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29. IIRフィルタの設計29. Design of Infinite Impulse Response Filter
このテーマの要点 IIRフィルタの構成法を理解する
IIRフィルタの特性について理解を深める
教科書の該当ページ 8.3 ディジタルフィルタ [p.146]
!IIRフィルタの設計法 [p.155]
IIRフィルタ
H(z) =b0 + b1 z
− 1
+ b2 z −
2
+ ... + bK z −
K
1 − (a1 z −
1
+ a2 z −
2
+ ... + aM z −
M
)
y(n) = ∑ am y (n− m) + ∑ bk u (n− k)M
m = 1
K
k = 0
! 応答が無限! 安定性に条件あり! 零位相・直線位相は近似! 低次でも良好な f 特
設計法 ● アナログフィルタのH(z)を変換
● 希望特性を直接近似
インパルス不変法, 双一次変換法
2
インパルス不変法 (標準 z 変換法)
アナログフィルタのインパルス応答を離散化して H(z) を求める方法 アナログフィルタ
! 伝達関数 HA(s)HA (ω )
0 ω! インパルス応答 hA(t)
0 t
hA (t ) T 間隔でサンプリング
ディジタルフィルタ
! インパルス応答 h(n) = hA(nT )
h (n )
0 n
z 変換! 伝達関数 H(z)
H (Ω )
0 Ω
※ 離散化によってスペクトルが折り返すエイリアシングに注意
! LPF, BPFのみ設計可能! 十分な減衰特性を有すること
インパルス不変法の手順
① HA(s)を部分分数展開
② 各要素をラプラス逆変換
③ 展開式の要素の和
HA(s) =b0(s − σ1)(s − σ2) ••• (s − σm)(s − λ 1)(s − λ 2) ••• (s − λ n)
= + + ••• +p1
s − λ 1
p2
s − λ 2
pn
s − λ n (8.48)
hAi (t) = pi e λ i t (8.49)
T 間隔でサンプリングhi (n) = hAi (nT ) = pi e λ
i nT (8.50)
z 変換
Hi (z) = pi
1 − e λ i T z
− 1
zz − e λ
i T = pi (8.51)
要はこの置き換えを行う
H(z) = ∑ pi
n
i = 1
zz − e λ
i T
(8.52)
※ 振幅の調整が必要
3
例題 教科書演習問題 [4]
HA(s) =1
s2 + 3s + 2 と等価なディジタルフィルタのH(z)を求めよ
① HA(s)を部分分数展開1
(s + 2)(s + 1)HA(s) = = −1
s + 11
s + 2
② 各要素を変数変換pi
s − λi
pi
1 − e λ i T z
− 1
H(z) = − 11 − e − 2T z
− 1
11 − e −T z
− 1
= − zz − e − 2T
zz − e −T
=ze −T(1 − e −T )
z2 − (e −T+ e − 2T )z + e − 3T
2次LPFの設計例1
特性
バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) =ω0
2
s2 + 2 ω0 s + ω0
2
① 部分分数展開
HA(s) =j 2ω0 /2
s + 2 (1+ j )ω0 /2j 2ω0 /2
s + 2 (1− j )ω0 /2−
② 変数変換
pi
s − λi
pi
1 − e λ i T z
− 1
H(z) =j 2ω0 /2
1− e −
2(1+
j
)ω
0T /2 z
− 1−
j 2ω0 /21− e
−
2(1− j
)ω
0T /2 z
− 1
③ 数値代入
H(z) = 4442.822 z −
1
1− 1.158046 z −
1
+ 0.411241 z −
2
④ 振幅調整
z = e j
0T
= 1のとき
H(z) = 1
分子 = 0.253195 z −
1
4
回路の構成1
H(z) = 0.253195 z −
1
1− 1.158046 z −
1
+ 0.411241 z −
2
=b1
z −
1
1− a1 z −
1
− a2 z −
2
FF部分
FB部分
b1 = + 0.253195a1 = + 1.158046a2 = − 0.411241
u(n)
z −
1
+
y(n)b1+ a1
z −
1
a2
双一次変換法
双一次変換と呼ばれるs→z 変換を行い H(z) を定める方法
① 対応するデジ・アナ遮断周波数を計算
② 双一次変換
ωA = tanπ ωDωs
ωs:サンプリング角周波数
s 1 − z −
1
1 + z −
1
HA(s) H(z)
※ 振幅の調整が必要
5
双一次変換の概念
アナログフィルタの周波数特性を tan によって写像
ωA
ωD
ωA = tanπ ωDωs
HA(s
)
∞特性は無限
H(z) ωs /2 特性は有限(繰り返し)
無限の範囲を有限に写像
2次LPFの設計例2
特性
バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) =ω0
2
s2 + 2 ω0 s + ω0
2
① アナログ遮断周波数ωA0 = tan
π ωD0ωs
= tan 0.1π = 0.324920 rad/s
HA(s) に代入
HA(s) = 0.105573s2
+ 0.459506 s + 0.105573
② 双一次変換
s 1 − z −
1
1 + z −
1
H(z) = 0.067455 + 0.134910 z −
1
+ 0.067455 z −
2
1 − 1.142980 z −
1
+ 0.412802 z −
2
④ 振幅調整 この場合不要
6
回路の構成2
H(z) = 0.067455 + 0.134910 z −
1
+ 0.067455 z −
2
1 − 1.142980 z −
1
+ 0.412802 z −
2
=b0 + b1
z −
1
+ b2 z −
2
1− a1 z −
1
− a2 z −
2
FF部分
FB部分
b0 = + 0.067455b1 = + 0.134910b2 = + 0.067455a1 = + 1.142980a2 = − 0.412802 z
− 1
u(n)
z −
1
+ y(n)
b1 +
+
b2
b0
+ a1
a2
安定性と特性比較
極の写像
インパルス不変法
安定
s平面
Re
ImπT
j
πT
− j
双一次変換法
安定
s平面
Re
Im
Re(z)
Im(z)
1−1
− j
j
z平面
z = e a
+
j
Ω
a < 1 で収束
設計例1,2の特性比較
双一次変換
インパルスLPF
双一次変換
インパルス
HPF