3 - Strutture isostatiche

Politecnico di Milano Facolt di Ingegneria dei Processi Industriali

Corso di Laurea in Ingegneria Chimica

Scienza delle Costruzioni

Dispense del corso A cura di

Maria Gabriella Mulas

Capitolo 3 Lanalisi delle strutture isostatiche

Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas Lanalisi delle strutture isostatiche

Indice

1. I vincoli e le aste: definizioni generali 1 1.1 I vincoli a terra 2 1.2 I vincoli interni 4 1.3 Bilancio tra gdl e gdv 5

2. Lanalisi dello schema statico 6 2.1 Le strutture isostatiche di una sola asta 7

2.1.1 Il calcolo delle reazioni vincolari nelle strutture di una sola asta 10 2.1.2 Il caso delle aste iperstatiche 10 2.1.3 La classificazione delle strutture in base allequilibrio. 11

2.2 Le strutture isostatiche composte da pi aste 13 2.2.1 Larco a tre cerniere 13 2.2.2 Il circolo chiuso isostatico 18 2.2.3 Lappendice isostatica 20

3. La procedura per il calcolo delle reazioni vincolari 23 3.1 Strutture che contengono anelli chiusi 24

4. Il calcolo delle azioni interne: definizioni generali 25 4.1 Le equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave rettilineo 25 4.2 Esempio di calcolo delle azioni interne 31

5. L'analisi cinematica delle strutture piane 35 5.1 L'analisi cinematica delle strutture piane composte da una sola asta 38 5.2 L'analisi cinematica delle strutture piane composte da pi aste 40

Riferimenti bibliografici

Lo scopo di questa dispensa di integrare le nozioni sullanalisi delle strutture isostatiche fornite nel libro di testo di Statica: F.P. Beer, E.R. Johnston jr., E.R. Eisenberg, Vector Mechanics for Engineers, Statics. 7th Edition, McGraw-Hill 2004 (oppure 8th edition, 2007). La dispensa non sostituisce il testo ma lo completa; la preparazione dellesame richiede quindi lo studio in parallelo sui due testi, in quanto nella dispensa non si ripetono i concetti gi presentati nel testo, come ad es. nel caso del calcolo delle azioni interne. Esempi di esercizi svolti o da svolgere, sia sul calcolo delle reazioni vincolari, sia sullutilizzo delle equazioni indefinite di equilibrio e il tracciamento dei diagrammi, sono reperibili nella pagina delle dispense sul sito del corso on-line. La parte sullanalisi cinematica in coda a questa dispensa stata lasciata solo per completezza di trattazione perch veniva svolta negli anni passati e le raccolte di esercizi svolti vi fanno riferimento. Ricordo tuttavia che NON in programma, non viene richiesta allesame, e la verifica dello schema statico deve essere fatto secondo le procedure delineate nel capitolo 2. Milano, 6.12.2008


1. I vincoli e le aste: definizioni generali

Le strutture studiate in questo corso sono composte da elementi, detti aste, in cui una dimensione (la

lunghezza) nettamente prevalente sulle altre due (larghezza e altezza, dimensioni della sezione

trasversale). Da un punto di vista geometrico, l'asta il solido che viene generato dalla traslazione

di una figura piana lungo una traiettoria aperta percorsa dal suo baricentro. Lanalisi di questo tipo

di strutture si basa pertanto su un modello, detto monodimensionale, in cui ciascuna asta

schematizzata con una linea, che rappresenta la sua linea dasse; su tale linea verranno applicati

vincoli e carichi. Ci limitiamo al caso delle strutture piane, caricate nel loro piano, con l'ulteriore

restrizione di aste aventi linea d'asse rettilinea o circolare.

Nei problemi analizzati nel seguito riterremo valida l'ipotesi di piccoli spostamenti: gli

spostamenti subiti dai punti della struttura per effetto dell'applicazione dei carichi esterni sono cos

piccoli da poter essere considerati trascurabili, se confrontati con le dimensioni globali della

struttura stessa. Questa ipotesi consente di scrivere le condizioni di equilibrio della struttura con

riferimento alla sua configurazione indeformata; sotto tale ipotesi pertanto le aste possono essere

assimilate a dei corpi rigidi, in cui le mutue distanze tra i punti che compongono il corpo restano

inalterate. I risultati della statica del corpo rigido precedentemente ricavati possono quindi essere

applicati allo studio delle condizioni di equilibrio delle strutture che analizzeremo.

Poich ci occupiamo solamente di problemi statici, ha per noi interesse il solo caso delle

strutture che non possiedono delle possibilit di movimento, indipendentemente dal sistema di forze

a cui sono soggette. Ci occupiamo pertanto di strutture vincolate, ovvero non libere di muoversi nel

piano a cui appartengono, ma dotate di dispositivi, detti vincoli, in grado di opporsi alla libera

mobilit della struttura stessa. Coerentemente con il modello adottato per le aste, i vincoli sono

applicati sulla linea dasse dellasta, in un singolo punto della stessa; non vengono considerati

vincoli distribuiti su pi punti dellasse.

La configurazione di un corpo rigido nel piano determinata da tre parametri indipendenti, che

per le aste rettilinee oggetto di studio possono essere assunti, ad esempio, come le coordinate di un

punto dellasta e la sua inclinazione rispetto ad un sistema di riferimento fisso (Fig. 1.1). D'altro

canto anche il pi generico movimento dell'asta nel piano a cui appartiene, che la rotazione

intorno ad un punto giacente nel piano stesso, noto quando sia definita la posizione (due

coordinate) del punto intorno a cui avviene la rotazione, detto centro di istantanea rotazione, e il valore della rotazione stessa. I tre parametri necessari ad individuare la configurazione dell'asta

prendono il nome di gradi di libert (gdl) dell'asta stessa; questi parametri diventano sei qualora si

consideri la posizione dell'asta nello spazio.

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x

y

y0

x0

Fig. 1.1 I gradi di libert dellasta nel piano.

I vincoli applicati all'asta hanno lo scopo di eliminare le sue possibilit di movimento. Tutti i vincoli

cui facciamo riferimento in questa parte del corso sono:

lisci, ovvero privi di attrito; bilateri, ovvero impediscono gli spostamenti in qualunque verso; perfetti, ovvero privi di cedimenti in direzione degli spostamenti impediti.

I vincoli possono essere esterni, se collegano l'asta ad un riferimento fisso, convenzionalmente

indicato come terra, o interni, se collegano tra di loro due o pi aste. Una prima classificazione dei

vincoli si basa sul numero, detto grado di vincolo (gdv), di componenti di spostamento

indipendenti che il vincolo in grado di levare. Poich le tre componenti indipendenti di

spostamento possono anche essere espresse come la traslazione lungo due direzioni mutuamente

perpendicolari e la rotazione, ne consegue che vincoli aventi pari gdv possono avere effetti

geometrici del tutto differenti. Per il postulato delle reazioni vincolari precedentemente illustrato,

differenti condizioni di natura geometrica si riflettono nelle reazioni vincolari che il vincolo in

grado di trasmettere allasta.

1.1 I vincoli a terra

Le condizioni di natura cinematica e di natura statica imposte dai vincoli verranno illustrate in

quanto segue relativamente ai vincoli a terra.

Vincolo triplo: detto incastro (Fig. 1.2), elimina qualsiasi possibilit di movimento al punto dell'asta a cui applicato, e quindi all'intera asta. Fornisce allasta un sistema di reazioni

vincolari di risultante e momento risultante qualunque: due componenti cartesiani indipendenti

della risultante e il momento risultante rispetto al punto su cui il vincolo agisce.

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M

H

V

Fig. 1.2 Lincastro: rappresentazione geometrica e reazioni vincolari trasmesse.

Vincoli doppi: eliminano solo due delle tre possibilit di movimento. La cerniera (Fig. 1.3a) impedisce la traslazione lungo qualunque direzione (il che significa che elimina le due

componenti indipendenti di traslazione) del punto cui applicata, lasciando libera la rotazione

dell'asta intorno al proprio perno (punto , Fig. 1.3a).

(b) (c) (a)

Fig. 1.3 I vincoli doppi, rappresentazione geometrica: (a) cerniera; (b) pattino; (c) manicotto.

Vengono definiti come cerniere improprie il pattino (Fig. 1.3b) ed il manicotto (Fig. 1.3c), che eliminano la rotazione e una componente di traslazione, rispettivamente in direzione dell'asse

dell'asta ed in direzione perpendicolare all'asse dell'asta. L'aggettivo improprio sta a significare

che la traslazione che viene lasciata libera pu essere vista come una rotazione intorno ad un

perno posto a distanza infinita, ovvero, intorno al punto improprio della retta che perpendicolare alla direzione della traslazione lasciata libera.

L omponenti indipendenti di reazione vincolare trasmesse da un vincolo doppio sono soltanto due, come lustrat ig. 1.4. Esse sono forza di risultante qualunque, m plicata in un

punto fisso, il perno d

(orientato come in fig

applicazione arbitrario

agisce il vincolo (Fig

qualunque applicata in

coppia nel punto in cui

H

V (a)

Fig. 1.4 I vinco

Fella cerniera, nel c della cerniera (Fig. 1.4a); nel caso del pattino

ura 1.3) sono una forza orizzontale,

, usualmente rappresentata tramite una

. 1.4b). Nel caso del manicotto son

un punto arbitrario, usualmente rapp

agisce il vincolo (Fig. 1.4c).

M

H

(b)

li doppi, reazioni vincolari: (a) cerniera;

3 co ine il una

asodi modulo qualu

forza e una coppia

o una forza vert

resentata tramite

M V

(b) pattino; (c) mania apnque e punto di

nel punto in cui

icale di modulo

una forza e una

(c)

cotto.

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Vincoli semplici: eliminano solo una delle tre componenti indipendenti di spostamento. I pi comuni sono il carrello (Fig. 1.5a), che consente la rotazione e la traslazione in direzione

parallela al piano di scorrimento, impedendo solamente la traslazione in direzione perpen-

dicolare al piano stesso, e la biella (Fig. 1.5b), asta munita alle sue due estremit di due cerniere,

di cui una collegata a terra (o a un'altra asta) e l'altra collegata all'asta che sta vincolando. La

biella si comporta come un carrello, in cui la direzione del piano di scorrimento individuata

dalla normale alla congiungente i perni A e B delle due cerniere di estremit.

(a) (b) A

A

B

C

Fig. 1.5 I vincoli semplici: (a) carrello; (b) biella.

La reazione trasmessa dal carrello (Fig. 1.6a) una forza applicata in un punto prefissato (il punto in cui agisce il carrello) e di direzione uguale a quella della normale al piano di

scorrimento del carrello. La reazione che la biella AB esercita sullasta BC una forza F

applicata in B, diretta come la congiungente AB. Se la biella direttamente caricata lungo la

sua linea dasse da forze esterne, alla componente F, diretta come la congiungente AB, si

aggiunge una seconda componente, ad essa ortogonale, che serve a soddisfare le condizioni di

equilibrio locali della biella. Questo aspetto verr discusso in dettaglio nel seguito.

V F

B

(a) (b)

Fig. 1.6 I vincoli semplici, reazioni vincolari: (a) carrello; (b) biella.

1.2 I vincoli interni

Il primo vincolo interno da considerare la continuit, che consente alle diverse porzioni di materia

di cui costituita la generica asta di formare il tuttuno che noi analizziamo; essa costituisce, come

facile vedere, un vincolo triplo. Infatti due aste separate possiedono 6 gdl in totale; se imponiamo

la continuit tra il secondo estremo della prima asta e il primo estremo della seconda asta, otteniamo

ununica asta che possiede solo 3gdl. Del vincolo costituito dalla continuit si tiene conto, nel caso

delle aste aventi linea dasse aperta, soltanto nella fase di determinazioni delle sollecitazioni 07/10/2009 4


trasmesse dalla generica sezione dellasta (calcolo delle azioni interne). Occorre tuttavia considerare

che un'asta avente linea d'asse chiusa pu essere pensata come ottenuta da unasta a linea dasse

aperta in cui i due punti di estremit vengano forzati ad occupare la medesima posizione: essa

risulta pertanto internamente 3 volte pi vincolata di un asta la cui linea d'asse sia aperta.

Un vincolo interno, doppio o semplice, pu essere pensato come ottenuto per degrado della

continuit. Un vincolo doppio che collega tra loro due aste fornisce 2 gdv: infatti le due aste

considerate separatamente hanno 6 gdl in totale; se si collega tramite cerniera (ad esempio) il

secondo estremo della prima asta con il primo estremo della seconda asta, si vede che fissata la

configurazione della prima asta (3gdl) sufficiente un solo parametro per individuare la

configurazione della seconda. Generalizzando, un vincolo doppio che collega tra loro n aste

fornisce 2n-2 gdv. In maniera analoga a quanto fatto con la cerniera, si pu mostrare che un vincolo

semplice che collega due aste fornisce 1 gdv; un vincolo semplice tra n aste fornisce 2n-3 gdv. Una

cerniera e un carrello che collegano n aste a terra forniscono n ed n-1 gdv rispettivamente. Le

reazioni vincolari fornite dai vincoli interni sono dirette come quelle dei vincoli a terra e soddisfano

il principio di azione e reazione, essendo azioni mutue scambiate tra aste adiacenti.

1.3 Bilancio tra gdl e gdv

Il bilancio tra i gradi di vincolo forniti alla struttura dai vincoli, ed i gradi di libert, pari a tre volte

il numero delle aste componenti la struttura, consente una prima classificazione delle strutture:

strutture ipostatiche: n gdl > n gdv ; strutture isostatiche: n gdl = n gdv; strutture iperstatiche: n gdl < n gdv.

Le strutture ipostatiche hanno la possibilit di uno o pi movimenti rigidi; non saranno oggetto di

studio in quanto esse possono stare in equilibrio (ovvero, in stato di quiete) solo per particolari

valori delle forze esterne applicate. Le strutture isostatiche possiedono i vincoli nel numero

strettamente necessario ad eliminare i moti rigidi, e quelle iperstatiche hanno un numero

sovrabbondante di vincoli rispetto al numero minimo necessario. Il pareggio tra gdl e gdv una

condizione necessaria perch non siano possibili n moti rigidi della struttura nel suo insieme

rispetto ad un riferimento fisso (terra) n moti relativi tra le diverse parti che compongono la

struttura stessa. Tale condizione non tuttavia sufficiente: una disposizione di vincoli non corretta

pu consentire l'esistenza di moti rigidi, anche in strutture in cui gdv>gdl. Occorre quindi risolvere

due problemi, correlati ma distinti: (a) deve essere verificata la disposizione dei vincoli; (b) se

questa corretta, occorre determinare le reazioni vincolari. Le procedure relative verranno illustrate

nel seguito.

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2. Lanalisi dello schema statico

La disposizione dei vincoli pu essere verificata sia per via cinematica, attraverso l'analisi

cinematica che consente di determinare se la geometria dei vincoli sia tale da garantire l'assenza di

movimento, sia per via statica, attraverso l'analisi dello schema statico, che esamina il sistema di

forze fornito dalle reazioni vincolari. I due modi di procedere sono del tutto equivalenti, tenendo

conto che la sostituzione di un vincolo con la relativa reazione vincolare viene effettuata sulla base

del postulato delle reazioni vincolari. In quanto segue verranno illustrate in dettaglio le procedure

basate sullanalisi dello schema statico, che fanno uso dei concetti di statica approfonditi nella

prima parte del corso; sulla base dei risultati ottenuti nellanalisi dello schema statico si passer ad

affrontare il problema della determinazione delle reazioni vincolari.

Il problema della determinazione delle reazioni vincolari governato dalle ECS per i corpi rigidi

vincolati, in cui distinguiamo il contributo delle forze attive (note) e di quelle reattive (incognite):

0MM0RR=+

=+)()(

)()(

rO

aO

ra

(2.1)

Le (2.1) vengono scritte per tutte le aste che compongono la struttura, ciascuna soggetta alla parte di

carico esterno e alle reazioni vincolari, dei vincoli a terra o interni, che le competono. Globalmente

si ottiene un sistema di gdl equazioni lineari nelle gdv incognite reazioni vincolari. Questo sistema

ha tante equazioni quante sono le incognite solo nel caso delle strutture isostatiche; tuttavia, se i

vincoli consentono delle possibilit di movimento, una o pi equazioni del sistema risulter non

soddisfatta, anche in dipendenza dei carichi esterni agenti sulla struttura. Lanalisi del sistema di

equazioni ci consente quindi di trovare un criterio per verificare la corretta disposizione dei vincoli.

Una prestazione indispensabile per qualunque costruzione, sia essa di carattere civile o

industriale, che possa essere in equilibrio sotto qualunque set di forze esterne applicate. Non

infatti possibile conoscere a priori, in forma deterministica, i carichi che saranno effettivamente

agenti durante la vita utile della struttura. Le forze esterne avranno quindi risultante R(a) e momento

risultante M(a) di valore arbitrario. Perch le forze reattive siano in grado di equilibrare le forze

attive, occorre che anche esse abbiano le stesse caratteristiche: occorre quindi che, asta per asta, le

reazioni vincolari forniscano una forza di direzione e modulo qualunque (R(r) arbitrario) applicata in

un punto qualunque del piano (M(r) arbitrario). Se questo vero i vincoli sono disposti in maniera

corretta; nel caso opposto lasta si dice labile, ed dotata di possibilit di movimento, finite o

infinitesime. Nelle strutture di pi aste la labilit di una singola asta pu causare la labilit

dellintera struttura o di una sua parte; entrambe le situazioni sono tuttavia inaccettabili. Le

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procedure per la verifica della corretta disposizione dei vincoli e il conseguente calcolo delle

reazioni vincolari verranno presentate nel seguito.

2.1 Le strutture isostatiche di una sola asta

La procedura per la verifica della corretta disposizione dei vincoli nelle strutture piane costituite da

una sola asta offre il vantaggio della semplicit, senza levare generalit alla trattazione. Dato il

postulato delle reazioni vincolari, le caratteristiche del sistema delle reazioni vincolari sono

determinate dalla geometria dei vincoli sulla struttura. Esaminiamo in dettaglio i casi possibili.

1. L'asta vincolata con un incastro (vincolo triplo) nel punto A, come indicato in Fig. 2.1a. In

base al postulato delle reazioni vincolari il vincolo fornisce, nel punto A dellasta, un momento

e una forza di direzione qualunque, individuata da due componenti cartesiane indipendenti (Fig.

2.1b). Quindi unasta vincolata con un incastro non mai labile.

(a) (b) MA

HA

VA

A

Fig. 2.1 Lasta incastrata: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

2. Lasta vincolata con un vincolo doppio in A e uno semplice in B, disposti come illustrato in

Fig. 2.2a. Le reazioni vincolari, illustrate in Fig. 2.2b, sono costituite da una forza verticale in B

e da due componenti cartesiane indipendenti in A, qui rappresentate con una componente oriz-

zontale e una verticale. Linsieme delle tre forze in grado di fornire una risultante qualunque

applicata in un punto qualunque, perch la forza in B, sommata a quella in A, d luogo a una

risultante che non pi applicata in A (lo solo se la forza in B ha modulo nullo).

(a) (b) VB

HA

VA

A B

Fig. 2.2 Lasta cerniera-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

(a) (b)

HA

VA

A B HB

Fig. 2.3 Lasta cerniera-carrello labile: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

Se il carrello posizionato come indicato in Fig. 2.3a, la sua reazione passa per la cerniera in A,

punto di applicazione delle reazioni della cerniera stessa (Fig. 2.3b). Le reazioni vincolari in

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questo caso hanno risultante qualunque, ma applicata nel punto A, e possono riequilibrare solo

un sistema di forze attive che abbia le stesse caratteristiche. Il ragionamento non cambia se la

cerniera impropria (Fig. 2.4a). Le reazioni vincolari forniscono un sistema con risultante e

momento risultante qualunque in quanto il vincolo in B fornisce la componente verticale del

risultante, mentre il vincolo in A fornisce la componente orizzontale e il momento necessario a

far si che la risultante sia applicata in un punto qualunque (Fig. 2.4b). Se il carrello ha piano di

scorrimento verticale (Fig. 2.5a) il sistema delle reazioni vincolari in Fig. 2.5b applicato in un

punto qualunque ma ha risultante orizzontale; lasta cosi vincolata quindi labile.

(a) (b) VB

HA A B

MA Fig. 2.4 Lasta pattino-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

(a) (b)

HA A B

MA

HB

Fig. 2.5 Lasta pattino-carrello labile: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

Da quanto illustrato si pu dedurre la condizione di labilit dellasta cerniera-carrello:

Unasta vincolata con un vincolo doppio e un vincolo semplice labile quando la retta che

definisce la direzione della reazione vincolare del vincolo semplice (normale al piano di scorri-

mento del carrello o congiungente i perni delle due cerniere di estremit per la biella) contiene

il punto, proprio o improprio, su cui applicato il vincolo doppio. Il movimento reso possibile

dalla labilit la rotazione intorno al punto su cui applicato il vincolo doppio: se si tratta di

un punto improprio il movimento possibile una traslazione in direzione perpendicolare a

quella identificata dalla direzione della retta cui appartiene il punto improprio.

Unasta isostatica labile ha una possibilit di movimento. Da questo punto di vista esiste una

differenza tra la labilit dellasta in Fig. 2.3 e quella in Fig. 2.1. Nella situazione di Fig. 2.3 lasta

pu ruotare intorno al punto A, perno della cerniera, e il moto di B descritto da un arco di cir-

conferenza. Poich il vincolo in B non consente spostamenti orizzontali, possibile solo una

rotazione di ampiezza infinitesima, in modo che lo spostamento del punto B possa essere

confuso con la tangente allarco di circonferenza nel punto B stesso. Moto infinitesimo va qui

inteso come moto di ampiezza molto piccola rispetto alle dimensioni longitudinali dellasta. Se il

sistema delle forze esterne possiede momento diverso da zero rispetto al punto A, lequilibrio

sarebbe possibile nella configurazione deformata, in cui la reazione orizzontale in B ha

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acquistato un braccio molto piccolo rispetto al punto A. Nel secondo caso, illustrato in Fig. 2.5, il

moto dellasta una traslazione (vettori spostamento di tutti i punti uguali tra loro in modulo,

direzione e verso) di ampiezza finita e non possibile linstaurarsi di una configurazione di

equ rio. Dal nostro punto di vista i due casi son quivalenti, perch la soluzione equilibrata

nell

del

3. La

cia

nor

est

L'a

del

app

dop

da

qua

pun

det

lab

Un

la l

la

nel

Il m

tre

dir

iliba configurazione deformata inaccettabile: leq

modulo della reazione molto maggiore del caric

sta vincolata con tre vincoli semplici (tre carr

scuno dei quali offre una reazione vincolare

male al piano di scorrimento per i carrelli o co

remit per le bielle. Nel caso in esame in fig. 2.6

nalisi dello schema statico dell'asta vincolata c

l'asta vincolata con un vincolo doppio ed un v

licati alla stessa asta possono sempre essere c

pio, idealmente applicato nel punto di intersez

zione delle reazioni trasmesse dai vincoli s

lunque delle tre rette (ad es. le rette r ed s) dete

to di applicazione della risultante delle rea

erminato le rette r ed s. L'asta risulta non labi

ile nel caso contrario (Fig. 2.6b). Questo risulta

asta vincolata con tre vincoli semplici labile

inea dazione delle tre reazioni vincolari amme

bile in caso contrario. Il punto di intersezione

caso in cui tutti e tre i vincoli semplici impedis

ovimento reso possibile dalla labilit una ro

rette; se il punto di intersezione un punto im

ezione perpendicolare alla direzione della retta

(a)

Fig. 2.6 Lasta con tre vincoli sempl

9o euilibrio si instaurerebbe a spese di un valore

o esterno (almeno un ordine di grandezza).

elli o tre bielle o una combinazione delle due)

di direzione nota, coincidente con la retta

n la congiungente i perni delle due cerniere di

a le tre rette sono indicate con le lettere r,s,t.

on tre carrelli pu essere ricondotta a quella

incolo semplice; infatti, due vincoli semplici

omposti in modo da dar luogo ad un vincolo

ione delle due rette che individuano la linea

emplici. In figura 2.6 l'intersezione di due

rmina un punto R del piano che rappresenta il

zioni vincolari dei due vincoli che hanno

le se la retta t non passa per R (Fig. 2.6a), e

to del tutto generale:

quando le tre rette r, s, t che rappresentano

ttono un punto di intersezione comune S; non

pu essere proprio o improprio, come avviene

cono la traslazione nella medesima direzione.

tazione intorno al punto di intersezione delle

proprio il moto possibile una traslazione in

cui appartiene il punto improprio.

(b)

ici: (a) non labile; (b) labile.

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Il caso dellasta vincolata con tre carrelli che eliminano la stessa componente di spostamento

illustrato in Fig. 2.7a. E immediato verificare che lasta libera di traslare in direzione

orizzontale; questa possibilit di movimento si riflette nel sistema di reazioni vincolari illustrato

in Fig. 2.7b, costituito da sole forze verticali.

(a) (b) VC

A B C

VA VB

Fig. 2.7 Lasta con tre carrelli uguali: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

2.1.1 Il calcolo delle reazioni vincolari nelle strutture di una sola asta

Dopo aver verificato la correttezza della disposizione dei vincoli, la procedura per il calcolo delle

reazioni vincolari si pu articolare nei seguenti punti:

1. Si costruisce il diagramma di corpo libero, sostituendo i vincoli con le opportune componenti di

reazione vincolare. Se ci sono forze esterne e/o reazioni vincolari inclinate rispetto allusuale

riferimento (asse x orizzontale, asse y verticale) conviene ridurle in componenti orizzontali e

verticali, prestando attenzione al fatto che la risultante sia effettivamente inclinata come la forza

di partenza. Le forze distribuite possono essere sostituite con la loro risultante applicate nel

baricentro della distribuzione. Al fine di evitare possibili errori, una stesa di carico continua su

due o pi aste dovrebbe essere sostituita con le risultanti parziali agenti sulle diverse aste.

2. Si scrivono le ECS, estendendo tutte le sommatorie sia alle forze esterne che alle reazioni. Nelle

strutture isostatiche di una sola asta si ha sempre il pareggio tra le equazioni a disposizione e le

reazioni incognite. Ladozione di una delle forme alternative delle equazioni della statica pu

aiutare a scrivere tre equazioni disaccoppiate, in una sola incognita

2.1.2 Il caso delle aste iperstatiche

Vengono dette iperstatiche le strutture che possiedono un numero di gdv superiore al numero di gdl

e hanno quindi vincoli in numero sovrabbondante rispetto a quanto sarebbe necessario per eliminare

i moti rigidi. Si definisce grado di iperstaticit la differenza gdv-gdl. Le strutture di una sola asta

sono iperstatiche quando gdv>3. Tuttavia, anche in una struttura iperstatica occorre verificare che i

vincoli siano disposti correttamente, e che siano in grado di fornire risultante e momento risultante

del tutto arbitrari. A titolo di esempio si analizzi la struttura di Fig. 2.8a; si tratta di una mensola,

come quella illustrata in Fig. 2.1a, cui stato applicato un ulteriore carrello nel punto B. La struttura

pertanto possiede 4 gdv; le reazioni vincolari, illustrate in Fig. 2.8b, sono un sistema di forze a

risultante e momento risultante del tutto arbitrari. Si tratta infatti delle reazioni vincolari della

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mensola cui stata aggiunta un ulteriore reazione verticale. Le reazioni vincolari non possono

essere determinate in base a sole considerazioni di equilibrio: dati i carichi esterni, si pu assegnare

un valore arbitrario ad es. alla VB e trovare le rimanenti reazioni a terra utilizzando le ECS.

Linsieme delle reazioni soddisfa le condizioni di equilibrio, ma resta indeterminato a causa del

valore arbitrario assegnato a una reazione.

(a) (b) VB

HA A B

MA VA Fig. 2.8 Lasta incastro-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) reazioni vincolari.

La struttura in Fig. 2.9a ha anchessa 4 gdv; tuttavia, come illustrato in Fig. 2.9b, il sistema delle

reazioni vincolari non contiene forze orizzontali ed equivalente ad una forza verticale di modulo

arbitrario applicata in un punto arbitrario. La struttura, pur essendo iperstatica, quindi labile.

(a) (b) VC

A B C

VA VB MA

Fig. 2.9 Asta 1 volta iperstatica e labile: (a) configurazione geometrica; (b) reazioni vincolari.

2.1.3 La classificazione delle strutture in base allequilibrio.

Lanalisi dello schema statico viene effettuata sulla base delle condizioni geometriche imposte dai

vincoli, senza tenere in conto leffettiva disposizione dei carichi sulla struttura stessa. Questo fatto

reso molto evidente dalla terminologia inglese, che parla di strutture partially constrained,

improperly constrained o properly constrained per indicare rispettivamente le strutture ipostatiche,

quelle labili (indifferentemente isostatiche e iperstatiche), e le strutture correttamente vincolate

(ancora indifferentemente isostatiche e iperstatiche).

La disposizione dei carichi tuttavia influenza la possibilit che una struttura, pur dotata di possi-

bilit di movimento, possa stare in equilibrio. Da questo punto di vista dividiamo le strutture in:

Strutture a equilibrio impossibile (le ECS non sono soddisfatte). Il sistema di equazioni che ha le reazioni vincolari come incognite non ammette soluzione.

Strutture ad equilibrio possibile (le ECS sono soddisfatte). Distinguiamo ulteriormente in: Strutture staticamente determinate: le ECS, considerate come un sistema di equazioni

aventi le reazioni vincolari come incognite, ammettono una sola soluzione.

Strutture staticamente indeterminate: le ECS con le reazioni vincolari incognite ammettono infinito alla n soluzioni, essendo n il grado di iperstaticit pari a gdv - gdl.

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Vale al riguardo la seguente classificazione:

Le strutture ipostatiche sono ad equilibrio impossibile se le forze esterne non hanno la stessa caratteristica (come punto di applicazione o come direzione) delle reazioni vincolari (Fig.

2.10a). In caso contrario sono ad equilibrio possibile per una delle ECS soddisfatta dalle

forze esterne senza contributo delle reazioni vincolari (Fig. 2.10b). Lequazione di equilibrio

soddisfatta corrisponde a un vincolo in pi: la struttura diventa staticamente determinata.

(a) F

Fig. 2.10 Struttura ipostatica: (a) equilibrio imposs

Le strutture isostatiche non labili sono sempre staticamen Le strutture isostatiche labili possono, come le strut

impossibile (Fig. 2.11a) o possibile (Fig. 2.11b). Nel sec

dalle reazioni vincoari senza contributo delle forze este

introdotto da questa equazione di equilibrio, la struttura d

Fig. 2.11 Struttura isostatica labile: (a) equilibrio imp

Le strutture iperstatiche non labili sono sempre staticamen Le strutture iperstatiche labili (Fig. 2.12) possono essere

possibile. Nel secondo caso sono staticamente indetermin

Fig. 2.12 Struttura iperstatica labile: (a) equilibrio imp

12i

t

t

o

r

i

o

a

a

och(b) F

bile; (b) equilibrio possibile.

e determinate.

ure ipostatiche, essere ad equilibrio

ndo caso una delle ECS soddisfatta

ne; per effetto del vincolo aggiuntivo

venta staticamente indeterminata,

(a)

(b)

F

F

ssibile; (b) equilibrio possibile.

te indeterminate.

d equilibrio impossibile o a equilibrio

te, e il grado di iperstaticit sale di 1.

(a)

(b)

F

F

(a)

(b)

ssibile; (b) equilibrio possibile.

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2.2 Le strutture isostatiche composte da pi aste

Le strutture isostatich omposte da pi aste possono essere ulteriormente suddivise tra quelle in cui

la linea costruita con

coincidono) e quelle

verr trattato in man

importanza quelle fo

cerniera, in cui la con

vincolo triplo che gar

due aste possiede un

che nel complesso la

sufficientemente vinc

terra ciascuna asta co

vincolo semplice. Es

statico detto arco a tr

2.2.1 Larco a tr

Definiamo come arco

terra con un vincolo

vincoli a terra impo

prefissato del piano;

aste (Fig. 2.13a). La

doppio; l'assenza di m

le due aste, che di fa

dalla presenza a terra

un corpo rigido.

a

a

Fig. 2.13 L

e c le linee dasse delle varie aste aperta (il primo e lultimo estremo non

in cui chiusa (il primo e lultimo estremo coincidono); solo il primo caso

iera approfondita. Tra le strutture a linea dasse aperta rivestono notevole

rmate da due sole aste. Si considerino due aste collegate tra loro da una

tinuit nel punto di collegamento sia costituita da un vincolo doppio e non dal

antisce che le due aste insieme formino un unico corpo rigido. Linsieme delle

gdl interno, la rotazione relativa tra le due aste. Il pareggio gdl-gdv richiede

struttura possegga 4 gdv a terra. Se ciascuna parte della struttura deve essere

olata, i vincoli a terra possono essere disposti solo in due modi: vincolando a

n un vincolo doppio, o vincolandone una con un vincolo triplo e laltra con un

amineremo nel dettaglio entrambi i casi; il primo, che d luogo allo schema

e cerniere, largamente utilizzato nelle costruzioni civili e industriali.

e cerniere

a tre cerniere una struttura composta da due aste a e b, ciascuna vincolata a

doppio e mutuamente collegate tra di loro tramite un vincolo doppio. I due

ngono ai perni delle due cerniere a terra, a ed b, di essere in un punto il vincolo interno fissa la posizione del perno a,b della cerniera che collega le struttura presenta una mobilit interna, quella consentita dal vincolo interno

obilit si avrebbe in presenza di un vincolo triplo, ovvero della continuit tra

tto le renderebbe un unico corpo rigido. Tale mobilit interna compensata

di quattro vincoli, uno in pi di quelli (tre) che sarebbero necessari nel caso di

a,b

b

b

(b) (a)

arco a tre cerniere: (a) perni delle cerniere; (b) schema cerniera-carrello.

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I vincoli a terra quindi devono eliminare i moti rigidi della struttura nel suo insieme e i movimenti

relativi tra le parti che la compongono. Perci occorre verificare non solo che la struttura nel suo

complesso non presenti possibilit di movimento rispetto ad un dato riferimento, ma anche che non

esistano possibilit di movimento relativo tra le aste che compongono la struttura. Un primo modo

di affrontare il problema pu essere di ricondurre l'analisi dello schema statico dell'arco a tre

cerniere a quello dell'asta vincolata a terra con un vincolo doppio ed un vincolo semplice. Fissando

l attenzione ad esempio sull'asta a osserviamo che a collegata a terra tramite un vincolo doppio, il

cui perno un punto X prefissato del piano, e tramite l'asta b che pu essere considerata come una

biella. La linea dazione della reazione fornita dall'asta b, nel caso che questa non sia direttamente

caricata sulla sua linea dasse, definita dalla retta x congiungente i due perni delle cerniere di

estremit, a,b e b: se x non contiene il punto X, determinato dal vincolo doppio di a, si pu concludere che lasta a correttamente vincolata e la struttura non labile (Fig.2.13b). La

dimostrazione non cambia se si concentra l'attenzione sull'asta b anzich sulla a; si pu pertanto

concludere che l'arco a tre cerniere non labile se le tre cerniere (a, b, a,b) non sono allineate, e labile nel caso contrario (Fig. 2.14).

a ba ba,b

Fig. 2.14 Condizione di labilit dellarco a tre cerniere.

La conclusione cui siamo giunti non cambia se si analizza il sistema delle reazioni vincolari

dellarco a tre cerniere. Si consideri innanzitutto il caso in cui il carico agisca solo sulla cerniera

centrale. Ciascuna delle due aste (AB e BC) un two-force body, biella non soggetta a carichi lungo

la sua linea dasse. Le reazioni fornite dai vincoli in A e B sono quindi dirette rispettivamente come

la congiungente AB e BC. Senza alterare lequilibrio della struttura le due reazioni vincolari

possono essere fatte scorrere lungo la loro linea dazione e portate in B.

(b)

P

B A

C

P

B A

C

RA RB (a)

Fig. 2.15 Arco a tre cerniere caricato sulla cerniera centrale: (a) configurazione; (b) reazioni vincolari.

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Lequilibrio del punto B possibile se la forza P, cambiata di segno, pu essere scomposta lungo le

rette AB e BC. Il problema ammette soluzione se le rette AB e BC non sono coincidenti (Fig.

2.15b) e non la ammette se i due segmenti AB e BC sono allineati sulla medesima retta (Fig. 2.16).

E immediato osservare che nel caso labile le reazioni vincolari forniscono un sistema privo di

componente verticale. Lequilibrio alla rotazione dellintera struttura intorno al punto A

richiederebbe infatti la presenza di una reazione verticale in B, che per non pu essere diversa da

zero perch BC un two-force body. Le condizioni di equilibrio della singola asta e dellintera

struttura sono quindi incompatibili tra loro, dando origine alla labilit. Il movimento concesso dalla

labilit , per ciascuna asta, la rotazione intorno al suo perno a terra, rispettivamente i punti A e B.

Lo spostamento del punto C infinitesimo, verticale, e compatibile con il moto di entrambe le aste.

P

RA RB

Fig. 2.16 Reazioni vincolari dellarco a tre cerniere labile.

Si arriva allo stesso risultato se si considera il caso in cui il carico agisca in un punto intermedio

di unasta, come indicato in Fig. 2.17a. Lasta AB resta un two-force-body, e la reazione RA

diretta come la congiungente AC. Lasta BC un three-force body, e il suo equilibrio possibile

solo se le tre forze sono applicate nel medesimo punto. La reazione in B pu essere scomposta nella

forza RB, analoga a quella del caso precedente e diretta come la congiungente BC, e in una forza TB

ad essa perpendicolare. Si pu osservare che: (a) la forza RB e la reazione incognita in C passano

entrambe per il punto C; (b) possibile fare traslare le forze P e TB lungo le loro linee dazione in

modo che abbiano comune punto di applicazione e determinare il modulo di TB in modo che la

risultante F di P e TB passi anchessa per il punto C. La verifica della labilit della struttura caricata

sullasta si riconduce quindi a quella della struttura caricata solo sul nodo centrale.

(b)

P

B A

C

RA

RB

(a)

P

A

C

TB

P F

TB

Fig. 2.17 Arco a tre cerniere con carico sullasta: (a) configurazione; (b) diagramma di corpo libero.

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Si osservi che la reazione TB serve a soddisfare la condizione che le forze agenti lungo lasta BC

abbiano momento nullo rispetto al punto C ed completamente determinata da questa condizione.

La forza TB non pu quindi essere spesa nelle condizioni di equilibrio globali dellintera struttura;

questo risultato giustifica il fatto che la biella venga sempre considerata come un vincolo semplice,

in quanto entra nelle ECS scritte per lintera struttura con un unico termine incognito, la forza RB

diretta come la congiungente i perni delle due cerniere. La forza TB pu infatti essere determinata,

prima della scrittura delle ECS, dalla condizione di equilibrio della biella stessa.

Quanto ora detto consente di affrontare in maniera agevole il problema della determinazione

delle reazioni vincolari dellarco a tre cerniere; le reazioni incognite sono quattro, due per ciascun

vincolo doppio che collega a terra le aste componenti l'arco stesso. Le tre ECS sono in questo caso

necessarie ma non sufficienti perch la struttura, priva dei vincoli a terra, non un corpo rigido ma

presenta la mobilit relativa consentita dalla cerniera intermedia. Gli approcci possibili sono due.

Il primo, seguito dal libro di testo di Statica, prevede che oltre alle reazioni vincolari a terra

vengano messe in evidenza anche le reazioni mutue del vincolo interno, interrompendo la continuit

che lega le due aste. In tal modo si hanno due corpi rigidi, per ciascuno dei quali possono essere

scritte le 3 ECS; le incognite sono anchesse nel numero di sei, in quanto per il principio di azione e

reazione le forze scambiatesi attraverso la cerniera intermedia sono uguali ed opposte sulle due aste.

Il secondo approccio mira invece alla determinazione delle sole reazioni vincolari a terra, senza

laggiunta di ulteriori incognite, anche perch le forze trasmesse dalla cerniera intermedia possono

essere determinate agevolmente durante il calcolo delle azioni interne. Alle tre equazioni cardinali,

scritte per lintera struttura, si pu aggiungere unulteriore equazione che esprima una condizione di

equilibrio di una singola asta, scritta in maniera tale che le reazioni del vincolo intermedio non

offrano alcun contributo e quindi non accrescano il numero delle incognite.

(b) (a)

P

B A

C

Q P

Q

Ax

Ay

Bx

By

P

Ax

Ay

Cx

Cy

(c) Fig. 2.18 Calcolo delle reazioni vincolari: (a) configurazione; (b) reazioni a terra; (c) forze sullasta AC.

Si faccia riferimento al semplice arco a tre cerniere non labile di Fig. 2.18a; esso sicuramente

in equilibrio. Le quattro reazioni a terra, illustrate in Fig. 2.18b, soddisfano quindi le tre ECS. Con

unoperazione di sezione si pu staccare lasta AC dal resto della struttura, mettendo in evidenza le

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forze incognite trasmesse attraverso la cerniera in C (Fig. 2.18c). Per il postulato delle reazioni

vincolari questa operazione non altera lequilibrio dellasta AC e per essa possono essere scritte le

ECS. E immediato constatare che lannullarsi del momento risultante rispetto al punto C fornisce la

4 equazione cercata tra le reazioni vincolari a terra, portando cosi al pareggio tra equazioni e

incognite. Lequazione aggiuntiva elimina la mobilit interna messa in evidenza dall'eliminazione

dei vincoli a terra (la rotazione relativa delle due aste intorno alla cerniera intermedia, Fig. 2.18b).

La procedura pu essere generalizzata nel modo seguente: indichiamo con a, b i punto su cui agiscono le risultanti delle reazioni vincolari dovute ai vincoli doppi applicati rispettivamente alle

aste a e b. Se il vincolo doppio agente sull'asta una cerniera questo punto coincide con il suo

perno; se il vincolo doppio ottenuto come somma di due vincoli semplici, l'intersezione delle linee d'azione delle reazioni (note come direzione e punto di applicazione) dei due vincoli semplici.

Le due reazioni a terra fornite sullasta a dal vincolo doppio che determina a possono essere calcolate attraverso il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

0= bM annullarsi del momento risultante per lintera struttura (2.2) ( ) 0= aM b,a annullarsi del momento risultante sulla sola asta a (2.3)

Si osservi che lequazione (2.2) pu essere scritta in maniera corretta anche rispetto a un altro punto

qualunque del piano, a spese di una maggiore complicazione nei calcoli; nellequazione (2.3),

viceversa, la scelta di un punto diverso comporta laggiunta del contributo delle reazioni incognite

in C e conduce a unequazione errata se questo contributo non conteggiato. Nel caso che i punti

b e/o a,b siano punti impropri le equazioni di equilibrio alla rotazione diventano equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare a quella determinata dal punto improprio. Le

reazioni a terra fornite dal restante vincolo (nel nostro esempio b) possono essere determinate sfruttando le due equazioni cardinali della statica che non sono state utilizzate nella determinazione

delle reazioni in a; se b un punto proprio del piano, tali equazioni sono le equazioni di equilibrio alla traslazione di tutta la struttura.

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2.2.2 Il circolo chiuso isostatico

Un'altra struttura su cui importante fissare la nostra attenzione quella che si ottiene da un arco a

tre cerniere, qualora le aste a e b, anzich essere collegate a terra, siano entrambe collegate,

ciascuna mediante un vincolo doppio, ad una terza asta c (Fig. 2.19a). La struttura cos ottenuta,

detta circolo chiuso isostatico, non presenta vincoli a terra, ma, se non labile, costituisce un corpo

rigido in cui non esistono possibilit di movimento relativo tra le aste che la compongono. Infatti,

l'as e l'asta b sono collegate tra di loro tramite un olo doppio, il cui perno a,b in un punto R p

Le

cer

c,bvin

age

ana

circ

stes

isos

terr

qua

mo

con

Fig

A

inte

di v

ta arefissato del piano, e tramite l'asta c, equivalente

azioni mutue scambiate tra le due aste sono quindi

niera a,b e in parte dirette lungo la retta r congiun (perno della cerniera tra c e b). Come nel caso d

colo semplice, se r non contiene il punto R lequilib

nti e le aste a e b non hanno possibilit di movim

logo se si concentra l'attenzione sulla coppia di

olo chiuso non labile se le tre cerniere (a,b, bsa condizione che impone la non labilit dell'a

tatico deriva. Il circolo chiuso isostatico non lab

a, dei quali occorre comunque controllare la cor

nto accade nel caso dell'arco a tre cerniere, i v

bilit interne, ed il controllo della disposizione d

trollo della disposizione dei vincoli interni.

a

c

b

a,b

b,ca,c

(a)

. 2.19 Il circolo chiuso isostatico: (a) perni delle cern

bbiamo visto che un'asta il cui asse sia una linea

rnamente: il circolo chiuso isostatico pu essere

incolo da una tale asta, sostituendo in tre punti l

18vincad una biella e quindi a un vincolo semplice.

in parte applicate nel punto R per effetto della

gente a,c (perno della cerniera tra a e c) con ellasta vincolata con un vincolo doppio e un

rio possibile per qualunque sistema di forze

ento relativo (Fig. 2.19b). Il ragionamento

aste b e c, o a e c; si pu concludere che il

,c, a,c) non sono allineate, ritrovando cos la rco a tre cerniere, da cui il circolo chiuso

ile necessita poi, ovviamente, di tre vincoli a

retta disposizione; tuttavia, diversamente da

incoli a terra non concorrono ad eliminare

ei vincoli a terra totalmente disgiunto dal

(b)

iere intermedie; (b) analisi dello schema statico.

chiusa (anello chiuso) tre volte iperstatica

pensato ottenuto per eliminazione di tre gradi

a continuit (vincolo triplo) con una cerniera

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(vincolo doppio). Tuttavia isostatico qualunque anello chiuso ottenuto dall'anello iperstatico per

eliminazione di tre gradi di vincolo, ad esempio quello ottenuto collegando la medesima coppia di

aste mediante cerniera e carrello (Fig. 2.20a). Viceversa, un anello chiuso in cui siano stati eliminati

meno di tre gradi di vincolo internamente iperstatico (Fig. 2.20b), e non pu che dar luogo ad una

struttura iperstatica: infatti, il numero dei vincoli a terra non pu mai essere inferiore a tre se si

vuole garantire l'assenza di movimenti rispetto al riferimento per qualunque sistema di carico.

a b a b

(a) (b)

Fig. 2.20 Anello chiuso: (a) isostatico; (b) iperstatico.

Un anello chiuso in cui siano stati eliminati pi di tre gradi di vincolo internamente ipostatico

(Fig. 2.21), ma pu dar luogo ad una struttura isostatica se i vincoli a terra sono in numero e

disposizione tale da compensare le mobilit interne. Tale situazione analoga al caso dell'arco a tre

cerniere in cui la mobilit interna compensata da quattro vincoli a terra, uno in pi di quelli

necessari per vincolare a terra in maniera isostatica un corpo rigido.

a ba b

Fig. 2.21 Esempi di anelli ipostatici.

Il circolo chiuso isostatico costituisce la struttura di base in tutte le travature reticolari e trova larga

applicazione anche al di fuori delle costruzioni civili o industriali (si pensi ad es. al telaio di una

bicicletta). Nelle travature reticolari possono anche essere presenti anelli ipostatici, a condizione che

i vincoli a terra siano in numero maggiore di 3. In questo corso le travature reticolari costituiscono

lunico esempio di applicazione delle strutture a linea dasse chiusa.

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2.2.3 Lappendice isostatica

Il secondo modo di vincolare a terra due aste collegate da un vincolo doppio quello di distribuire i

vincoli in numero diverso tra le due aste, come indicato in Fig. 2.22a. Lasta AC, incastrata in A,

dotata di tre vincoli a terra; lasta BC vincolata a terra con un vincolo semplice, un carrello a

piano di scorrimento orizzontale in B. A questi vincoli corrispondono le reazioni vincolari illustrate

in Fig. 2.22b: tre componenti indipendenti sullasta AC e una sola sullasta BC.

(a) (b)

HA A B C

VA VB MA

C

Fig. 2.22 Struttura di due aste: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

In questo caso lasta BC non una biella, perch il vincolo in B un carrello e non una cerniera, e

non costituisce un vincolo per lasta AC. Infatti la biella un vincolo semplice per lasta che collega

a terra; se si riducono i gradi di vincolo alle estremit della biella (sostituendo la cerniera con un

carrello, anche su un solo estremo) la biella cessa di essere tale e quindi non pi un vincolo per

lasta che collega a terra. Daltro canto si pu osservare che lasta AC isostatica e correttamente

vincolata rispetto al riferimento: pertanto non ha possibilit di moti rigidi e tutti i suoi punti non

compiono alcun movimento. In particolare il punto C fermo: per lasta BC la cerniera in C, nella

situazione di vincolo di Fig. 2.22a, equivalente a un vincolo a terra, per cui lasta BC nello

schema statico isostatico cerniera-carrello.

Confrontando questo risultato con quanto ricavato sullarco a tre cerniere allinizio del cap.

2.2.1, si ricava che lo schema statico di Fig. 2.22a profondamente diverso da quello dellarco a tre

cerniere, in cui le aste concorrono con pari peso a dar luogo a una schema statico isostatico, in

quanto ciascuna delle due costituisce un vincolo per laltra. Nello schema ora esaminato: (a) le due

aste sono entrambe isostatiche; (b) lasta BC non costituisce alcun vincolo per la AC; (c) la AC

fornisce alla BC un vincolo a terra, strettamente necessario per impedirne i moti rigidi. In questa

situazione si dice che lasta BC costituisce unappendice isostatica dellasta AC. Generalizzando,

possiamo dare la seguente definizione:

Si definisce con il termine appendice isostatica unasta, o un insieme di pi aste, che sono in

configurazione isostatica, presentando un pareggio tra gradi di libert e gradi di vincolo, ma in cui

alcuni (o tutti) vincoli, anzich essere a terra, sono appoggiati su altre strutture.

Lanalisi della labilit dello schema statico ora esaminato si svolge in maniera coerente con

quanto trovato. Nella struttura in Fig. 2.23a lappendice isostatica cerniera-carrello labile, perch

la normale al piano di scorrimento del carrello in B passa per la cerniera in C. Tuttavia lasta AC,

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incastrata a terra, correttamente vincolata e in grado di portare i carichi che dovessero gravare su

di essa. Nel caso in Fig. 2.23b i vincoli dellappendice isostatica sono disposti in maniera corretta;

tuttavia lasta AC, ora vincolata con un sistema cerniera-carrello che ha ancora 3gdv a terra, labile

perch la normale al piano di scorrimento del carrello in A passa per la cerniera in D. Lasta AC

quindi labile, e pu muoversi; il vincolo in C cessa di essere a terra per lasta BC e la labilit

coinvolge ora lintera struttura. Infatti lasta BC non dispone di vincoli sufficienti per impedire il

moto del punto C.

(a) (b)

A B C A B C D

Fig. 2.23 Analisi della labilit: (a) appendice isostatica labile; (b) intera struttura labile.

La distribuzione dei vincoli si riflette nella scrittura delle condizioni di equilibrio delle due aste,

considerate ciascuna soggetta alle reazioni a terra e del vincolo interno (Fig. 2.24). Il sistema di

reazioni vincolari dellasta BC in grado di equilibrare qualunque sistema di forze esterne solo se

comprende anche le forze trasmesse dal vincolo interno in C; viceversa, il sistema di reazioni

vincolari a terra di AC in grado di equilibrare qualunque sistema di forze esterne anche in assenza

delle reazioni in C. Questa osservazione coerente con quanto appena discusso.

MA

HA

VA

Cy Cx

VB

Cy Cx

Fig. 2.24 Le reazioni vincolari, a terra e dei vincoli interni, nellappendice isostatica.

Poich i vincoli sullasta BC sono nel numero strettamente necessario (tre) il valore delle forze Cx,

Cy e VB determinato dalle condizioni di equilibrio della sola asta BC e dipende quindi solo dai

carichi direttamente agenti sullasta BC stessa, coerentemente con losservazione che lasta BC non

un vincolo per la AC; in particolare, se sullasta BC non agiscono carichi esterni, come in Fig.

2.25a, la reazione VB (fig. 2.25b) e le azioni interne sullasta sono identicamente nulle.

(a) (b)

HA

VA VB MA

q q

Fig. 2.25 Il caso dellappendice isostatica scarica: (a) configurazione; (b) diagramma di corpo libero.

Se invece il carico agisce sullasta BC (fig. 2.26a) la reazione VB diversa da zero, cosi come le

azioni interne su BC, le forze trasmesse dal vincolo in C e le reazioni in A.

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(a) (b)

HA

VA VB MA

q q

L L L L

Fig. 2.26 Il caso dellappendice isostatica carica: (a) configurazione; (b) diagramma di corpo libero.

Nel calcolo delle reazioni vincolari, come gi fatto per larco a tre cerniere, si pu scrivere un

sistema di equazioni che ha come incognite le sole reazioni vincolari a terra. Occorre quindi

scrivere un sistema di 4 equazioni in 4 incognite: 3 equazioni sono le ECS per lintera struttura, la

4 equazione una delle ECS per una sola delle due aste che compongono la struttura, scritta in

maniera tale che le reazioni del vincolo interno non offrano alcun contributo. La scelta pi

conveniente quella di calcolare prima la reazione dellappendice isostatica, che dipende solo dai

carichi direttamente agenti su di essa, e poi risolvere le ECS per lintera struttura. Valgono qui le

stesse considerazioni svolte a proposito della equazione (2.3) ricavata per larco a tre cerniere.

Il concetto di appendice isostatica pu essere estese a strutture pi complesse, quali larco a tre

cerniere che appoggia una delle sue cerniera anzich a terra su unaltra asta isostatica (Fig. 2.27).

Anche nel caso illustrato in figura le reazioni della cerniera a terra possono essere determinate

attraverso la procedura standard dellarco a tre cerniere presentata al par. 2.2.1.e dipendono solo dai

carichi direttamente agenti sullarco a tre cerniere stesso.

Fig. 2.27 Esempio di appendice isostatica: un arco a tre cerniere appoggiato su una mensola.

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3. La procedura per il calcolo delle reazioni vincolari

Seguendo quanto esposto al cap. 2, il calcolo delle reazioni vincolari a terra per le strutture

isostatiche aventi linea dasse aperta viene effettuato secondo la seguente procedura:

1) Costruzione del diagramma di corpo libero: sostituzione dei vincoli a terra con le relative

componenti di reazione vincolare che ciascun vincolo in grado di trasmettere alla struttura

(postulato delle reazioni vincolari), preferibilmente gi in componenti orizzontali e verticali.

2) Scrittura delle tre ECS per la struttura, considerata come un corpo rigido libero nel piano,

caricata dalle forze esterne note e dalle reazioni vincolari incognite. Se dopo la scrittura delle

ECS si raggiunto il pareggio tra equazioni e incognite, si risolve il sistema di equazioni e si

procede al calcolo delle azioni interne (vedi paragrafo successivo).

3) Se dopo il punto 2 non si raggiunto il pareggio, questo significa che la struttura priva dei

vincoli a terra presenta delle mobilit interne, ovvero delle possibilit di moto relative tra le aste

che la compongono (e non quindi a rigore un corpo rigido). Alle ECS vanno aggiunte delle

equazioni di equilibrio locali, cio una o pi ECS scritte con riferimento a una o pi aste che

compongono la struttura (ma non allintera struttura), che eliminino le possibilit di movimento

che non esistono quando la struttura vincolata a terra. Poich i vincoli a terra sono in numero

superiore a tre, la scrittura delle equazioni di equilibrio locali necessaria per poter risolvere il

problema della determinazione delle reazioni a terra. Le equazioni aggiuntive una per ogni

mobilit concessa dai vincoli interni - devono essere scritte in modo da non introdurre come

incognite le reazioni dei vincoli interni, e vengono ricavate sulla base della considerazione che

dove la continuit meno di un vincolo triplo, le corrispondenti reazioni hanno componenti

nulle. In particolare:

in una cerniera interna il momento zero, e le forze trasmesse dalla cerniera sono applicate nel perno della cerniera stessa. Sezionando idealmente in due parti la struttura nel punto in cui

agisce la cerniera, lequazione da scrivere lannullarsi del momento risultante delle forze che

precedono la cerniera (su una qualunque delle due parti in cui si divisa idealmente la struttura)

rispetto al perno della cerniera.

in una cerniera impropria nulla la componente di forza diretta come lo spostamento permesso dal vincolo. Analogamente a quanto fatto per la cerniera, lequazione da scrivere lannullarsi

della risultante delle forze che precedono la cerniera impropria, in direzione del movimento

consentito.

in un carrello sono nulli sia il momento che la forza in direzione dello spostamento permesso. Occorre scrivere 2 equazioni, secondo le regole ora esposte per le cerniere proprie e improprie.

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3.1 Strutture che contengono anelli chiusi

Se dopo l'esecuzione dei punti 2) e 3) si raggiunto il pareggio tra incognite ed equazioni

disponibili il problema della determinazione delle reazioni vincolari completamente risolto. Se

viceversa il numero delle incognite ancora superiore a quello delle equazioni scritte, ci troviamo

di fronte ad una struttura in cui sono contenuti uno o pi anelli chiusi ipostatici. La presenza di un

anello chiuso ipostatico implica l'esistenza di mobilit relative tra le aste componenti l'anello;

infatti, solo in un anello isostatico le aste sono connesse tra loro in maniera da formare un corpo

rigido. La struttura che contiene l'anello chiuso ipostatico quindi in una situazione analoga a

quella delle strutture citate al punto 3), con l'unica differenza che per tali strutture il movimento

avviene intorno ad un punto che coincide con un vincolo (es.: rotazione intorno ad una cerniera) o

da esso immediatamente determinato (es: traslazione consentita da un pattino), mentre per le

strutture contenenti un anello ipostatico il punto intorno cui avviene il movimento deve essere

determinato o mediante un'analisi cinematica o mediante unanalisi dello schema statico. Se i

risultati di tali analisi non consentono comunque una semplificazione del problema occorre proce-

dere allapertura dellanello. Le procedure relative sono per al di l dello scopo di questo corso.

Occorre infine aggiungere che pu accadere che dopo lesecuzione dei punti 2) e 3) si siano

determinate le reazioni vincolari, ma la struttura contenga ancora degli anelli chiusi: si pensi ad es.

al caso delle travature reticolari. Gli anelli sono in questo caso isostatici e la loro apertura, che non

mai necessaria al fine del calcolo delle reazioni vincolari; deve comunque essere effettuata per poter

procedere al calcolo delle azioni interne. Tale apertura viene effettuata per le travature reticolari con

i metodo propri di questa tipologia strutturale; per le restanti strutture si pu osservare che la

presenza di un anello chiuso isostatico dovuta al fatto che la struttura possiede delle appendici

isostatiche che hanno tutti i loro vincoli a terra poggiati in qualche punto della struttura. Questa

osservazione consente di individuare agevolmente una procedura di soluzione: (a) si stacca

lappendice isostatica dal resto della struttura, mettendo in evidenza le sue reazioni vincolari; (b) si

calcolano le reazioni vincolari con le procedure appena viste, punti 2) e 3); (c) si cambiano i segni

delle reazioni vincolari e le si applica al resto della struttura. Questo procedimento pu essere

eseguito in maniera recursiva, se vi sono pi appendici isostatiche le une sulle altre. La procedura

pu essere semplificata se si osserva che per il calcolo delle azioni interne sufficiente che gli

anelli chiusi siano aperti in un solo punto (basta una ed una sola apertura per ogni anello) e viene

effettuata in maniera pi conveniente se fatta in corrispondenza del vincolo di grado pi basso

allinterno dellanello. I conti sono meno onerosi se si apre su un carrello anzich su una cerniera

(una sola reazione anzich due), e pi semplici se si apre su una cerniera propria anzich su una

impropria (le incognite sono solo forze e non forza e coppia). 07/10/2009 24


4. Il calcolo delle azioni interne: definizioni generali

Il calcolo delle azioni interne, con il conseguente tracciamento dei diagrammi, ha lo scopo

fondamentale di determinare, in ogni sezione della struttura analizzata, le azioni mutue che le due

parti della struttura adiacenti alla sezione in studio si scambiano attraverso la sezione stessa. Le

azioni agenti sulla sezione sono infatti l'informazione fondamentale necessaria al progettista che

deve affrontare il problema del dimensionamento e/o della verifica strutturale. Poich la continuit

pu essere considerata come un vincolo triplo, una generica sezione pu trasmettere una forza F

individuata da tre parametri indipendenti. Tali parametri sono riferiti ad un sistema di riferimento

locale e sono costituiti dalle due componenti N e T della forza, rispettivamente in direzione

dell'asse dell'asta e nella direzione ad essa perpendicolare, e dal momento M rispetto al punto in cui

l'asse dell'asta interseca la sezione (baricentro). Convenzionalmente si considerano positive:

l'azione assiale N che induce trazione sulla porzione di asta su cui agisce; la forza di taglio T che ruota in senso orario intorno alla porzione di asta su cui agisce. Il momento flettente M viene considerato privo di segno, ed il corrispondente diagramma viene

tracciato, sull'asta cui si riferisce, sul lato delle fibre che risultano in trazione per effetto del

momento stesso.

Le azioni interne M, N e T vengono determinate in base a considerazioni in equilibrio, con gli stessi

criteri gi visti nel calcolo delle reazioni vincolari; sono cio le azioni che, sostituite alla continuit,

sono in grado di mantenere la struttura in equilibrio. Alla base del calcolo delle azioni interne vi

quindi il metodo delle sezioni: poich se una struttura in equilibrio lo anche ciascuna sua parte,

sotto lazione delle forze esterne e delle reazioni che le competono, possibile operare una sezione

che divida in due parti la struttura, sostituire la continuit con le azioni interne incognite, ma

rispettose del principio di azione e reazione, e infine applicare le condizioni di equilibrio, espresse

dalle equazioni cardinali della statica, su una qualunque delle due parti in cui si divisa la struttura.

Per poter scrivere un'equazione di equilibrio in cui compaiano come uniche incognite le azioni

interne nella sezione in esame, occorre aver preliminarmente aperto (dove sia necessario) i circoli

chiusi, o come talora si dice, aver ridotto la struttura ad albero, intendendo con questa espressione

che per ogni sezione deve essere individuabile un percorso che conduca ad essa a partire da punti in

cui sono note le forze agenti (reazioni vincolari o azioni interne).

4.1 Le equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave rettilineo

Il procedimento basato sull'approccio diretto in termini di equilibrio risulta spesso laborioso, in

quanto costringe alla scrittura di differenti equazioni di equilibrio per ogni tronco di asta in cui

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carichi esterni e/o direzione dell'asse dell'asta non subiscano brusche variazioni, ed obbliga a

considerare separatamente l'effetto di ciascun carico e della sua posizione. A tale approccio

preferibile quello basato sull'utilizzo delle equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave.

Queste equazioni stabiliscono le condizioni di equilibrio che devono essere soddisfatte da

qualunque elemento appartenente ad una trave rettilinea anch'essa in equilibrio, quale quella

rappresentata in Fig. 4.1.

p(x)

x

y L

Fig. 4.1 - Trave rettilinea in equilibrio

A tal fine si considera il generico concio di trave di lunghezza x, soggetto alla porzione di carico esterno che gli compete ed alle azioni interne che gli vengono trasmesse dai conci adiacenti, come

indicato nella Fig. 4.2, che evidenzia anche le convenzioni positive adottate per il carico esterno, le

forze di taglio ed i momenti flettenti.

p(x) T(x)

M+M M(x)

T+T x

Fig. 4.2 - Il concio di trave soggetto al carico distribuito e alle azioni interne

Le condizioni di equilibrio dell'elemento infinitesimo, rispettivamente alla traslazione in direzione

perpendicolare all'asse della trave ed alla rotazione, quando la lunghezza del concio tende a zero

(x dx, M dM, T dT) forniscono rispettivamente: )(xp

dxdT = (4.1)

Tdx

dM = (4.2)

Queste equazioni consentono di stabilire, per un'asta rettilinea soggetta a carichi in direzione

perpendicolare all'asse dell'asta, una relazione tra il valore del carico distribuito p(x) e l'andamento

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del taglio e del momento. Pu essere utile osservare che l'azione assiale N non entra in queste

equazioni, essendo del tutto indipendente dal carico trasversale all'asse dell'asta e quindi da M e T.

Questa situazione si verifica solo nelle aste rettilinee, in quanto nelle aste curve anche l'azione

assiale concorre a portare i carichi che inducono flessione nell'asta.

L'equazione (4.1) consente di ricavare la funzione T(x) per integrazione:

1

x

0

CdpxT += )()( con 0 x (4.3) essendo C1 = T(x=0) = T0. Questa equazione mostra come, a meno di una costante C1, il taglio in

una sezione a distanza x dall'origine non sia altro che l'opposto dell'integrale dei carichi distribuiti

agenti nel tratto di lunghezza ; analogamente, la differenza nel valore del taglio tra due sezioni

distinte semplicemente la somma (risultante), cambiata di segno, di tutte le forze agenti tra le due

sezioni ed ortogonali all'asse dell'asta. Inoltre, l'effetto dei carichi che precedono la sezione posta ad

ascissa x=0 entra solo nella costante C1 che, per quanto detto prima, rappresenta la somma

(risultante) di tutte le forze che precedono la sezione, agenti in direzione ortogonale all'asse

dell'asta. La presenza di una forza concentrata F interrompe il processo di integrazione ed introduce

una discontinuit nel diagramma del taglio, in quanto per l'elemento infinitesimo di asta che porta la

forza (Fig. 19a)deve valere, con ovvio significato dei simboli, la relazione di equilibrio:

TS = TD + F (4.4)

F W

MD MSTS TD

(a) (b)

Fig. 4.3 - Equilibrio del concio elementare soggetto a: (a) forza concentrata; (b) coppia.

In maniera del tutto analoga a quanto fatto per il taglio, l'equazione (4.2) consente di ricavare la

funzione M(x) per integrazione:

+= x0

2CdTxM )()( con x0 (4.5)

essendo C2 = M(x=0) = M0. La presenza di una coppia concentrata W non produce effetti sul

diagramma del taglio, ma introduce una discontinuit nel diagramma del momento, in quanto, per

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l'elemento infinitesimo di asta su cui applicata la coppia deve valere (vedi Fig. 4.3b) una relazione

di equilibrio analoga alla (4.4):

WMM DS += (4.6) Analogamente a quanto succede nel diagramma del taglio, l'effetto dei carichi che precedono la

sezione posta ad ascissa x=0 entra solo nella costante M0, che rappresenta il momento risultante di

tali carichi rispetto alla sezione stessa; l'effetto di tali carichi pertanto rappresentato

completamente dalle due costanti M0 e T0. La costante M0 coincide con il valore di M nell'ultima

sezione dell'asta che precede quella in studio, o da esso determinabile attraverso l'eq. (4.6) se

presente una coppia concentrata. Nel caso che in un punto convergano pi aste, i momenti Mi agenti

in tale punto sulle i aste devono soddisfare l'ovvia condizione di equilibrio Mi=0. Le equazioni (4.1) e (4.2), unitamente alle (4.3) e (4.5), consentono di stabilire, dato l'andamento

del carico esterno, l'andamento delle funzioni T(x) ed M(x), secondo lo schema analitico di seguito

riportato.

Carico distribuito assente:

211 CxCMdxdMCT

dxdT0xp +=====)( (4.7a)

Carico distribuito in maniera uniforme:

21

20

100 CxC2xpM

dxdMCxpT

dxdTpxp ++==+===)( (4.7b)

Carico distribuito variabile con legge lineare:

21

30

1

200

62)( CxC

LxpM

dxdMC

LxpT

dxdT

Lxpxp ++==+=== (4.7c)

Tale schema analitico pu essere tradotto nel seguente schema logico:

p(x) = 0 T costante M lineare p(x) costante T lineare M parabolico p(x) lineare T parabolico M cubico

Si visto come il diagramma del momento venga sempre tracciato sul lato delle fibre tese: la

concavit del diagramma ha pertanto lo stesso segno della concavit della deformata che l'asta

subisce per effetto del momento. L'equazione (4.2) stata scritta considerando positivi i momenti

che tendono le fibre inferiori; sotto tale ipotesi la concavit del diagramma del momento

governata dalla seguente equazione, che discende dalle equazioni (4.1) e (4.2):

)(22

xpdx

Md = (4.8)

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Se p(x) positivo, la derivata seconda di M negativa, e determina un andamento della concavit

come riportato in Fig. 4.4. La concavit del momento, pertanto, sempre diretta in maniera tale da

"raccogliere" il carico distribuito.

p > 0

x

022

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3 - Strutture isostatiche