第 29 课　几何作图

基础知识 自主学习

1 ．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺．

2 ．基本作图：

(1) 作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；

(2) 作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；

(3) 作角的平分线；

(4) 作线段的中垂线．

要点梳理

3 ．利用基本作图作三角形： (1) 已知三边作三角形； (2) 已知两边及其夹角作三角形； (3) 已知两角及其夹边作三角形； (4) 已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5) 已知一直角边和斜边作直角三角形．

4 ．与圆有关的尺规作图： (1) 过不在同一直线上的三点作圆 ( 即三角形的外接圆 ) ； (2) 作三角形的内切圆．5 ．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常 见类型．6 ．作图的一般步骤： (1) 已知； (2) 求作； (3) 分析； (4) 作法； (5) 证明； (6) 讨

论． 步骤 (5)(6) 常不作要求，步骤 (3) 一般不要求，但作图中一 定要保留作图痕迹．

[ 难点正本　疑点清源 ]

1 ．明确基本作图的含义 应明确基本作图的含义，使学生了解基本作图是最基本的尺规作图．基本作图要求比较严格，学生在学习线段、角、全等三角形时已经接触了画图，在这个感性认识的基础上，强化严格训练，要求会说、会分析、会画，并能说明所画出的图形是否合理、正确．因此，基本作图是前面所学知识的综合应用．在实践活动中，要培养学生综合应用数学知识的实践能力． 2 ．分析尺规作图 尺规作图的重要环节是会分析．有时候从问题的结论入手去研究所给的条件，明确哪些是已知的，哪些是未知的，这些未知条件怎样通过已知去求得，这个分析过程，可以培养学生的逻辑思维能力．

基础自测

1． (2012· 佛山 ) 尺规作图是指 ( 　　 )

A ．用直尺规范作图 B ．用刻度尺和圆规作图 C ．用没有刻度的直尺和圆规作图 D ．直尺和圆规是作图工具 答案　 C

解析　根据尺规作图的定义，可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．

2 ．下列各条件中，不能作出唯一直角三角形的是 ( 　　 )

A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一锐角及其邻边 D ．已知一锐角及其对边 答案　 B

解析　已知两角不能确定一个三角形．

3 ．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事 的办法是带 ( 　　 )

A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②去

答案　 C

解析　第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样

的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一 边，则可以根据 ASA来配一块完全一样的玻璃．应带③去．

4．(2011·益阳)如图，小聪在作线段 AB的垂直平分线时，

他是这样操作的：分别以 A和 B为圆心，大于12AB的

长为半径画弧，两弧相交于 C、D，则直线 CD即为所

求．根据他的作图方法可知四边形 ADBC一定是．．．( )

A．矩形 B．菱形

C．正方形 D．等腰梯形

答案　 B

解析　根据画法，有 AC＝ AD＝BC＝ BD，所以四边形 ADBC是菱形．

5．(2011·绍兴)如图，在△ ABC中，分别以点 A和点 B为圆心，

大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线

MN，交 BC于点 D，连接 AD.若△ ADC的周长为 10，

AB＝7，则△ ABC的周长为( )

A．7 B．14

C．17 D．20 答案　 C

解析　根据画法知，直线MN垂直平分 AB，所以 AD＝ BD. 由△ ADC的周长 AD＋ DC＋ AC＝10 ，得 BD＋ DC＋ AC＝ 10 ，即 BC＋ AC＝10. 所以 AB＋ BC＋ AC＝ 10＋ 7＝ 17. 所以△ ABC的周长是 17.

题型分类 深度剖析

题型一　画三角形

【例 1】 如图，已知线段 a.

(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规，求作一个直角三角形 ABC，

以 AB和 BC分别为两条直角边，使 AB＝a，BC＝12a(要求保

留作图痕迹，不必写出作法)；

(2)若在(1)作出的 Rt△ ABC中，AB＝4 cm，求 AC边上的高．

解 (1)画图略．

(2)∵ AB＝a＝4，

∴ BC＝12a＝2，

∴ AC＝ 42＋22＝2 5，

∴ AC边上的高＝4× 22 5

＝45 5.

探究提高 1. 作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形 . 2. 求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．

知能迁移 1 已知：线段 a(如图) .

求作：(1)△ ABC，使 AB＝BC＝CA＝a；

(2)作⊙O，使它内切于△ ABC.(要求保留作图痕迹，不必写出作法)．

解　画图略．

题型二　应用角分线、线段中垂线性质画图

【例 2 】　如图， 107 国道 OA和 320 国道 OB在我市相交于 O点，在∠ AOB的内部有工厂 C和 D，现要修建一个货站 P，使 P到 OA、 OB的距离相等，且使 PC＝ PD，用尺规作图作出货站 P的位置 ( 不写作法，保留作图痕迹，写出结论 ) ．

解　作法： (1) 画∠ AOB的角平分线OQ.

(2) 画线段 CD的垂直平分线交 OQ于点 P，

∴点 P即所求的货站的位置．

探究提高　首先明确已知、求作，然后在此基础上绘出草图分析，找出作图步骤，准确叙述作法，并完成作图．

知能迁移 2 　如图， A、 B是两个蓄水池，都在河流 a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、 B两地，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？试在图中画出该点．

解　 (1) 画点 A关于直线 a的对称点 A′ ； (2)连 A′B交直线 a于点 C.

∴点 C即所要建的抽水站的位置．

题型三　通过画图确定圆心

【例 3 】　如图，已知 . 求作： (1) 确定所在圆的圆心 O；(2) 过点 A且与⊙ O相切的直线． ( 要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法 )

解 (1)在 AB上取点 C，连 AC、BC，画 AC、BC的中垂线，

交于点 O；

(2)连 OA，过点 A画 AT⊥ OA.

探究提高 根据“ 不在同一直线上的三点确定一个圆” ，

在AB上另找一点 C，分别画弦 AC、BC的中垂线，

交点即圆心 O.

知能迁移 3 　如图，已知 A、 B两点． (1) 求作：⊙ O，使它经过 A、 B两点； (2) 求作等腰△ ABC，使顶点 C在⊙ O上，且 AB＝ AC.

( 要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法 )

解　 (1)作 AB的中垂线，在中垂线上任取一点作⊙ O； (2) 以点 A为圆心， AB长为半径画弧交⊙ O于点 C.

题型四　画图并计算

【例 4 】　某公园有一个边长为 4米的正三角形花坛，三角形的顶点 A、 B、 C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中要求用直尺和圆规画图，不要求写出画法．

(1)按圆形设计，利用图 1 画出你所设计的圆形花坛示意图； (2)按平行四边形设计，利用图 2 画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解：(1)作图工具不限，只要点 A、B、C在同一圆上即可；[3分]

(2)作图工具不限，只要点 A、B、C在同一平行四边形顶点上即可；[6分]

(3)∵ r＝OB＝BD

cos30°＝43 3，

∴ S⊙ O＝πr2＝163 π≈ 16.75.

又∵ S▱＝2S△ ABC＝2× (12× 42× sin60°)＝8 3≈ 13.86，且 S⊙ O>S▱，

∴ 选择建圆形花坛面积较大．[10分]

探究提高　按照题意画图，将实际问题转化为数学问题，并

计算图形的面积，然后作大小比较．

知能迁移 4 (1)青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓 A、 B、 C 的距离相等．

①若三所运动员公寓 A、 B、 C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施 ( 用点 P表示 ) 的位置；

②若∠ BAC＝ 66° ，则∠ BPC＝ ________ 度．

解　①画 AB、 AC的中垂线交于点 P.

②∠BPC＝ 2∠BAC＝ 2×66°＝ 132°.

(2)(2011·台湾 ) 如图，△ ABC中，以 B为圆心， BC长为半径画弧，分别交 AC、 AB于 D、 E两点，并连接 BD、 DE.若∠ A＝ 30°， AB＝ AC ，则∠ BDE 的度数为几何？ ( 　　 )

A． 45 B． 52.5 C． 67.5 D． 75

答案　 C

解析 在△ ABC中，AB＝AC，∠ A＝30°，

∴ ∠ ABC＝∠ ACB＝75°.

由画图，可知 BC＝BD＝BE.

在△ BCD中，∠ DBC＝180°－2× 75°＝30°，

∴ ∠ ABD＝75°－30°＝45°.

∴ 在△ BDE中，∠ BDE＝180°－45°

2 ＝67.5°.

易错警示

试题　尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：∠ α，线段 a.

求作：△ ABC，使 AB＝ AC，∠ BCA＝ α， AD⊥BC

于 D，且 AD＝ a.

18．作图必须满足题意

学生答案展示　 如图， (1) 作∠ EAF＝∠ α； (2)作 AG平分∠ EAF，并在 AG上截取 AD＝ a； (3)过 D画直线MN交 AE、 AF分别于 C、 B，△ ABC

为所求作的等腰三角形．

剖析　上述画法考虑 AD平分∠ BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法 (3) 没有注意到AD⊥BC，也难以使 AB＝ AC.

正解　如图， (1) 作∠ EAF＝∠ α； (2)作 AG平分∠ EAF，并在 AG上 截取 AD＝ a； (3)过 D作MN⊥AG，MN与 AE、 AF分别交于 B、 C.

∴△ABC为所求作的等腰三角形．

批阅笔记　这里可用交会法，用直线MN和∠ EAF两边相交，确定 B、 C两点．

求作的写法是，先写出求作的是什么图形，然后逐一写出对这个图形的要求．

思想方法 感悟提高

方法与技巧1. 一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作

法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论．

2. 根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案．

3. 实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题．

失误与防范1 ．限定只使用没有刻度的直尺和圆规，目的不是画出图形

本身，而是为了达到逻辑训练和思维训练的目的，有几个尺规作图，在其他作图题的作图过程中常常用到，称它们为尺规基本作图．写它们的画法时，只要用下面的一句话带过： (1)作线段等于已知线段； (2)作角等于已知角；(3)平分已知角； (4)经过已知点，作已知直线的垂线( 包括已知点在已知直线上和直线外两种情况 ) ； (5)作线段的垂直平分线 ( 这事实上包括了作线段的中点 ) ；(6)过已知直线外一点作它的平行线．

2 ．对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按对求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线 ( 或圆弧 ) 相交来确定，称为交会法．

事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用．

完成考点跟踪训练 29