2.4.2 抛物线的简单几何性质 (2)

例 1 、已知过抛物线 的焦点 F的直线交抛物线于 两点。

（ 1 ） 是否为定值？ 呢？

（ 2 ） 是否为定值？

2 2 ( 0)y px p 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、

1 2x x 1 2y y1 1

| | | |FA FB

xO

y

F

A ),( 11 yx

B ),( 22 yx

A1

B1

(3) 直线 AB 的倾斜角为求 |AB| N

例 2. 求证 : 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 .

A1

M1

B1

A

X

y

OF

B

l

M

关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考: 例 3:(课本第 70页例 5) 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A B、 两点,通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点

,D 求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.

x

y

O

A

BD

F

l

例 3、过抛物线焦点 F的直线交抛物线于 A,B两点，通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D，求证：直线 DB平行于抛物线的对称轴。

,22 pxy

x

物线的方程为建立直角坐标系。设抛

轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称

,2

),,2(

00

20 x

y

pyOAy

p

yA 的方程为则直线的坐标为点

2

px 抛物线的准线是

.0

2

y

pyD 的纵坐标为联立可得点

.

22

2

),0,2(

200 ppy

px

y

y

AFp

F

方程为

的所以直线的坐标是因为点

.0

2

y

pyB 的纵坐标为联立可得点 轴。所以 xDB //

x

y

O F

A

BD

变式题（ 2001 年高考题）

设抛物线 的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，点 D 在抛物线的准线上，且 BD||x 轴，证明：直线 AD 经过原点 O 。

2 2 ( 0)y px p

xO

A

BD

F

l y

过抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点的一条直线和抛物线相交 ,两交点为 A(x1,y1) 、 B(x2,y2), 则

（ 1 ） x1x2= （ 2 ） y1y2=

（ 3 ） |AB|=x1+x2+p （ 4 ）

（ 5 ）若直线 AB 的倾斜角为 θ, 则 |AB|=

（ 6 ）以 AB 为直径的圆与准线相切 .

pFBFA

211

抛物线焦点弦相关性质

2p4

2p

2

2psin

1.过抛物线 的焦点 F作一直线交抛物线于 P、 Q两点，

若 PF与 FQ 的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D)

)0(2 aaxy

等于q1

p1

q则p, a2

1

a

2

y

x

F .P Q

2. 已知 A、 B是抛物线 上两点， O为坐标原点，若

的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB的方

程是： ( )

(A) (B) (C) (D)

)0(22 ppxy

AOBOBOA 且,

px px 3 px2

3 px

2

5

A

B

OF.

y

x

C

D