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GUIRAMAND 1 02/04/2012
SYSTEMES DU 2ème ORDRE :
CAS DES FILTRES ACTIFS
RAPPELS DE COURS
Un filtre idéal a pour but de séparer les signaux utiles
des signaux indésirables.Exemples :
- élimination du 50Hz ou un multiple dû à
l’alimentation.- aiguillage des signaux vers les différents
haut-parleurs d’une chaîne musicale.
Le filtre idéal transmettrait toutes les composantes
utiles sans atténuation ni déphasage,sans retard, tout en
supprimant complètement les composantes indésirables.Le module d’un
tel filtre serait :
GdB GdB
Passe-bas Passe-bande
f c f f1 f2 f
L’ordre du filtre est l’ordre du polynôme de sa
fonction de transfert.
Les filtres actifs d’ordre n sont l’association de filtres du
premier et du deuxième ordre. Aprèsl’étude du premier, nous allons
donc étudier les filtres du deuxième ordre, étude qui peutêtre
généralisée à un système du deuxième ordre.
La fonction de transfert des trois principaux filtre peut
être mise sous la forme suivante :
On rencontre couramment deux structures, celle de
Sallen-Key et celle de Rauch.
T(p) =(
p ωn
)m
1+ 2zp
ωn + (
p
ωn) 2
m = 0 : passe-bas
m = 1 : passe-bande
m = 2 : passe-haut.
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Filtre du deuxième ordre :
structure de Sallen-Key structure de Rauch
Voir exercices.
Filtre du deuxième ordre : K
(p
ωωωωn)m
1+ 2zp
ωωωωn + (
p
ωωωωn) 2
Z : coefficient d’amortissement.Q0 = 1/2Z : coefficient de
qualité.
ωn : pulsation naturelle.
Filtre passe-bas : m = 0. ( les autres cas s’en déduisent).
T(p) = K1
1+ 2zp
ωωωωn + (
p
ωωωωn) 2
A ) Etude harmonique :
Le comportement du filtre dépend de trois paramètres : K, ωn,
z.
Le dénominateur est 1+2z jωωn
+ ( jωωn
)2 .
Étudions le comportement du dénominateur pour différentes
valeurs de z :
Z >1 :
Le polynôme du 2ème ordre se décompose en deux polynômes du
premier ordre :
1+2z jωωn + (
jωωn )
2
= [ 1 + jωωn ( z + z
2
-1 ) ] [ 1 + jωωn ( z - z
2
-1 ) ]
+Vcc
-Vcc
e(t)
s(t)
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
∞
+Vcc
-Vcc
e(t)
s(t)
Y1
Y2
Y3
Y4
∞
R2
R1
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Z 1, il faut décomposer S(p) en éléments simples et en déduire à
l’aide de la table des
correspondances, s(t).Même chose pour z
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GUIRAMAND 4 02/04/2012
1. Trouver l’expression de la fonction de transfert en
fonction des admittances. Poser R2 = (K-1)R1On utilisera la
méthode des nœuds (Millman) au nœud A et au nœud B, puis on
résoudra ce système à2 inconnues VA et VB pour exprimer le rapport
S/E 2. Refaire le schéma avec Y1 et Y3 des
résistances (R1, R2) , Y2 et Y4 des condensateur C1 et C2
, et K=1 (montage suiveur)
3.
En déduire la fonction de transfert du filtre en fonction des Ri
et Ci.4. Déterminer par identification les paramètres du
filtre : f n = ωωωωn/2π/2π/2π/2π, z, Q0et le gain A
5. Etude Harmonique 5.1. Tracer les
diagrammes asymptotiques (module et argument) pour K= 15.2.
Donner l’expression du module. 5.3. Trouver la condition
sur z, pour que |T(jω)| possède un extremum à la pulsation de
résonance5.4. Donner l’expression de ωr et celle de
|T(jωr)|. 5.5. Donner l’expression de
|T(jωn)|. 5.6. Donner l’expression de la bande passante
à – 3dB. 5.7. Donner l’expression de arg(T(jωn)) . Ce
point correspond au point d’inflexion de la courbe
des phases.
.Exercice 2 : Structure de Sallen-Key- Filtre
passe-haut
1. Refaire le schéma initiale avec Y1 et Y3 des
condensateurs (C1, C2) Y2 une résistance R1 et Y4une résistance R2
(K=1 : montage suiveur)
2. En déduire la fonction de transfert du filtre en
fonction des Ri et Ci.3. Calculer les paramètres du
filtre : f n = ωωωωn/2π/2π/2π/2π, z, Q0et le gain A
4. Etude harmonique :Tracer les diagrammes
asymptotiques (module et argument) pour K= 1 : 5.
Etude Indicielle :
5.1. Écrire la relation qui existe entre la fonction de
transfert du filtre passe-bande par rapport au
filtre passe-bas, puis entre le filtre passe-haut et le filtre
passe-bande.5.2. En déduire de la réponse indicielle du
filtre passe-bas, celle du filtre passe-bande et enfin
celle du passe-haut pour z=0,1 (allure)
Exercice 3 : Structure de Rauch
+Vcc
-Vcce(t)
s(t)
Y1
Y2
Y3
Y4
∞
R2
R1
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1.
Trouver la fonction de transfert de ce filtre en fonction
des admittances. 2. Refaire le schéma avec Y1, Y2, Y5
des résistances (R1, R2, R3),Y3 un condensateur C2 et Y4 un
condensateur C1.3. En déduire la transmittance du
filtre en fonction des Ri et Ci. De quel type de filtre
s’agit-il ?4. Donner les expressions de A et 2z en
fonction des Ri, Ci et de ωωωω
n à partir des 3
équations déterminées par identification. 5.
Etude harmonique :
Tracer les diagrammes asymptotiques (module et argument) :
3
2
6
1 5
7
4
U2
LF351
Y3
Y4
e(t)
B
Y2
Y1
s(t)
A
Y5
Figure 2
