IES 2003 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya - ITS

109

PENYELESAIAN PERSOALAN MULTIDIMENSIONAL KNAPSACK (PMK) DENGAN ALGORITMA GENETIKA

Yuliana Setiowati, S.Kom , Dr. Ir. Arif Djunaidy Msc, Nanik Suciati, S.Kom, M.Kom Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Kampus PENS-ITS, Keputih, Sukolilo, Surabaya Telp. (031)5947280

Email: yuliana@eepis-its.edu

ABSTRAK

Persoalan Multidimensional Knapsack adalah persoalan optimisasi kombinasi. Persoalan ini menarik karena kesederhanaan strukturnya dan ekplorasi daerah pencariannya yang begitu luas sehingga diperlukan metode tertentu untuk mempercepat waktu komputasi. Persoalan Multidimensional Knapsack termasuk persoalan NP-Complete sehingga dibutuhkan metode pencarian heuristik untuk mendapatkan solusi yang optimal. Algoritma Genetika sebagai salah satu metode pencarian heuristik menjadi salah satu alternatif dalam memecahkan persoalan ini.

Dalam paper ini dijelaskan penyelesaian persoalan Multidimensional Knapsack dengan Algoritma Genetika. Algoritma Genetika ini dirancang sedemikian rupa sehingga dapat menangani Persoalan Multidimensional Knapsack. Persoalan yang muncul adalah mengatasi kromosom yang tidak layak dengan digunakan fungsi penalti dan repair operator. Tahap-tahap yang dilalui sama seperti tahap Algoritma Genetika pada umumnya yaitu pengkodean yang sesuai dengan persoalan Multidimensional Knapsack, pembentukan populasi, penghitungan nilai evaluasi, proses seleksi dan diteruskan dengan proses reproduksi dan rekombinasi. Untuk menghindari terjadinya konvergensi dini dan dominasi individu-individu tertentu maka dilakukan Mekanisme Penyesuaian dan pemilihan kombinasi parameter yang tepat sehingga diperoleh solusi yang optimal.

Hasil uji coba persoalan Multidimensional Knapsack ini menggunakan Algoritma Genetika dan Dynamic Programming. Hasil uji coba menunjukkan bahwa dengan Dynamic Programming selalu dapat menghasilkan solusi optimal, sedangkan Algoritma Genetika menghasilkan solusi yang mendekati solusi optimal. Dynamic Programming hanya mampu menyelesaikan kasus kecil saja, karena setiap perubahan

harus disimpan sehingga membutuhkan memori yang besar, sedangkan untuk Algoritma Genetika mampu menyelesaikan sampai kasus besar. Sedangkan untuk kasus kecil, Algoritma Genetika lebih cepat waktu komputasinya dibandingkan dengan Dynamic Programming. Kata kunci : Algoritma Genetika, Knapsack 1. Pendahuluan

Persoalan Multidimensional Knapsack (PMK) adalah persoalan optimisasi kombinasi yang telah lama dikaji oleh para ilmuwan di akhir dekade ini. PMK termasuk persoalan NP Complete (Nondeterministic Polynomial-time Complete), dimana tidak ada penyelesaian yang paling optimal selain mencoba semua kemungkinan penyelesaian yang ada. Akan tetapi hal tersebut membutuhkan waktu komputasi yang sangat besar, sehingga untuk kasus NP Complete dengan jumlah input yang besar bisa diselesaikan dengan program komputer berkecepatan tinggi dan dibutuhkan algoritma heuristik.

Dalam Persoalan Multidimensional Knapsack terdapat sejumlah n barang yang memiliki profit dan bobot tertentu yang akan dimasukkan ke dalam m karung dengan kapasitas tertentu (sebagai konstrainnya). Penyelesaian Persoalan Multidimensional Knapsack ini adalah untuk mendapatkan profit maksimum.

Persoalan Multidimensional Knapsack ini bisa diformulasikan ke beberapa masalah real misalnya masalah pengeluaran modal, dimana selama t tahun akan dikerjakan n pekerjaan, tiap pekerjaan pada tahun tertentu membutuhkan dana sebesar mij (i=1n ; j=1t) dan tiap pekerjaan selama t tahun akan mendapatkan keuntungan sebesar ki. Untuk tiap tahunnya tersedia anggaran sebesar dj, sehingga permasalahan yang timbul adalah memutuskan pekerjaan mana saja yang dapat dilakukan selama t tahun tersebut untuk mendapatkan keuntungan maksimum. Persoalan Knapsack ini dapat dinyatakan merupakan permasalahan zero-one integer programming.

IES 2003 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya - ITS

110

Banyak metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan Multidimensional Knapsack ini salah satu metode yang digunakan adalah Algoritma Genetika. Algoritma Genetika sebagai cabang dari Algoritma Evolusi merupakan metode adaptive yang bisa digunakan untuk memecahkan suatu pencarian nilai dalam persoalan optimasi. Alternatif pencarian menuju konvergen inilah yang merupakan diharapkan menjadi solusi terbaik. 2. Algoritma Genetika Algoritma Genetika adalah metode yang digunakan untuk pencarian nilai dalam sebuah masalah optimasi. Algoritma ini diambil dari proses genetika yang ada pada makhluk hidup yaitu perkembangan generasi dalam suatu populasi mengikuti prinsip seleksi alam yaitu individu yang kuat akan bertahan dan yang lemah akan mati. Artinya gen dari individu yang paling sesuailah yang mampu berkembang menjadi individu-individu yang lebih baik untuk generasi berikutnya. Kombinasi dari karakteristik yang bagus dari makhluk hidup yang mampu beradaptasi dengan lingkungan ini dapat direproduksi sehingga spesiesnya akan semakin mampu bertahan hidup. Algoritma Genetika bekerja dengan meniru prinsip diatas untuk mencari solusi permasalahan dalam dunia nyata. 2.1 Proses Algoritma Genetika Secara Umum Algoritma Genetika adalah sebagai berikut 1. Penyusunan populasi awal 2. Pengecekan feasibility / kelayakan kromosom jika

perlu 3. Penghitungan nilai evaluasi (fitness) dari setiap

kromosom 4. Penskalaan fitness 5. Pemilihan kromosom-kromosom untuk membentuk

generasi baru 6. Operasi crossover dan mutasi (Operator Genetika). 7. Repair Operator, jika penanganan konstrain

menggunakan strategi Perbaikan 8. Pembentukan suatu populasi untuk generasi

berikutnya. 9. Jika prosesnya konvergen atau jumlah generasinya

sama dengan batas (input) maka proses selesai dan kromosom terbaik sebagai solusi. Jika tidak kembali ke langkah 2.

2.2 Parameter Algoritma Genetika Parameter pada Algoritma Genetika Ukuran Populasi Probabilitas Pindah Silang dan Mutasi

3. Penyelesaian PMK dengan Algoritma Genetika. 3.1 Definisi PMK Gambaran dari persoalan PMK ini adalah terdapat n buah barang yang akan dimasukkan pada m karung (sebagai konstrain). Tiap karung memiliki kapasitas tertentu (ci) dan tiap barang memiliki profit(pj) dan bobot(wij) pada karung i. Kapasitas, profit dan bobot adalah bilangan positif. Tujuannya adalah menentukan barang-barang yang dimasukkan pada karung tanpa melebihi kapasitas karung sehingga diperoleh profit yang maksimal. Untuk model matematika :

Max jJj

j xpxf

=)(

Jjx

Iicxw

j

ijJj

ij

}1,0{

I={1,2,3, ... ,m} dan J={1,2,3,...,n} Untuk xj = 1 maka barang dimasukkan ke semua karung, xj = 0 berarti barang tidak dimasukkan sama sekali ke karung. 3.2 Pengkodean Kromosom Karena PMK termasuk persoalan zero-one integer programming maka pengkodean kromosom berupa pengkodean biner. Dengan probabilitas keluarnya angka '0' lebih besar daripada angka '1' Pada pengkodean nilai 0 atau 1 pada bit ke-j menyatakan xj = 0 atau 1 pada solusi/kromosom. Pengkodean biner dari kromosom untuk PMK diilustrasikan pada gambar 1

Gambar 1 Pengkodean biner untuk kromosom PMK

Sebuah bit string S {0,1}n mungkin menyatakan kromosom yang infeasibel. Kromosom yang infeasibel adalah sebuah kromosom yang melanggar sedikitnya satu konstrain. 3.3 Fungsi Evaluasi Untuk mengevaluasi kromosom-kromosom, maka perlu diketahui metoda yang digunakan untuk menangani pelanggaran konstrain. Diantaranya :

1 n-1 5 4 3 2 n j

S[j] 1 0 1 0 1 0 0

111

Dengan repair operator. Pencarian dilakukan ke daerah pencarian yang feasibel sehingga fungsi evaluasi yang digunakan adalah :

Fit(x) = f(x) dimana jJj

j xpxf

=)(

Dengan fungsi penalti, penghitungan nilai evaluasi adalah Fit(x) = f(x) penalty(x)

Repair Operator Teknik umum yang digunakan untuk mendesain heuristic bertingkat menggunakan ratio pseudo-utility. Terdapat beberapa cara untuk menghitung pseudo-utility dari PMK, salah satunya dengan menggunakan pendekatan surrogate duality. Digambarkan sebagai berikut :

Max jJj

j xpxf

=)(

iIi

ijJj Ii

iji ckxwk

(*)

I={1,2,3, ... ,m} dan J={1,2,3,...,n} dimana k={k1,k2,k3,,km} adalah himpunan pengali surrogate yang merupakan bilangan real positif. (*) disebut surrogate konstrain. Untuk mendapatkan hasil yang optimal maka kita perlu mencari himpunan bobot (k) yang optimal. Selanjutnya pseudo-utility ratio dapat dihitung ij

Iiijj wkpu

=

= / Untuk mendapatkan bobot

ini bisa menggunakan LP Relaxation. Pirkul menyarankan beberapa metode untuk mendapatkan surrogate multiplier. Cara yang paling sederhana adalah menyelesaikannya dengan relaksasi Linier Programming dari persoalan PMK aslinya dan menggunakan nilai dari variabel dualnya sebagai surrogate multiplier. Atau dengan kata lain, ki diset sama dengan shadow price dari pembatas ke-i pada relaksasi LP dari PMK. Setelah mendapatkan ki dan menghitung uj maka selanjutnya dapat digunakan repair operator.

Repair operator ini terdiri dari dua fase. Fase pertama (DROP) menguji tiap variabel

berdasarkan kenaikan ui dan mengubah variabel dari 1 ke 0 jika kelayakan dilanggar. Tujuan dari DROP fase adalah untuk mendapatkan solusi yang feasibel dari solusi yang tidak fisibel.

Fase kedua (ADD) kebalikan proses diatas dengan menguji tiap variabel menurut penurunan ui dan mengubah variabel dari 0 ke 1 selama kelayakannya tidak dilanggar. Tujuannya untuk meningkatkan nilai evaluasi dari solusi yang feasibel.

3.4 Fungsi Penalti Fungsi Penalti ini bertujuan untuk mengarahkan daerah pencarian ke daerah solusi yang feasibel. Daerah pencariannya meliputi daerah feasibel dan unfeasibel. Sehingga untuk mengatasi kromosom yang infeasibel , maka digunakan fungsi penalti. Ada beberapa fungsi penalti yang digunakan : pINF(x) = ? , x U Fungsi Penalti pINF(x) bernilai tak terhingga (8) untuk string x yang infeasibel. Terkadang disebut death penalty karena untuk semua string yang infeasibel maka nilai evaluasinya adalah -8, sehingga tidak ada kesempatan untuk reproduksi.

pOFF(x) = 1 + UxpJj

j

Fungsi Penalti pOFF(x) berdasarkan pada keseimbangan kelebihan jumlah semua profitnya. pKBH(x) = pmax * NVC(x) x U Dimana : pmax = max{pj | j J } NVC(x) =| }|{ ij

Jjij cxwIi >

| adalah jumlah dari

konstrain yang dilanggar dari kromosom x. Ide dasarnya adalah memprediksi jarak dari kelayakan dengan jumlah konstrain yang dilanggar dan untuk menghubungkan penalty dengan fungsi obyektif dengan faktor pmax. Karena banyak pengarang yang menggunakan fungsi penalti diatas maka dikatakan sebagai fungsi penalti yang standart untuk persoalan MKP.

pHLM(x) = UxixCVIi

),(

CV(x,i) = ),0max( ijJj

ij cxw -

sebagai jumlah

pelanggaran konstrain dari konstrain i I, x adalah kromosom yang feasibel jika dan hanya jika CV(x,i) = 0

IES 2003 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya - ITS

112

untuk semua konstrain i I. Fungsi Penalti diatas berdasarkan pada jumlah semua pelanggaran konstrain, sehingga untuk kromosom yang infeasibel dengan jarak terbesar dari kelayakan diberi fungsi penalti terbesar. Namun fungsi ini tidak ada hubungannya dengan fungsi obyektif. PCOR =

UxIiixCVr

p

+}|),(max{.

1

min

max

},|min{min JjIiwr ij =

Faktor min

max 1r

p +

digunakan untuk menghubungkan fungsi obyektif berdasarkan pada profit dengan jumlah resource yang melebihi kapasitas konstrain. Faktor ini berdasarkan pada perkiraan profit yang hilang jika barang-barang tersebut dipindahkan dari karung untuk memenuhi feasibilitas/kelayakan. Sehingga pertambahan fungsi penalti ini lebih tinggi daripada pertambahan fungsi obyektif jika jauh dari kelayakan.

3.5 Seleksi Seleksi yang digunakan adalah sampling stokastik dengan wilayah tetap. Metode Seleksi yang digunakan adalah Roullete Wheel/Piringan Roullete.

3.6 Mekanisme Penyesuaian Untuk menghindarkan dominasi individu tertentu pada proses Algoritma Genetika , maka digunakan beberapa mekanisme penyesuaian, diantaranya seperti yang disebutkan dibawah ini. Windowing. Pada mekanisme ini nilai evaluasi setiap kromosom dikurangi dengan nilai evaluasi terkecil. Mekanisme ini memperbesar probabilitas seleksi dari kromosom yang paling kuat, akan tetapi menghilangkan kromosom yang paling lemah. Sigma Truncation. Metode ini disarankan oleh Forrest untuk mengembangkan penskalaan linier untuk menangani nilai evaluasi yang negatif.

)*(' scfff kk --=-

c adalah bilangan integer kecil, adalah deviasi standart

dan -f adalah rata-rata nilai evaluasi.

Normalisasi. Teknik normalisasi termasuk jenis penyesuaian dinamic yang digunakan oleh Cheng dan

Gen. Untuk permasalahan maksimum, bentuknya sebagai berikut :

g

g

+-+-

=minmax

min'ff

fkfkf

fmax adalah nilai evaluasi terbesar sedangkan fmin adalah nilai evaluasi terkecil. adalah bilangan real positif dengan interval (0,1). 4. Hasil dan Pembahasan

4.1 Data Uji Coba Pada pelaksanaan uji coba ini akan ditunjukkan

beberapa contoh kasus yang akan digunakan sebagai percobaan. Uji Coba dilakukan dengan menggunakan berbagai nilai untuk parameter. Tabel 1, table 2 dan table 3 merupakan hasil uji coba yang telah dilakukan.

Dari hasil uji coba, penanganan konstrain dengan menggunakan Repair Operator menghasilkan solusi yang optimal dibandingkan dengan lainnya.

Untuk membandingkan kinerja dari Algoritma Genetika, maka pelaksanaan uji coba kasus dengan Algoritma Genetika dibandingkan dengan metode Dynamic Programming. Dari hasil uji coba, metode Dynamic Programming hanya dapat di uji coba pada kasus kecil dengan jumlah barang sekitar 25. Barang dengan jumlah lebih dari 25 akan membutuhkan memori yang sangat besar. Hasil uji coba dengan kasus kecil dengan jumlah barang sampai 25 dengan menggunakan Algoritma Genetika dan metode Dynamic Programming ditunjukkan pada tabel 3.

Tabel 3. Hasil uji coba kasus kecil dengan Dynamic Programming dengan ratio = 0.5

Karung

Brg Waktu DP Waktu AG

4 10 0 : 0 : 2 : 294 0 : 0 : 0 : 681 4 12 0 : 0 : 5 : 378 0 : 0 : 0 : 841 4 14 0 : 0 : 10 : 165 0 : 0 : 1 : 241 4 16 0 : 0 : 26 : 709 0 : 0 : 1 : 331 4 18 0 : 0 : 51 : 164 0 : 0 : 1 : 482 4 20 0 : 1 : 32 : 852 0 : 0 : 2 : 844 4 22 0 : 1 : 34 : 616 0 : 0 : 2 : 254 4 25 0 : 5 : 18 : 478 0 : 0 : 3 : 726

5. Kesimpulan Beberapa kesimpulan yang dapat ditarik dari hasil uji coba ini adalah : Unjuk kerja Algoritma Genetika untuk menyelesaikan PMK sangat dipengaruhi oleh parameter-parameter yang digunakan dan nilai parameter. Pengaruh parameter adalah sebagai berikut :

IES 2003 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya - ITS

113

Untuk kasus dengan jumlah barang kecil maka daerah pencarian cukup dengan jumlah populasi yang kecil. Namun jika jumlah barang banyak maka perlu daerah pencarian yang besar pula sehingga mempengaruhi ukuran populasi. Besar kecilnya kasus mempengaruhi ukuran populasi.

Penanganan Konstrain dengan metode Repair Operator lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan metode penalti lainnya dalam menemukan solusi optimal.

Untuk menghindari konvergensi dini, maka perlu dipilih komposisi yang sesuai yaitu ukuran populasi, probabilitas crossover dan mutasi.

Berdasarkan uji coba yang telah dilakukan terhadap beberapa kasus dan setiap kasusnya telah mendapatkan nilai optimal terbukti bahwa Algoritma Genetika sebagai salah satu metode heuristik cukup ampuh untuk menyelesaikan persoalan optimisasi kombinasi. Dan dari percobaan Algoritma Genetika lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan Dynamic Programming. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Goldberg, David E. Genetic Algorithms in Search,

Optimization & Machine Learning. Addison-Wesley, Reading, MA, New York, 1989

[2] Khuri, T.Back, J.Heitkotter. The Zero/One Multiple Knapsack Problem and Genetic Algorithms, Proceedings of the ACM Symposium on Applied Computation, 188-193, ACM Press, 1994.

[3] Gen, Mitsuo, Runwei Cheng. Genetic Algorithms and Engineering Design. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997

[4] Chu, J.E. Beasley. Genetic Algorithm for Multidimensional Knapsack Problem. Journal of Heuristics, Volume 4, No. 1, 63-86, 1998.

[5] Gottlieb. On the Feasibility Problem of Penalty-Based Evolutionary Algorithms for Knapsack Problem,

[6] Gottlieb. On the Effectivity of Evolutionary Algorithms for Multidimensional Knapsack Problem, Proc. Of Artificial Evolution, Dunkerque, France, 1999.

IES 2003 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya - ITS

114

Tabel 1. Hasil Uji Coba Kasus Sedang dengan karung 30 dan barang 60 pop gen Cross

rate Mutation

rate Penanganan Constraint

Mekanisme Penyesuaian

Metode Crossover

profit Waktu gen_opt

30 60 80 10 pKBH Normalization Single Point 7314 12:648 12 30 60 80 10 Repair Normalization Single Point 8618 12:969 20 50 50 90 10 pKBH Windowing Single Point 8307 1:34:596 20 50 100 90 10 pKBH Windowing Single Point 8089 1:35:307 37 50 100 90 10 Repair Windowing Single Point 8712 21:792 11

100 50 60 10 Repair Normalization Multi Point 8702 3:09:142 6 100 50 60 10 Repair Sigma Truncation Multi Point 8714 47:669 6 100 50 60 10 Repair Windowing Multi Point 8714 54:979 6 100 50 80 10 pINF Normalization Multi Point 8210 3:25:886 36 100 50 80 10 pINF Sigma Truncation Multi Point 8267 38:335 40 100 50 80 10 pINF Windowing Multi Point 8219 39:116 44 100 50 80 10 pOFF Normalization Multi Point 8122 51:664 47 100 50 80 10 pOFF Sigma Truncation Multi Point 8194 52:696 45 100 50 80 10 pOFF Windowing Multi Point 8204 52:916 44 100 50 80 10 Repair Normalization Multi Point 8722 53:507 8 100 50 80 10 Repair Normalization Single Point 8714 53:277 6 100 50 80 10 Repair Sigma Truncation Multi Point 8722 53:777 8 100 50 80 10 Repair Sigma Truncation Single Point 8722 48:140 6 100 50 80 10 Repair Windowing Multi Point 8712 49:941 22 100 50 80 10 Repair Windowing Single Point 8714 39:898 6 100 100 80 10 Repair Normalization Multi Point 8702 1:21:116 6 100 100 80 10 Repair Normalization Single Point 8722 2:01:816 6 100 100 80 10 Repair Sigma Truncation Multi Point 8722 45:556 17 100 100 80 10 Repair Sigma Truncation Single Point 8722 44:434 17 100 100 80 10 Repair Windowing Multi Point 8722 1:04:373 4 100 100 80 10 Repair Windowing Single Point 8722 44:894 15 100 100 80 10 Repair Windowing Single Point 8722 53:507 8 150 50 80 10 pOFF Normalization Multi Point 8267 119:193 43 150 50 80 10 pOFF Sigma Truncation Multi Point 8346 118:373 49 150 50 80 10 pOFF Windowing Multi Point 8217 110:351 42 200 50 80 10 pOFF Normalization Multi Point 8203 138:982 40 200 50 80 10 POFF Sigma Truncation Multi Point 8227 139:914 29 200 50 80 10 POFF Windowing Multi Point 8215 143:589 46

Tabel 2. Hasil uji coba dengan jumlah karung 4 dan jumlah barang 110 dengan ratio 0.25

Pop Gen Cross rate

Mutation rate

Penanganan Constraint

Mekanisme Penyesuaian

Metode Crossover

Waktu Gen Opt

Profit

150 100 80 10 Repair Windowing Single Point 5:8:100 54 25838.5 150 100 80 10 pOFF Windowing Single Point 5:28:810 87 23252 150 100 80 10 pINF Windowing Single Point 5:22:60 97 22887.75