2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jan-14 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza1 Método de Volume de Controle Prof. Dr. Ricardo A. Mazza 2PFG/DE/FEM/UNICAMP

04/11/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 12PF

G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Método de Volume de ControleMétodo de Volume de Controle

Prof. Dr. Ricardo A. Mazza

2PFG/DE/FEM/UNICAMP


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

• Suhas V Patankar – Numerical Heat Transfer and Fluid Flow

• Versteeg H. K. and Malalasekera W – An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Forma geral da equação de transporteForma geral da equação de transporte

• t é o tempo;• é a densidade;• V é o vetor velocidade;• é a propriedade a ser conservada;• é o coeficiente de difusão de ;• S representa os termos fontes;

{ { {FonteConvecção Difusão

Transiente

V St

r

1442443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Quantidade de movimentoQuantidade de movimento

• U, V, W e = .(L + T)

– L e T são as contribuições das viscosidades cinemáticas de origem Laminar e Turbulenta

• S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + Atrito com paredes + Força centrífuga + Força Coriolis + Termos de empuxo + ...

V VV V P gt

r r r r r


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Conservação de energia - EntalpiaConservação de energia - Entalpia

• = h e = .[(L /PrL) + (T /PrT)]

– onde PrL e PrT são os números de Prandtl de origem Laminar (L/L) e Turbulenta (T/T)

• S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2S:S + fontes/sorvedouros de calor + condições de contorno (entradas, paredes e saídas) do domínio

DPh Vh h 2 S : S outros

t Dt

r


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Conservação de espécie químicaConservação de espécie química

• = C e = .[(L /PrL) + (T /PrT)] – C é fração molar, de massa ou volume de uma espécie

química;

– PrL e PrT são os números de Prandtl devido a transferência de massa de origem Laminar (L/DL) e Turbulenta (T/DT):

• Conhecidos por número de Schmidt onde D é o coeficiente de difusão de massa.

• S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão) + empuxo + forças devidas a gradientes térmicos (efeito de Soret) + ...


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Equações auxiliaresEquações auxiliares• São utilizadas para definir:

– Propriedades Termodinâmicas• densidade, entalpia, entropia, etc

– Propriedades de Transporte: • viscosidade, difusividade, condutividade, etc

– Termos Fonte: • leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc

– Termos ártificiais´:• Falso transiente para relaxação e condições de contorno

• Todos os termos acima dependem de uma ou mais variáveis e/ou das equações que estão sendo resolvidas;– Quanto maior o número de equações auxiliares, maior o ´grau´ de não-

linearidade do sistema.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Equação de transporte e MVFEquação de transporte e MVF• As equações de conservação não são resolvidas

diretamente:– São discretizadas na forma de um sistema de um sistema

algébrico de equações lineares:• Esse sistema representa o balanço dos fluxos e o armazenamento de uma

propriedade (massa, momento, energia, etc). – As equações algébricas são obtidas a partir da integração das

eqs. de conservação;– São necessárias interpolações para se obter valores das

grandezas escalares e vetoriais;• Não são utilizadas expansão em série de Taylor

(diferenças finitas) nem princípios variacionais (elementos finitos)


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Método dos Volume FinitosMétodo dos Volume Finitos

• O espaço é representado por diversos V.C. adjacentes que compõem todo domínio.

• As equações de conservação são integradas para cada V.C. para se chegar a uma equação algébrica que contem os valores de na grade.

• A equação discretizada expressa o princípio de conservação para o volume finito da mesma maneira que a equação diferencial expressa-o para um volume de controle infinitezimal.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Conseqüências do MVFConseqüências do MVF

• A equação algébrica resultante implica que a conservação é satisfeita para cada V.C. do domínio.– Conserva o balanço das propriedades em todo o domínio;

– Isto se aplica para grades com qualquer número de pontos (volumes), não somente para grades refinadas.

• Por este motivo diz-se que o método dá ao modelo uma forte base da física do problema;– Uma solução convergida implica em uma solução que satisfaz

os princípios de conservação que regem as equações.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Forma de FluxoForma de Fluxo

• A forma geral da equação de conservação pode ser escrita na forma de fluxo como:

• sendo um escalar J um vetor

• sendo um vetor J um tensor

PJ S St

onde J V

r


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Integrando a Eq. de ConservaçãoIntegrando a Eq. de Conservação

• A equação de transporte pode ser integrada no V.C. com o auxílio do Teorema de Gauss:

P

VC S VC

d n.J dA S S dt

r


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Célula de cálculo – 2DCélula de cálculo – 2D

• Considerando uma célula de cálculo 2D como:

• Pode-se integrar as equação de conservação na forma de fluxo


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

IntegrandoIntegrando

• Assumindo um perfil de interpolação para J no VC – constante – pode-se calcular as integrais acima como:

i i

n op p P

e e w w n n s s

x xi

J A J A J A J A S St

donde J V

dx


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Forma discretizada – 2D Forma discretizada – 2D

• As EVF’s podem ser re-escritas na forma de um sistema de equações algébricas:

• Ou na forma de resíduo

P P N N S S E E W W T T

P N S E W T

a a a a a a S

onde a a a a a a

N N P S S P E E P

W W P T T P

a a a

a a S 0


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Transporte de um escalarTransporte de um escalar

• Considerando somente difusão pura – Condução por exemplo

• O termo de fluxo para esse caso pode ser escrito como:

J 0 T k T k T


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Je

Jn

Js

Jw


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Integrando no VCIntegrando no VC

n op p T T T T T

e e w w n n s s

Ti

p i

T Te we P E w P W

p EP p WP

T T snn P N s P S

p NP p SP

T TJ A J A J A J A S

tk dT

Jc dx

k kJ T T ; J T T ;

c c

kkJ T T J T T ;

c c


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Buscando os a’sBuscando os a’s

n op p

n n n ne we P E w P W

p EP p WP

n n n n Tsnn P N s P S

p NP p SP

T Tt

k kA T T A T T

c c

kkA T T A T T S

c c


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Equação discretizadaEquação discretizada

n op p

n n n ne we P E w P W

p EP p WP

n n n n Tsnn P N s P S

p NP p SP

T Tt

k kA T T A T T

c c

kkA T T A T T S

c c


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Forma geral da eq. discretizadaForma geral da eq. discretizada

• Note que todos os termos da equação algébrica discretizada podem ser colocados numa forma geral do tipo:

– T é um tipo geométrico: área ou volume

– C é um coeficiente que pode estar associado a um coeficiente de difusão e fatores geométricos da malha

– V é o valor que a variável vizinha ao ponto P assume

– P é o valor da variável no ponto P

PS T.C Value ;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Convecção e difusão de um escalarConvecção e difusão de um escalar

• Nesse caso o fluxo seria escrito como:

n op p P

e e w w n n s s

i ii

J A J A J A J A S St

donde J u

dx


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Je

Jn

Js

Jw


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Integrando no VC (Integrando no VC ( = T) = T)

n op p T T T T T

e e w w n n s s

Ti i

p i

T Te we e e p P E w w w p P W

p EP p WP

T T snn n n p P N s s s p P S

p NP p SP

T TJ A J A J A J A S

tk dT

J u Tc dx

k kJ u T T T ; J u T T T ;

c c

kkJ u T T T J u T T T

c c

;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Fluxo de massaFluxo de massa

• Os fluxos de massa são calculados por:

• Para cada face do volume de controlei i i im u A&

e e e e w w w w

n n n n s s s s

m u A m u A

m u A m u A

& &

& &


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Coeficiente de difusãoCoeficiente de difusão

• E o coeficiente de difusão por:

p p

k k=

Pr c c

e e w we w

p EP p WP

s s n ns n

p SP p NP

k A k Ad d

c c

k A k Ad d

c c


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Coeficientes a’sCoeficientes a’s

• Definindo coeficientes a’s que transmitem os efeitos convectivos, difusivos e transientes às EVF:

T,

a max 0,d m max 0, m

a max 0,d m max 0,m

at

& &

& &


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D Fluxos de massa e coeficientes de Fluxos de massa e coeficientes de difusãodifusão

• Os fluxos de massa são calculados por:

• E o coeficiente de difusão por:

m V A &

Ad

L


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Termo Termo

• Realiza uma ponderação entre a difusão e a convecção.

• Existem diversas proposições de se realizar esta ponderação que originaram diferentes esquemas de discretização;

• Os diversos esquemas são obtidos com valores apropriados de

e emax 0,d m &


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

HibridoHibrido

• É o esquema padrão do PHOENICS e é acesso pela variável DIFCUT no grupo 8

• É obtido com = ½;– garante que o efeito da difusão é nulo se o Peclet da

célula for > 2


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

UpwindUpwind

• É obtido com a = ½;

• Os fluxos difusivos contribuem independentemente do valor de Peclet


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

ObservaçõesObservações

• Os coeficientes a’s são aproximados– Não se conhece ‘a priori’ os campos reais de velocidade e

outros escaleres – São calculados e corrigidos posteriormente, sendo que as

correções tendem a zero com convergência.

• Os acoplamentos aumenta com:– Aumento da velocidade, da área da face, da densidade do

fluido e do coeficiente de difusão

• Os acoplamentos diminuem com:– Aumento da distância internodal;

• Os coeficientes são SEMPRE POSITIVOS


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Forma geralForma geral

• A contribuição de um nó vizinho ao ponto P é dada pelo produto de seu coeficiente e da diferença entre o nó e o vizinho, por exemplo

– que também pode ser colocado na forma geral distinguindo-se os coeficientes de difusão e convecção, C , CP :

W P W w w w P W

CONVECÇÃODIFUSÃO

a max 0,d m max 0, m

& &14444424444431444444442444444443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

S = T.C.(Value-S = T.C.(Value-))

{ { {

{

w wW Ww w

w

P P PA A

max U,0A P

x

S T . C Value T . C Value ;

1442443 1442443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Acoplamento pressão e velocidadesAcoplamento pressão e velocidades• Nova situações surgem para a eq. conservação de

movimento:– é um vetor e J passa a ter uma natureza tensorial;– Isto faz surgir três equações de conservação, uma para cada

direção.• A determinação dos fluxos requer cuidados especiais;

– Para a estabilidade, as velocidades são armazenadas nas faces dos volumes de controle.

– O deslocamento das malhas requer um número extra de interpolações lineares para se determinar as propriedades nas faces e os coeficientes;

• É necessário se conhecer a pressão!


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Determinação da pressãoDeterminação da pressão

• Uma dificuldade extra na necessidade de se determinar a pressão:– Os gradientes de pressão presentes nas equações de

momento agem como termos fontes e são necessários para se calcular o momento;

– Não há porém, uma equação óbvia para determinar a pressão.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D SIMPLE – Semi Implicit Pressure SIMPLE – Semi Implicit Pressure Linked EquationLinked Equation

• A equação da pressão não é resolvida diretamente, mas suas correções.

• O algorítmo SIMPLE é um algorítmo do tipo Preditor/Corretor


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Campo Inicial Velocidades & Pressão

Determine Coef. aE, aW, aS, aN, aT

Resolva U* (preditor)

Determine Massa D*

Resolva P´

Passo CorretorP = P* + PÚ = U* + U´


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Correção da pressãoCorreção da pressão

• Velocidade e pressão são determinados em duas etapas: – 1a valores de U são preditos porém imprecisos pois

não satisfazem a massa; – 2a os valores de P e U são corrigidos para satisfazer a

massa.

• Isto garante que em cada iteração os campos resultantes satisfazem a massa.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Fase preditoraFase preditora

• Com um campo inicial aproximado de U* e P*, pode-se calcular os coeficientes e resolver as equações de conservação de quantidade de movimento para obter um campo de velocidade;

• Esse campo não satisfaz a massa, somente a conservação de quantidade de movimento;

* * * *P,i P,i nb,i nb,i i P i ia U a U S P P A

i x,y e z


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Fase corretoraFase corretora

• Os valores de U* e P* são corrigidos para se obter novos valores que satisfaça a conservação de massa;

• Os valores para as novas variáveis serão calculados como:

Ui = Ui* + Ui’; P = P*+P’

• As equações de U’ e P’ são obtidas com auxílio da equação de conservação da massa;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Correção das velocidadesCorreção das velocidades

• A equação da massa para a U* e U’:

• Velocidade em função da pressão:

*

´ ´ ´ é e w w n n s s

correção velocidade satisfazer massa

* * * *e e w w n n s s

D balanço massa preditor

U A U A V A V A

U A U A V A V A

14444444444444444244444444444444443

1444444444444444442444444444444444443

´ ´ ´ ´P,I P,i nb,i nb,i P i i

0(SIMPLE)

a U a U P P A

14444244443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Correção da pressãoCorreção da pressão

• Substituindo a equação para a correção da velocidade na conservação de massa:

E W

N S

´ ´ ´ é e P E w w P W

a a

´ ´ ´ ´ *n n P N s s P S

a a

d A P P d A P P

d A P P d A P P D

1442443 1442443

1442443 1442443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

SIMPLE passo a passoSIMPLE passo a passo1. Campo Inicial de Pressão e Velocidades;2. Determine os coeficientes a´s; 3. Resolva o campo ímperfeito´ das velocidades, U*, baseado

nas estimativas iniciais de P*;

4. Resolva a equação de correção da pressão, P´

5. Atualize (corrija) os valores de pressão e de velocidades para satisfazer o balanço de massa em cada volume

6. Retorne passo (2) utilizando valores de P e U corrigidos em (5)

* * * *e e nb nb P E ea U a U S P P A

´ ´ ´ ´ ´P P E E W W N N S Sa P a P a P a P a P D*

{ { * * ´ * * ´ é e e P E

atual preditor corretor

P P P ; U U d P P 14444244443


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Campo realCampo real

• O campo real será obtido como:

U = U* + U´; V = V* + V´; P = P*+P´


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Solução numérica das equaçõesSolução numérica das equações


2PFG/DE/FEM/UNICAMP


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Equações de conservaçãoEquações de conservação

• Uma equação algébrica e linear é criada para cada variável e para cada volume de controle da malha:

• O conjunto de equações aplicadas a todos os volumes de controle geram um sistema de equações lineares;


P N S E W T

a a a a a a S

onde a a a a a a


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Controle de soluçãoControle de solução

• O PHOENICS pode resolver o sistema linear resultante de diversas formas;

• Iremos apresentar as possíveis formas;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Método Método : Point By Point (PBP): Point By Point (PBP)

• Calcula o valor novo (n) por meio da média dos valores dos vizinhos obtidos no tempo anterior (o):

• Os valores calculados são atualizados após ser concluída a varredura do ´slab´ (plano XY visitado).

•

N S E W T

P

o o o o oN S E W Tn

N S E W T

a a a a a S

a a a a a


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Características e aplicaçõesCaracterísticas e aplicações (PBP) (PBP)

• PBP é útil para sistemas fortemente acoplados ou não-linearidades severas:

• Baixa taxa de variação na variável de uma varredura para outra.

• Ele é frequentemente utilizado para velocidades especialmente quando os efeitos viscosos não são importantes.

• Em outras circunstâncias, PBP conduz a um tempo de processamento longo devido a baixa taxa de convergência. A informação viaja um intervalo da grade por iteração.

•


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Método Método : Slabwise: Slabwise

• É o método default do PHOENICS para escalares e velocidades.

• Utiliza uma extensão do método TDMA (stone ou gradiente conjugado)

• Resolve simultaneamente todos valores num plano (XY) que pertence a uma dada posição IZ.

• Ele assume que os valores pertencentes aos volumes adjacentes são aqueles de sua última iteração.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

nSS

nNN

nPP aaa

Z

Y

Saaa oTT

oNN

oLL


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

CaracterísticasCaracterísticas: Slabwise: Slabwise• A informação é transmitida de uma só vez em todo o slab e

portanto sua taxa de convergência é mais rápida que o Jacobi onde a informação viaja um intervalo de grade por iteração

• No PHOENICS a varredura é sempre realizada na direção Z.– Para ser efetivo a direção principal do escoamento deve ser a direção Z.

• Se os coeficientes numa direção são muito maiores daqueles em outras direções, uma varredura na direção transversal a direção dos coeficientes dominantes resulta em uma taxa de convergência muito rápida.

• Devido às não-linearidades e pelos valores das variáveis fora do ‘slab’ serem aquelas da iteração anterior, é muito raro ter necessidade de se obter soluções precisas para um ‘slab’. É mais econômico varrer o domínio diversas vezes.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Slabwise x ParabólicoSlabwise x Parabólico

• A opção ´slabwise´ é sempre empregada para escoamentos parabólicos.

• O processo de marcha se dá sempre na direção Z. • Neste caso, a solução depende somente dos valores do

slab da face ´LOW´ ;• Nestas circunstâncias é necessário obter uma solução

completamente convergida em cada ´slab´ uma vez que ele será visitado somente uma única vez na simulação parabólica.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

MétodoMétodo: Whole Field: Whole Field• Opera também como uma extensão do algoritmo

TDMA. – Neste caso a informação é propagada em todo domínio e não

em cada distância entre nós da grade ou entre ´slabs´.• Ele requer uma maior capacidade de armazenamento

porém é sempre recomendado quando as não-linearidades são pequenas:– Condução de calor e escoamento potencial.

• O campo de velocidade nunca é resolvido dessa forma• É sempre recomendado para eq. de correção da

pressão porque ele é capaz de transmitir as condições de contorno e bloqueios rapidamente em todo domínio


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Controle de convergênciaControle de convergência


2PFG/DE/FEM/UNICAMP


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

RelaxaçãoRelaxação

• É uma técnica utilizada para obter soluções convergidas fazendo com que as correções sejam diminuídas;

• A relaxação não altera a solução convergida, apenas a taxa de convergência;

• Há dois tipos de relaxação que se pode utilizar:– Linear– False time step (Falso transiente)


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Relaxação linearRelaxação linear

• É feito uma ponderação linear entre as soluções antiga e nova para compor a variável:

= (1 – ) old + new

• Se = 0 = old não há correção

• Se = 1 = new não há relaxação

• O comando do PHOENICS que activa a relaxação linear é:– RELAX(, LNRLX, )


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Falso transiente (False time step)Falso transiente (False time step)

• É obtido adicionando-se um termo fonte no lado direito da equação de transporte discretizada;

• O termo adicionado é:

• A relaxação é ajustada escolhendo valores para dt:– dt elevados = new não há relaxação

– dt pequenos = old não há correção

oldp pdt


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Escolha do parâmetro dtEscolha do parâmetro dt

• Pode ser determinado pela escala de tempo característico do fenômeno estudado:– Escala de tempo convectiva: dt ~ L/U– Escala de tempo difusiva: dt ~ L2/

• O comando PHOENICS para ativas esse tipo de relaxação é:– RELAX(, FALSDT, dt)


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

CONWIZCONWIZ

• CONWIZ é um mecanismo de relaxação padrão quando usamos o VR;

• Começa estabelecendo valores de referência para: – Length; velocity, density and temperature.

• A partir desse valores calcula taxas de alterações para as velocidades com o campo de pressão para todos os pontos;

• Define valores de relação linear para todas as variáveis;

• Define valores máximos para os incrementos por sweep para algumas variáveis;

• Ativa o procedimento Whole-field para todas as velocidades.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

SARAHSARAH

• SARAH pode ser usado para calcular o falso transiente internamente;

• O dt é calculado como:– Dt = SARAH . Valor calculado internamente

• Os valores típicos é na faixa de 0,1 até 0,001;

• Não pode ser usado em conjunto com o CONWIZ e afeta somente as velocidades– Não tem efeito sobre grandezas escalares


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Controle de interaçõesControle de interações

• É possível determinar quantas vezes cada equação será resolvida antes de resolver a próxima;

• Esse controle é feito por meio de duas variáveis:– LITER– ENDIT


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

LITERLITER

• Define o número máximo de vezes que cada equação linear é solucionada para uma dada variável antes de resolver a outra equação;

• Valores elevados para LITER, maior será o tempo gasto por iteração e menor será o resíduo resultante– Pode diminuir o número total de iteração para obter solução

convergida;

• Devido ao acoplamento dos coeficientes, valores muito elevados para LITER não garante a convergência.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

ENDITENDIT

• Se for maior que zero, influencia no término das iteração no solver linear;

• É limitado pelo LITER;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

LITER e ENDIT x ConvergênciaLITER e ENDIT x Convergência• A convergência é um processo iterativo:

– O solver resolve uma variável de cada vez• Não é necessário obter uma solução perfeitamente convergida para cada varáivel

todo o tempo

• LITER:– Grande irá demandar tempo para obter uma solução para cada variável;– Pequeno provável mente não garantirá uma solução convergida uma vez

que as soluções intermediárias não estarão bem resolvidas;

• ENDIT:– Pequenos necessitará de todos o LITER– Grande fará com que o solver deixe a variável antes de obter uma

solução razoável


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Limitando as variáveisLimitando as variáveis

• Para prevenir estouros das variáveis pode-se limitar a faixa em que cada variável pode existir;

• Isso pode ser feito no PHOENICS especificando-se VARMIN e VARMAX para cada variável;

• O fato de se conseguir os valores especificados em VARMIN e VARMAX não garante uma solução convergida.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Controle das variáveisControle das variáveis

• Pode-se definir uma célula para monitorar as variáveis durante o procedimento de solução;

• Para tanto, basta informar qual é a célula que se deseja monitorar pelas variáveis:– IXMON, IYMON, IZMON

• Os valores calculados para cada variável nessa célula será mostrado graficamente caso TSTSWP = -1


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

ResíduoResíduo

• Os resíduos são utilizados no PHOENICS para monitorar o procedimento de convergência;

• São definidos para cada variável como:

• Durante o procedimento computacional é possível monitorar o resíduo;

• Tende a diminuir com a adoção de estratégias de relaxação e com o número de iterações.

p p p i i T Ti W,E,S,N,L,H

e a a a S


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Monitoramento do resíduoMonitoramento do resíduo

• O resíduo pode ser acompanhado no RESULT ou graficamente;

• A freqüência do calculo do resíduo no PHOENICS é definida na variável TSTSWP– Caso seja definido TSTSWP = -1, o resíduo será

mostrado graficamente;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Normalização do resíduoNormalização do resíduo

• O valor impresso na tela é do resíduo normalizado, calculado como:

• A solução é considerada convergida quando a quantidade acima é menor que 1;– O processo iterativo é interrompido para cada variável;

• A solução é considerada convergida quando todas as variáveis tem seu resíduo normalizado menor que 1

pe

RESREF


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Determinação do RESREFDeterminação do RESREF

• No PHOENICS quando SEFREF = T, o resíduo de referência (RESREF) é calculado automaticamente baseado nos fluxo líquidos de cada variável;

• Pode-se estabelecer uma tolerância no resíduo com a variável RESFAC;– Fazendo RESFAC = 0,01 significa que o processo

iterativo se encerra quando o erro for menor que 1% do fluxo de referencia.


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Número de iterações totalNúmero de iterações total

• Além do número de iterações de cada equação linear é possível controlar quantas vezes (iterações) todas as equações serão resolvidos;

• Esse controle é realizado pela variável LSWEEP;

• Quando maior for essa variável, maior é a probabilidade de se obter uma solução convergida e maior será o tempo computacional;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Tempo de cálculoTempo de cálculo

• Para evitar que se fique indefinidamente buscando uma solução, pode-se especificar um limite máximo de para se obter uma solução convergida;

• É acessado pela variável MAXSEC, onde se especifica o tempo máximo de calculo em segundos;


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

FIM !FIM !


G/D

E/F

EM

/UN

ICA

MP

– F

UN

DA

ME

NT

OS

EM

CF

D

Equações de conservaçãoEquações de conservação

• Uma equação algébrica e linear é criada para cada variável e para cada volume de controle da malha:

• O conjunto de equações aplicadas a todos os volumes de controle geram um sistema de equações lineares;


P N S E W T

a a a a a a S

onde a a a a a a

Documents

2PFG/DE/FEM/UNICAMP – FUNDAMENTOS EM CFD jan-14 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza1 Método de Volume de Controle Prof. Dr. Ricardo A. Mazza 2PFG/DE/FEM/UNICAMP