Nacrtna geometrija i grafika

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 96

4.5. Metricki zadatci

Ovdje cemo paznju posvetiti nekolicini metrickih zadataka poznavanje kojihnam omogucava rjesavanje velikog broja konstruktivnih problema.

Prava duljina duzine

Problem: Dane su projekcije duzine AB. Treba odrediti duljinu te duzine.

Uocimo na slici pravokutan trapezA′B′BA. Rotirajmo ga oko duzineA′B′ dok ne padne u ravninu π1. Nje-gova rotirana slika je trapez A′B′B0A0

sukladan pocetnom. Pravu duljinuduzine AB ocitavamo kao duljinuduzine A0B0 koju crtamo ”tocka-crta”linijom.Uocimo da smo mogli upotrijebiti irotaciju pravokutnog trapeza ABB”A”oko A”B” dok ne padne u ravninu π2.

Pogledajmo sto se desava kad je tockaA u prvom, a tocka B u trecem kvad-rantu. Tada figuru koja se sastoji oddva trokuta A′PA i B′PB rotiramo okoA′B′ dok ne padne u ravninu π1. TockaP je probodiste duzine AB i ravnineπ1. Pojavljuju se tocke A0 i B0 koje senalaze s razlicitih strana pravca A′B′,a prava velicina duzine AB je A0B0.


Primjer 4.44. Odredimo duljinu duzine

a) AB, [A(−1, 2, 3), B(0, 1, 2)];

b) CD, [C(2,−2, 4), D(0, 1,−3)].

Rjesenje:

a) b)

Udaljenost tocke od ravnine

Problem: Dana je ravnina ρ i tocka T . Treba odrediti udaljenost tocke T odravnine ρ.

Kao sto znamo udaljenost tocke T do ravnine ρ definira se kao udaljenost tockeT i njezine ortogonalne projekcije N na ravninu ρ. Ta ce nam definicija i posluzitikao ideja za konstrukciju. Koraci konstrukcije su sljedeci:

1. tockom T poloziti normalu n na ravninu ρ;

2. presjeci normalu n i ravninu ρ, presjek oznacimo s N ;

3. odrediti pravu velicinu duzine TN .

Sve ove korake smo do sada pojedinacno proucili, a sada ih treba izvesti unutarjednog problema.


Primjer 4.45. Odredimo udaljenost tocke T (0, 3, 3) do ravnine ρ(−1, 1, 2).

Rjesenje:Prvo tockom T polozimo normalun na ravninu ρ. Tlocrt n′ normaleokomit je na prvi trag r1 ravnineρ i prolazi tockom T ′, a nacrt n”okomit je na drugi trag r2 i pro-lazi tockom T”.Sljedeci je korak presjeci pravacn i ravninu ρ. U tu svrhu,postavimo pravcem n prvoproji-cirajucu ravninu σ. Njezin prvitrag s1 podudara se s tlocrtom n′,a drugi je trag okomit na os 1x2.Presjek prvih tragova r1 i s1 jetlocrt prvog probodista P pravcaq, a presjek drugih tragova r2 is2 je nacrt drugog probodista Qpresjecnice ravnina ρ i σ. Kon-struiramo projekcije presjecnice.Tocka gdje se sijeku n” i q” je N”,a N ′ lezi na ordinali i na tlocrtun′.I konacno, koristeci rotaciju okotlocrta T ′N ′ odredimo pravuduljinu duzine TN . Na slici jeoznacena slovom d.

Napravimo ovaj zadatak, ali koristeci stranocrt.

Tockom T ′ povucimo 1x3 okomito na r1. Odredimo treci trag ravnine ρ ko-risteci stranocrt tocke W s drugog traga. Napravimo i stranocrt tocke T . Udaljenosttoke T ′′′ do r3 je trazena udaljenost d tocke do ravnine.


.

Udaljenost tocke od pravca

Problem: Dan je pravac p i tocka T . Treba odrediti udaljenost tocke T odpravca p.

Tocka T i pravac p odreduju ravninu. Kad u toj ravninu ortogonalno projici-ramo tocku T na pravac p, tada je po definiciji, udaljenost tocke do pravca jednakaudaljenosti tocke do njezine ortogonalne projekcije na pravac. No, ovaj se metrickizadatak ne rjesava koristenjem ove definicije. Postupamo ovako:


1. tockom T polazemo ravninu ρ okomitu na pravac p;

2. presijecamo pravac p i ravninu ρ, presjek oznacimo s N ;

3. odredimo pravu velicinu duzine TN .

Primjer 4.46. Odredimo udaljenost tocke T (4.5, 4, 1.5) do pravca p = AB,[A(−1.5, 4.5, 5), B(2, 0.5, 1.5)].

Rjesenje. Tragovi ravnine ρ okomiti su na projekcije pravca p i uz to koristimoi cinjenicu da tocka T pripada ravnini ρ, pa pomocu sutraznice prve vrste tockomT i smjerova tragova odredimo polozaj tragova r1 i r2.

Pravac p i ravninu ρ presjeci cemo tako da pravcem postavimo prvoprojici-rajucu ravninu σ, odredimo presjecnicu ravnina ρ i σ, te presijecemo tu presjecnicui pravac p.

Konacno, rotacijom oko T ′N ′ odredimo pravu velicinu duzine TN .


Rotacija ravnine oko jednog njezinog traga

Pretpostavimo da je lik F u ravnini ρ. Rotiramo li ravninu ρ oko njezinogprvog traga do ravnine π1, u rotirani ce lik (F ) biti sukladan s likom F , buducida je rotacija izometrija. Stoga se rotacija ravnine oko njezinog traga upotreblja-va u problemima gdje je potrebno izvrsiti neku konstrukciju vezanu uz lik u tojpromatranoj ravnini.

Promotrimo rotiranje jedne tocke A prostora. Tocka A rotira se oko prvogtraga ravnine ρ u ravninu π1. Rotiranu sliku oznacimo s (A). Radijus rotacije jeudaljenost tocke A do prvog traga, tj. |AS|, pri cemu je AS priklonica ravnine.

Uocimo na istoj slici i pravokutni trokut AA′S. Njega rotiramo oko SA′ dokne padne u ravninu π1. Rotiranu sliku tocke A oznacimo s A0. Duzina A′A0 lezina tlocrtu sutraznice s koja prolazi tockom A. Ocito je |AS| = |(A)S| = |A0S|. Tosvojstvo cemo koristiti pri konstrukciji tocke (A).

Pogledajmo kako izgleda Mongeova projekcija ove situacije. Tocka A lezi nasutraznici s, sto se u projekciji vidi kao A′ ∈ s′ i A′′ ∈ s′′. Na tlocrtu sutraznice s′

nanesena je koordinata nacrta tocke A i dobivena je tocka A0, Iz tocke A′ povucenaje okomica na r1 i to je tlocrt priklonice. Ta priklonica sijece prvi trag u tocki S.Tocka (A) dobiva se rotacijom tocke A0 oko tocke S do priklonice. Konacna slikarotacije tocke A oko prvog traga prikazana je ispod ovog teksta.


.

Za lik koji se nalazi u ravnini ρ i njemu rotirani lik vrijedi sljedeci teorem.

Teorem 4.3. Ako ravninu rotiramo oko njezinog prvog traga, tada su rotirani likte ravnine i tlocrt lika perspektivno afini pri cemu je os afinosti prvi trag, a zrakeafinosti su okomite na prvi trag ravnine.

Dokaz. Na gore opisani nacin rotirajmo jos jednu tocku B ravnine ρ.

Pravac AB lezi u ravnini ρ pa njegovo prvo probodiste lezi na prvom traguravnine. Rotirana slika pravca AB je pravac (A)(B) i on takoder prolazi prvimprobodistem od AB jer je pri rotaciji ta tocka ostala fiksna. Tlocrt pravca AB jepravac A′B′ i on prolazi prvim probodistem pravca AB. Dakle, pravci A′B′ i (A)(B)sijeku se na prvom tragu. Ujedno pravci A(A) i B(B) su okomiti na prvi trag, tj.medusobno su paralelni. Dakle, imamo preslikavanje koje tocki A′ pridruzuje tocku(A) i ima sva svojstva kojima je opisana prespektivna afinost.

Naravno da se ravnina moze rotirati i oko svoga drugoga traga. Tada je pos-tupak analogan.


Primjer 4.47. Konstruirajmo tlocrt i nacrt jednakostranicnog trokuta koji lezi uravnini ρ(4, 2,−5), ako mu je zadana stranica AB, A(1, 2,− ), B(6, 1,− ).

Rjesenje. Rotirat cemo ravninu ρ preko prvog traga u ravninu π1. Tom serotacijom tocke A i B preslikaju u (A) i (B). Sad konstruiramo tocku (C) takoda je (A)(B)(C) jednakostranican trokut. Zamijetimo da postoje dva rjesenja zavrh (C), ali na nasoj slici nastavljamo konstrukciju samo s jednim. Konstrukcija zadrugi vrh (C) radi se analogno.

Buduci da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini u afinosti cija os je tragr1, a zrake afinosti su okomice na trag r1, tocku (C) pomocu afinosti preslikamo utlocrt C ′. Nacrt te tocke odredimo pomocu cinjenice da tocka C lezi u ravnini ρ.


Primjer 4.48. Konstruirajmo tlocrt i nacrt pravilnog sesterokuta koji lezi u ravniniε(−2, 3, 1), tocka S(2, 3,− ) mu je srediste, a jedna stranica mu lezi na prvom traguravnine ε.

Rjesenje. Oznacimo trazeni sesterokut s ABCDEF , te neka je AB stranicakoja lezi na prvom tragu ravnine ε. Rotacijom ravnine ε oko prvog traga e1 tocke Ai B ostaju fiksne, tj. pravac na kojem lezi stranica AB je upravo trag e1, a tocka Srotira se u tocku (S). Poznavajuci u pravilnom sesterokutu njegovo srediste i pravacna kojem lezi jedna stranica lako konstruiramo taj sesterokut.

Naime, iz tocke (S) spustimo okomicu na trag e1, te konstruiramo kut od 30◦

ciji je jedan krak upravo povucena okomica. Drugi krak kuta sijece trag e1 u tockiA, pa je polumjer opisane kruznice sesterokuta upravo A(S). Konstruiramo pravilnisesterokut AB(C)(D)(E)(F ). Buduci da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afiniu afinosti cija os je trag e1, a zrake afinosti su okomice na trag e1, tocke (C), (D),(E) i (F ) pomocu afinosti preslikamo u tlocrte C ′, D′, E ′ i F ′. Nacrte tih tocakaodredimo pomocu cinjenice da tocke C, D, E, F leze u ravnini ε.


Primjer 4.49. Dani su pravac p = MN [M(1, 4, 0), N(7, 1, 7)], i tocka S(8, 4, 5).Konstruirajmo projekcije kvadrata kojemu je S srediste, a jedna stranica lezi napravcu p.

Rjesenje. Prvo uocimo da kvadrat ABCD lezi u ravnini odredenoj pravcemp i tockom S. Dakle, prvi je korak pomocu pravca p i tocke S odrediti tragoveravnine ρ, zatim ju rotirati oko prvog traga. U tom rotiranom polozaju pozna-jemo polozaj tocke (S) i pravca (p) na kojem lezi stranica (A)(B) kvadrata, temozemo konstruirati cijeli kvadrat (A)(B)(C)(D). Zatim perspektivnom afinostitocke (A), (B), (C), (D) preslikamo A′, B′, C ′, D′, a potom pomocu sutraznica imnademo nacrte.

Primjer 4.50. Konstruirajmo projekcije kvadrata ABCD koji lezi u ravnini σ(5,∞, 4),ako su mu zadani vrhovi A(0, 2,− ), B(3, 1,− ).

Rjesenje. Ravninu σ rotiramo oko drugog traga s2 u ravninu π2. Pmocupoznatih tocaka (A) (B) dovrsimo kvadrat (A)(B)(C)(D). Buduci da se radi oprojicirajucoj ravnini, nacrt A′′B′′C ′′D′′ dobivamo tako da se iz tocaka (C), (D)jednostavno povuku okomice do drugog traga i nozista tih okomica su tocke C ′′ iD′′. Tlocrt tih tocaka dobijemo koristeci se cinjenicom da je udaljenost tocke C ′ doosi 1x2 jednaka udaljenosti tocaka C ′′ i (C).


Primjer 4.51. Projekcije kruznice. Konstruirajmo projekcije kruznicek(S, r = 2.5), S(5, 2,− ), koja lezi u ravnini γ(−4, 2, 3).

Rjesenje. Prvo rijesimo zadatak pomocu prevaljivanja ravnine γ oko prvog idrugog traga ravnine.

Pomocu sutraznice prve vrste nademo tocku S ′′, a zatim i tocku S0 na su-traznici prve vrste. Iz tocke S ′ povucimo okomicu na prvi trag c1, te rotiramo tockuS0 u polozaj (S). Oko tocke (S) opisimo kruznicu polumjera r = 2.5. To je pravavelicina kruznice k.

Neka je (1)(2) promjer paralelan s prvim tragom, a (3)(4) njemu okomit prom-jer. Buduci da su rotirani lik i tlocrt perspektivno afini s osi afinosti c1 i zrakamaafinosti ortogonalnima na os afinosti, slijedi da se tocke 1′ i 2′ nalaze na sutraznicikroz S ′ i na okomicama kroz (1) i (2). Tocke 3′ i 4′ nademo pomocu afinosti.

Promjeri 1′2′ i 3′4′ su glavni promjeri elipse, tj. tlocrta k′ kruznice k, te seelipsa sada lako nacrta.

Isti postupak ponovimo s rotacijom ravnine, a samim time i kruznice k okodrugoga traga ravnine c2. Vrhovi elipse koja je nacrt kruznice k su tocke 5′′, 6′′, 7′′ i8′′.



No, projekcije kruznice mogu se konstruirati i bez rotacije ravnine prekonjezinih tragova. Pogledajmo samo priklonicu p ravnine γ koja prolazi sredistem Skruznice k. Na toj se priklonici nalaze tocke 3 i 4 ciji tlocrti su vrhovi elipse koja jetlocrt kruznice. Tlocrt priklonice p je okomica na prvi trag c1 koja prolazi tockomS ′. I tlocrti 3′ i 4′ tocaka 3 i 4 nalaze se na tlocrtu priklonice p.

Prevalimo priklonicu p preko njezinog tlocrta u ravninu π1 i nazovimo tajpravac s p0. On ocito prolazi tockom S0 i tockom u kojoj priklonica p sijece prvitrag. Na njoj se nalaze i prevaljene tocke 30 i 40 koje su od S0 udaljene upravo zapolumjer kruznice k buduci da je ovo prevaljivanje izometrija i udaljenosti su ostalesacuvane. No, tocke 30 i 40 nalaze se i na sutraznicama kroz tocke 3′ i 4′. Time jegotova analiza zadatka i sada konstrukcija tece ovako.

Na sutraznici prve vrste kroz tocku S ′ nanesemo tocke 1′ i 2′ koje su od S ′

udaljene za r. To su vrhovi elipse koji odredjuju jednu os elipse. Konstruiramoprevaljenu priklonicu p0 kao spojnicu tocke S0 i nozista okomice iz S ′ na prvi trag.Na tom pravcu p0 od tocke S0 nanesemo na obje strane polumjer kruznice. Timedobivamo tocke 30 i 40. Povlacenjem paralela s prvim tragom kroz te tocke dookomice iz S ′ na prvi trag dobivamo tocke 3′ i 4′ koje odreduju drugu os elipse.

Za konstrukciju nacrta kruznice k primjenjujemo analogan postupak proma-trajuci priklonicu tockom S koja je okomita na drugi trag ravnine γ.


.

Podizanje visine

Sad cemo promotriti kako postupak konstruiranja okomice na neku ravninudane duljine. Neka je ρ dana ravnina, tocka A neka tocka te ravnine i neka jed pozitivan broj. Treba konstruirati tocku N koja se nalazi na udaljenosti d odtocke A. Ovaj problem kratko zovemo podizanje visine jer se vrlo cesto koristi prikonstrukcijama tijela.


Pravac AN okomit je na ravninu ρ, paje A′N ′ ⊥ r1. Uocimo trapez N ′A′AN .On ima dva prava kuta pri vrhovimaN ′ i A′. Njegovim prevaljivanjem prekoA′N ′ dobivamo pravu velicinu duzineAN . Prisjetimo se da je ta pravavelicina u ovom problemu dani broj d.

Drugi postupak kojega cemo se pris-jetiti je prevaljivanje priklonice iz tockeA na ravninu ρ. Tim postupkom dobi-vamo tocku A0 koja lezi na tlocrtu su-traznice koji prolazi kroz A′.

Kad spojimo te dvije slike u jednu dobi-vamo desnu sliku. Uocimo da je AN ⊥AS (jer je pravac AN okomit na svakipravac ravnine ρ, pa i na priklonicuAS). Taj se pravi kut pri prevaljivanjupojavljuje kao kut 6 SA0N0.

Time je gotova analiza ovog problema podizanja visine. Konstrukcija teceovako: Tocku A0 dobijemo prevaljivanjem priklonice AS. Povucemo okomicu naspojnicu A0S kroz tocku A0. Na toj okomici oznacimo tocku N0 koja je od A0

udaljena za d. Zamijetimo da postoje dvije takve tocke, pa ce i zadatak imati dvarjesenja. Tockom N0 povucemo paralelu s prvim tragom do priklonice A′S i to je


tocka N ′. N ′′ lezi na okomici iz A′′ na drugi trag r2.

Primjer 4.52. U tocki A(1, 8,− ) ravnine ρ(−2, 2.2, 1.2) podignimo okomicu duljined = 4.

Dovrsimo projekcije tocke A, tj. pomocu sutraznice konstruirajmo i A′′. Natlocrt sutraznice nanesemo visinu nacrta i tako dobivamo tocku A0. Ujedno iz tockeA′ povucimo okomicu na prvi trag ravnine r1. Noziste okomice na prvom traguoznacimo sa S. U tocki A0 povucimo okomicu na duzinu SA0 duljine d = 4. Takodobivamo tocku T0. Povlacenjem paralele s r1 do okomice dobivamo T ′. Istovremenoiz tocke A′′ povucimo okomicu na r2. Povlacenjem ordinale iz T ′ do okomice iz A′′

dobivamo nacrt tocke T . Zamijetimo da zadatak ima dva rjesenja. Mi smo uovoj konstrukciji nacrtali rjesenje T , a drugo je rjesenje centralnosimetricno tockiT obzirom na tocku A, adobilo bi se da smo duljinu d = 4 konstruirali na drugojstrani okomice.


Primjer 4.53. Konstruirajmo projekcije uspravne trostrane prizme ABCDEF ko-joj osnovka ABC lezi u ρ(−5, 2, 4), a visina prizme je v = 6. A(−2, 1,− ), B(4, 3,− ),C(3, 0.5,− ).

Primjer 4.54. Nacrtajmo projekcije pravilne uspravne 4-strane piramide s os-novkom ABCD u ravnini σ(8, 6, 5), A(2, 1,− ), B(4, 2,− ), visina je 4.5.

Documents

Nacrtna geometrija i grafika