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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97
2Mstand/renf JtJ 2014
Chapitre 6: Fonctions trigonomtriques Prrequis: Gnralits sur les fonctions, Introduction drive, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.
6.1 Quelques rappels
Dfinitions
Les fonctions trigonomtriques sont dfinies laide du cercle trigonomtrique :
Considrons le point M du cercle trigonomtrique corres-pondant langle . Le cosinus de , not cos(), est la 1re coordonne (ou abs-cisse) de M. Le sinus de , not sin(), est la 2me coordonne (ou or-donne) de M. La tangente de , note tan(), est lordonne de T.
Relations fondamentales
(I) sin2() + cos2() =1
(II) tan() = sin()cos()
Valeurs particulires degrs radians sin cos tan
0
30
45
60
90
Graphes des fonctions trigo
98 CHAPITRE 6
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Priodicit
La fonction sinus est priodique de priode
sin( + ) = sin()
La fonction cosinus est priodique de priode
cos( + ) = cos()
La fonction tangente est priodique de priode
tan( + ) = tan()
a) Esquisser la fonction f (x) = 3sin x2
puis prciser sa
priode et son amplitude.
Exemple
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 99
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b) Esquisser la fonction f (x) = 12cos x + ( ) puis prciser
sa priode, son amplitude.
Exemple
Exercice 6.1 :
Esquisser les fonctions suivantes en prcisant sa priode, son amplitude:
a) f (x) = 2cos x3
b) f (x) = sin x +
2
c) f (x) = 3cos x2
+
Thorme
Si f (x) = a sin(bx + c) ou f (x) = a cos(bx + c), o a, b et c sont des rels non nuls, alors :
lamplitude vaut : | a |
la priode vaut : 2|b |
100 CHAPITRE 6
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On considre la fonction f dfinie par f (x) = 3cos x2
+
.
Dterminer lamplitude et la priode de f. En dduire son esquisse
Exemple
Exercice 6.2 :
Pour chacune des fonctions suivantes, dterminer sa priode et son amplitude :
a) f (x) = sin x 2
b) g(x) = 2cos 3x + ( )
c) h(x) = cos x2
+3
d) i(x) = 2sin 3x ( )
Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon-dantes ces 4 fonctions :
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6.2 Quelques quations trigonomtriques
Introduction
Une quation trigonomtrique est une quation contenant des expressions trigonomtriques. Il nexiste pas de m-thode universelle, mais le cercle trigonomtrique sera trs souvent votre alli.
Exemple
Rsoudre cos(2x) = -0,9
Exercice 6.3 :
Rsoudre les quations suivantes (en degrs):
a) cos(x) = 12
b) sin(3x) = 0,829
c) tan(x) = 0,754 d) cos(x) = 1,43
e) tanx
2
= 5,33 f) sin(3x) = 32
102 CHAPITRE 6
2Mstand/renf Jt 2014
Rsoudre sin 2x +2
= 32
Exemple
Exercice 6.4 :
Rsoudre les quations suivantes (en radians):
a) sin x +4
=1
2 b) cos x
3
=1
2
c) sin 2x 3
=1
2 d) cos 4x
4
=2
2
e) tan(2x + ) = 3 f) tan x2
= 1
Exemple
Rsoudre sin2 x( ) =1
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 103
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Exercice 6.5 :
Rsoudre les quations suivantes (en radians):
a) cos2 x( ) =1 b) sin2 x( ) = 14
c) tan2 x( ) = 3 d) sin2 x( ) = 34
e) tan2 x( ) =1 f) sin2(x) = cos2(x)
Exemple
Rsoudre 4cos2(x) 4cos(x) 3 = 0
Exercice 6.6 :
Rsoudre les quations suivantes (en degrs):
a) 2sin2(x) 5sin(x) + 2 = 0
b) 2cos2(x) 3cos(x) +1= 0
c) tan2(x) + 2tan(x) = 1
104 CHAPITRE 6
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Exemple
Rsoudre 3sin2(x) + cos2(x) 2 = 0
Exercice 6.7 :
Rsoudre les quations suivantes (en degrs):
b) 2cos2(x) sin(x) =1
c) 5sin(x) = 6cos2(x)
a) 3sin2(x) = 4 4cos(x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 105
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6.3 Drive des fonctions trigonomtriques
Introduction
l'image des chapitres prcdents, nous pourrions dtermi-ner la drive de la fonction f (x) = sin(x) laide du calcul
de limite : limxa
sin(x) sin(a)
x a.
Essayons de trouver cette drive en comparant les graphes de f (x) et de la pente de la tangente en plusieurs points.
x 2
y
2
2f(x) = sin(x)
x 2
y
1
1
f (x) = . . . . . . . . . Des dmarches analogues permettraient de justifier les rgles suivantes :
Les rgles de drivation des fonctions trigo :
8me rgle : Si f (x) = sin(x) f (x) = cos(x)
9me rgle : Si f (x) = cos(x) f (x) = sin(x)
10me rgle : Si f (x) = tan(x) f (x) = tan(x)( )2 +1
ou f (x) = 1cos(x)( )2
Exercice 6.8 :
Driver les fonctions suivantes :
a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x2 cos(x)
c) f (x) = cos(x) 2tan(x) d) f (x) =tan(x)
x
e) f (x) =sin(x)
1+ cos(x) f) f (x) =
x
sin(x)+ cos(x)
106 CHAPITRE 6
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Exercice 6.9 :
En combinant les rgles 8 et 9 du tableau prcdent, justifier la 10me rgle (sous les deux formes).
Exercice 6.10 :
Dterminer lquation de la tangente la courbe au point indiqu :
a) f (x) = tan(x) au point dabscisse x = b) f (x) = x cos(x) au point dabscisse x =
Exercice 6.11 :
En quelles valeurs de x [0; 2] la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?
6.4 La drive de fonctions composes
Introduction
Nous avons dj eu loccasion de driver quelques fonctions composes ; en effet les fonctions : f (x) = x 2 correspond f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = et h(x) =
f (x) = (3x 5)3 correspond f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = et h(x) =
f (x) =1
x2 + 43
correspond f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = et h(x) =
Lors du calcul de ces 3 drives, nous avons vu apparatre ce que nous avons appel la drive interne. Ceci se gn-ralise lors du calcul de la drive de toutes les fonctions composes.
Les rgles de drivation des fonctions composes :
11me rgle : Si f (x) = sin g(x)( ) f (x) = cos g(x)( ) g (x)
12me rgle : Si f (x) = cos g(x)( ) f (x) = sin g(x)( ) g (x)
13me rgle : Si f (x) = tan g(x)( ) f (x) = 1cos g(x)( )( )2
g (x) = g (x)cos g(x)( )( )2
ou plus gnralement pour toutes les fonctions composes :
14me rgle : Si f (x) = g(x) h(x) = g h(x)( ) f (x) = g h(x)( ) h (x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 107
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Exemple
driver les 2 fonctions suivantes :
a) f (x) = sin x2( ) b) f (x) = sin(x)( )2
Exercice 6.12 : Driver les fonctions suivantes : a) f (x) = tan(3x) b) f (x) = cos(x3 ) c) f (x) = cos3(x) d) f (x) = x sin 1
x
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