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La circunferencia
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UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 33
2.4 La circunferencia y el crculo
OBJETIVOS
Calcular el rea del crculo y el permetro de la circunferencia.
Calcular el rea y el permetro de sectores y segmentos circulares.
Calcular la medida de ngulos y arcos en la circunferencia.
Resolver problemas de reas y permetros en los cuales estn relacionadas varias figuras geomtricas.
Definicin
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que estn a una distancia
dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. El punto dado se llama centro de la circunferencia.
El crculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia. El radio es el segmento que
une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. La figura siguiente muestra una
circunferencia de radio r y centro en el punto O.
O
r
Algunos elementos en la circunferencia
Algunos de los elementos geomtricos que se relacionan con la circunferencia son
Cuerda:
Es un segmento cuyos puntos extremos estn sobre la circunferencia. En la figura de abajo los segmentos
AB y CD son cuerdas.
Dimetro:
Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura AB es un dimetro.
Secante:
Es una recta que contiene a una cuerda. En la figura las rectas AB y CD son secantes.
Tangente:
Es una recta que se encuentra en el mismo plano que la circunferencia y que la interseca solamente en un
punto. El punto de interseccin se llama punto de tangencia. Una recta tangente es perpendicular al
radio en el punto de tangencia.
En la figura la recta EF es tangente a la circunferencia en el punto P, por lo tanto el radio OP es
perpendicular a la recta tangente en P.
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 34
O
r
P
F
E
A B
C
D
rea y permetro
Las expresiones para calcular el rea del crculo y el permetro de la circunferencia son
2
2
A r
P r
Ejemplo 1: Crculo inscrito en tringulo equiltero
Encuentre el rea de un crculo inscrito en un tringulo equiltero de lado 6 cm.
Solucin
La figura muestra el crculo inscrito en el tringulo equiltero, donde l es el lado del
tringulo, H es la altura del tringulo y r es el radio de la circunferencia.
r
H
H r
r
/2l
Por el teorema de Pitgoras se puede calcular la altura H ya que se conoce el lado del
tringulo 6l
2
2 2
2 22 2
2
2
3
4 4
3 3 3(6) 3 3
4 2 2
lH l
l lH l
lH l
Ahora observe que el tringulo que tiene base r e hipotenusa H r es semejante al
tringulo de base l/2 e hipotenusa l ya que ambos son rectngulos y tienen un ngulo
agudo comn. Al aplicar proporcionalidad entre sus lados se tiene
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 35
2l
H r l
r
Despejando r y sustituyendo los valores de l y H se obtiene
2
2
3
3
3 33
3
H r
r
H r r
H r
Hr
r
Entonces el rea del crculo es
2
2 3 3A r
Ejemplo 2: Tringulo issceles inscrito en crculo
Encuentre el rea de un tringulo issceles inscrito en un crculo de radio R si la altura del tringulo es
igual al doble de su base.
Solucin
En la figura se muestra el tringulo inscrito, as como su altura y el radio del crculo
trazado a uno de los vrtices del tringulo.
R
2b
2b RR
b
Al aplicar el teorema de Pitgoras en el tringulo rectngulo cuya hipotenusa es R, uno
de sus catetos es 2b R y el otro cateto con longitud 2
b se tiene
2
22 22
bR b R
Despejando la base b en trminos del radio R se tiene
22 2 2
2 2
4 44
0 16 16
bR b bR R
b b bR
Trasladando los trminos al lado izquierdo y factorizando se tiene
217 16 0
(17 16 ) 0
b bR
b b R
Como b no puede ser igual a cero se tiene que
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 36
16
17
Rb y 16 322 2
17 17
R Rh b
El rea del tringulo es
21 1 16 32 2562 2 17 17 289
R RA b h R
Arcos, sectores y segmentos
ngulo central:
Es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia. En la figura es un ngulo central.
O
Arco:
Si A y B son dos puntos en una circunferencia, el arco AB , est formado por los puntos A y B y por todos
los puntos de la circunferencia entre A y B. Como hay dos arcos que se pueden asociar a dos puntos sobre
una circunferencia, es importante aclarar a cul de los arcos se est haciendo referencia. Por ejemplo, en
la siguiente figura para referirse al arco subtendido por el ngulo , se puede utilizar un punto
intermedio entre los puntos A y B, y llamarlo arco ACB
O
A
B
C
Longitud de arco:
Como el permetro de una circunferencia es 2 r , es lgico pensar que la longitud del arco est relacionada
con el permetro de la misma. De hecho si el ngulo central es , su medida est en grados y el radio de
la circunferencia es r, la longitud del arco es
2360 180
rl r
Sector circular:
Un sector circular es una regin plana limitada por dos radios y un arco. En la figura ABO es un sector
circular.
O
A
Br
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 37
Como el rea de un crculo es 2r , es razonable pensar que el rea de un sector sea proporcional al
ngulo y al rea del crculo. La expresin para calcular el rea del sector circular cuando el ngulo
est expresado en grados es
2( )360
A r
El permetro se obtiene sumando la longitud del arco con el doble del radio, es decir
2180
rP r
Segmento circular:
Un segmento circular es la regin limitada por una cuerda y por un arco del crculo. En la figura ACB es
un segmento circular
O
A
Br
C
El rea del segmento circular se obtiene restando el rea del tringulo al rea del sector, es decir
sector tringulo A A OACB A OAB
El permetro del segmento se obtiene sumando la longitud del arco con la longitud de la curda, es
decir
longitud longitud P ACB AB
Ejemplo 3: Calculando el rea sombreada
La figura muestra una semicircunferencia con centro en el punto O, cuyo dimetro es 20 cm y un sector
circular con centro en el punto P. Encuentre el rea sombreada.
P
O
Solucin
Para calcular el rea sombreada, se debe expresar el rea sombreada como la suma y
resta de reas de figuras geomtricas conocidas (tringulos, crculos, cuadrados, etc.).
Para ello hay que observar con detenimiento la regin sombreada y disear una
estrategia. Muchas veces el mismo problema se puede resolver combinando las reas
de formas diferentes.
En ste problema el rea sombreada se puede calcular como el rea del semicrculo
de radio 10r cm, menos el rea del segmento circular de radio R.
El rea del semicrculo es
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 38
r
2 21
1 1(10) 50
2 2A r
Para calcular el rea del segmento primero hay que calcular el radio R usando el
teorema de Pitgoras
20
RR
2 2 2
2
20
2 400
200 10 2
R R
R
R
El rea del segmento 2A es el rea del sector menos el rea del tringulo, es decir
22
2
1( ) ( )( )
360 2
90 110 2 10 2 10 2
360 2
100(2) 100(2)
4 2
50 100
A R R R
Finalmente el rea sombreada es
1 2
2
50 (50 100)
100 cm
A A A
Ejemplo 4: Calculando el rea sombreada en crculos
La figura muestra una circunferencia de 8 centmetros de radio que tiene
inscritas tres circunferencias. Las dos circunferencias pequeas tienen radio de
3 centmetros y son tangentes interiormente a la circunferencia mayor y al
dimetro mostrado con lnea discontinua. La otra circunferencia tiene radio
desconocido y es tangente a las dos circunferencias pequeas y a la circunferencia
mayor. Encuentre el rea sombreada.
Solucin
En la siguiente figura se han trazado algunos segmentos que muestran las relaciones
entre los radios de las circunferencias.
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 39
r
r
3
333
8 r
5
Note que se forman dos tringulos rectngulos, en el tringulo pequeo, el cateto menor
mide 3 cm y la hipotenusa mide 5 cm pues es la diferencia entre el radio mayor 8 y el
radio menor 3. Al calcular el cateto mayor de ste tringulo se obtiene
5
3
h
2 2 23 5
25 9 4
h
h
Al utilizar el teorema de Pitgoras en el otro tringulo rectngulo se tiene
3
h 3 r(8 ) 4r
2 2 2(8 ) 4 (3) (3 )r r
Resolviendo la ecuacin anterior para r
2 2
2 2
(8 ) 8(8 ) 16 9 9 6
64 16 64 8 16 6
144 24 6
30 144
144 24
30 5
r r r r
r r r r r
r r
r
r
El rea sombreada en la figura es
2
2 2
2
24 576(8) 2 (3) 64 18
5 25
574cm
25
sA
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 40
O
A
B
C
A C
B
C
B
A
A
C
B
Medida de arcos y ngulos en la circunferencia
Ya se ha definido un arco de la circunferencia y se ha calculado su longitud. Un arco de circunferencia
tambin puede ser medido en grados, en este sentido, la medida de un arco se define como la medida de
su ngulo central. En la figura la medida del arco ACB es
ACB
Los siguientes teoremas permiten calcular una serie de ngulos y arcos que son formados cuando dos
rectas secantes o tangentes se intersecan para formar ngulos en el interior o en el exterior de una
circunferencia.
Angulo inscrito en la circunferencia
Un ngulo se llama inscrito si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de
la circunferencia. La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que intercepta.
1
2BC
Un caso especial del ngulo inscrito es el que subtiende un arco de 180, la medida de ste ngulo esa
es 90, como se muestra en la siguiente figura
1 1 (180 ) 902 2
BAC
De donde se puede concluir que la medida de un ngulo inscrito en una semicircunferencia es 90.
Angulo formado por una secante y una tangente
La medida de un ngulo que tiene su vrtice en la circunferencia y sus lados estn formados por una recta
secante y por una recta tangente a la circunferencia, es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.
1
2ACB
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 41
A
CB
D
A
C
B
D
A
B
C
A
B
C
Angulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la
circunferencia
La medida de un ngulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia,
es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados.
12
AB CD
Angulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de la circunferencia
La medida de un ngulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de una circunferencia, es igual
a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
12
CD AB
ngulo formado por una tangente y una secante que se intersecan fuera de la
circunferencia.
La medida de un ngulo formado por una tangente y una secante que se intersecan en el exterior de una
circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
12
AB AC
ngulo formado por dos tangentes que se intersecan fuera de la circunferencia.
La medida de un ngulo formado por dos tangentes que se intersecan en el exterior de una circunferencia,
es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
12
ABC AC
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 42
Ejemplo 5: Calculando ngulos en la circunferencia
En la figura mostrada el segmento AP es tangente a la circunferencia en A, los segmentos AD y BE son
dimetros, la medida del arco 115AE , los segmentos AD AP . Encuentre la medida de todos los ngulos numerados.
A
C
P
B
D
E
1
234
56
78
9
10
Solucin
Los ngulos no necesariamente se calcularn en el orden en que estn numerados. En
ocasiones es necesario calcular la medida de ciertos arcos para luego calcular los
ngulos.
l 8 es un ngulo central ya que los segmentos AD y BE son dimetros, entonces
8 115AE
l 3 es igual al 8 pues son ngulos opuestos por el vrtice, entonces
3 8 115
l 2 es suplementario del ngulo 8 , entonces
2 180 8 180 115 65
Como el segmento BE es un dimetro, entonces
180BAE
Calculando el arco AB
180
180 180 115 65
AB AE
AB AE
l 4 es un ngulo inscrito en la circunferencia, entonces
1 65
4 32.52 2
AB
Como la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180
5 180 4 8 180 32.5 115 32.5
l 1 est formado por una tangente y una secante a la circunferencia, entonces
1 1 501 115 65 252 2 2
AE AB
Como los segmentos AD AP , entonces el tringulo DAP es issceles y los ngulos
10 y APD son iguales. Por otro lado el segmento AD es perpendicular al segmento
AP, entonces el tringulo DAP es rectngulo y tambin es issceles, entonces
10 45
Como la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180
9 180 10 3 180 45 115 20
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 43
El tringulo DAP es rectngulo pues est inscrito en una semicircunferencia,
entonces los ngulos 6 y 10 son complementarios, entonces
6 90 10 90 45 45
Solo falta calcular 7 , para hacerlo se usar la suma de los ngulos internos de un
tringulo, pero antes hay que calcular el EAC
5 6 32.5 45 77.5EAC
Finalmente se puede calcular el 7
7 180 4 180 77.5 32.5 70EAC
Ejercicios de la seccin 2.4
1. Encuentre el rea de un crculo si su permetro
es 44 cm.
2. Encontrar el permetro de un crculo si su rea
es 24 cm2.
3. Encuentre el rea comprendida entre dos
crculos que tienen el mismo centro si los
dimetros son 12 cm y 16 cm.
4. Encuentre el rea de un crculo inscrito en un
cuadrado de 6 cm de lado.
5. Se inscribe un semicrculo en un rectngulo de
base 20 cm y altura 10 cm como se muestra en
la figura. Calcule el rea sombreada.
6. Se inscribe un semicrculo en un rectngulo de
base 16 cm. Encuentre el rea sombreada.
7. En la figura los cuatro crculos son tangentes
entre s y tienen el mismo radio de 5 cm.
Encuentre el rea sombreada.
8. Encuentre el rea de un cuadrado inscrito en
un crculo de radio 6 cm.
9. Encuentre el rea de un cuadrado inscrito en
un semicrculo de radio 6 cm.
10. Un rectngulo de 6 cm por 8 cm est inscrito
en un crculo. Encontrar el rea que est
dentro del crculo pero fuera del rectngulo.
11. El tringulo de la figura es equiltero de lado
10 cm. Encuentre el rea sombreada.
5
5
5
5
5
5
12. Encuentre el rea sombreada
5
5
5
5
55
13. La figura muestra un tringulo inscrito en una
semicircunferencia. Encuentre el rea
sombreada.
16 12
14. Los radios de dos crculos concntricos difieren
en 2 . Encontrar el radio de cada crculo
sabiendo que el rea del anillo formado es
2 1 3 2 .
15. Se inscribe un cuadrado en un cuarto de
crculo de radio 5 cm, como se muestra en la
figura, encuentre el rea sombreada
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 44
16. Dos semicrculos estn inscritos en un
cuadrado de lado 6 cm, como se muestra en la
figura. Encontrar el rea sombreada.
17. En un crculo de radio 6 cm, se recorta un
anillo de rea igual a la mitad del rea del
crculo, encontrar el ancho del anillo.
18. Se inscribe un tringulo equiltero en un
crculo de radio 8 cm. Encontrar el rea del
segmento limitado por un lado del tringulo y
por la circunferencia.
19. En un crculo de radio 6 cm, calcule el rea del
segmento si la longitud de la cuerda es 6 cm.
20. Encontrar el permetro de un segmento si el
radio del crculo es 12 cm y el ngulo central
mide 120.
21. La figura muestra dos crculos iguales de radio
8 cm que se intersecan de manera que su
cuerda comn mide 8 cm. Encontrar el rea
sombreada
22. Dos rectas tangentes a una circunferencia
interceptan un arco de 120. Si las dos rectas
se interceptan entre ellas, encontrar el
permetro de la regin limitada por las dos
tangentes y el arco.
23. En un crculo de radio 10 cm se inscribe un
trapecio issceles cuyas bases miden 12 y 16
cm. Si el centro del crculo queda en el interior
del trapecio, encontrar el rea dentro del
crculo pero fuera del trapecio.
24. En la figura se muestra un trapecio issceles
cuyas bases miden 18 cm y 8 cm. Todos los
lados del trapecio son tangentes a la
circunferencia. Encontrar el rea del trapecio.
25. Un rombo tiene diagonales de 18 y 24 cm.
Encontrar el rea del crculo inscrito en el
rombo.
26. Un trapecio issceles se inscribe en un
semicrculo de radio 1 cm, de tal forma que uno
de los lados paralelos coincide con el dimetro
del semicrculo. Si la diagonal del trapecio
mide 3 , encuentre el rea del trapecio.
27. En la figura se muestra un semicrculo inscrito
en un tringulo rectngulo cuyos catetos
miden 8 cm y 6 cm. Calcule el rea sombreada.
28. Se inscribe un crculo en un tringulo
rectngulo cuyos catetos miden 4 cm y 2 cm.
Encuentre el rea sombreada.
29. Una ventana de iglesia tiene la forma de un
rectngulo con un semicrculo sobrepuesto,
como se muestra en la figura. Determine las
dimensiones de la misma si su permetro es
10 2 y su rea es 8
30. Se quiere construir un campo de futbol
rectangular con un rea de 6,000 metros
cuadrados. El diseo incluye dos reas
semicirculares en cada extremo para formar
una pista de atletismo de longitud total de 400
metros, como se muestra en la figura.
Determine las dimensiones de la pista.
31. En la figura se muestran dos semicrculos
inscritos en un semicrculo de radio 4 cm. Si
la longitud del segmento AB es 3 cm.
Encuentre el rea sombreada.
A
B
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 45
32. En la figura se muestra un tringulo
equiltero de 2 cm de lado y una
semicircunferencia que tiene su dimetro
sobre uno de los lados del tringulo.
Encuentre el rea sombreada.
33. Tres crculos iguales de 12 cm de radio son
tangentes entre s. Encontrar el rea
sombreada.
34. Encuentre el rea sombreada en la siguiente
figura.
44
4
44
4
35. La figura muestra un tringulo rectngulo
cuyos catetos miden a y b, inscrito en una
semicircunferencia. Adicionalmente la figura
tiene dos semicrculos con centro en el punto
medio de los catetos. Encuentre el rea
sombreada.
36. Un jardn circular tiene 12 metros de dimetro
y es atravesado por un camino de concreto 3
metros de ancho, de forma que uno de los lados
del camino pasa por el centro del jardn.
Encontrar el rea que est sembrada.
37. Los lados de un tringulo issceles miden 5, 5
y 6 cm. Encontrar la razn de las reas de los
crculos inscrito y circunscrito.
38. En un crculo de radio R se inscribe y se
circunscribe un tringulo equiltero.
Encontrar la razn de las reas del tringulo
inscrito al tringulo circunscrito.
39. Un semicrculo de radio R contiene en su
interior otro semicrculo de radio desconocido.
Si la longitud de la cuerda AB es 24 cm.
Encontrar el rea sombreada.
A B
40. La figura muestra un semicrculo de radio 6
cm que tiene en su interior dos crculos
inscritos. Si los dos crculos inscritos son
tangentes entre s y tangentes al semiccrulo,
como se muestra en la figura. Encontrar el
rea sombreada.
6
41. Encuentre la altura h si los crculos tienen
radios de 10 cm y 4 cm.
h
42. En la figura el segmento PC es un dimetro y
el segmento AC es tangente en P. Encuentre
la medida de los ngulos numerados.
O
P
C
A
B
C
12
40
3
43. En la figura 110CD . Encuentre la medida de los ngulos numerados.
E
D
A
B
C
1
2
3
25
4
UNIDAD 2 Geometra 2.4 La circunferencia y el crculo 46
44. En la figura 120BC , 85EC Encuentre la medida de los ngulos
numerados.
E
D B
C
1
2
3
40
4
5
6
45. En la figura el segmento CE es un dimetro,
25CB , 80DE , 60AE Encuentre la medida de los ngulos numerados.
D
B
C
1
25
4
3
A
E
F
O
6
7
46. En la figura el segmento BE es un dimetro, la
recta AG es tangente en A, 80AB ,
20BC , 50DE . Calcule la medida de los ngulos numerados.
O
C
E
D
B
A
1F
2
34
56
10
8 7
9 G
47. En la figura la recta ET es tangente en A,
ET FD , el arco 140AD , 50BC .
Encuentre la medida de los ngulos
numerados.
T
CF
E
D
B
A
12
3
45
6
108 7
911
12
48. En la figura el segmento CE es un dimetro,
80CD , 50BC , 3 20 . 6 30 .
El segmento AP es tangente en A. Encuentre
la medida de los ngulos numerados.
O CE
D
BA
12
3
4
56
10
87
9
P
11
12