2.3. REALNI SISTEMI

U prethodnom izlaganju kosti su u posmatranju zamenjene modelom - polugama, koje se pod dejstvom sila ne deformišu.

Kod realnih tela, kao što su kosti, mišići i tetive (elementi lokomotornog sistema) uvek dolazi do izvesnog stepena deformacije pod dejstvom spoljnih sila.

Kao protivdejstvo spoljnim, javljaju se unutrašnje sile koje teže

da telu vrate prvobitan oblik. To su elastične sile.

Intenzitet elastičnih sila zavisi od sila među molekulima od kojih je telo načinjeno.

Realni sistemi-Elastičnost i elastične

deformacije

Pont du Gard, Francuska, rimski akvadukt izgrađen oko 19. godine pne. Ovaj

akvadukt je jedna od francuskih turističkih atrakcija i deo svetske baštine. Da li su blokovi od kojih su napravljeni lukovi sabijeni, istegljeni ili kombinacija oba?

Na Drini ćuprija (Mehmed Paša Sokolović Bridge is a

historic bridge in Višegrad, 1577. godina)

Čvrsta tela su koristan idealizovan model, ali istezanje, savijanje, smicanje itd.

izazivaju deformacije tela koje ne možemo ignorisati

U svakom od ovih slučaja ispituje se međusobna zavisnost između sile koje deluje i deformacije.

Priroda meñumolekulskih sila. Elastičnost i plastičnost

r

0

Fa Fa F

b

F

b

r

F

Fb

Fa

0 A

B

r 0

s 9 b a

i Fb r s Fa r 7

Međumolekulske sile, čije se dejstvo oseća do rastojanja koje

je deset puta veće od dijametra molekula (d ~ 10-10 m), imaju elektrostatičku i kvantnu prirodu. Molekuli poseduju pozitivna i negativna naelektrisanja, pa

među njima vladaju privlačne i odbojne sile. F

U odsustvu spoljnih sila održava se ravnotežno rastojanje

r0. Akcija - dejstvo spoljnih sila

Reakcija - elastične sile tela ili restitucione sile. Elastične deformacije - plastične deformacije

Elastične deformacije Postoji više vrsta deformacija zavisno od pravca i smera delovanja spoljnih sila, kao i od mesta napadne tačke sile:

1. istezanje i sabijanje (i savijanje kao njihova kombinacija)

2. smicanje

3. uvrtanje.

U opštem slučaju, pri proizvoljnom dejstvu sile može se istovremeno javiti više deformacija.

F F

n

Ft

S

F σ = i

S σ t

t =

Fn n

Hukov zakon za longitudinalne deformacije – istezanje i sabijanje

L

L

A

A'

Fn

σ n = Fn / S

δ = ∆L / L

δ = 1

σ Eγ

∆L =

1

Fn

L Eγ S

E Jangov modul elstičnosti karakteriše osobine materijala od koga je telo načinjeno, odnosno stepen elastičnosti tela.

Materijali velikog modula elastičnosti se srazmerno malo deformišu pod

uticajem sile.

δ ~ σ

Sila elastičnosti

relativno istezanje

napon

Engleski fizičar Huk je eksperimentalno utvrdio da je relativna deformacija proporcionalna naponu, tj.

L

L

S

Fn

LAA '

Hukov zakon

napon sile

relativno istezanje

E Jangov moduo elastičnosti

A – granica proporcionalnosti

B – granica elastičnosti

2m

N

S

F

l

ll

lE

S

F

Jangov moduo tetive

Prednja skočna tetiva spaja stopalo sa velikim

mišićem koji ide duž tibie (unutrašnje kosti

potkolenice). Merenja pokazuju da tetiva ima

Jangov moduo elastičnosti koji je

mnogo manji nego za materijale date u tabeli.

Stoga ova tetiva se značajno izteže, za 2,5% u

odnosu na svoju dužinu, pod uticajem

opterećenja pri hodanju i trčanju. Pa 109,1 9

Funkcionalno, tetiva se prvo polako isteže sa delovanjem sile, ali u suštini pruža

mnogo veću povratnu silu sa većim naponom.

Jangov moduo tetive

Grafik naprezanja u funkciji od sile

•Neke tetive sadrže kolagen i relativno malo se deformišu. •Druge, kao što su u nogama mogu da pretrpe relativnu deformaciju i do 10 %.

•U prvom delu (toe region) grafika dolazi do orjentacije vlakana tetive usled dejstva sile •Linear region (linearna zavisnost). •Failure region-neka vlakna se kidaju.

•Slično se ponašaju i ligamenti (spajaju kosti).

Za razliku od kostiju i tetiva, koje moraju biti i čvrste i elastične, arterije i pluća

moraju biti veoma rastegljivi.

Elastične osobine arterija su esencijalne za protok krvi.

Pritisak u arterijama se povećava i zidovi arterija se istežu kada se krv ispumpava

iz srca.

Kada se aortna valvula zatvori, pritisak u aorti opada i dolazi do relaksacije

aortnog zida da bi se održao protok.

Kada osećate puls-osećate upravo elastično ponašanje arterija, da su one krute

ne bi osećali puls.

Srce, pluća, organi, koža. Kod mladih osoba koža je posebno elastična, kod njih

može da se desi promena težine do 40kg bez vidljivih promena na koži.

Elastičnost organa se smanjuje sa godinama.

Postepeno fizioločko starenje počinje oko 20 god.

Izbor biomaterijala

U mnogim slučajevima telo biva izloženo i istezanju i sabijanju. Šipka se pod

sopstvenom težinom savija, tako da se donja strana isteže a gornja sabija. Da bi se

minimizirao napon, odnosno deformacija, povećava se gornja i donja površina. S

obzirom da po centralnoj liniji tela nema značajne deformacije istezanja i sabijanja,

njena površina može biti mala, što doprinosi i manjoj masi grede. Rezultat je L-

profil grede koji se često koristi u građevinarstvu.

Elastičnost u građevinarstvu

F F F

F

a b c

Deformacija smicanja

Tangencijalna sila, koja deluje po obodu površine S izaziva pomeranje

(smicanje) slojeva u čvrstom telu, pri čemu dolazi do smicanja gornjih

slojeva u odnosu na donje.

G moduo smicanja

l

l

l

lG

S

F

GS

F

Savijanje, smicanje i torzija

A

A'

F

A A

F

L

A' A

F

(a) (b)c)

Deformacije savijanja (a), smicanja (b) i torzije (c).

•Savijanje - kvazi-longitudinalna deformacija, kombinacija sabijanja i istezanja (a).

•Smicanje – deformacija pod dejstvom tangencijalne sile čija je napadna tačka na obodu poprečnog preseka, a pravac dejstva prolazi kroz osu tela.

•Torzija (uvrtanje) - specijalan slučaj smicanja. Javlja se kada sila deluje kao tangenta na površinu poprečnog preseka tela.

Energetika koštane frakture

Energija deformisanog tela, prema zakonu o održanju energije, biće jednaka

radu spoljašnjih sila koje su tu deformaciju izazvale.

gustina energije deformacije

normalni napon

2

2

1np

E

Energetika koštane frakture

L

L S

Fn

S S

Fn/S (N/mm2)

L/L (%)

120

0,012 0

Grafik zavisnosti relativne deformacije istezanja kompaktne kosti od normalnog napona.

ΔLdF=E=AΔL

np 0

L

ΔLSE=F γn

.2

1

2

2

)(

2

2

2

0

δVE=L

ΔLSLE=E

ΔL

L

SE=ΔLdΔL

L

SE=E

γγp

γ

ΔL

γp

2

2

1δE=

V

E=ε γ

pn

γ

σE

=δ1

2

2

1n

γ

p σE

=ε

Pri porastu normalnog napona raste relativna deformacija. Pri tzv. Kritičnom naponu, dolazi do trajne deformacije. Za kosti taj napon je 120 N/m2, a relativna deformacija je 0,012%.

Sσ=FS

F=σ cc

c

c N=mm

N=Fc

424

2

6 102,410210120

Čovek mase m = 70 kg je u automobilu koji se sudara sa nepomičnom preprekom pri brzini u1 = 70 km/h. Pretpostavimo da se automobil posle sudara zaustavio na rastojanju od 0,5 m u odnosu na svoj položaj u trenutku početka sudara, izračunati silu u trenutku sudara.

NN=

m

sm,kg=

υm=ma=F 2

22

1 103,26263450,52

/41970

2s

sυaυ

asυ=υ

2 ,0

2

2

12

2

1

2

2

Primer: da bi došlo do preloma kosti, kritična sila mora da bude veoma velika. Ako se pođe od vrednosti kritičnog napona pri istezanju i ako je poprečni presek kosti nekoliko kvadratnih centimetara, kritična sila je:

Ovako velike vrednosti imaju sile koje deluju u veoma kratkom vremenskom intervalu, kao što su impulsne sile. To su sile pri sudarima automobila. I istog su reda kao i kritična sila. Kao posledica se dešavaju prelomi kostiju.

U opštem slučaju do frakture kosti ne dolazi usled istezanja i sabijanja, nego

bočnim delovanjem sile i savijanjem, što rezultuje smicanjem.

Ponašanje kostiju usled napona i kompresije je veoma važno sa gledišta tereta

koji mogu da nose.

Kosti u različitim delovima tela imaju različitu strukturu u zavisnosti od funkcije

koju vrše.

Recimo potporne konstrukcije u zgradama su čelične šipke, dok drveće i kosti

imaju vlaknastu strukturu.

Kod ljudi koji imaju problem sa viškom mase dešava se oštećenje kostiju usled

stalne kompresije spojeva kostiju i tetiva.