2nde_crsfctsgeneralites_0

7/25/2019 2nde_crsfctsgeneralites_0

1/5

Gnralits sur les fonctions numriques

Seconde

Table des matires

I Notion de fonction 1

II Ensemble de dfinition 1

III Reprsentation graphique 2

IV Calcul dimages et dantcdents 2

V Rsolution graphique dquation 3


2/5

Seconde Gnralits sur les fonctions numriques

I Notion de fonction

Dfinition 1

SoitDun intervalle ou une runion dintervalles de R.1. Dfinir une fonction f deDdans R, cest associer chaque rel x deD un unique rel, not

f(x).

2. On dit queDest lensemble de dfinition de f, ou encore que la fonction fest dfinie surD.3. Dans ce cas le rel x sappelle la variable et le rel f(x) sappelle limage de x parf.

4. Si f(x) =y , alors on dit que x est un antcdent de y par f.

Notation :

Il existe plusieurs manires quivalentes de faire rfrence une fonction :

la fonctionAdfinie sur [0; 60] parA(x) = x (120 2x) ; la fonctionAqui tout rel x de lintervalle [0; 60] associe le rel x (120 2x) et on note :

A : [0 ; 60] Rx x (120 2x)

la fonctionA: xx (120 2x) pour x[0 ; 60].

II Ensemble de dfinition

Dfinition 2Lensemble de dfinition de la fonction f est lensemble des rels pour lesquels il est possible dedterminer leur image par la fonction f.

Exemple 1

Soit la fonction fdfinie par f(x) = 3x2 +x+ 5.Il est possible de calculer limage de nimporte quel rel x, donc lensemble de dfinition def est R, on noteDf= R.

Soit la fonction g dfinie par g(x) = x2

x 1 .g est dfinie si et seulement si x 1= 0 ;

si et seulement si x= 1.Lensemble de dfinition de la fonction g est] ; 1[]1 ; +[, on noteDg = R\{1}.

Soit la fonction h dfinie par h(x) = 2 x.h est dfinie si et seulement si 2 x 0 ;

si et seulement si x 2.

Lensemble de dfinition de la fonction h est] ; 2], on noteDh=] ; 2].

1/4


3/5


III Reprsentation graphique

Dans tout ce paragraphe, on considre le repre (O; ,) et une fonction fdfinie surDf.

Dfinition 3

La reprsentation graphique ou courbe reprsentative de f, noteCf dans le repre (O; ,)est lensemble des points de coordonnes (x ; f(x)) o x est un lment deDf.On dit que la courbeCfa pour quation y = f(x) dans le repre(O; , ) .

Proprit 1

Dire quun point M de coordonnes (a ; b)appartient Cfrevient dire que a appar-tient Df et b= f(a).

0

I

J

point incluspoint exclus

CfM

a

b

Exemple 2

Le point M

1

3;

8

3

appartient-il la courbe de la fonction dfinie sur R parf(x) = 3x+

4

3?

f

1

3

= 3 1

3+

4

3=

7

3.

Comme 73=83 , le point Mnappartient pas la courbe reprsentative de f.

Remarque1

La lecture graphique ne donne le plus souvent que des valeurs approches.Si fest dfinie par une formule, le calcul permet davoir une valeur exacte.

IV Calcul dimages et dantcdents

Cas o la fonction est dfinie par une courbe :

Lensemble de dfinition de la fonction f est[2 ; 3]Le nombre1a pour image2,5par f doncf(1) = 2,5.Les nombres2 et 2 sont les antcdents de1 par fcarf(2) =f(2) =1. 1 1 1

1

3

3

222

2,5

0

Cf

2/4


4/5


Cas o la fonction est dfinie par un tableau :

Lensemble de dfinition de la fonction g est

Dg = 1 ;12 ; 0 ; 3

2 ; 2

.

g

3

2

= 0 donc limage de

3

2 par g est 0.

g(1) = 2 et g(2) = 2 donc les antcdents de 2 parg sont1 et 2.

Nombre x 1 1

2 0

3

2 2

Image g(x) 2 4 2

30 2

Cas o la fonction est dfinie par une formule :

Soit h la fonction dfinie sur R par h(x) =

x2 + 1.

Pour dterminer limage de6 par h, on remplace x par6 dans lexpression de h(x) :

h(6) =(6)2 + 1 =35.

Pour dterminer les antcdents de 0 par h, on rsoud lquation :

x2 + 1 = 0x2 = 1

x2 = 1

x=1 ou x= 1Les antcdents de0 par h sont1 et1.

V Rsolution graphique dquation

Dans ce paragrapheCf etCg sont les courbes de fonctions f et g dans un repre et k est un nombrerel.

Mthode :

Rsoudre graphiquement lquationf

(x

) =k

, revient trouver les abscisses des points de la courbeCfqui ont pour ordonnes k.Il y a autant de solutions que de points qui ont une ordonne gale k.

Exemple 3

Sur la figure ci-contre, les solutions de lquationf(x) = 1,5 sont les abscisses des points deCf quiont pour ordonnes 1,5.Les solutions de cette quation sont2,1 et0.

3

2

1 1 2

1

2

0

Cf1,5

3/4


5/5


Mthode :

Rsoudre graphiquement lquationf(x) = g(x), revient trouver les abscisses des points dintersectiondes courbesCf etCg.Il y a autant de solutions que de points dintersection entre

Cf et

Cg.

Exemple 4

Sur la figure ci-contre, les solutions de lquationf(x) = g(x) sont les abscisses des points dinter-section de la courbeCfet de la courbeCg.Les solutions de cette quation sont1,5 et1,5.

3 2 1 1 2

1

2

0

Cf

Cg

1,5 1,5

4/4

Documents

2nde_crsfctsgeneralites_0