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2020年度代数学 XC（本郷）
高木 俊輔
1 第 1回（4月 17日）定義 1.1. 集合 Gが群 (group) であるとは，写像 Φ : GˆG Ñ Gが存在して，xy :“ Φpx, yqと書いたとき，次の条件を満たすことである．Φを Gの演算という．
(i) 任意の x, y, z P Gに対し，xpyzq “ pxyqz.
(ii) ある元 e P G が存在して，任意の x P G に対し，xe “ ex “ x が成り立つ．e を G を単位元(identity element) という．
(iii) 任意の x P G に対し，x´1 P G が存在して，xx´1 “ x´1x “ e が成り立つ．x´1 を x の逆元(inverse element) という．
さらに，任意の x, y P Gに対し xy “ yxが成り立つとき，Gをアーベル群 (abelian group) という．このとき，xy を x` y, x´1 を ´x, eを 0と書くこともある．
定義 1.2. Gを群とし，H Ă Gを部分集合とする．H が Gの部分群 (subgroup) であるとは，Gの演算で H が群になることである．つまり，
(i) 任意の x, y P H に対し，xy P H (xy は Gの元の積として定義している)
(ii) 任意の x P H に対し，x´1 P H (x´1 は Gの元 xの逆元として定義している)
(iii) e P Gを Gの単位元としたとき，e P H.
の 3条件を満たすことである．上の 3条件は
(a) 任意の x, y P H に対し x´1y P H,
(b) H ‰ H
の 2条件が成り立つことと同値である．
例 1.3. (1) GLnpRq “ t 実 n次正則行列全体 u は行列の積を演算とする群である．また SLnpRq “
tA P GLnpRq | detA “ 1uは GLnpRqの部分群である．(2) n P Nとし，rns “ t1, 2, . . . , nuとおく．
Sn “ tf : rns Ñ rns 全単射 u
とおくと，Sn は写像の合成を演算とする，Sn を n次対称群 (symmetric group) という．σ P Sn のとき，
σ “
ˆ
1 2 ¨ ¨ ¨ nσp1q σp2q ¨ ¨ ¨ σpnq
˙
と書くこともある．n ě 3のとき Sn は非可換群である．
1
(3) R は足し算を演算とするアーベル群である．Rˆ :“ Rzt0uは掛け算を演算とするアーベル群である．(4) Zは足し算を演算とするアーベル群であり．n P Nに対し nZは Zの部分群である．任意の整数
iに対し，Zの部分集合 i` nZを i` nZ “ ti` nm | m P Zuと定義し，
Z{nZ “ ti` nZ | i P Zu “ ti` nZ | i “ 0, . . . , n´ 1u
という集合を考える．
Z{nZ ˆ Z{nZ Ñ Z{nZ, pi` nZq ` pj ` nZq ÞÑ pi` jq ` nZ
と写像を定義すると，この写像は well-definedである．Z{nZはこの写像（演算）に関してアーベル群になる．
定義 1.4. Gを群，H Ă Gを Gの部分群する．
(i) 任意の x P Gを 1つ固定する．Gの部分集合 xH :“ txh | h P Huを xの H による左剰余類 (left coset)，Gの部分集合 Hx :“ thx | h P Huを xの H による右剰余類 (right coset) という．
(ii) H が G の正規部分群 (normal subgroup) であるとは，任意の x P G に対し，(集合として)
xH “ Hx が成り立つことと定義する．これは，任意の x P G と任意の h P H に対し，xhx´1 P H が成り立つことと同値である．H が Gの正規部分群であるとき，H ◁Gと記す．
(iii) G{H :“ txH | x P Guと定義し，Gの H による左剰余集合 (set of let cosets) という．
例 1.5. σ “
˜
1 2 3
2 1 3
¸
, τ “
˜
1 2 3
1 3 2
¸
, υ “
˜
1 2 3
3 2 1
¸
P S3 とする．
(1) H “ tid, σu Ă S3 とおくと，H は S3 の部分群であるが，正規部分群ではない．
(2) N “
#
id,
˜
1 2 3
2 3 1
¸
,
˜
1 2 3
3 1 2
¸+
Ă S3 とおくと，N は S3 の正規部分群である．
命題 1.6. H ◁Gのとき，
G{H ˆG{H Ñ G{H pxH, yHq ÞÑ xyH
と G{H 上の演算を定義すると，これは well-definedで，G{H はこの演算に関して群になる．
定義 1.7. G,G1 を群とする．写像 f : G Ñ G1 が群準同型 (group homomorphism) とは，任意の x, y P G に対し fpxqfpyq “ fpxyq を満たす．群準同型 f : G Ñ G1 が全単射のとき，f は同型(isomorphism) であると言い，G – G1 と表す．同型な群準同型のことを群同型という．
注意 1.8. f : G Ñ G1 を群準同型とする．(1) e P Gを Gの単位元, e1 P G1 を G1 の単位元としたとき，fpeq “ e1 が成り立つ．(2) 任意の x P Gに対し，fpx´1q “ fpxq´1.
(3) idG : G Ñ GをG上の恒等写像 (つまり，任意の g P Gに対し idGpgq “ g)，idG1 : G1 Ñ G1 をG1
上の恒等写像とする．f が同型であることと，g ˝ f “ idG, f ˝ g “ idG1 となる群準同型 g : G1 Ñ G
が存在することは同値．
命題 1.9. f : G Ñ G1 を群準同型とする．(1) f の像 (image) Im f :“ tfpxq | x P Guは G1 の部分群である.
(2) f の核 (kernel) ker f :“ tx P G | fpxq “ e1uは Gの正規部分群である．
2
例 1.10. H ◁Gのとき，ρ : G Ñ G{H x ÞÑ xH
は群準同型で，ker ρ “ tx P G | xH “ eHu “ tx P G | x P Hu “ H.
定理 1.11 (群の準同型定理). f : G Ñ G1 を群準同型とする．このとき，
f : G{ ker f Ñ Im f xpker fq ÞÑ fpxq
は同型である．
例 1.12. (1) 行列式の性質から det : GLnpRq Ñ Rzt0uは群準同型であり，
GLnpRq{SLnpRq – Rzt0u.
(2) 変数 x1, . . . , xn に対し，
∆px1, . . . , xnq “ź
1ďiăjďn
pxi ´ xjq
とおく．σ P Sn に対し，∆pxσp1q, . . . , xσpnqq “ sgnpσq∆px1, . . . , xnq
と sgnpσq を定義するのだった．sgnpσq P t˘1u で，sgn : Sn Ñ t˘1u は群準同型である．An :“
ker sgnを n次交代群 (alternating group) という．準同型定理より，An は Sn の正規部分群で，
Sn{An – t˘1u – Z{2Z.
2 第 2回（4月 24日)
定義 2.1. Gを群として，g1, . . . , gn P Gとする．
xg1, . . . , gny :“ tgϵ1i1 gϵ2i2
¨ ¨ ¨ gϵsis | s P N, ij P rns, ϵj P t˘1uu
とおくと，これは G の部分群になる．xg1, . . . , gsy を g1, . . . , gs で生成される G の部分群といい，g1, . . . , gs を xg1, . . . , gsyの生成系 (system of generators) という．1つの元 g P Gで生成される群
xgy “ te, g, g2, . . . , g´1, g´2, . . . u
のことを巡回群 (cyclic group) という．有限個の元で生成される群のことを有限生成群 (finitely
generated group) という．
補題 2.2. H をアーベル群 Zの部分群とすると，H “ nZとなる n P Zě0 が存在する (n “ 0のときは H “ t0uである).
命題 2.3. Gを巡回群とすると，G – Z{nZとなる n P Zě0 が存在する (n “ 0のときは G “ Zである).
定義 2.4. Gを群とし，g P Gとする．また H を Gの部分群とする．
(i) G の元の個数を Gの位数 (order) といい，|G|と表す．|G| ă 8のとき，群 Gを有限群 (finite
group) という．
3
(ii) gn “ eとなる最小の n P Nを g の位数 (order) という．任意の n P Nに対し gn ‰ eのとき，gの位数は無限と定義する．
(iii) 左剰余集合 G{H の元の個数を |G : H|と表し，H の Gにおける指数 (index)という．
注意 2.5. g P Gの位数を nとする．m P Zが gm “ eを満たすならば，mは nで割り切れる（確認せよ）．
系 2.6. Gを有限巡回群，g P Gをその生成元とする．このとき，Gの位数と g の位数は等しい．
命題 2.7 (Lagrangeの定理). Gを有限群，H を Gの部分群とすると，次が成り立つ．
|G| “ |G : H||H|
系 2.8. Gを有限群とし，g P Gとする．このとき，g の位数は |G|の約数である．
系 2.9. 素数位数の有限群は巡回群である．
例 2.10. (0) Sn の単位元を p1qと表す．(1) 任意の 2つの整数 1 ď i ă j ď nに対し，iと j を入れ換え，他の数は動かさない Sn の元を pi jq
と表す．このような Sn の元を互換 (transposition) という．(2) 任意の相異なる 3つの整数 1 ď i1, i2, i3 ď nに対し，i1 を i2 に，i2 を i3 に，i3 を i1 に移し，他の数は動かさない Sn の元を pi1 i2 i3qと表す．例えば，n “ 3のとき，
ˆ
1 2 32 1 3
˙
“ p1 2q,
ˆ
1 2 32 3 1
˙
“ p1 2 3q,
ˆ
1 2 33 1 2
˙
“ p1 3 2q
である．例 1.5 (2)より，N “ tp1q, p1 2 3q, p1 3 2quは Sn の正規部分群であった．Lagrangeの定理から，S3{N は位数 2の有限群なので，系 2.9より巡回群である．
定義 2.11. G,H を群とする．直積集合 G ˆ H “ tpg, hq | g P G,h P Hu に次のように演算を定義する．
pg, hq ¨ pg1, h1q “ pgg1, hh1q pg, g1 P G, h, h1 P Hq
このとき，GˆH は群をなす．この群を Gと H の直積 (direct product)といい，GˆH と表す．
例 2.12. (1) Z{2Z ˆ Z{2Zは位数 4のアーベル群であるが，巡回群でない．(2) mと nが互いに素ならば，Z{mZ ˆ Z{nZ – Z{mnZが成り立つ（後で証明する）．
命題 2.13. Gを群とし，H1,H2 を Gの部分群とする．このとき，次の 2条件は同値である．
(i) 任意の h1 P H1, h2 P H2 に対し φph1q “ ph1, eq, φph2q “ pe, h2qとなるような群同型 φ : G –
H1 ˆH2 が存在する．(ii) H1,H2はGの正規部分群であり，G “ H1H2 :“ th1h2 |h1 P H1, h2 P H2uかつH1XH2 “ teu
が成り立つ.
定義 2.14. G,H を群とする．(1) Aut G :“ tf : G Ñ G | f は群同型 uとおくと，Aut Gは群をなす (単位元は恒等写像，逆元は逆写像)．(2) ϕ : H Ñ Aut Gを群準同型とする．このとき，直積集合 G ˆ H “ tpx, yq |x P G, y P Huに次の
4
ように演算を定義する．pg, hq ¨ pg1, h1q “ pgϕphqpg1q, hh1q
このとき，G ˆ H は群をなす (単位元は peG, eHq，pg, hqの逆元は pϕph´1qpg´1q, h´1q)．この群を ϕ
に関する Gと H の半直積 (semi-direct product) といい，G¸ϕ H と表す．
注意 2.15. ϕが自明な準同型 (つまり，任意の h P H に対し，ϕphq “ id)のとき，G¸ϕ H “ GˆH
である．
例 2.16. G “ xσyを位数 nの巡回群，H “ xτyを位数 2の巡回群とする．つまり，σn “ eG, τ2 “ eH．
また群準同型 ϕ : H Ñ Aut Gを ϕpτqpσq “ σ´1と定義する．このとき，G¸ϕH を二面体群 (dihedral
group) といい，Dn と表す．
pσi, eHq¨peG, τq “ pσi, τq, peG, τq¨pσ, eHq “ pσ´1, τq, peG, τq¨peG, τq “ peG, eHq, pσ, eHqn “ peG, eHq
より，e “ peG, eHq, s “ pσ, eHq, t “ peG, τqとおくと，
Dn “ te, s, . . . , sn´1, t, st, . . . , sn´1tu
であり，sn “ t2 “ e, ts “ sn´1tを満たす．
半直積の基本性質を列挙する．
命題 2.17. (1) ι : G Ñ G¸ϕ H g ÞÑ pg, eHqは単射群準同型である．(2) ιpGq ◁G¸ϕ H であり，G¸ϕ H{ιpGq – H．
命題 2.18. Gを群とし，H,N を Gの部分群とする．このとき，次の 2条件は同値である．
(i) 群準同型 ϕ : H Ñ Aut N , 群同型 φ : G – N ¸ϕ H が存在して，任意の n P N,h P H に対しφpnq “ pn, eHq, φphq “ peN , hqが成り立つ．
(ii) N ◁G，G “ NH :“ tnh |n P H,h P Huかつ N XH “ teuが成り立つ.
これらの条件が成り立つとき，G “ N ¸H と表す．
講義中に上の命題の証明を説明する時間がなかったので，証明をレジュメに書いておく．
証明. (ii)ñ(i)のみ示す．N ◁Gより，ϕ : H Ñ Aut N を ϕphq “ pn ÞÑ hnh´1qと定義する．
ϕphqϕph1q : n ÞÑ h1nh1´1 ÞÑ hph1nh1´1qh´1
ϕphh1q : n ÞÑ phh1qnphh1q´1 “ hh1nh1´1h´1
より，ϕphqϕph1q “ ϕphh1qなので，ϕは群準同型である．写像 ψ : N ¸ϕ H Ñ Gを ψppn, hqq “ nhと定義すると，
ψppn, hq ¨ pn1, h1qq “ ψppnϕphqpn1q, hh1qq “ nϕphqpn1qhh1 “ nphn1h´1qhh1 “ nhn1h1
“ ψppn, hqqψppn1, h1qq
となり，ψ は群準同型である．G “ NH より，ψ は全射である．ψppn, hqq “ eとすると，nh “ eとなるので，n “ h´1 P H．n P N XH “ teuより，n “ h “ eである．よって，ψは単射でもある．つまり，ψ は同型である．ψ の逆写像を ϕとおけばよい．
例 2.19. H “ tp1q, p1 2qu, N “ tp1q, p1 2 3q, p1 3 2qu Ă S3 とおくと，S3 “ N ¸H である．
5
3 第 3回（5月 1日）定義 3.1. Rをアーベル群とし，その演算を `，単位元を 0で表すこととする．つまり，次の 4条件が成り立つ．
(i) 任意の x, y, z P Rに対し，x` py ` zq “ px` yq ` z.
(ii) 任意の x P Rに対し，x` 0 “ 0 ` x.
(iii) 任意の x P Rに対し，´x P Rが存在して，x` p´xq “ 0.
(iv) 任意の x, y P Rに対し，x` y “ y ` x.
(1) Rが環 (ring) とは，写像 Φ : R ˆ R Ñ Rが存在して，xy :“ Ψpx, yqと書いたとき，次の 3条件を満たすことである．Ψを Rの乗法，`を Rの加法という．
(v) 任意の x, y, z P Rに対し，pxyqz “ xpyzq.
(vi) ある元 e P Rが存在して，任意の x P Rに対し，ex “ xe “ x. 以下 eを 1と表す．(vii) 任意の x, y, z P Rに対し，xpy ` zq “ xy ` xz, px` yqz “ xz ` yz.
(2) 環 Rが条件
(viii) 任意の x, y に対し, xy “ yx.
を満たすとき，Rは可換環 (commutative ring) であるという．(3) 環 Rが条件
(ix) 任意の x P Rzt0uに対し, x´1 が存在して，xx´1 “ x´1x “ 1.
を満たすとき，Rは可除環 (division ring) であるという．(4) 可換な可除環を体 (field) という．
注意 3.2. Rを環とする．(1) 任意の x P Rに対し，0x “ p0 ` 0qx “ 0x` 0xより，0x “ 0. 同様に x0 “ 0.
(2) 1 “ 0のとき，Rは零環 (zero ring)であるという．このとき，任意の x P Rに対し x “ 1x “ 0x “ 0
より，R “ t0u.
以下，断らない限り，環と言えば零環でないものを考える．
例 3.3. (1) Zは足し算を加法，掛け算を乗法とする可換環である．Cは体である．(2) Rを可換環とする．R上 1変数多項式環 RrXsとは，
RrXs :“
#
nÿ
i“0
riXiˇ
ˇ
ˇn P Zě0, ri P R
+
という集合に，次のように加法・乗法を定義したものである．ただし，X0 “ 1 P R,řn
i“0 riXi “
ř
ri‰0 riXi と同一視し，全ての i “ 0, . . . , nに対し ri “ 0のときは
řni“0 riX
i “ 0 P Rとする．
(加法) m ď nならば，mÿ
i“0
aiXi `
nÿ
j“0
bjXj “
mÿ
i“0
pai ` biqXi `
nÿ
j“m`1
bjXj .
(乗法)
˜
mÿ
i“0
aiXi
¸˜
nÿ
j“0
bjXj
¸
“
n`mÿ
k“0
ckXk, ただし ck “
ÿ
i`j“k
aibj .
6
RrXsは可換環になる．R上 2変数多項式環 RrX,Y sは RrX,Y s :“ RrXsrY sと定義する．n変数多項式環も同様に定義する．(3) n ě 2 とし，MnpRq “ tRの元を成分にもつ n次正方行列全体 u とおくと，行列の足し算を加法，掛け算を乗法とする環になる．この環は一般に非可換である．(4) (ハミルトンの四元数体) H を 1, i, j, k を基底とする R上の 4次元ベクトル空間とし，乗法を次のように定義する．1は単位元, i2 “ j2 “ k2 “ ´1, ij “ ´ji “ k, ik “ ´ki “ ´j, jk “ ´kj “ i.
このとき H は加除環である．
定義 3.4. Rを環とする．M をアーベル群とし，その演算を `，単位元を 0で表す．M が左 R加群(left R-module) とは，写像 Ψ : R ˆ M Ñ M が存在して，rx :“ Ψpr, xqと書いたとき，次を満たすことである．ΨをM のスカラー乗法 (scalar multiplication) という．
(i) 任意の x P M に対し，1x “ x.
(ii) 任意の a, b P R, x P M に対し，apbxq “ pabqx (i.e. Ψpa,Ψpb, xqq “ Ψpab, xq).
(iii) 任意の a, b P R, x P M に対し，pa` bqx “ ax` bx.
(iv) 任意の a P R, x, y P M に対し，apx` yq “ ax` ay.
M が右 R加群 (right R-module) とは，写像 Ψ : R ˆ M Ñ M が存在して，xr :“ Ψpr, xqと書いたとき，次を満たすことである．
(i)’ 任意の x P M に対し，x1 “ x.
(ii)’ 任意の a, b P R, x P M に対し，pxbqa “ xpbaq (i.e. Ψpa,Ψpb, xqq “ Ψpba, xq).
(iii)’ 任意の a, b P R, x P M に対し，xpa` bq “ xa` xb.
(iv)’ 任意の a P R, x, y P M に対し，px` yqa “ xa` ya.
Rが可換環のときは，右加群=左加群なので，単に R加群という．
注意 3.5. (1) R自身は左 R加群かつ右 R加群である．(2) Rが体のとき，R加群とは R上のベクトル空間のことに他ならない．(3) R “ Zのとき，R加群とはアーベル群のことに他ならない．
定義 3.6. M , N を左 R加群する．写像 f :M Ñ N が R準同型であるとは，次の 2条件を満たすことである．
(i) 任意の x, y P M に対し，fpx` yq “ fpxq ` fpyq.
(ii) 任意の a P R, x P M に対し，fpaxq “ afpxq.
R準同型 f :M Ñ N が全単射のとき，f は R同型といい，M – N と表す．
注意 3.7. (1) Rが体のときは，R準同型とは k 上の線形写像のことに他ならない．(2) R “ Zのときは，R準同型とはアーベル群の群準同型に他ならない．
線型空間の場合と異なり，一般に加群の基底は存在しない．基底が存在する加群を自由加群という．
定義 3.8. Rを環とし，M を左 R加群とする．
(i) txλuλPΛpxλ P Mq が M の生成系 (system of generators) であるとは，任意の元 y P M に対し，txλuλPΛ の有限部分集合 xλ1
, . . . , xλnと a1, . . . , an P Rが存在し，y “
řni“1 aixλi
と書け
7
ることである．Λが有限集合のとき，M は (左 R加群として) 有限生成 (finitely generated) であるという．
(ii) M が自由 R 加群 (free R-module) とは，次を満たす M の生成系 txλuλPΛ pxλ P Mq が存在することである：txλuλPΛ の任意の有限部分集合 xλ1 , . . . , xλn に対し，
řni“0 aixλi “ 0となる
a1, . . . , an P Rは a1 “ ¨ ¨ ¨ “ an “ 0に限る．txλuλPΛ をM の自由基底 (free basis) という．
注意 3.9. M が有限生成な自由 R加群であるとは，有限個の元からなるM の自由基底がとれることに他ならない．
定義 3.10. Rを環とし，Λを添字集合とする．左R加群の族 tMλuλPΛの直和 (direct sum)À
λPΛMλ
を次のように定義する．à
λPΛ
Mλ :“ tpxλqλPΛ | xλ P Mλは有限個の λを除いて，xλ “ 0u.
À
λPΛMλ に加法とスカラー乗法を次のように定義する．
pxλqλPΛ ` pyλqλPΛ :“ pxλ ` yλqλPΛ
r ¨ pxλqλPΛ :“ prxλqλPΛ
これによってÀ
λPΛMλ は左 R加群の構造を持つ．À
λPΛRは左 (右) R加群の構造を持つ．任意の µ P Λに対し，eµ :“ peµ,λqλPΛ PÀ
λPΛRを
eµ,λ “
"
1 if λ “ µ0 if λ ‰ µ
と定義すると，À
λPΛR は teµuµPΛ を基底とする自由 R 加群である．teµuµPΛ をÀ
λPΛR の標準基底という．Λが位数 nの有限集合の場合は，
À
λPΛRを R‘n とも書く．
命題 3.11. M を左 R加群とする．(1) M が自由 R 加群であることと，ある添字集合 Λと R 同型M –
À
λPΛR が存在することは同値である．(2) M が有限生成であることと，ある n P Nと全射 R準同型 f : R‘n ↠M が存在することは同値である．
例 3.12. (1) n ě 1のとき，Z{nZは有限生成 R加群だが，自由 R加群ではない．(2) RrXsは tXiuiPZě0
を基底とする自由 R加群である．
定義 3.13. R を環とし，M を左 R 加群，N を M の部分集合とする．N が R の部分 R 加群(R-submodule) であるとは，次の 2条件を満たすことである．
(i) N はアーベル群M の部分群，(ii) 任意の r P Rと x P N に対し，rx P N
これはM の加法 (アーベル群としての演算) とスカラー乗法で N が左 R 加群になることに他ならない．左 R加群 Rの部分 R加群を Rの左イデアル (left ideal) という．右イデアルも同様に定義する．左イデアルかつ右イデアルのとき，両側イデアル (two-sided ideal) という．
注意 3.14. (1) Rが体のとき，Rのイデアルは t0uか Rのみである．(2) R “ Zのとき，Rのイデアルは nZ pn P Zqという形をしている．このような環を PIDという．
8
命題 3.15. M を左 R加群，N をM の部分 R加群とする．M,N をアーベル群と見たとき，アーベル群M{N が定義できる．つまり，
M{N “ tx`N | x P Mu,
x, y P M に対し px`Nq ` py `Nq “ px` yq `N.
このM{N に次のようにスカラー乗法を定義する．
r P R, x`N P M{N に対し rpx`Nq :“ rx`N P M{N.
これは well-definedで，このスカラー乗法によってM{N は左 R加群になる．
定理 3.16. f :M Ñ N を R準同型とする．
ker f :“ tx P M | fpxq “ 0u Ă M,
Im f :“ tfpxq | x P Mu Ă N
とおくと，ker f はM の部分 R加群，Im f は N の部分 R加群である．さらに
f :M{ ker f Ñ Im f x` ker f ÞÑ fpxq
は R同型である．
4 第 4回（5月 8日）定義 4.1. Rを可換環とする．
(i) I を R のイデアルとする．f1, . . . , fr P I が I の生成系 (つまり，I “řr
i“1Rfi) のとき，I “ pf1, . . . , frq と書く．I “ pfq となるような f P I が存在するとき，I を単項イデアル(principal ideal) という．
(ii) Rが整域 (integral domain) であるとは，任意の x, y P Rzt0uに対し xy ‰ 0が成り立つことである．
(iii) R を整域とする．R の任意のイデアルが単項イデアルであるとき，R は単項イデアル整域(principal ideal domain, 略して PID) であるという．
定義 4.2. A,B を環とする．写像 f : A Ñ B が環準同型 (ring homomorphism) とは，以下の 3条件を満たすことである．
(i) 任意の x, y P Rに対し，fpx` yq “ fpxq ` fpyq,
(ii) 任意の x, y P Rに対し，fpxyq “ fpxqfpyq,
(iii) 1A (resp. 1B) を A (resp. B) の単位元とすると，fp1Aq “ 1B
環準同型 f : A Ñ B が全単射のとき，f は環同型であるといい，A – B と表す．
定義 4.3. B を環とする．部分集合 A Ă B が B の部分環 (subring) であるとは，B の加法・乗法でAが環になることである．つまり，Aはアーベル群 B の部分群で，B の単位元を 1としたとき 1 P A
であり, 任意の x, y P Aに対し xy P Aが成り立つ．
注意 4.4. イデアルと部分環を混同しないこと．krXs は krX,Y s の部分環だが，イデアルではない．pXq “ tfpX,Y qX | fpX,Y q P krX,Y suは krX,Y sのイデアルだが，部分環ではない．
9
命題 4.5. Rを環，I を Rの両側イデアルとする．I を Rの部分アーベル群と見て，剰余アーベル群R{I が定義できる．つまり，
R{I “ tx` I | x P Ru,
x, y P Rに対し px` Iq ` py ` Iq “ px` yq ` I.
この R{I に次のように乗法を定義する．
x` I, y ` I P R{I に対し px` Iqpy ` Iq :“ xy ` I P R{I.
これは well-definedで，この乗法によって R{I は 0 ` I を零元，1 ` I を単元とする環になる．
例 4.6. k は体とする．
(1) Z及び k 上の 1変数多項式環 krXsは PIDである.
(2) k 上の 2変数多項式環 krX,Y sは整域だが，PIDではない．(3) krX,Y s{pXY qは整域ではない．
注意 4.7. ρ : R Ñ R{I を自然な環準同型（つまり，ρは xを x ` I に送る写像である）としたとき，R{I のイデアルと Rのイデアルの間には次のような関係がある．
Φ : tR{I のイデアル u Ñ tI を含む Rのイデアル u a ÞÑ ρ´1paq “ tx P R | ρpxq P au
Ψ : tI を含む Rのイデアル u Ñ tR{I のイデアル u b ÞÑ ρpbq “ tρpyq | y P bu
とおくと，Φは全単射で Ψがその逆写像である．よって R{I のイデアルは，I を含む Rのイデアルと同一視できる．
定理 4.8. f : A Ñ B を環準同型とする．
ker f :“ tx P A | fpxq “ 0u Ă A,
Im f :“ tfpxq | x P Au Ă B
とおくと，ker f は Rの両側イデアル，Im f は B の部分環である．さらに
f : A{ ker f Ñ Im f x` ker f ÞÑ fpxq
は環同型である．
例 4.9. k を体とし，f : krX,Y s Ñ krts X ÞÑ t2, Y ÞÑ t3
となる環準同型を考える (任意の a P k に対し，fpaq “ a とする)．Im f “ krt2, t3s Ă krts．ker f “ pY 2 ´X3q Ă krX,Y sなので，準同型定理より krX,Y s{pX3 ´ Y 2q – krt2, t3s.
定義 4.10. A,B を環とする．直積集合 A ˆ B “ tpa, bq | a P A, b P Buに次のように加法と乗法を定義する．
(i) pa, bq ` pa1, b1q “ pa` a1, b` b1q pa, a1 P A, b, b1 P Bq
(ii) pa, bq ¨ pa1, b1q “ paa1, bb1q pa, a1 P A, b, b1 P Bq
このとき，AˆB は p0A, 0Bqを零元，p1A, 1Bqを単位元とする環である．
10
定義 4.11. I, J を可換環 Rのイデアルとするとき，I と J の積 IJ を次のように定義する．
IJ “
#
nÿ
i“1
aibi P R
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
n P N, ai P I, bi P J
+
つまり，IJ は tab P R | a P I, b P Juを生成系とする Rのイデアルである．一般には
IJ ‰ tab P R | a P I, b P Ju
であることに注意する（右辺は一般にはイデアルにならない）．ただし，I もしくは J が単項イデアルの場合には等号が成立する．
注意 4.12. I, J を可換環 Rのイデアルとするとき，I と J の和 I ` J は自然に定義される．つまり，
I ` J “ ta` b | a P I, b P Ju
である．I ` J 及び I X J が Rのイデアルであることを確認せよ．
定理 4.13 (中国剰余定理). Rを可換環とし，I1, . . . , In をどの 2つも互いに素（つまり，i ‰ j ならばIi ` Ij “ R）であるような Rのイデアルとする．このとき，次が成り立つ．
(1)nč
i“1
Ii “ I1 ¨ ¨ ¨ In.
(2) R{pI1 ¨ ¨ ¨ Inq – R{I1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆR{In.
証明. (1) I ` J “ Rの場合に IJ “ I X J を証明する．IJ の定義から，IJ Ď I X J は明らかである．逆向きの包含は，
I X J “ pI X JqR “ pI X JqpI ` Jq Ă IJ Ă I X J
より導かれる．(2) I ` J “ R の場合に R{pI X Jq – R{I ˆ R{J を証明する．環準同型 π : R Ñ R{I ˆ R{J
を πpxq “ px ` I, x ` Jq と定義する．I ` J “ R より，a ` b “ 1 となる a P I, b P J が存在する．任意の x, y P R に対し，a P I より，bx ` ay ` I “ bx ` I “ pa ` bqx ` I “ x ` I が成り立つ．同様に，b P J より，bx ` ay ` J “ ay ` J “ pa ` bqy ` J “ y ` J が成り立つ．従って π
は全射．kerπ “ tx P R | x ` I “ 0 ` I, x ` J “ 0 ` Ju “ I X J なので，環の準同型定理から，R{pI X Jq – R{I ˆR{J が導かれる．
例 4.14. m,n を互いに素な整数とすると，am ` bn “ 1 となる整数 a, b が存在する．これはpmq ` pnq “ Zと同値である．従って中国剰余定理から，Z{mnZ – Z{mZ ˆ Z{nZ.
♣ ♢ ♡ ♠
ここからは群の表現について学ぶ．群の表現とは，抽象的な群をより馴染みのある行列を使って「表現」することである．
定義 4.15. Gを群とし，V を体K 上の線型空間とする．
GLpV q :“ tf : V Ñ V | f はK 線型同型 u
とする．このとき，群準同型 ρ : G Ñ GLpV qのことを GのK 上の表現 (representation) といい，Vを ρ の表現空間 (representation space)，dimV を ρ の次元 (dimension) という．pV, ρq のことを表
11
現ということもある．群準同型が文脈から明らかな場合は，しばしば ρを省略して，単に V のことを表現という．
注意 4.16. dimV “ nならば，GLpV q – GLnpKq. また GL1pKq “ Kˆ “ Kzt0uに注意する．
例 4.17. (1) G Ñ Kˆ g ÞÑ 1は群準同型．これを Gの自明な表現 (trivial representation) という．(2) Sn Ñ Kˆ σ ÞÑ sgnpσqは群準同型．これを Sn の符号表現 (sign representation) という．(3) σ P Sn に対し，pσpiq, iq 成分が 1 で他の成分が 0 の行列を σ の置換行列といい，
Pσ と表すことにする．例えば，σ “ p1 3 2q P S3 ならば，Pσ “
¨
˚
˚
˝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
˛
‹
‹
‚
である.
V :“
#
px1, . . . , xnq P Kn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
nÿ
i“1
xi “ 0
+
とおくと，V は n´ 1次元線型空間で，PσpV q “ V . よって
ρ : Sn Ñ GLpV q σ ÞÑ Pσ
という写像を考えることができる．PσPτ “ Pσ˝τ より，これは群準同型になる．つまり ρは Sn の表現．これを Sn の標準表現 (standard representation) という．
5 第 5回（5月 15日）定義 5.1. Gを群，V1, V2 を体 K 上の線型空間とする．ρ1 : G Ñ GLpV1q, ρ2 : G Ñ GLpV2qを Gの表現とする．ρ1 と ρ2 が同値 (equivalent) もしくは同型 (isomorphic) とは，K 線型同型 f : V1 Ñ V2
が存在して，任意の g P Gに対し ρ2pgq “ f ˝ ρ1pgq ˝ f´1 が成り立つことをいう．
V1ρ1pgq // V1
f
��V2
ρ2pgq //
f´1
OO
V2
このとき，ρ1 – ρ2 と書く．
定義 5.2. Gを群，V を体K 上の線型空間，ρ : G Ñ GLpV qを Gの表現とする．
(i) W Ă V を線型部分空間し，任意の g P Gに対し ρpgqpW q “ W が成り立つとき，
ρW : G Ñ GLpW q g ÞÑ ρpgq|W
を ρの部分表現 (subrepresentation) という．(ii) ρW : G Ñ GLpW qが ρの部分表現ならば，W “ t0uもしくはW “ V となるとき，ρは既約
(irerducible) であるという．
例 5.3. 1次元表現は既約である．
定義 5.4. Gを群とし，K を体とする．このとき Gの K 上の群環 (group ring) KrGsとは，Gの元を基底とする自由K 加群
KrGs :“
#
ÿ
有限和agg
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ag P K, g P G
+
12
に，次のように乗法を定義したものである．ただし全ての g に対し ag “ 0のときはř
agg “ 0 P K
と同一視する．任意の a, b P K, g, h P Gに対し，pagqpbhq :“ pabqpghq
KrGsは 1e (1は K の単位元，eは g の単位元)を単位元とする環になる．（左）KrGs加群のことをK 上の（左）G加群ともいう．
例 5.5. (1) CrZs – CrX,X´1s．(2) CrZ{nZs – CrXs{pXn ´ 1q – C ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ C
looooomooooon
n 個
.
(3) より一般に，Gを位数 nの有限アーベル群とすると，CrGs – C ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Clooooomooooon
n 個
．
（有限アーベル群の構造定理から導かれる．この構造定理は後で示す）
ρ : G Ñ GLpV qを Gの表現とし，V をその表現空間とする．V に次のようにスカラー乗法を定義する．
任意のÿ
g
agg P KrGs, v P V に対し，
˜
ÿ
g
agg
¸
¨ v :“ÿ
g
agρpgqpvq
これによって，V を左KrGs加群と見なすことができる．逆にW を左KrGs加群とする．任意の λ P K と w P W に対し，
λ ¨ w :“ pλeqw peは Gの単位元 q
とスカラー乗法を定めることにより，W はK 上の線型空間と見なせる．このとき，任意の g P Gに対し，次のようにW の間のK 線型写像を定める:
ρpgq :W Ñ W w ÞÑ p1Kgqw p1KはK の単位元 q
ρpg´1qは ρpgqの逆写像を与えるので，ρpgqは K 線型同型．従って，g ÞÑ ρpgqという対応を考えると，GのW 上の表現が得られる．
定義 5.6. Rを環とし，M を左 R加群とする．M の部分 R加群が t0uとM のみしか存在しないとき，M を単純 (simple) という．
命題 5.7. Gを群，K を体とすると，GのK 上の表現の圏と左KrGs加群の圏は圏同型であり，GのK 上の既約表現からなる部分圏と単純左 KrGs加群からなる部分圏の圏同型を誘導する．圏論に馴染みのない聴講者のために，以下に噛み砕いた主張を記す．
(1) GのK 上の表現と左KrGs加群は一対一に対応する．(2) GのK 上の表現 ρi に対応するKrGs加群を Vi と表したとき，
ρ1 – ρ2 ðñ KrGs加群として V1 – V2.
(3) GのK 上の表現 ρに対応する左KrGs加群を V と表したとき，(1)の対応によって，ρの部分表現と V の部分KrGs加群は一対一に対応する．
(4) (1)の対応によって，GのK 上の既約表現と単純左KrGs加群は一対一に対応する．
定義 5.8. Rを環，M を左 R加群とし，N1, N2 をM の部分 R加群とする．M “ N1 ‘N2 (–ではなく “であることに注意)とは，
N1 ‘N2 Ñ M px1, x2q ÞÑ x1 ` x2
13
が R 同型であることである．これは，M “ N1 ` N2 :“ tx1 ` x2 | x1 P N1, x2 P N2u でかつN1 XN2 “ t0uであることと同値である．
定理 5.9 (Maschke の定理). G を有限群とする．ρ : G Ñ GLpV q を G の C 上の有限次元表現，ρW : G Ñ GLpW qを ρの部分表現とすると，V “ W ‘W 1 となる ρの部分表現 ρW 1 : G Ñ GLpW 1q
が存在する．
系 5.10. Gを位数 g の有限群とする．このとき，Gの C上の有限次元表現 ρ : G Ñ GLpV qは
V – W‘m11 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘W‘mr
r pρWi : G Ñ GLpWiqは既約表現，i ‰ j ならばWi fl Wjq
と分解できる．これを表現 V の既約分解という．またmiを V におけるWiの重複度といい，rV :Wis
と表す．
定義 5.11. Rを環とし，M,N を左 R加群とする．このとき，
HomRpM,Nq :“ tf :M Ñ N | f は R準同型 u
とおく．HomRpM,Nqはアーベル群の構造を持つ．実際，f, g P HomRpM,Nqに対し，pf ` gqpxq “
fpxq ` gpxq px P Mqと f ` g P HomRpM,Nqを定義すれば良い（単位元は零射 0）．R “ KrGsで,
M “ V,N “ W がKrGs加群のとき，HomRpM,Nqを HomGpV,W qと表す．HomRpM,Mqを EndRpMqと表す．写像の合成で乗法を定義すると，EndRpMqは環になる（零元は零写像，単位元は恒等写像）．R “ KrGsで, M “ V がKrGs加群のとき，EndRpMqを EndGpV q
と表す．
注意 5.12. HomRpM,Nq は一般に左 R 加群の構造を持たない．R が可換環ならば，HomRpM,Nq
は R加群の構造を持つ．
第 5回の補足例 5.5 (3)を証明する．テンソル積の定義については，定義 8.6を参照のこと．
命題 5.13. G,H を群としたとき，次の環同型が成り立つ．
CrGˆHs – CrGs bC CrHs
命題 5.14. Rを可換環とし，A,B,C を R代数とする．ここで，fS : R Ñ S という環準同型が存在する（可換とは限らない）環 S のことを R代数と定義する（例えば，CrGsは C代数である）．このとき，次が成り立つ．
(1) R bR A – AbR R – A.
(2) pAˆBq bR C – pAbR Cq ˆ pB bR Cq.
さらに，有限アーベル群の構造定理を使う．証明は定理 9.8を参照のこと．
定理 5.15 (有限アーベル群の構造定理). Gを非自明な有限アーベル群とする．このとき，
G – Z{n1Z ˆ Z{n2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZ ˆ Zr かつ n1 | n2 | ¨ ¨ ¨ | nt
となる自然数 n1, . . . , nt ě 2が唯一組存在する．特に |G| “ n1n2 ¨ ¨ ¨nt である．
14
n 個hkkkkkkkkikkkkkkkkj
C ˆ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ˆ Cをśn
i“1 Cと書くことにする．講義中に説明したように，中国剰余定理を使うと，例5.5 (2)の同型 CrZ{nZs –
śni“1 Cが得られる
例 5.5p3qの証明. Gを有限アーベル群とすると，次の同型が得られる．
CrGs – CrZ{n1Zs bC CrZ{n2Zs bC ¨ ¨ ¨ bC CrZ{ntZs（7 命題 5.13，定理 5.15）
–
˜
n1ź
i“1
C
¸
bC
˜
n2ź
i“1
C
¸
bC ¨ ¨ ¨ bC
˜
ntź
i“1
C
¸
（7 例 5.5 (2)）
–
n1ź
i“1
˜˜
n2ź
i“1
C
¸
bC ¨ ¨ ¨ bC
˜
ntź
i“1
C
¸¸
（7 命題 5.14）
– ¨ ¨ ¨
–
n1ź
i“1
n2ź
i“1
¨ ¨ ¨
ntź
i“1
C
–
n1¨¨¨ntź
i“1
C
“ C ˆ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ˆ Cloooooooomoooooooon
|G| 個
.
では Gが非可換群の場合は，CrGsがどのような環か？この問いに答えるのがWedderburnの構造定理（定理 6.8）である．
6 第 6回（5月 22日）定理 6.1 (Schurの補題). Gを群とする．
(1) ρ1 : G Ñ GLpV1q, ρ2 : G Ñ GLpV2qを Gの体K 上の既約表現とする．このとき，
HomGpV1, V2q ‰ t0u ðñ ρ1 – ρ2.
(2) ρ : G Ñ GLpV q を G の C 上の有限次元表現とする．ρ が既約ならば，自然な環準同型C Ñ EndGpV q t ÞÑ pv ÞÑ tvqは同型である．Gが有限群ならば，逆も正しい．
系 6.2. Gを有限群とする．ρ : G Ñ GLpV qを Gの C上の有限次元表現とし，ρW : G Ñ GLpW qを既約部分表現とする．このとき，
rV :W s “ dimC HomGpW,V q “ dimC HomGpV,W q.
例 6.3. G をアーベル群とし，ρ : G Ñ GLpV q を G の C 上の有限次元既約表現とする．このとき，dimV “ 1である．
定義 6.4. G を群とし，x, y P G とする．x と y が共役 (conjugate) とは，ある g P G が存在して，y “ g´1xg と書けるときにいう．このとき x „ y と書く．任意の x P Gに対し，
OGpxq :“ ty P G | x „ yu
と定義し，この集合を xの共役類 (conjugacy class) という．
15
注意 6.5.OGpxq XOGpyq ‰ H ðñ x „ y ðñ OGpxq “ OGpyq.
注意 6.5から，G “š
iPI OGpxiq (disjoint union) となるような txiuiPI がとれる．|I|を Gの共役類の個数という．
例 6.6. (1) Gをアーベル群とする．このとき x „ y ならば x “ y なので，OGpxq “ txu. よって G
の共役類の個数と |G|は一致する．(2) S3 の共役類は，teu, tp1 2q, p1 3q, p2 3qu, tp1 2 3q, p1 3 2quの 3つである．
例 6.6 (1)より，OGpxqの元の個数は xの非可換性の尺度と見なすこともできる．
定義 6.7. Gを群，K を体とする．
ρreg : G Ñ GLpKrGsq g ÞÑ
˜
ÿ
hPG
ahh ÞÑÿ
hPG
ahgh
¸
という群準同型を，G の（左）正則表現 (regular representation) という．これは（左）K[G] 加群KrGsに対応する表現である．
定理 6.8 (群環に対するWedderburnの構造定理). Gを有限群とし，C上の表現を考える．
CrGs – W‘m11 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘W‘mr
r
を Gの左正則表現の既約分解とする．
(1) 複素 n 次正方行列全体がなす環を MnpCq と表したとき，C 線型な（任意の λ P C に対しΦpλxq “ λΦpxq が成り立つ）環同型
Φ : CrGs – Mm1pCq ˆMm2pCq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMmr pCq
が存在する．(2) mi “ dimCWi であり，|G| “
řri“1pdimCWiq
2 が成り立つ．(3) 次の等式が成り立つ．
r “ (Gの互いに同値でない既約表現の個数) “ (Gの共役類の個数)
特にGの既約表現は，同値な表現を同一視すると，すべてGの左正則表現の既約分解に現れる．
定義 6.9. Rを環とする．
ZpRq :“ tx P R | 任意の r P Rに対し，rx “ xru
を Rの中心 (center) という．ZpRqは Rの部分環になる．
定義 6.10. 環 Rの反対環 (opposite ring) Rop とは，次の 2条件を満たす環である．(i) アーベル群としては，Rop “ R.
(ii) Rop の乗法 ¨ を次のように定義する: 任意の x, y P Rop “ Rに対し，x ¨ y :“ yx P R “ Rop．
注意 6.11. (1) 自然な写像φ : Rop Ñ EndRpRq r ÞÑ px ÞÑ xrq
は環同型である．実際，φprqφpsq “ px ÞÑ xs ÞÑ xsrq，φpr ¨ sq “ φpsrq “ px ÞÑ xsrq なので，φprqφpsq “ φpr ¨ sq となり，φ は環準同型．φ の単射性は明らかなので，全射性を証明する．
16
任意の f P EndRpRq に対し，fp1q “ r とおく．f は R 準同型なので，任意の x P R に対し，fpxq “ fpx ¨ 1q “ xfp1q “ xr となる．つまり，f “ px ÞÑ xrqなので，f は全射．(2) K を体とすると，MnpKqop – MnpKq. 実際，MnpKqop Ñ MnpKq A ÞÑ tAという写像を考えると，A ¨B “ BA ÞÑ tpBAq “ tAtB より，これは環同型を与える．
定理 6.8の証明. (1) Vi :“ W‘mii とおく．定理 6.1 (Schurの補題)より，i ‰ jならばHomGpVi, Vjq –
HomGpWi,Wjq‘mimj “ 0であることに注意すると，
EndGpCrGsq – EndGpV1q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ EndGpVrq.
Vi “ W‘mii より，再び Schurの補題を使うと，
EndGpViq – MmipEndGpWiqq – MmipCq
という環同型が得られる．以上をまとめると，
CrGs “ pCrGsopqop – EndGpCrGsqop – pMn1pCq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMnr
pCqqop
“ Mn1pCqop ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMnr pCqop
– Mn1pCq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMnr pCq.
各同型は C線型なので，その合成も C線型である．(2) C線型空間の同型
HomGpCrGs,Wiq – Wi px ÞÑ xwiq ÞÑ wi
があるので，Schur の補題より，mi “ dimC HomGpCrGs,Wiq “ dimCWi が成り立つ．CrGs はtgugPG を基底とする C線型空間であることに注意する．(1)の環同型は C線型空間の同型になっているので，(1)の両辺の C線型空間としての次元を比較すると，|G| “
řri“1m
2i “
řri“1pdimCWiq
2 が得られる．(3) r “ (Gの互いに同値でない既約表現の個数)を示す．Gの任意の既約表現 pV, ρqに対し，V – Wi
（CrGs加群の同型）となる 1 ď i ď r が存在することを示せば良い．0 ‰ v P V を 1つ固定し，
φ : CrGs Ñ V x ÞÑ xv
という CrGs準同型を考える．0 ‰ Imφ Ă V だが，V は単純 CrGs加群なので，V “ Imφ. つまり，φは全射である．任意の 1 ď i ď rに対し V fl Wiだとすると，Schurの補題より，HomGpWi, V q “ t0u.
従って
φ P HomGpCrGs, V q –
rà
i“1
HomGpWi, V q‘mi “ t0u
となるが（最初の同型は C線型空間としての同型），φは全射なのでこれは矛盾．次に r “ (Gの共役類の個数)を示す．(1)の環同型の両辺の中心を比較する．
ZpMmipCqq “ tA P Mmi
pCq | 任意の B P MmipCqに対し，BA “ ABu
“ tλEn | λ P Cu
より，C線型空間として，ZpMmipCqq – C. 従って (1)の右辺の中心は
ZpMm1pCq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆMmr
pCqq “ ZpMm1pCqq ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ZpMmr
pCqq – Cr.
一方ř
gPG agg P ZpCrGsqとすると，任意の h P Gに対し，
ÿ
gPG
agg “ h´1
˜
ÿ
gPG
agg
¸
h “ÿ
gPG
agph´1ghq
17
が成り立つ．CrGs は tgugPG を基底とする C 線型空間なので，基底の係数を比較すると，任意のg, h P Gに対し ag “ ah´1gh を得る．つまり，x „ y P Gならば，ax “ ay である．Gの共役類の個数を sとし，G “
šsi“1OGpgiqとする．cpgiq “
ř
h„gi1h P CrGsとおくと，
ř
gPG agg “řs
i“1 agicpgiq.
逆にřs
i“1 bicpgiq P CrGs pbi P Cqという元を考えると，任意の h P Gに対し，
h´1
˜
sÿ
i“1
bicpgiq
¸
h “
sÿ
i“1
biph´1cpgiqhq “
sÿ
i“1
bicpgiq.
よってřs
i“1 bicpgiq P ZpCrGsqである. まとめると，(1)の左辺の中心は，
ZpCrGsq “
#
sÿ
i“1
aicpgiq
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ai P C
+
– Cs
（最後の同型は C線型空間としての同型）. 以上より，r “ sを得る．
例 6.12. C上の表現を考える．(1) 有限アーベル群 Gに定理 6.8を適用すると，Gはちょうど |G|個の既約表現を持ち，すべて 1次元であることが導かれる．(2) S3 に定理 6.8を適用すると，
CrS3s – C ˆ C ˆM2pCq
となり，S3 はちょうど 3つの既約表現を持ち，2つは 1次元で 1つは 2次元であることがわかる．
♣ ♢ ♡ ♠
ここからは Gを有限群とし，C上の表現を考える．
定義 6.13. ρ : G Ñ GLpV q を G の有限次元表現とする．任意の g P G に対し，ρpgq の表現行列をApgqと書くことにする．このとき，関数
χV : G Ñ C g ÞÑ trpApgqq
を ρの指標 (character) といい，dimV を ρの次元 (dimension) という．V が既約表現ならば，χを既約指標 (irreducible character) という．
注意 6.14. 任意の A,B P GLnpCqに対し trpB´1ABq “ trpAqなので，trpApgqqは表現行列の取り方Apgqに依らず定まる．つまり χV は well-defined.
指標は複素数値関数であるから，表現よりもはるかに扱いやすい．その上，表現に関する重要な性質のほとんどは指標を使って調べることができる．
定義 6.15. 関数 f : G Ñ Cが類関数 (class function) とは，x „ y ならば fpxq “ fpyqを満たす．注意 6.14から，指標は類関数である．
7 第 7回（5月 29日）命題 7.1. χV を pV, ρqの指標とする．
18
(1) eを Gの単位元とすると，χV peq “ dimV .
(2) v1, . . . , vn を V の基底，v˚1 , . . . , v
˚n をその双対基底とすると，任意の g P Gに対し，
χV pgq “
nÿ
i“1
v˚i pρpgqpviqq.
(3) λ P Cに対しその複素共役を λと記すことにすると，任意の g P Gに対し，
χV pgq “ χV pg´1q.
命題 7.2. ρV : G Ñ GLpV q, ρW : G Ñ GLpW qを Gの有限次元表現とし，ρV の指標を χV , ρW の指標を χW とする．Gの表現
ρV ‘W : G Ñ GLpV ‘W q g ÞÑ ppv, wq ÞÑ pρV pgqpvq, ρW pgqpwqq
の指標を χV ‘W と書くと，任意の g P Gに対し，χV ‘W pgq “ χV pgq ` χW pgqが成り立つ．
例 7.3. (1) 1次元表現 ρ : G Ñ GLpCq “ Cˆ の指標 χは表現 ρと一致する．よって任意の g, h P G
に対し，χpgqχphq “ χpghqが成り立つ（2次元以上では正しくない）．特に g P Gの位数をmpgq P Nとすると，χpgqmpgq “ 1.
(2) pCrGs, ρregqを Gの正則表現とし，その指標を χreg と書くことにすると，次が成り立つ．
χregpgq “
"
|G| pg “ eq0 pg ‰ eq
(3) V “ tpx, y, zq P C3 | x` y ` z “ 0uとし，ρ : S3 Ñ GLpV qを S3 の標準表現とする．ρの指標χV を計算すると，χV peq “ 2, χV pp1 2qq “ 0, χV pp1 2 3qq “ ´1.
定義 7.4. φ,ψ : G Ñ Cを類関数とする．xφ,ψy P Cを次のように定義する:
xφ,ψy “1
|G|
ÿ
gPG
φpgqψpgq.
定理 7.5. V,W を Gの有限次元表現とすると，
xχV , χW y “ dimC HomGpV,W q.
系 7.6. V を Gの有限次元表現とし，
V – W‘m11 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘W‘mr
r
を V の既約分解とする．このとき，mi “ xχV , χWiy.
系 7.7. pV1, ρV1q, pV2, ρV2qを Gの有限次元表現とすると，
ρV1 – ρV2 ðñ χV1 “ χV2
系 7.8. V を Gの有限次元表現とする．
V は既約表現であるðñ xχV , χV y “ 1
例 7.9. S3 の既約表現を分類する．例 6.12 (2)より，S3 は 1次元表現を 2つ，2次元既約表現を 1つ持つ．1次元表現は，自明表現 ρ1 : S3 Ñ GLpCq “ Cˆ σ ÞÑ 1と符号表現 ρ2 : S3 Ñ Cˆ σ ÞÑ sgnpσq
である．残りの 2次元既約表現を ρ3 とおき，ρi の指標を χi と書くことにする．指標は類関数なので，値は共役類毎に見れば良い．S3 の共役類は tp1qu, tp1 2q, p1 3q, p2 3qu, tp1 2 3q, p1 3 2qu の 3 つであり，S3 の指標の値をまとめた表は次のようになる．
19
σ e p1 2q p1 2 3q
|OS3pσq| 1 3 2
χ1 1 1 1
χ2 1 -1 1
χ3 2 0 -1
χreg 6 0 0
このような表を指標表 (character table) という．指標を使うと，ρ3 が標準表現
ρ : S3 Ñ GLpV q σ ÞÑ P pσq pV “ tpx, y, zq P C3 | x` y ` z “ 0uq
と同値であることを確かめられる．
例 7.10. (1) V :“ xa, b | a2 “ b2 “ e, ab “ bay “ te, a, b, abu – Z{2Z ˆ Z{2Z の指標表を求める．V は位数 4のアーベル群なので，V の既約表現は 1次元表現が 4つである．ρ1 を自明表現とし，ρ2, ρ3, ρ4 を残りの 1次元表現とする．ρi の指標を χi と書くと，任意の g P V に対し χipgq “ ˘1である．χipaq, χipbqのとりうる値が 4通り考えられ，指標表は次のようになる．
g e a b ab
|OV pgq| 1 1 1 1
χ1 1 1 1 1
χ2 1 1 -1 -1
χ3 1 -1 1 -1
χ4 1 -1 -1 1
(2) D4 :“ xσ, τ | σ4 “ τ2 “ e, τστ “ σ´1y “ te, σ, σ2, σ3, τ, στ, σ2τ, σ3τu の指標表を求める．Wedderburnの定理から，D4 の既約表現は，1次元表現が 4つ，2次元表現が 1つであることがわかる．D4 の共役類は teu, tσ, σ3u, tσ2u, tτ, σ2τu, tστ, σ3τu の 5 つである．ρ1 を自明表現とし，残りの1次元表現を ρ2, ρ3, ρ4，2次元既約表現を ρ5 とする．ρ2, ρ3, ρ4 を計算するために，
f : D4 Ñ V σ, σ3 ÞÑ a τ, σ2τ ÞÑ b
という群準同型を考える．V の 1次元表現 ρV : V Ñ Cˆ に対し，ρV ˝ f : D4 Ñ Cˆ は D4 の 1次元表現になる．V の 1次元表現は 4つあるので，この方法で D4 の 1次元表現 4つが全て得られる．ρiの指標を χi と書くと，V の指標表から D4 の 1次元表現の表は次のようになる．
g e σ σ2 τ στ
|OV pgq| 1 2 1 2 2
χ1 1 1 1 1 1
χ2 1 1 1 -1 -1
χ3 1 -1 1 1 -1
χ4 1 -1 1 -1 1
χ5
上の表と D4 の正則表現の指標 χreg から χ5 を計算することができ，D4 の指標表は次のようになる．
20
g e σ σ2 τ στ
|OV pgq| 1 2 1 2 2
χ1 1 1 1 1 1
χ2 1 1 1 -1 -1
χ3 1 -1 1 1 -1
χ4 1 -1 1 -1 1
χ5 2 0 -2 0 0
χreg 8 0 0 0 0
ρ5（と同値な表現）を具体的に記述したい．次の 2次元表現を考える（このような表現を考える理由は次回説明する）．
ρ : D4 Ñ GL2pCq σ ÞÑ S “
ˆ
0 ´11 0
˙
, τ ÞÑ T “
ˆ
1 00 ´1
˙
.
指標を見ると，ρ – ρ5 であることがわかる.
第 7回の補足定理 7.5の証明を与える．
定義 7.11. pV, ρq を G の有限次元表現とする．このとき V の部分空間 V G を
V G :“ tv P V | 任意の g P Gに対し，ρpgqpvq “ vu
と定義する．
補題 7.12. pV, ρqを Gの有限次元表現としたとき，次が成り立つ．
dimC VG “
1
|G|
ÿ
gPG
χV pgq.
証明.
π : V Ñ V G v ÞÑ1
|G|
ÿ
gPG
ρpgqpvq
という C 線型写像を考える．任意の w P V G に対し πpwq “ w が成り立つので，π は全射．よってU “ kerπ とおくと，V “ V G ‘ U が成り立つ．V π
ÝÑ V G ãÑ V を同じ記号 π で表すことにする．w1, . . . , wm を V G の基底，u1, . . . , ul を U の基底とすると，w1, . . . , wm, u1, . . . , ul に関する π の表現行列は
ˆ
Em 00 0l
˙
となるので，trpπq “ m “ dimV G. 一方，v1, . . . , vn を V の基底とすると，
trpπq “
nÿ
i“1
v˚i pπpviqq “
1
|G|
ÿ
gPG
nÿ
i“1
v˚i pρpgqpviqq “
1
|G|
ÿ
gPG
χV pgq.
21
補題 7.13. pV, ρV q, pW,ρW qを Gの有限次元表現とし，HomCpV,W qに次のように CrGs加群の構造を入れる: 任意の g P Gと f P HomCpV,W qに対し，
g ¨ f :“ ρW pgq ˝ f ˝ ρV pgq´1 P HomCpV,W q.
このときHomGpV,W q “ HomCpV,W qG.
証明.
f P HomCpV,W qが CrGs準同型ô 任意の g P Gに対し，f ˝ ρV pgq “ ρW pgq ˝ f
ô 任意の g P Gに対し，ρW pgq ˝ f ˝ ρV pgq´1 “ f
ô 任意の g P Gに対し，g ¨ f “ f.
補題 7.14. ρV : G Ñ GLpV q, ρW : G Ñ GLpW qを Gの有限次元表現とし，ρV の指標を χV , ρW の指標を χW とする．
1. V b W を V とW の C 上のテンソル積とする（テンソル積の定義は定義 8.6 を参照のこと）．Gの表現
ρV bW : G Ñ GLpV bC W q g ÞÑ pv b w ÞÑ ρV pgqpvq b ρW pgqpwqq
の指標を χV bW と書くと，任意の g P Gに対し，χV bW pgq “ χV pgqχW pgq.
2. V ˚ :“ HomCpV,Cqを V の双対空間とする．Gの表現 ρV ˚ : G Ñ GLpV ˚qを
ρV ˚ pgqpfq “ f ˝ ρpgq´1 pg P G, f P V ˚ “ HomCpV,Cqq
と定義し，これを ρV の双対表現 (dual representation) という．ρV ˚ の指標を χV ˚ と書くと，χV ˚ pgq “ χV pgq.
証明. (1) v1, . . . , vm を V の基底，w1, . . . , wn をW の基底とし，v˚1 , . . . , v
˚m, w˚
1 , . . . , w˚n をそれぞれ
の双対基底とする．
ρV bW pgq “
mÿ
i“1
nÿ
j“1
pvi b wjq˚pρV bW pgqpvi b wjqq
“
mÿ
i“1
nÿ
j“1
pv˚i b w˚
j qpρV pgqpviq b ρW pgqpwjqq
“
mÿ
i“1
nÿ
j“1
v˚i pρV pgqpviqqw˚
j pρW pgqpwjqq
“ χV pgqχW pgq.
(2) まず ρV ˚ が Gの表現であることを確かめる．
ρV ˚ pghqpfq “ f ˝ ρV pghq´1 “ f ˝ ρV phq´1 ˝ ρV pgq´1 “ ρV ˚ pgqpf ˝ ρV phq´1q
“ ρV ˚ pgqpρV ˚ phqpfqq
より，ρV ˚ は群準同型．
22
次に指標を計算する．v1, . . . , vn を V の基底とし，v˚1 , . . . , v
˚n をその双対基底とする．
χV ˚ pgq “
nÿ
i“1
vipρV ˚ pgqpv˚i qq “
nÿ
i“1
vipv˚i ˝ ρpgq´1q “
nÿ
i“1
pv˚i ˝ ρpg´1qqpviq
“ χV pg´1q “ χV pgq.
補題 7.15. pV, ρV q, pW,ρW qを Gの有限次元表現としたとき，次の CrGs同型が存在する．
HomCpV,W q – V ˚ bW
証明.φ : V ˚ bW Ñ HomCpV,W q f b w ÞÑ pv ÞÑ fpvqwq
という C線型写像を考える．tv1, . . . , vmuを V の基底，tw1, . . . , wnuをW の基底とすると，tv˚i b
wjui,j は V ˚ b W の基底，tfji : vi ÞÑ δijwjui,j は HomCpV,W q の基底であることに注意する．φpvi b wjq “ fij なので，φは C線型写像として同型．後は φが CrGs準同型であることを確かめれば良い．任意の g P G, f P V ˚, w P W に対し，
g ¨ pφpf b wqq “ ρW pgq ˝ pv ÞÑ fpvqwq ˝ ρV pgq´1
“ pv ÞÑ ρV pgq´1pvq ÞÑ fpρV pgq´1pvqqw ÞÑ fpρV pgq´1pvqqρW pgqpwqq
“ φppf ˝ ρV pgq´1q b ρW pgqpwqq “ φpg ¨ pf b wqq
より，φは CrGs準同型である．
定理 7.5の証明. χW pgq “ χW pg´1qより，xχV , χW y “ xχW , χV yであることに注意する．
dimC HomGpV,W q “ dimC HomCpV,W qG（7 補題 7.13）
“ dimC pV ˚ bW qG （7 補題 7.15）
“1
|G|
ÿ
gPG
χV ˚bW pgq（7 補題 7.12）
“1
|G|
ÿ
gPG
χV ˚ pgqχW pgq（7 補題 7.14 (1)）
“1
|G|
ÿ
gPG
χV pgqχW pgq（7 補題 7.14 (2)）
“ xχW , χV y.
“ xχV , χW y.
8 第 8回（6月 5日）1次元表現を見つけるには，次の命題が有用である．まず Gの交換子群 rG,Gsを定義する．
定義 8.1. Gを（有限とは限らない）群とし，Gの交換子群 (commutator group) rG,Gsを
rG,Gs :“ xxyx´1y´1 | x, y P Gy
と定義する．
23
注意 8.2. 一般には rG,Gs “ txyx´1y´1 | x, y P Gu ではない．G は xyx´1y´1 の形の元で生成される群であり，xyx´1y´1 の形の元以外も含みうる．しかし G “ Sn, Dn の場合には，rG,Gs “
txyx´1y´1 | x, y P Guであることが知られている．
補題 8.3. (1) Gがアーベル群ðñ rG,Gs “ teu.
(2) rG,Gsは Gの正規部分群.
(3) N を Gの正規部分群とすると，G{N はアーベル群 ðñ N Ą rG,Gs．
命題 8.4. G を有限群とし，π : G Ñ G{rG,Gs を自然な準同型とする．任意の G の 1 次元表現ρ : G Ñ Cˆ に対し，G{rG,Gsの 1次元表現 ρ0 : G{rG,Gs Ñ Cˆ が存在して，ρ “ ρ0 ˝ π と書ける．
例 8.5. rD4, D4s “ te, σ2uであり，D4 の指標表を求める際に考えた群準同型 f : D4 Ñ V は，同型D4{rD4, D4s – V を誘導する．D4 の指標表を求める際にこのような群準同型を考えた理由は，命題8.4に由来する．
♣ ♢ ♡ ♠
定義 8.6. Rを環とし，M を右 R加群，N を左 R加群とする．M とN の R上のテンソル積 (tensor
product) M bR N を次のように定義する．まずM ˆN を添字集合とする自由 Z加群
F “à
pm,nqPMˆN
Zpm,nq
を考える．F の任意の元は
a1pm1, n1q ` ¨ ¨ ¨ ` arpmr, nrq pai P Z,mi P M,ni P Nq
の形で表される．F とM ‘N を混同しないように注意する．F の部分 Z加群K Ă F を
K “
C
pm`m1, nq ´ pm,nq ´ pm1, nq m,m1 P Mpm,n` n1q ´ pm,nq ´ pm,n1q n, n1 P Npmr, nq ´ pm, rnq r P R
G
と定義する．ここで，S Ă F を部分集合としたとき，S を生成系とする F の部分 Z 加群を xSyで表す．xSyは S を含む最小の部分 Z 加群に他ならない．このとき Z加群M bR N を
M bR N “ F {K
と定義し，pm,nq `K P M bR N をmb nと表すことにする．K の定義から，次が成り立つ．
pm`m1q b n “ mb n`m1 b n pm,m1 P Mq
mb pn` n1q “ mb n`mb n1 pn, n1 P Nq
mr b n “ mb rn pr P Rq
注意 8.7. (1) M bN “ tmb n | x P M,y P Nuではない．M bN の元は
m1 b n1 ` ¨ ¨ ¨ `ms b ns pmi P M,ni P Nq
という形で表される．(2) Rが可換環のときは，次のようにM bR N に R加群の構造を入れることができる：
rpmb nq :“ mr b n pr P R,m P M,n P Nq.
24
実際，r1, r2 P Rとすると，Rは可換環なので，
r1pr2pmb nqq “ r1pmr2 b nq “ mr2r1bn “ mpr1r2q b n “ pr1r2qpmb nq
が成り立つ．(3) f : R Ñ S を環の準同型とし，M を左 R加群とする．s ¨ r :“ sfprq pr P R, s P Sqにより S は右 R加群と見なせるので，テンソル積 S bR M が定義できる．S bR M は定義からアーベル群だが，次のように左 S 加群の構造を入れることができる:
s ¨ pxb yq :“ sxb y ps, x P S, y P Mq
命題 8.8. (1) R bR N – N .
(2) Rが可換環ならば，次が成り立つ．（a）M bR N – N bR M
（b）pM1 bR M2q bR M3 – M1 bR pM2 bR M3q (M1,M2,M3 は R加群)
(3) M bR pÀ
λPΛNλq –À
λPΛ pM bR Nλq (tNλuλPΛ は右 R加群の族)
(4) pÀ
λPΛMλq bR N –À
λPΛ pMλ bR Nq (tMλuλPΛ は左 R加群の族)
定義 8.9. Gを有限群とし，H を Gの部分群とする．表現といえば，C上の表現を意味する．
(1) Gの表現 ρV : G Ñ GLpV qが与えられたとき，
ResGH V : H ãÑ GρV
ÝÝÑ GLpV q
を ρV の制限表現 (restricted respresentation) ResGH V という．(2) H の表現 ρW : H Ñ GLpW qが与えられたとき，W を CrHs加群と見ることによって，左 CrGs
加群 CrGs bCrHs W が定義される（注意 8.7 (3)参照）．この CrGs加群に対応する Gの表現をρW の誘導表現 (inducecd representation) IndGH W という．つまり，
IndGH W : G Ñ GLpCrGs bCrHs W q x ÞÑ
˜
ÿ
g
agg b v ÞÑÿ
g
agxg b v
¸
.
IndGH W の次元は |G|
|H|dimW である．
例 8.10. G “ xσ | σ4 “ ey “ te, σ, σ2, σ3uを位数 4の巡回群とし，H “ te, σ2uを Gの位数 2の部分群とする．また ρ : H Ñ Cˆ σ2 ÞÑ ´1を H の 1次元表現とする．このとき IndGH Cˆ は
G Ñ GLpC2q σ ÞÑ
ˆ
0 ´11 0
˙
という表現である．
定理 8.11 (Frobenius相互律). 定義 8.9と同じ記号を用いる．このとき，
HomGpIndGH W,V q – HomHpW,ResGH V q.
系 8.12. χV : G Ñ Cを V の指標，χW : H Ñ CをW の指標とする．IndGH W の指標を indGHχW
もしくは χIndW と表す（誘導指標）．ResGH V の指標を ResGHχV もしくは χResV と表す（制限指標）．xφ1, φ2yG を Gの類関数 φ1, φ2 の内積，xψ1, ψ2yH を H の類関数 ψ1, ψ2 の内積とすると，
xIndGH χW , χV yG “ xχW ,ResGH χV yH
が成り立つ．
25
例 8.13. G :“ S3 とし，H :“ tp1q, p1 2quを S3 の位数 2の部分群とする．ρ1 : S3 Ñ Cˆ を S3 の自明表現，ρ2 : S3 Ñ Cˆ を符号表現，ρ3 : S3 Ñ GLpC2qを標準表現とし，それぞれの指標を χ1, χ2, χ3
とする．また ρ` : H Ñ Cˆ を H の自明表現，ρ´ : H Ñ Cˆ を ρ´pp1 2qq “ ´1となる H の表現とし，それぞれの指標を χ`, χ´ とする．S3 の指標表から
ResGH χ1 “ χ`, ResGH χ2 “ χ´, Res
GH χ3 “ χ` ` χ´
がわかる．よって Frobenius相互律より，
IndGH χ` “ χ1 ` χ3, IndGH χ´ “ χ2 ` χ3.
注意 8.14. 上の例からわかるように，W が H の既約表現でも，IndGH W は G の既約表現とは限らない．
例 8.15. G “ D4 :“ xσ, τ | σ4 “ τ2 “ e, τστ “ σ´1y “ te, σ, σ2, σ3, τ, στ, σ2τ, σ3τu とし，H :“ te, σ, σ2, σ3uを D4 の位数 4の部分群とする．ρ1, . . . , ρ4 を D4 の 1次元表現，ρ5 を D4 の 2次元既約表現とし，χ1, . . . , χ5 をそれぞれの指標とする．また ρ “ χ : H Ñ Cˆ σ ÞÑ
?´1を H の 1次
元表現とする．Frobenius相互律より，
xIndGH χ, χ1y “ xIndGH χ, χ2y “ xIndGH χ, χ3y “ xIndGH χ, χ4y “ 0, xIndGH χ, χ5y “ 1
と計算できるので，系 7.8から，IndGH C – ρ5 である．つまり，D4 の 2次元既約表現 ρ5 はH の誘導表現として記述できる．それが前回のレジュメに出てきた
ρ : D4 Ñ GL2pCq σ ÞÑ S “
ˆ
0 ´11 0
˙
, τ ÞÑ T “
ˆ
1 00 ´1
˙
.
である．
注意 8.16. pV1, ρ1q, . . . , pVr, ρrqを Gのすべての既約表現（ただし，i ‰ j ならば Vi fl Vj) とする．pV, ρqを Gの表現とすると，Maschkeの定理から，CrGs加群の同型
V – V ‘m11 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ V ‘mr
r pm1, . . . ,mr ě 0q
が存在する．V の指標を χ, V1, . . . , Vr の指標を χ1, . . . , χr とおくと，命題 7.2より，
χ “ m1χ1 ` ¨ ¨ ¨ `mrχr
が成り立つ．また Schurの補題と定理 7.5より，
xχi, χjy “
"
1 pi “ jq0 pi ‰ jq
である．よって tχ1, . . . , χruは，Gの有限次元表現の指標がなす C線型空間の正規直交基底である．特に
χ “
rÿ
i“1
xχ, χiyχi, V –
rà
i“1
V‘xχ,χiyi
である．
H を Gの部分群とし，pW,ρW qを H の表現とする．指標表がわかれば，Vi の制限表現 ResGHVi の指標（制限指標）ResGHχi と W の指標 χW の内積を計算することは容易い．この内積がわかれば，Frobenius相互律により，W の誘導表現 IndGHW の指標（誘導指標）IndGHχW と χi の内積が計算でき，上の議論によって IndGHW の既約分解がわかる．
26
9 第 9回（6月 12日）命題 9.4，定理 9.8は PID上の有限生成加群の場合に拡張できるが，簡単のため有限生成アーベル群の場合のみ考える．
定義 9.1. M をアーベル群とする．x P M が捩れ元 (torsion element) であるとは，xの位数が有限であるとき，つまり
nx “
n 個hkkkkkikkkkkj
x` ¨ ¨ ¨ ` x “ 0
となる n P N が存在するときにいう．M の捩れ元全体の集合を T pMq と表し，M の捩れ部分群(torsion subgroup) という (T pMq が M の部分群であることを確認せよ)．M “ T pMq のとき M
は捩れ群 (torsion group) であるといい，T pMq “ t0uのときM は捩れのない群 (torsionfree group)
とであるという．
注意 9.2. M – N ならば，T pMq – T pNq，M{T pMq – N{T pNqが成り立つことに注意する．
例 9.3. Z,Cは捩れのない群である．Z{nZ,Q{Zは捩れ群である．
命題 9.4. M を有限生成アーベル群とする．
(1) T pMqは有限群である．(2) M – Z‘r ‘ T pMqとなる r P Nが唯一存在する．
証明. (1) アーベル群 “ Z加群であり，Zは PIDなので特にネーター環（ネーター環の定義はレジュメの定義 9.9参照）であることに注意すると，系 9.15よりM はネーター Z加群である．よって T pMq
も有限生成 Z 加群であるので，その生成系を x1, . . . , xr とする．xi P T pMq より，nixi “ 0 となるni P Nが存在する．
T pMq “
#
rÿ
i“1
aixi
ˇ
ˇ
ˇai P Z
+
“
#
rÿ
i“1
aixi
ˇ
ˇ
ˇ0 ď ai ď ni ´ 1
+
となり，|T pMq|は有限である．(2) 略．
補題 9.5. Gを有限アーベル群とし，g0 P Gを最大の位数を持つ Gの元とする．このとき，Gの任意の元の位数は g0 の位数の約数である．
証明. 任意の g1, g2 P G に対し，g1 の位数を n1, g2 の位数を n2 としたとき，gm11 gm2
2 の位数がlcmpn1, n2qと等しくなるような m1,m2 P Nが存在することを示す．というのもこの主張が正しければ，g0 の位数を n0 とし，任意の g P G の位数を n としたとき，ga0gb の位数が lcmpn0, nq と等しくなるような a, b P N が存在する．n0 の最大性から lcmpn0, nq ď n0 となり，最小公倍数の定義からn | n0 を得る．n1, n2 を次のように素因数分解する．
n1 “ pe11 ¨ ¨ ¨ pess , n2 “ pf11 ¨ ¨ ¨ pfss pei, fi P Zě0q.
このとき，ℓ1 “ś
eiěfipeii , ℓ2 “
ś
eiăfipfii とおくと，lcmpn1, n2q “ ℓ1ℓ2 と書ける．ℓ1, ℓ2 の定義か
ら，n1 は ℓ1 で, n2 は ℓ2 で割り切れる．gn1{ℓ11 の位数は ℓ1, g
n2{ℓ22 の位数は ℓ2 であり，ℓ1, ℓ2 は互い
27
に素なので，次の主張を使うと，gn1{ℓ11 g
n2{ℓ22 の位数は ℓ1ℓ2 “ lcmpn1, n2qであることがわかる．
主張. H を有限アーベル群とし，h1, h2 P H とする．h1 の位数を m1，h2 の位数を m2 としたとき，m1 とm2 が互いに素ならば，h1h2 の位数はm1m2 である．
主張の証明. H はアーベル群なので，ph1h2qm1m2 “ hm1m21 hm1m2
2 “ eであり，h1h2 の位数はm1m2
の約数である．よって，h1h2 の位数が a1a2 となるような m1 の約数 a1 と m2 の約数 a2 がとれる．位数の定義から e “ ph1h2qa1a2 であるが，両辺をm1{a1 乗すると（H がアーベル群であることから）e “ ha2m1
1 ha2m12 “ ha2m1
2 となる．従って，h2 の位数m2 は a2m1 の約数であるが，m1 とm2 は互いに素なので，m2 “ a2 とならざるを得ない．同様にして，m1 “ a1 も得る．つまり，h1h2 の位数はm1m2 である．
補題 9.6. H を有限アーベル群 Gの部分群とする．H の任意の 1次元表現 ρ : H Ñ Cˆ は，Gの 1
次元表現 ρ : G Ñ Cˆ に拡張できる (任意の h P H に対し ρphq “ ρphqとなるような Gの 1次元表現ρ : G Ñ Cˆ が存在する)．
証明. G ‰ H とし，任意の元 a P GzH をとる．ρ : H Ñ Cˆ は xH, ay上の 1次元表現 ρa : xH, ay Ñ
Cˆ に拡張できることを示せばよい．なぜなら Gは有限群なので，この操作を有限回繰り返せば，ρをG上の 1次元表現 ρ : G Ñ Cˆ に拡張できる．aH P G{H の位数を iaとする．iaは ai P H となる最小の i P Nであることに注意する．ia次多項式
zia “ ρpaiaqの根を 1つとり，ξa P Cˆとおく．このとき，ρa : xH, ay Ñ Cˆを ρaphajq “ ρphqξja ph P
H, j P Zq と定義すると，ρa は well-defined である．実際，haj “ h1aj1ph, h1 P H, j, j1 P Zq とする
と，aj´j1“ h´1h1 P H より，ia の定義から j ´ j1 は ia で割り切れる．よって，j1 “ j ` iaq pq P Zq
と表すことができ，h “ h1aj1´j “ h1aiaq と書ける．このとき，
ρph1qξj1
a “ ρph1qξj`iaqa “ ρph1qξjapξiaa qq “ ρph1qξjaρpaiaqq “ ρph1aiaqqξja “ ρphqξja
となり，ρa は well-defined. ρa が群準同型であることは定義から明らかなので，ρa は xH, ayの 1次元表現である．
命題 9.7. Gを有限アーベル群とし，g P Gを最大の位数を持つGの元とする．このとき，G – Hˆxgy
となる Gの部分群 H が存在する．
証明. g の位数を nとし，ρ : xgy Ñ C gj ÞÑ e2πj
?´1{n
という xgy の 1 次元表現を考える．補題 9.6 より，ρ は G の 1 次元表現 ρ : G Ñ Cˆ に拡張できる．H “ ker ρとおく．任意の a P G に対し，補題 9.5 より an “ e が成り立つので，ρpaqn “ ρpanq “ 1．よって，
µn :“ tz P C | zn “ 1uとおくと，Im ρ Ď µn である. 一方，ρの定義から Im ρ “ µn なので，任意のa P Gに対し ρpaq “ ρpgiaqとなる ia P Nがとれる．h :“ ag´ia とおくと，ρphq “ ρpaqtρpgiaqu´1 “ 1
より，h P H．従って，a “ hgia P Hxgyとなり，G “ Hxgyが成り立つ．ρは単射なので，HXxgy “ teu
であることに注意すると，命題 2.13から G – H ˆ xgyが従う．
定理 9.8. Gを非自明な有限生成アーベル群とする．このとき，
G – Z{n1Z ˆ Z{n2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZ ˆ Zr かつ n1 | n2 | ¨ ¨ ¨ | nt
28
となる自然数 n1, . . . , nt ě 2と非負整数 r が唯一組存在する．
証明.（存在）命題 9.4 より，G が有限アーベル群の場合に示せばよい．|G| に関する帰納法で示す．|G| “ 2の場合は系 2.9より明らか．|G| ą 2とする．Gの元の最大の位数を nとすると，命題 9.7より，G – H ˆ Z{nZと分解できる. H が自明群であれば，G – Z{nZとなり，主張を得る．そこで H
を非自明な群とする．|H| ă |G|より，帰納法の仮定から，
H – Z{n1Z ˆ Z{n2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{nt´1Z かつ n1 | n2 | ¨ ¨ ¨ | nt´1
となる自然数 n1, . . . , nt´1 ě 2が存在する．h P H を p0, . . . , 0, 1q P Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{nt´1Zに対応する元とすると，hの位数は nt´1 である．よって補題 9.5より，nt´1 は nの約数である．以上より，n “ nt とおけば，主張を得る．（一意性）
G – Z{n1Z ˆ Z{n2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZ ˆ Zr p2 ď n1 | n2 | ¨ ¨ ¨ | ntq
– Z{m1Z ˆ Z{m2Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{msZ ˆ Zq p2 ď m1 | m2 | ¨ ¨ ¨ | msq
と 2通りに分解できたとする．命題 9.4から，r “ q であることが直ちにわかる．従って，Gを T pGq
に置き換えて，Gは有限アーベル群である，つまり r “ q “ 0と仮定して良い．|G|に関する帰納法で示す．|G| “ 2の場合は s “ t “ 1, n1 “ m1 “ 2となり明らか．|G| ą 2とする．pを n1 の素因子の1つとし，pはmi を割り切らず，mi`1 を割り切るとする．このとき 1つ目の分解から，
Grps : “ tx P G |xp “ eu
– tpa1, . . . , atq P Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZ |nj | paj pj “ 1, . . . , tqu
“ tpb1n1{p, . . . , btnt{pq P Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZ | 0 ď bj ď p´ 1 pj “ 1, . . . , tqu
となり，|Grps| “ pt を得る．一方 2番目の分解から，Grpsは
tp0, . . . , 0, ai`1, . . . , asq P Z{m1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{msZ |mj | paj pj “ i` 1, . . . , squ
“tp0, . . . , 0, bi`1mi`1{p, . . . , bsms{pq P Z{m1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{msZ | 0 ď bj ď p´ 1 pj “ i` 1, . . . , squ
と同型であり，|Grps| “ ps´i を得る．よって，t ď sである．q を m1 の素因子の 1つとし，q は ni1
を割り切らず，mi1`1 を割り切るとする．このとき上と同様の議論を行うと，t ě sが得られるので，結局 t “ sで, pはm1 を割り切る．ここで，1番目の分解を使うと，
Im rps :“ txp |x P Gu
– tppa1, . . . , patq | pa1, . . . , atq P Z{n1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{ntZu
– Z{pn1{pqZ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{pnt{pqZ
であり，2番目の分解を使うと，
Im rps – tppa1, . . . , patq | pa1, . . . , atq P Z{m1Z ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{mtZu
– Z{pm1{pqZ ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{pmt{pqZ
である．帰納法の仮定を部分群 Im rpsに適用して，nj{p “ mj{p，つまり nj “ mj pj “ 1, . . . , tqを得る．
命題 9.4を示す上で，ネーター性という概念が有用である．
定義 9.9. Rを環とし，M を R加群とする．
29
(i) M の部分R加群がすべて有限生成であるとき，Rをネーター加群 (Noetherian module) という．(ii) 環 Rを R加群とみたときネーター加群になるならば，つまり，Rのイデアルがすべて有限生成ならば，Rをネーター環 (Noetherian ring) という．
注意 9.10. Rをネーター環とする．このとき，Rのイデアルの任意の昇鎖列
I1 Ă I2 Ă ¨ ¨ ¨ Ă In Ă ¨ ¨ ¨
は有限回で停止する．つまり，ある自然数 nが存在して，In “ In`1 “ ¨ ¨ ¨ となる．実際，I :“Ť
ně1 In
とおくと，I も R のイデアルなので，R のネーター性から有限生成である．よって x1, . . . , xr P I が存在して，I “
řri“1Rxi と書ける．I の定義から，任意の i “ 1, . . . , r に対し ni P N が存在して，
xi P Ini. ここで n :“ max
1ďiďrni とおくと，I “ In，つまり In “ In`1 “ ¨ ¨ ¨ “ I が成り立つ．
逆に Rのイデアルの任意の昇鎖列が有限回で停止すれば，Rはネーター環である．
例 9.11. (1) Rを PIDとすると，Rのイデアルはすべて単項生成なので，特に有限生成である．よって Rはネーター環である． (2) 体 k 上の無限変数多項式環 krX1, X2, . . . sはネーター環ではない．
定義 9.12. R加群の列¨ ¨ ¨ Ñ Mi`1
di`1ÝÝÝÑ Mi
diÝÑ Mi´1 Ñ ¨ ¨ ¨
を考える．ただし，任意の iに対し，Mi は R加群，di :Mi Ñ Mi´1 は R準同型とする．この列が完全列 (exact sequence) とは，任意の iに対し，ker di “ Im di`1 が成り立つときにいう．
注意 9.13. 0 Ñ Nf
ÝÑ M が完全であることと f が単射は同値．M gÝÑ N Ñ 0が完全であることと g
が全射は同値．
命題 9.14. R加群の完全列M1
fÝÑ M2
gÝÑ M3
を考える．M1,M3 がネーター R加群ならば，M2 もネーター R加群である．
系 9.15. Rをネーター環とし，M を有限生成 R加群とする．このとき，M はネーター加群である．
定理 9.16 (Hilbertの基底定理). Rをネーター環とする．このとき，RrXsおよび RrrXssもネーター環である．特に，体 k 上の多項式環 krX1, . . . , Xns, 形式的べき級数環 krrX1, . . . , Xnssはネーター環である．
10 第 10回（6月 19日）定義 10.1. nを自然数，kを体とする．GLpn, kqを kに成分を持つ n次正則行列全体がなす群とする．
SLpn, kq “ tA P GLpn, kq | detA “ 1u,
SUpnq “ tA P SLpn,Cq | A˚A “ AA˚ “ Enu,
SOpn,Rq “ tA P SLpn,Rq | tAA “ AtA “ Enu
と SLpn, kq, SUpnq，SOpn,Rqを定義する．ただし，tAは Aの転置行列，A˚ は Aの随伴行列を表すとする．SUpnqは SLpn,Cqの部分群，SOpn,Rqは SLpn,Rqの部分群である．
30
命題 10.2. Gを SLpn,Cqの有限部分群とする．このとき，
T´1GT “ tT´1gT | g P Gu Ă SUpnq
となる T P SLpn,Cqが存在する．特に，SLpn,Cqの有限部分群は SUpnqの部分群と同型である．
以下，n “ 2の場合を考える．この節の目的は，SLp2,Cqの有限部分群を分類することである．命題 10.2より，SUp2qの部分群を分類すればよい．
定義 10.3. pC “ C Y t8uとおく．任意の
˜
a b
c d
¸
P GLp2,Cqに対し，Aに付随する一次分数変換
(Mobius transform) FA : pC Ñ pCを
FA : pC Ñ pC; z ÞÑaz ` b
cz ` d
と定義する．ただし，c ‰ 0のとき FAp´d{cq “ 8, FAp8q “
#
a{c pc ‰ 0q
8 pc “ 0qとおく．
定理 10.4. 写像
F : GLp2,Cq Ñ Autp pCq “ tg : pC Ñ pC | g は全単射 u; A ÞÑ FA
は群準同型であり，次を満たす．
(1) F pSUp2qq – SOp3,Rq.
(2) kerF |SUp2q “ t˘E2u.
定理 10.4より，2対 1の群準同型 rF : SUp2q Ñ SOp3,Rqが存在する． rF は次のように具体的に記述することができる．S2 を R3 内の原点を中心とする単位球面，つまり，
S2 “ tpx, y, zq P R3 | x2 ` y2 ` z2 “ 1u
とすると，立体射影 (stereographic projection) によって自然な全単射 pC Ñ S2 が得られる．この全単射によって pC と S2 を同一視すると，一次分数変換 FA は AutpS2q の元とみなせる．さらにFA : S2 Ñ S2 は，
rFA : R3 Ñ R3;ÝÝÑOP ÞÑ |
ÝÝÑOP | ¨ FA
ˆ
1
|ÝÝÑOP |
ÝÝÑOP
˙
と定義することで，AutpR3qの元 rFA に拡張できる．Aが SUp2qの元であるとき，rFA は SOp3,Rqの元であることが確認でき，この対応で rF を定義する．つまり，
rF : SUp2q Ñ SOp3,Rq; A ÞÑ rFA
である．定理 10.4 (1) は，この写像が全射であることを主張している．
定理 10.5. SOp3,Rqの有限部分群は，以下のいずれかと同型である．
(a) 巡回群 µn（位数は n）(b) 二面体群 Dn（位数は 2n）(c) 正四面体群 (tetrahedral group) T（位数は 12）(d) 正八面体群 (octahedral group) O（位数は 24）(e) 正二十面体群 (icosahedral group) I（位数は 60）
31
ここで，正 n面体群とは，重心が原点にあるような正 n面体をそれ自身に重ねるような SOp3,Rqの元全体のなす部分群である（SOp3qの任意の元は軸を持つ回転であることに注意する）．
定理 10.6. SUp2qの有限部分群は，以下のいずれかと同型である．
(a) 巡回群 µn（位数は n）(b) 二項二面体群 (binary dihedral group) D2n “ rF´1pDnq（位数は 4n）(c) 二項正四面体群 (binary tetrahedral group) T “ rF´1pT q（位数は 24）(d) 二項正八面体群 (binary octahedral group) O “ rF´1pOq（位数は 48）(e) 二項正二十面体群 (binary icosahedral group) I “ rF´1pIq（位数は 120）
定理 10.6は，定理 10.5と次の命題から導かれる．
命題 10.7. Gを G X ker rF “ tEnuとなるような SUp2qの有限部分群とする．このとき，Gの位数は奇数である．
定理 10.8 (Sylowの定理 1). Gを有限群，pを素数する．|G| “ mpe（mは pで割り切れない自然数）と表されるとき，Gは位数 pe の部分群を持つ．このような部分群を p-Sylow部分群という．
命題 10.7は次の Sylowの定理の系から直ちに従う．
系 10.9. Gを有限群，pを素数する．Gの位数が pで割り切れるならば，Gは位数 pの元を持つ．
11 第 11回（6月 26日）定理 11.1. G Ă SLp2,Cqを非自明な有限部分群とする．Gは次の 5種類の部分群のいずれかと共役である．ただし，ξm は 1の原始m乗根とする．
pAn型 q 位数 n` 1の巡回群 (n ě 1)
µn`1 “
Bˆ
ξn`1 00 ξ´1
n`1
˙F
pDn型 q 位数 4n´ 8の二項正二面体群 (n ě 4)
D2n´4 “
Bˆ
0?
´1?´1 0
˙
,
ˆ
ξ2n´4 00 ξ´1
2n´4
˙F
pE6型 q 位数 24の二項正四面体群
T “
B
1?2
ˆ
ξ8 ξ38ξ8 ξ78
˙
,D4
F
pE7型 q 位数 48の二項正八面体群
O “
Bˆ
ξ38 00 ξ58
˙
,TF
pE8型 q 位数 120の二項正二十面体群
I “
B
1?5
ˆ
ξ45 ´ ξ5 ξ25 ´ ξ35ξ25 ´ ξ35 ξ5 ´ ξ45
˙
,1
?5
ˆ
ξ25 ´ ξ45 ξ45 ´ 11 ´ ξ5 ξ35 ´ ξ5
˙F
32
定義 11.2. G Ă GLp2,Cqを有限部分群とする．V0, V1, . . . , Vr を Gの C上の既約表現の同値類の完全代表系とし（V0 を自明表現とする），W “ C2 を表現 G ãÑ GLp2,Cqの表現空間とする．このとき，McKay箙 (McKay quiver) を次のように定義する．
(a) 各 Vi を箙（グラフ）の頂点とする．(b) Vi から Vj にmij 本の矢を描く（相異なる 2本の矢が交わらないように描くこと）．ただし，mij
はW b Vj における Vi の重複度，つまり
W b Vj – V‘m0j
0 ‘ V‘m1j
1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ V ‘mrjr
によって定義される非負整数である．χi を Vi の指標，χW をW の指標とすると，
mij “ xχi, χWχjy “1
|G|
ÿ
gPG
χipgqχW pg´1qχjpg´1q
と表すことができる．
定理 11.3. 自明表現 V0 以外の頂点には表現の次元を書くことにすると，定理 11.1の GのMcKay箙はそれぞれ次のようになる．
pAn型 q 頂点は n` 1個 pn ě 1q
V0
ww ''1
77
// 1oo // ¨ ¨ ¨oo // 1 //oo 1
gg
oo
pDn型 q 頂点は n` 1個 pn ě 4q
V0
��
1
��2
__
~ ~
// 2 //oo ¨ ¨ ¨oo // 2 //oo 2
@@
��
oo
1
>>
1
^^
pE6型 q 頂点は 7個V0
��2
OO
��1 // 2oo // 3oo //
OO
2 //oo 1oo
pE7型 q 頂点は 8個
2
��V0 // 2oo // 3oo // 4oo //
OO
3oo // 2oo // 1oo
33
pE8型 q 頂点は 9個
3
��V0 // 2oo // 3oo // 4oo // 5oo // 6oo //
OO
4oo // 2oo
定義 11.4. GLp2,Cqは次のように 2変数多項式環 CrX,Y sに作用する．
GLp2,Cq ˆ CrX,Y s Ñ CrX,Y s
ˆ
A “
ˆ
a bc d
˙
, f
˙
ÞÑ fA :“ fpaX ` bY, cX ` dY q
GLp2,Cqの有限部分群 Gに対し，
CrX,Y sG “ tf P CrX,Y s | fA “ f p@A P Gqu
と定義すると，CrX,Y sG は CrX,Y s の部分環になる．CrX,Y sG を G による CrX,Y s の不変式環(invariant subring) という．
定理 11.5. G Ă SLp2,Cqを非自明な有限部分群とする．Gによる CrX,Y sの不変式環 CrX,Y sG は
CrT1, T2, T3s{pP pT1, T2, T3qq
という形の環と同型であり，以下の表のように分類される．
型 群 G 方程式 P
An µn`1 T 21 ` T 2
2 ` Tn`13 pn ě 1q
Dn D2n´4 T 21 ` T 2
2 T3 ` Tn´13 pn ě 4q
E6 T T 21 ` T 3
2 ` T 43
E7 O T 21 ` T 3
2 ` T2T33
E8 I T 21 ` T 3
2 ` T 53
代数幾何学では環を図形とみなす．この 5 種類の環を Klein 特異点 (Kleinian singlarity) もしくはDu Val特異点 (Du Val singularity) という．
12 第 12回（7月 3日）定義 12.1. 多項式 0 ‰ f P Crx1, . . . , xnsを写像 f : Cn Ñ Cとみなし，
H “ f´1p0q “ ta P Cn | fpaq “ 0u
を f で定義される Cn の超曲面 (hypersurface) という．a “ pa1, . . . , anq P H に対し，
Bf
Bx1paq “ ¨ ¨ ¨ “
Bf
Bxnpaq “ 0
が成り立つとき，H は aで特異点 (singularity) を持つと定義する．特異点が存在しないとき，H は非特異 (nonsingular) であるという．
例 12.2. 定理 11.5の多項式 P P CrT1, T2, T3sで定義される超曲面 X “ P´1p0q Ă C3 は，原点 O でのみ特異点を持つ．
34
定義 12.3. C上の射影空間 (projective space) PnC とは，pn` 1q個の Cの元の比
ra0 : a1 : ¨ ¨ ¨ : ans pa0, a1, . . . , an P C, pa0, a1, . . . , anq ‰ p0, 0, . . . , 0qq
全体の集合である．つまり，
ra0 : ¨ ¨ ¨ : ans “ rb0 : ¨ ¨ ¨ : bns ðñ Dλ P Cˆ, ai “ λbi p0 ď @i ď nq.
Ui “ tra0 : ¨ ¨ ¨ : ans P PnC | ai ‰ 0uとすると，Pn
C “Ťn
i“0 Ui であり，
φi : Ui Ñ Cn ra0 : ¨ ¨ ¨ : ans ÞÑ
ˆ
a0a1, . . . ,
|aiai, . . . ,
anai
˙
は全単射である．つまり，PnC は n` 1個の Cn を貼り合わせたものになっている．
定義 12.4. Cn の原点 O でのブローアップ (blow-up) π : BlO Cn Ñ Cn を次のように定義する．
BlO Cn “␣
ppx1, . . . , xnq, rt1 : ¨ ¨ ¨ : tnsq P Cn ˆ Pn´1 | xitj ´ xjti “ 0 p1 ď @i, j ď nq(
,
π : BlO Cn Ñ Cn; ppx1, . . . , xnq, rt1 : ¨ ¨ ¨ : tnsq ÞÑ px1, . . . , xnq.
原点 O の逆像 E “ π´1pOq “␣
pp0, . . . , 0q, rt1 : ¨ ¨ ¨ : tnsq | rt1 : ¨ ¨ ¨ : tns P Pn´1(
Ă BlO Cn を π の例外因子 (exceptional divisor)*1という．E は Pn´1
C と同一視される．
命題 12.5. ブローアップ π : BlO Cn Ñ Cn について次が成り立つ．
(1) Ui “ trt1 : ¨ ¨ ¨ : tns P Pn´1C | ti ‰ 0uとし，Vi “ BlO Cn X pCn ˆ Uiq Ă Cn ˆ Pn´1 とおくと，
ψi : Cn Ñ Vi; pti1, . . . , xi, . . . , tinq ÞÑ ppti1xi, . . . , xi, . . . , tinxiq, rti1 : ¨ ¨ ¨ : 1 : ¨ ¨ ¨ : tinsq
は全単射である．BlO Cn “Ťn
i“1 Vi より，BlO Cn は n個の Cn を貼り合わせたものになっている．
(2) π|BlO CnzE : BlO CnzE Ñ CnztOuは全単射である．(3) O P H Ă Cn を，f P Crx1, . . . , xnsで定義される，原点 O を含む超曲面とする．
fpti1xi, . . . , xi, . . . , tinxiq “ xmi fipti1, . . . , xi, . . . , tinq, xi ∤ fipti1, . . . , xi, . . . , tinq
となるように多項式 fi P Crti1, . . . , xi, . . . , tinsをとり，
V pfiq “ f´1i p0q “ tpa1, . . . , anq P Cn | fipa1, . . . , anq “ 0u Ă Cn
とおく．BlO Cn の中で V pfiq達を貼り合わせてできる図形をH の厳密変換 (strict transform)
といい， rH（もしくは π´1˚ H）で表す．つまり，
rH “
nď
i“1
ψipV pfiqq Ă BlO Cn.
(4) π´1pHq “ rH Y E である. π´1pHqを H の全変換 (total transform) という．(5) π|
ĂH: rH Ñ H は原点 O P H 以外では全単射であり，π|´1
ĂHpOq “ E X rH. π|
ĂHを H の原点 O
でのブローアップという．
注意 12.6. (1) 原点以外の点でのブローアップも同様に定義できる．(2) rH は V pfiq達を貼り合わせたものなので，超平面 V pfiq Ă Cn の特異点を rH の特異点とみなす．
*1 n “ 2のときは例外曲線 (exceptional curve) ともいう
35
命題 12.7. X “ P´1p0q Ă C3 を定理 11.5 の多項式 P P CrT1, T2, T3s で定義される超曲面とする．X のブローアップを有限回繰り返すことで，特異点のない図形が得られる．
Xnπn
ÝÝÑ Xn´1πn´1
ÝÝÝÑ ¨ ¨ ¨π2
ÝÑ X1π1
ÝÑ X “ P´1pOq Ă C3（πi はある点でのブローアップ）
このようなブローアップの合成を X の特異点解消 (resolution of singularities) という．特異点解消は一意には定まらないが（ブローアップのとり方による），「無駄のない」(=無駄なブローアップを省いた）特異点解消が（同型を除いて）唯一つ存在する．このような特異点解消を X の最小特異点解消(minimal resolution) という．
定義 12.8. X “ P´1p0q Ă C3 を定理 11.5 の多項式 P P CrT1, T2, T3s で定義される超曲面とし，π : Y Ñ X を最小特異点解消とする．例外曲線 E “ π´1pOq “
Ť
iEi の双対グラフ (dual graph) を次のように定義する．
(a) 各 Ei をグラフの頂点⃝に対応させる．(b) Ei と Ej が交わっているとき，Ei, Ej に対応する頂点を線で結ぶ．
この例外曲線の双対グラフのことを，X に対応する Du Val 特異点の特異点解消グラフ (resolution
graph) ともいう.
定理 12.9. Du Val特異点の特異点解消グラフは次のようになる．
pAn型 q 頂点は n個 pn ě 1q
⃝ ⃝ ¨ ¨ ¨ ⃝ ⃝
pDn型 q 頂点は n個 pn ě 4q
⃝
⃝ ⃝ ¨ ¨ ¨ ⃝ ⃝ ⃝
pE6型 q 頂点は 6個⃝
⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝
pE7型 q 頂点は 7個⃝
⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝
pE8型 q 頂点は 8個
⃝
⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝ ⃝
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定理 12.10 (McKay対応). G Ă SLp2,Cqを非自明な有限部分群とし，R “ CrX,Y sG を GによるCrX,Y sの不変式環とする．Du Val特異点 Rの特異点解消グラフは，GのMcKay箙から自明表現に対応する頂点を取り除いたものと一致する（Ôを辺とみなす）．
参考文献[1] 松澤淳一, 『特異点とルート系』, 朝倉書店 (2002).
[2] 伊藤由佳理, マッカイ対応, 第 6回城崎新人セミナー報告集 (2009),
https://drive.google.com/file/d/1vF9IlIVtJFkxujrTFGKAejquSV20npnO/view
[3] G. Leuschke and R. Wiegand, Cohen-Macaulay Representations, American Mathematical
Society (2012).
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