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§3-3 多变量系统的实现. (3-36). (3-37). 一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系. 设多变量系统动态方程为. 其中 A , B , C 分别是 n × n , n × p , q × n 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为. 式中 det( s I A ) 称为系统的特征式。传递函数矩阵 G ( s ) 是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是 s 的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。. 证明: 反证法。. 证完。. - PowerPoint PPT Presentation
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§3-3 多变量系统的实现
设多变量系统动态方程为
一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系
x x u
y x
A B
C
(3-36)
其中 A, B, C 分别是 n×n, n×p, q×n 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为
( )( )
det( )
adj ss
s
C I A B
GI A
(3-37)
式中 det(sIA) 称为系统的特征式。传递函数矩阵G(s) 是一个严格真有理函数阵，即它的每一元素都是 s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。
证明 : 反证法。
( ) ( )
( , , )
s adj s C I A B
A B C
若 与 无非常数的公因式，则系统 是可控和可观测的。定理3- 7：
( , , )
( , , )
A B C
A B Cn n1
若 不可控可观测，则由定理(2-17)或
(2-18)，存在一个维数为 的系统 ，有
1det( , ( )I A)s n s 但 的维数是 上式成立意味 与
( ) ( )( )
det( ) det( )
C I A B C I A BG
I A I A
adj s adj s
ss s
( )adj s C I A B
必发生公因式相消，矛盾。 证完。
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1x x u y u
显然系统可控且可观。但传递函数阵为
例题 3-4 ：设系统方程为
与单变量系统不同 , 本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件，而不是必要条件，可用以下例题来说明。
2
10
1 01 1( )0 1 1( 1)
01
s ssss
s
G
在 A 的特征式与 之间存在公因式 (s1) 。故定理中的条件不是必要的。
( )adj s C I A B
但如果将 (3-33) 式：
的分母写成 A 的最小多项式，可以得到 (A, B, C) 可控可观的一个必要条件 ( 略）。
( )( )
det(
adj ss
s
C I A B
GI A)
(3-37)
定义 3-1 ： 一个有理传递矩阵 G(s) 成为是正则的，若 是一个有限的常量矩阵。 G(s) 成为是严格正则的，若 。
( )G
( ) 0 G
与第一章相同，在以下的讨论中，我们假定 G(s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。
定义 3-2 G(s) 的极点多项式中 s 的最高次数称为G(s) 的麦克米伦 (McMillan) 阶，用记号 G(s) 表示。例 3-6 ： 求下列系统的 McMillan 阶：
2
1 1 2 1
1 1 1 1( ) , ( )1 1 1 1
1 1 1 1
s s s ss s
s s s s
1G G
G1(s) 的极点多项式为 (s+1); G2(s) 的极点多项式为 (s+1)2 ，故
1 2( ) 1, ( ) 2G G s sd d
1 1
1 ( 1)( 2) 3( )
1 1 1
1 ( 1)( 2)
s
s s s ss
s s s s
G
( ) ( 1)( 2)( 3) ( ) 4s s s s s s G
容易算出极点多项式为f d
例 3-7: 考虑
( )G 的所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为极 式义
点多项 。s定 1- 5：
算极点多项式时各阶子式必须是互质的，例如该例中的第一个二阶子式。注意：
定理 3-8 系统 (3-32) 可控可观测的充分必要条件是 G(s) 的极点多项式等于 A 的特征多项式，即
证明：略。
( ) det( )s s I Af
( ) det( )I A A
A
f 表示 的所有特征值均是传递函数的极点。由于传递函数只反映系统的可控、可观部分，这说明 的所有特征值既不是输入解藕零点，也不是输
观
出解藕零点。
说 s s直 明：
例 3-8
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
A
0 1
1 1
1 0
0 2
B
1 0 0 0
0 1 0 0C
相应的传递矩阵为
A的特征多项式为
1 1
( 1)( )
1 1
( 1)
G
s s ss
s
s s s
( )G 的极点多项式为s
故系统是可控可观的。
2 2( ) ( 1) s s s
2 2( ) ( 1) ; s s s
二、向量传递函数的实现
3 2 3 2
22 2
2 5 3 4 6 4
6 1
s s s s s s
s s
一个元素为多项式的矩阵，总可以写成矩阵为系数的多项式，例如：
3 22 1 5 4 3 6 0 4
0 0 1 0 0 1 6 1
s s s
1. 行分母展开时 , 得可观标准形最小实现
将两个元素的首一最小公分母提出，有分析：
求下列传递矩阵的最小实现：例：
2
1 1( )
1 3 2s
s s s
G
1
2
( )
1( 2) 1
( 1)( 2)
=Gy s u
us
us s
1 2
2 2
y
c B这里， 是标量。因此， 阵肯定是 的， 阵肯定是 的。
所以
1 0
1{ 1 0 2 1 }
( 1)( 2)N N
ss s
0 2 2 1
1 3 1 0oA B
0 1oc
0N
1N
2
1 1( )
1 3 2s
s s s
G
2
1 2 1
1 2
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
( )
1G
= p
p p
p
n sn s n ss
d s d s d s
n s n s n sd s
1 21 2( ) n n n
nd s s as a s a
这是一个多入单出系统，其中各元均互质。令
为 G(s) 各元分母多项式的首一最小公分母 ( 极点多项式），则上式可写成：
考虑严格正则传递矩阵：一般情形：
1Ni p 类比于单变量其中 均 常向量( 时的常数）。
1 2 0
1 2{ }( )
N N Nn n
n ns sd s
1
但与单变量系统相比， Ni � 的顺序是反的！但只要注意到 B 阵的第一行是 N0 就可以了。
于是有实现：
01
12
11
0 0 0
1 0
0 1 0
0 0 1
1)
0 0 0 1
o
o
N
NA B
N
c
（
n
n
n
n n p
a
a
a
a
a
问题：1)这是原传递矩阵的实现吗？2)试将上式与单输入、单输出系统的可观测标准形实现相比较,有哪些相同和不同之处？
3）这是最小实现吗？
.28对第一个问题，注意到 的公式（1-85）满足：p
1
1
1
1( )
det( )c cc
I A bI A
n
ss
s
s
作为其对偶形式，我们有
1( ) ( )此时不难验证， 。c I A B=Gs s
1 11( ) 1
det( )o oo
c I AI A
ns s ss
1)
( , )
对第二个问题，注意到（ 式，可见其阵与单变量时的可观测标准形是完全一样的。
a
A c
( )
( , , )
对第三个问题，我们注意到在严格正则、各元互质假设下， 既是系统的极点多项式，又是特征多项式，故由定理(3-8)， 必是最小实现。
d s
A B c
2
2 3
2 3 2 2( )
( 1) ( 2) ( 1)
s s ss
s s s s
G
例：
0 0 0 0 0 0 4
1 0 0 0 2 3 6
0 0 0 0 10 1 0 0 7 5 4
0 0 1 0 9 2 1
0 0 0 1 5 0 0
A B C
02 13
3 2
3 5 4 3 2
2 1 5 4 3 6 0 4
( 1) ( 2) 5 9 7 2
s s s
s s s s s s s s
NN NN
4 0N
2. 列分母展开时 , 得可控标准形最小实现 考虑如下单入多出系统：例：
4 3 2
5 4 3 2
0 2 8 0 0
1 7 18 22 12
( ) 10 35 50 24
s s s s
d s s s s s s
1N2N0N3N4N
d(s)为 G(s) 各元分母多项式的首一最小公分母 ( 极点多项式）
2
2
( 1)( 2)( 3)
2 2
( 1)( 4)
s
s s s
s s
s s s
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 24 50 35 10 1
0 0 8 2 0
12 22 18 7 1
c cA b
C
注意：因为 G(s) 的诸元素已是既约形式，故行分母（列分母）的次数就是 McMillan 阶，所构造的实现一定是最小实现。这点和标量传函一样。
1 2 1 0
1
21 2 1
2
1
( )
( )
( )1( )( )( )
( )
( )
1
N N N N
G
n n
n n
p
p q
n sd s
n sd ss s s s
d s
n s
d s
=
1N 类比于单变量均 列向量 时的（ ）。常数i q
这是一个单入多出系统，可实现为第二可控标准形：
虑传递 阵一般地，考 矩 ：
注意顺序！
1 2 1
0 1 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
1n n n
u
a a a a
A
0 1 1C N N N n q n
问题：1)这是原传递矩阵的实现吗？2)试将上式与单输入、单输出系统的可控标准形实现相比较.
3)这是最小实现吗？
传递矩阵为列和行向量时的最小实现小结1. 在各元素即约的条件下，它们的首一最小公分
母就是 G(s) 特征多项式；
2. G(s) 为列向量 ( 输入为标量）则可实现为可控标准型 (Ac,bc,C);
3. G(s) 为行向量（输出为标量）则可实现为可控标准型 (Ao,co,B);
4. 上述实现均是最小实现。
三、传递函数矩阵 G(s) 的实现1. 按列展开：
可以将矩阵 G(s) 分成列 ( 行 ) ，按列 ( 行 ) 展开。以 2 列为例说明列展开时的做法。设第 i 列展开所得的可控形实现为 A i ,b i ,C i ，可按以下方式形成 A, B, C:
1 21 2 2
1 1( ) ( ) ( )
( ) ( )G N N
q
s s sd s d s
1 21 2 0( ) i i i
i i
n n ni i ii n nd s s a s a s a
其中：
1 01 2
1 2 1( )
N N N N
i i
i i i in ni i
n niN s s s s
1q
向量
！
1 11 2
2 2
0 0, ,
0 0
A bA B C C C
A b
则有
1 1 2 2A b A b（ ， 、( , )均可其中， 控标准形，
0 1 1
N N N
C
i i i
ni
i
0 1 2 1
0 1 0 0 0 00 1 0 0
,0 0 0 0 1 0
1
A b
i
i i
i i i in
u
a a a a
1 2C C、 均具有形式：
11 2
11 1
122
( )
( ) 0 0
00 ( )
C I A B C C
I A b
bI A
s
s
s
这一实现是可控的（ PBH 检验），并可计算出上述实现的传函阵为
11 11 1 2 2
2
1 11 1 1 2 2 2
0( ) ( )
0
( ) ( )
bC I A C I A
b
C I A C I A b
s s
s b s
传递矩阵按列展开的步骤：1 ）将传递矩阵写成：
11
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )G N N N
i pi p
s s s sd s d s d s
1( ) ( , , )
( )
,
2 ,
(
N A b C
A b
把 实现为 其中，
）为可控标准形；
） i i i ii
i i
sd s
3) 构造系统的 (A, B, C) （由 PBH 检验可知系统可控制） :
1 1
1 2, , [ ]p
p p
A b
A B C C C C
A b
2. 按行展开
同理，可以将 G(s) 分成行，每行按行分母展开。以 2 行为例说明行展开时的做法 , 设第 i 行展开所得的可观形实现为 A i ,B i ,ci ，可按以下方式形成 A, B,
C,1 1
2 2
1
2
A 0, ,
0
0
0
BA B
A B
cC
c
这一实现是可观的（由 PBH 检验可知），并可计算出上述实现的传函阵为 G(s)
11
2
11 1
122
1 11 1 1 1 1 1
1 122 2 2 2 2
0( )
0
( ) 0
0 ( )
( ) 0 ( )
0 ( ) ( )
s
s
s
s s
s s
cC I A B
c
I A B
BI A
c I A B c I A B
Bc I A c I A B
传递矩阵按行展开的步骤：
1 ）将传递矩阵写成：
11
1( )
( )
( )1
( )( )
N
G
N
ii
sd s
s
sd s
1( ) ( , , ),
( )
( ,
A B c
A c
把 实现为 其中，
）为可观标准形；
i i i ii
i i
N sd s
2）
3 ）构造系统的 (A, B, C):
1 1 1
, ,
q q q
A B c
A B= C
A B c
例题 : 给定有理函数阵为 1 1
1 3( )1 1
1 2
s sG s
s s
解 采用行展开方法，将 G(s) 写成
1 1 3 1
( 1)( 3)( )
1 1 2 1
( 1)( 2)
s
s ss
s
s s
G
试用行展开和列展开构造 G(s) 实现。
第一个子系统
第二个子系统
2 21 2
1 10 1
2 20 1
( ) 4 3, ( ) 3 2,
3 1 , 1 1
2 1 , 1 1
N N
N N
d s s s d s s s
1 1 3 1
( 1)( 3)( )
1 1 2 1
( 1)( 2)
s
s ss
s
s s
G
按 (3-38) 式 , 可得可观性实现如下 0 3 3 1
1 4 1 1 0 1 0 0, ,
0 2 2 1 0 0 0 1
1 3 1 1
A B C
容易验证这一实现是可观的但不是可控的。直接计算可知 δG(s)=3 ，而 A 阵的维数是 4 ，由定理 3-13 可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以用定理 2-17 对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。
但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将 G(s) 写成
1 1 21 1( )
1 1 31 ( 2)( 3)s s
s s s
G
21 2( ) 1 ( ) 5 6d s s d s s s
1 2 20 0 1
1 2 1, ,
1 3 1N N N
由 (3-42) 式可构成如下的实现
1 1 0
0 1 , 0 0
6 5 0 1
1 2 1
1 3 1
A B
C
这是可控性实现，它也是可观的，因而是 G(s)的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择列展开方法。这是因为各列分母次数之和为 3 ，小于各行分母次数之和 4 。
如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，可以利用可控性分解或可观性分解进一步降低系统的阶次。
例题 : 给定有理函数矩阵如下
2
3 2
2
1 2 1
( )1
0
s s
s sss
s
G
求出 G(s) 的最小阶动态方程实现。
解 : 各一阶子式的公分母显然是 s3 ，而其一个二阶子式的分母为 s4 ，因而其极点多项式为 s4.
(1) 计算 G(s) = 4
(2) 行展开
2
3
2
1 2 0 1 1 0
( )1 0 1 0
s s
sss
s
G
构成可观性实现： ( 一定不可控 )
5 5
0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 20 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0
A B C
(3) 进行可控分解 ,
2 3 4
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 2 0 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
B AB A B A B A B
可控性阵秩为 4 ，可取前四列 , 且作列变换，这样将使计算简便 {4 列乘 1 、 2 加到 1 、 2 列； 2 列乘 1 加到 3 列 ), 3 列加到 1 列 , 3 列乘 1},
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
再补充一列 ( 后一列是补充的 ) ，使下列矩阵为非奇异阵，记为
1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
P
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
1 0 0 1 0
P
(4) 可得最小实现为 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0
0 1
1 0
1 2
0 0 0 1
0 0 1 0
(5) 验算 , 可验证可控，可观且传递函数矩阵为
1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
PAP
1 0
0 1
1 0
1 2
0 0
PB 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
CP
1
21
2
3 2
1
1 11
( )1 11
11 1 1
ss
s ssss
sss
ss s
I A
3 2 3 21
2 2
1 01 1 1 1 1 1 20
0 1( )
1 1 1 0 1 10 0 0
1 2
s ss s s s ss
ss s s
C I A B
2
3 2
2
1 2 1
10
s s
s ss
s
1
( )( )
G Rr
ii i
ss
1
l
若 矩阵可以写成下列形式：q p定理3- 10：
R Ri i irank n令 。将 进行秩 ，即证 分解明：
( ),R C B C Bi i i i i i irank n rank n 、
R 其中， ， 为 常互不相 数矩阵 我 有同 。则 们i i q p
1
( )G Rr
ii
s rank
d
C Bi i i iq n n p 其中， 和 分别为 、 阵。
( ) ( )R C Bi i i
i is s
1 1注意到 恰可构成一最小实现：l l
1( ) : )( )
G C B C I A Bi i i i i ii
s ss
1 （l
这里，
利用 PBH 检验，其最小实现的结论为显然。
1)( )
A I A Ii
i i
i
i i ni
i n n
ss
1（
l
l
l
再用直和方式构成：
1
(PBH) ( , , )A B C
Rr
ii
rank
根据若当形判据 容易证明此时 是最小实
现，其维数为 。显然，
1 1
2 2
1 2
,
A B
A BA B
A B
C C C C
互不相同i
r r
r
1
( )G Rr
ii
s rankd= 证完。
1 2 3
1 2 3
4 5
4 5
1 1 11 1 11 0 0 1 1 0 0 0 1
1 0 01 2
0 01 10 1 0 0 0 1
1 13 4
s s s
s s
B B BC C C
B BC C
例题1 1 1 1 1 1 1
( 1) 1 2 1 1 2( )1 1 11 1 1
3 43 4
s s s s s s s ss
s s ss s s
G
1 0 0 1 1 0 0 0 11 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 01 2
0 0 0 0 0 01 1
0 1 0 0 0 13 4
s s s
s s
1R 2R 3R
4R 5R
G(s) 的一个最小实现为
0 1 0 0
1 1 1 0
2 0 0 1
3 0 1 0
4 0 0 1
1 1 1 0 0
1 0 0 1 1
A B
C
1 2 3 4 5C C C C C
1
2
3
4
5
B
B
B
B
B
四、组合系统的状态空间实现1. 串联方式：
y G1(s) G2(s)
u v
1 2( ) ( )y s s uG G传递函数为
1 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2
,
,
x x u v x
x x v x x y x
G G
A B C
A B A B C C
令 、 的实现分别为
1 2
1 1 1 1
2 2 1 2 2
0x xu
x x
G G
A B
B C A 0
故 的动态方程为
12
2
0x
yx
C
2. 并联方式：
1 2 1 2[ ( ) ( )]y y y s s u G G
1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
,
,
x x u y x
x x u y x
G G
A B C
A B C
2令 、 的实现分别为
1 2G +G故 的动态方程为
11 2
2
xy
x
C C
y
G1(s)
G2(s)
u
y1
y2
1 1 1 1
2 2 2 2
0A B
0 A B
x x
ux x
3. 反馈结构：
1G G2令 、 的实现分别为
y G1(s)
G2(s)
u -
w
v
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 1 1
x x u w x u C x
x x x
A B B A B B
A B C
反馈结构实现为
11
2
0x
yx
C
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
,
, ,
A B C
A B C
x x v y x
x x y w x v u w
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 0
A B C B
B C A
x x
ux x
下面计算反馈结构的传递函数矩阵：
1( ) ( )q py v a G
2( ) ( )p qw y b G
2 ( )v u y c G
1 1 2 1 2 1
11 2 1
( ),
( )
( )
q
q
c a
y u y y u
y u
G G G I G G G
I G G G
（ ）代入 得到
另一做法： (a) 代入 (b)、 (c) 后有1
2 1 2 1, ( )pv u v v u G G I G G
11 2 1( ) ( )pa y u G I G G将上式代入 后有:
y G1(s)
G2(s)
u -
w
v
需要指出，即使以上每个子系统都是最小实现，相应的组合系统也未必是最小实现。
