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Aula 7 _ Progressão Aritmética

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA

2º Trimestre

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SEQUÊNCIA NUMÉRICA

SEQUÊNCIA NUMÉRICADenominamos por “Sequência Numérica” uma função “ f ”, cujo domínio é o conjunto dos números naturais não nulos e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais. Em outras palavras, uma seqüência numérica é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem.EXEMPLOS:• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares;• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares maiores do que 7 e menores do que 15. • O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...) é uma seqüência de números que ________________________.Matematicamente quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a1 , o 2º termo por a2

e assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo an. EXEMPLOS: (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = ; a2 = ; a4 =

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SEQUÊNCIA NUMÉRICA

LEI DE FORMAÇÃOPara determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação. Ou seja, uma função.

EXEMPLO:Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que an = 10n + 1.

EXEMPLO:A seqüência definida pela lei de formação an = 2n² – 1, apresenta an como sendo o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência.

Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.

Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência. • n = 1 → a1 = • n = 2 → a2 = • n = 3 → a3 = • n = 4 → a4 =

Assim a sequência formada é __________________________

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SEQUÊNCIA NUMÉRICA

EXEMPLO:(PUC – SP) Seja “n” um número qualquer, inteiro e positivo. Se “n” for par, divida-o por 2; Se “n” for ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Sendo a1 = 11, o termo que an será igual a 1 quando n for igual a:A) 7 B) 8 C) 11 D) 15 E) 17

EXEMPLO:Complete a tabela:

SEQUÊNCIA LEI DE FORMAÇÃO

NÚMEROSNATURAIS

NÚMEROS TRIÂNGULARES

NÚMEROS QUADRADOS

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA é uma sequência numérica onde qualquer termo, a partir do segundo, pode ser obtido pela soma do termo imediatamente anterior com um valor constante denominado razão da P.A.EXEMPLOS:(1, 3, 5, 7, ...) é uma P. A. de razão 2;(6, 3, 0, –3, –6, –9) é uma P.A. de razão – 3.Conseqüências:A diferença entre dois termos consecutivos é constante e igual

à razão da P.A., ou seja: a4 – a3 = a3 – a2 = an – an–1 = rSe r > 0, então a P.A. é crescente;

Se r = 0 , então a P.A. é constate;Se r < 0, então a P.A. é decrescente.

Um termo qualquer, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos que lhe são eqüidistantes, ou seja:

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.A Numa P.A. de razão r e primeiro termo a1 , podemos obter um termo qualquer an através da seguinte relação:

an = a1 + (n – 1).rDEMONSTRAÇÃOConsidere uma P.A. qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r. Observe que: a2 =a3 =a4 =a5 =a6 = … an =

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Testando os Conhecimentos

1 – Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

2 – (MACK-SP) O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é:A) 63 B) 65 C) 92 D) 95 E) 98

3 – (FEI-SP) A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12, vale:A) -5 B) -9 C) -6 D) -7 E) 0

4 – (PUC – PR) – Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:A) 45 B) 38 C) 43 D) 31 E) 57

5 – (IFPB) A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 e a4 + a7= 29, vale:A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITAPodemos calcular a soma de termos de uma P.A. se conhecermos o primeiro termo da progressão, o último termo e a quantidade de termos a serem somados através da fórmula:

DEMONSTRAÇÃO (numérica)

Considere a P.A. finita (1, 2, 3, ..., 98, 99, 100) de razão igual a 1. Determine: a1 + an =

a2 +an-1 =

a3 + an-2 =

Quantas parcelas iguais teríamos se somássemos todos os termos?

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Testando os Conhecimentos

6 – (UFPI) A soma dos números pares de 2 a 400 é igual á:A) 7432 B) 8200 C) 40200 D) 80200 E) 20400

7 – (FATEC - SP) Se o tremo geral de uma PA é an = 5n - 13, então a soma de seus 50 primeiros termos é:A) 5850 B) 5725 C) 5650 D) 5225 E) 5150

8 – (UFRN) Caixas são empilhadas de modo que, vistas do topo para baixo, se observa o seguinte:Uma fica em cima de duas, duas em cima de três, três em cima de quatro, e assim sucessivamente. Um funcionário experiente sabia que, para obter o total de caixas num empilhamento desse tipo, bastava contar quantas havia na base. Para conferir que existiam 210 caixas empilhadas, ele constatou que, na base, o número de caixas eraA) 30. B) 40. C) 20. D) 10.

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

Resolva os exercícios do livro:P. 196 _ 8 e 9P. 203 _ 26, 29, 33 e 35P.204 _ 42 e 43P. 205 _ 50P.208 _ 53, 54, 58, 59 e 62OBS: Foram selecionados 14 exercícios de um total de 62 exercícios do referente capítulo do livro.

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