2.3 Mecanismos De 4 Barras.pdf

7/25/2019 2.3 Mecanismos De 4 Barras.pdf

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2.3 MECANISMO DE CUATRO BARRAS

El eslabonamiento de cuatro barras es uno de los mecanismos ms utilizados y ms sencillos,ejemplos:

Mquina de pruebas de solidez del color en telas: Se observa las curvas de acopladorsuperpuestasfigura 2.9

figura 2.9 Mquina de pruebas de solidez del color en telas

Mecanismo de Watt de cuatro barras en la suspensin trasera de un auto figura 2.10

figura 2.10 Mecanismo de Watt

Eslabonamiento de cuatro barras para controlar la oscilacin de la pala de una cargadorafrontal


2/20

32

figura 2.11 Pala mecnica

2.3.1 ANA LISIS DE MOVIMIENTO

figura 2.12 Diagrama de cuerpo libre para mecanismo de 4 barras

ESQUEMA CINEMATICO DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS

La ecuacin del cierre del circuito de un mecanismo de cuatro barras es:

1 4 3 2r r r r

Transformando a la forma compleja:

34 20

1 4 3 2

ii i ir e r e r e r e

Utilizando la equivalencia de Euler obtenemos:

1 4 4 3 3 2 2

1 4 4 3 3 2 2

) ) )

) )

(0) ( (

)

(

(0) ( ( (

r cos r cos r cos r cos

r sin r sin r sin r sin


3/20

33

En este caso tenemos una ecuacin no lineal donde las variables dependientes o incgnitas son:

3 y 4, la variable independiente es 2y las constantes son: r1, r2, r3, y r4.

3 3 1 4 4 2 2

3 3 4 4 2 2

( ( (

( (

)

) )(

) )

)

r cos r r cos r cos

r sin r sin r sin

Si elevamos al cuadrado y sumamos obtenemos:

2 2 2 2

3 1 2 4 1 2 2 1 4 4 2 4 4 2 2 4 2 ( 2 () ) (2 ) ) ) )( ( )( (r r r r r r cos r r cos r r cos cos sin sin

2 2 2 2

1 2 4 3 1 14 2 2 4

2 4 4 2

cos( ) cos( ) cos( )2

r r r r r r

r r r r

Utilizando las nuevas constantes:

2 2 2 2

1 2 4 3

3

2 42

r r r r k

r r

12

4

11

2

rk

r

rk

r

Obtenemos la ecuacin de Freudenstein que se utilizara en sntesis de mecanismos:

4 2 3 2 2 1 4( ) ) )( (cos k k cos k cos

4 2 2 4 3 2 2 1 4( ( ( () () ) ) ) )(cos cos sen sen k k cos k cos

Para resolver est ecuacin utilizamos las siguientes equivalencias conocidas:

4

4

2 4

2(

1

2)

2

tansen

tan


4/20

34

2 4

4

2 4

12

2

1

tan

cos

tan

4

2tan x

Para simplificar el desarrollo usamos:

4 2

2

4 2

21

1cos

1

xsenx

x

x

Reemplazando se obtiene una ecuacin de segundo grado.

2 2 22 2 3 2 2 1) ) ( ))( 1 ( 2 ( 1 1cos x sen x k k cos x k x

2 0A x B x C

Donde:

La solucin para x o tan (4/ 2) es:

42 2 atan B2 B2 2 4 A 2 C2

2 A 2

Donde el signodel radical se utiliza para la configuracin abierta y el signo + para la configuracincruzada.

A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k

B2 2 sin2

C2 k1 k2 1( ) cos 2 k


5/20

35

Procediendo de igual manera pero eliminando 4 obtenemos la ecuacin para 3

32 2 atanE2 E2

24 D2 F2

2 D2

Donde:

k5

r4

2r1

2r2

2r3

2

..2 r2r

3 k4= r1/r3

Donde el signodel radical se utiliza para la configuracin abierta y el signo + para la configuracincruzada:

2.3.2 ANALISIS DE LA TRAYECTORIA DE UN PUNTO DEL ACOPLADOR

La ecuacin vectorial del acoplador se puede escribir como:

32

5

)(

2i iRp r e r e

Siendo las componentes en x y y

Con dos ejercicios de aplicacin vamos a ejemplificar la importancia de la curva de acoplador

1. Ejercicio de Aplicacin:Disear un mecanismo transportador de viga viajera con las siguientesmedidas

En primer lugar necesitamos un mecanismo manivela oscilador de Grashof

. r2+ r1< r3 + r4; 233+100 < 222+206 ; 333 < 408

D2 cos 2 k1 k4 cos 2 k

E2 2 sin 2

F2 k1 k4 1( ) cos 2 k

Rpx2 r2 cos 2 r5 cos 32 3

180

Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 32 3

180

r1 222 r2 100 r3 20 r4 233

k1r1

r2 k2

r1

r4 k3

r12

r22

r42

r32

2 r2 r4 k5

r42

r12

r22

r32

2 r2 r3 k4

r1

r3


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36

2 0 0.1 2

42 2 atanB2 B2

24 A 2 C2

2 A 2

32 2 atanE2 E2

24 D2 F 2

2 D2

Para trazar la curva de acoplador escogeremos las siguientes medidas del vector r5y del ngulo dediseo

0 100 200 300 400 500 60020

40

60

80

100

120

140

160Angulo theta 4 y Angulo theta3

theta 2

theta

3,theta4

A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k

B2 2 sin2

C2 k1 k2 1( ) cos 2 k

D2 cos 2 k1 k4 cos 2 k

E2 2 sin 2

F2 k1 k4 1( ) cos 2 k


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37

Es importante orientar el mecanismo en la forma adecuada por lo que debemos determinar elngulo de la porcin recta del acoplador con la horizontal, esto se lo puede hacer tomando datosdel grfico.

Este ngulo sirve para orientar adecuadamente el dibujo que se realiza en AutoCAD

100 75 50 25 0 25 50 75 100125150175200225250275300325350375400100

80

60

40

20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300Curva de Acoplador

255.16

100

Rpy 2( )

r2 s in 2( )

357.74100 Rpx 2( ) r2 cos 2( )

3 31 r5 30

Rpx2 r2 cos 2 r5 cos 32 3

180

Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 32 3

180

atan160 100

350 225 180

25.641


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38

En base de este diagrama se efecta la simetra y se rota 25.641o

Necesitamos un movimiento paralelo para mover la viga viajera, lo cual se lo puede hacer de dosformas, duplicando el mecanismo o utilizando mecanismos cognados, la forma ms sencilla esduplicando el mecanismo.


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Suprimiendo las barras no necesarias, y aadimos la viga viajera y un eslabn impulsor, obteniendoel mecanismo resultante que puede ser simulado en Working Model 2D.

Los pasos para exportar del AutoCAD al WM2D son los siguientes:

1.- Los eslabones deben ser polilneas cerradas2.- El eslabn de entrada Circunferencia debe estar en el cero absoluto 3.- Se graba con la extensin .dxf AutoCADR123.- Se cierra el AutoCAD4. En WM2D se selecciona importar y se busca el archivoSimulacin en Working Model 2D con la curva de acoplador superpuesta

figura 2.13 Simulacin en Working Model

2. Ejercicio de Aplicacin:Analizar un mecanismo de suspensin de Watt

Los datos son los siguientes:

r1 400 r2 200 r3 50 r4 200


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40

Y la curva de acoplador es:

El correspondiente dibujo en AutoCAD y simulacin en WM es la siguiente:

figura 2.14 Dibujo en Autocad

200 100 0 100 200 300

200

100

0

100

200Curva de Acoplador

160.128

160.128

Rpy 2( )

r2 sin2( )

207.895200 Rpx2( ) r2 cos 2( )

3 0 r5 25


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41

figura 2.15 Simulacin en working model

Claramente apreciamos que el Mecanismo de Watt sujeta mejor la carrocera, por lo que es muyutilizado en competencias.

2.3.3. ANA LISIS DE VELOCIDAD

Efectuamos la derivacin de la ecuacin de cierre del circuito

2 3 4

2 3 1 4

i iir e r e r r e

2 3 4

2 2 3 3 4 4

i iii r e i r e i r e

Igualando la parte real e imaginaria obtenemos:

3 3 3 4 4 4 2 2 2

3 3 3 4 4 4 2 2 2

( ( (

( (

) ) )

cos ) cos ) c (os )

r sen r sen r sen

r r r

Resolviendo las dos ecuaciones lineales simultneas obtenemos:

2 2 4 2

3 2 2

3 4 2 3 2

2 3 2 2

4 2 2

4 3 2 4 2

r sen

r sen

r sen

r sen


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42

Grfica de las velocidades angulares del mecanismo propuesto para una velocidad del impulsor de200 RPM.

2.3.4 VENTAJA MECANICA

La ventaja mecnica es la relacin que existe entre la Fuerza de salida y la Fuerza de entrada enun mecanismo y es un ndice de mrito del mecanismo. Para obtener la ventaja mecnica se igualanlas potencias de entrada y salida y puesto que los sistemas de eslabonamientos pueden ser muyeficientes las prdidas son a menudo menores que 10% y por lo tanto podemos suponer que las

mismas son cero, por lo cual podemos decir que:

POTENCIA DE ENTRADA POTENCIA DE SALIDA

Potencia es igual a Torque x velocidad angular o Fuerza x velocidad lineal

4 2 2 4T x T x

La ventaja mecnica se define como:

. .

Fuerza de salidaVentaja Mecnica V M

Fuerza de entrada

salida

salida salida salida entrada

entradaentrada entrada salida

entrada

T

Fuerza r T rVentajaMecanica

TFuerza T r

r

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450200170

140

110

80

50

20

10

40

70

100 FRECUENCIAS de la barra 3 y 499.05

179.102

0

4 2( )

3 2( )

449.99502

180


13/20

43

4 3 2 4 22

4 2 3 2 2

entrada entrada entrada entrada

salida salida salida salida

r senr r rVM

r r rr sen

Determinada la VM se puede hallar la Fuerza de entrada si se conoce la Fsalida

Como podemos observar la V. M. mxima se obtiene cuando 2= 3siendo en este caso igual a ,o cuando el impulsor se alinea con el acoplador, esta posicin se denomina volquete. En estaposicin funcionan todos los mecanismos que multiplican las fuerzas como:

PrensasTrituradoras de piedras (figura 2.17)Mecanismos de cierre de moldes en inyectorasPlayos de presin (figura 2.16)Mordazas de Jics de soldadura

figura 2.16 Playo de presin

figura 2.17 Triturador de roca


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44

figura 2.18 Cortador de varillas

La ventaja mecnica se reduce a cero cuando 4= 3o cuando el acoplador y el seguidor estnalineados. En este punto el mecanismo simplemente no funciona. El ngulo entre el acoplador y el

seguidor se llama ngulo de transmisin y para que un mecanismo tenga buenas caractersticas

de funcionamiento este ngulo no debe ser menor a 300, ni mayor a 1500

Esto significa que el ngulo mximo de oscilacin del seguidor es de 120o

La ventaja mecnica puede ser obtenida en forma grfica o analtica :

A partir de las expresiones analticas analizadas anteriormente se puede buscar relacionesgeomtricas para determinar grficamente la ventaja mecnica

figura 2.19 Determinacin grfica de la ventaja mecnica

Entonces la 2 / 4 estara dada por la relacin entre los segmentos perpendiculares, trazadosdesde los polos fijos hasta la barra 3 o estableciendo tringulos semejantes por la relacin O4I / O2I

figura 2.20

Y la ventaja mecnica en un eslabonamiento de cuatro barras puede hallarse entonces a partir dela siguiente expresin:


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45

4

2

entrada

salida

rO IVM

O I r

3. Ejercicio de Aplicacin:La figura 2.21 muestra una mordaza de cuatro barras utilizada para

sostener una pieza de trabajo en su lugar, sujetndola en D. O2A = 70, O2C = 138, AB = 35,O4B = 34, O4D = 82, O2O4 = 48 mm. El eslabn 2 se encuentra a 104 0 en la posicinindicada. El eslabonamiento se agarrotara cuando el eslabn 2 alcance 900.

a. Calcule su ventaja mecnica en la posicin mostradab. Calcule y grafique su ventaja mecnica como una funcin del ngulo del eslabn AB

a medida que el eslabn 2 gira de 120 a 900

Debemos dibujar el mecanismo en AutoCAD para tomar las medidas correspondientes:

figura 2.21 Mordaza de cuatro barras

Aplicando la formula anterior tenemos:

VMO4I

O2I

rentrada

rsalida

71.71

23.71

138

81.05 5.1

Se puede posteriormente variar las medidas para tener una mejor V.M.

Para efectuar determinar la V.M. por el mtodo analtico orientamos el mecanismo en la formaconvencional que como vemos corresponde a la configuracin cruzada.


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46

figura 2.22 Diagrama de cuerpo libre

42 2 atanB2 B2

24 A 2 C2

2 A 2

32 2 atanE2 E2

24 D2 F2

2 D2

Se usa el signo +

VM2 r4

r2

sin 32 42

sin 32 2

rentrada

rsalida

36 37.4 38.8 40.2 41.6 43 44.4 45.8 47.2 48.6 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50VM analtica

50

4.978

5.15

0

VM 2( )

50362

180

r1 4 r2 7 r3 35 r4 3 rentrada 13 rsalida 81.0

k1r1

r2 k2

r1

r4 k3

r12

r22

r42

r32

2 r2 r4 k5

r42

r12

r22

r32

2 r2 r3 k4

r1

r3

2 36

180 36.01

180

4


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47

Como se observa la ventaja tender al infinito aproximadamente a unos 44.4oy coincide tambin elvalor que obtuvimos grficamente de 5.15

2.3.5. INDICE DE MERITO: ANGULO DE TRANSMISIN

El principal ndice de mrito de un mecanismo es el ngulo de transmisin, ngulo que se forma

entre la barra 4 y la barra 3 y que se lo puede cuantificar como:

2 42 32

Y el correspondiente grfico para el caso del mecanismo de viga viajera es:

Como indicamos anteriormente, el ngulo de transmisin adecuado debe estar entre 30 y 150 0

2.3.6 ANALISIS DE ACELERACION

Derivando la expresin de la velocidad obtenemos:

32 42 2 3 3 4 4

ii ii r e i r e i r e

32 42 2 2 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4( ) ( ) ( ) 0ii ii r i r e i r i r e i r i r e

Igualando las partes reales e imaginarias:

Parte real:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) )) 0r cos r sin r cos r sin r cos r sin

Parte imaginaria:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) ))r sin r cos r sin r cos r sin r cos

Resolviendo el sistema de ecuaciones para 3y 4 obtenemos:

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4500

1020

30

40

50

60

70

80

90

100Angulo de Transmisin

94.157

31.51

30

150

2( )180

449.94402

180

32 I2 J 2 G2 M 2

G2 K2 H2 J 2 42

I2 K2 H2 M 2

G2 K2 H2 J 2


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Donde:

Elsiguiente es el grfico de la aceleracin para el mecanismo propuesto:

2.3.7 ANALISIS DE ACELERACIONES ABSOLUTAS DE CENTROS DE GRAVEDAD

Como un ejemplo calcularemos la aceleracin del centro de masas del acoplador suponiendo quese halle en el centro de la barra

El vector de posicin al centro de masas es:

2 3

2 30.5i ir e r e

3Rg

La velocidad lineal del centro de masas es:

32

2 2 3 3 0.5i ii r e i r e

3Vg

La aceleracin del centro de masas es:

322 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3 3( ) 0.5 ( )i ii r i r e i r i r e 3Ag

Suponiendo velocidad angular constante en el impulsor 2= 0

322 2

2 2 3 3 3 3( ) ( )0.5

i ir e r i r e

3

Ag

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4501 10

5

8.5 104

7 104

5.5 104

4 104

2.5 104

1 104

5000

2 104

3.5 104

5 104

Aceleraciones angulares de 3 y 4

4.921 104

5.76 104

0

3 2( )

4 2( )

449.94402

180

G2 r4 sin 42

H2 r3sin 32 I2 2

2r2 cos2 2 r2 sin 2 32

2r3 cos 32 42

2r4 cos 42

J2 r4 cos 42 K2 r3 cos 32

M 2 22

r2 sin 2 2 r2 cos2 32

2

r3 sin 32 42

2

r4 sin 42


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49

Graficamosla

aceleracin lineal absoluta del centro de gravedad del acoplador en gravedades y obtenemos:

Para la barra 4 obtenemos:

800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400800

680

560

440

320

200

80

40

160

280

400Aceleracin absoluta de la barra3

280.752

657.955

0

Ag3y2( )

1000 9.81

303.432742.975

0

Ag3x 2( )

1000 9.81

Ag3x2 22

r2 cos2 0.5 32 2

r3 cos32 32 r3 sin 32

Ag3y 2 22

r2 sin 2 0.5 32 2

r3 sin 32 32 r3 sin 32

Ag4x2 0.5 42 2

r4 cos42 42 r4 sin 42

Ag4y 2 0.5 42 2

r4 sin 42 42 r4 sin 42


20/20

50

800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400600

480

360

240

120

0

120

240

360

480

600Aceleracin absoluta de la barra4

519.276

441.679

0Ag4y2( )

1000 9.81

303.432742.975

0

Ag3x 2( )1000 9.81

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