217160428-Analisis-Vektor.pdf

7/21/2019 217160428-Analisis-Vektor.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/217160428-analisis-vektorpdf 1/36

1

TEKNIK DAN PRAKTIKUM TEGANGAN TINGGI

ELEKTROMAGNETIK

BAB I

ANALISIS VEKTOR

Nama Anggota : 1. Adi Putra Utama

2. Adri Pribagusdri

3. Ainun Nidhar

Kelas : 4E

TEKNIK KONVERSI ENERGI

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA

MARET, 2014



2

Analisis vektor adalah sebuah topik yang sebenarnya lebih cocok di jelaskan oleh para

matematikawan. Sebagian besar mahsiswa jurusan teknik mempelajari mata kuliah analisis

vektor secara lebih mendalam. Analisis vektor adalah sebuah topik matematika yang masih

relatif „mudah‟. Topik ini menggunakan sejumlah simbol baru, sejumlah aturan bar u, dan

penuh jebakan ketelitian.

A. Skalar dan Vektor

Skalar merupakan sebuah besaran (kuantitas) yang nilainya dapat di persentasikan oleh

sebuah bilangan nyata tunggal (positif maupun negatif). Variabel-variabel x, y dan z di

gunakan dalam aljabar dasar adalah skalar-skalar. Tegangan listrik juga merupakan sebuah

besaran skalar.

Sebuah besaran skalar memiliki sebuah magnitudo dan sebuah arah di dalam ruang

berdimensi dua dan berdimensi tiga. Gaya, kecepatan, percepatan adalah contoh-contoh

besaran vektor.

B. Aljabar Vektor

Seperti halnya aljabar skalar, aljabar vektor juga memiliki aturan-aturan sendiri dalam

pengoperasiannya.

B A+B

A A A+B

B

Gambar B.1 Dua buah vektor dapat dijumlahkan secara grafis entah dengan

menggambarkan keduanya bermula dari satu titik awal yang sama, kemudian membentuk sebuah jajaran genjang dari gambar tersebut, ataupun dengan menggambarkan kedua vektor

bermula di titik ujung vektor pertama dan kemudian membentuk sebuah segitiga dari kedua

vektor.

Gambar B.1 mengilustrasikan penjumlahan dua buah vektor, yaitu A dan B. Dapat

diperhatikan dengan jelas bahwa A + B = B + A, atau bahwa operasi penjumlahan vektor

mengikuti hukum komutatif. Penjumlahan vektor juga memenuhi hukum asosiatif.

A + (B+C) = (A+B) + C



3

Aturan untuk operasi pengurangan vektor dapat diturunkan secara sederhana dari aturan

penjumlahan vektor-vektor karena, kita dapat menuliskan A - B sebagai A + (-B) ; tanda

negatif untuk vektor B mengindikasikan bahwa vektor ini di balik arahnya, dan selanjutnya

vektor ini dapat dijumlahkan dengan vektor A dengan cara seperti di atas.

Sebuah vektor dengan sebuah skalar mengikuti pola hukum asosiatif dan hukum distributif

dari aljabar skalar, sehingga kita dapat mengetahui bahwa

(r + s )(A + B) = r (A + B) + s (A + B) = r A + r B + s A + s B

C. Sistem Koordinat Persegi

Dengan sistem koordinat persegi, kita menarik 3 buah garis sumbu yang saling tegak

lurus antara satu sama lainnya, dan menamakan masing-masing sumbu ini x, y, z . Pendekatan

yang paling umum adalah memilih sistem koordinat yang berorientasi – tangan kanan; yaitu

dimana perputaran sumbu x (sejauh sudut yang tidak terlalu besar) menuju sumbu y akan

mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi – tangan kanan kita sebagai patokannya, maka ibu

jari, jari telunjuk, dan jari tengah masing-masing mengindikasikan sumbu x, y, dan z secara

berturut-turut.

Gambar C.1a menggambarkan sebuah sistem koordinat persegi berorientasi – tangan

kanan. Gambar C.1b memperlihatkan titik-titik P dan Q yang masing-masingnya secara

berturut-turut memiliki koordinat (1, 2, 3) dan (2, -2, -1). Titik P dengan demikian adalah

lokasi perpotongan antara bidang x = 1, bidang y = 2, dan bidangn z = 3, sedangkan titik Q

adalah lokasi perpotongan bidang-bidang x = 2, y = -2, dan z = 1.

Gambar C.1 (a) sebuah sistem koordinat berorientasi tangan kanan. Jika jari tangan tangan

yang melengkung ke dalam mengindikasikan arah perputaran sumbu x menuju sumbu y,

maka ibu jari menunjukan arah sumbu z

(b) lokasi titik-titik P (1, 2, 3) dan Q (2, -2, -1)



4

(c) elemen volume diferensial di dalam sistem koordinat persegi : dx, dy, dan dz secara

umum adalah besaran-besaran defensial yang saling independen.

D. Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan

Untuk menjabarkan sebuah vektor di dalam sistem koordinat persegi, marilah terlebih

dulu kita memeperhatikan sebuah vektor r, yang bermula di titik pusat koordinat dan

mengarah keluar menjauhinya. Satu cara yang cukup logis untuk memberi identitas pda

vektor ini adalah dengan „memberikannya‟ tiga buah vektor komponen yang masing-

masingnya memiliki arah sejajar dengan salah satu dari ketiga sumbu koordinat, dimana

jumlah ketiganya adalah sama dengan vektor tersebut. Apabila vektor-vektor komponen r

adalah x , y , dan z maka r = x + y + z .

Gambar D.1 (a) vektor-vektor komponen x, y, dan z untuk vektor r

(b) vektor-vektor satuan di dalam sistem koordinat persegi memiliki magnitudo

sebesar satu dan arah yang sama dengan sumbu terkait

(c) vektor R PQ sama denga slisih vektor r Q - r P

Sebuah vektor r P yang berawal dari titik pusat koordinat menuju P (1, 2, 3) akan

dituliskan sebagai r P = a x + 2a y + 3a z . Sebuah vektor dari titik P ke titik Q dapat ditentukan

dengan menerapkan aturan penjumlahan vektor. Aturan ini memperlihatkan kepada kita

bahwa vektor dari titik pusat ke P yang kemudian ditambahkan dari vektor P ke Q akan sama

dengan vektor dari titik pusat ke Q. Oleh karenya, vektor dari P (1, 2, 3) ke Q (2, -2, 1) yang

kita inginkan adalah

R PQ = rQ – r P = (2 - 1)a x + (-2 - 2)a y + (1 - 3)a z

= a x – 4a y – 2a z



5

Skalar-skalar komponen akan dijadikan sebagai magnitudo dan vektor-vektor komponen.

Dengan penotasian ini, kita dapat menuliskan F = Fx ax + Fy ay + Fz az . Ketiga vektor

komponen bagi F, dengan demikian adalah Fx ax , F

y ay , F

z az .

Sembarang vektor B kemudian dapat dituliskan sebagai B = B xa x + B ya y + B z a z .

Magnitudo vektor B ini, dituliskan sebagai |B| atau B saja, dapat dihitung dengan rumus :

|B| =

Sebuah vektor satuan kea rah r adalah r/ , dan sebuah vektor satuan yangmemiliki arah yang sama dengan vektor B adalah

a B =

=

Contoh 1.1Tuliskan sebuah vektor satuan yang mengarah dari titik pusat ketitik G ( 2,-2,-1)

Pemecahan , pertama tama kita menentukan vektor yang berawal di titikpusat menuju titik G,

G = 2a x- 2ay-az

Kemudian kita melanjutkan dengan menghitung magnitudo G,

|G| = = 3

Dan akhirnya, kita menuliskan vektor satuan yang diinginkan sebagai

aG =

= a x -

ay -

az = 0,667 a x - 0,667ay - 0,333az

D1.1 jika diketahui titk titik M (-1, 2, 1), N (3,-3,0) dan P (-2, -3, -4), tentukanlah :

(a) R MN, (b)R MN +R MP, (c) |rM|, (d) aMP. (e) |2rP – 3r N|

Jawaban (a) 4ax – 5ay – az ; (b) 3ax – 10 ay – 6az ; (c) 2,45 ;(d) -0,14 ax – 0,7 ay –

0,7az ; (e) 15,56



6

Jawab:

a) R M + R MN = R N

R M N = R N - R M

= [3 – (-1)]a x + [-3-2]a y + [0-1]a z

R MN = 4a x – 5a y – a z

b) R P – R M = [-2-(-1)]a x + [-3-2]ay + [-4-1]az

= -a x – 5a y – 5a z

Sehingga

R MN + R MP = (4a x – 5ay – az) + (-a x – 5ay – 5az)

= {4 + (-1)} a x + {-5 +(-5)} a y + {-1 +(-5)} az

= 3a x – 10a y – 6a z

c) |r M | = = 2,45

d) a MP =

=

= -0,14a x – 0,7ay – 0,7az

e) *2r P = 2[-2a x – 3a y – 4a z ]

= -4a x – 6a y – 8a z

*3r N = 3[3a x – 3a y]

= 9a x – 9a y

*2r P – 3r N = (-4a x – 6a y – 8a z ) – (9a x – 9a y)

= {-4 - 9} a x + {-6 +(-9)} a y + {-8 + 0} az

= -13a x – 3a y -8a z

*|2r P – 3r N | = = 15,57



7

E. Medan Vektor

Kita telah mengidentifikasikan medan vektor sebagai suatu fungsi dari sebuah vektor

posisi. Secara umum magnitudo dan arah fungsiakan berubah dari satu titik ke titik lainya di

dalam ruang, dan magnitudo dan arah ini langsung pada nilai nilai koordinat dititik yang

berangkutan . Karena sejauh ini kita hanya membicarakan sistem koordinat persegi saja,

maka kita boleh menyimpulkan bahwa nilai magnitudo dan arah medan vektor ditentukan

oleh variabel variabel x,y, dan z.

Apabila sekali lagi kita mempresentasikan vektor posissi sebagai r, maka medan vektor G

dapat dinyatakan dalam notasi fungsioal sebagai G (r); dibandingkan dengan medan skalar T

yang dituliskan sebagai T (r).

Jawab :

a) S = { }

S = { }

S = 5,95 (a x + 2ay + 4az) = 5,95a x + 11,9ay + 23,8az

b) aS =

=

= 0,218a x + 0,436ay + 0,873az

D1.2 sebuah medan vektor S dinyatakan dalam sistem koordinat persegi sebagai

S = {125 /[( x – 1)2 + ( y – 2 )2 + ( z + 1)2 ]} {( x – 1)a x + ( y – 2 )a y + ( z + 1)a z }.

(a)

Tentukan nilai dan arah S dititik P (2,4,3) ; (b) carilah sebuah persamaan vektor satuan

yang memiliki arah sama dengan S dititik P ; (c) tulislah sebuah permukaan F (x,y,z)

dimana |S |=1

Jawaban (a) 5,95a x + 11,90 a y + 23,8 a z ; (b) 0,218 a x + 0,436a y + 0,873a z ;

(c) 125



8

c) 125

F. Hasil Kali Titik

Untuk dua buah vektor A dan B hasil kali titik (dot produk) atau hasil kali skala ke dua

vektor di definisikan sebagai penghasil perkalian antara magnitudo A , magnitudo B dan hasil

cosinus dari sudut lancip yang diapit oleh keduanya.

A . B = |A| |B| cos θAB

Notasi titik yang melambangkan operasi ini muncul diantara kedua vektor, dan harusdituliskan tebal untuk menekan maknanya. Hasil dari operasi perkalian titik, atau perkalian

skalar, ini adalah sebuah nilai skalar sebagaimana disiratkan oleh salah satu namanya dan

perkalian ini mematuhi hukum komutatif

A . B = B . A

Karena tanda positif atau negatif di depan sudut apit tidak akan mempengaruhi nilai

cosinusnya, persamaan A . B dibaca sebagai “A titik B “ atau “A dot B”

Menentukan sudut apit antara dua buah vektor didalam ruang tiga dimensi adalah sebuah

pekerjaan yang sebaiknya dihinndari, dan untuk alassan ini, maka didefinisi hasil kali. Bentuk

ruang tiga dimensi biasanya tidak menggunakan bentuk umumnya. Bentuk yang lebih

memudahkan dapat diturunkan dengan bantuan dua buah vektor yang telah diuraikan menjadi

komponen-komponen koordinat perseginya, seperti misalnya A = A xa x + A ya y + A z a z , dan B

= B xa x + B ya y + B z a z . Karena hasil kali titik mematuhi hukum distributif A . B akan

menghasilkan penjumlahan. Sembilan buah suku skalar, dimana masing-masing suku ini

melibatkan perkalian titik dua vektor satuan dasar. Karena sudut apit antara dua buah vektor

satuan dasar yang berbeda adalah 900.

a x . a y = a y . a x = a x . a z = a z . a x = a y . a z = a z . a y = 0

Tiga suku selebihnya melibatkan perkalian titik antara dua vektor satuan dasar yang sama

atau perkalian titik sebuah vektor satuan dasar dengan dirinya sendiri, yang menghasilkan

nilai skalar satu. Hasil akhirnya dengan demikian adalah



9

A . B = A xB x + A yB y + A z B z

Yang merupakan sebuah persamaan tanpa sudut apit.

Sebuah vektor yang dikalikan titik dengan dirinya sendiri akan menghasilkan sebuah nilai

skalar yang adalah kuadrat dari magnetudonya, atau

A . A = A2= |A|

2

Dan vektor satuan manapun yang dikalikan titik dengan dirinya sendiri akan

menghasilkan nilai satu,

a A . a A = 1

Salah satu penggunaan terpenting perkalian titik adalah untuk menentukan skalar

komponen sebuah vektor pada arah tertentu. Merujuk ke gambar F.1a, kita dapat memperoleh

komponen (skalar) dari vektor b untuk arah yang sama dengan arah vektor satuan a yaitu

B . a = |B| |a| cos θ Ba = |B| cos θ Ba

Nilai komponen ini positif jika 0 ≤ θ ba ≤ 90 0 dan negatif jika 90 0 ≤ θ ba ≤ 1800

Jika kita lebih jauh lagi ingin menentukan vektor komponen dari b untuk arah yang sama

dengan arah a, maka yang harus kita lakukan hanyalah mengalihkan komponen (skalar) yang

diperoleh sebelumnya dengan a, sebagaimana diilustrasikan dalam gambar F.1b. Sebagai

contoh komponen B pada arah a x adalah B . A x = B x , dan vektor komponen B untuk arah

ini adalah B xa x atau (B . A x) a x. Dengan demikian maslah menentukan komponen sebuah

vektor untuk arah tertentu dapat disederhanakan mennjadi masalah mencari vektor satuan

pada arah tersebut dan ini tentunya jauh lebih mudah



10

.

Gambar F.1 (a) Komponen skalar dari vektor B untuk arah vektor satuan a adalah B . a

(b) Komponen vektor dari B untuk arah vektor satuan a adalah ( B . a )a

Contoh 1.2

Untuk memberikan pemahaman yang lebih baik terhadap definisi definisi dan operasi-operasiyang baru saja dijelaskan, marilah kita jelaskan contoh berikut. Bila diketahui sebuah medan

vektor G = ya x – 2,5 xa y + 3a z dan sebuah titik Q (4, 5 ,2). Kita diminta menentukan: G di

titik Q; komponen skalar G di Q pada arah vektor satauan a N = (2a x + a y - 2a z ); komponen

vektor G di Q pada arah an ; dan terakhir, sudut θ ga yang diapit oleh G(rq) dan an.

Pemecahan

Dengan memasukan nilai nilai koordinat Q ke dalam persamaan vektor A kita dapatkan

G(rQ) = 5a x – 10a y + 3a z

Berikutnya kita menentukan komponen skalar melalui operasi perkalian titik

Kita mendapatkan

G.a N = (5a x – 10a y + 3a z ) . (2a x + a y – 2a z ) = ( 10 – 10 – 6 ) = -2

Komponen vektor yang diinginkan dapat diperoleh dengan cara megalikan komponen skalar

dengn vektor satuan searah a N,

(G . a N )a N = (-2) (2a x + a y – 2a z ) = -1,333a x – 0,667a y + 1,333a z

Sudut apit antara G ( rQ) dan a N dapat ditetukan sebagaiman berikut



11

G . a N = |G| cos θGa

-2 = √ cos θGa

sehingga

θGa = cos-1

√ = 99,9°

Jawab :

a) R AB = R B – R A

R AB = [-2 – 6]a x + [3- (-1)]a y + [-4 - 2]a z

R AB = -8a x + 4a y – 6a z

b) R AC = R C – R A

R AC = [-3 – 6)]a x + [1- (-1)]a y + [5 + (-2)]a z

R AC = -9a x + 2a y + 3a z

c) *R BC = R C – R B

R BC = [-3 – (-2)]a x + [1- 3]a y + [5 - (-4)]a z

R BC = -a x - 2a y – 9az

*|R AB| = = 2√

*|R AC | = = √

*|R BC | = = √

* |R BC |2 = |R AB|

2 + |R AC |

2 – 2 |R AB| |R AC | cos θ BAC

√ 2= √ 2

+ √ 2

– 2 (√ (√ cos θ BAC

D 1.3 Tiga sudut bidang segitiga masing masing berada pada titik A(6, -1, 2), B (-2, 3, -4),dan C

(-3, 1, 5),tentukan ; (a) R AB; (b) R AC ; (c) sudut θ BAC yang terletak dititik A; (d) vektor proyeksi

R AB pada R AC .

Jawaban

(a). -8a x + 4a y – 6a z ; (b) -9a x + 2a y + 3a z ; (c) 53,6°



12

86 = 116 + 94 – 208,844 cos θ BAC

θ BAC = cos-1

= 53,6°

G. Hasil Kali Silang

Untuk dua buah vektor A dan B, sekarang kita akan mendefinisikan hasil kali silang

(cross product )atau hasil kali vektor antara kedua vektor ini; yang dituliskan dengan notasi

berupa sebuah tanda silang diantara kedua vektor yaitu A x B dan dibaca sebagai “A silang

B” atau “ A cross B”. Hasil kali silang antara A dan B (yaitu A x B) adalah sebuah vektor

dengan magnitudo sama dengan hasil perkalian magnitudo A, magnitudo B dan nilai sinus

dari sudut lancip yang diapit kedua vektor; arah vektor A x B adalah tegak lurus terhadap

bidang yang memuat A dan B, dan searah dengan pergerakan maju sebuah sekrup beorientasi

tangan kanan ( yaitu kebawah atau masuk kedalam ) jika A diputar menuju B. Ilustrasi untuk

konsep arah ini ditampilkan pada gambar G.1. Ingatlah bahwa vektor dapat digeser dan

dipindahkan sesuka kita asalkan arah dan panjangnya dipertahankan tidak berubah guna

membawa keduanya pada titik awal yang sama, dengan cara ini bidang yang memuat kedua

vektor dapat didefinisikan, namun kita tidak perlu terlalu merepotkan hal itu karena untuk

berbagai aplikasi yang ada didalam buku ini kita hampir selalu akan berurusan dengan

vektor-vektor yang telah diberikan pada titik yang sama.

Dalam bentuk sebuah persamaan definisi hasil kali silang dapat dituliskan sebagai

A x B = a N |A| |B| sin θ AB

Dimana kita masih harus menambahkan sebuah pernyataan pelengkap yang mnjelaskan arah

dari vektor setuan a N ,notasi subskrip N mengidentifikasi arah “normal”.

Gambar G.1 Arah A x B adalah searah

dengan pergerakan maju sebuah sekrup

berorientasi tangan kanan

ketika tangan di putar menuju B

Membalik urutan perkalian vektor A dan B

akan menghasilkan sebuah vektor yang serupa



13

namun dengan arah yang berlawanan sehingga, kita dapat mengetahui bahwa hasil kali silang

tidak bersifat komutatif karena A x B = - (A x B). Apabila definisi hasil kali silang diterapkan

pada vektor vektor satuan a x x a y = a z karena masing masing dari kedua vektor a x dan a y

memiliki magnitudo satu keduanya saling tegak lurus dan perputan a x menuju a y menurut

definisi sistem koordinat berorientasi tangan kanan mengidentifikasi arah sumbu z positif.

Dengan cara yang sama kita dapat memperlihatkan bahwa a y x a z = a x, dan a z x a x = a y .

Perhatikan sifat simetrik alfabetik yang terdapat pada perkalian sillang ketiga vektor a x, a y

dan az dituliskan secara alfabetik x, y, dan z dan mengasumsikan bahwa a x akan muncul

kembeli di dirutan setelah a z , maka sebuah notasi perkalian silang (cross) dan sebuah tanda

sama dengan dapat dituliskan pada kedua spasi jeda yang kosong diantara ketiga vektor.

Bahkan pada kenyataanya, definisi sebuah sistem koordinat persegi tangan kanan dapat

dibuat jadi lebih ringkas sekarang yaitu sekedar menuliskan persamaan a x x a y = a z .

Sebuah contoh sederhana untuk penerapan hasil kali silang dapat diambil dari ilmu

geometri atau trigonometri. Untuk menghitung sebuah luas jajar genjang, hasil kali panjang

dua sisi yang bersebelahan harus dikalikan lagi dengan nilai sinus sudut yang diapit kedua

sisi tersebut. Menggunakan notasi vektor untuk kedua sisi jejar genjang ini (skalar) luasnya

magnitudo dari vektor A x B atau |A x B|.

Menghitung hasil kali silang menggunakan definisi yang diberikan untuknya ternyata

lebih rumit ketimbang menghitung sebuah hasil kali titik menggunakan definisinya. Tidak

saja harus menentukan sudut antara kedua vektor, namun juga persamaan untuk vektor satuan

a N.kerumitan ini dapat dihindrkan dengan cara menguraikan kedua vektor menjadi vektor

vektor komponenya dan kemudian menjabarkan hasil kali silang keduanya sebagai

penjumlahan vektor sembilan suku hasil kali silang antara vektor vektor komponen tersebut.

A x B = A x B xa x x a x + A x B ya x x a y + A x B z a x x a z

+ A y B xa y x a x + A y B ya y x a y + A y B z a y x a z

+ A z B z a z x a x + A z B ya z x a y + a z B z a z x a z

Kita telah mengetahui bahwa a x x a y = a z , a y x a z = a x dan a z x a x = a y. Tiga suku

yang melibatkan perkalian silang antara vektor vektor satuan yang sama ( a x x a x ,a y x a y, a z x



14

a z ) adalah nol. Karena hasil kali sembarang vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan nilai

nol. Hasil ini dapat dituliskan secara lebih sederhana menjadi.

A x B = ( A y B z – A z B y)a x + ( A z B x – A x B z )a y + ( A x B y – A y B x)a z

Atau dituliskan dalam determin dalam bentuk determinan agar lebih mudah diingat :

A x B = |

|

Sehingga jika A = 2a x – 3a y + a z dan B = -4a x – 2a y + 5a z , maka

A x B =

= [(-3)(5) – (1)(-2)]a x - [(2)(5) – (1)(-4)]a y + [(2)(-2) – (-3)(-4)]a z

= -13a x – 14a y – 16a z

Jawab :

a)

b)

*R BC = R C – R B

D1.4 Tiga sudut sebuah segitiga masing masing berada pada titik A (6, -1, 2), B(-2, 3, -4) dan

C (-3, 1, 5) carilah (a) R AB x R AC ; (b) luas daerah segitiga ; (c) sebuah vektor satuan yang

tegak lurus terhadap bidang segitiga ini

Jawaban (a) 24a x +78a y +20a z ; (b) 42,0 ; (c) 0,268a x + 0,928a y + 0,238a z



15

R BC = [-3 – (-2)]a x + [1- 3]a y + [5 - (-4)]a z

R BC = -a x - 2a y – 9a z

*| R AB | = = 2

√

*| R AC | = = √ *| R BC | = = √

* |R BC |2 = |R AB|

2 + |R AC |

2 – 2 |R AB| |R AC | cos θ BAC

√ = √ + √ 2 – 2 (√ (√ cos θ BAC

86 = 116 + 94 – 208,844 cos θ BAC

θ BAC = cos-1

= 53,6°

*Luas Segitiga =

=√ √

= 42, 02 m2

c) a(RAB x RAC) = =

= 0,268a x + 0,928a y + 0,238a z

H. Sistem Koordinat Silider Lingkaran

Sistem koordinat silinder lingkaran adalah sebuah versi 3 dimensi dari sistem koordinat

polar yang telah kita pelajari di dalam pelajaran geometri analitis di dalam sistem koordinat

polar dua dimensi, sebuah titik dikenali letaknya untuk mendefinisikan jarak ρ dari titik

tersebut ke pusat koordinat dengan suatu garis radius rujukan yang didefinisikan sebagai Ø =

0. Sistem koordinat silinder lingkaran yang merupakan sebuah sistem 3 dimensi, diperoleh

dengan cara mendefenisikan pula jarak z dari titik tyersebut ke suatu bidang rujukan z = 0,

yang mana bidang ini tegak lurus dengan garis ρ = 0. Untuk meringkaskan penamaan kita

akan menyebut sistem koordinat silinder lingkaran sebagai sistem koordinat silinder saja.



16

Gambar H.1 (a) Tiga permukaan yang saling tegak lurus di dalam sistem koordinat

silinder-lingkaran

(b) Tiga vektor satuan untuk sistem koordinat silinder-lingkaran

(c) Satuan volume diferensial di dalam sistem koordinat silinder-lingkaran; dr, ρd Ø, dan

dz adalah sistem elemen-elemen panjang

Vektor vektor satuan didalam koordinat silinder juga saling tegak lurus .kita dapatmendefinisikan sistem koordinat silinder tangan kanan sebagai sebuah sistem koordinat

silinder dimana a ρ x aø = a z atau bisa merajuk kearah pertambahan ρ, Ø, dan z dengan nilai

diferensial d ρ, dø, dan dz selanjutnya dua selubung silinder masing-masing radius dengan

radius ρ dan ρ + dρ akan terbentuk begitu pula dua buah bidang radial Ø dan Ø + dø dan dua

buah bidang horizontal z dan z + dz.luas daerah permukaan ini adalah ρ dρ dø, dρ dz dan ρ

dø dz . Dan besarnya elemen volume adalah ρ dρ dø dz .

Variabel variabel di dalam koordinat persegi dalam dihubungkan dengan variabel variabel

dari koordinat silinder secara relatif muda. Merujuk ke gambar H.2 kita dapat melihat bahwa

x = ρ cos Ø

y = ρ sin Ø

z = z



17

Gambar H.2 Hubungan antara variabel-variabel koordinat persegi x, y, z dan variabel-

variabel koordinat silinder ρ, Ø, dan z. Tidak ada perbedaan untuk variabel z antara kedua

sistem koordinat

Dari sudut panjang yang sebaliknya kita dapat pula menyatakan variabel variabel

koordinat silinder dalam suku suku x, y, dan z .

ρ = ( ρ ≥ 0)

Ø = tan-1

z = z

Kita akan memendang variabel jarak dari titik yang bersangkutan ke titik pusat koordinat

yaitu ρ, sebagai nilai yang bernilai positif sehingga hanya tanda positif yang digunakan untuk

nilai nilai akar pada persamaan di atas. nilai yang benar untuk sudut Ø ditentukan dengan

menilik tanda positif / negatif dari nilai nilai x dan y. maka jika x = -3 dan y = 4 pastilah titik

yang bersangkutan berada di kuadran 2 sehingga ρ = 5 dan Ø = 126,90 untuk x = 3 dan y = -4

maka Ø = -53,10 atau 306,90. untuk lebih jelasnya umpamakan sebuah vektor koordinat

persegi.

A = A xa x + A ya y + A z a z

Dimana tiap tiap komponenya adalah fungsi dari x, y, dan z dan kita sapat merubah vektor

ini menjadi koordinat sillinder.

A = A ρa ρ + AØ aØ + A z a z

Yang komponen komponenya adalah fungsi dari ρ, Ø , dan z

Untuk menentukan sembarang komponen dari sebuah vektor dari pertambahan

sebelumnya kita telah mengetahui bahwa yang harus dilakukan adalah mengambil hasil kali

titik antara vektor yang bersangkutan dengan vektor satuan yang menuju ke arah yang

diinginkan sehingga

A ρ = A . a ρ dan AØ = A . aØ



18

Menjabarkan dua perkalian titik ini memberikan

A ρ = ( A xa x + A ya y + A z a z ).a ρ = A xa x . a ρ + A ya y . a ρ

AØ = ( A xa x + A ya y + A z a z ).aØ = A xa x . aØ + A ya y .aØ

A z = ( A xa x + A ya y + A z a z ).a z = A z a z . a z = A z

Karena a z . a ρ dan a z . aØ adalah nol.

a ρ aØ az

ax . cos ø -sin ø 0

ay . sin ø cos ø 0

az . 0 0 1

Tabel H.1 Hasil kali antara vektor-vektorsatuan koordinat silinder dan vektor-vektor

satuan koordinat persegi

Untuk menyelesaikan transformasi komponen ini kita harus mengetahui hasil kali titik

antara vektor-vektor satuan dari kedua sistem koordinat, yaitu a x .a ρ, a y .a ρ, a x .aØ , dan a y .

aØ . Merujuk pada definisi hasil kali titik, dan mengingat bahwa vektor vektor saatuan

memiliki magnitudo sebesar satu, maka hasil kali titik yang dicari adalah kosinus sudut antara

dua vektor satuan yang terkait. Dari gambar H. 2 dan melalui analisis yang seksama kita

dapat melihat bahwa sudut apit anatara a x dan a ρ adalah Ø sehingga a x . Aρ adalah cos

Ø .Akan tetapi sudut antara ay dan aρ adalah 900 - Ø , sehingga a y .a ρ = cos (900 – Ø ) adalah

sin Ø .

Dengan demikian transformasi fungsi fungsi vektor dari koordinat persegi ke silinder,

atau sebaliknya dapat dilakukan menggunakan persamaan dan merubah variabel-variabelnya.

Dan kemudian menggunakan hasil kali titik vektor-vektor satuan dan merubah komponen-

komponenya. Kedua langkah ini dapat dilakukan tanpa memperhatikan urutanya.



19

Contoh 1.3

Transformasikan vektor B = ya x – xa y + z a z dalam koordinat silinder.

Pemecahan.

Komponen-komponen yang baru adalah

B ρ = B . a ρ = y (a x . a ρ ) – x (a y . a ρ)

= y cos Ø – x sin Ø = ρ sin Ø cos Ø – ρ cos Ø sin Ø = 0

BØ = B . aØ = y (a x .aØ ) - x (a y . aØ )

= - y sin Ø – x cos Ø = - ρ sin2 Ø – ρ cos

2 Ø = - ρ

B = - ρaØ + z a z

Jawaban :

a)

*C ( ρ = 4,4; = -115°; z = 2)

x = ρ cos Ø

x = 4,4 cos (-115°) = -1,86

*y = ρ sin Ø

y = 4,4 sin (-115°)

y = -3,99

* z = 2

*Koordinat persegi C = ( x = -1,86; y = -3,99; z = 2)

b) *D ( x = -3,1 ; y = 2,6 ; z = -3)

D1.5 (a) tentukan koordinat persegi dari titik C ( ρ = 4,4 ; Ø =-115 ; z = 2)

(b) tentukan koordinat silinder dari titik D ( x = -3,1 ; y = 2,6 ; z = -3)

(c) hitunglah jarak dari titik C ke D

Jawaban (a) C ( x = -1,860 ; y = -3,99 ; z = 2); (b) D ( ρ = 4,05 ;Ø = 1400 ; z = -3);

(c) 8,36



20

ρ =

ρ = = 4,05

* Ø = tan-1

Ø = tan-1

= -39,986° = 140,014°

* z = z -- -3

*Koordinat silinder D ( ρ = 4,05 ;Ø = 1400 ; z = -3)

c)

* R CD = R D – R C = (-3,1 ; 2,6 ; -3) – (-1,86 ; -3,99 ; 2)

= (-1,24 ; 6,59 ; -5)

*|R CD| = = 8,36

Jawab :

a)

* P (10, -8, 6)

F = 10a x -8a y + 6a

ρ =

ρ = = 12,81

* Ø = tan-1

Ø = tan-1

= -38,66°

* z = z- 6

D1.6 Transformasikan ke koordinat silinder vektor-vektor (a) F = 10a x - 8a y + 6a z di

titik P (10, -8, 6) ; (b) G = (2 x + y)a x – ( y - 4 x)a y di titik Q ( ρ, Ø , z ) ; (c) Tentukan

komponen-komponen koordinat persegi dari vektor H = 20a ρ – 10aØ + 3 a z di titik P ( x

= 5, y = 2, z =-1)

Jawaban (a) 12,81 a ρ + 6a z ; (b) (2 ρ cos2 Ø – ρ sin2 Ø + 5 ρ sinØ cosØ )a ρ + (4 ρ cos2 Ø

– ρ sin2 Ø - 3 ρ sinØ cos Ø )aØ ; (c) H x = 22,3; H y = -1,857 ; H z = 3





22

20 = 0,92 H x + 0,37H y … (1)

* HØ = H x (a x . aØ ) + H y(a y . aØ )

-10 = -H x sin Ø + H y cos Ø

-10 = -H x sin (21,8°) + H y cos (21,8°)

-10 = -0,37H x + 0,92H y … (2)

*Persamaan (1) dan (2) di eliminasi

20 = 0,92 H x + 0,37H y x 0,37 7,4 = 0,3404 H x + 0,1369H y

-10 = -0,37H x + 0,92H y x 0,92 -9,2 = -0,3404H x + 0,8464H y +

-1,8 = 0,9833 H y

* -1,8 = 0,9833 H y H y = -1,83

*20 = 0,92 H x + 0,37H y 20 = 0,92 H x + 0,37(-1,83)

H x =

= 22,475

* Hz

= 0

I. Sistem Koordinat Bola

Gambar I.1 (a) Tiga buah variabel koordinat bola

(b) Tiga permukaan saling tegak lurus di dalam sistem koordinat bola

(c) Tiga vektor satuan untuk sistem koordinat bola ar x aθ = aØ



23

(d) elemen volume diferensial di dalam sistem koordinat bola

Konsep sistem koordinat bola pada tiga garis sumbu koordinat persegi ( gambar I. 1).

Pertama – tama, kita mendefisinikan jarak dari pusat koordinat persegi ke sembarang titik

sebagai r . Permukaan r = konstanta adalah sebuah selubung bola.

Variabel koordinat kedua adalah sudut θ yang terbentuk anatara sumbu z dan garis yang

ditarik dari pusat koordinat ke titik yang dibicarakan. Permukaan θ = konstanta adalah sebuah

selubung kerucut, dan kedua permukaan ini, yaitu kerucut dan bola, saling tegak lurus di

semua titik perpotongannya di dalam ruang. Perpotongan kerucut dan bola membentuk

sebuah lingkaran dengan jari – jari r sin θ. Koordinat θ menyerupai skema garis lintang

(latitude), hanya saja garis lintang diukur dari khatulistiwa ( garis lintang 00

) , sedangkan

sudut θ diukur dari “kutub utara”.

Koordinat ketiga Ø juga merupakan sebuah sudut dan sama persis dengan sudut Ø pada

sistem koordinat silinder lingkaran. Sudut ini adalah sudut antara sumbu x dengan proyeksi

garis dari titik pusat ke titik yang dibicarakan pada bidang z = 0. Sudut ini dapat diserupakan

dengan skema garis bujur, namun arah pertambahan Ø adalah ke “ke timur”. Permukaan Ø =

konstanta adalah sebuah bidang yang melewati garis θ = 0 ( sumbu z ).

Dalam memahami sistem koordinat ini, sekali lagi kita harus memandang sembarang titik

di dalam ruang sebagai lokasi perpotongan antara tiga buah permukaan yang saling tegak

lurus yaitu, sebuah selubung bola, sebuuah selubung kerucut, dan sebuah bidang datar. Ketiga

permukaan ini di perlihatkan dalam gambar I.1.

Tiga vektor satuan kini dapat didefinisikan untuk sistem koordinat ini. Masing – masing

vektor satuan tegak lurus terhadap salah satu dari ketiga permukaan yang disebutkan

sebelumnya, dan arah menju ke pertambahan nilai koordinat yang bersangkutan. Vektor

satuan ar , permukaan kerucut θ = konstanta dan bidang datar Ø = konstanta. Vektor satuan ini

sejajar dengan garis bujur dan mengarah ke „ selatan‟. Vektor satuan ketiga aθ , adalah vektor

satuan yang sama dengan yang ada didalam sistem koordinat silinder yang merupakan garis

normal terhadap bidang datar dan garis tangent untuk kedua permukaan bola kerucut. Vektor

satuan ini menunjuk kearah timur.

Ketiga vektor satuan ini ditampilkan dalam gambar I.1. Vektor – vektor ini tentu saja

saling tegak lurus dan sistem koordinat bola tangankanan dapat didefiniskan dengan



24

menuliskan ar x aθ = aø . Sistem yang kita bicarakan disini memang berorientasi tangan

kanan ,dapat diketahui dengan menerapkan definisi hasil kali silang pada vektor – vektor

dalam gambar I.1. Aturan tangan kanan menyatakan bahwa ibu jari, telunjuk dan jari tengah

masing – masingnya mengindikasikan arah pertambahan nilai koordinat r , θ, dan Ø secara

berurutan. (perhatikan bahwa koordinat silinder urutannya adalah ρ, Ø , dan z , sedangkan

untuk koordinat persegi x, y ,dan z ). Sebuah elemen volume differensil di dalam sistem

koordinat bola dapat dibentuk dengan memperbesar nilai – nilai r , θ dan Ø masing masing

sebesar dr , dθ , dan dø. Sebagaimana ditunjukkan dalam gambar I.1 jarak antara kedua

permukaan bola, yang masing – masingnya berjari – jari r dan r + dr , adalah dr jarak antara

kedua permukaan kerucut, yang masing – masingnya memiliki sudut puncak θ dan θ +d θ

adalah rdθ , dan jarak antara kedua bidang radial yang masing – masingnya pada berada padasudut Ø dan Ø + d Ø dapat diketahui sebagai r sin θ dø melalui sedikit analisis trigonometri.

Luas dari permukaan – permukaan yang membatasi elemen volume ini, dengan demikian

adalah r dr dθ r sin θ d r dø, dan r 2 sin dθ dø dan besarnya elemen volume ini adalah r 2 sin dθ

dø.

Transformasi skalar – skalar dari sistem koordinat persegi ke sistem koordinat bola dapat

dilakukan dengan mudah, menggunakan gambar I.1 untuk menghubungkan variabel –

variabel dari kedua sistem koordinat :

x = r sin θ cos Ø

y = r sin θ sin Ø

z = r cos θ

Transformasi yang sebaliknya (dari koordinat bola ke koordinat persegi) dapat dilakukan

dengan bantuan persamaan – persamaan

r = (r ≥ 0)

θ = cos-1

(0° ≤ θ ≤ 180°)

Ø = tan-1



25

Variabel jari – jari r tidak pernah bernilai negatif dan variabel θ memiliki nilai yang

berkisar antara 0o hingga 180o . Nilai sebenarnya dari sudut – sudut ini ditentukan dengan cara

memeperhatikan tanda positif / negatif di depan x, y, dan z .

Transformasi vektor – vektor , sebagaimana sebelumnya, melibatkan perkalian titik antara

vektor – vektor satuan dari kedua sistem koordinat yang terlibat dalam transformasi, misalnya

antara vektor – vektor satuan koordinat persegi dengan vektor – vektor satuan koordinat persegi

dengan vektor – vektor satuan koordinat bola. Kita menentukan hasil kali titik ini dengan

bantuan gambar I.1(c) dan sedikit analisis trigonometri. Karena hasil kali titik antara sebuah

vektor satuan koordinat bola dengan sembarang vektor satuan koordinat persegi menurut

definisinya adalah komponen vektor satuan bola tersebut yang searah vektor satuan persegi,

maka hasil kali titik vektor – vektor satuan bola dengan a z adalah

a z . ar = cos θ

a z . aθ = - sin θ

a z . aø = 0

Untuk hasil kali titik yang melibatkan vektor – vektor ax dan ay , kita terlebih dulu harus

menentukan proyeksi vektor satuan bolanya pada bidang xy dan kemudian mencari

komponen proyeksi ini untuk arah dan sumbu yang diinginkan ( x atau y ). Sebagai contoh ar .

ax diperoleh dengan memproyeksikan ar pada bidang xy , yang menghasilkan sin θ untuk arah

x ( memproyeksikannya lagi pada sumbu x). Proyeksi kedua ini menghasilkan sin θ cos Ø

yang adalah hasil kali titik yang dicari. Hasil kali titik untuk vektor – vektor satuan sisanya

didapatkan dengan cara yang sama dan semua hasilnya di tabulasikan di dalam tabel I.1



26

ar aθ aØ

ax . sin θ cos ø cos θ cos ø -sin Ø

ay . sin θ sin ø cos θ sin ø cos Ø

az . Cos θ - sin θ 0

Tabel I.1 Hasil kali titik antara vektor-vektor satuan koordinat bola dan vektor-vektor satuan

koordinat persegi

Contoh 1.4

Ilustrasi untuk prosedur transformasi yang baru saj dijelaskan diatas dapat dilihat dalam

contoh ini. Kita hendak mentransformasikan medan vektor G = ( xz / y) a x ke dalam komponen

– komponen dan variabel – variabel sisten koordinat bola.

Pemecahan. Ketiga komponen koordinat bola dapat diperoleh dengan cara mengalihkan titik

G dengan vektor – vektor satuan untuk koordinat bola, kemudian mengubah variabel –

variabelnya dengan bantuan persamaan – persamaan.

Gr = G . ar = a x . ar =

sin θ cos Ø

= r sin θ cos θ

Gθ = G . aθ = a x . aθ = cos θ cos Ø

= r cos2 θ

GØ = G . aØ = a x . aØ =

(-sin Ø )

= -r cos θ cos Ø



27

Sehingga, vektor G di dalam koordinat bola adalah

G = r cos θ cos Ø (sin θ ctg Ø ar + cos θ ctg Ø aθ - aØ )

Jawab :

a)

* C (-3, 2, 1)

r =

r = = 3,74

* θ = cos-1

θ = cos

-1

√

= 74,5°

* Ø = tan-1

Ø = tan-1

= -33,69° = 146,31°

*Koordinat bola C (r = 3,74 ; θ = 74,5° ; Ø = 146,3°)

b) * D (r = 5, θ = 20°, Ø = -70°)

x = r sin θ cos Ø

x = 5 sin (20°) cos (-70°) = 0,585

* y = r sin θ sin Ø

y = 5 sin (20°) sin (-70°) =-1,607

* z = r cos θ

z = 5 cos (20°) = 4,69

*Koordinat persegi D( x = 0,585 ; y = -1,607 ; z = 4,69)

D1.7 Bila diketahui dua buah titik C (-3, 2, 1) dan D (r = 5, θ = 20°, Ø = -70°), tentukan

: (a) koordinat bola dari titik C ; (b) koordinat persegi dari titik D ; (c) jarak dari titik C

ke titik D.

Jawaban : (a) C (r = 3,74 ; θ = 74,5° ; Ø = 146,3°) ; (b) D( x = 0,585 ; y = -1,607 ; z =

4,70) ; (c) 6,29



28

c) R CD = R D - R C

= (-3 ; 2 ; 1) – (0,585 ; -1,607 ; 4,69)

= -3,585 ; 3,607 ; -3,69

| R CD | = = 6,28

Jawab :

a)

* P ( x = -3, y = 2, z = 4)

r =

r =

= 5,385

* θ = cos-1

θ = cos-1

√

= 42,03°

* Ø = tan-1

Ø = tan-1

= -33,69° = 146,31°

*Pr = P x (a x . ar )

Pr = 10 (a x . ar ) = 10 sin θ cos Ø

Pr = 10 sin (42,03°) cos (146,31°) = -5,57

* Pθ = P x (a x . aθ )

Pθ = 10 (a x . aθ ) = 10 cos θ cos Ø

Pθ = 10 cos (42,03°) cos (146,31°) = -6,18

D1.8 Transformasikan vektor-vektor berikut ini ke dalam koordinat bola pada titik-titik

yang disebutkan ; (a) 10a x di titik P ( x = -3, y = 2, z = 4) ; (b) 10a y di titik Q ( ρ = 5, Ø =

30°, z = 4) ; (c) 10a z di titik M (r = 4, θ = 110°, Ø = 120°)

Jawaban : (a) -5,57ar – 6,18aθ -5,55aØ ; (b) 3,90ar + 3,12aθ + 8,66aØ ; (c) -3,42ar –

9,40aθ



29

* PØ = P x (a x . aØ )

PØ = 10 (a x . aØ ) = -10 sin Ø

PØ = -10 sin (146,31°) = -5,55

*Koordinat bola -5,57ar – 6,18aθ -5,55aØ

b)

10a y di titik Q ( ρ = 5, Ø = 30°, z = 4)

*Perubahan bentuk silinder ke bentuk persegi

x = ρ cos Ø

= 5 cos (30°) = 4,33

y = ρ sin Ø

= 5 sin (30°)

= 2,5

Koordinat persegi C = ( x = 4,33; y = 2,5; z = 4)

*Perubahan dari bentuk persegi ke bentuk bola C = ( x = 4,33; y = 2,5; z = 4)

r =

r = = 6,403

θ = cos-1

θ = cos-1 √

= 51,34°

Ø = tan-1

Ø = tan-1

= 30°

Qr = Q y (a y . ar )

Qr = 10 (a y . ar ) = 10 sin θ sin Ø

Qr = 10 sin (51,34°) sin (30°) = 3,9

Qθ = Qy (a y . aθ )

Qθ = 10 (a y . aθ ) = 10 cos θ sin Ø

Qθ = 10 cos (51,34°) sin (30°) = 3,12

QØ = Q y (a y . aØ )



30

QØ = 10 (a y . aØ ) = 10 cos Ø

QØ = 10 cos (30°) = 8,66

Koordinat bola 3,9ar + 3,12aθ + 8,66aØ

c)

10a z di titik M (r = 4, θ = 110°, Ø = 120°)

* Mr = M z (a z . ar )

Mr = 10 (a z . ar ) = 10 cos θ

Mr = 10 cos (110°) = -3,42

* Mθ = M z (a z . aθ )

Mθ = 10 (a z . aθ ) = -10 sin θ

Mθ = -10 sin (110°) = -9,39

* MØ = M z (a z . aØ )

MØ = 10 (a z . aØ ) = -10 (0)

MØ = 0

*Koordinat bola -3,42ar – 9,39aθ

Latihan Soal :

1. Jika diketahui vektor-vektor M = -10a x + 4a y - 8a z dan N = 8a x + 7a y - 2a z , tentukan :

(a) sebuah vektor satuan searah – M + 2N; (b) magnitudo dari 5a x + N – 3M; (c) |M| |2N|

(M + N).

Penyelesaian :

a) *-M + 2N = P = -(-10a x + 4a y - 8a z ) + 2(8a x + 7a y - 2a z )

-M + 2N = P = (10a x - 4a y + 8a z ) + (16a x + 14a y - 4a z )

-M + 2N = P = (10 + 16) a x + (-4 + 14) a z + (8 - 4) a z

-M + 2N = P = 26a x + 10a y + 4a z

*| – M + 2N | = |P| = = 28,142



31

* a|P| = =

a|P| = 0,923a x + 0,355a y + 0,142a z

b) *5a x + N – 3M = Q = 5a x + (8a x + 7a y - 2a z ) – 3(-10a x + 4a y - 8a z )

5a x + N – 3M = Q = 5a x + 8a x + 7a y - 2a z + 30a x - 12a y + 24a z

5a x + N – 3M = Q = (5 + 8 + 30) a x + (7 - 12) a y + (-2 -24) a z

5a x + N – 3M = Q = 43a x - 5a y + 22a z

*|Q| = = 48,56

c)

|M| |2N| (M + N) = ( ) x ( ) x(-10a x + 4a y - 8a z + 8a x + 7a y - 2a z )

|M| |2N| (M + N) = (6√ ) (6√ ) (-2a x + 11a y - 10a z )

|M| |2N| (M + N) = (35√ ) (-2a x + 11a y - 10a z )

|M| |2N| (M + N) = -580,483a x + 3192,65a y – 2902,413a z

2.

Sebuah medan vektor didefinisikan oleh G = 24 xy a x + 12( x2

+ 2)ay + 18 z 2a z . Jika

diketahui dua buah titik P (1, 2, -1) dan Q (-2, 1, 3), tentukan : (a) vektor G di titik P ;

(b) sebuah vektor satuan searah G di titik Q; (c) sebuah vektor satuan dari titik Q ke titik

P .

Penyelesaian :

a) G P = 24 xy a x + 12( x

2+ 2)ay + 18 z

2a z

G P = 24 (1) (2) a x + 12{(1)2

+ 2}ay + 18(-1)2a z

G P = 48a x + 36ay + 18a z

b)

*GQ = 24 xy a x + 12( x2

+ 2)ay + 18 z 2a z

GQ = 24 (-2) (1) a x + 12{(-2)2

+ 2}ay + 18(3)2a z

GQ = -48a x + 72ay + 162a z

* aGQ =

=

aGQ = -0,26a x + 0,39ay + 0,88az



32

c) *GQP = GP – GQ

GQP = (48a x + 36ay + 18a z ) – (-48a x + 72ay + 162a z )

GQP = {48 – (-48)} a x + {36 – (72)} a y + {18 – (162)} a z

GQP = 96a x – 36ay – 144az

*aGQP =

=

aGQP = 0,54a x – 0,2ay – 0,811az

3.

Jika diketahui titik-titik M (0,1, -0,2, -0,1), N (-0,2, 0,1, 0,3), dan P (0,4, 0, 0,1), tentukan;

(a) vektor R MN ; (b) hasil kali titik R MN . R MP ; (c) sudut apit antara R MN dan R MP .

Penyelesaian :

a) R M N = R N - R M

R M N = (-0,2a x + 0,1ay + 0,3a z ) - (0,1a x – 0,2ay – 0,1a z )

R M N = {-0,2 – 0,1} a x + {0,1 – (-0,2)} a y + {0,3 – (-0,1)} a z

R M N = -0,3a x + 0,3ay + 0,4a z

b) *R M P = R P – R M

R M P = (0,4a x + 0 + 0,1a z ) - (0,1a x – 0,2ay – 0,1a z )

R M P = {0,4 – 0,1} a x + {0 – (-0,2)} a y + {0,1 – (-0,1)} a z

R M P = 0,3a x + 0,2ay + 0,2a z

* R MN . R MP = G = {(-0,3 a x)(0,3 a x)} + {(0,3 a y)(0,2 a y)} + {(0,4 a z )(0,2 a z )}

R MN . R MP = G = -0,09 + 0,06 + 0,08 = 0,05

c)

* R NP = R P – R N

R NP = (0,4a x + 0 + 0,1a z ) – (-0,2a x + 0,1ay + 0,3a z )

R N P = {0,4 – (-0,2)} a x + {0 – (-0,1)} a y + {0,1 – 0,3} a z

R NP = 0,6a x - 0,1ay - 0,2a z

* |R NP |2 = |R MN |

2 + |R MP |

2 – 2 | R MN | |R MP | cos θ NMP



33

(0,64)2 = (0,583)

2 + (0,412)

2 – 2 (0,583) (0,412) cos θ NMP

cos θ NMP =

θ NMP = cos

-1

(0,208) = 77,98°

4. Jika diketahui titik P (r = 0,8, θ = 30°, Ø = 45°), dan medan E = 1/r 2 (cos Ø ar + sin Ø /sin

θ aØ ); (a) tentukan E di titik P ; (b) tentukan |E| di titik P ; (c) tentukan sebuah vektor

satuan searah E di titik P .

Penyelesaian :

a) E = (cos Ø ar + sin Ø /sin θ aØ )

E =

{cos (45°) ar + sin (45°)/sin (30°) aØ }

E = 1,105 ar + 2,209 aØ

b) |E| =

|E| = = 2,47

c) a|E| =

=

a|E| = 0,447 ar + 0,89 aØ

5.

Nyatakan medan vektor satuan a x dalam komponen-komponen koordinat bola di titik: (a)

r = 2, θ = 1 rad, Ø = 0,8 rad; (b) x = 3, y = 2, z = -1; (c) ρ = 2,5, Ø = 0,7 rad, z = 1,5.

Penyelesaian :

a) r = 2; θ = 1 rad = x 180° = 57,325°; Ø = 0,8 rad =

x 180° = 45,86°

* Pr = P x (a x . ar )

Pr = (a x . ar ) = sin θ cos Ø



34

Pr = sin (57,325°) cos (45,86°) = 0,586

* Pθ = P x (a x . aθ )

Pθ = (a x . aθ ) = cos θ cos Ø

Pθ = cos (57,325°) cos (45,86°) = 0,376

* PØ = P x (a x . aØ )

PØ = (a x . aØ ) = -sin Ø

PØ = -sin (45,86°) = -0,718

*Koordinat bola 0,586ar + 0,376aθ -0,718aØ

b) x = 3, y = 2, z = -1

r =

r = = 3,741

θ = cos-1

θ = cos-1

√

= 105,501°

Ø = tan-1

Ø = tan-1

= 33,69°

Pr = P x (a x . ar )


Pr = sin (105,501°) cos (33,69°) = 0,802

Pθ = P x (a x . aθ )


Pθ = cos (105,501°) cos (33,69°) = -0,222

PØ = P x (a x . aØ )


PØ = -sin (33,69°) = -0,55



35

Koordinat bola 0,802ar - 0,222aθ - 0,55aØ

c) ρ = 2,5; Ø = 0,7 rad =

x 180° = 40,127°; z = 1,5

*Perubahan bentuk silinder ke bentuk persegi

x = ρ cos Ø

= 2,5 cos (40,127°) = 1,911

y = ρ sin Ø

= 2,5 sin (40,127°)

= 1,611

Koordinat persegi ( x = 1,911; y = 1,611; z = 1,5)

*Perubahan dari bentuk persegi ke bentuk bola ( x = 1,911; y = 1,611; z = 1,5)

r =

r = = 2,915

θ = cos-1

θ = cos-1

√

= 59,03°

Ø = tan-1

Ø = tan-1

= 40,131°

Pr = P x (a x . ar )


Pr = sin (59,03°) cos (40,131°) = 0,655

Pθ = P x (a x . aθ )


Pθ = cos (59,03°) cos (40,131°) = 0,393

PØ = P x (a x . aØ )


PØ = -sin (40,131°) = -0,644



Koordinat bola 0,655ar + 0,393aθ - 0,644aØ

Documents

217160428-Analisis-Vektor.pdf