225403489 Dinamika Kisi Kristal

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT |DINAMIKA KISI KRISTAL 1

BAB I

PEMBAHASAN

A. Pendahuluan

Dalam bab yang lalu, telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom-atom

yang “diam” pada posisinya di titik kisi. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah

diam , tetapi bergetar pada posisi kesetim bangannya. Getaran atom-atom pada suhu

ruang adalah sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dim iliki atom-

atom pada suhu tersebut.

Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada

kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan

jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan

pedekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila

gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada

jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai

tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga pendekatan ini sering disebut

pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang

gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu)

sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering

disebut sebagai pendekatan kisi malar.

B. Gelombang Elastik

Zat padat tersusun dari atom-atom yang terpisah dan pisahan ini harus di

perhitungkan dalam dinamika kisi ketika panjang gelombang zat padat dapat

diberlakukan dalam medium tak hingga. Dinamika seperti ini dinamakan gelombang

elastik.


Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau sebuah batang berpenampang A

dengan rapat massa ρ, yang dirambati gelombang mekanik ke arah memanjang batang

x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u (x) sebagai akibat

adanya tegangan σ(x) dari gelombang, lihat gambar

Gambar 2.1

Dapat dituliskan regangan pada batang :

karena tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :

Dengan E menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut

hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan

gaya sebesar :

{ }

akan menyebabkan massa elemen batang tersebut mendapatkan percepatan

sebesar

Sehingga

{ }


Perhatikan lebih lanjut ruas kanan persamaan (2.4), dapat dijabarkan :

(

)

Masukkan kembali hasil (2.5) ke persamaan semula (2.4) memberikan :

yang dapat disederhanakan menjadi:

(

)

yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaan

gelombang umum :

(

)

akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik :

(

)

Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik dalam batang (secara umum pada

zat padat) bergantung pada “besaran elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young.

Karena perambatan gelombang tersebut bergantung pada besaran elastik maka

gelombang yang bersangkutan disebut gelombang elastik.

C. Konsep Fonon

Dalam analisisnya, Debye memandang padatan sebagai kumpulan phonon

karena perambatan suara dalam padatan merupakan gejala gelombang elastis.

Spektrum frekuensi Debye yang dinyatakan pada persamaan (3.1) sering disebut


spektrum phonon. Phonon adalah kuantum energi elastik analog dengan photon yang

merupakan kuantum energi elektromagnetik.

Adapun persamaannyan adalah :

)1.3(1

33

/

TBkEhf

E

e

NhfENE

Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang

mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua

gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket

energi getaran kisi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel”

seperti halnya foton pada gelombang cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang

mirip “dualisme partikel-gelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat

dianggap sebagai aliran fonon.

Tabel 3.1. Beberapa konsep dualisme gelombang-pertikel

GELOMBANG PARTIKEL

Gelombang elektromagnetik

Gelombang elastik/kisi Kristal

Gelombang elektron kolektif

Gelombang magnetisasi

Gelombang electron+deformasi elastik

Gelombang polarisasi

Foton

Fonon

Plasmon

Magnon

Polaron

Eksiton

3.1. Momentum Fonon

Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan foton

neutron, dan seolah-olah memiliki K . Bagaimanapun, fonon tidak membawa

momentum fisik.


Alasan bahwa fonon dalam satu kisi tidak membawa momentum adalah

bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga dalam

molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r1-r2, yang merupakan koordinat

relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½ (r1 + r2)

sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier.

Momentum fisik dari kristal adalah

)2.3(

su

dt

dMp

ketika kristal membawa Fonon K,

)3.3(

exp1

exp1

expiKa

iNKadt

duM

isKadt

duMp

s

dimana s berjalan di atas N atom. Digunakanlah deret

)4.3(1

11

0 x

xx

sN

s

s

Telah ditemukan bahwa nilai, Na

rK

2 dimana r adalah integer. Sehingga

,02exp riiNKa dan momentum kristal bernilai nol.

)5.3(0exp

s

isKadt

duMp

Semua sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum

adalah K , dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat aturan

seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan kuantum.

Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan seleksi vektor

gelombang.

)6.3(' Gkk


Dimana G adalah vektor dalam kisi timbal balik, k adalah vektor gelombang

dari foton yang diamati, dan k’ adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam

proses refleksi kristal semua akan mengalami momentum G , tetapi ini jarang

dianggap secara eksplisit.

Gelombang vektor total yang merupakan interaksi gelombang bersifat kekal

dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin dari vektor kisi resiprokal

G. Momentum keseluruhan selalu dijaga.

Jika hamburan foton bersifat inelastis, dengan membuat fonon dari vektor

gelombang K, maka aturan seleksi vektor gelombang menjadi

GkKk '

Jika foton K yang diserap dalam proses, didapatkan persamaan

)7.3(' GKkk

3.2. Penghamburan Fonon Tak-Elastik

Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik

dari neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron

yang tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon.

Sebuah neutron berada pada kisi kristal akibat interaksi inti atom.

Hamburan kinematik neutron pada kisi kristal menggambarkan aturan seleksi

vektor gelombang secara umum.

)8.3(' KkGk

Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari

foton yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor kisi

resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama.


Energi kinetik interaksi neutron adalah nM

p

2

2

, dimana nM adalah massa

neutron. Momentum p diberikan oleh k , dimana k adalah vektor gelombang dari

neutron. Energi kinetik dari interaksi neutron adalahnM

k

2

22. Jika k’ adalah vektor

gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah nM

k

2

'22 . Persamaan

konservasi energi adalah

)9.3(2

'

2

2222

nn M

k

M

k

dimana adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama proses

berlangsung.

D. Dinamika Kisi Monoatomik

Perhatikan kisi eka-atom (hanya tersusun oleh satu jenis atom) satu dimensi

seperti ditunjukkan oleh gambar 2.5. Pada keadaan seimbang atom-atom secara rata-

rata menduduk ititik kisi. Kemudian, atom-atom akan menyimpang dengan simpangan

sebesar ….un-1

, un, u

n +1, ............dst.

Gambar 4.1. Kisi eka-atom satu dimensi dalam keadaan seimbang (atas) dan

dirambati gelombang longitudinal (bawah).


Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan

sebagai berikut :

(4.1)

m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t

menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian

berbentuk :

(4.2)

A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang

dan dapat dituliskan :

n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (4.2) ke dalam persamaan gerak

(4.1), dan memiliki ketergantungan terhadap waktu

)

[ ]

)

) (4.3)

dimana,

(4.4)

maka,

)

(4.5)

dan dengan menggunakan hubungan Euler :


sehingga,

(

(1-

(1-

Turunkan ,

jadi,

⁄

Diperoleh solusi :

(4.6)

Dengan,

⁄

Hasil (4.6) menyatakan hubungan antara ω dan q, jadi jelas bahwa persamaan

tersebut menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk/bersifat

sinusoida. Dalam pembahasan di atas secara implisit telah digunakan pendekatan

gelombang pendek, karena medium “tampak” sebagai deretan atom-atom diskrit. Dari

hasil dapat dikatakan bahwa untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek,

hubungan dispersinya sinusoida (tidak linier); lihat gambar 4.2.


Gambar 4.2. Hubungan dispersi, ω vs q, sinusoida dari kisi

diskrit (pendekatan gelombang pendek).

E. Dinamika Kisi Dwiatomik

Kisi dwi atom 1 dimensi merupakan kisi yang tersusun oleh dua atom dengan

massa berbeda yang diperlihatkan dalam satu dimensi. Massa M1 bisa dianggap berada

pada titik kisi sedangkan massa 2 atau M2 berada pada titik tengah suatu sel satuan.

Sehingga simpangan akibat adanya getaran yang menyebabkan atom-atom ini

bergerak dapat terukur dalam jangka waktu tertentu. Berikut gambar pergerakan atom

dalam kisi

Gambar 5.1: posisi atom pada sel primitive yang tersusun atas 2 atom, (a)

posisi atom setimbang, (b) perpindahan kontinyu

Gambar di atas menunjukkan apabila kisi dirambati gelombang maka atom-atom akan

menyimpang sejauh … dan seterusnya. Kita dapat menganggap atom-


atom yang berdekatan atau tetangga terdekat akan dipengaruhi oleh potensial

tetangganya masing- masing sehingga Energi potensial yang dialami oleh atom-atom

dapat digambarkan secara matematis,yaitu:

∑

∑

Untuk mempermudah perhitungan kita dapat menganggap atom dengan massa lebih

kecil(m) bernomor ganjil sedangkan atom bermassa lebih besar (M) bernomor genap

maka

Gambar 5.2

Dari gambar diatas terlihat bahwa atom-atom baik itu atom bermassa kecil

maupun lebih besar akan memiliki perpindahan sebagai berikut:

Sesuai dengan hokum II Newton

Namun, karena massa dan pergerakan kedua atom ini berbeda sehingga kita

harus menuliskannya secara terpisah.

Persamaan perpindahan untuk atom bermassa lebih besar (M) atau atom

bernomor ganjil.

Persamaan perpindahan untuk atom bermassa lebih kecil (m) atau atom bernomor

genap


Dengan adanya persamaan posisi ini maka kita harus mampumenyatakan

persamaan tersebut dalam bentuk persamaan gelombang yang mengandung q sebagai

bilangan gelombang dan sebagai frekuensi sudut gelombang.

Sehingga fungsi gelombangnya yaitu

[ ]

[ ]

Masuukkan ke persamaan posisi

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

[

] [

]

Persamaan ini akan bernilai tidaknoljika determinan matriks di atas sama dengan nol.

Jadi,

|

|

( ( )=0

4 4

Sehingga nilai frekuensi menjadi

(

) [(

)

]


Dimana persamaan ini menghasilkan dua penyelesaian yaitu:

(

) [(

)

]

Persamaan ini disebut persamaan frekuensi cabang optic karena apabila dihitung,

frekuensi ini berada dibawah frekuensi gelombang inframerah atau optic.

(

) [(

)

]

Persamaan kedua ini disebut persamaan gelombang frekuensi cabang akustik karena

karakteristiknya mirip seperti gelombang bunyi yang mana apabila meningkat

maka q juga meningkat begitu pula sebaliknya.

Berikut pola gerakan atom akibat getaran yang terjadi di lihat dari Amplitudo baik itu

Amplitudo atom bernomor ganjil maupun genap. Yang didapat dari persamaan

berikut

[ ]

[ ]

Gambar 5.3. Dapat dilihat pada gambar bahwa cabang akustik untuk dan sefase

sedangkan untuk cabang optic tidak sefase


.

Gambar 5.4. Daerah frekuensi dan dispersi

Jika kita lihat dari gambar 5.4 bahwa daerah antara dan disebut celah frekuensi

yaitu daerah dengan interval –

karena pada interval ini tidak ada

gelombang maka kisi dwi atomik tidak merambatkan gelombang tetapi meredamnya.

Hal ini memungkinkan kisi menjadi tapis lolos yakni mampu meredam maupun

merambatkan frekuensi tertentu.

F. Zone Brilouin Pertama

Konsep zona Brillouin dikembangkan oleh Léon Brillouin (1889-1969),

seorang fisikawan Perancis. Dalam matematika dan fisika zat padat, zona Brillouin

adalah sel satuan primitif dalam kisi resiprok. Batas-batas sel ini diberikan oleh bidang

yang berhubungan dengan titik pada kisi resiprokal. Sebuah zona Brillouin

didefinisikan sebagai sel Wigner-Seitz di kisi resiprokal. Garis yang menghubungkan

titik asal kisi ke titik-titik kisi tetangga sekarang merupakan vektor kisi resiprokal G

(Gambar 6.1). Daerah terkecil yang ditutupi oleh sel Weigner-Seitz (kuning) juga

dikenal sebagai zona Brillouin pertama.


Gambar 6.1. Zona Brillouin pertama

Ada juga zona Brillouin kedua, ketiga, dll, , berhubungan dengan rangkaian

daerah yang memisah (semua dengan volume yang sama) untuk meningkatkan jarak

terdekat dari asal, tetapi ini lebih jarang digunakan. Sehingga, zona Brillouin pertama

sering disebut sebagai zona Brillouin saja (Secara umum, zona Brillouin-n terdiri dari

himpunan titik-titik yang dapat dihubungkan dari asal dengan melintasi n-1 bidang

Bragg yang berbeda). Sebuah konsep yang terkait bahwa dari zona Brillouin dapat

diminimalkan, yang merupakan zona Brillouin pertama dikurangi dengan semua

simetri dalam kelompok titik kisi.

6.1. Zona Brillouin Kisi Satu Dimensi

Zona Brillouin juga dikatakan sebagai representasi tiga dimensi dari nilai k,

k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan gelombang.

Nilai kritis bilangan gelombang k tergantung dari sudut antara datangnya

elektron dengan bidang kristal, θ. Oleh karena itu dalam kristal tiga dimensi

kkritis tergantung dari arah gerakan elektron relatif terhadap kisi kristal, dan

kemungkinan adanya susunan bidang kristal yang berbeda. Jika jarak antar ion


dalam padatan adalah , maka dari persamaan | |

, kita dapatkan

nilai kritis bilangan gelombang untuk kasus satu dimensi adalah

Daerah antara –k1 dan +k1 disebut zona Brillouin pertama. Gambar 6.2

memperlihatkan situasi satu dimensi yang menggambarkan zona yang pertama.

Gambar 6.2. Gambaran satu dimensi Zona Brillouin pertama.

6.2. Zona Brillouin Kisi Dua Dimensi

Pada kasus dua dimensi kita melihat gambaran nilai-nilai batas k pada

sumbu koordinat x-y pada Gambar 6.3. Karena baik bidang vertikal maupun

horizontal dapat memantulkan elektron, maka kita memiliki hubungan

Gambar 6.3. Gambaran dua dimensi zona Brillouin pertama.


6.3. Zona Brillouin Kisi Tiga Dimensi

Pada kasus tiga dimensi, kita melihat satu contoh Zona Brillouin untuk kisi

kristal kubus sederhana. Untuk kasus ini hubungannya (8.16) berubah menjadi

Gambar 6.4. memperlihatkan gambaran tiga dimensi zona Brillouin pertama pada

kisi kristal kubus sederhana.

Gambar 6.4. Zona Brillouin pertama kisi kristal kubus sederhana

Untuk BCC, kisi resiproknya adalah kisi FCC. Bekerja pada garis yang

sama dapat ditemukan bahwa kisi resiprokal dari kisi bcc adalah kisi yang face-

centred dan sesuai zona Brillouin pertama adalah berbentuk belah ketupat

dodecahedron.


Gambar 6.5. Zona Brillouin BCC

Untuk FCC, kisi resiproknya adalah kisi BCC. Kisi resiprokal dari kisi fcc

adalah kisi yang body-centred dan sesuai zona Brillouin pertama adalah segi

delapan.

Gambar 6.6. Zona Brillouin FCC


BAB II

SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Apa yang dimaksud dengan pendekatan kisi diskrit?

Penyelesaian

Pendekatan kisi diskrit adalah kata lain dari pendekatan gelombang pendek yakni

apabila gelombang yang digunakan dalam Kristal memiliki panjang gelombang

yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Ketika suatu keadaan saat gelombang

melihat kristal sebagai sesuatu yang tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga

pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit.

2. Apa yang anda ketahui tentang gelombang elastik?

Penyelesaian

Gelombang elastik adalah dinamika kisi ketika panjang gelombang zat padat dapat

diberlakukan dalam medium tak hingga karena zat padat tersusun dari atom-atom

yang terpisah dan pisahan ini harus di perhitungkan. Gelombang elastik pada zat

padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik)

maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat

menyebabkan getaran kisi.

3. Sebutkan perbedaan dari fonon dan foton!

Penyelesaian

Fonon :

(1) rambatan getaran kisi dalam zat padat

(2) Termasuk gelombang elastik


Foton

Foton adalah partikel elementer dalam fenomena elektromagnetik.

Biasanya foton dianggap sebagai pembawa radiasi elektromagnetik, seperti

cahaya, gelombang radio, dan Sinar-X.

Foton memiliki baik sifat gelombang maupun partikel ("dualisme

gelombang-partikel").

Sebagai gelombang, satu foton tunggal tersebar di seluruh ruang dan

menunjukkan fenomena gelombang seperti pembiasan oleh lensa dan

interferensi destruktif ketika gelombang terpantulkan saling

memusnahkan satu sama lain.

Sebagai partikel, foton hanya dapat berinteraksi dengan materi dengan

memindahkan energi

4. Cari dan gambarkan persamaan (hubungan) dispersi antara ω dan q untuk kristal

berbasis satu atom (monoatomik) menurut hukum kedua Newton, dimana persamaan

gerak atom ke-n sebagai berikut :

Penyelesaian,

Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan

sebagai berikut :

(4.1)

m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t

menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian

berbentuk :

(4.2)

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dualisme_gelombang-partikel&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dualisme_gelombang-partikel&action=edit&redlink=1


A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang

dan dapat dituliskan :

n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (4.2) ke dalam persamaan gerak

(4.1), dan memiliki ketergantungan terhadap waktu

)

[ ]

)

) (4.3)

dimana,

(4.4)

maka,

)

(4.5)

dan dengan menggunakan hubungan Euler :

sehingga,

(

(1-

(1-

Turunkan ,


jadi,

⁄

Diperoleh solusi :

(4.6)

Dengan,

⁄

Sehingga hubungan dispersi antara ω dan q pada kristal berbasis satu atom

(monoatomik) dapat digambarkan sebagai berikut:

5. Turunkan persamaan disperse hubungan antara dan q pada kisi dwi atom.

Jawaan:

Dengan


[ ]

[ ]

Sehingga

Atau dalam bentuk matriks

[

] [

]

Akan memiliki penyelesaian jika determinan matriks sama dengan 0

|

|

( ( )=0

4 4

Dapat diselesaikan dengan

√

Dengan

√

√

√ [ ]

√[ ]

[ ]

(

) [(

)

]


DAFTAR PUSTAKA

Solyo, Jeno. 2007. Fundamental Of The Physics Of Solids. Germany: Springer.

Kittel, C. 1996. Introduction to Solid State Physics Seventh Editio. United States Of

America: John Willey & Sons.

Parno. 1999. Pendahuluan Fisika Zat Padat: Dinamika Kisi. Diakses melalui

http://elearning.unsri.ac.id/ pada tanggal 23 Mei 2013.

Sudaryatno, S dan Ning Utari S. 2012. Mengenal Sifat Material. Bandung: Darpublic.

Huang, Yuan Ming. - . Solid State Physics. Diakses melalui http://www.lcst-

cn.org/Solid%20State%20Physics/Ch24.html pada tanggal 25 Mei 2013.

http://elearning.unsri.ac.id/

http://www.lcst-cn.org/Solid%20State%20Physics/Ch24.html

http://www.lcst-cn.org/Solid%20State%20Physics/Ch24.html

Documents

225403489 Dinamika Kisi Kristal