยนำาตวหารไปหารจำานวนทบเกาของตวตง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
242
ต�ร�งแสดงเศษสวนทมตวสวนลงท�ยดวย1หรออนกรมของ1
เปนเศษสวนชวย(AuxiliaryFractions=A.F.)
ขอเศษสวนทมตวสวน
ลงท�ยดวย1(F)
ก�รลดค�ตวสวน
และลดค�ตวเศษลง1
เศษสวนชวย
(A.F.)
1
2
3
4
5
6
7
8
261
27437001
7616001
61638001
61628000
50700001
497000000
7516000
0.07516
6.1628
27427000
1721301
1711300
2.7427
0.0000497
1.7113
14131
7391
160
13130
7290
0.16
1.313
7.29
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
243
ตวอยางท 1 จงหาคาประมาณของ 1331
ใหอยในรปทศนยม
วธคด
ขนท1 เปลยน 1331
ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวน
และตวเศษลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 30 จงนำา 10 มาหารทงเศษ
และสวนไดเปน1.23
ขนท2 นำา3ไปหาร1ได0เหลอเศษ1
นำาเศษ1ทไดไปหอยดานหนาของเลข2
ขนท3 นำา3ไปหาร12ได4เศษ0
เขยน4เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข4
1331
1230
1.12
3
1.12
3
1.23
0.
0.04
F A.F.
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
244
ขนท4 ทบเกาของ4คอ5เขยน5บนเลข4
นำา3ไปหาร05ได1เศษ2เขยน1
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข1
ขนท5 ทบเกาของ1คอ8เขยน8บนเลข1
นำา3ไปหาร28ได9เศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข9
ขนท6 ทบเกาของ9คอ0เขยน0บนเลข9
นำา3ไปหาร10ได3เศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข3
0.04
21
0.04
21
19
0.04
21
19
13
=
=
=
1.12
3
1.12
3
1.12
3
5
5
5
8
8 0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
245
ขนท7 ทบเกาของ3คอ6เขยน6บนเลข3
นำา3ไปหาร16ได5เศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข5
ขนท8 ทบเกาของ5คอ4เขยน4บนเลข5
นำา3ไปหาร14ได4เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข4
0.04
21
19
13
15
0.04
21
19
13
15
24...
=
=
1.12
3
1.12
3
5 0
5
8 6
8 60 4
จากการหารขางตน สรปไดวา 1.23
มคาประมาณ0.04
21
19
13
15
24...
ดงนนผลลพธของ 1331
≈0.04
21
19
13
15
24...
ตอบ0.419354...
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
246
ตวอยางท 2 จงหาคาประมาณของ 91171
ใหอยในรปทศนยม
สตำาแหนง
วธคด
ขนท1 เปลยน 91171
ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวน
และตวเศษลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 170 จงนำา 10 มาหารทงเศษ
และสวนไดเปน9.017
ขนท2 นำา17ไปหาร9ได0เหลอเศษ9
นำาเศษ9ไปหอยดานหนาของเลข0
ขนท3 นำา17ไปหาร90ได5เศษ5
เขยน5เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1
นำาเศษ5ไปหอยดานหนาของเลข5
91171
90170
9.90
17
9.90
17
9.017
0.
0.55
F A.F.
=
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
247
ขนท4 ทบเกาของ5คอ4เขยน4บนเลข5
นำา17ไปหาร54ได3เศษ3
นำาเศษ3ไปหอยดานหนาของเลข3
ขนท5 ทบเกาของ3คอ6เขยน6บนเลข3
นำา17ไปหาร36ได2เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข2
ขนท6 ทบเกาของ2คอ7เขยน7บนเลข2
นำา17ไปหาร27ได1เศษ10
นำาเศษ10ไปหอยดานหนาของเลข1
0.55
33
0.55
33
22
0.55
33
22
101
=
=
=
9.90
17
9.90
17
9.90
17
4
4
4
6
6 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
248
ขนท7 ทบเกาของ1คอ8เขยน8บนเลข1
นำา17ไปหาร108ได6เศษ6
นำาเศษ6ไปหอยดานหนาของเลข6
0.55
33
22
101
66=9.
90
17
4 76 8
จากการหารขางตน สรปไดวา 9.017
มคาประมาณ0.55
33
22
101
66...
ดงนนผลลพธของ 91171
≈0.5322
ตอบ0.5322
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
249
ตวอยางท 3 จงหาคาประมาณของ 131701
ใหอยในรปทศนยม
หาตำาแหนง
วธคด
ขนท1 เปลยน 131701
ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวนและตวเศษลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 700 จงนำา 100 มาหารทงเศษและสวนไดเปน1.30
17
ขนท2 นำา7ไปหาร1ได0เหลอเศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข3
ขอสงเกต 1.30ไมตดเลข0ออกเพราะตองนำาไปดำาเนนการหาคำาตอบ
ขนท3 นำา7ไปหาร13ได1เศษ6 เขยน1เปนคำาตอบหลงจดในทศนยมตำาแหนงท1 นำาเศษทเหลอคอ6ไปเขยนหอยไวดานหนาของ0จะได
60
131701
130700
1.1307
1.307
0.
0.1
F A.F.
=
=
=1.13
60
7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
250
ขอสงเกต ขนตอนนจะนำาเศษไปหอยไวดานหนาตวเลขของคำาตอบ
ตำาแหนงท1เพราะไมมตวเลขทตวตงใหหอยแลว
ขนท4 นำา7ไปหาร60หรอ60ได8เศษ4
นำาเศษทเหลอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข1จะได41
ขนท5 ทบเกาของ1คอ8เขยน8บนเลข1
นำา7ไปหาร48ได6เศษ6
นำาเศษทเหลอ6ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข8จะได68
ขนท6 ทบเกาของ8คอ1เขยน1บนเลข8
นำา7ไปหาร61ได8เศษ5
นำาเศษทเหลอ5ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข6จะได56
0.418
0.41
686
0.41
68
568
=
=
=
8
8 1
1.13
60
7
1.13
60
7
1.13
60
7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
251
ขนท7 ทบเกาของ6คอ3เขยน3บนเลข6
นำา7ไปหาร53ได7เศษ4
นำาเศษทเหลอ4ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข8จะได48
ขนท8 ทบเกาของ8คอ1เขยน1บนเลข8
นำา7ไปหาร41ได5เศษ6
นำาเศษทเหลอ6ไปเขยนหอยไวดานหนาของเลข7จะได67
0.41
68
56
487
0.41
68
56
48
675
=
=
1.13
60
7
1.13
60
7
8 3
8
1
1 13
จากการหารขางตน สรปไดวา 1.307
มคาประมาณ0.41
68
56
48
675...
ดงนนผลลพธของ131701
≈0.18688
ตอบ0.18688
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
252
ตวอยางท 4 จงหาคาประมาณของ 1027
ในรปทศนยม
วธคด
ขนท2 เปลยน 3081
ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวน
และตวเศษลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 80 จงนำา 10 มาหารทงเศษ
และสวนไดเปน2.98
ขนท1 นำา1027
มาปรบปรงตวเศษและตวสวนเพอใหตวสวนลงทายดวย1
โดยคณ3ทงเศษและสวนจะได 3081
ขนท3 นำา8ไปหาร2ได0เหลอเศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข9
1027
10x327x3
3081
2.29
80.
F A.F.
=
= =
=
2980
3081
2.98
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
253
ขนท4 นำา8ไปหาร29ได3เศษ5
นำาเศษ5ไปหอยดานหนาของเลข3
ขนท5 ทบเกาของ3คอ6เขยน6บนเลข3
นำา8ไปหาร56ได7เศษ0
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข7
ขนท6 ทบเกาของ7คอ2เขยน2บนเลข7
นำา8ไปหาร02ได0เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข0
0.53
0.53
07
0.53
07
20
=
=
=
2.29
8
2.29
8
2.29
8
6
6 2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
254
2.29
8
2.29
8
2.29
8
ขนท7 ทบเกาของ0คอ9เขยน9บนเลข0
นำา8ไปหาร29ได3เศษ5
นำาเศษ5ไปหอยดานหนาของเลข3
ขนท8 ทบเกาของ3คอ6เขยน6บนเลข3
นำา8ไปหาร56ได7เศษ0
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข7
ขนท9 ทบเกาของ7คอ2เขยน2บนเลข7
นำา8ไปหาร02ได0เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข0
0.53
07
20
53
0.53
07
20
53
07
0.53
07
20
53
07
20
=
=
=
6 9
6
6
2
2
2
6
6 2
9
9
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
255
2.29
80.
53
07
20
53
07
20
53=
6 2 6 2 99
ขนท10 ทบเกาของ0คอ9เขยน9บนเลข0
นำา8ไปหาร29ได3เศษ5
นำาเศษ5ไปหอยดานหนาของเลข3
จากการหารขางตน สรปไดวา 2.98
มคาประมาณ0.53
07
20
53
07
20
53...
ดงนนผลลพธของ 1027
=0.370
ตอบ0.370
หม�ยเหต:จากตวอยางนจะพบวาการดำาเนนการหารตอไปเรอยๆ
คำาตอบทไดจะเปนทศนยมซำา
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
256
ตวอยางท 5 จงหาคาประมาณของ 161
ใหอยในรปทศนยม
วธคด
ขนท1 เปลยน 161
ใหอยในรปเศษสวนชวย โดยลดคาของตวสวน
และตวเศษลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 60 จงนำา 10 มาหารทงเศษ
และสวนไดเปน0.06
ขนท2 นำา6ไปหาร0ได0เหลอเศษ0
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข0
ขอสงเกต:ในกรณทตวเศษมคาเทากบ1เมอแปลงเปนเศษสวนชวย
แลวตวเศษจะมคาเทากบ0( 0a
=0เมอa≠0)เราสามารถดำาเนนการ
หาคำาตอบไดงายขนและคาทหารนนเปนคาโดยประมาณ
161
060
0.00
6
0.06
0.
F A.F.
=
=
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
257
ขนท3 00หารดวย6ได0เศษ0
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข0
ขนท4 ทบเกาของ0คอ9เขยน9บนเลข0
นำา09หารดวย6ได1เศษ3
นำาเศษ3ไปหอยดานหนาของเลข1
ขนท5 ทบเกาของ1คอ8เขยน8บนเลข1
นำา6ไปหาร38ได6เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข6
0.00
0.00
31
0.00
31
26
=
=
=
9
9 8
0.00
6
0.00
6
0.00
6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
258
0.00
6
0.00
6
ขนท6 ทบเกาของ6คอ3เขยน3บนเลข6
นำา6ไปหาร23ได3เศษ5
นำาเศษ5ไปหอยดานหนาของเลข3
ขนท7 ทบเกาของ3คอ6เขยน6บนเลข3
นำา6ไปหาร56ได9เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข9
0.00
31
26
53
0.00
31
26
53
29
=
=
9 3
9
8
8 63
จากการหารขางตน สรปไดวา 0.06
มคาประมาณ0.00
31
26
53
29...
ดงนนผลลพธของ 161
≈0.01639...
ตอบ0.01639...
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
259
ตวอยางท 6 จงหาคาประมาณของ 5231
ใหอยในรปทศนยม
สามตำาแหนง
วธคด
ขนท1 แปลงเศษเกนใหอยในรปจำานวนคละ
ขนท2 นำาเฉพาะ 2131
มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวยโดยลดคาของ
ตวเศษและตวสวนลง1
พจารณาตวสวนมคาเทากบ 30 จงนำา 10 มาหารทงเศษ
และสวนไดเปน 2.03
5231
F A.F.
=
2131
2131
2030
2.03
= 1
ขนท3 นำา3ไปหาร2ได0เหลอเศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข0
0.=2.20
3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
260
ขนท4 นำา3ไปหาร20ได6เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข6
ขนท5 ทบเกาของ6คอ3เขยน3บนเลข6
นำา3ไปหาร23ได7เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข7
ขนท6 ทบเกาของ7คอ2เขยน2บนเลข7
นำา3ไปหาร22ได7เศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข7
0.26
0.26
27
0.26
27
17
=
=
=
3
3 2
2.20
3
2.20
3
2.20
3
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
261
0.00
6
ขนท7 ทบเกาของ7คอ2เขยน2บนเลข7
นำา3ไปหาร12ได4เศษ0
นำาเศษ0ไปหอยดานหนาของเลข4
หาคำาตอบโดยนำาทศนยมทไดบวกกบจำานวนเตมในขนท1
จะได
0.26
27
17
04=
3 22
จากการหารขางตน สรปไดวา12.03
มคาประมาณ1.26
27
17
04
ดงนนผลลพธของ 5231
≈1.6774
ตอบ1.677
1.26
27
17
04...=2.0
31+
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
262
ตวอยางท 7 จงหาคาประมาณของ 24371
ในรปทศนยม
วธคด
ขนท1 แปลงเศษเกนใหอยในรปจำานวนคละ
ขนท2 นำาเฉพาะ 3071
มาแปลงใหอยในรปเศษสวนชวย
24371
F A.F.
=
3071
3071
2970
2.97
= 3
ขนท3 นำา7ไปหาร2ได0เหลอเศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข9
0.=2.29
7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
263
ขนท4 นำา7ไปหาร29ได4เศษ1
นำาเศษ1ไปหอยดานหนาของเลข4
ขนท5 ทบเกาของ4คอ5เขยน5บนเลข4
นำา7ไปหาร15ได2เศษ1
นำาเศษ1ทไปหอยดานหนาของเลข2
ขนท6 ทบเกาของ2คอ7เขยน7บนเลข2
นำา7ไปหาร17ได2เศษ3
นำาเศษ3ไปหอยดานหนาของเลข2
0.14
0.14
12
0.14
12
32
=
=
=
5
5 7
2.29
7
2.29
7
2.29
7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
264
2.29
7
2.29
7
ขนท7 ทบเกาของ2คอ7เขยน7บนเลข2
นำา7ไปหาร37ได5เศษ2
นำาเศษ2ไปหอยดานหนาของเลข5
ขนท8 ทบเกาของ5คอ4เขยน4บนเลข5
นำา7ไปหาร24ได3เศษ3
นำาเศษ3ไปหอยดานหนาของเลข3
หาคำาตอบโดยนำาทศนยมทไดบวกกบจำานวนเตมในขนท1
จะได
0.14
12
32
25
0.14
12
32
25
33
=
=
5
5
7
7 4
7
7
จากการหารขางตน สรปไดวา32.97
มคาประมาณ3.14
12
32
25
33...
ดงนนผลลพธของ24371
≈3.42253
ตอบ3.42253
3.14
12
32
25
33...=2.9
73+
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
265
ขอสงเกต 1. การแปลงเศษสวนเปนทศนยมโดยใชเศษสวนชวย(A.F.)เหมาะกบเศษสวนทมรปแบบตามเศษสวนชวยแบบท1และแบบท2หรอเศษสวนทสามารถใชการเพมหรอลดสดสวนเพอใหเกดเศษสวนชวยตามแบบท1และแบบท2เชน
37
= 3x77 x 7
= 2149
สามารถใชเศษสวนชวยรปแบบท1
หรอ 1627
= 16x327x3
= 4881
สามารถใชเศษสวนชวยรปแบบท2
2. กรณทเปนเศษเกนจะตองเปลยนใหอยในรปจำานวนคละกอน แลวนำาเฉพาะเศษสวนไปแปลงเปนทศนยมดวยวธเศษสวนชวย 3. การแปลงเศษสวนเปนทศนยมโดยใชเศษสวนชวยสามารถหาคำาตอบเปนทศนยมไมจำากดตำาแหนง ขนอยกบความตองการของ ผหาคำาตอบหรอคำาสงของโจทยบางครงสามารถหาจนเกดทศนยมซำา 4. การหาเศษสวนชวยแบบท2เมอใชหลกลดคาตวเศษและตวสวนลง1ถาตวเศษทลดลงลงทายดวย0,00,…หามตดทอนเปนเศษสวนอยางตำาและเมอลดสดสวนใหตวสวนเปนจำานวนเตมตวเศษไดจำานวนทศนยมทลงทายดวย0,00,…หามตด0,00,…ออกเชน727
= 7x327x3
= 2181
2080
= 2.
20
8=0.
42
75
29
42
75
29
42
75
29...
=0.259
5. การหารเศษสวนชวยแบบท2เมอถงขนทนำาเศษเหลอไปหอยไวหนาตวเลขทเปนคำาตอบ(เรมจากคำาตอบของทศนยมตำาแหนงท1) กอนนำาสวนทแปลงแลวไปหารตองเปลยนตวตงเปนจำานวนทบเกาทหลกหนวยของตวตงเดม
7 0 07 74 4 4
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
266
แบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย
กรณเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 1 หรออนกรมของ 1
1. =
วธคด
ตอบ
2. =
วธคด
ตอบ
จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมหกตำ�แหนง)
7071
5391
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
267
3. =
วธคด
ตอบ
4. =
วธคด
ตอบ
5. =
วธคด
ตอบ
2121
16301
146001
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
268
6. =
วธคด
ตอบ
7. =
วธคด
ตอบ
8. =
วธคด
ตอบ
1677
4521
617
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
269
9. =
วธคด
ตอบ
10.=
วธคด
ตอบ
1131
52771
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
270
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การดำาเนนการหารดวยเศษสวนชวย
กรณเศษสวนมตวสวนลงทายดวย 1 หรออนกรมของ 1
1.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.985915
2.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.582418
จงห�ค�ประม�ณของจำ�นวนตอไปน(ตอบเปนทศนยมหกตำ�แหนง)
6.69
7
5.52
9
6.97
5.29
=
=
= 0.69
48
65
19
31
35
64...
= 0.75
28
32
14
61
57
75...
≈0.985915
≈0.582418
7071
5391
7071
5391
7071
5391
6970
5290
4
0 0 8 4
7 8
4
5 21
1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
271
3. =
วธคด
ดงนน
ตอบ0.016529
4.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.053156
0.01
12
0.01
15
3
0.112
0.153
=
=
= 0.10
71
66
35
102
118
39...
= 0.00
05
13
11
05
161...
≈0.016529
≈0.053156
2121
2121
1120
16301
16301
16301
2121
15300
9 3 74 18
9 6 484
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
272
5. =
วธคด
ดงนน
ตอบ0.002333
6. =
วธคด
ดงนน
ตอบ0.207792
4.47
23
0.00
01
13
6
4.723
48231
0.0136
== =
=
= 0.12
170
187
217
59
42
12
170
187
217
59
42...
= 0.10
10
12
53
2329...
≈0.207792207792...
≈0.002333
1677
1677
16x377x3
47230
146001
146001
146001
136000
1677
9 7 69
7 7 72 90 022 29 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
273
7. =
วธคด
ดงนน
ตอบ0.352941
8. =
วธคด
ดงนน
ตอบ2.142857
0.02
2
1.17
5
0.22
321
1.75
321
220
1851
=
=
=
= =
= 0.01
04
12
18
15
07
01
04
12
18
15
07
01
04...
= 0.23
15
42
29
04
01
31...
≈2.14285714285714...
≈0.352941
4521
4521
617
6x317x3
1750
617
617
6 7 50 84
8 2 27 54 411 75 8 8
2 2 2
2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
274
9. =
วธคด
ดงนน
ตอบ7.422535
10.=
วธคด
ดงนน
ตอบ0.007634
2.29
7
0.00
13
2.97
0.013
3071
2970
1131
=
=
=
= 0.14
12
32
25
33
15
02...
= 0.00
90
87
46
43
73
115...
≈0.007634
≈ 7.422535
1131
52771
0130
52771
52771
1131
5
9
4
6
7
2
6
6
4
3
7
9
7 7 7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
275
ภาคผนวกการหาร
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
277
การตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหาร
เทคนคทเกยวของกบการตรวจคำาตอบของการดำาเนน
การหาร มดงน
1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม
2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำ านวนนบ ดวย
การตดเลข9ออก
2.1 วงกลมเกาจด(Thenine–pointcircle)
2.2 การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบดวยการตดเลข9ออก
3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชในการตรวจคำาตอบ
ของการดำาเนนการหาร
1. การหาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม เลขโดดคอ1,2,3,4,5,6,7,8,9และ0และจำานวน10,
11,12,13,…,99เปนจำานวนทมเลขโดด2ตวเปนตน
ผลบวกเลขโดด(digitsum)ของจำานวนใดๆคอการนำาตวเลขโดด
ในจำานวนนนๆมาบวกกน
เชน
- ผลบวกเลขโดดของ25คอ7เพราะวา2+5=7
- ผลบวกเลขโดดของ53คอ8เพราะวา5+3=8
- ผลบวกเลขโดดของ231คอ6เพราะวา2+3+1=6
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
278
ผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆตองลดรปใหเปนตวเลขตวเดยวเสมอ
โดยการบวกเลขโดดทกตว ถาไดผลบวกเปนจำานวนทมตวเลขโดด 2 ตว
ตองหาผลบวกเลขโดดอกครงจนไดตวเลขตวเดยว
เชน
- ผลบวกเลขโดดของ19คอ1เพราะวา1+9=10แลวหา
ผลบวกเลขโดดของ10คอ1+0=1
- ผลบวกเลขโดดของ58คอ4เพราะวา5+8=13แลวหา
ผลบวกเลขโดดของ13ได1+3=4
- ผลบวกเลขโดดของ875คอ2เพราะวา8+7+5=20แลวหา
ผลบวกเลขโดดของ20ได2+0=2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
279
2. เทคนคการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบ
ดวยการตดเลข 9 ออก
2.1 วงกลมเก�จด(Thenine-pointcircle)
จำานวนทมากกวาอยหนงของตวทมากอน หรอจำานวน
ทมากกวาอยหนงของตวทอยถดไป (By Onemore than the One
Before :EkadhikenaPurvena)คอจำานวนนบ เรมตนท1และเพม
ขนทละ1ไปเรอยๆ
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
17, 18, 19,20, 21, … ดงนน เมอพจารณาการนบไปเรอย ๆ พบวา
เกดระบบการครบรอบของสบคอ10,20,30,40,…เปนตนนำาไปสราง
บนวงกลมไดเกาจดโดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนอย
ดงน
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…
1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3,…
จากสมบตขางตนน นำาไปสรางวงกลมเกาจด โดยใชผลบวก
เลขโดดของจำานวนนบทเรยงอนดบกนดงตอไปน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
280
จำานวนนบ:เรมตนท1และเพมขนทละ1
ไปเรอยๆ1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,…
ดงนนเมอพจารณาการนบไปเรอยๆ
จะพบวาเกดระบบการครบรอบของสบคอ
10,20,30,40เปนตน
จากสมบตขางตนนนำาไปสรางวงกลมเกาจด
โดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนนบทเรยง
อนดบกนกจะได1,2,3,4,5,6,7,8,9
วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง
ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกดจด
บนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ
ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0
เปนแขนงของ9
101
2
3
46
7
8
9
5
1
2
3
4
6
7
8
9
5
12
3
4
56
7
8
90
10pointcircle
9pointcircle
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
281
วงกลมเกาจดเปนวงกลมทแบงเสนรอบวง
ออกเปนเกาสวนเทาๆกนและทำาใหเกด
จดบนเสนรอบวงไดเกาจดเมอใสจำานวนนบ
ทตอเนองลงไปใส0ตรง9จะเรยกวา0
เปนแขนงของ9,ใส10เปนแขนงของ1,
ใส11เปนแขนงของ2,ใส12เปนแขนง
ของ3,ใส13เปนแขนงของ4,ใส14
เปนแขนงของ5,ใส15เปนแขนงของ6,
ใส16เปนแขนงของ7,ใส17เปนแขนงของ8,
ใส18เปนแขนงของ9หรอ0,ใส19
เปนแขนงของ1ไปเรอยๆ
จากวงกลมเกาจดเมอใสจำานวนนบทตอเนอง
ลงไปตามเขมนาฬกาจะพบวาแตละแขนง
มผลบวกเลขโดดเทาๆกนเชน
แขนงผลบวกเลขโดดเทากบ3ไดแก
3,12,21,…เปนตน
แขนงผลบวกเลขโดดเทากบ1ไดแก
1,10,19,28,…เปนตน
แขนงผลบวกเลขโดดเทากบ7ไดแก
7,16,25,…เปนตน
9018
1
2
3
45
6
7
8
1019
11
12
1314
15
16
17
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
282
2.2 ก � ร ห � ผ ล บ ว ก เ ล ข โ ด ด ข อ ง จำ � น ว น น บ ด ว ย
ก�รตดเลข9ออก
ถานำาเลขโดด9ไปบวกกบเลขโดดใดๆ ไมมผลกบผลบวก
เลขโดดของจำานวนนนๆ
ดงนนในการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนใดๆมเทคนค
ในการตดเลขโดด9หรอผลบวกเลขโดดสองจำานวนเทากบ9ออกเชน
6,60,69,96,969ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ6
19,28,91,109,982ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ1
21,129,309,903ทกจำานวนมผลบวกเลขโดดเทากบ3
ขอสงเกต พจารณาเลข0บนวงกลมเกาจดควรจะอยตำาแหนงใด
บนวงกลมเกาจด
1. หากจะตองนบทวนเขมนาฬกาถอยหลงจากเลข 1
กจะได เลข 0 ดงนน เลข 0 ควรอยตรงตำาแหนง
เดยวกบเลข9
2. เลขโดด 9 และ 0 เมอนำาไปบวกกบเลขโดดใด ๆ
ไดผลบวกเปนเลขโดดนน จงสามารถตด 9 และ 0
ออกจากการหาผลบวกเลขโดดของจำานวนนบใดๆได
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
283
ตวอยางท 1 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน1,996
วธคด
วธบวกปกต
ผลบวกเลขโดด1996คอ
1+9+9+6=25
2 + 5 = 7
ตอบ 7
ขนท1 นำา1บวก9บวก9บวก6เทากบ25
1+9+9+6=25
ขนท2 นำา2บวก5เทากบ7
2 + 5 = 7 วธตดเลข9ออกผลบวกเลขโดด1996คอ 1+9+9+6 1+6=7
ตอบ 7
ขนท1 ตดเลข9ออกเหลอ1กบ6 1+9+9+6 ขนท2 นำา1บวก6เทากบ7
1+6=7
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
284
ตวอยางท 2 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน396
วธคด
วธบวกปกต
ผลบวกเลขโดด396คอ
3+9+6=18
1+8=9หรอ0
ตอบ 9หรอ0
ขนท1 นำา3บวก9บวก6เทากบ18
3+9+6=18
ขนท2 นำา1บวก8เทากบ9
1+8=9หรอ0
วธตดเลข9ออก
ผลบวกเลขโดด396คอ
3+9+6
3+6=9
ตอบ 9หรอ0
ขนท1 ตดเลข9ออกเหลอ3กบ6
3+9+6
ขนท2 นำา3บวก6เทากบ9
3+6=9หรอ0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
285
ตวอยางท 3 จงหาผลบวกเลขโดดของจำานวน9,999
วธคด
วธบวกปกต
ผลบวกเลขโดด9999คอ
9+9+9+9=36
3+6=9หรอ0
ตอบ 9หรอ0
ขนท1 นำา9บวก9บวก9บวก9เทากบ36
9+9+9+9=36
ขนท2 นำา3บวก6เทากบ9
3+6=9หรอ0
วธตดเลข9ออก
ผลบวกเลขโดด9999คอ
9 + 9 + 9 + 9
0 = 9
ตอบ 9หรอ0
ขนท1 ตดเลข9ออก
9 + 9 + 9 + 9
ขนท2 ตดเลข9ออกหมดทกตวเหลอ0
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
286
3. การนำาผลบวกเลขโดดของจำานวนเตมไปใชในการ
ตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหาร
วธการตรวจคำาตอบของการดำาเนนการหารโดยใชผลบวกเลขโดด
ของจำานวนเตมมขนตอนดงน
ขนท1หาผลบวกเลขโดดของตวหารผลหารและเศษ
ขนท 2 นำาผลบวกเลขโดดของตวหารและผลหารมาคณกน
แลวนำาไปหาผลบวกของเลขโดด หลงจากนนนำาผลบวกเลขโดดทได
ไปหาผลบวกเลขโดดกบผลบวกเลขโดดเศษ
ขนท3หาผลบวกเลขโดดของตวตง
ขนท 4ตรวจสอบวาผลบวกเลขโดดจากขนท 2 และขนท 3
เทากนหรอไมถาเทากนแสดงวาคำาตอบทคดไวถกตอง
ขอสงเกต
1. การตรวจสอบคำาตอบนำามาจากหลกการหาร
ตวตง=(ตวหารxผลหาร)+เศษ
2. การตรวจคำาตอบโดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม
ควรใชกบโจทยทตองการคำาตอบเปนเศษเหลอ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
287
ตวอยางท 1 จงหาผลหาร 87,639 ÷ 998 และตรวจคำาตอบทได
โดยใชผลบวกเลขโดด
วธคด
ขนตอนก�รห�ผลห�ร
ดงนน 87,639÷998=87เศษ813
ตอบ87เศษ813
ขนตอนก�รตรวจสอบคำ�ตอบ
ขนท1 ผลบวกเลขโดดตวหาร = 9+9+8 = 8 ผลบวกเลขโดดผลหาร = 8+7=15 = 6 ผลบวกเลขโดดเศษ = 8+1+3 = 3ขนท2 8x6 =48 หาผลบวกเลขโดด = 4+8=12 = 3 หาผลบวกเลขโดดกบ = 3+3=6 ผลบวกเลขโดดเศษขนท3 ผลบวกเลขโดดตวตง = 8+7+6+3+9 = 15 = 6ขนท4 พบวาผลบวกเลขโดดของขนท2และ3เทากน ดงนนคำาตอบทไดถกตอง
998 8 7 6 3 9
002 0 016
0 014
8 7 619
23 813
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
288
ขนตอนก�รห�ผลห�ร
ดงนน 3,466,721÷37=93,695เศษ6
ตอบ93,695เศษ6
ขนตอนก�รตรวจสอบคำ�ตอบ
63
21
42
63
35
37 3 476
46
77
82
41
13 25 35 19 6
9 3 6 9 5 r=6
ตวอยางท 2 จงหาผลหาร 3466721 ÷ 37 และตรวจคำาตอบทได
โดยใชผลบวกเลขโดดของจำานวนเตม
วธคด
ขนท1 ผลบวกเลขโดดตวหาร = 3+7=10 = 1 ผลบวกเลขโดดผลหาร = 9+3+6+9+5=5 ผลบวกเลขโดดเศษ = 6ขนท2 (1x5)=5 หาผลบวกเลขโดด = 5 หาผลบวกเลขโดดกบผลบวกเลขโดดเศษ= 5+6=11=2ขนท3 ผลบวกเลขโดดตวตง = 3+4+6+6+7+2+1 = 11 = 2ขนท4 พบวาผลบวกเลขโดดของขนท2และ3เทากน ดงนนคำาตอบทไดถกตอง
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
289
ศกดาบญโต. (2543). เวทคณต (VedicMathematics) :คณตคดลด
จ�กสตรพนฐ�น16สตร.กรงเทพฯ:ศลปการพมพ.
สำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา.(2554).แบบฝกเสรมสร�งทกษะ
กระบวนก�รคดสำ�หรบนกเรยนทมคว�มส�ม�รถพเศษ
ท�งคณตศ�สตรระดบประถมศกษ�เลมท6:เวทคณตมหศจรรย.
กรงเทพฯ:องคการคาของสกสค.ลาดพราว.
Puri,N.(1992).AncientVedicMathematics(2nded).Mathsof
Smiles.India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,Delhi.
. (1988). Ancient VedicMathematics.Mathematics
withSmile.India:JugnuPrinters,NaveenShahadara,
Delhi.
Williams,R.K. (2009).VedicMathematicsTeacher’smanual.
Advanced Level (2nd ed.). United Kingdom :
InspirationBooks.
.(2009). Vedic Mathematics Teacher’s Manual.
Elementary Level (2nd ed.).United Kingdom :
InspirationBooks.
บรรณานกรม
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
291
ทปรกษา 1.นายบญรกษยอดเพชร เลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 2.นายสนทแยมเกษร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 3.นายพระรตนวจตร รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 4.นายอมพรพนะสา รองเลขาธการคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน 5.นางสาวนจสดาอภนนทาภรณผอำานวยการสำานกวชาการและมาตรฐานการศกษา
ผทรงคณวฒ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 5.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2
ผรบผดชอบโครงการกลมพฒน�กระบวนก�รเรยนรสำ�นกวช�ก�รและม�ตรฐ�นก�รศกษ� 1.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 2.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 3.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา
คณะทำางาน
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
292
4.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 5.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 6.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 7.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ
คณะทำางานพฒนาและปรบปรงเอกสาร 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นายปรชาอรณสวสด ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 3.นายกระจายคงสง ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพระนครศรอยธยาเขต1 4.นายประเสรฐสภรกษ ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครสวรรคเขต1 5.นางสาวณภทรใจกลา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร 6.นางสาวพนวนาพฒนาอดมสนคา ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2 7.นางสาวเยาวภาศานตธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 8.นางสาวดรณวรรณพศทธภมเลศ ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต4 9.นายภทรวตฐซอตรง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต110.นางสาวประทมวนดอมไธสง ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต611.นางสาวสาลนจงใจสรธรรม ศกษานเทศก สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลงเขต1
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
293
12.นางสาวกจตมาสงหนา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร13.นางสาวปวรศาออนขำา ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร14.นางสาวพรรณกาอนแปลง ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร15.นางสาวอรทยไพสาร ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร16.นางสาวธนยนนทอครชณหะวงศ ครโรงเรยนวดพลบพลาชย สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร17.นายกตคณศลยานนท ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต118.นางประนอมทมพทกษ ครโรงเรยนอนบาลวดลกแกประชาชนทศ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต219.นายชาตรอนตะ ครโรงเรยนวดเขาสะพายแรง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต220.นางสาวอรทยธมา ครโรงเรยนวดทงสมอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต221.นางสาววรญญาเมตตาพล ครโรงเรยนวดดอนแสลบ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต222.นางสาวสจตรานาคนาร ครโรงเรยนวดเบญพาด สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต223.นายนฐกาญจนเฑยมเทวญญ ครโรงเรยนวดสระลงเรอ สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต224.นางสรลกษณสารกา ครโรงเรยนวดดอนชะเอม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต2
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
294
25.นายกรวฒนภฆง ครโรงเรยนบานหนองปลง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต426.นายวรวฒสมบรณด ครโรงเรยนบานหนองแกประชาสรรค สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากาญจนบรเขต427.นายภทรเจรญกล ครโรงเรยนอนบาลนครปฐม สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครปฐมเขต128.นางสาวเพญพรทพยอโนทย ครโรงเรยนวดบานไร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต629.นายธรวทยจตตสวรรณ ครโรงเรยนอนบาลสมทรสาคร สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสมทรสาคร30.นายมานะมาเสมอ ครโรงเรยนอนบาลดานชาง สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาสพรรณบรเขต331.นายวชยพรสรโชคชย ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต132.นางศรวรรณเนตรสวาง ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต133.นางสาวฐารวณกตตโชตธนารตน ครโรงเรยนเทพศรนทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต134.นายศรสษฐเชอทอง ครโรงเรยนวสทธรงษ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต835.นางสาวศรญญาจนดา ครโรงเรยนทามวงราษฎรบำารง สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต836.นายปยวทยเหลองระลก ครโรงเรยนเฉลมพระเกยรต สมเดจพระศรนครนทรกาญจนบร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต8 37.นางสาวกมลวรรณสงหาศร ครโรงเรยนบางสะพานวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต10
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษานครราชสมาเขต6
9. นางสาวสาลนจงใจสรธรรม
ศกษานเทศก
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาพทลงเขต1
10. นางสาวกจตมาสงหนา
ครโรงเรยนวดพลบพลาชย
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร
11. นางสาวปวรศาออนขำา
ครโรงเรยนวดพลบพลาชย
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร
12. นางสาวพรรณกาอนแปลง
ครโรงเรยนวดพลบพลาชย
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร
13. นางสาวอรทยไพสาร
ครโรงเรยนวดพลบพลาชย
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร
14. นางสาวธนยนนทอครชณหะวงศ
ครโรงเรยนวดพลบพลาชย
สำานกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษากรงเทพมหานคร
15. นายกตคณศลยานนท
ครโรงเรยนอนบาลกาญจนบร
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
295
38.นางปรงอนทมาตร ครโรงเรยนสมทรสาครบรณะ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1039.นางสาวศรารตนอนทรประเสรฐ ครโรงเรยนศรทธาสมทร สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1040.นายเชาวฤทธภบวเพชร ครโรงเรยนสดาวทยา สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต31
คณะบรรณาธการกจ และจดทำาตนฉบบสมบรณ 1.นางสาวลดดาวลยดานศรวโรจน ขาราชการบำานาญ สำานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษาเขต1 2.นางผาณตทวศกด รองผอำานวยการสำานกวชาการ และมาตรฐานการศกษา 3.นางเกศกญญาอนกล นกวชาการศกษา 4.นางสาวภทราดานววฒน นกวชาการศกษา 5.นางสาวอธฐานคงชวยสถตย นกวชาการศกษา 6.นายอภศกดสทธเวช นกวชาการศกษา 7.นางสาววศนเขยวเขน นกวชาการศกษา 8.นางสาวปรมาพรเรองเจรญ พนกงานธรการ
การหารคดเลขเรวแบบเวทคณต
296
การหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารการหารคดเลขเรวแบบเวทคณต การหาร
VEDIC MATHEMATICSคดเลขเรวแบบเวทคณต
สานกวชาการและมาตรฐานการศกษา
สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน
กระทรวงศกษาธการ