2.Cac Chuyen de Boi Duong Hoc Sinh Gioi Toan Lop 7

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7

1

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ...

Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n

c) ( 1)

2

n n

d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1)

g) ( 3)

2

n n

h) ( 1)( 2)

2

n n

i) ( 1)( 2)

3

n n n

Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2

b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 Hướng dẫn:

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.


2

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 Hướng dẫn:

1

2A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100

A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+...+4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)



3

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+...+992+1002

Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2

A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+...+982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+...+492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+...+972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002) A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+...+992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)



4

Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+...+993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)

A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 98.99+(12+22+32+...+992+1002)

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+...+983+1003

Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+...+973+993

Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+...+993-1003

Hướng dẫn:



5

Chuyên đề:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I. TỈ LỆ THỨC

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số d

c

b

a (hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay

ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu d

c

b

a thì bcad

Tính chất 2: Nếu bcad và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

d

c

b

a ,

d

b

c

a ,

a

c

b

d ,

a

b

c

d

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ d

c

b

a suy ra:

db

ca

db

ca

d

c

b

a

-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

f

e

d

c

b

a suy ra: ...

fdb

cba

fdb

cba

f

e

d

c

b

a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 532

cba ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5



6

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 32

yx và 20 yx

Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt kyx

32 , suy ra: kx 2 , ky 3

Theo giả thiết: 4205203220 kkkkyx

Do đó: 84.2 x

124.3 y

KL: 12,8 yx

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

45

20

3232

yxyx

Do đó: 842

xx

1243

yy

KL: 12,8 yx

Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết 3

2

32

yx

yx

mà 12605203

220 yyy

yyx

Do đó: 83

12.2x



7

KL: 12,8 yx

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 43

yx ,

53

zy và 632 zyx

Giải:

Từ giả thiết: 12943

yxyx (1)

201253

zyzy (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 20129

zyx (*)

Ta có: 32

6

203618

32

2036

3

18

2

20129

zyxzyxzyx

Do đó: 2739

xx

36312

yy

60320

zz

KL: 60,36,27 zyx

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt kzyx

20129

( sau đó giải như cách 1 của

VD1).

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

5

3

53

zy

zy

20

9

45

3.3

4

3

43

zz

yx

yx

mà 606010

65

3.3

20

9.2632 z

zz

zzzyx

Suy ra: 365

60.3y , 27

20

60.9x

KL: 60,36,27 zyx



8

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 52

yx và 40. yx

Giải:

Cách 1: (đặt ẩn phụ)

Đặt kyx

52 , suy ra kx 2 , ky 5

Theo giả thiết: 244010405.240. 22 kkkkkyx

+ Với 2k ta có: 42.2 x

102.5 y

+ Với 2k ta có: 4)2.(2 x

10)2.(5 y

KL: 10,4 yx hoặc 10,4 yx

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Hiển nhiên x 0

Nhân cả hai vế của 52

yx với x ta được: 8

5

40

52

2

xyx

4

162

x

x

+ Với 4x ta có 102

5.4

52

4 y

y

+ Với 4x ta có 102

5.4

52

4

y

y

KL: 10,4 yx hoặc 10,4 yx

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 21610

zyx và 2825 zyx b)

43

yx ,

75

zy và 12432 zyx

c) 5

4

4

3

3

2 zyx và 49 zyx d)

32

yx và 54xy



9

e) 35

yx và 422 yx f) zyx

yx

z

xz

y

zy

x

211


a) 21610

zyx và 2825 zyx b)

43

yx ,

75

zy và 12432 zyx

c) 5

4

4

3

3

2 zyx và 49 zyx d)

32

yx và 54xy

e) 35

yx và 422 yx f) zyx

yx

z

xz

y

zy

x

211


a) zyyx 57,23 và 32 zyx b) 4

3

3

2

2

1

zyx và 5032 zyx

c) zyx 532 và 95 zyx d) 532

zyx và 810xyz

e) zyxz

yx

y

xz

x

zy

1321 f) yx 610 và 282 22 yx


a) zyyx 57,23 và 32 zyx b) 4

3

3

2

2

1

zyx và 5032 zyx

c) zyx 532 và 95 zyx d) 532

zyx và 810xyz

e) zyxz

yx

y

xz

x

zy

1321 f) yx 610 và 282 22 yx

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:

x

yyy

6

61

24

41

18

21

Bài 6: Tìm x, y biết rằng:

x

yyy

6

61

24

41

18

21

Bài 7: Cho 0 dcba và cba

d

dba

c

dca

b

dcb

a

Tìm giá trị của: cb

ad

ba

dc

da

cb

dc

baA



10

Giải: 1

3( ) 3

a b c d a b c d

b c d a c d a b d a b c a b c d

( Vì 0 dcba )

=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b

Tương tự =>a=b=c=d=>A=4

Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) x 7

y 3 và 5x – 2y = 87; b)

x y

19 21 và 2x – y = 34;

b) 3 3 3x y z

8 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14. c)

2x 1 3y 2 2x 3y 1

5 7 6x

Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :

a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y)

Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai

lần tổng của a và b ? Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c, ,

b c c a a b . Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.

Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh

của trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

0)1(22.2 22 abababdccdabab

thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Giải: 2 22 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm



11

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức: D

C

B

A ta thường dùng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C

Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số B

A và

D

C có cùng giá trị.

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

Một số kiến thức cần chú ý:

+) )0( nnb

na

b

a

+) nn

d

c

b

a

d

c

b

a

Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức d

c

b

a .Chứng minh rằng:

dc

dc

ba

ba

Giải:

Cách 1: (PP1)

Ta có: bdbcadacdcba ))(( (1)

bdbcadacdcba ))(( (2)

Từ giả thiết: bcadd

c

b

a (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ))(())(( dcbadcba

dc

dc

ba

ba

(đpcm)

Cách 2: (PP2)

Đặt kd

c

b

a , suy ra dkcbka ,

Ta có: 1

1

)1(

)1(

k

k

kb

kb

bkb

bkb

ba

ba (1)



12

1

1

)1(

)1(

k

k

kd

kd

dkd

dkd

dc

dc (2)

Từ (1) và (2) suy ra: dc

dc

ba

ba

(đpcm)

Cách 3: (PP3)

Từ giả thiết: d

b

c

a

d

c

b

a

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

dc

ba

dc

ba

d

b

c

a

dc

dc

ba

ba

(đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng không ?

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức d

c

b

a . Chứng minh rằng:

22

22

dc

ba

cd

ab

Giải:

Cách 1: Từ giả thiết: bcadd

c

b

a (1)

Ta có: adbdacbcabdabcdcab 2222 (2)

bdbcacadcdbcdabacd .2222 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 2222 bacddcab

22

22

dc

ba

cd

ab

(đpcm)

Cách 2: Đặt kd

c

b

a , suy ra dkcbka ,



13

Ta có: 2

2

2

2

.

.

d

b

kd

kb

ddk

bbk

cd

ab (1)

2

2

22

22

222

222

22

22

22

22

1

1

)(

)(

d

b

kd

kb

dkd

bkb

ddk

bbk

dc

ba

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: 22

22

dc

ba

cd

ab

(đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết: 22

22

2

2

2

2

dc

ba

d

b

c

a

cb

ab

d

b

c

a

d

c

b

a

22

22

dc

ba

cd

ab

(đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: d

c

b

a . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết

các tỉ số đều có nghĩa).

1) dc

dc

ba

ba

53

53

53

53

2)

22

222

dc

ba

dc

ba

3) dc

dc

ba

ba

4)

2

2

dc

ba

cd

ab

5) dc

dc

ba

ba

43

52

43

52

6)

ba

dc

dc

ba

20072006

20062005

20072006

20062005

7) dc

c

ba

a

8)

bdb

bdb

aca

aca

57

57

57

572

2

2

2

Bài 2: Cho tỉ lệ thức: d

c

b

a .

Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).



14

a) dc

dc

ba

ba

53

53

53

53

b)

22

222

dc

ba

dc

ba

c)

dc

dc

ba

ba

d) 2

2

dc

ba

cd

ab

e)

dc

dc

ba

ba

43

52

43

52

f)2008 2009 2008 2009

2009 2010 2009 2010

a b c d

c d a b

g) dc

c

ba

a

h)

bdb

bdb

aca

aca

57

57

57

572

2

2

2

i)

2 2

2 2 2 2

7a 3ab 7c 3cd

11a 8b 11c 8d

Bài 3: Cho d

c

c

b

b


d

a

dcb

cba

3

Bài 4: Cho d

c

c

b

b


d

a

dcb

cba

3

Bài 5: Cho 200520042003

cba

Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba

Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 3 20081 2

2 3 4 2009

a aa a...

a a a a

CMR: Ta có đẳng thức: 2 008

1 2 3 20 081

20 09 2 3 4 200 9

a a a ... aa

a a a a ... a

Bài 7: Cho 1

9

9

8

3

2

2

1 ...............a

a

a

a

a

a

a

a và 0... 921 aaa

Chứng minh rằng: 921 ... aaa

Bài 8: Cho 200520042003

cba

Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba



15

Bài 9: Chứng minh rằng nếu : d

b

b

a thì

d

a

db

ba

22

22

Bài 10: Cho 1

9

9

8

3

2

2

1 ...............a

a

a

a

a

a

a

a và 0... 921 aaa

Chứng minh rằng: 921 ... aaa

Bài 11: CMR: Nếu bca 2 thì ac

ac

ba

ba

. Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu : d

b

b

a thì

d

a

db

ba

22

22

Bài 13: Cho dc

dc

ba

ba

. CMR:

d

c

b

a

Bài 14. Cho tỉ lệ thức : 2 2

2 2

a b a b

c d c d

. Chứng minh rằng: a c

b d .

Giải. Ta có : cd

ab

dc

ba

22

22

=

dc

ba

dcdc

baba

cd

ab

dc

ba

dcdc

baba

cd

ab

.

.

2

2

2

22

2

22

22

;

d

c

b

aadcbadaccbca

bdca

bdca

dbda

bdbc

adac

cbca

bad

dcb

dca

bac

1

Bài 15: Chứng minh rằng nếu: 3

3

2

2

v

v

u

u thì

32

vu

Bài 16: CMR: Nếu bca 2 thì ac

ac

ba

ba

. Đảo lại có đúng không?

Bài 17: CMR nếu )()()( yxcxzbzya

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : )()()( bac

yx

acb

xz

cba

zy

Bài 18: Cho dc

dc

ba

ba

. CMR:

d

c

b

a



16

Bài 19: Cho d

c

b

a . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc

Chứng minh rằng: tdzc

ydxc

tbza

ybxa

Bài 20: Chứng minh rằng nếu: 3

3

2

2

v

v

u

u thì

32

vu

Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb 22 ;

và 0333 dcb

Chứng minh rằng: d

a

dcb

cba

333

333

Bài 22: CMR nếu )()()( yxcxzbzya .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì

: )()()( bac

yx

acb

xz

cba

zy

Bài 23: Cho 11

21

2

cxbxa

cbxaxP

. Chứng minh rằng nếu

111 c

c

b

b

a

a thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x.

Bài 24: Cho biết : ' '

' '

a b b c1; 1

a b b c . CMR: abc + a’b’c’ = 0.

Bài 25: Cho d

c

b

a . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc

Chứng minh rằng: tdzc

ydxc

tbza

ybxa

Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb 22 ; và 0333 dcb

Chứng minh rằng: d

a

dcb

cba

333

333



17

Bài 27: Cho 11

21

2

cxbxa

cbxaxP

. Chứng minh rằng nếu

111 c

c

b

b

a

a thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x.

Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d

3a 7 b 3c 7 d

; Chứng minh rằng: a c

b d .

Bài 29: Cho dãy tỉ số : b z cy cx az ay b x

a b c

; CMR: x y z

a b c .

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A> MỤC TIÊU Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,

rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.

B> THỜI LƯỢNG Tổng số :(6 tiết) 1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 1. Lý thuyết

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực)

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu aaa 0

Nếu aaa 0

Nếu x-a 0=> | |x-a = x-a



18

Nếu x-a 0=> | |x-a = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm TQ: 0a với mọi a R

Cụ thể:

| |a =0 <=> a=0

| |a ≠ 0 <=> a ≠ 0

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

TQ:

ba

baba

* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: aaa và 0;0 aaaaaa

* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu baba 0

* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn TQ: Nếu baba 0

* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. TQ: baba ..

* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.

TQ: b

a

b

a

* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.

TQ: 22aa

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. TQ: baba và 0. bababa

2. Các dạng toán : I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1. Dạng 1: kA(x) ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

* Cách giải: - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) - Nếu k = 0 thì ta có 0)(0)( xAxA

- Nếu k > 0 thì ta có:

kxA

kxAkxA

)(

)()(



19

Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) 452 x b) 4

12

4

5

3

1 x c)

3

1

5

1

2

1 x d)

8

712

4

3 x

Giải

a 1) | |x = 4

x= 4 a

2) 452 x

2x-5 = 4 * 2x-5 = 4 2x = 9 x = 4,5 * 2x-5 = - 4 2x =5-4 2x =1 x =0,5 Tóm lại: x = 4,5; x =0,5

b)4

12

4

5

3

1 x

5

4-2x =

13 -

14


a) 2

1322 x b) 5,42535,7 x c) 15,275,3

15

4x


a) 51132 x b) 312

x

c) 5,32

1

5

2 x d)

5

12

3

1x


a) %54

3

4

1x b)

4

5

4

1

2

32

x c)

4

7

4

3

5

4

2

3 x d)

6

5

3

5

2

1

4

35,4 x


a) 23

1:

4

95,6 x b)

2

7

5

14:

2

3

4

11 x c) 3

2

1

4

3:5,2

4

15 x d)

63

2

4:3

5

21

x

2. Dạng 2: B(x)A(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách giải:

Vận dụng tính chất:

ba

baba ta có:

)()(

)()()()(

xBxA

xBxAxBxA




20

a) 245 xx b) 02332 xx c) 3432 xx d) 06517 xx

a) 245 xx

* 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2

x= 13

Vậy x= 1,5; x= 13


a) 142

1

2

3 xx b) 0

5

3

8

5

2

7

4

5 xx c)

4

1

3

4

3

2

5

7 xx d) 05

2

1

6

5

8

7 xx

3. Dạng 3: B(x)A(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:

)()( xBxA (1)

Điều kiện: B(x) 0 (*)

(1) Trở thành

)()(

)()()()(

xBxA

xBxAxBxA ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều

kiện ( * ) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu aaa 0

Nếu aaa 0

Ta giải như sau: )()( xBxA (1)

Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

VD1: Giải :

a0) Tìm x Q biết

x+25 =2x

* Xét x+ 25

0 ta có x+ 25

=2x



21

*Xét x+ 25 < 0 ta có x+

25 =- 2x


a) xx 232

1 b) 231 xx c) 125 xx d) 157 xx

Bài 3.2: Tìm x, biết: a) xx 29 b) 235 xx c) xx 296 d) 2132 xx

Bài 3.3: Tìm x, biết: a) xx 424 b) xx 213 c) xx 3115 d) 252 xx

Bài 3.4: Tìm x, biết: a) 152 xx b) xx 123 c) 1273 xx d) xx 112

Bài 3.5: Tìm x, biết: a) xx 55 b) 77 xx c) xx 3443 d) xx 2727

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

mxCxBxA )()()(

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết rằng 1 3 2 1x x x (1)

Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x

Giải Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 < 0 x < 1; x – 1 > 0 x > 1 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 < 0 x < 3; x – 3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây: Xét khoảng x < 1 ta có: (1) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

-2x + 4 = 2x – 1

x = 5

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng 1 x 3 ta có: (1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 2 = 2x – 1

x = 3

2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

x 1 3 x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 +



22

Xét khoảng x > 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1 - 4 = -1 ( Vô lí)

Kết luận: Vậy x = 3

2.

VD2 : Tìm x

| |x+1 + | |x-1 =0 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu

x -1 1 x+1 - 0 + + x-1 - - 0 +

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x<-1 Nếu -1 x 1 Nếu x >1

Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 123752134 xxxx b) 59351243 xxxx

c) 2,15

18

5

1

5

12 xx d) xxx

5

12

2

13

2

132

Bài 4.2: Tìm x, biết: a) 8362 xx

c) 935 xx d) 2432 xxx

e) 6321 xxx f) 11422 xx


a) 98232 xxx b) 122213 xxxx

c) 422331 xxx d) xxx 215

e) 132 xxx f) 31 xxxx

Bài 4.4: Tìm x, biết: a) 352 xx b) 853 xx

c) 45212 xx d) 12433 xxx

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: )D(xC(x)B(x)A(x) (1)

Điều kiện: D(x) 0 kéo theo 0)(;0)(;0)( xCxBxA

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

Bài 5.1: Tìm x, biết: a) xxxx 4321 b) 154321 xxxxx



23

c) xxxx 42

1

5

32 d) xxxxx 54,13,12,11,1


a) xxxxx 101101

100...

101

3

101

2

101

1

b) xxxxx 100100.99

1...

4.3

1

3.2

1

2.1

1

c) xxxxx 5099.97

1...

7.5

1

5.3

1

3.1

1

d) xxxxx 101401.397

1...

13.9

1

9.5

1

5.1

1

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết:

a) 5

4

2

112 x b) 2

2

12 22 xxx c) 22

4

3xxx


a) 5

1

2

112 x b)

5

2

4

31

2

1x c) xxx

4

32


a) xxx 4

32 b) 4

32

4

32

2

1

xxx c)

4

32

4

32

2

1 xxx

Bài 6.4: Tìm x, biết: a) 14132 xxx b) 211 x c) 2513 x

7. Dạng 7: 0BA

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: 0 BA

B1: đánh giá: 00

0

BA

B

A

B2: Khẳng định: 0 BA

0

0

B

A

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) 05343 yx b) 025

9 yyx c) 05423 yx



24


a) 037

2

4

35 yx b) 0

13

23

17

115,1

4

3

2

1

3

2 yx c)

020082007 yx

* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng 0 BA nhưng kết quả không thay đổi

* Cách giải: 0 BA (1)

00

0

BA

B

A (2)

Từ (1) và (2) 0 BA

0

0

B

A

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) 08615 yx b) 0342 yyx c) 0122 yyx

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 0511812 yx b) 01423 yyx c) 0107 xyyx

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) 032 yyx b) 04320082007

yyx

c) 0120072006

yyx d) 03200752008

yyx

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

a) 03122 yx b) 072552

54 yx

c) 02

1423

2004 yyx d) 0

2

1213

2000

yyx


a) 020082007 yx b) 03

2103

75

yyx

c) 025

6

5

4

2008

2007

2

1

4

3

2

12006

yx d) 04200822007

20072008 yyx

8. Dạng 8: BABA

* Cách giải: Sử dụng tính chất: baba

Từ đó ta có: 0. bababa




25

a) 835 xx b) 352 xx c) 61353 xx

d) 115232 xx e) 23321 xxx f) 24253 xxx

Bài 8.2: Tìm x, biết: a) 264 xx b) 451 xx c) 132373 xx

d) xxx 342315 e) 31132 xxx f) 472 xx

1 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) 8362 xx

Ta lập bảng xét dấu x -3 3

x+3 - 0 + + 2x-6 - - 0 +

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x<-3 Khi đó phương trình trở thành 6 - 2x - x - 3 = 8 -3x = 8 - 3 -3x = 5

x = - 53

( không thỏa mãn x<-3)

* Nếu - 3 x 3 6 - 2x + x + 3 = 8 - x = -1 x = 1 ( thỏa mãn - 3 x 3) * Nếu x >3 2x-6 + x + 3 = 8 3 x = 11

x = 113

( thỏa mãn x >3)

2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết:

a) 5

4

2

112 x

* | |2x-1 + 12 =

45

| |2x-1 = 45 -

12

| |2x-1 = 310



26

2x-1= 3

10 2x =

310

+ 1 x= 1320

<=>

<=>

2x-1= - 310

2x = - 310

+ 1 x= 7

20

* | |2x-1 + 12

=- 45

| |2x-1 =- 45 -

12 (không thỏa mãn)

3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) 032 yyx

x-y-2 =0 x=-1

<=>

y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :

a) 03122 yx

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 020082007 yx

Bài 4: Tìm x thoả mãn:

a) 835 xx

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1. Dạng 1: mBA với 0m

* Cách giải:

* Nếu m = 0 thì ta có 0 BA

0

0

B

A

* Nếu m > 0 ta giải như sau: mBA (1)

Do 0A nên từ (1) ta có: mB 0 từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) 020082007 xx b) 032 yyx c) 0122

yyx



27

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) 0435

yyx b) 0354 yyx c) 02313 yyx

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) 324 yx b) 4112 yx c) 553 yx d) 7325 yx

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 5453 yx b) 121246 yx c) 10332 yx d) 21343 yx

Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3232 xy b) 152 xy c) 432 2 xy d)

2123 2 xy

2. Dạng 2: mBA với m > 0.

* Cách giải: Đánh giá mBA (1)

00

0

BA

B

A (2)

Từ (1) và (2) mBA 0 từ đó giải bài toán kBA như dạng 1 với mk 0

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 3 yx b) 425 yx c) 3412 yx d) 453 yx

Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 7215 yx b) 53524 yx c) 31253 yx d) 7124123 yx

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: baba xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) 341 xx b) 532 xx c) 761 xx d) 83252 xx

Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau. a) x + y = 4 và 62 yx b) x +y = 4 và 512 xyx

c) x –y = 3 và 3 yx d) x – 2y = 5 và 612 yx

Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = 5 và 421 yx b) x – y = 3 và 416 yx

c) x – y = 2 và 41212 yx d) 2x + y = 3 và 8232 yx

4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích: * Cách giải : )()().( yAxBxA

Đánh giá: mxnxBxAyA 0)().(0)( tìm được giá trị của x.

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) 032 xx b) 05212 xx c) 0223 xx d) 02513 xx



28

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 112 yxx b) yxx 13 c) 21252 yxx

Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) 1231 yxx b) 1152 yxx c) 0253 yxx

5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: mA (1) Đánh giá: mB (2)

Từ (1) và (2) ta có:

mB

mABA

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 22312 yxx b)

31

1215

yxx

c) 262

1053

2

x

y d) 33

631

yxx


a) 252

81232

2

y

xx b) 22

1613

yyxx

c) 23

125313

2

y

xx d) 24

10512

yyx


a) 31

1472

2

yyyx b)

523

2042

2

yx

c) 22008

6320072

yx d)

653

3052

yyx

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 1,45,3 x

a) xxA 1,45,3 b) 1,45,3 xxB

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3: a) 5,23,1 xxA b) 5,23,1 xxB

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) 7,15,2 xxA b) 5

2

5

1 xxB c) 31 xxC

Bài 4: Rút gọn biểu thức khi 7

1

5

3

x



29

a) 5

4

5

3

7

1 xxA b)

6

2

5

3

7

1 xxB

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a) 9,15,28,0 xxA với x < - 0,8 b) 93

21,4 xxB với 1,4

3

2 x

c) 5

18

5

1

5

12 xxC với

5

12

5

1 x d)

2

13

2

13 xxD với x > 0

==============&=&=&==============

IV – Tính giá trị biểu thức:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với 75,0;5,1 ba b) N = b

a 2

2 với 75,0;5,1 ba

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) yxyxA 22 với 4

3;5,2

yx b) babaB 33 với 25,0;

3

1 ba

c) b

aC

3

3

5 với 25,0;

3

1 ba d) 123 2 xxD với

2

1x

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

a) 4236 23 xxxA với 3

2x b) yxB 32 với 3;

2

1 yx

c) xxC 1322 với x = 4 d) 13

175 2

x

xxD với

2

1x

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) 5,35,0 xA b) 24,1 xB c) 54

23

x

xC d)

13

32

x

xD

e) 5,125,5 xE f) 1432,10 xF g) 123254 yxG

h) 8,55,2

8,5

xH i) 8,55,2 xI k) 2410 xK

l) 125 xL m) 32

1

xM n)

453

122

xN

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) xA 4,37,1 b) 5,38,2 xB c) xC 3,47,3

d) 2,144,83 xD e) 5,175,7534 yxE f) 8,55,2 xF



30

g) 8,29,4 xG h) 7

3

5

2 xH i) xI 9,15,1

k) 4132 xK l) 1232 xL m) 1415 xM

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) 3734

155

xA b)

721158

21

3

1

xB c)

85453

20

5

4

yxC

d) 612322

246

xyxD e)

14553

21

3

22

xyxE

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) 457

11572

x

xA b)

6722

1372

y

yB c)

816

32115

x

xC

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) 24754

85

xA b)

35865

14

5

6

yB c)

351233

28

12

15

xyxC

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) 5643

336421

x

xA b)

1452

1456

y

yB c)

1273

68715

x

xC

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) xxA 25 b) 6212 xxB c) xxC 3853

d) 5434 xxD e) xxE 5365 f) xxF 2572

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 5232 xxA b) xxB 3413 c)

1454 xxC

Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) 45 xxA b) 4232 xxB c) xxC 3713

Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) 6252 xxA b) xxB 3843 c) 7555 xxC

Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 51 xxA b) 562 xxB c) 1242 xxC

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức baba




31


Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) 7523 xxxA b) 51431 xxxB

c) 35242 xxxC d) 311653 xxxD

Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 21 yxA

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức: 16 yxB

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1212 yxC

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2232 yxD

DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT,

DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)

Bài 1 : Tính tổng:

2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008

Hướng dẫn: Bài 2: Cho .10099...4321 A

a) Tính A.



32

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn: Bài 3: Cho ...3125191371 A

a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?

Hướng dẫn: Bài 4: Cho ....3125191371 A

a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.

Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:

655)47()42(...)12()7()2( xxxxx

Hướng dẫn: Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010

b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010 Hướng dẫn: Bài 7: Tính tổng: 100001.9999910001.99991001.999101.9911.9 S Hướng dẫn: Bài 8: Cho 10032 3...333 A

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Hướng dẫn: Bài 9: Cho 200432 3....333 A

a) Tính tổng A. b) Chứng minh rằng 130A .

c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ? Hướng dẫn: Bài 10:

a) Cho 2004200332 33...3331 A Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với 20042003543 22...2224 A Hướng dẫn: Bài 11:



33

a) Cho 6032 2...222 A Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn: Bài 12:

Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31

Hướng dẫn: Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596

a, Chứng minh: S 126 b, Tìm chữ số tận cùng của S

Hướng dẫn: Bài 14: Cho 30.29......3.2.1A 60.59........33.32.31B

a) Chứng minh: B chia hết cho 302 b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.

Hướng dẫn: Bài 15: Cho 20022001432 22...2223 A và 20032B

So sánh A và B. Hướng dẫn: Bài 16: Cho M = 2 3 99 1003 3 3 ... 3 3 . a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . Hướng dẫn: Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119

a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

Hướng dẫn:

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 2004

2003

)1(

2...

10

1

6

1

3

1

nn

Hướng dẫn: Bài 19:

a) Tính:2 2 2 2

.....1.3 3.5 5.7 99.101



34

b) Cho *

)3(

3

10.7

3

7.4

3

4.1

3Nn

nnS

Chứng minh: S 1 Hướng dẫn:

Bài 20: So sánh: 2 2 2 2

...60.63 63.66 117.120 2003

A

và 5 5 5 5

...40.44 44.48 76.80 2003

B

Hướng dẫn: Bài 21:

a) Tính 340

1

238

1

154

1

88

1

40

1

10

1A

b) Tính: 2005.2004

2....

15

1

10

1

6

1

3

1M

c) Tính tổng: 100.99.98

1...

4.3.2

1

3.2.1

1S

Hướng dẫn:

Bài 22: So sánh: 10032 2

1...

2

1

2

1

2

11 A và B = 2.

Hướng dẫn: Bài 23: So sánh:

2 2 2 2...

60.63 63.66 117.120 2006A và

5 5 5 5...

40.44 44.48 76.80 2006B

Hướng dẫn: Bài 24. Tính

a. A = 2 2 2 2 2

.15 35 63 99 143

b. B = 3+3 3 3 3

...1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 ... 100

.

Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:

a) A =

1.99

1

3.97

1...

95.5

1

97.3

1

99.1

199

1

97

1...

5

1

3

11

b) B =

99

1...

3

97

2

98

1

99100

1...

4

1

3

1

2

1



35

Hướng dẫn: Bài 26: Chứng minh rằng:

100 - 100

99...

4

3

3

2

2

1

100

1...

3

1

2

11

Hướng dẫn:

Bài 27: Tính B

A biết:

A = 200

1...

4

1

3

1

2

1 và B =

1

199

2

198...

197

3

198

2

199

1

Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy:

;....35

11;

24

11;

15

11;

8

11;

3

11

Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

;...336

1;

176

1;

66

1;

6

1

Hướng dẫn:

Bài 30: Tính B

A biết:

A = 20.19

1

18.17

1...

6.5

1

4.3

1

2.1

1

B = 20

1

19

1...

13

1

12

1

11

1

Hướng dẫn: Bài 31: Tìm x, biết:

110.100

1....

12.2

1

11.1

1

110.10

1...

102.2

1

101.1

1

x

Hướng dẫn: Bài 32: Tính :

a) 2 31 ... nS a a a a , với ( 2, a n N )

b) 2 4 6 21 1 ... nS a a a a , với ( 2, a n N )

c) 3 5 2 12 ... nS a a a a , với ( *2, a n N )

Hướng dẫn:

Bài 33: Cho 2 3 99 1001 4 4 4 ... 4 , 4A B . Chứng minh rằng: 3

BA .



36

Hướng dẫn: Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:

50

200

) 9 99 999 ... 999...9

) 9 99 999 ... 999...9

a A

b B

ch÷ sè

ch÷ sè

Hướng dẫn:

Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1-Kiến thức cơ bản:

0

0

xx

xxx



37

xxxxx ;;0

yxyx

yxyx

2- Các dạng toán cơ bản: * Dạng toán 1: Tính x biết

1) 5

11x 2)

13

3:

5

32x 3) 0

2

125 x

4) x

1

49.47

1....

5.3

1

3.1

1 5)

2100.97

1.....

7.4

1

4.1

1 x

6) 101

52

101.97

4....

9.5

4

5.1

4

x 7)

5

12

100

11....

4

11

3

11

2

11

x

8) 15

12100.99....4.33.22.1 x 9)

5

11)2)(49...21( 222 x

* Dạng 2: Tìm x biết

1) 5

33x 2) 0

8

25x 3) 0

23

55 x 4)

3

11

5

1.2 x

5) 25,15,275,1 x 6) 1352 x 7) 3

2

7

32

3

13 x

8) 10

1173

5

12 x 9) 9)52( 2 x 10) 42 x 11)

4

1)73( 2 x

* Dạng 3: Tìm x, y, z biết 1) 0 zyx 2) 07253 yx

3) 03

13

2

52

2

11 zyx 4) 0)

3

1()

2

1()1( 222 zyx

5) 0433221 yyx 6) 0)1)(1(1 xxx

*Dạng 4: Tính giá trị của các biểu thức sau.

1) 522 xxA với 3

1x

2) 22 2)3(52 yxyxxxyB với x=y=2

3) 1224

12 xxxC với 2

1x

4) 363 2 xxD với 1x

5) xyyxE 752 với 02 yx

6) xyyxG 632 22 với 021 yx

* Dạng 5: Rút gọn các biểu thức sau 1) 133925 xxxM với 5,6x

2) N= 321 xxx với 12 x

3) P= 1557352 xxx với 3x

*)Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất.



38

1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: 25,05,025,4 xC

2, Tìmgiá trị lớn nhất của : 75,05,43 xD

3, Tìm giá trị nhỏ nhất của : 20042005 xxE

3- Các bài toán tự học : Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 và y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết: a) 2.| 2x-3|= 1/ 2 b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất:

a) | 3x- 8,4| -14,2 b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5

Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất: F= 4- |5x-2|- | 3y+12|

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài toán 2: Tính a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) )21(,4:)6(3,2)1(,12

c) )2(4,03

13)3(,0

Bài toán 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ khi biểu diễn số 99

116 dưới dạng số

thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị

a) 75,6

25,2).19,881,11( A b)

31,2125,0.4

4).25,6:56,4(

B

Bài toán 6: Rút gọn biểu thức

)3(8,0)6(,15,2

)6(1,0)3(,05,0

M

Bài toán 7: Chứng minh rằng: 0,(27)+0,(72)=1 Bài toán 8: Tìm x biết

a) )2(,0.)6(1,1)3(,0

)3(,0)6(1,0

x b)

85

50

)3(0,013

3)384615(,0)3(,0

x

c) 10)62(,0)37(,0 x d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)



39

e) x:0,(3)=0,(12) Bài toán 9:

Cho phân số )(;6)2)(1(

523 23

Nmmmm

mmmA

a) Chứng minh rằng A là phân số tối giản. b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ THỰC- CĂN BẬC HAI. Bài toán 10: So sánh các số sau

a) 25

41005,0 và 5:

16

9

9

11

b) 925 và 925

c) CMR: với a, b dương thì baba Bài toán 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ; 232

b) xx 23322

c) 012122 xx

Bài toán 12: Tìm x biết

a) 02 xx b) xx c) 16

91

2x

Bài toán 13: Cho 1

1

x

xA . CMR với

9

16x và

9

25x thì A có giá trị là một số

nguyên Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

a) x

A7

b) 1

3

xB c) C=

3

2

x

Bài toán 15: Cho 3

1

x

xA Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài toán 16: thực hiện phép tính

81

22:2:

7

5:

7

12:7:25,54,2:22

2

2

222

Bài 17: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.

343

4

7

2

7

4

2

64

77

1

49

1

49

11

2

2

A



40

Bài toán 18: Tính bằng cách hợp lý.

374

5

204

25

212

5

196

51

2

2M

Bài toán 19: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức

02222

zyxyx

Bài toán 20: thực hiện phép tính

445

1704:

23

7

7

68

3

112:

4

49.

3

28225:

3

118

2

2

M

CHUYÊN ĐỀ: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ - ÁP DỤNG. **********

Bài toán 1: Tính

a) 3 11 12

.31 0,75.84 23 23

b) 1 1 1 1 1

2 3 : 4 3 73 2 6 7 2

c)

5 5 4 54 : 5 :

9 7 9 7

d)

1 5 5 1 313 2 10 .230 46

4 27 6 25 4

3 10 1 21 : 12 14

7 3 3 7

e) 25 9 125 27

4 25 : :16 16 64 8

g)

2 1 34

3 2 4

Bài toán 2: Tính

a) 1 1 1

....1.2 2.3 99.100

A b) 1 1 1

1 1 ..... 12 3 1

Bn

với n N

c) 1 1 1

66. 124.( 37) 63.( 124)2 3 11

C

d) 7 33 3333 333333 33333333

4 12 2020 303030 42424242D

Bài toán 3: Tính

1 1 1

1 (1 2) (1 2 3) .... (1 2 3 .... 16)2 3 16

A

Bài toán 4: Tìm x biết

a) 3

(2 3) 1 04

x x

b) 2 5 3

3 7 10x c)

21 1 2

13 3 3x

d) 3 3 2

2 17 8 5

x e) 1

(5 1) 2 03

x x

g) 3 1 3

:7 7 14

x

Bài toán 5: Cho 1 1 1

1 1 ..... 12 3 10

A

. So sánh A với 1

9

Bài toán 6: Cho 1 1 1

1 1 ..... 14 9 100

B

. So sánh B với 11

21

Bài toán 7: Tính 2 3 193 33 7 11 1931 9

. : .193 386 17 34 1931 3862 25 2

Bài toán 8: Cho 1,11 0,19 13.2 1 1

: 22,06 0,54 2 4

A

7 1 23

5 2 0,5 : 28 4 26

B

a) Rút gọn A, B b) Tìm x Z để A<x<B Bài toán 9: Tính giá trị các biểu thức sau



41

a)

1 1 1 3 3 3 353 7 13 4 16 64 256.

2 2 2 1 1 1 813 7 13 4 16 64

A

b)

1 1 1 10,125 0,2

5 7 2 33 3 3 3

0,375 0,55 7 4 10

Bài toán 10: Tìm x biết 20 4141 636363

128 4 5 : 1 : 121 4242 646464

x

Chuyên đề:

I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán : 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / //// yx

Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/ /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x = a

/ x / > a <=>

ax

ax

/ x/ < a <=> -a< x< a B. LUYỆN TẬP: 1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức : Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 122 x với /x / = 0,5 Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 hoặc x = - 0,5

- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75

2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /

Giải : với x - 5 0 <=> x 0 thì / x -5 / = x - 5 với x –5 < 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5

Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x a/ Nếu x 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2



42

b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8 3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ: Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5 Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2 Xét cả hai trường hợp : a/ 3x – 1 = 2 => x = 1

b/ 3x - 1 = 2 => x = -3

1

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A <=> A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý b/ b = 2 thì a tùy ý c/ a > 0 thì b < 2 d/ a < 0 thì b > 2 Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét 4 trường hợp : a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra ) b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán . c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b . Vây a < 0 và b = -a thỏa mãn bài toán . d/ a < 0 , b 0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a < 0 , b > 0 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/



43

HD:Ta có x 00/3/0 GTNNx Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 / Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/ 200 khixGTLN c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/ 2/301 khixGTLNlla

Bài 8: Tìm GTNN của C = 3//

6

x với x là số nguyên

- Xét / x / > 3 => C > 0 - Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6 Vậy GTNN của C = -6 <=> x = 2 ; -2 . Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x / - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1) - Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0 (2) Từ (1) và (2) ta thấy C 0 Vậy GTLN của C = 0 <=> x 0 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = 6 x 4//23 23 xx với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x 3 ;5x+ 3 với x < 3) b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với ¼ x < 3và bằng -2x -5 với x 3. Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức : a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 <=> x = 2/3 b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 <=> x = 1/4



44

c/ C = x 2 + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2 d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 <=> x 0 Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức : e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 <=> x = 1/2

f/ F = 3/2/

1

x => GTLN của F =1/3 <=> x =2

g/ G = //

2

x

x với x là số nguyên

HD : Xét 3 TH : * x 12 C * x = 1 <=> C = 1

* x xx

xG

21

21

Ta thấy G lớn nhất khi x

2 nhỏ nhất . Mà

x

2 lớn nhất <=> x nhỏ nhất

tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 <=> x= 3 BÀI 14: Tìm x sao cho : a/ / x - 2 / < 4 HD: Ta đã biết /x/ < a <=> -a < x < a Nên /x-2/<4 < 4 <=> -4 < x - 2 <4 <=> -4+2 < x < 4 + 2 <=> -2 < x < 6

Bài 15: Cho A = /x- /2

3//

2

1 x Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu

thức A không phụ thuộc vào biến x ? HD: Ta lập bảng xét dấu :

x 1/2 3/2 x - 1/2 - / + 0 + x -3/2 - 0 - / +

Xét các trường hợp:

x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1 1/2 2/3 x => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2 X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1

Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x



45

II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối . Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : a/ 631 xx (1)

GIẢI: Xét x-1 = 0 <=>x = 1 và xét x-3 = 0 <=> x = 3 x-1< 0 <=> x < 1 x-3 < 0 <=> x < 3 x-1> 0 <=> x > 1 x-3 > 0 <=> x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau : x 1 3 x - 1 - 0 + / + x - 3 - / - 0 + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6 -2x=2 0x = 4 2x = 10 x=-1 (không có giá trị x = 5 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc khoảng đang xét) khoảng đang xét) Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1) b/ 752 xx

x -2 5 x+2 - 0 + / +

x-5 - / - 0 + * Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại) Xét khoảng-2 5 x Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét .

Vậy -2 5 x



46

Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại) Kết luận: -2 5 x

c/ 423 xxx

x -3 4 x+3 - 0 + / +

x- 4 - / - 0 + *Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét) *Xét khoảng -3 4 x ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn. * Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét . Kết luận : vậy x = -3,55

Ví dụ 17: Tìm x , Biết: 131 xxx (2)

Tương tự:

Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét)

Xét khoảng 1 3 x thì (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 => Ta có các giá trị 1<x 3 (3)

Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5. Ta có các giá trị : 3<x<5 (4) Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5

2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy; để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải bằng cách khác đơngiản hơn. Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương) <=>f(x)= a

Dạng 2 )(xf = g(x) <=>1/g(x) 0 & 2/f(x)= )(xg

Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0 <=>f(x)= )(xg

Dạng 4 )(xf + )(xg = 0 <=> f(x)=0 và g(x) = 0

Dạng 5 )(xf < a ( a là hằng số dương ) <=>-a< f(x)<a

Dạng 6 )(xf > a ( a là hừng số dương) <=>a<f(x)<-a

Cách giải từng dạng như sau :



47

Dạng 1 )(xf = a ( a là hằng số dương)

Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số. BÀI 18: Tìm x . Biết : a/ 26745 x

HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19 5x = 15 5x = -23 x = 3 x = -23/5 = -4,6 Vậy x = 3 ; -4,6

b/ 1617293 x

HD: ....<=> x=-1 và x = 10. c/ 3 - 4 765 x

HD: 165 x Không có giá trị nào của x thoả mãn

d/ 345 x

Hướng dẫn: - Ta có: 345 x .

- Xét6;415345

12;275345

xxx

xx

Dạng 2 )(xf = g(x)

Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện: 1/ g(x) 0 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)

Bài 19: Tìm x . a/ Biết: 521 xx

- Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 5,20 x

- Xét điều kiện thứ hai

)1((2

)1(/(4

521

521

khongtmdkx

mdktx

xx

xx

Vậy x = 4

b/ Biết: 3579 xx .

- Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 5

30 x

- Xét điều kiện thứ hai

)1((3

)1((1

5379

3579

tmdkx

tmdkx

xx

xx



48

Vậy x = 1 ; 3

c/ Biết: 2148 xxx

...<=> 12714 xxx

Dạng 3 )(xf )(xg hay )(xf - )(xg = 0

Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) hoặc f(x) =-g(x)

BÀI 20 : Tìm x .

a/ Biết: 0517517 xx

HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5 0 x = 10 34x = 0 Vô nghiệm x = 0 Vậy x = 0

b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 /

HD: 92243 xx ....<=> x =22 và 2

Dạng 4. 0)()( xgxf

Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x .Biết :

a/ 07

3

14

13 xx

HD: a/ 07

3

14

13 xx <=> cả hai số hạng đồng thời bằng 0.

x + 13/14 = 0 <=> x = -13/14 và x- 3/7 = 0 <=>x=3/7.

Vậy x = 7

3&

14

13

b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : 02,4238,1 yx



49

HD: b/ ....<=>

1,2

38,1

02,42

038,1

0/2,412/

0/38,1/

y

x

y

x

y

x

c/ 0)3)(1(32 xxxx

HD: c/ 331

30

0)3)(1(

0)3(

x

hoacx

hoacx

xx

xx

d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0

HD: <=> / 2x- 0/)5(1,0.10

13/

99

24 y

<=> 0/9

51.

10

13//

99

242/ yx

<=> / 2x - 0/45

73//

33

8 y

Vì: /2x- 045

73&0/

33

8 y

Nên: /2x-33

8/+/3y+ 0/

45

7 <=>

45

7

33

4

045

73

033

82

y

x

y

x

Dạng 5. axfaaxf )()( ( a là hằng số dưong)

BÀI 22: Tìm x.

a/ Biết 513 x

HD : a/ 513 x <=> -5 < 3x - 1 < 5

-4 < 3x < 6 -4/3 < x < 2 b/ Biết 37710 x



50

HD:b/ ...<=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < 3 c/ Biết 1983 x

...<=>-19 3-8x 4

11219 x

Dạng 6. axf )( f(x) > a

f(x) < -a BÀI 23: Tìm x .

a/ Biết; 31115 x

HD: ...... <=>

2

15

32

31115

31115

x

xx

x

b/ Tìm x . Biết 25452 x

.......<=>

8

13

2152

2152

x

x

x

x

Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :

a/ 4 yx

HD: Nếu x =0 thì y = 4 ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x= 1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x= 2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là :................... Nếu x= 3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là :................... Nếu x= 4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là .................... Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho. b/ 4 yx

HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25:



51

a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 HD: a/ Cách 1

(x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=>

)(4/1

3/2

04/1

03/2

4/1

3/2

04/1

03/2

angthoixayrkhongthedox

x

x

x

x

x

x

x

<=> -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu:

Giá trị x -2/3 1/4 dấu x+3/2 - 0 + / + dấu 1/4-x + / + 0 - dấu của B.thức - -2/3 + 1/4 -

Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4

b/ Tìm x thoả mãn: 03

12

x

x

HD:b/

2/133

2/1

03

0120

3

12

)(4/1

2/1

03

0120

3

12

xx

x

x

x

x

x

yrakhongthexax

x

x

x

x

x

Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2

Chuyên đề 2:

CHỨNG MINH TAM GiÁC $1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ :



52

A

O

I

BC

DE

1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ . 2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau . 3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó . BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK) b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ? c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ? BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ? b/ Cho ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . BÀI 3 Cho ABC có góc A = Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O . a/ Tính góc BOC theo ? b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo ?

Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 + 2

và góc I = 90 0 -

2

BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết CBBA ˆˆˆˆ = 20 0 HD : ..=> Â = B + 20 0 , CBABC ˆˆˆ20ˆˆ 0 = 3 B = 180 0 ,

=> B = 60 0 , Â = 80 0 ; C = 40 0 & 1B = 120 0 , 1A =100 0 ; 1C = 140 0

BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = BA ˆˆ a A O b B

$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác Tam giác vuông TH 1. C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông TH 2. C-G-C Hai cạnh góc vuông



53

I

C

A

B

D

TH 3. G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn $ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Tam giác . Cân . ĐỀU VUÔNG vuông cân Định nghĩa

A,B,C không thẳng hàng

ABC: AB = AC

ABC : AB=BC=AC

:ABC A = 90 0

090ˆ: AABC

AB=AC

Quan hệ các góc

Â+ CB ˆˆ =1800 AC ˆˆ

1

BC ˆˆ1

CB ˆˆ

B =2

ˆ180 A

Â=180

B20

CBA ˆˆˆ 60

0

CB ˆˆ = 90 0

CB ˆˆ = 45 0

Quan hệ các cạnh

1 cạnh< Tổng và > Hiệu 2cạnh còn lại

AB=AC

AB=BC=AC

BC 222 ACAB

BC > AB BC > AC

AB=AC= c

BC= c 2

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , B = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C ? HD: Tính góc C = 40 độ . Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc

BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 B và B = 3 C . a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C . Tính góc AEC ? B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 C => góc C = 18 0 => B = 54 độ; Â = 108 độ. b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ A => AC E = 81 độ và Â 2 = CB

=54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27

độ .



54

C E BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông tại A . BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết .PQRABC

A HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và CA = 2n +5 . Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Chứng minh rằng : a/ CDBABDbCDAABC /& ? D C HD : )(&)( cgcABDCDBcgcCDAABC

A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh .);( MCBBAPABCgcgCNAABC

=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;



55

NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm . B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH AM và CK AM . Chứng minh : a/ BH // CK A b/ M trung điểm của HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM . B M C b/ MKMHCKMBHM c/ BKHCgocKBCgocHCBKBMHCM //

BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?

HD : CMNAcgcMLCALN

BLNAcgcLMBAMN

)(

)( => LB = MC = NA .

L A M N B BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; B = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ? b/ Tính góc BIC ? A HD:a/ Góc I 1 > góc A1 Góc ngoài tam giác BIM

Góc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM

góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .

C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ . M B



56

BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ? A HD : => Ta có 22;11

ˆˆˆˆˆˆ ACDABD CBDD ˆˆˆˆ21 = 20 0

Mà 21ˆˆ DD = 180 độ => 1D =100 0 , 2D = 80 0

B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ? b/ DC BE ? E HD : a/ )(gcgABEADC => DE = BE

D c./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao A điểm DC với BE. 0& 90ADH KBHgocDAH BKH

B C BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 C . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => )(cgcKCAABE => AE = AK .

D B C K E BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ? HD: BCAMgocKBCgocKAMcgcBKCAKM //)(

BCANBCANCEBAEN //& M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)



57

Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN . K E B C BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB ; ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng a/ DM = AH N E b/ MN đi qua trung điểm DE . D M A HD : a/ ...=> AHDMBAHADM b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và B H C DE => OEODgcgENODMO )( .

BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng : A a/ DB = CF b/ DFCBDC ˆ

D E F c/ DE // BC & DE = BC2

1

HD: a/ ...=> CFBDCFAD(cgc) F CEAED

B C b/ ...=> )(cgcFCDDBC

c/ ...=> BCDEDFDEDFBCFCDBDC2

1

2

1 .

BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK

AD= NK ( vì cùng bằng EB ). Chứng minh KCDMcgcNKCADM )(

...=>.... E N B F C



58

BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?

A HD : ...=> 011 60

2

120

2

ˆˆˆˆ

CBCB

041

0 60ˆˆ120ˆ: IICIBBIC

E I D IK phân giác 021 60ˆˆˆ IICIB

IEIDIKIDgcgCIKCDI

IKIEgcgBIKBIE

)(

)(

B K C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác EBDECA ˆ&ˆ

cắt nhau ở K . Chứng minh : 2

ˆˆˆ CDBCABCKB

?

K D HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE A H Xét 11

ˆˆˆˆ& CABKAGCKGB (1)

G Xét 22ˆˆˆˆ& BDCKDHBKHC (2)

E Từ (1) &(2) => 2 DAK ˆˆˆ => 2

ˆˆˆ DA

K

C B



59

BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .

Chứng minh : a/ AM = 2

1ED

b/ AM DE H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK

- Xét )();(:& ACBKAEgtABADDAEABK

Và )180ˆˆ(180ˆˆ 021

0 AAviAEAD (1)

)ˆ(180ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 01 AvibuACBAKBACBBB (2)

Vậy : 2

ˆˆ DEAMDEAKDAEABKEADKBA

B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có 000 90ˆ90ˆˆ90ˆˆ HDAHADDHADKAB

BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = 2

1 yÔz .Qua điểm A thuộc

Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam gíc AOD cân ? HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB A Ta thấy : EBˆ90ˆˆ&90ˆ 00 ABEAHBOEBABEA => )(cgcADEAOB => AO=AD => AOD cân

E D B O H h

A



60

BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ? HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x. y => EOI đều => OC = EK . z M Vẽ EH OIEKMA ; dễ dàng chứng minh được

B MH = MB ; EK = OC MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC

H E t C O I x A K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Chứng minh BC = BD + AD . A HD : Ta có 00

21 4020ˆˆˆ CBD

trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho

)1()(80ˆ&60ˆ 00 DKDAgcgBDKBDAEDBKDB

Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD

B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh AIK vuông cân ? HD : Ch/minh AKAIcgcKCAABI ).(

A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy ra : tam giác AIK vuông cân B C



61

BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA . a/ Chứng minh AB = E F và AB E F b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ F EAB & F E ABcgv) E(2 ß OOAB

b/ 90doOM&)( gocMONOMcgcONEOMB

y OMN vuông cân B F N M E O A x BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN. M HD: a/ 11

ˆˆ&)( BCBNCMcgcCBNACM

b/ 00021

0 12060180)ˆˆ(180Cˆ CBOBOCcoB

N

O B C



62

Chuyên đề:

TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN ..... A. TAM GIÁC VUÔNG : 1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ? 2/ Tính chất :

- Tam giác ABC : Â=90 độ <=> 090ˆˆ CB

- Định lý PyTago: 222090ˆ: ACABBCAABC - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29).... - Các hệ thức trong tam giác vuông:

..;.

..;90ˆ:22

0

BCCHACBCBHAB

ACABBCAHBCAHAABC

;

- BCAMMCABAABC2

1;90ˆ:

S AMB = AMCS

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ) là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ). - Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-Chuyền Toán nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB . Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF . Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B 0135ˆ FC A Ch/minh : CFBEcgcFCBBAE )(

D b/ 00 90ˆˆ90ˆ: FFBAAABF

A C F Mà: BFBEFBhayE

BFBAcmtBF

0

0

90ˆ

90ˆˆ)(ˆˆ

BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểm BM . Chứng minh : AC = 2 AD A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA => DMEDBAMEABcgcEMDADB ˆˆ;)(

=> AB=ME= )1(2

1MCMEBC

(1)



63

B D M C Mặt khác: )(ˆˆˆ;ˆˆˆ

21 gocngoaiMABBAMCMMAME

Mà: MBAMcmtBM ˆˆ);(ˆ21

Vậy : CMAEMA ˆˆ (2) và AM chung (3) E Từ (1),(2) và(3) suy ra 2ADACACAEAMCMCME BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x BC và lấy CE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA . Chứng minh : a/ ACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ? Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => CEAcan Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ Suy ra : CAE đều E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BFAcan Suy ra : góc BA F = 30 độ; A Vậy: 0000 180609030ˆˆˆ EACCABABF Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAF F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O . Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E . Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi . b/ DE = DB + EC A HD : a/ 000

220 13545180)ˆˆ(180ˆ CBCOB

b/ DODBDBOcan O EOECE can OC D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE B C BÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứn minh : FH = FA = FC . A Hướng dẫn: Ta có BH= BE => BEH cân => 1

ˆˆ HE

Mà CHHBHBHH ˆˆˆ2ˆˆ2ˆ&ˆˆ22121

F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) Mặt khác : Â = 90 2

00 ˆ90Fˆ&ˆ HHAC

B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)



64

H C Từ (1) và (2) => HF = FA = FC E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF). a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A và F kẻ các đường D D '' , FF vuông góc xuống BC .

Chứng minh : BCFFDD ''

HD: a/ Â = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng

A b/ Kẻ AH BC =>

BCHCBHFFD

HCFFAHCCFF

BHBAHDBD

''

''

''

D

DD

B C Bài 7 : Cho 0120ˆ: CABABC Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE AB ; DF AC . a/ Tam giác DE F tam giác gì ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giác ACM là tam giác gì ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ =>đều F b/Tam giác ACM đều . E B D C BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng:

a/ BE = CF b/ AE =2

;2

ACABBE

ACAB

c/ góc BME = 2

ˆˆ BBCA

HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Kẻ CD // AB =>BE=CD (1) A Mà CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC

AE=2

ACAB



65

E Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = 2

ACAB

M C c/ Ta có :

2

B-BCAEMBB-BCAEM2B

B-EEMB&F-BCAFˆ

EC

F B. TAM GIÁC CÂN

BỔ SUNG KIẾN THỨC:

1. Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa cạnh huyền.

2. Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giác vuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giác đều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.

3. Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ.

4. Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau. - Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. - Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau. TOÁN CHO HS GIỎI:

BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB ; AC. a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ? b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ? HD: A D M E N B C



66

Xét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân. Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều. b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2. Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuông tại E => CE vuông góc AB BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao cho BM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ? HD: B N = 1 = M 1 A C

Tam giác BAM cân tại B=> 2

ˆ180ˆ1

BM

Tam giác CAN cân tại C=>2

ˆ180ˆ1

CN

Vậy : 01 45135180)ˆˆ(180ˆ NMNAM

BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM là tam giác đều ? HD: A I B H M C a/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh



67

00 60ˆ&30ˆ2

1

2

1)..( CAHCMCBMMHBHnghCMAHMAI

Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A.

b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có một góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều. BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC một đoạn CD sao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ? HD: A H 1 2 2 1 1 B C D - Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ => góc

)1(30ˆ2

1ˆ2

130ˆ 0

10

1 HDHBHDBcanBCADcanCDHCDCHBCCHB

- Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuông cân=>HA=HB(2). Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.

Ta suy ra 0012 451530ˆ15ˆ

2

1ˆ BDAHD

ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO

KIẾN THỨC BỔ SUNG:

1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 2 2. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:

212

212

212

212

22211 )()()()();();;( yyxxAByyxxAByxByxA

BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :



68

a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C. HD: A 7 M 24 32 B 40 C a/ Tam giác ABC có: BC 160040.402 AB 160032.3224.2422 AC Vậy iAABCvuongtaBCACAB 1600222

b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=25732

25724 22

AMAC

Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài) Vậy góc AMB = 2. góc C BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . Tính BC ? A A

25 24 24 26 25 26 B H C H B C (H1) (H.2) - Tính được HB= 7 ; HC= 10 - Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2) BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền 51 cm. Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ?



69

HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15k Ta có 3260128951)15()8( 222222 kkkACAB

Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trên tia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứng minh EB vuông góc E F ? HD: A D F B H C E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được:

22222222222

2222222

)()(

)()(F

FEBEDFDEHEBHDFHEDEHBBF

DFADAHBHAABFB

Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuông góc E F BÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc 3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ? HD : B = C x? = A D Gọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m là điểm C thì CB=CD .

Tam giác vuông ACD có : metxxx

CDADAC

4)9(3 222

222



70

BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1). Tính các góc tam giác ABC ? HD x 4 A(5;4) 3 B(2;3) 1 C(6;1) x O 2 5 6 Ta có : 2AB )1(10)34()25( 22

)14()65( 22 AC )2(102

20)31()26( 222 BC

Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB ABCvuongBCAC 20222

Vậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG

BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .

a/ Chứng minh tam giác ABC cân. b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ? HD: (H.1) A A F D H K (H.1) B M C (H.2) B E C a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC.

Chứng minh cantaiAABCCBcgvchKMCHMB

MKAMHgnchKAMHAM

ˆˆ)(

)(

b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC

=>BM= 241222 BCAMAB



71

BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau. a/ Chứng minh tam giác đó đều ?

b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dài 2

3a. Tính độ dài mỗi cạnh tam giác

đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F. a/ Ta chứng minh .ˆˆ;........ˆˆ)( deuABCACCBcgvchECBFBC

b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D có axCDADAC 222 : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại Â và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tam goác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B C (H.1) ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)

góc MCA=60-50=10 độ 00 302:60ˆˆ)( CMABMACCCAMCAMB .)( canCOACACOgcgAMCOBC

BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tia phân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC). Chứng minh tương tự bài 19=> 0202:40ˆ OCACOAcantaiC Suy ra: 0 802:20)-(180OAC



72

Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuông góc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D. a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) 1 2 D E B C B M N C D (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> 21

ˆˆ AA

Suy ra AD phân giác góc Â b/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môt điểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C

Suy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểm AB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF A E M F O y BÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC.



73

a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COG HD: A

1 2

E

F

O

2 2

1 1

B G D C

a/ Chưng minh:

OGFOOE (2)&(1)u T

OG(2)OEgn)COE(chCOG

(1)OG FOgn)BOG(chß

BO

b/ CCCBBBAAAOAOE ˆ2

1ˆˆ&ˆ2

1ˆˆ;ˆ2

1ˆAF 212121

Suy ra 021 902:180ˆˆ CBA (1)

Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> )2(90ˆˆ 01 GOBB

Từ (1) và(2) => )3(ˆˆˆ21 GOBCA

Từ (3) và (4)=> GOCDOBDOGDOCDOGGOBDOCGOB ˆˆ,ˆˆˆˆˆ

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1:Tính giá trị của biểu thức :



74

A = x2 + 4xy – 3y3 với ;5x 1y

Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = xy

y

yx

x

3

94

3

94 ( x - 3y ; y -

3x) Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) A = 1616

8844222

2

)2)(2)(2)(2(

yx

yxyxyxyxx

với x = 4 và y = 8

b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1

c) C = 2a2 – 3ab + b2 với 1a và b = 2

Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :

a) 4

12

x

x b)

1

12

x

x c)

yxy

cbyax

3

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N=12

36 2

x

xx với x =

2

1

Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0 b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7 Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau :

A = 22

22

310

35

yx

yx

với

53

yx

Bài 8: Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thức

B =

z

y

y

x

x

z111

Bài 9:

a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - )5

1 2 – 10

b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D = 532

42x

Bài 10: Cho biểu thức E = 2

5

x

x.Tìm các giá trị nguyên của x để :

a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất Bài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau : a) (x – 3)2+ 2 b) (2x + 1)4 – 1 c) (x2 – 16)2 + 3y - 2

Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = 102 xx

Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :

A = 15

1510

x

x

Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b Z Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.



75

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

B = 31 xx với x 11

7

Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - yxx 532 b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) -

5213 yx

Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + 6 Bài 22: Chứng tỏ rằng : a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x . b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x. Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:

a) 11

xx b) 5

2

xx c) xyx 333 d) (x-2) 525 2 n + y- 2= 0

(nN) Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:

a) 1

2

x

xy b*)

1

32

x

xy

ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

Bài tập cơ bản

Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :

a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2)

c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :

a) 2

3

63

xxx b) 3ab.

5

2ac – 2a.abc -

3

1a2bc

c) 2

3

2

ac .c2 -

5

2a2.(c.c)2 +

3

2ac2.ac -

4

1a2c2



76

Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia

hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13

Bài 4: Cho biểu thức :

P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n N)

Với giá trị nào của a thì P > 0

Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k N)

Với giá trị nào của x và k thì Q < 0

Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n N; n 0)

Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1

Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz

Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:

yxyaxxyxyx 3352335

9

1;;5;4;3;

7

1

Bài9: Tính tổng :

a) 525252

3

4

4

3

2

1zyzyzy

b)333

3

7xybxyaxy

Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :

a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1

d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1

Nâng cao

Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a 0; b 0)

Tìm GTNN của M

Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0

Bài 3: Chứngminh rằng với n N*

a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số không

b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25



77

c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300

Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0

Bài 5: Rút gọn:

a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4

b) 2y – x - xyxyyx 532 với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2

c) 5x – 3 - 12 x

Bài 6: Tìm x,biết :

a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6

b) ( 34

3x ) –

4

3

2x -

1

6

1x =

4

3

1x -

3

3

1x

Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : cabbcaabc = 666

Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng cabbcaabc là một số chính phương không

?

Bài9 : Tính tổng :

a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5)

b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)

c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2)

d) (4x2+x2y -5y3)+( yxxyx 223 63

5 )+( 3

3

103

yx

)+ ( 3223 104156 xyxxyy )

Bài 10: Rút gọn biểu thức sau

a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)

3232

33323

83,29,681,37,5/

75256/

yyxxyyxyyxc

yxxyxxb

d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e)

5

4

52

5

5

7

9

2

63

3

2 xxxx

xM

Bài 11: Tìm x biết:

a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213

b) 6

1

4

1

3

1

2

1 xx c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)

4

2

3

1

xx



78

e)12

11

11

10

10

9

9

8

8

7

7

6

xxxxxx f)

14

27

13

38

12

23

11

32

xxxx

g) 132 x h) 3

128423 xx i)

3

23523 1 xx k)

2x + 2x =3

m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = 3

1

2

1 p) ( x-1)3 = (x-

1)

q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự

nhiên

Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ

CHÍNH PHƯƠNG. I/ MỤC TIÊU: 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương. 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan. 3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế. II/ LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên Ví dụ: 22515;93 22

Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương 2. Một số tính chất: a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8. b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.



79

Thật vậy ,giả sử 25aM = .25100100)510( 22 aaa

Vì chữ số hàng chục của 2100 a và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M

là 2 c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó

là số lẻ. Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ), Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16. Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ. d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ . Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì , A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…

Từ tính chất này suy ra

-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. -Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. -Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

3/ Nhận biết một số chính phương: 4/ Hằng đẳng thức vận dụng: (a b)2 = a2 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b) 5. Các ví dụ: Ví dụ 1. Chứng minh rằng : a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 họăc 4n +3 (nN);

b) Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nN).

Giải a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia

hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) , Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(nN)

b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k 1 (k N) khi đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k 1)2= 9k2

6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nN).

Ví dụ 2:



80

Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.

Giải Cách 1 . Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương.

Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a2 nên a2 4. Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là số chính phương Ví dụ3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương

Trả lời n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169. Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84. Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 37; 73; 121; 181; 253. Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương. Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương

Giải Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (1)

a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (mN) Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ . Đặt m=2k+1 (kN) Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không là số chính phương b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3. Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP BÀI GIẢI



81

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: 1/ n có chữ số tận cùng là 2 2/ n + 20 là một số chính phương 3/ n – 69 là một số chính phương

Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng. Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b N và a > b) => a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1

Do đó: a b 89

a b 1

suy ra a = 45. Vậy n = 452 –

20 = 2005 Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng: a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính phương. b/ N2 cũng là tổng của 2 số chính phương.

Gọi N = a2 + b2 (a, b N) a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương. b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2

Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng:(A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính phương.

Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2; Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính phương.

Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số chính phương.

Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0 => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0 => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn: a – b = c + d. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương.

Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0 => 2a(a – b – c – d) = 0 Nên ta suy ra: a2 + b2

+ c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b –

c – d) = (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2

Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 = = (n2 + n + 1)2 n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ. Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.

Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... + n a/ Tính an+1

a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)



82

b/ Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương

b/ an + an+1 = (1 n)n

2

+

(1 n 1)(n 1)

2

=

(n 1)(n n 2)

2

=

= (n + 1)2

C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4. Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương. Bài 2. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Bài3. Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Bài 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không? Bài 5 Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?


Documents

2.Cac Chuyen de Boi Duong Hoc Sinh Gioi Toan Lop 7