25. KARARLILIK

• KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

1

a-) Routh – Hurwitz Kararlılık Ölçütü

b-) Kök – Yer Eğrileri Yöntemi

c-) Nyquist Yöntemi

d-) Bode Yöntemi

2

3

4

a) Routh – Hurwitz Kararlılık Ölçütü

• Routh Hurwitz kararlılık ölçütü bir polinom denkleminin

pozitif gerçel kısımlı köklerin bulunup bulunmadığını

denklemi çözmeden belirlemeye yarar.

• R.H ölçütü özellikle yüksek derecede polinomlarda

köklerin incelenmesinde önemli kolaylık sağlar.

• Kontrol sistemleri uygulamalarında sistemlerin kararlılığı

bu yöntemle özyapısal denklemin köklerinden incelenebilir.

5

Gereklilik Şartı

• Polinom denkleminin gerçel negatif kısmı köklere sahip

olması dolayısıyla kararlı olabilmesi için denklemin tüm

katsayılarının pozitif ve sıfırdan farklı olması gerekir.

6

Yeterlilik Şartı :

Routh tablosu pozitif değerli katsayılara sahip bir sistemin kararlılığını kesin olarak belirlenebilmesi Routh kararlılığının ileri sürülen tablo ile belirlenir. Bunun için polinomun katsayıları cinsinden Routh tablosu aşağıdaki gibi satır ve sütunlardan oluşur.

Bu yoldan gidilerek n+1 satırına kadar tüm elemanları hesaplanır.

Tablonun 1. sütununda yer alan elemanlar sistemin kararlılığının belirlenebilmesinde kullanılır.

Polinom denkleminin pozitif gerçel kısımlı köklerin sayısı tablonun 1. sütunundaki elemanların işaret değiştirme sayısına eşittir.

Gereklilik şartının sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi için, Routh tablosunun 1. sütunundaki elemanlardan hiçbiri işaret değiştirmemesi gerekir, bu durum bu yöntemin yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem kararsızdır.

7

8

Dördüncü satır oluşturmak üzere aynı yol

izlenerek

9

Gereklilik şartını sağlayan bir sistemin kararlı olabilmesi

için Routh tablosunun birinci sütunundaki elemanlardan

hiçbirinin işaret değiştirmemesi gerekir. Bu durum bu

ölçütün yeterlilik şartıdır. Bu şartı sağlamayan sistem

kararsızdır. 1. sütundaki işaret değiştirme sayısı sistemin

sağ yarı düzlemde yer alan kutuplarının sayısını verir.

Örnek

• Özyapısal denklemi 4. dereceden bir polinom olarak verilen aşağıdaki

sistemi ele alalım.

10

Birinci sütunda biri +2 den -1’e geçerken ve biri de -1 den +8’e

geçerken olmak üzere iki işaret değişimi vardır. Buna göre sistemin

sağ yarı düzlemde iki kökü mevcuttur ve dolayısıyla sistem

kararsızdır.

Örnek

2 3 10

1 5 0

10 0

0 0

10 0 0

Listelemenin ilk sütununda iki işaret değişimi görüldüğünden denklemi sağ yarı s- düzleminde iki kutbu bulunur. Denklemin dört kökü çözülürse s1,2=-1,0055±j0,7555 ve s3,4=-0,7555±j1,444 elde edilir. Açıkça görüldüğü gibi

son iki kök sağ yarı s-düzleminde bulunduğundan sistemi kararsız kılar.

1 2 3

1 2 0

0=ε 3

0

3 0

Örnek

Sistem Kararsızdır

Örnek

1 8 7

4 8 4

6 6

4 4

0 0 0

8 0

4 Sistem Sınır Kararlıdır

1 K + 2

3K 4

0

4

Örnek Şekilde verilen kapalı- döngü sistemini ele alalım. Sistemin kararlı

çalışmasını sağlayan K değeri veya değerlerini bulunuz.

1 12 K

3 K-16 0

a b=K

c

d=K

a=(52-K)/3, b=K c=(K2-59K+832)/(K-52) d=K

b) Kök-Yer Eğrileri Yöntemi

• Kapalı çevrim bir kontrol sisteminin geçici durum davranışının temel özellikleri, kapalı çevrim kutuplarından belirlenir.

• Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde kapalı çevrim kutupları karmaşık sayı S düzleminde yerleşimi önem arz eder.

• Kapalı çevrim sistemlerinin incelenmesi ve tasarımında kapalı çevrim kutuplarının ve sıfırlarının S düzleminde arzu edilen konumda yerleşimini sağlama üzere açık çevrim kutuplarının ve sıfırlarının ayarlanması gerekir.

• Kapalı çevrim kutupları özyapısal denklemin kökleridir. Bu kökleri bulmak için özyapısal polinomun çarpanlara ayrılması gerekir.

• Bu genelde 3. ve daha yüksel dereceden polinomlarda çok zaman alıcı bir işlemdir.

17

Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları

Kural 1:

• Kök-yer eğrisi birden fazla kollardan meydana gelebilir ve bu

kolların sayısı özyapısal denklemin derecesine eşittir. Kök-yer eğrilerinin her bir bölümü veya kolu kazancın değişimine bağlı olarak kapalı-döngü sistemin belli bir kutbunun hareketini tanımlar.

18

Kural 2:

• Açık döngü kutupları kök-yer eğrisinin başlama noktasını (K=0) ve açık döngü sıfırları da kök-yer eğrisinin bitiş noktasını (K=∞) tanımlar. Buna göre kök-yer eğrisi açık-döngü kutuplarında başlar ve sıfırlarında sona erer.

• Eğer G(s)H(s) ‘ın paydasının derecesi payın derecesinden büyük ise kök yer eğrisi sonsuzda biter ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse kök-yer eğrisi sonsuzda başlar. Genellikle paydanın derecesi payın derecesinden büyük olduğundan kök-yer eğrisi de sonsuza gider.

19

Kural 3:

• Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolları açık döngü kutup ve sıfırlarından bulunur. Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisinin her bir kısmı bir kutup veya sıfırdan diğer kutup veya sıfıra doğru uzanır.

• Gerçek eksen üzerinde yer alan kök-yer eğrisi kolunu çizmek için bir test noktası alınır. Eğer bu test noktasının sağında yer alan gerçek değerli kutupları ve sıfırların toplam sayısı tekil ise test noktası kök-yer ekseni üzerinde yer alıyor demektir.

20

Kural 4:

• Kök-yer eğrisinin asimptot açısı aşağıdaki denklem yoluyla bulunur.

• Burada

n=açık-döngü, G(s)H(s) kutuplarının sayısı

m=açık-döngü, G(s)H(s) sıfırlarının sayısı

21

Örnek

in asimptotlarını bulunuz.

Olmak üzere üç adet asimptot mevcuttur.

22

Kural 5:

• Tüm asimptotlar gerçek ekseni keser ve gerçek ekseni kestiği

noktalar aşağıdaki ifade ile bulunur.

• Veya

• Bir önceki örnekte ele alınan açık döngü kutupları burada

değerlendirilirse;

elde edilir.

23

Kural 6:

• Kök-yer eğrisinin gerçek eksenden ayrılma noktası gerçek eksen

üzerindeki kazanç katsayısı, K değerinin minimum ve kök-yer

eğrisinin gerçek eksen varış noktası K değerinin minimum olduğu

noktadır.

• Ayrılma ve varış noktaları, özyapısal denklemde K ’yı çektikten

sonra s= koyarak hesaplanabilir daha sonra

• Şeklinde türevi alındıktan sonra maksimum ve minimum yapan

değerleri bulunur.

24

• Sistemin sıfırlarını bulursak:

(s+1)=0 S= -1

• Sistemin kutuplarını bulursak:

S=0 , S=-2 , S=-1/5

• Kutup ve sıfır sayılarını buluruz.

n=3 , m=1 n-m=2 2 adet asimptot vardır

25

olan sistemin kök-yer eğrisini çiziniz.

Örnek:

• Asimptot açıları n=2, m=0 olduğuna göre

• Asimptotların gerçek ekseni kesim noktası

(kutupların toplamından sıfırların toplamı çıkartılır ve asimptot sayısına bölünür)

26

27

Kök-yerin gerçek eksenden ayrılma noktası

28

için kök-yer egrisini çiziniz.

Sistemin sıfırlarını bulursak:

(s+1)=0 S= -1

Sistemin kutuplarını bulursak:

S1=0 , S2=-2 , S3,4=-4

Kutup ve sıfır sayılarını buluruz.

n=4 , m=1 n-m=3 3 adet asimptot vardır

Sonsuza giden kökler için asimptot açılarını belirlersek:

k yerine sırasıyla 0,1 ve 2 (3 adet asimptot olduğu için) yazarız.

olarak bulunur.

Asimptotların reel ekseni kestiği noktayı bulursak:

(kutupların toplamından sıfırların toplamı

çıkartılır ve asimptot sayısına bölünür)