§2.6 MATLAB 在导数中的应用 在MATLAB 里由命令函数 diff() 来完成求导运算，其具

体形式为： diff(function,’variable’,n)

参数 function 为需要进行求导运算的函数， variable 为求导运算的独立变量， n 为求导的阶次 . 命令函数 diff() 默认求导的阶次为 1 阶；如果表达式里有多个符号变量，并且没有在参数里说明，则按人们习惯的独立变量顺序确定进行求导的变量 .

案例2.22

案例2.25案例2.24

案例2.23

案例 2.22 某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为

2( ) 10x

p p x e

且最大需求量为 6，其中 x表示需求量，p表示价格.试求： （1） 商品的收益函数与边际收益函数； （2）使收益最大的产量、最大收益和相应的价格.

解 设收益函数为 ( )R R x

（1） 210x

R px xe

边际收益函数 2 210 5x x

R e xe

= 25 (2 )x

e x

（2）令 0R ，得 2x ， (2) 0R

可知当 2x 时，收益最大，最大收益为 20

7.39Re

， 此 时 商 品 的 单 价 为10

pe

3.69 .

用Matlab 的求解过程：>> clear ％清除内存内保存的变量>> syms x ％定义变量>> y=10*x*exp(-x/2); ％收益函数>> dy1=diff(y) ％对收益函数 y 求一阶导 数得边际收益函数 dy1 =10*exp(-1/2*x)-5*x*exp(-1/2*x)>> Px=solve(dy1) ％求边际收益函数 dy1 的驻点 Px =2

>> dy2= diff(dy1) %求 dy1 的一阶导数即 y 的二阶导数， % 此时也可用命令 diff(y,2) 来求dy2 =-10*exp(-1/2*x)+5/2*x*exp(-1/2*x)>> x=Px; >> dy2dy2=-1.8394>>yy =7.3576

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案例 2.23 一辆公共汽车能容纳 60人，租用该辆车每次旅行乘客人数 x和支付的费用 p（美元）之间的关系由法则 2[3 ( / 40)]p x 给出.写出公共汽车公司得到的每次旅行的总收入 ( )r x 的表达

式，使边际收入dr

dx等于零的每次旅行的人数为多

少？相应的费用为多少？（这个费用是使收入最大的费用，所以公共汽车公司或许应重新考虑其政策）.

解 总收入 ( )r x = 2(3 )40

xxp x 0 60x

3 (3 )(1 )40 40

dr x x

dx

令 dr

dx=0，得 40x ， 120x （舍）

（当 40x 时，由于2

20

d r

dx ，因此此时的总收入

最大，可采用） 此时的费用 2[3 (40 / 40)]p =4

用Matlab 的求解过程：>> syms x r p % 定义变量>> r=x*(3-(x/40))^2; ％总收入>> dr1=diff(r)dr 1=(3-1/40*x)^2-1/20*x*(3-1/40*x)>> Pr=solve(dr1)Pr =[ 40][ 120]

>> dr2=diff(dr1)dr2 =-3/10+3/800*x>> x=40;>> dr2dr2 = -0.1500>> p=(3-(x/40))^2p = 4

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案例 2.24 设某商品需求量Q对价格p的函数关系为： 1

1600( )4

pQ .求：需求Q对

价格 p的弹性函数.又当价格 p上涨 1%时，需求Q将减少多少？

解

( )EQ p

Q pEp Q

= 11600 ( ) ln4

1 41600 ( )4

p

p

p

= ln4p

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用Matlab的求解过程： >> syms p >> Q1=diff(1600*(1/4)^p) ％边际需求 Q1= -1600*(1/4)^p*log(4) >> Q2=-(p/(1600*(1/4)^p))*Q1 ％需求弹性函数

Q2 =p*log(4)

当价格 p上涨 1%时，需求量 Q将减少 ln4p %.

案例 2.25 假设某种商品的需求量 Q 是单价 p （单位：元）的函数

12000 80Q p ，商品的总成本C是需求量Q的函数 25000 50C Q .每单位商品需要纳税 2元，试求：使销售利润达到最大的商品单价和最大利润额.

解 设利润函数 L为需求量Q的函数，即 ( ) (25000 50 ) 2L p P Q Q Q

12000(25000 50 ) 2

80

QQ Q Q

（ 0Q ）

( ) 9840

QL Q

令 ( ) 0L Q ，得 3920Q ，它是唯一驻点. 1

( ) 040

L Q ，故当 3920Q 时使销售利润

最大.此时 101p ，最大利润 L=167080

用Matlab 的求解过程：>> syms p q>> L=((12000-q)/80)*q-(25000+50*q)-2*q;>> dL=diff(L) dL =-1/40*q+98 >> Pq=solve(dL)Pq = 3920

>> dL2=diff(dL) dL2 =-1/40>> P1=solve(12000-80*p-3920)P1 = 101>> L0=((12000-Pq)/80)*Pq-(25000+50*Pq)-2*PqL0 = 167080

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