SAVIJANJESavijanje nastaje uslijed djelovanja momenata savijanja u poprenim presjecima tapa. Moment savijanja jedan je od elemenata koji karakteriziraju unutarnju napregnutost u poprenom presjeku tapa i to moment s obzirom na os koja lei u ravnini presjeka i prolazi kroz teite presjeka. Prema tome, moment savijanja djeluje u ravnim okomitoj na ravninu poprenog presjeka tapa.

Momenti savijanja mogu se pojaviti u poprenim presjecima uslijed djelovanja vanjskih sila, koje mogu biti proizvoljno rasporeene u odnosu na os tapa. To ne vrijedi za sile (kod prizmatinog tapa) ije se linije djelovanja poklapaju s osi tapa (uzduno ili aksijalno optereenje), ni za momente vanjskih sila ije ravnine djelovanja stoje okomito na tu os (momenti uvijanja).

ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA) istim savijanjem

nazivamo savijanje tapa ili njegovog dijela, ako se u poprenim presjecima pojavljuje samo moment savijanja.

ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)U analizi deformacija i naprezanja pri istom savijanju pretpostavlja se slijedee:

a)Ravni popreni presjeci ostaju pri deformaciji tapa ravni i okomiti na savijenu os tapa (Bernoullieva hipoteza).b) Materijal tapa smatramo homogenim i izotropnim.c) Izmeu uzdunih vlakana nema nikakvog uzajamnog djelovanja sila.d) Normalna naprezanja proporcionalna su deformacijama (Hookeov zakon).

ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

Zamislimo li da smo na povrini elastinog tapa pravouglog presjeka prije deformacije ucrtali mreu uzdunih i poprenih linija dobili bismo nakon deformacije tapa ono to je prikazano ematski na, gdje se vidi da se poprene linije ne deformiraju, tj. one su okomite na uzduna vlakna tapa. To vrijedi nezavisno od oblika presjeka tapa. Na osnovu stupnja deformacije ucrtanih linija moe se izvesti zakljuak o deformacijama kako na povrini tapa, tako i u njegovoj unutarnjosti.

Eksperimentalnim putem je ustanovljeno da se teorija savijanja, osnovana na ovim pretpostavkama, dobro slae sa stvarnou, ukoliko je rije o odreivanju naprezanja u uzdunim vlaknima ili o progibu tapa.

ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)

NAPREZANJA I DEFORMACIJE Razmotrimo najprije deformaciju tapa Moment M = P a izaziva iskrivljenje uzdune osi tapa, koja se u tom obliku naziva elastina linija, je poluprenik zakrivljenosti elastine linije, a 1/ njezina zakrivljenost. Vertikalni pomak f take B zove se progib, a ugao naziva se ugao zakretanja.

Ako u tapu prije deformacije zamislimo dva beskonano bliska presjeka na meusobnoj udaljenosti dx, poslije deformacije oni vie nee biti paralelni, nego e uzajamno zatvarati ugao d . Pri tom e se slojevi tapa ispod elastine linije skratiti, a oni iznad nje produljiti. Sloj koji dijeli produljene slojeve od skraenih zove se neutralni sloj. Vlakna u tom sloju ne mijenjaju svoju duljinu. Linija presjeka neutralnog sloja s poprenim presjekom tapa zove se neutralna os (ovdje je ona ujedno os z poprenog presjeka tapa).

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

NAPREZANJA I DEFORMACIJERelativno produljenje x vlakana na udaljenosti y od neutralnog sloja odreeno je izrazom:

Relativna produljenja vlakana proporcionalna su njihovoj udaljenosti y od neutralnog sloja. Raspodjelu naprezanja u poprenom presjeku tapa, nalazimo promatrajui beskonano mali element tapa duljine dx, mjerene u neutralnom sloju Zbog uzajamnog djelovanja tog elementa s ostalim dijelovima tapa pojavit e se u svakoj taki presjeka elementa normalna naprezanja x, koja su usmjerena paralelno s uzdunom osi tapa. Njihova veliina zavisi od relativnog produljenja vlakna, koje prolazi kroz zadanu toku, te od modula elastinosti E materijala. Na osnovu Hookeova zakona imamo:

NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Odatle slijedi da se normalna naprezanja pri istom savijanju mijenjaju po visini h presjeka proporcionalno s udaljenou y od neutralnog sloja. Taj zakon raspodjele normalnih naprezanja vrijedi strogo samo za presjeke koji su dovoljno udaljeni od mjesta u kojem djeluje vanjsko optereenje sprega sila P a. Udaljenost tih presjeka zavisi od naina na koji vanjsko optereenje djeluje na krajnji presjek.

NAPREZANJA I DEFORMACIJEPoluprenik zakrivljenosti konstantan u svim takama elastine linije, to znai da se tap savija po krunom luku poluprenika :

NAPREZANJA I DEFORMACIJENaprezanja na nekoj udaljenosti od neutralne osi odreena su izrazom

Ako prizmatiki tap nije simetrinog presjeka po visini najvea naprezanja, na najveim udaljenostima od neutralne osi odreena su izrazima:

NAPREZANJA I DEFORMACIJES pomou formula koje izraavaju momente inercije za pravougli i kruni presjek dobivamo za pravougli presjek:

odnosno za kruni presjek:

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ISTOM SAVIJANJU Ispitivanja tapova od mekog elika pri istom savijanju pokazuju da se zavisnost izmeu momenta savijanja M i ugla zakreta moe prikazati grafiki dijagramom prema slici, koji je slian dijagramu rastezanja.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ISTOM SAVIJANJURazmotrimo ponaanje materijala pri istom savijanju, prema slici. Od poetka optereenja do toke A moment savijanja M raste u zavisnosti od ugla po linearnom zakonu. Toka A odgovara granici proporcionalnosti materijala. Naprezanje u krajnjim tokama presjeka, primjerice simetrinog s obzirom na os z, odreeno je formulom:

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ISTOM SAVIJANJUPri daljnjem poveanju ugla nastaje razvlaenje materijala. U poetku procesa razvlaenje se pojavljuje u tokama s najveim normalnim naprezanjem, tj. u krajnjim vlaknima. Zatim se razvlaenje iri u dubinu prema neutralnom sloju.

Kada u svim takama presjeka, i to kako u rastegnutoj, tako i u sabijenoj zoni naprezanja dostignu granicu razvlaenja, moment savijanja u toku kraeg perioda vremena ostaje konstantan. U tom se sluaju, ako uzmemo presjek koji je nesimetrian s obzirom na os z, dijagram raspodjele normalnih naprezanja moe prikazati s pomou dva pravokutnika, prema slici.

Na dijagramu savijanja razvlaenju materijala odgovara horizontalni dio krivulje u blizini take B.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ISTOM SAVIJANJUPoetak razvlaenja materijala tapa manifestira se pojavom Luedersovih linija na vanjskoj povrini tapa (osobito na poliranoj povrini). To su zapravo sitne naprsline, sline onima pri rastezanju tapa. Kod savijanja tapa te su linije obino nagnute pod uglom od 45 prema uzdunoj osi tapa i nastaju kao posljedica djelovanja najveih tangencijalnih naprezanja.

PRORAUN VRSTOE PRI SAVIJANJU Veinom se proraun grede optereene na savijanje vri prema najveem normalnom naprezanju koje se pojavljuje u poprenim presjecima. Pri tome mora biti zadovoljen uslov vrstoe:

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ISTOM SAVIJANJUU proraunu grede treba nastojati da momenti otpora W1 i W2 imaju najveu moguu vrijednost pri najmanjoj povrini A presjeka, tj. pri najmanjoj teini grede. Pod tim uslovima imat emo najmanja naprezanja 1 i 2, jer su ona obrnuto proporcionalna vrijednostima W1 i W2. Poveanje momenta otpora zahtijeva da se povea moment inercije Iz, koji e biti to vei, to je vei dio povrine presjeka grede koncentriran na veoj udaljenosti od neutralne osi.

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ISTOM SAVIJANJUOdnos izmeu momenta otpora Wz nekog presjeka i idealnog momenta otpora Wi naziva se stepen iskoritenja presjeka:

to je oblik presjeka blii idealnom presjeku, to je vei . Njegova je vrijednost uvijek manja od 1, jer je za veinu taaka stvarnih presjeka:

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ISTOM SAVIJANJUVrijednosti za neke najvanije oblike presjeka:

Kruni presjek = 25%

Pravokutni presjek = 33,3%

Presjek I = 61 - 65%

Presjek = 59 - 61%

Presjek = 57 - 60%

OPTII SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA) Pri prouavanju napregnutog stanja pretpostavljamo da smo redukcijom svih vanjskih sila koje djeluju na desni dio horizontalne grede pravouglog presjeka (prema slici), s obzirom na teite S presjeka na udaljenosti x od lijevog oslonca, dobili oba vektora diname, od kojih vektor rezultante ima samo vertikalnu komponentu Q (poprena sila), a vektor momenta redukcijskog sprega sila samo horizontalnu komponentu Ms (moment savijanja).

Prema tome, osim momenta savijanja, koji izaziva normalna naprezanja , pojavit e se i tangencijalna naprezanja kao posljedica djelovanja poprene sile Q.

OPI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

OPI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)Za ovaj primjer optereenja prizmatinog tapa obino se uzimaju ove pretpostavke:

a) progibe tapa smatramo malim,b) izmeu uzdunih vlakana tapa ne postoje nikakve unutarnje sile u pravcu normale na ta vlakna,c) normalna naprezanja uslijed momenta savijanja mijenjaju se po visini presjeka prema linearnom zakonu (Navierova hipoteza)

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)U poprenim presjecima grede djeluju tangencijalna naprezanja xy= uslijed poprene sile Q. U uzdunim presjecima elementa tangencijalna naprezanja xy jednaka su naprezanjima yx , jer djeluju u dvjema meusobno okomitim ravninama, tj.

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA) S je statiki moment dijela povrine s obzirom na neutralnu os z:

Odredimo vrijednost S za pravougli presjek tapa:

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)Za pravougli popreni presjek tapa raspored tangencijalnih naprezanja, po uvrtenju prethodnih relacija, odreen je izrazom:

U granicama visine pravokutnog presjeka tangencijalna naprezanja mijenjaju po zakonu parabole. Ako je y = h/2 i y = h/2 naprezanja su jednaka nuli, a za y = O dobivaju maksimalnu vrijednost:

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)Ako stavimo da je i F = b h, nalazimo:

gdje je k = 3/2 koeficijent koji obuhvata nejednolikost raspodjele tangencijalnih naprezanja, a Q/F srednje tangencijalno naprezanje, koje dobivamo kad poprenu silu podijelimo s povrinom poprenog presjeka grede. Prema tome, najvee tangencijalno naprezanje pri savijanju je kod pravokuglog presjeka 1,5 puta vee od srednjeg naprezanja, koje bismo dobili pri jednolikoj raspodjeli tangencijalnih naprezanja po presjeku.

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMAPostojanje tangencijalnih naprezanja u uzdunim presjecima tapa moe se najbolje pokazati s pomou paketa dasaka prema slici (a). Pri savijanju takvog tapa poprenim optereenjem P daske e se uzajamno pomaknuti kao to je pokazano na slici (b). U tapu iz jednog komada nema takvih pomaka, ali se zato u uzdunim presjecima pojavljuju tangencijalna naprezanja slike (c) i (d).

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMATangencijalna naprezanja zavise od poprene sile Q, a po visini presjeka, raspodijeljena su po zakonu parabole. Ugaona deformacija zavisi i od sile Q i mijenja se po paraboli. U neutralnom sloju ona ima najveu vrijednost, dok je u krajnjim vlaknima jednaka nuli.

Zbog nejednakosti raspodjele ugaonih deformacija po visini presjeka tapa nastaje iskrivljenje ili deplanacija presjeka, kao to je to pokazano na slici (d). Poprena sila Q = P konstantna du cijelog tapa, prouzroit e deplanaciju za sve presjeke jednako.

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMAIstovremeno s deplanacijom presjeka pojavljuje se pri savijanju tapa jo i uzajamni zakret presjeka zbog djelovanja momenta savijanja M. Pri jednakoj deplanaciji presjeka relativna produljenja uzdunih vlakana bit e proporcionalna udaljenosti y od neutralnog sloja.

Normalna naprezanja u vlaknima koja su odreena Hookeovim zakonom, uz pretpostavku da je materijal homogen i izotropan, bit e takoer proporcionalna udaljenosti y. Na taj je nain potvrena ispravnost usvojene pretpostavke o linearnoj raspodjeli normalnih naprezanja zbog momenta savijanja (Navierova hipoteza).

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU Pri proraunu nosaa na savijanje esto nije dovoljno da najvea naprezanja budu uvijek manja od doputenih naprezanja, ve se zahtijeva da i najvea deformacija ne bude vea od unaprijed odreene vrijednosti.

Osim toga, pri proraunu statiki neodreenih nosaa dopunski broj jednadbi dobiva se iz uslova deformacija u osloncima. Na primjer, kod osovine koja se svojim krajevima oslanja u leajevima, pri emu se zahtijeva da njezini rukavci zadravaju stalno svoj pravac, ne mogu se odrediti momenti savijanja i poprene sile dok se prethodno ne odrede deformacije uzdune osi osovine.

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJUIz slike imamo:

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJUKako u praksi imamo vrlo male deformacije (najvei progib u l, a tome odgovara najvei nagib tangente od 1), uzima se da su:ds = dx i = d ;

Ugao zakreta presjeka jednak je prvoj derivaciji po x progiba u promatranom presjeku. Prema tome, odreivanje deformacija grede pri savijanju svodi se na formuliranje jednadbe savijene osi grede u obliku y = y(x). Kada znamo tu jednadbu, moemo deriviranjem nai ugao nagiba tangente za bilo koji presjek grede.

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJUPriblina diferencijalna jednadba elastine linije odreena je relacijama. Ako M zavisi samo od x (najee), onda dvostrukim integriranjem dobivamo jednadbu elastine linije y = f(x). Izrazi za elastinu liniju vrijede openito, bez obzira na nain oslanjanja grede, pod uvjetom da tangenta na elastinu liniju zatvara mali kut s osi x.