23MK1-Predavanje7

Metalne konstrukcije 1 P8-1



Teorijske osnove

Problem je prvi analizirao Timošenko.j pLinearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:• materijal idealno elastičan;• nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);• sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti

oslonci);• poprečni presek nosača je obostrano simetričan i• poprečni presek nosača je obostrano simetričan i

konstantan duž raspona nosača (I presek);• poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;• moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;• deformacije su male (sinϕ =ϕ; cosϕ=1);


j ( ϕ ϕ; ϕ );

Deformisan oblik nosača

yy MMM =⋅= ϕξ cos

ϕϕη ⋅=⋅= yy MMM sin

dxdvMMM yT ⋅==ζ


Osnovne diferencijalne jednačine problema

2

2

dxxwdEIMM yy

)(⋅−==ξ Savijanje oko jače y-y ose

dxyyξ

2 xvdEIMM )(⋅−=⋅= ϕ Savijanje oko slabije z-z ose

2dxEIMM zy == ϕη

3dEIdGIdvMM ϕϕ

j j j

3dxdEI

dxdGI

dxdvMM tyT

ϕϕω ⋅−⋅=⋅= Torzija

EI krutost na savijanje oko jače oseEIy krutost na savijanje oko jače ose,

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

I torzioni moment inercijeIt torzioni moment inercije,

Iw sektorski moment inercije,

i li jMetalne konstrukcije 1 P8-6

v, w i ϕ nepoznata generalisana pomeranja.

Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja

02

2

2

4

4

=⋅−⋅−⋅ ϕϕϕω

yt EI

MdxdGI

dxdEI

Granični uslovi

zEIdxdx

Granični uslovi

0)0( =ϕ 0)0()0(2

2=′′= ϕϕ

dd 0)( =lϕ 0)()(

2

2=′′= l

l ϕϕd2dx

)(2 ϕdx

)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=ϕ

Pretpostavljen oblik rešenja D.J.


Kritičan moment bočno-torzionog izvijanja Mcr

tzcr EI

GIIIEIM ⋅+⋅⋅= 2

2

2

2π ω l

zzzcr EII 22 πl

EIz krutost na savijanje oko slabije ose,

GIt torziona krutost

Iw sektorski moment inercije,w j ,

l raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).


Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja


Modifikovan izraz za kritičan moment MModifikovan izraz za kritičan moment Mcr

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−⋅−⋅−⋅+

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅= jgjg

z

t

z

zcr zCzCzCzC

EIGIk

II

kk

kEICM 32

2322

2

2

2

1 ππ ω

ω

l

l ⎦⎣

C1 C2 C3 koeficijenti koji uvode u proračun različite oblike opterećenja;1 2 3 j j p p j ;

k i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;

z rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenjezg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje

zj parametar koji uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja kod monosimetričnih poprečnih preseka;p p p


Koeficijenti O P T E R E Ć E N J E k C1 C2 C3

1 1,0 0,5

1,000 1,000

- -

1,000 1,144

C1, C2 i C3

2 1,0 0,5

1,323 1,514

- -

0,992 2,271

3

1,0 0,5

1,879 2,150

- -

0,939 2,150

4

1,0 0,5

2,704 3,093

- -

0,676 1,546

5

1,0 0,5

2,752 3,149

- -

0,000 0,000

6

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

7

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

8

1,0 0,5

1,365 1,010

0,553 0,432

1,730 3,050

9

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800 , , , ,

10

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890

11

2,0 1,28/α 0,43 -

12 2,0 2,05 0,83 -


Monosimetrični poprečni peseci i uticaj položaja opterećenjapoložaja opterećenja

∫ ⋅⋅+⋅⋅

−=Ay

gj dAzzyI

zz )( 22

21sag zzz −=


Veličina Obostrano simetrični nosači Monosimetrični nosači

Rastojanje između težišta preseka i

0=z 33

223211

31

bbhtbhtbzs

⋅⋅−⋅⋅= p

centra smicanja 0=sz

2

321

31 tbtb ⋅+⋅

Sektorski moment

inercije

4/2sz hII ⋅=ω

2)1( sz hII ⋅⋅−⋅= ββω

2321

31 tbtbI ⋅⋅⋅e c je

)(12 2321

31

2211

tbtbI

⋅+⋅⋅≈ω

Torzioni moment inercije ( )332

31

wt tdtbI ⋅+⋅⋅⋅= ( )3322

3113

1wt tdtbtbI ⋅+⋅+⋅⋅=

2 Parametar jz 0=jz

⇒> 5,0β 2)12(4,0 sj hz ⋅−⋅= β

⇒≤ 5,0β 2)12(5,0 sj hz ⋅−⋅= β

fcI=β

ftfc II +β

fcI moment inercije pritisnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,

ftI moment inercije zategnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,

sh rastojanje između centara smicanja pritisnutog i zategnutog pojasa,

NAPOMENA: (1) Kod obostrano simetričnih preseka širine i debljine pojasnih lamela su jednake, pa je: bbb == 21 , odnosno ttt == 21 .

(2) Kada su pojasevi izrađeni od ravnih limova sh je jednako rastojanju između težišta pojasnih lamela. (3) Rastojanje između težišta i centra smicanja ( sz ) je pozitivno kada se centar smicanja nalazi između težišta i pritisnute nožice.


Uticaj položaja opterećenja na vrednost k itič tkritičnog momenta

P iq

IPE300

PrimerPoložaj opterećenja

donji pojas težište gornji pojas

M [kN ] 129 7 102 5 75

L=6,00 m

IPE300 M cr [kNm] 129,7 102,5 75q cr [kN/m] 28,82 22,78 16,67


Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje

• Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne ij k i f k ij )geometrijske imperfekcije,...);

• Granična vrednost momenta nosivost (Mu) manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) ;

• Stvarno ponašanje nosača odstupa od bifurkacionog modela stabilnostig


Teorijske i relane veze između momenta savijana (M) i bočnog pomeranja (v)


Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja

22

22

2

ztzcr IIEGIEIM ππ ω ⎟⎞

⎜⎛ ⋅⋅⎟

⎞⎜⎛ ⋅ 22

2 DwDvy

z

y

tz

y

crcr W

EWW

M σσππσ ω +=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⋅+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⋅==ll

σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)

ijtorzije.


Proračun stabilnosti na bočno-torziono izvijaje prema JUS U.E7.101

dopDpy

DpD

dopD

fσχα

νχα

νσσσ ⋅⋅=⋅⋅==≤ ,max

σD dop dopušteni napon bočno-torzionog izvijanja,

νν

σD,dop dopušte apo boč o to o og v ja ja,σD granični napon bočno-torzionog izvijanja,ν koeficijent sigurnosti,j gαp koeficijent oblika poprečnog preseka,χD bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja,fy granica razvlačenja,σdop dopušten normalni napon.


Koeficijent oblika poprečnog preseka αKoeficijent oblika poprečnog preseka αp

U opštem slučaju U slučaju obostrano simetričnih

W S2 ⋅

U opštem slučaju U s uč ju obos o s e čpoprečnih preseka

yel

yplp W

W

,

,=αyel

yp W

S

,

2 ⋅=α

Wpl,y plastični otporni moment oko y-y ose,Wel,y elastični otporni moment oko y-y ose,Sy statički moment oko y-y ose za težište poprečnog

kpreseka.


Bezdimenzionalni koeficijent χDBezdimenzionalni koeficijent χD

⎧

⎪⎪

⎨

⎧≤

=4,0 za1

/1

D

D

λχ

⎪⎪

⎩

⎨>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

4,0 za1

1 /1

2 D

n

nD

D

λλ

χ

relativna vitkost na bočno-torziono izvijanje

⎩ ⎠⎝ +1 Dλ

λ relativna vitkost na bočno torziono izvijanjen parametar koji zavisi od tipa nosača

1 5 fil

Dλ

n = 1,5 za zavarene profilen = 2,0 za valjane profile


Krive bočno torzionog izvijanjaKrive bočno-torzionog izvijanjaχD

1 20

1,00

1,20

0 60

0,80 Valjani profili (n =1,5)

0,40

0,60

Zavareni profili

0 00

0,20 (n =2,0)

λ

0,00

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

Metalne konstrukcije 1 P8-21Dλ

Relativna (bezdimenzionalna) vitkost na bočno-torziono izvijanje

cr

plD M

M=λ

cr

ypD

fσ

αλ

⋅=odnosno

cr crσ

Mpl moment plastične nosivosti poprečnog preseka,Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja,cr g j j ,σcr kritičan napon bočno-torzionog izvijanja,f granica razvlačenjafy granica razvlačenja,αp koeficijent oblika poprečnog preseka.


Kritičan napon bočno torzionog izvijanjaKritičan napon bočno-torzionog izvijanja

22DwDvDcd σσφσ +⋅= DwDvDcd φ,

φ koeficijent za određivanje uticaja položaja delovanja opterećenja,

σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)

ijtorzije.


Uticaj položaja opterećenja

⎪⎧ ++ pojasudonjemnaćenjeoptereza

2 ρρK

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

+

= štužite u ćenjeoptere za

p jjjp2

1

ρ

φ

Ktz

II

hK

2

156,01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+=l

⎪⎪⎪⎪

⎩ +

−+ pojasu gornjem na ćenjeoptere za 2

2 ρρ

KK

zIh ⎠⎝

l razmak tačaka bočnog pridržavanja

⎪⎩ + 2ρK

lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,h visina nosača,It torzioni moment inercije,It torzioni moment inercije,Iz moment inercije za savijanje oko salbije z-z ose,ρ parametar pomoću kojeg se uzima u obzir vrsta poprečnog


ρ p p j g p p gopterećenja.

Parametri ρ i ηParametri ρ i η

Oblik momentnog dijagrama η i η ρ Oblik momentnog dijagrama tη i zη ρ

1,12 0,46

1,35 0,55

1,00 0,00

1,30 0,00

1,77 0,00

2,35 0,00


Komponente kritičnog napona

10410 5

Kritičan napon usled Sen Venanove torzije

][kN/cm 1041,0 25

tzyt

ttzyt

tDv IIW

GIEIW

⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅

⋅=ll

ηπησ

102 07 252 Eπ ⋅⋅

Kritičan napon usled sprečene torzije

k ji i i d blik dij

][kN/cm 102,07 222kzkz

DwE

λλπσ ==

ηt parametar koji zavisi od oblika dijagrama momenata,lt razmak tačaka bočnog pridržavanja,Wy otporni moment za savijanje oko y-y ose,y p j j y y ,Iz moment inercije za savijanje oko slabije z-z ose,It torzioni moment inercijeλ j j ć itk t d l č k


λkz zamenjujuća vitkost dela poprečnog preseka

Zamenjujuća vitkost λkz

zkz i

λ =l

zkzkz i η⋅

6/126/12/

6/12/ 23

f

f

f

f

fkz AA

AbAA

bAAAtb

AIi

+⋅=

+⋅

=+⋅

==

ikz poluprečnik inercije dela preseka koga čine pritisnuta

6/126/6/ wfwfwf AAAAAAA +++

nožica i šestina visine rebra oko z-z ose,lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,

k ji i b i blik dijηz parametar koji uzima u obzir oblik dijagrama momenata,Af površina nožice,A površina rebra


Aw površina rebra.

Uprošćen proračun stabilnosti na bočno-torziono izvijanje

dopdopidopD σχσσσ ⋅⋅=⋅=≤ 14,114,1 ,,max

σi,dop dopušten napon izvijanja,χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja određen na

osnovu vitkosti pritisnutog pojasa na bočno izvijanjep g p j j j(λz=lz/iz) prema JUS U.E7.081 (kriva C).

l razmak tačaka bočnog pridržavanja,lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,iz poluprečnik inercije pritisnutog pojasa oko z-z ose.


Kada nije potrebno proveravati stabilnost č b č t i i ij j ?nosača na bočno-torziono izvijanje?

• Kada je pritisnuti pojas kontinualno bočno pridržan (npr. AB pločom);

• Kod nosača sandučastog poprečnog preseka sa odnosom visina/širina (h/b) manjim od 10;

• U slučaju savijanja oko slabije ose;• Kada je nosač dovoljno često bočno pridržan, odnosno

kada je zadovoljen uslov:M ⎞⎛ M

yy

y

z

zz fM

Mi

2354060max

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−≤=

lλ 5,01max

≤≤−y

y

MM

za

yz

zz fi

23540 ⋅≤=lλ 5,0

max

>y

y

MM

za


yz max y

yy MM max=yM

yMmax

yy maxy

1=y

MM

5,0−=y

MM

max yMmax yM


Bočno pridržavanje


Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3

/fWM 1, / MyyLTRdb fWM γχ ⋅⋅=

⎫⎧ 2i1klW

RdbEd MM ,≤

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

= 3 klasu za2 i 1 klaseza

min,,

,

yel

ypl

y WW

W⎪⎭

⎪⎩ 4 klasu zamin,, yeffW

MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;χLT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;f i l č j

Metalne konstrukcije 1 P8-32fy granica razvlačenja.

Bezdimenzionalni koeficijent χBezdimenzionalni koeficijent χLT

1 1122

≤−Φ+Φ

=LTLTLT

LTλ

χ

αLT koeficijent imperfekcije2)2,0(15,0 LTLTLT λλα +−⋅+⋅=Φ

cryyLT MfW /=λ Relativna vitkost za bočno-toriono izvijanje

Oblik poprečnog preseka nosača

Odnos visina -širina

Kriva izvijanja

h/b ≤ 2 a Valjani I profiliValjani I profili h/b > 2 b h/b ≤ 2 c Zavareni I profili h/b > 2 d

Ostali profili d


Ostali profili - d

Documents

23MK1-Predavanje7