22_Tehnicko crtanje so nacrtna geometrija i autocad za I - PRINT_CRNO BELA_WEB.pdf

Risto Ta{evski Ta{ko Rizov

TEHNI^KO CRTAWE SO NACRTNA GEOMETRIJA

I AUTOCAD

I godina

geolo{ko - rudarska i metalur{ka struka

, ; - ; ; - .22-1258/1 13.07.2011 .

CIP - . , : , - : , - : Autocad : I - : : , 2011 : 148 . : . ; 28 ISBN: 978-608-226-314-4: 744:514.18(075.3), 744:004.92(075.3) : , , : 07.11.2011COBISS.MK-ID: 89115658

:

: ,

Avtori: prof. d-r Risto Ta{evski

asis. m-r Ta{ko Rizov

Naslov: Tehni~ko crtawe so nacrtna geometrija i AutoCAD

Recenzenti: doc. d-r Irena Mickova - pretsedatel

dipl. ma{. in`. Dragan Stojanovi} - ~len dipl. ma{. in`. Lidija Veli~kovska - ~len

Lektura: Suzana Stojkovska

Tehni~ko ureduvawe i kompjuterska obrabotka: prof. d-r Risto Ta{evski

Korica: prof. d-r Risto Ta{evski

Zabraneto kopirawe i umno`uvawe soglasno Zakonot za avtorsko pravo

3

Predgovor Ako matematikata e temel, toga{ inènerskata grafika (tehni~ko crtawe i nacrtna geometrija) e stolb na tehni~kite nauki. U~ebnikov e namenet za u~enicite od I godina na geolo{ko - rudarskata i metalur{kata struka na stru~nite sredni {koli, odnosno kade {to se izu~uva pretstavuvawe na trodimenzionalni oblici na crte`. So pomo{ na u~ebnikov kaj u~enicite treba da se razvie razbirawe i pretstavuvawe na objekti i predmeti prikaàni na tehni~ki crteì. U~enikot treba da se zdobie so prostorna pretstava na objektite, odnosno da ja osoznae tretata sugestivna dimenzija ili, ednostavno kaàno, da se zdobie so oset za prostor. Prostornata pretstava na u~enicite im e potrebna za sledewe na nastavnita predmeti vo narednite u~ebni godini. U~enicite ne treba da se optovaruvaat so crtawe na komplicirani crteì od dadenata oblast (struka), tuku treba pove}e informativno da osoznaat za kakvi crteì se raboti i kade moè da gi primenat. Zada~ite {to im se zadavaat za crtawe kaj niv treba da razvijat oset za prostor i kreativnost, rabotej}i gi zada~ite da go sovladaat ra~noto crtawe i da gi nau~at osnovnite komandi na kompjuterskoto crtawe. Materijalot vo u~ebnikov e podelen na devet glavi. Na krajot na nekoi glavi e predviden materijal za ve`bawe. Od pettata do devettata glava dadeno e objasnuvawe na fazi za crtawe vo AutoCAD, potrebni za izveduvawe na nastava na kompjuter. Materijalot vo u~ebnikov sodrì tekstualno objasnuvawe i grafi~ki prikazi. Grafi~kite prikazi prezentiraat odredena grafi~ka postapka koja vo u~ebnikot e ednostavno obrazloèna i opi{ana; toa ovozmoùva ~itatelot ednostavno da go sovlada nastanuvaweto na crteìte, koristej}i se so ra~na i kompjuterska tehnika. Grafi~kite prikazi na u~enicite vo tekot na predavawata treba da se prezentiraat na tabla so ra~no iscrtuvawe, so pomo{ na grafoskop i kompjuter. Grafi~kite prikazi vo u~ebnikov se nacrtani na kompjuter vo crta~kiot paket AutoCAD, a samo mal del od slikite se skenirani. U~ebnikot e napraven vrz baza na programata od Biroto za razvoj na obrazovanieto pri Ministerstvoto za obrazovanie i nauka. Rezultat e na dolgogodi{noto iskustvo na avtorot od predavawa i ve`bi od oblasta na inènerskata grafika (tehni~ko crtawe i nacrtna geometrija) na Ma{inskiot, Elektrotehni~kiot, Tehnolo{ko metalur{kiot fakultet vo Skopje, Rudarsko - geolo{kiot fakultet vo [tip, kako i izrabotkata na pove}e u~ebnici za Ma{inskiot fakultet i u~ebnikot ,,Tehni~ko crtawe so nacrtna geometrija i AutoCAD za I godina na stru~nite sredni {koli namenet za ma{inskata i drugi struki. Prof. d-r Risto Ta{evski gi kreira{e celosno devette glavi, a vo izrabotkata na odredeni sliki u~estvuva{e m-r Ta{ko Rizov i delumno u~estvuva{e i m-r Sla|an \or|evi}, za {to mu blagodarime. Iskaùvame blagodarnost na recenzentite i na site {to }e go koristat u~ebnikot. Skopje, 2011 Avtorite

4

Sodr`ina

Predgovor 3 Sodr`ina 4

11. Standardi 6 1.1. Zada~a, cel i zna~ewe

na tehni~koto crtawe

6 1.2. Materijal, pribor i ured za

tehni~ko crtawe

7 Materijal 7 Pribor 7 Kompjuter 8

Primer 1.2.1. 8 Upotreba i rakuvawe so priborot i kompjuterot

9

1.3. Tehni~ki crte` 10 1.4. Standardizacija 10

Primer 1.4.1. 11 1.5. Formati i razmeri 14

Primer 1.5.1. 14 1.6. Vidovi i primena na linii 16

Primer 1.6.1. 17 1.7. Tehni~ko pismo 17

2. Osnovni geometriski konstrukcii vo ramnina

20

2.1. Elementarni konstrukcii 20 Primer 2.1.1. 21 Primer 2.1.2. 22

2.2. Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici (poligoni)

22

Mnoguagolnici vpi{ani vo kru`nica so daden radius

22

Primer 2.2.1. 23 Primer 2.2.2. 24

Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici so zadadena strana

24

Primer 2.2.3. 24 2.3. Kru`ni premini - spregnuvawa 25

Primer 2.3.1. 25 Primer 2.3.2. 26 Primer 2.3.3. 26 Primer 2.3.4. 27

2.4. Konusni preseci (krivi od vtor red)

27

Elipsa 28 Primer 2.4.1. 28 Primer 2.4.2. 29 Primer 2.4.3. 31

Parabola 31 Primer 2.4.4. 32

Hiperbola 32 Primer 2.4.5. 33

Zada~i za ve`bawe na spregnuvawa 34 3. Proekciono crtawe 35

3.1. Proektirawe 35 Primer 3.1.1. 35

Vidovi proektirawa 36 Centralno proektirawe 36

Primer 3.1.2. 36 Paralelno proektirawe 37

Koso proektirawe 37 Primer 3.1.3. 37

Ortogonalno proektirawe 37 Primer 3.1.4. 38

3.2. Proekcii (pogledi) 38 Ortogonalno proektirawe na edna ramnina

38

Ortogonalno proektirawe na dve i pove}e ramnini

39

3.3. To~ka 39 Primer 3.3.1. 39

3.4. Prava (otse~ka) 40 Primer 3.4.1. 40

Specijalni polo`bi na prava 40 3.5. Ramnina i ramninska figura 42

Specijalni polo`bi na ramnina i ramninska figura

43

3.6. Tela i povr{ini 45 Rabesti tela 45

Prizma 45 Primer 3.6.1. 45

Piramida 46 Primer 3.6.2. 46

Kocka 47 Primer 3.6.3. 47

Val~esti (rotacioni) tela 47 Cilindar 47

Primer 3.6.4. 48 Konus 48

Primer 3.6.5. 49 Topka (sfera) 49

Primer 3.6.6. 49 3.7. Tehni~ki predmeti ili objekti 50

Primer 3.7.1. 50 Osnovni pogledi 51

Primer 3.7.2. 52 Primer 3.7.3. 52

Specijalni i skrateni pogledi 53 Primer 3.7.4. 53 Primer 3.7.5. 54

3.8. Prostoren izgled na objekt -modelirawe na cvrsti tela

54

Zada~i vo prostoren izgled za ve`bawe na pogledi

57

Zada~i vo ortogonalni proekcii za ve`bawe na pogledi

59

4. Osnovni pravila i standardi vo ma{inskoto tehni~ko crtawe

61

4.1. Preseci 61 Primer 4.1.1. 61

Vidovi preseci 63 4.2. Kotirawe 67

Vidovi kotirawa 72 4.3. Oznaki za kvalitet na povr{inska

obrabotka

74 Primer 4.3.1. 74

4.4. Rabotilni~ki crte` 76 Primer 4.4.1. 77

4.4. Tehni~ka dokumentacija 80 Zada~i vo prostoren izgled za ve`bawe pogledi, preseci i rabotilni~ki crte`

81

Zada~i vo ortogonalni proekcii za ve`bawe pogledi, preseci i rabotilni~ki crte`

83

5. Osnovni elementi na AutoCAD 85 5.1. Podgotovki za crtawe vo AutoCAD 85

Meni FILE 86 NEW 86 OPEN 86 SAVE 87 SAVEAS 87

Faza: Zadavawe format za crtawe 88 LAYER 89 COORDS 91 SNAP 91 GRID 91

5

POLAR 91 OSNAP 93 OTRACK 93 ORTHO 94 LWT 94 MODEL 95

66. Crtawe na osnovni geometriski sliki vo AutoCAD

96

Faza: Crtawe na pogledi i preseci na predmetot

96

6.1. Naredbi za crtawe 96 Meni DRAW 98

LINE 98 POLYGON 98 RECTANGLE 99 ARC 100 CIRCLE 101 ELLIPSE 102

6.2. Naredbi za korigirawe, modificirawe i editirawe

103

Meni MODIFY 104 ERASE 104 COPY 105 MIRROR 106 OFFSET 106 MOVE 107 ROTATE 108 SCALE 109 TRIM 109 EXTEND 110 BREAK 111 CHAMFER 111 FILLET 112

6.3. Naredbi za ispi{uvawe na tekst na crte`

113

TEXT STYLE 113

TEXT 114 7. [rafirawe vo AutoCAD 115

Faza: [rafirawe 115 HATCH 116

8. Kotirawe vo AutoCAD 119 Faza: Definirawe na koten stil 119 Faza: Kotirawe 123

Primer 8.1.1. 123 9. Pe~atewe na crte` 125

Faza: Printawe ili plotirawe na rabotilni~ki crte`

125

PLOT 125 10. Crteì za prezentacija od

metalurgija, geologija i rudarstvo

129 10.1. Pretstavuvawe na ma{inski

delovi

129 Zap~enici 129 Leì{ta 130 Pruìni 131 Navoj 131

10.2. Geolo{ka grafika 134 Geolo{ka karta 134

Legenda 135 Geolo{ki stolb 135 Geolo{ki profili 135 Oprema na profilot 136

Blok dijagram 137 Izrabotka na blok dijagrami 137

10.3. Rudni~ka grafika 140 Proekcii 141 Preseci 143 Kotirawe 143

Crteì na otvoreni rudarski objekti

144

Crteì na podzemni rudarski objekti

145

Literatura 149

6

1.1. Zada~a, cel i zna~ewe na tehni~koto crtawe Crteòt pretstavuva edinstveno komunikativno sredstvo me|u lu|eto, koga stanuva zbor za proektirawe ili prenesuvawe slikovna poraka. Kako govorot ili pi{aniot zbor, taka i crteòt ili grafi~kata komunikacija ima golemo zna~ewe vo sevkupnoto ìveewe na lu|eto. So tehni~koto crtawe se izrabotuvaat tehni~ki crteì kombinirani so brojki, tekst i simboli so koi se dava mo`nost na izrazuvawe, za da se iskaè nekoja ideja, da se pretstavi nekoj predmet, upatstvo za rabota ili ednostavno da se ostavi slikoven zapis za ne{to {to ne treba da se zaboravi. Osnovnite zada~i na tehni~koto crtawe se: da se zapoznaat pravilata na proektiraweto i nivnata primena; da se zapoznae tehni~kiot crte` kako osnoven tehni~ki dokument; da se sfati zna~eweto na grafi~koto izrazuvawe kako edinstven na~in na

komunicirawe vo tehnikata; da razviva naviki za preciznost, urednost i estetski izgled; da se nau~i rakuvaweto i odrùvaweto na priborot i uredot za crtawe; da se nau~i izrabotkata na ednostavni crteì i ~itawe na proizvodna

dokumentacija.

Predmetot tehni~ko crtawe so nacrtna geometrija i AutoCAD e sostaven od tri granki ili delovi:

nacrtna geometrija; tehni~ko crtawe; komjutersko crtawe (AutoCAD).

Standardi 1.1. Zada~a, cel i zna~ewe na tehni~koto crtawe 1.2. Materijal, pribor i ured za tehni~ko crtawe 1.3 Tehni~ki crte` 1.4. Standardizacija 1.5. Formati i razmeri 1.6. Vidovi i primena na linii 1.7. Tehni~ko pismo

Vo ovaa glava objasneto e zna~eweto na tehni~koto crtawe, definirani se zada~ite i celite na predmetot. U~enikot treba da se zapoznae so priborot i materijalot za ra~no crtawe i so uredite za kompjutersko crtawe, da gi razlikuva standardite: nacionalni i internacionalni, da se zapoznae so standardite od strukata, so razmerite i so vidovite na linii i da pi{uva tehni~ko pismo.

Standardi

7

1.2. Materijal, pribor i ured za tehni~ko crtawe

Iscrtuvaweto na tehni~kite crteì nastanuva ra~no i so pomo{ na kompjuter. Za ra~no crtawe se koristi pribor i materijal, a za kompjutersko crtawe se koristi kompjuter i materijal.

Materijal

Pod materijal za crtawe se podrazbira s# ona {to se tro{i pri rabotata, a po potreba se obnovuva. Hartija. Vo zavisnost od namenata i na~inot na izrabotkata na crteìte se upotrebuvaat slednite vidovi hartija: hamer, akvarel, paus, hartija za skicirawe, milimetarska hartija, ozolit i transparent hartija. Molivi. Vo tehni~koto crtawe i voop{to vo tehnikata se upotrebuvaat razli~ni vidovi molivi vo koi e vmetnata crna grafitna mina, koja lesno se bri{e so guma i ne se razma~kuva duri i ako crteòt dojde vo dopir so voda. Minite moè da bidat tvrdi i meki. Nivnata debelina e od 0,2 do 2 mm. Tvrdosta na grafitnata mina se obeleùva za tvrdi mini so latinskata bukva H, a za meki so bukvata B. Tvrdosta na minite na molivite e prikaàna vo tabelata 1.2.1. Izborot na molivot zavisi od vidot na tehni~kiot crte` i od hartijata na koja se crta.

Tabela 1.2.1. Oznaki za tvrdost na molivite Mnogu tvrdi Pogodni za tehni~ko crtawe Mnogu meki

9H 3H 2H H HB (F) B 2B 3B 9B Tvrdi Sredni Meki

Guma. Meka guma se koristi za bri{ewe linii izvle~eni so moliv, a tvrda guma naj~esto se koristi za bri{ewe na linii izvle~eni so tu{. Tu{ e specijalna te~nost koja ne bledee, brzo se su{i, a te{ko se bri{e. Vo tehni~kite crteì se upotrebuva isklu~ivo crn tu{, iako ima tu{evi vo boja. Tu{ot treba da se ~uva zatvoren, podaleku od grejni tela, da ne e izloèn na sonce, bidej}i isparuva i se zgusnuva. Toner (toner) ili kertrix (cartridge) e sostaven (potro{en) del od printerite (pe~ata~ite) (sl. 1.2.1.). Tie se zatvoreni kutii (sistemi) napolneti so specijalna te~nost sli~na na tu{ot.

Slika 1.2.1. Toner (toner), kertrix (cartridge)

Pribor

Za izvr{uvawe na odredena rabota se koristi pribor koj{to ne se tro{i i ima relativno trajna vrednost, no pod uslov vnimatelno da se rakuva so nego. Linijari so razli~ni oblici sluàt za izvlekuvawe na pravi linii. Linijarite moè da se pricvrsteni za crta~ki tabli ili masi. Triagolnicite sluàt za izvlekuvawe pravi linii, se koristat pravoagolni so agli 60o i 30o, i 45o. Krivite linijari krivuljari i kru`nite linijari sluàt za izvlekuvawe krivi linii i kru`ni laci so golem radius (koi ne moàt da se izvle~at so {estar).

Standardi

8

Razmernici se linijari so nanesena precizna skala vo odreden razmer. Sluàt za nanesuvawe ili merewe na dolìni vo odreden razmer. Ne smeat da se upotrebuvaat za izvlekuvawe na linii, zatoa {to se o{tetuva skalata. Aglomerite sluàt za to~no nanesuvawe i merewe na agli, se sretnuvaat so agli do 180o ili do 360o. [estarot e namenet za izvlekuvawe na kru`ni linii i kru`ni laci. [ablonite se koristat za poednostavno ispi{uvawe na tekst (bukvi i brojki), za iscrtuvawe na razni znaci i simboli nameneti za razli~ni struki i zanimawa. (Na primer za iscrtuvawe na standardni elementi - stolovi, masi i sl.). Kompjuter Kompjuterot e elektronska naprava so mnogu razli~ni nameni. Toj ima sposobnost za brzo i precizno presmetuvawe, memorirawe i izveduvawe nizi od ednozna~no opredeleni operacii i instrukcii nare~eni programi. Ma{inata ili elektronskata naprava, odnosno nejzinite vidlivi delovi se narekuvaat hardver, a ,,du{ata i mozokot na hardverot ili programite se narekuvaat softver. Hardver. Kompjuterot ima tri osnovni grupi komponenti: centralna (sistemska) edinica; periferni (vlezni, izlezni i vlezno-izlezni) edinici; edinici za nadvore{na memorija. Personalniot kompjuter namenet za crtawe ima ku}i{te, monitor, tastatura, gluv~e, printer, po mo`nost skener i po èlba zvu~nici primer 1.2.1..

Primer 1.2.1. Na slikata 1.2.2. e prikaàn personalen kompjuter namenet za crtawe koj sodrì ku}i{te (1), monitor (2), tastatura (3), gluv~e (4), printer (5) i skener (6). Centralnata edinica i edinicite za nadvore{na memorija (tvrd disk, kompakt disk i disketna edinica) se smesteni vo sistemska kutija (ku}i{te), a pokraj nea se osnovnite periferni edinici (monitor, tastatura, gluv~e, printer i skener). Osnovni komponenti na centralnata edinica se: procesorot, centralnata (vnatre{na) memorija, elektronskite plo~i i kola, komunikaciskite priklu~oci i drugi komponenti povrzani me|u sebe so magistrali. Korisnikot komunicira so kompjuterot preku perifernite uredi (vlezni, izlezni i vlezno-izlezni edinici). Preku vleznite edinici korisnikot gi vnesuva informaciite (programi, naredbi, podatoci i sl.) vo kompjuterot. Pova`ni vlezni edinici se: tastatura, gluv~e, skener, elektronsko pero i dr. Preku izleznite edinici kompjuterot mu gi soop{tuva na korisnikot rezultatite od izvr{enata obrabotka. Pova`ni izlezni edinici se: monitor, pe~ata~ i zvu~nik. Vlezno-izlezni edinici se onie preku koi se vnesuvaat i ispra}aat podatoci. Vlezno-izlezna edinica e modemot.

Slika 1.2.2. Kompjuterot sodrì ku}i{te (1), monitor (2), tastatura (3), gluv~e (4), printer (5) i skener (6).

Standardi

9

Softver. Mo}nosta na kompjuterite ne se iskaùva samo so hardverskite komponenti, tuku so programskata (softverska) poddr{ka. Site programi {to gi izvr{uva kompjuterot se narekuvaat programski del (oprema) na kompjuterot ili softver. Programskata oprema se deli na: sistemski programi; aplikativni (korisni~ki) programi. Sistemskite programi ja upravuvaat i kontroliraat ma{inskata oprema i upravuvaat so drugi programi. Tuka spa|aat operativniot sistem (Windows operating system), kontrolni (control programs) i uslu`ni programi (PC Tools, Antivirus i dr.). Aplikativnite (korisni~kite) programi se koristat za izvr{uvawe na odredena rabota ili aplikacija, odnosno re{avawe na odreden problem. Za tehni~ko crtawe moè da se koristat pove}e aplikativni programi, no izbran e AutoCAD-ot, zatoa {to e momentalno najupotrebuvan so klasi~ni menija i komandi. Upotreba i rakuvawe so priborot i kompjuterot Pravilno rakuvawe so priborot se steknuva so strplivo dolgotrajno ve`bawe. Masata nameneta za crtawe treba da e postavena vo prostorija koja e osvetlena so prirodno svetlo, koe doa|a od severnata strana ili takanare~eno difuzno svetlo, odnosno svetlo bez senki.

Slika 1.2.3. Polo`ba i dvièwe na molivot vo odnos na linijarot.

Slika 1.2.4. Polo`ba molivot vo odnos na linijarot.

Na masata svetloto treba da pa|a od levata strana na crta~ot. Na slikite 1.2.3. i 1.2.4. e prikaàno pravilno dvièwe na rakata pri ra~no crtawe i polo`bata na molivot vo odnos na linijarot. Na sl. 1.2.5. e pokaàno koi agli moè da se konstruiraat so dva triagolnika.

Slika 1.2.5. Konstrukcija na agli so dva triagolnika.

Polo`bata na monitorot od kompjuterot vo odnos na prirodnoto ili ve{ta~koto svetlo treba da e takva da ne se sozdava refleksija (otsjaj) na samiot ekran. Vleznite podatoci i komandi vo kompjuterot se vnesuvaat preku tastaturata (Keyboard). Tastaturata e sostavena od tri grupi tasteri ili kop~iwa: grupa abecedni tasteri koja sodrì bukvi od angliskata abeceda, dekadni cifri i specijalni znaci locirani vo

Standardi

10

centarot levo na tastaturata; grupa numeri~ki tasteri locirana desno od abecednata grupa i funkciskite tasteri smesteni nad ili levo od abecednite tasteri (sl.1.2.6.). Komandite na kompjuterot vo grafi~ki operativni sistemi i aplikativni programi se zadavaat i izbiraat so pomo{ na gluv~e (mouse). So dvièwe na gluv~eto po ramna podloga se kontrolira strelkata pokaùva~ot na ekranot. Koga strelkata }e se dovede nad odredena opcija (komanda) se pritiska na edno od kop~iwata na gorniot del od gluv~eto. So toa naredbata sodràna vo komandata se izvr{uva.

Slika 1.2.6. Tastatura i gluv~e.

So pritiskawe na kop~iwata na gluv~eto se izvr{uva: Klik (Click) Ednokratno pritiskawe na levoto kop~e na gluv~eto nad elementot na ekranot predizvikuva odreden nastan, odnosno otvorawe meni, aktivirawe ikona, datoteka, zgolemuvawe i namaluvawe na prozorecot, pri crtawe definirawe na po~etna i krajna to~ka od linijata i dr. Dvoen klik (DoubleClick) Dvojno brzo edno po drugo pritiskawe na levoto kop~e na gluv~eto nad elementot go izbira elementot i aktivira odredena programa. Kliknuvawe i vle~ewe (Click&Drag, Drag&Drop) Pomestuvawe na elementi na ekranot, i toa odreden prozorec ili ikona, nastanuva so kliknuvawe na levoto kop~e i bez otpu{tawe pridviùvawe na gluv~eto vo sakanata pozicija i potoa otpu{tawe na kop~eto. Desen klik (RightClick) Pritiskawe na desnoto kop~e predizvikuva otvorawe na pomo{no meni ~ija{to sodrìna zavisi od polo`bata na pokaùva~ot.

1.3. Tehni~ki crte`

Tehni~ki crte` pretstavuva osnovna podloga ili dokument za izrabotka, kontrola i sklopuvawe (montaà) na nekoj tehni~ki objekt i sklop od tehni~ki objekti, kako i za nivna eksploatacija i odrùvawe.

1.4. Standardizacija

Vo tekot na razvojot na industrijata, vo proizvodstvenite kapaciteti se proizveduvaa delovi koi odgovaraa na eden edinstven element. Se uvidelo deka toa e neracionalno i nerentabilno i po~naa da se voveduvaat propisi i standardi (standard vospostaveno pravilo) za izrabotka na delovi koi bi odgovarale za site elementi. Zaradi poekonomi~no i poefikasno proizvodstvo se voveduvaat me|unarodni standardi.

Standardi

11

Standardizacijata ovozmoùva avtomatizacija i optimatizacija na sovremenite masovni proizvodstveni procesi prosledeni so faktorot na ekonomi~nost. Standardizacijata, tipizacijata i unifikacijata mu ovozmoùvaat na konstruktorot da vr{i izbor na delovi so usvoen oblik i dimenzii i so niv da ja realizira svojata zamislena konstrukcija. Tipizacijata e uslovena so proizvodi od ist tip so razli~ni dimenzii, a unifikacija e sveduvawe na proizvodot na ist edinstven oblik. Me|unarodnite standardi gi propi{uva Me|unarodnata organizacija za standardizacija (ISO - International Standards Organization). Pokraj me|unarodnite standardi, postojat i nacionalni standardi koi se vo sklad so niv i gi propi{uva sekoja zemja. Prifateni se standardite vaè~ki vo Evropskata Unija, koi{to se na angliski jazik. Obeleùvaweto na standardite se vr{i so dodavkata za makedonski standardi (MKS Makedonski standardi) primer 1.4.1.. Makedonskiot standard moè da bide identi~en so evropskiot (EN), me|unarodniot (ISO/IEC) ili nacionaleniot standard (DIN, BS) i vo toj slu~aj moè da se prepoznae po oznakata (MKC EN, MKC ISO, MKC DIN), no moè da bide samo nacionalen ili makedonski standard izraboten i usvoen od eksperti na tehni~kite tela na Institutot za standardizacija na Republika Makedonija (ISRM). Za ovoj vid na standardi mora da se izvestat evropskite tela za standardizacija. Primenata na makedonskite standardi e zakonska obvrska za site pretprijatija i ustanovi i za site poedinci koi se zanimavaat so stopanska dejnost i obrazovanie vo na{ata zemja.

Primer 1.4.1. Na slikata 1.4.1. e pretstaven na~inot na obeleùvawe na makedonskite standardi koi imaat osnovna oznaka MKC, oznaka na Evropskite standardi, oznaka na Me|unarodnata organizacija za standardizacija, broj na standardot i godina na usvojuvawe na standardot vo Makedonija. Pretstaven e standardot MKC EN ISO 128-21:2009 - tehni~ki crteì osnovni principi na pretstavuvawe - del 21: podgotovka i na~in na koristewe na linii vo CAD sistemite, koj spa|a vo poleto : Op{ti standardi. Terminologija. Standardizacija. Dokumentacija, grupa: Tehni~ki crteì, podgrupa: Tehni~ki crteì op{to. Nekolku primeri na standardi:

MKC EN ISO 3098-2:2009 - tehni~ka dokumentacija - tehni~ko pismo del 2: latini~no pismo, broevi i oznaki. MKC EN ISO 3098-6:2009 - tehni~ka dokumentacija - tehni~ko pismo del 6: kirilsko pismo. MKC EN ISO 5455:2009 - tehni~ko crtawe - razmeri. MKC EN ISO 5457:2009 - tehni~ka dokumentacija - formati.

MKC EN ISO 128-21:2009

OZ

NA

KA

NA

ST

AN

DA

RD

OT

:M

K -

MA

KE

DO

NS

KI

S -

ST

AN

DA

RD

EV

RO

PS

KI

ST

AN

DA

RD

ME

\U

NA

RO

DN

A O

RG

AN

IZ

AC

IJA

ZA

ST

AN

DA

RD

IZ

AC

IJA

BR

OJ

NA

ST

AN

DA

RD

OT

GO

DI

NA

NA

US

VO

JUV

AW

E N

AS

TA

ND

AR

DO

T V

O M

AK

ED

ON

IJA

Slika 1.4.1. Oznaki na Makedonskite standardi - standard za podgotovka i na~in na koristewe na linii vo CAD sistemite.

Standardi

12

Makedonskite standardi se nabavuvaat vo Institutot za standardizacija na Republika Makedonija (http://www.isrm.gov.mk). Prebaruvaweto na tehni~kite standardi najednostavno se vr{i preku Me|unarodnata organizacija za klasifikacija (ICS - International Classification for Standards) koja pretstavuva me|unaroden sistem za klasifikacija i nameneta e za pokrivawe na sekoj sektor, prakti~no na sekoja aktivnost na ~ove{tvoto, kade se koristat tehni~kite standardi. Sistemot e razvien i odr`uvan od Me|unarodnata organizacija za standardizacija (http://www.iso.org). Sistemot koristi hierarhiska klasifikacija, koja se sostoi od tri nivoa pole (nivo 1), grupa (nivo 2) i podgrupa (nivo 3). Site nivoa imaat soodveten kod nare~en notacija. Notacijata e zbir od arapski broevi. Najvisokoto nivo 1 ili pole e sostaveno od dvocifren broj: 01 GENERALITIES. TERMINOLOGY. STANDARDIZATION. DOCUMENTATION

Slednoto nivo 2 ili grupa e sostaveno od trocifren broj: 01.100 Technical drawings

Slednoto nivo 3 ili podgrupa e sostaveno od dvocifren broj: 01.100.01 Technical drawings in general

Prebaruvaweto na standardite preku veb-portalot e prika`ano na slednite sliki (sl. 1.4.2.a-d.):

Slika 1.4.1a. Izbor na pole preku ICS.

Slika 1.4.1b. Izbor na grupa preku ICS.

Standardi

13

Slika 1.4.1v. Izbor na podgrupa preku ICS.

Slika 1.4.1g. Izbor na baraniot standard.

Slika 1.4.1d. Proverka koga standardot e usvoen vo Makedonija preku Evropskiot komitet za standardizacija (http://www..esearch.cen.eu).

Standardi

14

1.5. Formati i razmeri Site tehni~ki crteì se crtaat na hartija so propi{ani dimenzii. Hartiite so propi{ani dimenzii gi narekuvame formati.

Formatite se upotrebuvaat zaradi za{teda na hartija, definirawe na golemina na tehni~ka dokumentacija i nejzino odrùvawe i ~uvawe, kako i definirawe na golemina na crta~ki pribor i uredi. Od formatite proizleguvaat dimenziite na site printeri, ploteri i skeneri. Dimenziite na formatot proizleguvaat od odnosot nare~en zlaten presek ili 2:1 . Od ovoj odnos proizleguva i osnovniot prv format A0 koj e so dimenzii 841x1189. Sekoga{ naredniot format se dobiva so dvojno namaluvawe na podolgata strana (tabela 1.5.1. i slika 1.5.1.). Tabela 1.5.1. Formati

Format Dimenzii A0 841 x 1189 A1 594 x 841 A2 420 x 594 A3 297 x 420 A4 210 x 297 A5 148 x 210 A6 105 x 148

Primer 1.5.1. Na slikata 1.5.2a. e pretstaven A3 format so site potrebni elementi. Ramkata se crta na 7 mm od rabovite na formatot, samo od levata strana se crta na 23 mm od rabot. Zaglavieto e smesteno vo dolniot desen agol od ramkata. Se crta vo modularna mreà od pravoagolnici so dimenzii (15x4,25)x(59x3,0508). Zaglavieto se popolnuva vo zavisnost od vidot na crteòt. Zaglavieto za rabotilni~ki crte` sodrì prostor za vnesuvawe na tolerancii, povr{inska obrabotka, povr{inska za{tita, termi~ka obrabotka, materijal, masa, razmer, oznaka za na~in na proektirawe, naslov na crteòt, naziv na firmata, ime na toj {to go izrabotil, konstruiral, standardiziral i odobril crteòt, broj na crteòt, izvod od koja dokumentacija e crteòt, izvr{eni izmeni na crteòt (slika 1.5.2b). Oznaki za centrirawe i orientacija se postavuvaat na simetralite od stranite na formatot. Od desnata i gornata strana toa se crti~ki koi navleguvaat vo crta~kiot prostor za 5 mm. Od dolnata i levata strana se stavaat strelki od ramnostrani triagolnici so strana 5 mm. Na dolnata strana od formatot triagolnikot navleguva 2-3 mm vo crta~kiot prostor. Referentna metri~ka skala e

A1

A3 A2

A4A5

A6

y=x 2 y

x210841

297

1189

Slika 1.5.1. Formati.

Standardi

15

prikaàna na dolniot del od ramkata, ima deset poliwa po 10 mm, se postavuva na simetrala i e so visina od 5mm. Pri kopirawe na crteòt doa|a do negovo zgolemuvawe ili namaluvawe koe ne e vo sklad so razmerot. Referentnata skala sluì za vospostavuvawe odnos na dimenziite na kopiraniot crte` so dimenziite definirani so razmerot na originalniot crte`. Sistemot na referentna mreà e opredelen so poliwa koi se obeleàni nadvor od ramkata i toa - po horizontala 8 poliwa so brojki od 1-8, a po vertikala 6 poliwa so bukvi od abecedata od A-F. So ovaa mreà crteòt se deli na poliwa i pri eventualna izmena na crteòt tie ednostavno se pronao|aat. Na primer, izmena vo pole C4 namesto 20 treba 18. Oznaki za se~ewe se postavuvaat na }o{iwata na formatot. Toa se linii so debelina 1 mm i dolìna 10 mm. Formatot se crta so debeli linii, osven nekolku horizontalni linii vo zaglavieto.

Site formati sodràt: ramka, zaglavie, oznaki za centrirawe, oznaki za orientacija, referentna metri~ka skala, sistem na referentna mreà i oznaki za se~eweprimer 1.5.1..

Slika 1.5.2a. Format A3 so site negovi elementi.

Slika 1.5.2b. Zaglavie za rabotilni~ki crte`.

Standardi

16

Predmetite na tehni~kite crteì se pretstavuvaat vo prirodna golemina, namaleni i zgolemeni zavisno od nivnata golemina i sloènost. Razmer e odnosot na dimenziite na predmetot vo prirodna golemina so dimenziite na predmetot na crteòt. Razmerot se utvrduva vo odnos na goleminata na predmetot i goleminata na crta~kiot list. Standardni razmeri za namaluvawe i zgolemuvawe, {to naj~esto se koristat, se dadeni vo tabelata 1.5.2.

Tabela 1.5.2. Standardni razmeri Prirodna golemina 1 : 1

Namaluvawe

1 : 2 1 : 20

1 : 200

1 : 5 1 : 50 1 : 500

1 : 10 1 : 100

1 : 1000 Zgolemuvawe 2 : 1 5 : 1 10 : 1

Vo AutoCAD se crta vo razmer 1:1 ili vo prirodna golemina, a crteòt se pe~ati ili plotira na odreden format vo razmer. Zna~i ne e potrebno odreduvawe na razmer pred po~etokot na crtaweto.

1.6. Vidovi i primena na linii

Za pretstavuvawe na predmetite na tehni~kite crteì se koristat razni vidovi linii. Vidovite linii se razlikuvaat po svojot oblik i debelina. Tie pridonesuvaat predmetite na tehni~kiot crte` da se jasno i nedvomisleno prikaàni. Vo odnos na debelinata, se koristat debeli i tenki linii. Tenkata linija treba da e dvapati potenka od debelata linija. Vo tabelata 1.6.1. dadeni se standardni kombinacii na debela i tenka linija.

Tabela 1.6.1. Standardni debelini na linii Tenka linija 0.13 0.18 0.25 0.35 0.5 0.7 1.0 Debela linija 0.25 0.35 0.5 0.7 1.0 1.4 2.0

Izborot na kombinacija na debelina na linija zavisi od goleminata na crta~kiot list, kakov predmet se crta i so kolkava preciznost treba da e nacrtan.

Liniite se delat i po svojot oblik na: polna, isprekinata, crta-to~ka-crta, crta-dve to~ki-crta, slobodora~na i cik-cak linija. Vrz osnova na izvr{enata podelba po oblik i debelina se dobivaat pove}e vidovi linii koi imaat razli~na primena na tehni~kite crteì (tabela 1.6.2.)primer 1.6.1..

Tabela 1.6.2. Vidovi i primena na linii Izgled Ime na linija Primena

A Polna debela A1 Vidlivi konturi A2 Vidlivi rabovi

B

Polna tenka (prava ili kriva)

B1 Nedovolno izrazeni prodori B2 Kotni linii B3 Pomo{ni kotni linii B4 Pokazni linii B5 [rafura B6 Konturi na zavrteni preseci B7 Kratki oskini linii

C D

Polna, tenka, slobodora~na Polna, tenka, cik-cak

C1 Grani~ni linii na delumni preseci i skrateni pogledi D1 Grani~ni linii na delumni preseci i skrateni pogledi

E F

Isprekinata, debela Isprekinata, tenka

E1 Nevidlivi rabovi E2 Nevidlivi konturi F1 Nevidlivi rabovi F2 Nevidlivi konturi

G

Crta-to~ka-crta, tenka

G1 Oskini linii G2 Simetrali G3 Traektorii (podvo`ni delovi)

Standardi

17

H

Crta-to~ka-crta, tenka, zadebelena na kraevite i na promenite na pravecot

H1 Prese~ni ramnini

J

Crta-to~ka-crta, debela J1 Prikaùvawe na linii i povr{ini so specijalni barawa

K

Crta-dve to~ki-crta, tenka

K1 Konturi na sosednite delovi K2 Alternativni i krajni polo`bi na podvi`nite delovi K3 Teì{ni linii K4 Pojdovni konturi pred oblikuvawe K5 Delovi koi se nao|aat pred prese~nata ramnina

Primer 1.6.1.

Na slikata 1.6.1. e prikaàna primena na liniite so razli~ni oznaki na tehni~kicrte`. Na stavkite se dadeni oznakite na vidovite na upotrebenite linii.

Slika 1.6.1. Primena na linii

Vo AutoCAD upotrebata na razni vidovi linii se sveduva na upotreba na razli~ni nivoa za crtawe (Layer). Se formiraat pove}e nivoa, vo zavisnost od oblikot i debelinata na linijata. AutoCAD gi sodrì site oblici na linii, duri se definirani po ISO standardite. Debelinata se odreduva so izbor na boja. Koga crteòt e gotov i treba da se izvr{i pe~atewe ili plotirawe, se definira debelinata na linijata vo zavisnost od izbranata boja.

1.7. Tehni~ko pismo Tehni~kite crteì sodràt pi{ani podatoci, vrednosti i informacii koi se ispi{uvaat so tehni~ko pismo. Tehni~koto pismo opfa}a bukvi (kirilica, latinica, gr~ki), broevi, matemati~ki znaci i drugi znaci. Tehni~koto pismo mora da e ednostavno i ~itlivo, za da moè so odredena fotografska postapka da se snima na mikrofilm. So standardot ISO 3098/1 se propi{ani osnovnite karakteristiki na tehni~koto pismo: vid (tip), oblik, visina i debelina na bukvite koi se ispi{uvaat ra~no (so slobodna raka ili {ablon) ili so mehani~ka postapka (kompjuter, printer, ploter). Predvideno e vertikalno i koso pismo. Kosoto pismo se ispi{uva pod agol od 75o vo odnos na horizontalata. Standardot gi propi{uva visinite i debelinite na

Standardi

18

bukvite, nivnite me|usebni rastojanija i drugi karakteristiki koi se dadeni vo tabelata 1.7.1.

Tabela 1.7.1. Odnos na golemini na tehni~koto pismo

ISO Visina na

golemi bukvi

h

Visina na mali bukvi

c

Rastojanie

a

Rastojanie me|u

redovi b

Rastojanie me|u

zborovi e

Debelina na linija

d

Tip A (14/14)h (10/14)h (2/14)h (22/14)h (6/14)h (1/14)h Odnos na golemini Tip B (10/10)h (7/10)h (2/10)h (16/10)h (6/10)h (1/10)h

Vo tabela 1.7.2. se dadeni karakteristi~nite dimenzii na tehni~koto pismo od tip A, a od tip B se dadeni vo tabela 1.7.3.

Tabela 1.7.2. Karakteristi~ni dimenzii na tehni~ko pismo od tip A Karakteristika Odnos Dimenzii

Visina na golemi bukvi h (14/14)h 2.5 3.5 5 7 10 14 20 Visina na mali bukvi c (10/14)h - 2.5 3.5 5 7 10 14 Rastojanie me|u bukvi a (2/14)h 0.35 0.5 0.7 1 1.4 2 2.8 Ras tojanie me|u redovi b (22/14)h 3.5 5 7 10 14 20 28 Rastojanie me|u zborovi e (6/14)h 1.05 1.5 2.1 3 4.2 6 8.4 Debelina na linija d (1/14)h 0.18 0.25 0.35 0.5 0.7 1 1.4

Tabela 1.7.3. Karakteristi~ni dimenzii na tehni~ko pismo od tip B

Karakteristika Odnos Dimenzii Visina na golemi bukvi h (10/10)h 2.5 3.5 5 7 10 14 20 Visina na mali bukvi c (7/10)h - 2.5 3.5 5 7 10 14 Rastojanie me|u bukvi a (2/10)h 0.5 0.7 1 1.4 2 2.8 4 Rastojanie me|u redovi b (16/10)h 3.5 5 7 10 14 20 28 Rastojanie me|u zborovi e (6/10)h 1.5 2.1 3 4.2 6 8.4 12 Debelina na linija d (1/10)h 0.25 0.35 0.5 0.7 1 1.4 2

Kompjuterskoto crtawe i podgotvuvawe na tehni~kata dokumentacija potpolno go isfrla od upotreba ra~noto tehni~ko pismo. Od kompjuterskite bukvi (fontovi) bi gi izdvoile najednostavnite i najupotrebuvanite: latinica - Times New Roman, Arial, Helvetica (slika 1.7.1a.) i dr., kirilica - MAC C Swiss (slika 1.7.1b.), MAC C Times, Macedonian TMS, Macedonian Helvetica i dr.

Slika 1.7.1a. Vertikalno tehni~ko pismo, tip A, latinica - (Helvetica).

Slika 1.7.1b. Koso tehni~ko pismo, tip B, kirilica - (MAC C Swiss).

Izborot na goleminata na bukvite od tehni~koto pismo zavisi od goleminata na crta~kiot list, od toa kakov predmet se pretstavuva i od koja dale~ina se gleda crte`ot. Za A3 formatot se koristi visina na golemite bukvi od 3-5 mm, a za naslovi - 7-10 mm. Ra~noto ispi{uvawe na tehni~ko pismo se izveduva so povlekuvawe na pomo{ni horizontalni i vertikalni linii (vodilki) koi odgovaraat na visinata i {irinata na bukvite, kako {to e prika`ano na sl. 1.7.2.

Standardi

19

ABVGD\E@ZYIJKLQMNWOPRST]UFHC^X[ 1234567890 abvgd|e`zyijklqm nwoprst}ufhc~x{

Slika 1.7.2. Koso tehni~ko pismo, tip B, kirilica.

20

Vo osnovni geometriski konstrukcii vo ramnina spa|aat konstrukciite {to se izveduvaat so pomo{ na linejka i {estar. Konstrukciite se objasneti so zadavawe na redosledot na potezite, koi{to lesno se sledat, odnosno so sledewe na brojkite vo kruk~iwata, koi pokaùvaat koja linija se izvlekuva prva, koja vtora, treta itn. So povlekuvawe na poteg se dobivaat prese~ni to~ki koi uslovuvaat povlekuvawe na sleden poteg, s# dodeka ne se dobie baranoto re{enie.

2.1. Elementarni konstrukcii Na sl. 2.1.1. e prikaàna konstrukcija na simetrala EF na otse~kata AB dobiena so povlekuvawe na radius R i simetrala na otse~kata BC dobiena so radius r. Na sl. 2.1.2. e prikaàna konstrukcija na normala od dadena to~ka A kon dadena prava a.

231

A

E

C D B

F

R

r

3D

CB

A

1R

RR

2

a

Slika 2.1.1. Konstrukcija na simetrala EF na otse~kata i AB i simetrala na otse~kata BC

Slika 2.1.2. Konstrukcija na normala od to~ka A kon prava a.

Osnovni geometriski konstrukcii vo ramnina

2.1. Elementarni konstrukcii 2.2. Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici (poligoni) 2.3. Kru`ni premini - spregnuvawa 2.4. Konusni preseci (krivi od vtor red) - Zada~i za ve`bawe na spregnuvawa

Vo ovaa glava objasneti se geometriskite konstrukcii vo ramnina so koi delumno u~enicite se zapoznaeni vo tekot na osnovnoto obrazovanie, a se neophodni za ponatamo{no sledewe na materijalot. Za da se zapomnat konstrukciite, treba individualno da se izvedat.


21

Konstrukcija na simetrala na agol zadaden so pravite a i b e prikaàna na sl. 2.1.3. Na sl. 2.1.4. e prikaàna konstrukcija na tangenta na kru`nica vo to~ka A koja leì na kru`nicata.

2

3

1

A

1

2

3

a

c

R

R

R

2O

1

AO1

3

1

3

4

4

5

2

Slika 2.1.3. Konstrukcija na simetrala c na agol zadaden so pravite a i b.

Slika 2.1.4. Konstrukcija na tangenta na kru`nica vo to~ka A koja leì na kru`nicata.

Na sl. 2.1.5. e prikaàna konstrukcija na tangenti na kru`nica od to~ka A koja ne leì na kru`nicata. Na sl. 2.1.6. opredelen e centarot O na kru`nica, ako se zadadeni tri to~ki A,B,C od kru`nicata.

3

A

21

1 2

E

F

1

2

OO1

45

6

4CA

B3

1O

2 Slika 2.1.5. Konstrukcija na tangenti na kru`nica vo to~ka A koja ne leì na kru`nicata.

Slika 2.1.6. Odreduvawe na centar O na kru`nica so zadadeni tri to~ki A, B, C od kru`nicata.

Po geometriski pat moè da se opredeli perimetar (obikolka) na krug ili poto~no polovina obikolka na krug so takanare~eno ispravawe na kru`nica po prava primer 2.1.1..

Primer 2.1.1. Na slikata 2.1.7. e pretstaven na~inot na dobivawe na polovina obikolka na krug so takanare~eno ispravawe na kru`nica po prava. Na dijametarot na krugot EN=50mm vo to~kata N se povlekuva normala (tangenta na krugot). Se konstruira agol od 30 ~ij eden krak e MN. Drugiot krak na agolot ja se~e tangentata na krugot vo to~kata C. Od to~kata C vo pravec kon N po tangentata nanesuvame tri dolìni kolku {to e radiusot r=25mm na krugot, pri {to se dobiva to~kata D. Svrznicata DE e polovina obikolka na krugot ili matemati~ki 2 dr = . Ovaa metoda e poznata pod nazivot metoda na Kohanski. Dava skoro matemati~ki to~ni rezultati. Gre{ki se pojavuvaat duri po ~etvrtata decimala. Vo praktika se pojavuvaat gre{ki na krugovi so radiusi pogolemi od 84 cm.


22

A

B

C Nr r r

rM

D

A BC1 2

3 45 6 7 8

9 10

Slika 2.1.7. Ispravawe na kru`nica po prava.

Slika 2.1.8. Delewe na otse~kata AB na 10 ednakvi delovi.

Pri re{avawe na geometriski zada~i se pojavuva potreba od delewe na otse~ka ili agol na ednakvi delovi primer 2.1.2..

Primer 2.1.2. Na slikata 2.1.8. e pretstaven na~inot na podelba na otse~ka na delovi. Otse~kata AB=120mm treba da se podeli na 10 ednakvi delovi. Od to~kata A se povlekuva poluprava na koja nanesuvame 10 ednakvi proizvolni otse~ki A1 = 12 = 23... Paralelno so svrznicata 10B niz to~kite 9, 8, 7, 6, 5, 4,... povlekuvame paralelni pravi koi otse~kata AB ja delat na 10 ednakvi delovi. Na ist na~in se deli otse~ka na daden odnos. Na primer: ako otse~kata AB to~kata C treba da ja deli na 7:3 t.e. AC : CB = 7 : 3 se deli otse~kata na 10 ednakvi delovi. To~kata C e na 7 podelci oddale~ena od to~kata A i 3 podelci od to~kata B.

Na sl. 2.1.9a i sl. 2.1.9b e prika`ana podelba na prav agol na dva, odnosno tri ednakvi delovi.

45 o

A

A

4

1

32

RR

1

2

3

R

Slika 2.1.9a. Podelba na prav agol na dva dela.

Slika 2.1.9b. Podelba na prav agol na tri dela.

2.2. Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici (poligoni) Pravilni poligoni se mnoguagolnici so ednakvi strani i agli. Razlikuvame dva vida konstrukcii: koga e daden radiusot na kru`nicata opi{ana okolu pravilniot mnoguagolnik,

toga{ krugot treba da go podelime na ednakov broj delovi; koga e dadena strana na pravilniot mnoguagolnik, toga{ treba da go odredime

centarot i radiusot na opi{anata kru`nica okolu mnoguagolnikot. Mnoguagolnici vpi{ani vo kru`nica so daden radius Na sl. 2.2.1., sl. 2.2.2. i sl. 2.2.3. se prika`ani konstrukcii na ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen {estoagolnik.


23

a 3

R

R

1

a

aa

a

A

B

C

DR

R

a

1

4

Slika 2.2.1. Konstrukcija na ramnostran triagolnik.

Slika 2.2.2. Konstrukcija na kvadrat.

Konstrukcija na pravilen petagolnik primer 2.2.1..

Primer 2.2.1. Na slikata 2.2.4. e pretstavena konstrukcija na pravilen petagolnik. Gi povlekuvame normalnite me|u sebe dijametri 12 i 34 = 60mm. Na otse~kata 1O odreduvame simetrala i se dobiva to~kata M. So centar vo to~kata M opi{uvame kru`en lak so R1 = M3 koj otse~kata O2 ja se~e vo to~ka N. Otse~kata N3 e strana na pravilen petagolnik vpi{an vo dadeniot krug.

R

R

R

1

2

a 6

R

a5

a5

1

1

2

3

1

4

2M NR O

Slika 2.2.3. Konstrukcija na pravilen {estagolnik.

Slika 2.2.4. Konstrukcija na pravilen petagolnik.

R

1

R

a7

R

a8

12

Slika 2.2.5. Konstrukcija na pravilen sedumagolnik.

Slika 2.2.6. Konstrukcija na pravilen osumagolnik.


24

Konstrukciite na pravilen sedumagolnik i pravilen osumagolnik pretstaveni se na sl. 2.2.5. i sl. 2.2.6. Konstrukciite se ednostavni i jasni se od samite sliki.

Univerzalna konstrukcija na pravilen pove}eagolnik moè da se objasni so slednata konstrukcija na pravilen devetagolnik primer 2.2.2..

Primer 2.2.2. Na slikata 2.2.7. e pretstavena konstrukcija na pravilen devetagolnik {to soodvetstvuva na konstrukcija na kakov bilo pravilen pove}eagolnik. Gi povlekuvame dijametrite na krugot AB i CD = 80mm. Dijametarot AB se deli na 9 ednakvi delovi. Od to~kite A, B kako centri se opi{uvaat kru`ni laci so R = AB = 80mm. Nivniot presek gi dava to~kite M i N. Ako to~kite M i N gi povrzeme so parnite to~ki od podelbata na otse~kata AB, nivniot presek so krugot }e gi dade temiwata na pravilniot devetagolnik. Ovaa metoda e univerzalna i so pomo{ na nea moè da se konstruira sekoj pravilen mnoguagolnik. Pri ova da se vnimava otse~kata AB da se deli na onolku delovi kolku {to ima strani mnoguagolnikot. Va`no e pri ovaa konstrukcija da se zapomni deka koga konstruirame pravilen mnoguagolnik so neparen broj strani, to~kite M i N se povrzuvaat so parnite podelci na otse~kata AB, a koga se konstruira pravilen mnoguagolnik so paren broj strani, to~kite M i N se povrzuvaat so neparnite podelci na otse~kata AB. Ako na site nabrojani pravilni mnoguagolnici im odredime simetrali na stranite, }e dobieme: od triagolnik {estagolnik; od kvadrat osumagolnik; od petagolnik desetagolnik itn.

C DM N

2

3

4

56

7

8

9

O

R

Slika 2.2.7. Konstrukcija na pravilen devetagolnik.

Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici so zadadena strana

Koga e zadadena stranata na pravilniot mnoguagolnik, imame obratna postapka od predhodnite konstrukcii. Konstrukcijata se sveduva na odreduvawe na radiusot na kru`nica vo koja e vpi{an pravilniot mnoguagolnik, za kogo dadenata otse~ka e negova strana. Pogodni se dve konstrukcii, koi moè da se primenat za koj bilo pravilen mnoguagolnik, ako e poznata dolìnata na negovata stranaprimer 2.2.3..

Primer 2.2.3. Prva konstrukcija. Dadenata otse~ka AB = a7 = 30mm e strana na pravilen sedumagolnik, sl. 2.2.8. Da se konstruira sedumagolnikot. Od proizvolna to~ka O kako centar, opi{uvame kru`nica so proizvolen radius R. Vo taka opi{anata kru`nica vpi{uvame pravilen sedumagolnik 1234567. Centarot O go povrzuvame so temiwata 1 i 2. Od proizvolna to~ka na svrznicata O1 (to~kata A*) ja nanesuvame dadenata otse~ka AB = 30mm paralelno so stranata 12. Od dobienata to~ka B* povlekuvame paralelna prava so svrznicata O1. Presekot na ovaa paralelna prava so svrznicata


25

O2 se dobiva to~kata B. Dolìnata OB e radius R1 na kru`nica vo koja dadenata otse~ka moè da se nanese sedumpati (se konstruira pravilen sedumagolnik ABCDEFG). Vtora konstrukcija. Na dadenata otse~ka AB = 30mm odreduvame simetrala, potoa konstruirame ramnostran triagolnik ABO6 so agli od 60 vo A i B (sl.2.2.9). Sega konstruirame pravoagolen triagolnik ABO4 so agli od 45 vo A i B. Dolìnata O4O6 na simetralata ja delime na polovina i ja dobivame to~kata O5. Ako na simetralata ja nanesuvame dolìnata O4O5 = O5O6 = O6O7 = O7O8 itn. }e gi dobivame centrite na opi{anite krugovi vo koi e vpi{an pravilen mnoguagolnik ~ija strana e dadenata otse~ka AB. Taka, ako opi{eme kru`nica so centar vo to~kata O5 i radius R5 = O5A }e dobieme pravilen petagolnik. So centar vo to~kata O7 i radius R7 = O7A pravilen sedumagolnik itn.

R1

7

6

5

4

3

21

A B

C

D

B

A

a7

E

F

G

BA* *a7

R O

0

D

A B

C

4

a

05

000

067

8

9

Slika 2.2.8. Konstrukcija na pravilen sedumagolnik prva konstrukcija.

Slika 2.2.9. Konstrukcija na pravilen sedumagolnik vtora konstrukcija.

2.3. Kru`ni premini - spregnuvawa

Mnogu predmeti i detali se sostaveni od ograni~eni delovi na cilindri~ni, konusni, sferni, torusni i drugi povr{ini, koi kontinuirano preminuvaat edni vo drugi. Na tehni~kite crteì takvite delovi imaat konturi, kaj koi pravite linii kontinuirano preminuvaat vo kru`ni laci, a kru`ni laci so eden radius kontinuirano preminuvaat vo kru`ni laci so drug radius. Vakviot kontinuiran premin na edni linii vo drugi go vikame spregnuvawe. Konstrukcijata na spregnuvawata se zasnova na povlekuvawe tangenta na krug i konstruirawe na krugovi koi se tangiraat eden so drugprimer 2.3.1. 2.3.4..

Primer 2.3.1. Spregnuvawe na prava ili poluprava zadadena so to~ka A so kruèn lak so radius R = 25mm e prikaàno na sl. 2.3.1. Povlekuvame poluprava od to~ka A. Na polupravata postavuvame normala niz to~kata A. Od to~kata A na normalata nanesuvame rastojanie R = 25mm i ja dobivame to~kata O - centar na kru`niot lak. Od centarot O povlekuvame kruèn lak so radius R = 25mm koj tangira na polupravata vo to~kata A. Spregnuvawe na dva kru`ni laka so zadadeni radiusi R = 30mm i R1 = 20mm (sl. 2.3.2.). Povlekuvame proizvolna prava koja }e pretstavuva zaedni~ka tangenta na dvata kru`ni laka. Na pravata izbirame proizvolna to~ka A niz koja povlekuvame normala. Na normalata od to~kata A vo sprotivni nasoki gi nanesuvame dolìnite na radiusite R = 30mm i R1 = 20mm, gi dobivame to~kite O i O1. To~kite O i O1 se centri na kru`nite laci. Od centrite O i O1 povlekuvame soodvetni kru`ni laci so radius R = 30mm i R1 = 20mm.


26

0

A

R

R

R1

0

A

01

Slika 2.3.1. Spojuvawe na prava i kruèn lak.

Slika 2.3.2. Spojuvawe na dva laka.

Primer 2.3.2. Spregnuvawe na dve prese~ni pravi pod prav agol so kruèn lak so radius R = 25mm (sl. 2.3.3.). Od presekot na dvete pravi na rastojanie R = 25mm povlekuvame normali. Na normalite nanesuvame dolìna R = 25mm i go dobivame centarot na kru`niot lak. Od centarot povlekuvame kruèn lak so radius R = 25mm {to gi tangira dvete pravi. Spregnuvawe na dve prese~ni pravi pod ostar agol so kruèn lak so radius R = 15mm (sl. 2.3.4.). Paralelno so dvete zadadeni prese~ni pravi povlekuvame pravi na rastojanie R = 15mm. Prese~nata to~ka na dvete paraleni pravi e centar na kru`niot lak. Od centarot povlekuvame kruèn lak so radius R = 15mm {to gi tangira dvete pravi.

R

R

R

RR

R

Slika 2.3.3. Spregnuvawe na dve prese~ni pravi pod prav agol.

Slika 2.3.4. Spregnuvawe na dve prese~ni pravi pod ostar agol

Primer 2.3.3. Vnatre{no spregnuvawe na dva zadadeni kru`ni laka so radius R = 30mm i R1 = 20mm so kruèn lak so radius R2 = 25mm (sl. 2.3.5.). Gi postavuvame centrite O i O1 na me|usebno horizontalno rastojanie od 70mm i vertikalno 10mm i gi povlekuvame zadadenite kru`ni laci so radiusi R = 30mm i R1 = 20mm. Od centarot O so radius R+R2 = 55mm povlekuvame kruèn lak. Od centarot O1 so radius R1+R2 = 45mm povlekuvame kruèn lak. Presekot na dvata kru`ni laka e centar O2 na baraniot kruèn lak. Povlekuvame otse~ki OO2 i O1O2 i gi dobivame to~kite na spregnuvawe A i B. Od centarot O2 povlekuvame kruèn lak so radius R2 = 25mm {to gi dopira dvata zadadeni kru`ni laka. Nadvore{no spregnuvawe na dva zadadeni kru`ni laka so radius R = 20mm i R1 = 40mm so kruèn lak so radius R2 = 80mm (sl. 2.3.6.). Gi postavuvame centrite O i O1 na me|usebno horizontalno rastojanie od 70mm i vertikalno 20mm i gi povlekuvame zadadenite kru`ni laci so radiusi R = 20mm i R1 = 40mm. Od centarot O so radius R2-R = 60mm povlekuvame kruèn lak. Od centarot O1 so radius R2-R1 = 40mm povlekuvame kruèn lak. Presekot na dvata kru`ni laka e centar O2 na baraniot kruèn lak. Povlekuvame otse~ki OO2 i O1O2 i gi dobivame to~kite na spregnuvawe A i B. Od centarot O2 povlekuvame kruèn lak so radius R2= 80mm {to gi dopira dvata zadadeni kru`ni laka.


27

R+R2

R

R2

R1+R2

0 0

0A B

1

2

R2

R1

R

R2-R

R2

R2-R1

R1

0A0

B

02

1

R2

Slika 2.3.5. Vnatre{no spregnuvawe.

Slika 2.3.6. Nadvore{no spregnuvawe.

Primer 2.3.4. Me{ano spregnuvawe na dva zadadeni kru`ni laka so radius R = 35mm i R1 = 20mm so kruèn lak so radius R2 = 60mm (sl. 2.3.7.). Gi postavuvame centrite O i O1 na me|usebno horizontalno rastojanie od 70mm i vertikalno 30mm i gi povlekuvame zadadenite kru`ni laci so radiusi R = 35mm i R1 = 20mm. Od centarot O so radius R2-R = 25mm povlekuvame kruèn lak. Od centarot O1 so radius R2+R1 = 80mm povlekuvame kruèn lak. Presekot na dvata kru`ni laka e centar O2 na baraniot kruèn lak. Povlekuvame otse~ki OO2 i O1O2 i gi dobivame to~kite na spregnuvawe A i B. Od centarot O2 povlekuvame kruèn lak so radius R2 = 60mm {to gi dopira dvata zadadeni kru`ni laka. Spregnuvawe na kruèn lak so radius R = 30mm i prava so kruèn lak so radius R1 = 25mm (sl. 2.3.8.). Ja postavuvame pravata i centarot O na me|usebno vertikalno rastojanie od 40mm. Go izvlekuvame zadadeniot kruèn lak so radius R = 30mm. Na rastojanie R1 = 25mm povlekuvame paralelna prava na zadadenata prava i od centarot O so radius R+R1 = 55mm povlekuvame kruèn lak. Presekot na paralelnata prava i kru`niot lak e centar O1 na baraniot kruèn lak. Povlekuvame otse~ka OO1 i normala od O1 kon zadadenata prava i gi dobivame to~kite na spregnuvawe A i B. Od centarot O1 povlekuvame kruèn lak so radius R1 = 25mm {to gi dopira zadadenata prava i kru`niot lak.

R1R2

R2+R1

R2-R

R

0B

A

0

02

1

R2

R+R1

R1

0 B0

CA

DR1

1

R1

R

Slika 2.3.7. Me{ano spregnuvawe.

Slika 2.3.8. Spregnuvawe krug so prava.

2.4. Konusni preseci (krivi od vtor red) Konusni preseci se dobivaat koga konus }e se prese~e so ramnina. Vo zavisnost od polo`bata na prese~nata ramnina i konusot dobienite preseci se krivite: krug, elipsa, parabola i hiperbola (sl. 2.4.1., sl. 2.4.2., sl. 2.4.3. i sl. 2.4.4.). Se vikaat krivi od vtor red, zatoa {to pri nivniot presek so prava se dobivaat najmnogu dve to~ki.


28

Slika 2.4.1. Presek na konus i ramnina po krug.

Slika 2.4.2. Presek na konus i ramnina po elipsa.

Slika 2.4.3. Presek na konus i ramnina po parabola.

Slika 2.4.4. Presek na konus i ramnina po hiperbola.

Elipsa

Elipsa e mno`estvo na to~ki vo ramnina ~ij zbir na rastojanija na sekoja od niv do dve postojani to~ki (fokusi F i F1) e ednakva golemina, pogolema od rastojanieto na fokusite i ednakva na 2a (sl. 2.4.5.), t.e. FE+EF1=2a. Rastojanieto 2c me|u fokusite se vika fokusno rastojanie. Presek na oskite na elipsata e centar na elipsata, a presek na oskite so elipsata se temiwa na elipsata. Otse~kite {to gi svrzuvaat sprotivnite temiwa na elipsata, ednakvi na 2a i 2b se vikaat golema i mala oska na elipsata.

2c

2a

2b

E

0 F BFA

D

1

Slika 2.4.5. Elipsa.

Konstrukcija na elipsa

1. Konstrukcija na elipsa ako se zadadeni nejzinite oski AB i CD primer 2.4.1..

Primer 2.4.1. Konstrukcijata na elipsa po definicija, ako se zadadeni nejzinite oski AB = 80mm i CD = 60mm e objasneta na sl. 2.4.6a sl. 2.4.6|. Se odreduvaat fokusite F i F1 so povlekuvawe na kru`en lak so radius R=AO= 40mm od to~kata D (sl. 2.4.6b.). To~kite 1,2,3... se odbiraat proizvolno (sl. 2.4.6v.). To~ki na elipsata I, II, III... se dobivaat so presekot na kru`nite laci so radiusi kako soodvetnite rastojanija R1, R2, R3,i R1,


29

R2, R3, odnosno FI = R1 i F1I=R1 (rastojanie R1=A1 R1=B1) povle~eni od fokusite F i F1 (sl. 2.4.6g.). Isto va`i i za to~kite II, (FII = R2 i F1II=R2) III, (FIII = R3 i F1III=R3) itn. (sl. 2.4.6d.). So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva elipsata (sl. 2.4.6|.).

C

0 BA

D

F1

R=AO

FA 0

C

D

B

Slika 2.4.6a. Zadadeni oski na elipsa AB i CD.

Slika 2.4.6b. Odreduvawe na fokusite F i F1 na elipsata.

C

0 F BFA

D

1

R1'

R2'

R3'

R3R2

R1

1 2 3

C

0 F BFA

D

11 2 3

R1'R1

R1'

R1

I

II

I

Slika 2.4.6v. Definirawe na radiusite R1 i R1, R2 i R2, R3 i R3.

Slika 2.4.6g. Odreduvawe na to~ki od elipsata so radiusite R1 i R1.

C

0 F BFA

D

11 2 3

I

II

I

R2

R2'

R2'

R2

II II

IIII

0 F BFA 11 2 3

I

II

III II

IIII

III III

IIIIII

Slika 2.4.6d. Odreduvawe na to~ki od elipsata so radiusite R2 i R2.

Slika 2.4.6|. Spojuvawe na dobienite to~ki od elipsata.

Objasneta e konstrukcija na elipsa po nejzinata definicija t.e. EF+EF1=2a=AB, a narednata konstrukcija na elipsa e so koncentri~ni krugovi primer 2.4.2..

Primer 2.4.2. Konstrukcijata na elipsa so koncentri~ni krugovi, ako se zadadeni nejzinite oski AB = 80mm i CD = 60mm e objasneta na sl. 2.4.7a sl. 2.4.7d. Se opi{uvaat kru`nici okolu nejzinite oski AB i CD i se pravi podelba na 12 segmenti pri {to se dobiaat to~kite 1,2,312 i 1,2,312 (sl. 2.4.7b.). Se povlekuvaat paralelni pravci od to~kite 1,2,3...12 so oskata na elipsata CD (sl. 2.4.7v.). Na presekot na ovie pravci so povle~enite paralelni pravci od to~kite 1,2,3...12 so oskata na elipsata AB se dobivaat to~ki od elipsata (sl. 2.4.7g.). So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva elipsata (sl. 2.4.7d.).


30

D

C

0 BA

A B

D

C4

6

11

6'

5'4' 3'

2'

1'12'

11'

10'9'

8'

7'

32

1

109

8

7

12

5

Slika 2.4.7a. Zadadeni oski na elipsa AB i CD.

Slika 2.4.7b. Opi{uvawe na kru`nici okolu oskite na elipsa AB i CD i podelba na 12 segmenti.

A B

D

C4

6

11

6'

5'4' 3'

2'

1'12'

11'

10'9'

8'

7'

32

1

109

8

7

12

5

A B

D

C4

6

11

6'

5'4' 3'

2'

1'12'

11'

10'9'

8'

7'

32

1

109

8

7

12

5

Slika 2.4.7v. Povlekuvawe na paralelni pravci so oskata na elipsa CD od site 12 segmenti.

Slika 2.4.7g. Povlekuvawe na paralelni pravci so oskata na elipsa AB od site 12 segmenti.

A B

D

C1

23

4

5

6 6'

7

89

10

11

1212'1'

2'3'4'

5'

7'

8'9'

10'

11'

Slika 2.4.7d. Spojuvawe na dobienite to~ki od elipsata.

2. Konstrukcija na elipsa ako se zadadeni nejzinite konjugirani (spregnati) dijametri.

Dva dijametri od koi sekoj od niv gi deli na polovina tetivite na elipsata paralelni so drugiot dijametar se vikaat konjugirani ili spregnati dijametri na elipsata. Spregnatite dijametri na elipsata mo`e da se nabquduvaat kako paralelna proekcija na dva me|u sebe normalni dijametri od krug primer 2.4.3..


31

Primer 2.4.3. Konstrukcija na elipsa ako se zadadeni nejzinite konjugirani (spregnati) dijametri AB = 80mm i CD = 60mm pod agol od 60o(sl. 2.4.8). Se opi{uva kru`nica okolu oskata AB ili dijametarot AB na elipsata i se povlekuva normalen dijametar na kru`nicata CD. Se dobivaat triagolnici OCC i ODD. Na kru`nicata se zadavaat proizvolni to~ki 1,2 i od niv so povlekuvawe na pravci paraleni so konjugiraniot dijametar CD i pravecite CD i CC se formiraat sli~ni triagolnici. To~kite I,II se to~ki od elipsata. So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva elipsata. Konstrukcija na elipsa ako se zadadeni nejzinite konjugirani (spregnati) dijametri AB = 80mm i CD = 60mm pod agol od 60o (sl. 2.4.9). Se formira paralelogram so povlekuvawe na paralelni otse~ki NM i KL so dijametarot na elipsata AB i paralelni otse~ki KN i LM so dijametarot CD. Otse~kite KC, LC i OC se delat na ednakvi delovi pri {to se dobivaat to~kite 1,2 Presekot na pravite A1 i B1, A2 i B2... ni gi davaat to~kite od elipsata. Istoto se povtoruva na delot od elipsata kade {to se otse~kite ND , MD i OD. So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva elipsata.

A=A'

1

I

C'C

2

II

B=B'0

D'

D

MDN

A0 B

L21C12K

21

Slika 2.4.8. Povlekuvawe sli~ni triagolnici na OCC i ODD i spojuvawe na dobienite to~ki od elipsata.

Slika 2.4.9. Spojuvawe na to~ki od elipsata dobieni so presekot na pravcite A1 i B1, A2 i B2.

Parabola Parabola e mno`estvo na to~ki vo ramnina koi se ednakvo oddale~eni od edna postojana to~ka i edna postojana prava. To~kata se vika fokus na parabolata, a pravata direktrisa ili ramnalica na parabolata. Normala povle~ena niz fokusot na parabolata kon direktrisata e oska na parabolata. Temeto na parabolata e na sredina me|u direktrisata i fokusot (sl. 2.4.10.).

d

0 FA

Slika 2.4.10. Parabola.


32

Konstrukcija na parabola 1. Konstrukcija na parabola po nejzinata definicija (zadadeni se fokusot i direktrisata na parabolata)primer 2.4.4..

Primer 2.4.4. Konstrukcijata na parabola po definicija, ako se dadeni fokusot F i direktrisata d e objasneta na sl. 2.4.11a sl. 2.4.11g. Temeto na parabolata O se nao|a na sredina od rastojanieto p = 30mm od fokusot do direktrisata (sl. 3.4.11b.). To~kite 1,2,3,4... se odbiraat proizvolno (sl. 3.4.11v.) i niz niv se povlekuvaat paralelni pravi so direktrisata. To~ki na parabolata I, II, III, IV,... se dobivaat so presekot na paralelnite pravi so soodvetnite rastojanija R1, R2, R3, R4, odnosno FI = R1 (normalnoto rastojanie na direktrisata do istata to~ka I). Isto va`i i za to~kite II, (FII=R2) III, (FIII=R3) IV, (FIV=R4) itn. (sl. 3.4.11g.) So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva parabolata.

A

d

P

F

A 0F

d

1 2

P/2 P/2

3 4

Slika 2.4.11a. Zadadeni se fokusot F i direktrisa d na parabolata.

Slika 2.4.11b. Se odreduva temeto O na parabolata i se izbiraat proizvolni to~ki 1,2,3,4

1

2

4

2

3

4

A 0F

d

R

P

R

R

R

R

R

R3

IV

III

II

I

1 2 3 4

IV

III

II

I1

P

R

1

2

4

2

3

4

A 0F

d

R

P

R

R

R

R

R

R3

IV

III

II

I

1 2 3 4

I1

P

R

III

IV

II

Slika 2.4.11v. Odreduvawe na to~ki I,II,III,IV od parabolata.

Slika 2.4.11g. Spojuvawe na to~ki od parabolata.

Hiperbola Hiperbola e mno`estvo na to~ki vo ramnina ~ija razlika na rastojanija od dve postojani to~ki (fokusi) e ednakva golemina i iznesuva 2a (sl. 2.4.12.), odnosno pretstavuva rastojanie me|u temiwata na hiperbolata t.e. F1E-FE=2a. Hiperbolata ima


33

dve oski: x - realna i y - imaginarna oska, i dve asimptoti m, pravi koi hiperbolata ja tangiraat vo beskone~nost.

FA

K

A1 1

m

K

F 0

a

C

Slika 2.4.12. Hiperbola.

Konstrukcija na hiperbola Konstrukcija na hiperbola po nejzinata definicija (zadadeni se fokusite na hiperbolata F i F1 i temiwata na hiperbolata A i A1) primer 2.4.5..

Primer 2.4.5. Konstrukcijata na hiperbola po definicija ako se dadeni fokusite F i F1 so fokusnoto rastojanie FF1 = 40mm i temiwata na hiperbolata A i A1 so rastojanie AA1 = 30mm, e objasneta na sl. 2.4.13a sl. 2.4.13d. Po realnata oska na hiperbolata se odbiraat proizvolni to~ki 1, 2, 3,...taka {to rastojanieto me|u niv da se zgolemuva kako se oddale~uvaat od fokusot F (sl.2.4.13b). Se odreduvaat rastojanijata od to~kite A i A1 do to~kite 1, 2, 3...(sl. 2.4.13v). Od fokusite F i F1 so radiusi R1=A1 i R1=A11 se povlekuvaat kru`ni laci koi vo me|usebniot presek davaat 4 to~ki na dvete grani na hiperbolata (sl. 2.4.13g). Postapkata se povtoruva so radiusi A2 i A12, A3 i A13, itn. So spojuvawe na dobienite to~ki se dobiva hiperbolata (sl. 2.4.13d). Se opi{uva krug so centar vo O niz fokusite. Od temiwata na hiperbolata A i A1 se podigaat normali na realnata oska, koi vo presek so krugot davaat to~ki K, koi povrzani so centarot O gi davaat asimptotite na hiperbolata.

F A 0 A1 F1 3 2 1

A 0F F1A1

Slika 2.4.13a. Zadadeni fokusite F i F1 i temiwata na hiperbolata A i A1.

Slika 2.4.13b. Izbirawe na proizvolni to~ki 1,2,3

3 2 1

A 0

R1'R2'

R3'

R1R2

R3

F A1 F1

3 2 1

F 0 A F11

R1'

R1'

R1R1 A

Slika 2.4.13v. Odreduvawe rastojanija od to~kite A i A1 do to~kite 1, 2, 3...

Slika 2.4.13g. Dobivawe na to~ki od hiperbolata so presek na kru`nite laci so R1 I R1.


34

3 2 1

F A 0 A F11

K

K

Slika 2.4.13d. Spojuvawe na to~ki od hiperbolata.

Zada~i za ve`bawe na spregnuvawa

100

50R20

R120

R120

O60

O20

O20

50

R20

R90

R120

O60

100

O20

100

50

O20

O20

R20

R120R100R100

50

R30

R20

R10

R20

R120

R80

R80 100

R10

100

50

O60

O20

R20

R120

R30

R30

O20

100

50

O60

O20

O20

R20

R20

R100R120

35

3.1. Proektirawe Vo nacrtnata geometrija se koristi metodot na pretstavuvawe na prostorna forma na ramnina. Metodot se narekuva proektirawe. Proektirawe e osnoven metod so koj objektite (fizi~ki i zamisleni) se pretstavuvaat na ramnina. Ovaa definicija se odnesuva na trodimenzionalniot prostor. Site objekti od na{ata okolina se trodimenzionalni. Za da se pretstavat na crte`, hartija ili monitor, se vr{i nivno proektirawe, pri {to se dobiva dvodimenzionalen lik. Poimot proektirawe proizleguva od latinskiot zbor projicere {to zna~i frlawe napredprimer 3.1.1..

Primer 3.1.1. Na slikata 3.1.1. e pretstaven metodot na proektirawe na edna tristrana piramida ABCV vrz ramninata P. Od proektiven centar S povlekuvame proektivni zraci niz temiwata na piramidata. Proektivnite zraci ja proboduvaat ramninata P vo to~kite A,B,C i V. Ako se povrzat temiwata po ist redosled kako {to se povrzani na originalot (prizmata) se dobiva proekcija na prizmata. Proekcijata na prizmata le`i na proekcionata ramnina i taa pretstavuva dvodimenzionalen lik ili slika.

Za da mo`e da se izvr{i proektirawe neophodni se osnovnite elementi na proektiraweto objekt (original) za proektirawe, centar na proektirawe, proekcioni zraci i proekciona ramnina, a rezultatot {to se dobiva se narekuva proekcija. Vo zavisnost od toa od kade se vr{i proektiraweto i kakva e polo`bata na proektivnite zraci vo odnos na proekcionata ramnina, razlikuvame nekolku vidovi proektirawa.

Proekciono crtawe 3.1. Proektirawe 3.2. Proekcii (pogledi) 3.3. To~ka 3.4. Prava (otse~ka) 3.5. Ramnina i ramninska figura 3.6. Tela i povr{ini 3.7. Tehni~ki predmeti ili objekti 3.8. Prostoren izgled na objekt - modelirawe na cvrsti tela - Zada~i vo prostoren izgled za ve`bawe na pogledi - Zada~i vo ortogonalni proekcii za ve`bawe na pogledi

Vo ovaa glava objasnet e delot od nacrtna geometrija, na~inot na ortogonalno proektirawe na geometriski elementi, tela i objektii. Objasnet e kompleksen crte` koj pretstavuva osnova za tehni~ki crte`. Dadeni se osnovite na prostorno pretstavuvawe na objekti.

Proekciono crtawe

36

Slika 3.1.1. Proektirawe objekt na proekciona ramnina.

Vidovi proektirawa

Vo odnos na polo`bata na centarot na proektiraweto, razlikuvame centralno i paralelno proektirawe.

Centralno proektirawe

Centralnoto proektirawe nastanuva so povlekuvawe na proektivni zraci od eden kone~en centar. Proektivnite zraci pominuvaat niz objektot i pa|aat na proekcionata ramnina, pri {to obrazuvaat proekcija na dadeniot objekt. Taa proekcija se narekuva centralna ili perspektivna proekcijaprimer 3.1.2.. Poimot perspektiva proizleguva od latinskiot zbor perspicere, {to zna~i gledawe niz.

Primer 3.1.2. Na slika 3.1.2.a. e pretstaveno centralno proektirawe na edna otse~ka AB vrz ramninata P. Od proektivniot centar S povlekuvame proektivni zraci niz to~kite A i B. Proektivnite zraci ja proboduvaat ramninata P vo to~kite A i B, koi svrzani ja davaat proekcijata na otse~kata AB. Karakteristi~no e toa {to proekcijata na otse~kata AB e pogolema od otse~kata AB (AB>AB). Ako odreden objekt se pretstavi vo perspektiva, se dobiva realen prostoren izgled na objektot. Rabovite na objektot me|u sebe ne se paralelni i se se~at vo to~ki nare~eni nedogledi (sl. 3.1.2b.).

A

B

S

B'

A'

Slika 3.1.1a. Centralno proektirawe na otse~ka.

Slika 3.1.1b. Centralna proekcija (perspektiva) na objekt.

So perspektivnoto proektirawe se dobiva eden od najrealnite prikazi za proektiraniot objekt. Se koristi za realno prika`uvawe na objektite ne samo vo umetnosta, tuku i vo site tehni~ki granki: ma{instvoto, arhitekturata, grade`ni{tvoto, rudarstvoto, geologijata, metalurgijata, drvnata industrija i dr.

Proekciono crtawe

37

Paralelno proektirawe

Kaj centralnoto proektirawe, centar na proektiraweto pretstavuva edna kone~na to~ka. Ako kone~nata to~ka stane beskrajna, odnosno centarot na proektirawe e vo beskrajnost, toga{ proektivnite zraci {to se vle~at ottamu }e stanat paralelni zraci. Paralelnite proektivni zraci vo odnos na proekcionata ramnina moè da pa|aat pod odreden agol pri {to se dobiva koso paralelno proektirawe, ili normalno na proekcionata ramnina pri {to se dobiva ortogonalno (normalno) proektirawe.

Koso proektirawe

Paralelnoto proektirawe pri koe pravecot na proektivnite zraci e vo kosa polo`ba vo odnos na proekcionata ramnina, odnosno zafa}a agol razli~en od 90o, se vika koso proektiraweprimer 3.1.3..

Primer 3.1.3. Na slikata 3.1.3a. e pretstaveno paralelno koso proektirawe na edna otse~ka AB vrz ramninata P. Povlekuvame paralelni proektivni zraci niz to~kite A i B. Proektivnite zraci ja proboduvaat ramninata P vo to~kite A i B, koi svrzani ja davaat proekcijata na otse~kata AB. Karakteristi~no e toa {to agolot na proektivnite zraci vo odnos na proekcionata ramnina ne e prav agol (90o) i dolìnata na proekcijata na otse~kata AB moè da e pogolema, ednakva ili pomala od dolìnata na otse~kata AB (AB>AB, AB=AB ili AB

Proekciono crtawe

38

Primer 3.1.4. Na slikata 3.1.4a. e pretstaveno paralelno ortogonalno proektirawe na edna otse~ka AB vrz ramninata P. Niz to~kite A i B povlekuvame paralelni proektivni zraci, koi se normalni na proekcionata ramnina P. Proektivnite zraci ja proboduvaat ramninata P vo to~kite A i B, koi svrzani ja davaat ortogonalnata proekcija AB na otse~kata AB. Karakteristi~no e toa {to agolot na proektivnite zraci vo odnos na proekcionata ramnina e prav agol (=90o) i dolìnata na proekcijata na otse~kata AB moè da e pomala ili ednakva na dolìnata na otse~kata AB (AB

Proekciono crtawe

39

B'C'

A'

C

B

A

P

B' C'A

B C

A' P

B'A

B

A'

C'

P

Slika 3.2.5. Proekcija na triagolnik vo otse~ka.

Slika 3.2.6. Proekcija na triagolnik vo skratena golemina.

Slika 3.2.7. Proekcija na triagolnik vo vistinska golemina.

Geometriska figura (triagolnik) se proektira vo vistinska golemina ako e paralelna so proekcionata ramnina (sl. 3.2.7.). Ortogonalno proektirawe na dve i pove}e ramnini

Vo prostorot se voveduvaat tri proekcioni ramnini: horizontalna (prva) (P1), frontalna (vtora) (P2) i profilna (treta) (P3).

3.3. To~ka

To~ka e grafi~ki element ~ija polo`ba vo prostorot ednozna~no se opredeluva so tri koordinati: x, y i zprimer 3.3.1..

Primer 3.3.1. Na slikata 3.3.1a. e pretstavena to~ka A(40,20,30) so nejzinite pridru`eni proekcii vo prostoren izgled. Od prostorniot izgled na to~kata A povlekuvame normala kon horizontalnata proekciona ramnina P1. Kade {to normalata proboduva niz P1, se dobiva prvata proekcija A na to~kata A, odnosno proekcija na to~kata A vrz horizontalnata proekciona ramnina. Postapkata se povtoruva za site proekcioni ramnini i se dobivaat proekciite vrz frontalnata proekciona ramnina A (vtora proekcija na to~kata A) i profilnata proekciona ramnina A (treta proekcija na to~kata A). Pridru`enite proekcii na to~kata A se povrzani so ordinali. Na slikata 3.3.1b. se pretstaveni proekciite na to~kata A(x=40,y=20,z=30) vo ortogonalen izgled. Prvata proekcija A se dobiva kako spoj na koordinatite na to~kata po x i y-oskata. Vtorata proekcija A e na ordinala na prvata proekcija, samo se dodava vrednosta na koordinatata po z-oskata. Za dobivawe na tretata proekcija, se koristi pomo{na ramnina koja se proektira vo pravata 123. Tretata proekcija A se dobiva ako od prvata proekcija A se povle~e horizontalna linija do 123, ottamu ordinala do visinata na vtorata proekcija A.

x

y

z

O

A'(x,y)

A''(x,z) A'''(y,z)

123

Slika 3.3.1a. Proekcii na to~ka vo prostoren izgled.

Slika 3.3.1b. Ortogonalni proekcii na to~ka.

Proekciono crtawe

40

3.4. Prava (otse~ka)

Prava ili otse~ka e grafi~ki element ~ija polo`ba vo prostorot ednozna~no se opredeluva so dve to~kiprimer 3.4.1..

Primer 3.4.1. Na slikata 3.4.1a. e pretstavena prava a=[A(30,40,60), B(80,20,20)] vo pridruèni ortogonalni proekcii. Prva proekcija na pravata a se dobiva koga }e se spojat prvite proekcii na to~kite A i B. Vtora proekcija na pravata a se dobiva koga }e se spojat vtorite proekcii na to~kite A i B. Treta proekcija na pravata a se dobiva koga }e se spojat tretite proekcii na to~kite A i B. Pravata a e vo op{ta polo`ba zatoa {to e koso postavena vo odnos na site proekcioni ramnini. Na slikata 3.4.2b. e pretstavena prava a=[ A(30,40,60), B(80,20,20)] vo prostoren izgled. Pravata a se dobiva so spojuvawe na to~kite A i B.

123A'

A'' A'''

B'

B'''B''

x

y

z

O

a'''

a''

a'

Slika 3.4.1a. Prava vo ortogonalni proekcii.

Slika 3.4.1b. Prava vo prostoren izgled.

Pravite moè da zafa}aat op{ta polo`ba vo odnos na proekcionite ramnini, da se paralelni so edna proekciona ramnina ili normalni na edna proekciona ramnina i voedno paralelni so dve proekcioni ramnini. Odnosno, pravite moè da imaat specijalni polo`bi vo odnos na proekcionite ramnini.

Specijalni polo`bi na prava

Prava paralelna so edna proekciona ramnina Prava paralelna so horizontalnata proekciona ramnina se vika horizontalna prava (sl. 3.4.3.). Dolìnite na otse~ocite na horizontalnata prava vo prvata proekcija se proektiraat vo vistinska dolìna.

y

z

x

1

2

3

B'

A'

A

B'''

A'''

B'' A''B

a''

a

a'

a'''

123A'

A'' A'''

B'

B'''B''

x

y

z

O

a'

a'' a'''

Slika 3.4.3a. Prava paralelna so horizontalnata proekciona ramnina (a || P1) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.3b. Prava paralelna so horizontalnata proekciona ramnina (a || P1) vo ortogonalni proekcii.

Proekciono crtawe

41

Prava paralelna so frontalnata proekciona ramnina se vika frontalna prava (sl. 3.4.4.). Dolìnite na otse~ocite na frontalnata prava vo vtorata proekcija se proektiraat vo vistinska dolìna.

y

z

x1

2

3

B''

A''

B

A

B'''

A'''

B' A'

a''

a a

a'

123

A'

A'' A'''

B'

B'''B''

x

y

z

O

a''

a'

a'''

Slika 3.4.4a. Prava paralelna so frontalnata proekciona ramnina (a || P2) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.4b. Prava paralelna so frontalnata proekciona ramnina (a || P2) vo ortogonalni proekcii.

Prava paralelna so profilnata proekciona ramnina se vika profilna prava (sl. 3.4.5.). Dolìnite na otse~ocite na profilnata prava vo tretata proekcija se proektiraat vo vistinska dolìna.

y

z

x

1

2

3

B''B

A''

B'

A'

A A'''

B'''

a''

a

a'

a'''

123A'

A'' A'''

B'

B'''B''

x

y

z

O

a'a'' a'''

Slika 3.4.5a. Prava paralelna so profilnata proekciona ramnina (a || P2) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.5b. Prava paralelna so profilnata proekciona ramnina (a || P2) vo ortogonalni proekcii.

Prava normalna na proekciona ramnina Prava normalna na horizontalnata proekciona ramnina se vika horizontalno proektira~ka prava (sl. 3.4.6.). Horizontalno proektira~kata prava vo prvata proekcija se proektira vo to~ka.

y

z

x

1

2

3

B B'''

A'''A

A''

B''

a'''

a'

a''

a'=A'=B'

123

A'' A'''

B'''B''

x

y

z

O

a''

a'''

a'=A'=B'

Slika 3.4.6a. Horizontalno proektira~ka prava (a P1, a || P2 i a || P3) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.6b. Horizontalno proektira~ka prava (a P1, a || P2 i a || P3) vo ortogonalni proekcii.

Proekciono crtawe

42

Prava normalna na frontalnata proekciona ramnina se vika frontalno proektira~ka prava (sl. 3.4.7.). Frontalno proektira~kata prava vo vtorata proekcija se proektira vo to~ka.

y

z

x

1

2

3

a''=A''=B''A A'''

B'''

A'

B'

B

a a'''

a'

123

A'''

x

y

z

O

a''=A''=B'' B'''a'''

A'

B'

a'

Slika 3.4.7a. Frontalno proektira~ka prava (a P2, a || P1 i a || P3) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.7b. Frontalno proektira~ka prava (a P2, a || P1 i a || P3) vo ortogonalni proekcii.

Prava normalna na profilnata proekciona ramnina se vika profilno proektira~ka prava (sl. 3.4.8.). Profilno proektira~kata prava vo tretata proekcija se proektira vo to~ka.

y

z

x

1

2

3

A'' a'' B''

a

a'

a'''=A'''=B'''

BA

A' B'

123

x

y

z

O

A' B'

A'' a'' B''

a'

a'''=A'''=B'''

Slika 3.4.8a. Profilno proektira~ka prava (a P3, a || P1 i a || P2) vo prostoren izgled.

Slika 3.4.8b. Profilno proektira~ka prava (a P3, a || P1 i a || P2) vo ortogonalni proekcii.

3.5. Ramnina i ramninska figura Ramninska figura e spoj na otse~ki od prava ili kriva linija. Ramninskite figuri leàt na ramnina. Ramnina e grafi~ki element ~ija polo`ba vo prostorot ednozna~no se opredeluva so tri nekolinearni to~ki (to~ki {to ne leàt na edna prava), to~ka i prava (to~kata da ne leì na pravata) i dve pravi (paralelni i prese~ni). Ramninata se razlikuva od ramninskata figura po toa {to e beskone~no golema. Koga ramninata ili ramninskata figura koja leì na nea gi se~e koordinatnite oski vo kone~ni to~ki, toga{ stanuva zbor za ramnina vo op{ta polo`ba (sl. 3.5.1.). Pokraj op{tata polo`ba, ramninata ili ramninskata figura moè da zafa}a i specijalni polo`bi vo odnos na proekcionite ramnini. Moè da e normalna na edna proekciona ramnina ili paralelna so edna proekciona ramnina i voedno normalna na drugite dve proekcioni ramnini.

Proekciono crtawe

43

123

A'''

B'''B''

A''

C''

A'

C'

B' y

x

z

C'''

Slika 3.5.1a. Triagolnik vo op{ta polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.1b. Triagolnik vo op{ta polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Specijalni polo`bi na ramnina i ramninska figura

Ramnini ili ramninski figuri normalni na edna proekciona ramnina Ramninskata figura normalna na horizontalnata proekciona ramnina se narekuva horizontalno proektira~ka ramninska figura (sl. 3.5.2.). Horizontalnata proekcija na ramninskata figura e otse~ka.

y

z

x

1

2

3

D''

A'''A''

B'' C''

AC

B

D D'''

C'''

B'''

A'=B'

C'=D'

123

A'=B'

C'=D'

D'''

C'''B'''B'' C''

A''x

y

z

A'''D''

Slika 3.5.2a. Pravoegolnik vo horizontalno proektira~ka polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.2b. Pravoagolnik vo horizontalno proektira~ka polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Ramninskata figura normalna na frontalnata proekciona ramnina se narekuva frontalno proektira~ka ramninska figura (sl. 3.5.3.). Frontalnata proekcija na ramninskata figura e otse~ka.

y

z

x

1

2

3

A''

C''

C'B'

A

CB''

A'''B'''

C'''

B

A

C'''C''

B''

x

y

123

A'''

B'''

C'

B'

A'

A''

Slika 3.5.3a. Triagolnik vo frontalno proektira~ka polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.3b. Triagolnik vo frontalno proektira~ka polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Proekciono crtawe

44

Ramninskata figura normalna na profilnata proekciona ramnina se narekuva profilno proektira~ka ramninska figura (sl. 3.5.4.). Profilnata proekcija na ramninskata figura e otse~ka.

y

z

x

1

2

3

A''

C''

B''

C

B

A'B'''

B'

C'

A

C'''

A'''

123

x

y

zC'' C'''

B'

C'

A'

A''

B''B'''

A'''

Slika 3.5.4a. Triagolnik vo profilno proektira~ka polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.4b. Triagolnik vo profilno proektira~ka polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Ramnini ili ramninski figuri paralelni so edna i normalni na dve proekcioni ramnini

Ramninska figura normalna na frontalnata i profilnata proekciona ramnina i para-lelna so horizontalnata proekciona ramnina se vika horizontalna ramninska figura (sl. 3.5.5.). Horizontalnata proekcija na ramninskata figura e vo vistinska golemina.

y

z

x

1

2

3

A

C C'''

B'

C'

A'

A'' B'' C''

A'''=B'''B

B''C''A''

y

z

x

123

A'''=B'''C'''

B'A'

C'

Slika 3.5.5a. Triagolnik vo horizontalna polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.5b. Triagolnik vo horizontalna polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Ramninska figura normalna na horizontalnata i profilnata proekciona ramnina i paralelna so frontalnata proekciona ramnina se vika frontalna ramninska figura (sl. 3.5.6.). Frontalnata proekcija na ramninskata figura e vo vistinska golemina.

y

z

x

1

2

3A

B

C

D

B''

A'

B'''

A'''=C'''

D'''

B'=D' C'

C''

D''

A''

123A' B'=D' C'

D''

C''

B''

A''

B'''

D'''

A'''=C'''

y

z

x

Slika 3.5.6a. Krug vo frontalna polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.6b. Krug vo frontalna polo`ba vo ortogonalni proekcii.

Proekciono crtawe

45

Ramninska figura normalna na horizontalnata i frontalnata proekciona ramnina i paralelna so profilnata proekciona ramnina se vika profilna ramninska figura (sl. 3.5.7.). Profilnata proekcija na ramninskata figura e vo vistinska golemina.

y

z

x1

2

3

C

D

F

A

B

F'''E

C'=F'A'=B'

D'=E'

A'''

B'''

E'''

D'''

C'''

C''B''=D''

A''=E''F''

D'''

C'''

y123

B'''

A'''F'''

E'''

C''

B''=D''

A''=E''

F''

B'=A'

C'=F'

D'=E'

x

z

Slika 3.5.7a. [estagolnik vo profilna polo`ba vo prostoren izgled.

Slika 3.5.7b. [estagolnik vo profilna polo`ba vo ortogonalni proekcii.

3.6. Tela i povr{ini Rabesti tela

Rabesti tela se geometriski tela ograni~eni so mnoguagolnici ili poligoni koi se narekuvaat strani na rabestite tela. Sosednite poligoni me|u sebe se se~at i obrazuvaat rabovi. Sosednite rabovi se se~at vo to~ki ili temiwa.

Prizma

Prizma e rabesto telo so dve strani (yidovi) koi leàt na paralelni ramnini, a okolnite yidovi se se~at vo paralelni pravi. Dvete strani {to leàt na paraleni ramnini se vikaat osnovi ili bazisi, a bo~nite yidovi ja obrazuvaat obvivkata. Bazisot e poligon so tri do beskrajno mnogu strani, a bo~nite strani se ~etiriagolnici. Od brojot na stranite na bazisot proizleguva i imeto na prizmata: tristrana, ~etiristrana itn. primer 3.6.1..

Primer 3.6.1. Na slikata 3.6.1a. e pretstavena ~etiristrana prizma ABCDEFGH zadadena so bazisot ABCD[A(70,50,0), B(20,40,0), C(30,20,0), D(60,10,0),] i visina H=100, vo prostoren izgled. Se povrzuvaat temiwata ABCD i se dobiva bazisot. Od bazisot na normala se vle~at bo~nite rabovi so visina H, pri {to se obrazuva drugiot bazis EFGH. Na slikata 3.6.1b. e pretstavena ~etiristrana prizma ABCDEFGH zadadena so bazisot ABCD[A(70,50,0), B(20,40,0), C(30,20,0), D(60,10,0),] i visina H=100, vo ortogonalni proekcii. Od koordinatite na temiwata na bazisot ABCD se gleda deka toj leì vo P1. Zna~i vo prva proekcija bazisot se proektira vo vistinska golemina i se poklopuva so drugiot bazis. Se postavuvaat temiwata ABCD vo site tri proekcii. Vo vtora i vo treta proekcija visinata na bo~nite rabovi H e vo vistinska dolìna. Se nanesuva visinata H i se dobiva bazisot EFGH vo vtora i treta proekcija. Se odreduva vidlivost. Za prva proekcija se gleda odgore, a se nabquduva vtorata proekcija, od {to proizleguva deka vidliv }e bide bazisot EFGH. Za vtora proekcija se gleda odnapred, a se nabquduva prvata proekcija. Poblisku do nabquduva~ot se rabovite AE i BF koi se vidlivi vo vtora proekcija. Istoto se povtoruva i za treta proekcija samo {to se nabquduva odlevo kon desno, a se nabquduva prvata i vtorata proekcija.

Proekciono crtawe

46

Slika 3.6.1a. Prizma vo prostoren izgled.

Slika 3.6.1b. Prizma vo ortogonalni proekcii.

Piramida

Piramida e rabesto telo so edna strana (yid) i so okolni yidovi triagolnici koi se se~at vo edno zaedni~ko teme. Stranata ili yidot se vika osnova ili bazis, a bo~nite yidovi se vikaat obvivka, a zaedni~koto teme e vrv. Bazisot e poligon so tri do beskrajno mnogu strani, a bo~nite strani se triagolnici. Od brojot na stranite na bazisot proizleguva i imeto na piramidata: tristrana, ~etiristrana itn. Ako bazisot e pravilen mnoguagolnik, toga{ i piramidata e pravilnaprimer 3.6.2..

Slika 3.6.2a. Piramida vo prostoren izgled.

Slika 3.6.2b. Piramida vo ortogonalni proekcii.

Primer 3.6.2. Na slikata 3.6.2a. e pretstavena pravilna tristrana piramida ABCV, zadadena so centarot S(60,0,40) na opi{ana kru`nica so radius R=30 okolu bazisot ABC i visina H=90, vo prostoren izgled. Se povrzuvaat temiwata ABC i se dobiva bazisot. Od centarot na bazisot na normala se nanesuva visinata H i se dobiva vrvot V. Temiwata na bazisot ABC se povrzuvaat so vrvot V. Na slikata 3.6.2b. e pretstavena pravilna tristrana piramida ABCV, zadadena so centarot S(60,0,40) na opi{ana kru`nica so radius R=30 okolu bazisot ABC i visina H=90, vo ortogonalni proekcii. Od koordinatite na centarot na bazisot se gleda deka toj le`i vo P2. Zna~i vo vtora proekcija bazisot se proektira vo vistinska golemina i vrvot se poklopuva so centarot na bazisot S. Se postavuvaat temiwata ABC vo site tri proekcii. Vo prvata i vo tretata proekcija visinata H e vo vistinska dol`ina. Od centarot S se nanesuva visinata H i se dobiva vrvot vo prva i treta proekcija. Vrvot se povrzuva so temiwata na bazisot vo soodvetnite proekcii. Se odreduva vidlivost.

Proekciono crtawe

47

Kocka

Kocka e ednakvorabno telo sostaveno od {est strani (yidovi - kvadrati)primer 3.6.3.. Kockata ima osum temiwa vo koi se spojuvaat po tri sosedni rabovi. Brojot na rabovite e 12. Ima ~etiri ednakvi prostorni dijagonali. Kockata e opredelena so eden rab a.

Primer 3.6.3. Na slikata 3.6.3a. e pretstavena kocka ABCDEFGH, zadadena so teme A(0,20,30) i dolìna na rab a=50, vo prostoren izgled. Se konstruira strana na kocka - kvadrat ABCD. Od nego se izdigaat normali so dolìna a. Se dobiva stranata na kockata EFGH koja, povrzana so stranata ABCD, ja dava kockata. Na slikata 3.6.3b. e pretstavena kocka ABCDEFGH, zadadena so teme A(0,20,30) i dolìna na rab a=50, vo ortogonalni proekcii. Od koordinatite na temeto A se gleda deka edna strana ABCD leì na P3. Zna~i vo treta proekcija stranata ABCD se proektira vo vistinska golemina i se poklopuva so stranata EFGH. Se konstruira kvadratot ABCD vo site tri proekcii. Vo prvata i vtorata proekcija rabot - visinata a e vo vistinska dolìna. Se nanesuva dolìnata na rabot a i se dobiva stranata EFGH vo prvata i vtorata proekcija. Stranata EFGH se spojuva so stranata ABCD vo soodvetnite proekcii. Se odreduva vidlivost.

Vo grupata ednakvorabni tela spa|aat u{te tetraedar, oktaedar, ikosaedar i dodekaedar, koi pomalku se sretnuvaat vo tehnikata. Tetraedar e ome|en so ~etiri ramnostrani triagolnici, ima 4 temiwa a brojot na rabovite e 6. Oktaedar e ome|en so osum ramnostrani triagolnici.. Oktaedarot ima 6 temiwa vo koi se spojuvaat po ~etiri sosedni rabovi. Brojot na rabovite e 12. Ikosaedar e ome|en so 20 skladni ramnostrani triagolnici, ima 30 ednakvi rabovi i 12 temiwa. Od sekoe teme poa|aat 5 sosedni rabovi. Dodekaedar e ome|en so 12 skladni pravilni petoagolnici, ima 30 ednakvi rabovi i 20 temiwa. Od sekoe teme poa|aat 3 sosedni rabovi.

Slika 3.6.3a. Kocka vo pr

Documents

22_Tehnicko crtanje so nacrtna geometrija i autocad za I - PRINT_CRNO BELA_WEB.pdf